.ι! ιιορεlο aν,loφoφη της ιιο;φαυώυ,οης. Τέτοια.""lΙλl\μ010 εlναι Υια ιιο.ρ6.

Transcript

1 3 ΟΛΟΚΛΗΡΩTlΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ 3.1 ΑΟΡΙΣΤΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ Αρχική ιι~ι'άpfηιιη Πολtiς φopέ~ nην ιιρ6.~η ιιο.ρο1jοάζονtcll φοβλήματlι η 1(>01'1 ΤOuς 1tX1l".ι! ιιορεlο aνloφoφη της ιιο;φαυώυοης. Τέτοια.""lΙλl\μ010 εlναι Υια ιιο.ρ6. διιυμα ο _o.ρcιkό.1\o: _ Η εύρεση.ης Qέσης 5(1) εν6~ ""'1'1'100 τη xpovlicij αηυμή Ι. αν ε!ι'οι Υνωσ.ή η 'Ιtlχίο1η16. 10" ι>(ι) uoι; Ύ\'ωρΙζουμε. ειναι η ιιαp{ιyωy~ της σ""άρτηοης θέσης χ".~ω. - Η ε';ρεση της α;cli1η1ιlς 0<') ενός "'''1'106 τη χρονική σηυμή ι. αν ε!ναι Υνωση'ι η Ι"ΙΤ{ιΧΙΝοή ταυ )'() "01>..n.~ ΎVωρl~ο\)με. εινα η ιιαρά'{ιayoι; τηι; συνάρτησης II-u(ι). - Η εύρεση το" ιιλη8uομο» Ν<Ι/ μ'~ κο\\'ω'lας βοκ.ηριδιφ τη XPOV'Kf) στιγμή Ι. αν εί\'οι Ύ"ωστ6ς ο ρυθμόι; ιιυξησηι; Ν'Ι') το" ι<λη8110μi\; Το κο.νό χαρακηριοιιί(ό 1Ιον ιιpcjlλημάτων αυτών εlναι ότι. δlvετο μια ουν6ρτηοη f κο ζητεlται να βρεθε\ μια άλλη ιι»νάρτηση F Υ'" την o~"ι" να 'ιιx~ιi F'(x) "' [(χ) σε Ι"α δ'6."τη μα Δ. Oδηy~μαστε Ιτσ ιιτσν ~αρα~άτω οριιιμ6 ΟΡΙΣΜΟΣ Έστω [ μια σuνάρ'tηoη ορο μtνη σε tva δ6."τημα Δ. ΛP1Ιorή ""ν1!ρtηη ~."6.Υ01lΙΙ" ης [ "το Δω oνoμ6.i;εται ~6.θε σ1lv6.ρτηση F.011 ειναι ~αρα ΥωΥΙσμη στο Δ ~α ισχα/; F'(%)"ΙΙΧJ rι~άθε :ιεδ.

2 J OΛOΚιlHPΡUΚOΣ ΛΟΠΣΜΟΣ Για 1Ιαρ6:δεΙΥμα. η ΟU"6:ρlηοη F(~)"x' ε("αι μια KIIP6:yOUOo lη Λx).. 3~' στο R. αφοό (χ')'" '~' ΠαρατηΡOiιμε 6τι 1Ιαι όλει; οι αu"(ψτήσει τη μορφής G(~).x'+c.F(~)+c. 6110" cer. είναι 1Iαp6:youot τη! στο R. αοοό (~' + c)'.ο )χ'. Γεn1lά ισxiιει 10 1Ιιφα"άτ<ι> θεώρημα: θ[ωρηi\ια Έοτω! μια συνάρlηση ορσμένη σε ένα διάστημα " Αν F ειναι μll' 1Ιιιρά Υσυοο. της! στο ". τότε όι.ει; οι συναρτήσει τη μσροή G(xJ-F(xJ+c cer εινα 1ΙιφάΥουσε τη!στσ" "αl 1Ι6:θε ω.λη κιιρ6:υουοα G τη! 010" 1Ια(ρνεl τη μσρφή G(~).F(x)+c. cer. ΑΠΟΔΕfΞΗ Κάθε σu"άρτηοη της μορφή G{x)" F(xj+c. 6κου cer. ειναι μια κιψά Υσυσα τη! στσ Δ αοού G'(x)" (F(x)+c)'.. F'(x)_!(Χ) ΥΙο ΧΕ Δ. Έστω G.Ι'ο.ι μια άλλη καράυο.. σο. τη! στο Δ. Τ61ε ΥΙο. 1Ιάθε Χ Ε Δ lox" αυν F'(x).ο Λ~) "ο.ι G'(x).ο!(~) οκότε O'(~).ο F'(x). 'Υ'ο. 6.8& ~" Δ :.ι..ρο. σύμqωνo. με το κ6ρσμα της 26. υ1lάρχει στα8ερά c τέτσιο.. ώστε G(x)_F(x)+c. YIII1l6.Bo Η'Δ Α"ρστ" ι;""";.ιiuμσ. Το σm'ολο 6λω' lω" 1ΙαΡο:Υουοών μιας οu'6.ρτηση! σ' Ι"α δι6.0lημο. Δ ο"σμάζετο.ι υ6ρ.ο'το ολο"λήρωμιι τη! "ο Δ σuμβολι~ιtαι J!(xjιb: "α διο.βά ~10.1 "σλ01lλήρωμο. εφ 101> χ ντε χ". Δηλαδή Jj(~)dx"F(X)+C cer ό1l01> F μια1lαράυοuοα lης! στο Λ. Για χαράδειυμα. Iσm'x"". ημ.-+c αφού (ημr)'''σm'>".

3 J OdQΚAHP!JnXOI ΛOΓJΣMOΣ '" ΓΗΙ κάβε ιruνάj)tqgq j. Kαριrrωy{ιnμησε ένα διάστημα Λ. gi1lei II(x)dx-j(x)+c. cer Η διαδικασία εύρεσης ται> αόριστου σ).ο"ληρι/ιμιπος είναι avrlcitρoφq ι<ορεια tης ι<αραυώ'υιαη Ί(αι UyttIlI ol.o"i'''piiioq. Η σταθερά c UyttltI ιιτιιβερά olo Ί(l"Ροιιιης. Αι<6 τον ι<ινα"α των 1ΙαραΥώΥων βασι"φν ΟVναρtήσt\l>ν βρισ"ουμε τον 1Ιαρα"άτω 1ΙίναΊ(σ αόριστων οlοdηρωμάtων. Οι η\1ιοι.ου 'It(va"Il IlVtOU ισx6αvν οε "άθε διάστημa στο 01<010 ιιι I<aραστάσεις τοι> Χ 1Ιου εμoσνi~σνtσι έχο»ν \'όημα DIΝΑΚλΣ ΑΟ'Π:ΤDΝ ΟΛΟΚλΗΟΜΑΤΟΝ. ι.. Ι qjl%dx - -ιnιν.< +c Ιιιιχ _x+c. Ι ι ιδ _1IΦ"+c -' I;ιb:-IσIX!H Ι...!.-.ιιχ - -oφ:t+" ημ'χ.... Ι συνntιr _qjl%+c IX ιb:..-'-h. α.. -Ι.. I"ιIx-"+c " Ι.' ιι'ιιχ Η ". Σvνέ"εισ tou ορισμιιίι τιι» αόριστσι> σl'ιι"ληρι/ιμστσς "σι των Ί(ανόνων ltaραyφ Υισης ειναι ιιι εξής δ6α ιδιότητες: Αν ο OVvαpt"OtIς j "αι g έχο»ν ltαριτιιuoα α' ένσ διάαtημαδ turc Ι.v(:t)ιb:-λΙΛ<)ιb: ler' - Ι if(.1")+g(:t))dx - Ι j(.1")dx.. Ι g(:t)dx Σίιμςιωνα με το»ς 'ltilpa'ltιr. Iι) <ίιl<ο»<; έχοuμι rια "aράδεyμα: f4x'ιix-~fx'ιix-4x3 "c J(3ημχ - 2 )ιb: - f3ημxiδ"- j :U' ιιχ - 3J qμxιb:-2j 'd:t 3δuνx_2.'...

4 '" J QΛQMHfQUΚQΣ ΛΟΓ/ΣΜΟΣ.. 31 χ'ιι..-ι χ Ίι/χ χι r' -3!! T -- +c-2-' -2;<' +C. Ī Ι Ι ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ Ι. Νιι ~ρε&ει σιoνlιpτl"1 Ι 'Ι0ΗΙ όι"οε 'Ι ΥΡΙΙ.'ΚΙ; ''11; Ifιιplι"τιι" νll διέρχεται 1I1f6.0 ιιημειο ΑΙ1) {Ι" νιι.ax'; /'(")-1-1 Y'cι "lιθε x"r. Α γσιι Ε1Ιειδή /'(r)_2_]. έχοιομι διαδoι'klι: Ι fί" Ι Ι"-Ι" /(>:)+C ax' -""ε_ /(r).. ' -I-<-C -c.!tzj-' -x...c ".c ER ".c ER "" R. Γα νcι διέρχεται η / (16 10 σημεlο A(l.]) 1IpfJl:EL "cι\ αρκιι j(l) _) ή. αδύναμα 2'-2+c_3. δηλα61\ ε_i.e1ioμινωc;. ι(χ)...'-ζ+ι. 2. Η oter.pcιξ'! ει...) ιιό την...ω:η"" Ζ...6"" ι:ν6ς Ifρolδ\o'roι; (1I.s".s ΙΗ) 110<; 'loi'ιι~lιι<;. ""II~' 1" ΡVΒ"lι Ε'(Χ)_ΙΟΟ_Ζ (σ. xw6ieς ιrvpιlι <rνά ji...lik Ifpot6ντoς) cνd>" "8μ6ς finajo'.ιio 10"~ιropoyaryήι; Ilνοι...ιιB.~ "α. ισιrbτcι. fu 1 (σι JιιM6~ cupθ ιινό μον6δll ιrpoίm"". Να Ρρι:IΙ.Ι 10 κ1~ τηι; ΡlOjOιιχlΠ'((ιςm τη.. "ιιριι:yφ'f!t 100 ιιoνlι6coν...ρot6νι~ ιoιroeι Τ<ιΥΤΙΙΙ; "ΙΡ5ος ει"... "ηδlhoμιινη ΡIΟJιηχ<ινίι:ι δeν "ιιι>'ύι' "potόno. Λ ΥΣΙΙ Αν P(xj ιιιν<l.0 "ι.ρ~ "0.' ηχ) t\v<l.o "ό'~ 1Iιφo.1ωytις Ύ\ο. " μονάδες xρolόντ~ τότι

5 J OΛOMHPΡTIΚOΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ '" P'(r)..E'(r)-K'(r).. IOO-r r. Δη1αδή P'(r)_9II_r κα ά.ρο. P(r)-91z- T " +c ~IE R. Ό<ιιv η jlωμηxιινlιι δεν >«ψάυιι Kρofόvrα το άρδοι; ι(ναι μη5tv δηλαδή ισxuι Ρ(Ο) _ Ο 0II6os ~.. ο. εkoμtνιoς p(r)_911:<_-. " λpcι 10 κιρδοι; ακδ ]00 μονό.διι; Kpofόvroς ιlναι '00' Ρ(ΙΟΟ) _9800_5000 _4800 (σι xιλ>6.δsι; tiι~). ΛΣΚΗΣΕΙΣ Α" ΟΜΑΔΑΣ Ι. Να..κ01ιη!σιτι τιι 010κ1ηρώμ(Π1ι Ι) Ι (:τ' +ημ< + <nji'%)ιtr ii) f χ +x+l etr iίί) f3xj;dr I Χ + 3 ΥιΙ ---<u.... ' 1(' '1" \"ι) CJW'x ημ'χ

6 )08 J QdOKdHPPTUQE ΛΟΠΕΜΟΕ :ι Νιι ~Ιτι η ιιvνqρπιljl'j /. μι uδίii oρισl'09 τιι Μ6:ιπηιιιι (Ο...) J1ιι ην DΣoiιι σruι' 1(9)-1. J. Νιι ~ί.ι 111 ιιvνqρπιo! /. 1'0 ην cnιαισ. ισjjια Ι"(Ζ)- ) ΓΟ) _6 και 1(0) Νιι ~I.ι η oιιν(ψrηoιι Ι 1'0 "'" σωισ. 'OrUιl Ι"(ή _lα'.1 και 'Ι ΎPCZQIw:ι\ πκ κιιιμι"ιιοη 0.0 lji'jιιdcl πκ A(l!) ΙI~Ι dlo1l ). S. Ο ύ-η&uσιιόo; Ν{Ι) o~ ~..:α.clμμllfι'o. "loι; ":CI_o{oι; ~σ."τ/ρ.δlων. IIU~(rν~1ιn μι puiiiό Ν'(ι). ~~". cιι'6: l.εzτδ. Νιι ~JΚ11I την ~ηoη.011 ύ-ηθuομο; σ.ιι _ρώσ. 60 ιε_6:.. Μια ΙΙιομηχ<'νla ηι δια ""ι δη Υια ιβ6ομσδιαla -aρayιrrfι Ζ ι ~ιιptηii6:o>vηll οριακό κόο"1οι; :r'.5:< «(UpιiI ιιν6: μovό«ι: _ρoiόνtoι;j Να βριιτι.η σuνψηoιι ιιόctι~ 1"1' ιβ6oμσδιιι~ -ιιριιyιιrrιι" CIV ιινα Ύ"'IItO"1ό 611.ιι "'IIlkpό rβ60μiiiιiila tφsιι nκ IlLOμηIΙΙ~ 61ιιν kv Ζι:φηιι O«tVtvιι ψρtιιιιo. ιlvιι. 100 (ιuι*) 7. Μιι νιιι yι/ιrtpηση ι~ιις UPtlalOU tlll ρu&μδ 6ν'ιΙηοικ κou ilvl1ai ιιώ.αν 16IUI κω _1Ο.!Οι' -71'6I:ou R(I) ιlνaι CI αρβ"ός σι Ί1"6δr _ IScφclWv zcnι gyτlήβηkιrv "'σuι; ι ~σuς "ήνcς ΙΙιτOUΡY!αι; t'ις Νιι ~Ιτι 'Ιόσιι Jιφ!'σ βιι Ιrσuv ovtliiiri.σuς zρόr<σuς "ή~ ι..ιtouρylll/; τικ' Ι' ΟΜλΑ.λΣ: Ι. Η βιρμclιφιισlιι Τ a'ός σι."ιttoς.. κο" ~.αι (Ωό tνιι 1ν/IC'!Id...ρό dωπ""'τιιι 1'1 ΡΙΙΙιιό όζ"". κ ιινιιι Irn'dς ιttιr8ι. ρtι; και r ο χρ6νσς Η OΡl'nι Icρμoιφιισ{σ. Τ(Ο).09 o"μιttoι; ιlνιιι Τ ' 61:"" Τ. η βιρμσoφoσlιι tou...ρoό ιι Ο%οίο μ κιιτωιιlο. μιι' lάvιιιιιι i'\mipιitoι "oιφt\. Να ~I.ι η βιρμoιφιισlo.011 O""ιttoι; 1IIIΡMnι σηυ"ή ι 1. Ένιιι; llloμfιlo.νoι; ο Ο%οίοι; p~ki:r lιll6δrι; ιιιρόι στη jicltlcdση 1'Κ aopιιyarrf\ς οιι φydσσσvιv '0lI' ιrvιιμtvι: να ηει dρ6σι; p(:r) lιlι6. kι; ιuρώ ιιζό ιι"τι!.ην cuvδl>ση. Μια ovάluση tης _aρayιιyfις tδιιξι:

7 J OΛOKΛHPOΤIΚQΣ ΛQΓJIMQΣ '"' δtι ο ριιθμό<; μεtαβoλfκ :0\1 ~~ Ι'(χ). 1<01> oφε!λtια\ Οτ/ν αtvδuoη 1Μή. 6ίνεtα αιιό :ον ΜιΟ Ρ'(χ) ~ ""ΙΙ«ΙΟ. Να βρε(τε το auνoλι.ιι:ό"1ιtρ6oι; 1<01> oφd).nα σε ν/(;η0ll τ/ιο ""tνδuσης αιιό e:iif"i:ii "ι e:iif"i:ii. ). Ακό τ/ν κώλι)"'ι ενό νέοιι Kραι6νtoι; μω εtαρεία.; δlωιl(l'ί6>&η~ι δη Ο ΡUΘμ~ μεtαβαλii ΤΟ\l ~6σI0\O<; κω 6Ινεtol ωι6 «W WKO Κ '(ι) _ (σι εup(ι:i την ημφιι) ενώ ο ρ>'>&μ(>(; μεtαβoιjι Τ/. ει. mιpo~η Ε(ι) στο τtλoι; των ημιρόw 6ίνεtα ωιό :ον ""κο E'(I)_IOOO+O.3l (οε εuρ(ό πιν ημtρυ). Να βρεlε το owoλιιό ιιtpδoι; τ/ιο εtα~ ωι6 πιν tpltη tω<; ιια' πιν tι;τη ημtριι ~αpo:yωύfl. 4 Έατω I.g Μο ΑUΝιιp:ήαιl. μι {(0)-8(0) {(Ι)-8(1)+Ι 1CQ {"(χ) _g"(%) 'ΓΙα 1C68. %Ο! R. Να ω:06ιι~ι:ι δη: ίl [(ΧΙ _ g(x)+ % Υια ~ά8. χ Ο! R. ii) λν η ""ν6ρτηαη g Ιχι δlία ριζι ".β μι α <ο <β τ61. η (1\1. ν6ρτηση Ι Ιχ.ι μια τo\lλόχιατον pl'o οτο (ο.". 3.2 ΜΕθΟΔΟΙ ΟΛΟΚΛΗΡΩΣΗΣ Ο κlνα1cας των αόρατων οl.oιάηρωμόων IιO\l δώοιιμι ΙΙιιΡΙΙ%{ινω. δ.ν.(ναl ΙΙΡ1Cιός Υια νcι uiιoλoyloo\li'" το ολο1cλ1\ρωμll μια<; οιιοlι"δ1\ιιο1. 'lι"'όρπμιη. ό~~ ΙΙ.χ. CΙ ολο1cληρώμcι1ι Ι l~d:t ~II\ Ιu'd:t ΣΕ Ιοι. ιιιριιιτόιαιιι; Ο uιιολουισμός Υινι.1ι1 ω:λ06σ.ροι; μι τη βοή8ι". 'ων IιΙΙPIl1ClI:w μιθόδων ολο ~λήρωαη. Μέθοδος ολο/{λήρωσ"ς /o'arι.l ιrαρι.l70'rι:ς Η μέθοδοι; cιιrιή.~φpόζιτcιl μι ον 6ιιο: Ι f[(x)g'(x)d:t - [(x)g(x) -f['(x)g(x)dr ΙΙΟL>.Ιναl O1JνΙιιιια '0\1 1Cανόνα ιιιιριryώy!σηι; :01> -rινoμtνoυ 600 ιιιιρayωυιο.μων oιινιψt1\oιων f ιι οι ένα διό-ο:η μα Δ. ΠρόΥμαη 'ΓΙα 1ClI8. ΧΟ!Δ. Ιχοl>μι οκ6:. υωι(%)ι' - ['(Χ)8(%)+ [(%)'(χ)

8 ". J ΟΛΟΚΛΗΡΡΠΚΟΣ ΛOΓlΣMOΣ Jf(z)g'(z)d>:.J(f(:ι)g(Χ»'d<- f l'(χ)ι(ψιχ 1'). 1000δ1iνOμα J/(Ζ)Β'( ψά.!(:ι)ι(χ) +c-jι'(χ)β(:ιί</χ. (Ι) ε"εδf) το ολο"λήρωμα <o\l δεύτερου μιj.o"" τη~ (Ι) "'ΡΙ/;1&1 1'\11. Ο'το.θεΡ6. 0).0 ICλfιρωoη~ το C ""ορι! να ιιιχραλειφθε! ο"ότε /;101>1'& τον "αρα/ι!ivω Μα. Ο "α.ραχάνω η>"ο χρηοlμο1l(lιεlταιυια τον 1)0).0"(106 ολοχληρωμ6.των με την ιι:ροο"όθεα" δη το oλokλiιρωμα 1011 β" μέλους uιιολου(ζεταl ιul(ολι.-ιερα. Γιο ιr.αρ6.διlyμα α~ ιιχολoytοουμι το ολοκλήρωμα Ι u' ιj:ιι. ΈΙ0uμa: Jx.'ιb:_Jχ(ι' )'ιιχ_ ".' - Ι.'ιb;. u' -ι' + c. Α' τώρα. δοομάαοιιμε να u"oλoy!σoujit το XIψCIX.r.w oλodf)pωjio.. aλλ{ιζoντo~ τους ρόλοuς των" "Οι ι'. βριοκουμε Το τελευταιο όμως ολακλήρωμα ι(\'ο.ι "ο σόνθετο ωιό το αρxιίtό. ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ Ι. Ν ιι ""οο.011"06ν τα ολο"ληριίιμαηl 1) Ι x'.'djι: 11) f.tημ1xιι" 1(1) J(4"" +Ι)Iιu:ιb: Ιν) f ημ2x<b:. ΛΥΣιI ί) Έχουμε J> ι' ιft..j' (ι' )'ιft.. 'ι' - J(' )'ι' ιft.. 'ι' - J2u' ιft.. 'ι' -J2:ιr(ι')' ιft.. '' - 2"' +J2' ιft.. 'ι' -2u' +2' +C.

9 J OdOMHPDTIΚOΣ ΛQ[lΣMOΣ '" Με ~oν (διο φόιιο υkoλoyltoυl\ξ oloιcληρuιμ010 tη~ μoρφ~~ ι!". όιιου Ρ(χ) ιιolυώvυμo toυ χ ~α ι:ι"' R. Η) Έχουμε χημ2χdr -!!!x<-αw2x)'dr - _! ΧιΜ'2χ..!!αw2xdr! :rσw2x..! ημ2...c ! JΡ(χ)ημ(ax)dr Ι JP{x)σιιI'(ax)dr Ι Με 10ν [διο 1μόιιο υιιolαy\~oυl\ξ οlοιcληριί)μαtα 1η μoρφ~~ όιιου Ρ{χ) "olυώvυμo Χ ~αι " Ε R'. ίiί) Έχουμε Ι (4χ'.. Ι) ln:rdr - Ι (Χ'.. x)'inxdr - (Χ'.. Χ) Ιηχ - Ι (Χ'.. χ)!dr.! '. _(χ "Iι)1nx- (Χ "I)dr-tx..x)["x-7-Iι"C. Με tον [διο ~ρόιιo υιιoλo'ykoυμtολοκληριί)μαοtηι; μoρφ~. Ι! ".)"~... όaου Ρ(χ) "oluώνuμo Χ και" e R'. [ν) ettouμt Ι- Ι.'ημ(2χ)dr οιιόtε έχουμε f - Ι Ι.' )'ημ(2χ)dr - c' ημι2χ)-21.' σuν(2x)dr - ε'ημ(2χ)- 2fΙ" )'σuν(2:r)dr 'ημ(α)-u' σιιυ(2χ)- 4f'ημ2:rdr 'ημ(2x)-2.'σuν(2x)-41. Ε:ιομένωι;. οιι61ε 51 _ 'ημ(2χ)- 2.'σw{α)"C"

10 '" J QdOXΛHfQΠΚQΣ ΛΟΠΡΙΟΣ Ι orημ(ftr)ιά. f'-w'l(fh)dx 6"'011 αper'. Ζ. Ο "ληθυcιμ6ς Ρ(ι) o~ S 10 JILIl'i..6"η "01) 1fPOt"1J'4" cιiiπdινεiιo ιιη 10 οισνσηιτφν (ιlιξ6;νιυιι με ρυθμό (ι:ι. 6τομlll "'0<;) 1101> δivεtll. 116 τον 1";.0 P'(t). f"' CISt" \1 f ει.ω 11 lιριιμ6ι;.co. εη;;'. "ετ{ι '"' 1I11fXιDvcuaq. Ncι ΡρεθεΙ Ι) "ληθιιι:ιμδι; 1'1./) τη 1Ι6λη. ι χρόνιο lιε6. 'η "". Xιil"."O'η 11. τνφριζονμε "ληθ"ομ6ι; 1\α "01 K""i.η ''''1111\.ης Ο'1JτχdινnJΟ'ηι;. ΛΥΣ" Έχοιιμε jp'(t}dr Irt""dr ]0 f(t"")'rdr ]()co''''. ι - ]οj''''dt ]ou'''' - ~00.''''.. ε. 0>:6 ρ(ι)_ιοι""_ιοο."".ι. Τιο.ιι6:ιι"ιο c.r. Ό-ιαν ι.. Ο. 11 1Ιληθlιlιμ6ι; εlναι Σllνι~: Ρ(Ο).. ]0000 ω ]0<0' ' +c "'" ε.. ]0100. λρα 11 xληθυι:ιμ~ τη Ίι6ληι;. ι %Ρόνιι μετά.η nιτχώ'.'ειιση. ει"ιπ OλO~'λιjpωιιη με a'r'kariicrrll"1 Ρ(ι)" lοιιιι. - ]00t'''' Με εη μtθoδo autfi uκολούί~οuμε oj.ol<ληρ(oμιπα KOU ΙXouν 1'1 μκοpovv νll κ6: ρouν τη μoρφfι J!(g(K»g'(X)dr _ Η μέθoδo~ oj.ol<λfιρωoης με α/"ιςιτ(ιταη ι"φρ6:ι;ιτα με Ον a6aoueo τόκο Ο Kaριn:6:IιΦ Πίκας ):Ρηαιμοκοιεl1(η με την κροοκ6θεαη ότι ο oλo"λfιρωμα J!(~)dιι 'ou διlt<ιρov μέl.ouς ιικολου{ζεται cu"oaιntpa.

11 J ΟΛΟΚΛΗΡΡTlΚΟΣ ΛΟΠΣΜΟΣ '" Η ωιόδειξη του τ1iιoυ ιnrιot> στηρlζεtιl\ στο Υνωστό ιccrνbvcl ιι:φι:ιυώυισης σύνθετης συν(ψrησης. Πράyμιrrι crν F ι(ναι μιcl ιcιψάyoυσιι της f τό1ι ο F'(g(r». f(g(jt» ΙCClI 6:ριι Ι f(g(jt»g'(jt)d:t Ι F'(g(Jt»g'(Jt)dr. Ι (F(g(r)j)'d.t (oφou (F(g(r»'.. F'(g(Jtj)g'(Jt) ).F(g{Jt)+c.F(w)+c. (όjtοu W. g(jt) (λόυω τη (Ι) Γιιι ιιψάδε\yμ~ ιιι; υιcoj.oytσoυμε το ολοκλι')ρωμιι Ι 2JtJr' +Id.t θέτουμε w Jt' + Ι "ΟΙ ιjw. (τ' + Ι)'d.t. 2rd.tι oιcότι 10 οο.οιιλι')ρωμιι Υρόφtτιιl: "IN'''ιJw.!W'''+C.!{r' +1)'" +C fj{t'... 1)' +C. ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ Ι. Νιι υlloλo'fi"θo~. ΤΩ oλoιcληρφμιι1ιι "Ι". (t+~'j' (1) f<~u.

12 '" J QΛOΚΛHPΡΤJΚQE dq[iimoσ ιιγση ;;-"""... I~' J.'_!".---'-. ί) eι'ovμ.t ~IH' ΟΖότ (I.~')'... ~"tr. EIιIιμtνQις. J (Ι... )' 11 "ι... ii) ΈXOIlμ.t I~ J;::. ϋo~ cιν ΙΙooIιμ.t._σw:t". οιι:μι dιι.. (σvwγθ.. -ημrdιr tzovjlt: JΦ<tr.. - J; c.. -1rι1 ιroν.rl+c 2.1'111 ".ολιιυι.9ο1ιν ΛΥΣIΙ '" λ""ιι""1ι111 " Ιημ{1χ+'!}ά 11) J-'-'" ι-ι/l ΙiI) f.ήχ'-ι)"ά. Ι) θι!τοιιμι: 2x+i. οι61' ""'-(2"+i)'dta2dx. E1IoμΙν~ ημ(2:ι..-)b ημ(2:ι+_) ldr ημιιdtι Ι 'ι. 'ι ' OVI'W.oc_ --σw(2z--).c. ίί) θtlovμε ".. I-lz 0>:6'11...(I-h)'dr.. -Zd.t. ε"oμ.tvφι;. J--ιlιt.-- i l-b 2" ".--bιιl-αl... 'J" ίίί) θtt01lju ".. :.-' -ι _ότι"'.. 2m. ~ J ι ΟΙ-- ι J" 1- Ι J.. ;r(x -Ι)... - "... _(Ι -Ι).c Ν. "..~IO(>Y ιιι...ιιι."pdι".. "J2"..1 Ω 11) zι_~ 6 J X'-JX+7a. χ' -!Χ.6

13 J α/okλhpωtjκqσ ΛOΓIΣMOΣ '" ΑΥΣΗ. 2%+1 ι) Η σ"νάρτηση ι(χ). έl~1 1I~δ{σ ορσμσύ το R -i23) κα Υρ6.φιτο.l % -5:<+6 1(%). 2%+1 (%-2Χχ-3) Aνo.~ητoύμι 1Iρo.yμCΙη"0ός; ιψθμοός; λ. Β Ιτcι" ώcιτι "ο. ICΙ;(ilε' CC'~'C.C'" ' 8 Υιο.6.θι J'ER-{13). (%-2X;<-3j χ-2 %-3 Μι CI1Iο.λοιφl\ "ο.ρονομο.στών έχο"μι τιλκιι: (Α+Β-2)χ_3Α+2Β+I Υιο.κόθι %er-{2.31. Η τι4<0.(0. ι"δtητo. CΙx\lt Υ'" "όθε %ε R.. {2 3} αν "ο: μό ο ci\' f [λ Ι3Α+2Β+Ι. Ο 1\. ιcιoδό\ o:μo:.. π - 'J.. f-'.. f '.. %'-5:<+6 Jl%-2+;:j.. %-2 + χ-3 -SI0Ix-21+7Inl%-31+c Μι Ον lδο ψό1l0 ΙρΥο:ζόμο:"τι Υ'<Ι τον "ολου<ιμό ολοαηρωμ(ιτων 'η μορ ο. f ια+λ d:ι: με ρ' -4<>1"0 iί) Αν εκtιλtcιoυμ& τη διo:ίιn;oη του 1IOλ\ιlOV1Jμo" χ' -3%+7 με ο "oλuώμo χ' -5%+6. βρ(σ"ο"μι ότι!"'c-~':':."" 2%+1 %' -5χ+6 χ -5%+6 _ %-5101 % %-31+c (λόυω τοl> (ί». Μι τον Ιδο τρό1!ο υ"ολσyl~ο"μι ολοκληρώμο:το: τη μορφή f Ρ(%) ιb: ax' +fjx+7 ό1l011 Ρ(χ) 1IOλllώνuμO το" % βο:θμου μευολυτιροιι ή (σο" τοιι 2 ΚΑ ρ' - 4<> > Ι).

14 '" J ΟιlΟΜHPfJTJΚΟΣ ΛOΓIΣMOΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ λ' ΟΜΑΛλΣ Ι. Να ΌιιοlοΥ\aετε τα ολοdηρώματcιι ί) Ix'~-'dιι ίi) jj3x'-lz+i)r"άz. ν) f 4XW1'2.uά. Iiί) ν;) Ix'lnxd< lιπxdι< VH).. Ι'"" -;;-... \-Ι;ί) J.'σw2:<d<. ίχ] fx'ημrd< 1. Να Ιιχοloyiαετε το. oλo~ληpώμixtα Ι) Jημ3χdx Η) jt4x'-i6x+7)'tx-2)d< ii!) Ι ".3 ιι:ι: (;<'.6χ)' 3. Να "ιιολουιι:ιιτι 1CΙ αλοdηρώμιιtα ;) r 'TIw'dt Η) I~dx ίη) Ι ' '".'.. Ι ~ ίν) Ι " dj< (e' "IΙΙπ(χ' +1) Β' ΟΜλΛλΣ " Ι ημ2χ άι iί)!ψ.ιn(cnιν:ιι-)d< Ι.. σw'.. 1. Να uιιοj.oylαιτι τα oλoιclηρώματιι iii) fcnιν:ιι- x... ιh.

15 J OΛOΚιlHPΡUΚOX ΛΟΓ1ΣΜΟΣ 1. Να \)~oλoyiσε1ε τα ολοιαηρώματα ;) JJX' + Ι.Jdr " H)J'" JT;i ίiί) I><In(><'+I)dr. '" 3. Να \)~OλoylσεTε τα ολοκληρώματα ί) I><'Jn><'d!< Η) Ι(Jnη'dΙ iii) f~' σii\"' ιtι:.!) Ι ψdr J'. '" ~' ίί) Iαvν.t dr. Γ+αvν.t dr ημ'" ημ'>< iii) jημ'.n:tt '" ~. Μι τ/ ~ήθιlα τlov τ1ί~ν!-σvv1α ημ α Ι σvv'.n:tt.. να lr>iολoyiσε1ε 1α ολοιαηρώματα:.- Ι+σvv1α ~ ii Ι ημ'%d!< iίί) Ι ημ'>uw'.n:tt. 6. Με τ/ ~ήθια των τ1ί~1ov 1η""σvvβ _ ημ(α - β) +ημ{α + β). 1σwασvvβ (α_ β)+σvv(α+β) 1ημαηl-l'f _ σvv(α - β)-σvv(α + β) να Ό:ο;ολοΥ!σετε τα ολακληρώματα: 7. Να \)~oλoyiαετε τα ολοκληρώματα»j 1%-3 dr ><' -3%+2 ίί) J3%+1 ιb %'-3%+1 ίν) I+ιb. -Ι

16 318 J QΛOKdHP!lTIΚOE ΛOΠΣMQΣ 3.3 ΔΙΑΦΟPlΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ Στο 'ιιροη10όμινο ~ιφω.αιo ειδαμε όη. όταν τvωρ\'oυμι τη ouν!iρ1ηση θέση Υ_5(1) Ι"ός ~lνητo1ί. μ~oρo1ίμε να βρούμε την ταxmητα κο την ι~lτάlυνση του κινητού. now φ.oρt. όμωι;. ει. ο Υ"ωοτή η ται1ίτη1α v - ιι(r) ή η ι~ιtό ΙΌ"ση ι:ι. ι:ι(ι) του ιn"ητι:ιύ ~0.1 ητιlτοι η θέση του. Γιο..ιφάδΙ'Υμα: - Α.- ένο. ιnνητό Κινιlτο.ι ιυθuτράμμω<; με οτοθιρή τoχuτη10 c. ΥΙΙ:Ι νο.ροσδορισουμι τη θέση του Υ_ 5(1). llj)"ει να λύσουμι αις.pol;y την ιξισωαη y'.c. (' ) - Αν αι έ. ο οώμο μ~αι; '" lισκιιτα δόνο.μη F. F(t). τότι το σώμο κ\νιlτοι μι ε"τάχυνοη α _α(ι) η ο"οlα. αίιμφωνα μι το 2α νόμο τη μηχovιο;ή. διnτοι o.~ό τον τίο.ο F. "α ή. ισoδiί\'o.μα. F. "'Υ". όχου Υ- S(t) η αυνό:ι!τηση θέ αη του σώμοτοι;. Ε.ομέ αις. 1α να.ροσδιορισουμι τη θέση Υ" 5(1) του σώμοτοι;. llj)~ιι να λίιαοιιμε την ιξισol<lη "':Y'_F. Εξισώσει ό:ο:ω οι (Ι) ~o.ι (2) λtyovτoι δι0.90ρι"ι' ιξ\σφσιl. Γενι~". '" ΟΡΙΣΜΟΣ ΔΙΙΙ90μή ιξιιιισιιη λt1ιται "άθι ιξισωση "ou "ιριέχι τη μιτο.βλητή >:. μιο. 6;Υνωστη σu\'!iρ1ηση Υ- j(1l) "οι "ώιοι 0.6 τ".oρiη'ώyol>ς τη Υ'.Υ... Γιο 'ΙΙαμάδεΙ1μα. οι ιξισώαε" Υ' - 2>:. Υ'_ 2Υ. ει"α δοοορέ εξισώαει. Η μιyαλίnεpη α.ό η τάξει των :Ο:llj)α1ώ1ων :0:01> εμqονιovτοι στην εξισωση oνoμ~ται.6.ξη τη διοφοριο;ή ιξ(σωοηl;. Έτσι οι εξσώσε" Υ' _ 2>: "0.' Υ' 21' εl'αl δ'iιqομέ εξισώσε" χρώτηl; τάξεωι;. ενώ η Υ" +1'.. 0 εlνο.l δευτέριι τάξεαις Κάθε σιινάρτηση Υ- j(>:) :ο:οιι ιxαληθεuι τη δαqομο;ή εξισωση λt1εται λύση τη. ΙξΙαωση. Για 'ΙΙlψάδι'1μιι. η συ"6ρτηση Υ _ χ ε(να μιο λ"ση τη διαqoριο;ή ΙξΙσωση. Υ'. 2". QQOίI Υ'. (χ')'. 2". Το αίί"ολο 6λω. των λύσεων μια.; διαqoρι'rd" εξίσωση. λt1ιτα ΤεΥή λύιιη τη. ΙξΙσωση.

17 J OΛOMHPΡTIΚOΣ ΛOΓJΣMOΣ Για ιιαράδεlυμα η 'γιν" λ6"η ης Εξί"ω"η Υ' ElVD.l η Υ":Ι' + ~. ~ ε R Σιιχνά ζητάμι ιlctινη τη λό"η Υ"!(χ).ης διαφαρ" ιξl"ω"ης ιιαυ ικανοιιοιιl μια ιιριική cιννβήki Υ"!(:ι). Για να βpoaόμ.t τη λόοη αντή βρισκονμι ιιρα/. α τη Υιν" λ6"η τη ιξl"ω"ης κω μι.η βοήθεια.ης αplrι\ς αυνθήιιης ιιρο διaρlζoνμ.t.η ςη.oόμ.tνη Ι6ση Γ\ιι ιιαράδεlυμα η Ι6"η Υ- ι(:ι).ης διαφορικής ιξl"ωσης Υ' _ 2:ι ιιον κανο ιιοιεl.ην αρι'" σν\'θή"'1 /(1).. 2. ~Iνol η αυ\'άρτη"η Υ" "' + Ι αφο6 αιιδ.η Υινl"1Όση Υ_χ'+ΙΥια χ1 και Υ_2 ιlναι Ι.Ι Σ.η σννέιιια βα α"ι"ιηθοόμε μδ\'ο μι δοο Ειδικές μορφές διαφορικών εξισώ σειον ιιρώ.ης <άξεως: Τις ιξισώοειι; μι Iωpιζ6μ.tνις μιtοβληtές και '" Τις Υραμμιd.ς διοφορικέι; εξισώσεις :ιρώ'ιηι;.άξεωι;. Δ ια'οριiiές ι:ζi1ιjl1εις μι: χωρ(ίμl:ι'r.ς μr."οβλ'1"ές Έιιι οιιαδεlιεl ΙΙΕιρομΟllκά 6τι Ο ρυθμός μιταβολης ως ΙΙΡC<; το :ιρό\'ο.ου ιιληθνσμoίl Υ- Ρ(ι) μιιιι; ΙΙΟl\'ωνlαι; η οιιοlα δεν ειιηρεάζιαl οιιδ εξωιριkαi>ς ιιορό:υovτες ι(νοl ανq)ουος του ιι1ηθυσμοό. Δηλαδή lσζ6ει Ρ'(ι)_οΡ(ι) 6ιιου α βιη" σ.αθερά. λν Ο αριικός ιιιηθυαμός lης ιιοl\'ω\'lο Είναι Ρ" δηιαδη Ρ(Ο) _ Ρ. 'γιο \'0 βpoίlμι lον ιιιηβυαμδ 1'(Ι) 6σιιρα αιιδ Ζρόνα ι θα ).ίισονμι 'η\' ΙΙαΡαιια/'ω διαο;>αρι"'" εξlαωση Ειιι.δή Υ"' Ρ(Ι):> Ο η ιξlσωση Υράφιο\ Ρ'(ι) --Ο Ρ(Ι) οιι6τε αloιάηρώ\'αν.αςκαια δοο μέλη της έιονμι διαδαιιιιά: [ Ρ'ΙΙ)ιΙΙ -Ι'" Ρ(Ι) lηp(ι)_αι.. ~. Ρ(ι) "... Ειιειδή Ρ(Ο).. Ρ. ειναι ~_p. οιι6τε Ρ(ι).. Ρ...

18 "" J OιtOKΛHPαT/KOΣ ΛOΓlΣMOΣ Η 1<αρwι<1νω διςιφορκή E~ίσωση λtyιτα δcιφoρή εξίσωση με χωρζ'μενις μετιιριiτές. ΓΙ\"1<eι. ΟPlΣΜΟΣ Διιισρή εξίllθιι" με l<oρl~6μενε'ί μttuριllcς λtyιτα/ "oiθε ιξίιιωση της μορφής 6.0" Υ" /(1l) η άυνωστη σιw6ρτηση. α(υ) o..\'δptiicr'! ΤΟI> Υ "αl β(ιο) \lνoiρ. TηCIn Το\)... Για να λiισoυμι; την εξιaωoη αutή oj.oκληριilvoιιμεκαι τ(l δοο μtλη ΠΙ'ί ως ~x. ΈXOlιμε J"'(y)y'dr.j P(I')dx. ε"ιδή Υ" /(1:). ε[νιι ιή-.1{jl)d:t.. ΥΊh 0.6Tt έχουμε Ιa(J'}dy.. Ι P(x)4Jt. (2) Αν Α(Υ) ειναι μ'cι JtαρoiyouoIl σ(υ).σι Β(χ) μια Σαρ{ιΥο"οα της β(1() πι η (2) Υράφεηι. A(y)-8(x)+c. <ΕΚ ο ΑΊιό την ΤΙλειιτοl1l εξlcιωcrη 1<ροοδορΙζοlιμt 1η ΥΙνιτ/ λύση της διαφορική εξίσωσης. ΕΧΟΛΙΟ Η σότη1ιι (2) μας Ι1<ΙΤΡΙ>ΙΙΙ να 1ρ6φοl>μ& τη διαφορική εξισωση (1) "τ/'" ~ά.u"η" μoρqoή.ης a(y)dy" P(x)dr "αι να ολοκληρώνουμε τα μέλη τη'ί. το μεν.ρώτα μέλος τη ~ 1IΡO~ Υ. το δε διutερο μέλος τη~ ως 1Iρ<tς:ιt. ΕΦΑΡΜΟΓΗ Νυ λvθοόν ΟΙ δισ..oριιέ~ εξι"ιίι".ι!; Ι) 2Υ-.ι:;ν'.0 ".0 ιισ.ι Υ>Ο 11) Υ'. 2.ι:;ν' Υ. Ο 111) "'+»'.0 Υ>Ο.

19 J QΔOMHPΡΠKOΣ ΛΟΠΣΜΟΣ " Α γ~'h. ί) ~ καβ!να αaό td. δια";ιιlιατα (_Ο) Ίtα (0+00). η εξίσωση Υρό:φεlαl: '.. -Υ -- Υ --"- Υ" -ιjy Υ ιά. j;dy. Hdr ο o '" Υ.. 2'" ι.. ι <-C.. "''''' <-C. "ο " R Y..t... t" ~..... ".-' c>o. λρα. '" καθένα Ilπό τα δ1l01/ίμlllll (_Ο) κα (0+"') εινα y"u' όποu C>O ίl) Η εξισ"ση τρ(ιφεται: dy.. 1:1')" "~ _2rdr. o Υ Ι;'-Ι 2.rdr --.. :ι +c Υ λρα Υ"--'-' όκσu cer (Σχ.1)...'+c ίίl) Η εξι"ω"η yρ(ιςntαι δlαδσχ;(ι :Ι+ΥάΥ -ο " <. o ' Υ' :ι' _Ο Η..'+y'"c. c>o ο :ι.ρα. Y"~' c>o (Σχ_ 3)_

20 J ΟΛΟΚΛIΙΡΩΤιΚΟΣ ΛΟΠΣΜΟΣ Γfιaμμl~ i. διr'φιψιι..iι; ι:~ισιijl1ι:ιr; π"ιύπι. τάξε"_ ΑΛ6. τη Φιισική Υ"ωρίζοιιμε 6η στο Οlκλa δ "';~λωμιι ιιιχ\ί{. 11 κανό"ο τοil KicrbbofJ. Δη- Ι.οδή. ι. ιll(i) +R./(tj" ΠΙ). " (Ι) ΓΗ' να.ροσόορίσουμε την έ'αση. 1(1). ΤΟΙΙ ρε~μoτoc; διορρέει το ocίi"ί.ωμσ. εί'ιι "-(ί Υ"η "Ο J.όσοιιμt τη δισφορn;ή εξίοα/οη (Ι) Η εξίσωση auτiί. μυετο Υραμμική οllφορ.ή εξιοωση χρώτηι; τό.ξt~. Γι"(ι; ΟΡΙΣΜΟΣ ΓρlllΙ'I"1i (ι.o..op'''ι'i εξιοmοη Ifρι:ί>.ηι;.ιίξι... λtύε.αι 611ε εξίσωση τη. μορφής R. 6110υ.ν" j(r) ει".. η φα/στη ouνoiρτηση "α ιι(χ). βιχ) ouνιψlήσειι; ΤΟ\l Χ. ΓΗ' τη'- ε"αιιοη τη εξίσωσηι; οllηι. - Αναςητούμε μια 1Ιαρ{ιΥοιισα Αιχ) τη οllνόρτησηι; σι..).." Ι""το - Πoλλα"λασIiζOlιμι ΤI1 μέλη τη. εξίαωαηι; με >1(.). "Ε.οι. fxoujit δ0οο;(..; Υ'Α( ) +(...')'. Υ. β(:ιι:~a{. (ΥιοΑ{')'.. β{:ιι:~λi..'...α(.ο).. B(x)+c ΕΦΑΡΜΟΓΗ 1. Ν" η δ...ορι; οξl"t'i"η.1"+%.1'''1.

21 J OΛOKΛHPΡΤIΚOΣ ΛΟΠΣΜΟΣ '" ΛΥΣΙΙ El:εlδJ'Ι μια.. ιφάυουσα της σ(χ). 2 ειναl η A(x)~ 2χ. 'ι:ολlώασιάζουιu "01 τα δvo μέλη τ/'ί εζlαωαης με e". Έτοl. έχουμε διαδοχικό ye" -+- 2e" Υ" 2e" (ye")'~(e")' )'1" e" +c ΑΣΚΗΣΕΙΣ Α' ΟΜΑΔΑΣ Ι. Ncι λlίσετε 11 διαφορικέ εξιοώοεις: ;) Y~""';ιy' Υ>Ο ίι) y'y.. r Υ>Ο ίν) y~e-'σuw:. 2 Να λiιαετε ης διοφο1'κές εξισώσει: iii) y'+y_2r ίι) y-+-2y.e- ίν) Y+2;ιy.. r. J Να βρεlτε 1η λlίαη τη δlcιφopι'(ής εζισωοης Υ ~2r' Υ' Υ < Ο τ/'ί oι;oίq'ί η Υραφ'(ή ><ιφ(ισταση διέρχεται 0'1:6 το σημειο Α(Ο-3). ~. Ncι βρεl1ε τ/ λνση τη δlιιφορl'(ής εξlσωαης y~2-)y.. ου IKOVO 'ι:οιιι τη ouv&ii"'l Υ(Ο).. 2/3. ~. Να λlίαε1ε ης δηιφο1'κέ<; Εξισώσεις: '.] ι)" +-- ~ OW'X αιιν'. ίί) (Χ-+-])Υ'+Υ"Ιηχ αν Ι Υ(Ο).. -3 Υ(Ι).. ιο.

22 '" J ΟΛΟΚΛΗραΤιΧΟΣ ΛOΓJΣMOΣ Β' ΟΜΑΔλΣ Ι. Η ένιαση του η41c1ρι~ο~ IΚUjIatoι; Ι σε ένα η4ιπριιcό ο;6ι;).ωμα ηα ~ "οχοιιί τη ε~la"η ιjι +Ι"ημι Α- 1(0).. 0. "0. βρείτε την Επαοη I(ιj. 1. Να βρείτε τη "όση τη~ διαφορικήι; εξίσωσης διέρχεται οημε{ο A(2.1). 3. Να "iίoετε τη οιιφορ"' εξίσωση Υ --.ν_χ. ye' Υ'" ε". η 01<010 ~. Η "λiση της εφα"τομέ>ης μια Ύpaμμ~ι; (C) με εξlσωση Υ-Υ(χ).1'>0 στα σημείο Μ(ΧΥ) ε\'ο ίση με >Υ. Να βρι:lτε 1ψ εξίσωση τη. (C). α' ει"01 Υνωσ.ό όη Ο'ΙΡΙΙ1Ω Clιcό 10 σημείο Α(Ο Ι). ~. Έα." ap.;.t'r οταθερέ. με 'ι>λ:>ο. Ι) 1'10 λί>οειε την εξ{οωση Υ' +ΟΥ. ~.~. ίι) Α Υ. Υ(ι) ε!'ι:. μια Ηση της εξίσωσης. "0. αιcoδείξετε όη ισχύ ει _.. limy(').o. 6. Έχε α"οδιφει "εφoμαηιcά 6η α pυθμ~ μεταβολή της &ερμο"ρα σίαι; θ εν~ σώματος. διct\' αυτό βρι:θει σε ιιερβάlλo\' στo.θερή~ θερμσ"ρq.(llo.~ Τ με θ> Τ εl\'ο.ι dθ - k(o_t). k>o. " Να βρειτε τη θερμσ.:ρασιο. 8(/) αν 0(0) Ο ιιληθιισμ6ς ρ. Ρ(ι) μ'ας χώρο-) IIt1Q.\ o.ottiκ με σταθερό ριιθμό m > Ο. Δlνειο.l όη ο ρυθμός o.όξηση~ τοil ιιληθιισμο" Ρ_αν "ν ιιιιήρχε η μετq.\'άσιειιση θα ήιq.\ α.ό;).οτος το" Ρ. ;) Νο δl"o.lσj.σyήoειε άη Ο ιιληθιισμό<; Ρ α\ σιισ.1 τη. εξίσωση Ρ'. kp-m. k> (Ι σταθερά. ίί) Νι> βρείτε τη σ\"oiρ'ιηση ρ" Ρ(ι). ον Ρ(Ο)" Ρο ίiί) Να ο.ιιοδείξειε όη: - Αν m <kp τότ& ο ιιληθιισμός ο.ιιξ/n ιτο..

23 J OAQΚdHPDTJ{QΣ ΛOΓIΣMQΣ Η' - Α" > *Ρ. τμε ο dη8doιι6ς lil""taι. - Α" _.ti'. τμι ο dη8doμ6ι; ι;ορομtn' οτ08ιρ6ι;... Έοτω y-t(lj το οίνοι; ΙCΙ' V_I'(r) ο ό'ι'ιοι; tcιi>"tpov II'CI( Νξο.μι 'I1't~ τη xρovι!dj σ"l'μ~ r. Η kξο.μι'l1't α.sι61;ε ισ:6 μο Iα/d'!dJ ορι εμ~α.δoό.. J:O" ~pιoατo' οτο" ξl>&"ινcι τη~ tiiiiqiiwo μι το ν6μο 101> Torri~clli ο ΡΙιθμ6ι; με10βoλ~~ 101>6y01> 101> νεροό ε(\'(ι' di '" fD1. = Β - 10m/I Ι) Αν. kξομει'ij ει"α/ Ια/λνδροι μι ιr.-ας 3.611Ι. om'"o 111ι "ΟΙ η omvo"" Ο.-ΙΙ ιlναι Ο. Ι 11ι. νο (zi(σόιι~τ" ότι.0 J' Kcr.'OΣOιd ΠΙ" εξίo/iiωii 1 15 ι; ίί) Νο ~Iu..o Wo<; " t(i). ον IWIll ότι" XΡOVΙrι\ "yμfι -ο η k ξοf'cv1\ "τον 'fσl'άnι. Ι Ι ---::---.) ίίί) Π6<ιοι; Ζρ6νοι; 10 ΙΙ'Ιοσ.εΙ 10. "ο οδε{ιοι u.utι8ς; η kξομ.rvfι; ΙΔΙ"ιτο Μ ο 6Υκοι; 101> ΚUλι"δρol>ιΙνιn V...'.). 9. Έ"cι<: ~ιιμotoδιlτη 01<0 u.ulto 0.1<6 μ'ο μ"οτο ριο κο tvo\' ""ΊC\'<Ot~. c \ ώ η κορδά..01ι;ι το ρlij..o τη Ο\"Ιlοτοοη ~ φιι\νε.ο. οτο σχήμα.. Ότον Ο δο"ό.τιι S IIt:ιΙ- Q σκlτιn στιι ΙΙΟ1Ι Ρ. ο... Κ'\'Φfι~ lfqpriι;ιtoι ~ ρ C Μον ~OατΩl στη 8t01l Q. ο ξl>"""~ ικοορτ!- ε. ψσι "σι Ι;ΡΟ"1\4ί ql.ιr:τριύ ερttιoμιι σπιν.ιφδιιι Kιn6: πι δt~"'o ovtiι ot1ft' "ιφδι6: t..ρμόςι:.αι 1ur:τικτqmrι\ iό'ioμ! ε."" '..."""""1 ΠΙ" ιξιοιωη '" -;t"- RC E Ι"""". 6ι;σ1> R C στ08ιρ4. 1'10. IIt:ιtlτι. "ι" Ε(ι). ον ΕΙ"" Ε

24 '" 10. tui'qlll\'cι με 0\' I<UIIό\'CΙ rou Κin:hhι>ff 1'Q ΤΟ ""κλωμl1 τoll δι >::l.α\-oό <JlI\μιncιι; ισxιίn ~ L dι +RJ_E(I). J ΟΛΟΚΛΗΡΟΤΙΚΟΣ ΛOΓJΣMOΣ ε i) Αν R.JW Ι.41f. E.6OV σ} 1'0: lιρειτι τιμ' ένταση f(r) rou ρεuμαro;. sec μεt(ι το κλclσιμo rou ocu!c16>ματος 11) "(Ι βρεiτε το J.i.~ Ι(/). 'Π <JIIμ.uρα(om:: ίί) Αν σto ΙCΎιdωμα ιι-'t! 'Vα/ μωto:ρ(α -ωι) δiνει oταθr.ρή ηλιnρεyφnd) δ1ίvιψη ε XΡΗσ1μm;go~σoυμε μια -Υεννήτρια lw1j δ!\'a Ε(ι).. 6Oιlμ3ι. \'<t βρεiτε τ/v Μαση J(ι). 3.4 ΟPlΣΜΕΝΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ Εμ(i(Jό6" :ιαριιβολ.χσύχωιιίσυ Έστω όη &έ~oυμε "11 βρο';με το εμβαδόν του χωριοι> Ω χο... xιριιcλεlετp.ι αχό τη ΥΡΟΟ'ιΠί χιιράο1αση της οl>\'άρ1ησης /(χ)_..'. τσ- <ί~oνα τω\'" "σι τις ευθείες >:.. Ο κο :r.. Ι [nιpoβolιc" χωρίο'σι. 5). ο Ο Μια μέθοδος ι'α "ι"ooεyylcιoυμε το ζηtοlίμεl'ο tjifiaml' ει"αι η εξ~: Χωρίζουμε το διάστημιι [Ο.Ι] αε ν lοομή"l ΙΙJιοδιαοτήματα. "Ij"Ol>\: Δχ..!.. με ά.φο τα σημεια:

25 J OAOXΛHPDTJKOI ΛOΓJΣMOΣ %.0. %.- % %~I -- %.-.1. '" Σιημαttζοuμε τα ορθογώνα με βάοεις τα "ll;οοααη')ματα tiul" ~α ulη την ελάιατη τψ~ της Ι ι:ιε >:αθένα tiu. tiuta. (Σι. 6). Μια χροοέυυιοη tou εμβαδού II;OU ζητάμε είνα to άθροιαμα. ε. των εμβαoώv των ιιφαιά'.'ω ορθογωνίων Δηλlt&~ το: Ι ~')' ~')' ~.-')' ε /(0) ο ννννν νν Ι "..-[Ι (ν-ι) ] " Ι (ν-i) 1'(2ν-l) 2ν' -)ΗΙ ν' 6 6ν' Αν. τώρα σιηματlοοuμt τα ορθουώνια με βάαε.ς ta ιι:ιρωιά'. ω uιοnιαατ~μαtα ~αι όο;ιη τ/ν μέυσtη nμ~ tης Ι σε >:αθένα 0%' auta (Σι. 7) τόtt τα άθροισμα τω\' εμβαδών των ορθαυω\'lων ΙΙΥτών ε(.ιι μιιι α~άμη IΙ;Ροσεπιση 10Ι> ςητoίlμενoi) εμ βιιδοό. ΕΙνιι όμως. Q " cll...!...α' +2'... +ν').. Ι <'(ν.. I)(2ν-ο-I).. 2ν' -ο-)ν.. 1 ν'.' 6 6ν'

26 _ω Q '" J QΛOΚΛHPΡΠKOΣ ΑΟΓ/ΣΜΟΣ ΤΟ 'φούμε-ο όμως εμβαδόν Ε βρ{σ~ε.aι μετ~ύ.(ov ~. ~α' Ε. Δηλιιδ1\ ι σxύει~. S.E<;'E.. olιόι Αν. τώρα. αχημοτιοοιιμε το ορθογώνια με βάσεις το.ιψαχ( ω Iιlιoδltlαt"ήμστσ ΙI~I.:Ι.]. ".. Ι 2... " κοι ίnιι'η 'η'- 11)11').ης αυ-(φτησης οε o"oιoδ~.oτε ενδιόμεοο "η. μειο ζ. " "αθε"~ διιιοτή. μοτοι;. (Σι. 8) τότε το όθροιαμσ S. 8- f((ι)+-!ι()+ +-/(ζ) ων εμβαδών τω" ορθογωνίων ου')' εlνι;n μια olιόμη _Ροοέπιση το" ζητούμενοι> εμ. βαδού. ε.εδη!(r... l)s/(ζ.js.!(ι.j Τσ 1<-\2 _.. 9αε( 0 (!) ιτω ΛI~); - {(ζ) s. - f(i<). ε.ss.:ι:ε. ΕI'α. όμως. lime... lim Ε. _Ε. λρα θα ισχύει lims.ε. -0._.. Ορισμό; εμ{fu.διιιί Έστω f μια ΟΌ"εχής ''''''άρτηση σε έ"ο διάοτημα [α. Ρ]. με IιI)~O ΤΙΙΙ Ι(άθε xε'!<'.pi 1<01 Ο το χωριο κοιι οριςετα ακό lη rραφd) καριίαααη της f. te»' ιί~α'α τω\' Χ ~α\ Ης ειιθειες Χ." Ίt. β. Γα 'α ορlαουμε 10 εμβαοό" ΤοlJ χωριοlj Ω (Ιχ 11) ερυαςόμαστε ό1ιφς στο κροη Υοuμε"Ο κορόοε\υμα ΔηΙαδή: ο..~\9..- ~ I\l.) '" ~"..t " t_"-"t. - x.t-~

27 J OιlOKιlιιegTJKOI ΛOΓJΣMOI ". ΧωρΙζοιιμε το διάστημα [σ.βj σι v σομήιιη II~Oδιιι.aιήματo μή"ο"'ό β-ο '''--. με τσ σημεια σ... <"'ι <... <.. <... β. Σε "άθε li~oδlάoιημα [...ι... [ ε:<ιλtyollμε αιιθαιρε1α ένα σημειο (. "αl σχηματ!ι;οllμε τα ΟΡ&οΥώνισ :<011 έχιι"" βάση Δ... "α όψη 10. /{(.). Το άθροlσμα1<οv εμβαδώv τ<ον oρeoyιovl<ov αιιτών ει'αl S ~ /{()ΔΗ/(( )ΔΗ-"'+1((.)':1... " [/(( ) I(OJΛ....- V:<αloylζοιιιu ιο lim S. A:<oδεl"~τα ότι το!~~s. ιιχό.ρχει σ10 R "αl εlναι α"εξάρ'ιηιο α~ό την ε:<ι10' Υή ι<ον σημεllo" (. Τα όριο αυτό ονομάζειαl εμβαδόν του ε:<ιάδοll χωρlοll D "α σιιμβο11ζειαl με E(U). ΕΙναι φιιιιερό όl1 Ε(Ω);ι:Ο. Η l:.νι'οla ΤΟI> οριιιμέl'οl> ολο~ ;.rιρώμarος Έοτω μια σ"6.ρ1ηση f σ 11 v ε Χ ή στο [α.βj. Με το σηιulα 11 ". < " <" <... <".. β χωρlζο"μt τα δάστημll 10 β] σε V ισομήκη li~διαβ-ο οιημα1ιι μη"ο"'ό Δ... i7:' rτp;' 1'\...ι. -(... " : L...:Δ'....l.... Στη σll'έχεiο ε"λtyo"με α"θιιίρι:τα. ένα. (. ~ [ Υια "άθε ~ΙI.2._.. ν). ι<αl σχηματιζοιιμε ΤΟ άθροισμα S. _!«(JJx+!(()Δ !«(.JtJH" +!(ζ)δχ 1001<010 οllμβοlιζι;τα/. σ""τομο <Οι; εξή: S." Σ/((.)Δχ"'... '" τ. ι.ιtι-μo _ """Ι"!Υ'" Μ~ RlEMA.'"!<

28 J 010/(ιlHf'QTIKOE ΛΟΠΕΜΟΣ ΑJ;οΟι.I(\κ1l1:1 6π. wto άριο tou IItpoίcιμιnO!; S. iηj.obίi to ~/{{.)u) (Ι) ""Ιψ1Ι' OtO R "I't ιίνο. O"ιξlψl~lo "ι. lην fj;ιλo-ffl iιιw ιl'δ.όμ.ι:οιιw cιημιί"'" Ι" Το J;Ι;ΙΡ1XJ;6'ο'1ιι (iρ.o ( Ι) Ο'ο'ομάζιτοl Opllt"O ΟJ.o"ι.1\...IιΟ 1η. cιvνιιo... CΙ1)I''ι>' tiicιii. f OJ;tI 10.. CΙ10 β. CΙυllβoλl~lo. μι J:I(z)d< "ΟΙ διοβάζι101 "ο)"ο")ήρωμο1~' Ι ΟJ;ι cιo.. Δη)"οδή rf{x}dx.. ~(~I{{)Δt) Το WlljloJ.o J _i4tclι CΙ10V Lcib.iz "... "' Oμιi:ζ.no:ι flί.ι. OJ.oι<lήρωσl. AVΙό ιί"οι cajiiιt<iwoιι 1011 CΦ1;ιιιoV 7P'IIIICΠoι; S ΠΙ. Uξικ 5"... (681'0'0110). Οι σρι81οι ". oνoll~αt 'ρι. 1'IIi oloιω;ρuoης.. Η Μοιο "άρiii W ιiιiι kν Ιιιι "'" ίδια. t_o 1011 οριο "" aoαlcrίou. Σπιν Ι"9POCΙ" rf(r)ιlr to yp6:1ij1cι:ι ιι". Ι"ιι μnιιjl.ιlτli "01 μoρd να CI'I'tι"ιnocπι:rkί ΙΙC OΣOIαδήurι:ι ιίl10 7Ρ61111σ.. Έ4\.."ΙΙ "cιράki711α.. ΟΙ Ct<φρ(ιcιιιι;rf{J;)ιIr. r1(1"* CΙ\lJl~ 'ovν 10 lδο oριcι.πo oj.odfιpιιιllii ".. ΙΙ"ΟΙ qmrfllιnισόi; CφΙ81όc;. cιι 0''Ti8coιι μι 10 ff(r)dz "ον ιl... t-o. m~j.o O1I'!'cιp1ήouιw. Eivcn. ι.jiidi;. XP'\OIIlO 'Ο Ι"Ι1<1ιίνοιιμι tov ιιαριuι6'ooφ οριοlό "ΙΙI ιιιρ1 ιιιώοιι. J;O" ιίνο. > ή cι.. " φι; ιξή.: J: 1(:Ι)ιb:cι-rf(:ι:)dx r.!(:ι)dx_ Ο ΑJιι. 1011Ι; αρcιllo6ι; ΙΟΙι ιll~ίι αρ σμtw!u ol.odlimbilclioι; φα-.:iιrι:ιl 6'<1: Αν l(r):to."ci 6k zoιιcι.li. 16'<ι το 010 ι<l-ιj~0 riwιt:ι δίνει 10 ΙII~ Ε(Ο) ι"" tφρicnι Ο "" ιιιρι~o:ι _ ΠΙ -ρcι...ιcιrι ιι0ρ6ιnooιι nκ f toν 6ξovcι r'r ιιαι. ΠΙ; c1lkkι; r _. ιιιn r.. ([ι. 11). Δ"J.oδfι ffιζ)ιtr-ε(d) Θ ~. : Q : ο. Αν l(z)~o 16'<ι r!(z)d:ι:~o.

29 J OιlOMHl'QmQΣ docjσmqσ '" ΕΦΛΡΜΟΓΗ Νο 01106" ι:cιtιι ήβ - σ) 'Υσ οllο.ο6ίllιοτ "Ε R; ιιn(jjtί~ιι ί) Αν α.β τότε rι:dr"o"ς:(α-o).ήβ-o) ίί) Α' ο < β τότε. E1lELIfι η /(Ζ)"" είναι OUVtIfI~ οτο [ο.. β Ιχoιι~ε β-ο.1;m--lf(~ί)+ /(~) [(οι ~. ν..1 β-ο ) ~-.-(C+C+"'+C) iίί) Αν α>ρ τότε ~ β-o ) _Ιί -_." -cι.β-α) ΣΧΟΛΙΟ ι: ι:dr - - ι; ι:dr - -l'(α - β).. c(p - Αν <'> Ο τότε το rcdx εκφράζει το εμβαδόν ε"1ι<; OΡθoyωv!OΙΙ ~ε βό.ση β-α κα! ι1ψοι; " (Σι. 12). ο β 1δrηTΙ:Ι; ΤΟ\) ορισμr."ιιιι ολωι;.'1ιιώμο.τος Με τη βofιθεα ΤΟΙΙ ορισμοι1 τσυ σρισμένοιι oλo"ληρώ~στo'ί αllοδεllm'ιστοi τα ΙΙαΡακό.τω θεωρήματσ.

30 '" J OΛ0Xι1HpρTlΚQE ΛOΓJEMQE βεοημλ ι. K~ τc:vιιc6: Llif( ιr)ιφ-λι:!lr)ιl:r+jii: r<..)ιt.r θεπ'ημλ 20 I:Ι(Z)ιh-ί ιωdx.. Ι:!(.. )ιi:r-- CμK)ιb:+ r!(z)ιh ).1. ~ Ι:ΗΜ.Ι:ΙΩΣΗ Αν!Ir) 2: Ο "... < 7 "' (Σι 13). rι "cιpιι:ι:o&.... ti{m"o i~ufyttm: _ό Ε(Ο)- ΕΙ"). ΕιΩ ) E(o) f/{z)otr. E(Q) CI(r}th ~ ' ρ Q Θ Q θι:οi'ημλ.jo ΈΟ'IΙΙ!IΙIΩ.. u V.. 1 ιt """Qpt'lO"II οι tv.. δ6σ11lilο; Αν f(r):l Ο ΥΙΩ "Iitι " "1>1 η οll'<άριη..i Ι kν '1_ KlWtoV liηδty ':10 δt6:citlμιι cι". 10.6" L/l7:)th>O.

31 J OAOMHronKOI ΛOΓJΣMOΣ " ΛΣΚΗΣΕ/Σ Α' ΟΜΑΔΑΣ Ι Αν!'ιΙΧ)dr-9Ι:I(Χ)dr811 1(01 r/(x)dr-n να β~l.ε 101 ολοο.1.ηρώμα1α: Ι) ι: 1(>:)dr ίιι r. /(>:)dr ίίϊ)!' /(>:'}dj: i\') r. I(>:)dr. J. Να ΙΙ1ιολαrlιιετι τιι Ι( έτοι ώο'ε Ι.- ' --ό>- Ι" --ό>" >:'+1 >:'+\. ί)!'f2/ω-6g(χ»)ιtτ ίι) (01(>:) - g(x)'}dj:. 3.5 Η ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ F(x):= f: f(t)dt Ο ιι_ολουισμός ενός ολιικληρώμα10<; f: I(>:)dr "α1ειιθεlαv σ_ό tn\' ορσμό ειναι ιιu"ήθως μισ δύσ"ιιλη "αι _nliί KO_αστιΙCΉ διαδικασία. Σ.ην _αpάypαq('l αιιτή θα αvαζηήσαιιμε τρό_ο υ_ολουισμού 0I.oο.1.ηΡωμά1ω χωρίι;.η χρήση 10υ ορισμο». Σ' αu16 θα μαι; βοηθήσει το Ύ"ωσl6 ως θ ε μ ε 1 ι... δ ε ς θ ε... Ρ 1/ μ α 'Ο 11 ολο 1 1ρ ω " 1(0 ό 1 Ο l' σμ Ο ό. Η ""όδει~η 10\1 θεωρήματο<; αιι 10» σlηρι~εtα σ.ο ε1ιόμε'α θεώρημα.0 ο_οίο μαι; εζασοαλίζει την irι:αρξη 1ιαρlιyouσαι; μαι; συ"εχοιίς σwlψ1ησηι; Ι σε ένα δlιστημα Δ

32 '".J ΟΔΟΜΗΡΒΤΙΚΟΣ ΛOΓJΣMQΣ θεορημα Αν Ι ε!ναι μια σuνtx"ις αvν6ρτηση σε Αν" δ(ιοημll Δ κα σ εlνιι. Αν\> Ο1ημε(ο Οι> Δ. 1Με η συνάρτηση είναι μια >:apά'rouσa της! 11'0 Δ. Δηλαδή o)';\iti: ([/(1)41) _/(..) yιo:ιιlιθε "εδ. ΣΧΟΛlλ (J:ημ'tdt).. ημ'. E>:""".ιi το σ1jμ1lιl'ιισμll του Ίιαριιιι"\'ω θεωρήμιιο!; liρo'cljtttl (Σι. ] 4) ~ εζής: F(HIι)-F(x).. Γίωιtι :0.10. Υια μι.ρ" /ι;> Ο είναι 0.6Tt -Εμβαδόν '111> χωριο\> Ο. "/(r) /r. Υια μιjφ'; Iι>Ο. F(r+Iι)-F(x).. f(x). F'(x).. Iim I"(H/r)-F(x)..f(r).~. lι"α (IΙπιdι) ]n". ο ::J!!L:Θ ~! :0: " :' Ar)' ' " ' " ' Α.6 το Jι:αριn:ά\'ω θεώρημα "ο. το θεώρημιι :JIaραΥ<i>y'οης σύνθετης συνάρτησης.ρο"';"τ&ι 6η: (L'" Ι(Ι)ι*)..!(ι(Ζ»).. (r). με την.ροσ>ιόθεση όη τα χρησ1μοιιο\ο6μ.ευιιαόμβολιι tx\l1>v νόημα. Για _αράuiυμα ([' Ι" ιιιι).. (lη χ Hr')'.. (3 (nx»)'.. 9..' Ιη r θεωρημα (θεμελιcόδες θειιιρημσ ο"ιιλο"ιηριιιηl<ού ).ουισμου) Έσ.ω! μια σuνεχf)ς "υνιψτ/αη ' ένα διά"τ/μα (α.β]. Αν G.\ναι μια..αpά"yo\lctct.ης! "to [α.1ι t6tt J:!(f)dr _G(β)_G(αj

33 j OdQΚΛHpρΤΙKOΣ doγjσmoσ '" λ"οδεi3η Σύμφωνα με το "ρoηyoiιμι:νo θεώρημα. η ο"νάρτηοη F(..).. Ι!(ιΊ</l είνα μια :JIαράΥο"οα τη~! οτο ]αβ. ε:jιε'δ~ "α η G εί'αι μια :IIuράyo"oα τη~! 010 [αβι θα lι:jιάρχει cer TtTOIO ώοτε G(..)_F(..)+c A:JIII 1ην (Ι) 1'0... α tιοιιμε Ο(α)" F(o) + c.. [ΙΙΙΊ</Ι + c.. c O:llόtt c _ Ο(α) ε:jιομtvως 0(..)_ F(..)+O(o) o:llll.l ΥΙΟ... β tχοιιμε "αιάρα Ο(β) - F(P) +Ο(α)_ r. j(i)dr +G(o) Ι: Λι)ιΙι - Ο(β) - (/(α). πoω~ φoρέ~..α να αιιλο1l0i)001lμε τις ε"φράοε" μας. οllμ~llζοιιμε.η διοφορά Ο(β)-Ο(α) με [O(.)I~ 01111" η ισότητα Οll1lο:Ρα1lΆVω θεωρήμα1ος ΥΡ6. φεαι Γα :JIαΡά5εΙΥμα!'.-[":Ι _~_~_4 Ι -ι/r_ []n"j; _loe_lnla Ι ' ΕΦΑΡΜΟΓΗ Ι. AIvew." ""'"'1""1'"1 F(.)_ [~ιiι

34 J QdOΚι1Hf'flTIΚOI ΛOΓJΣMOΣ Ι) Να βικθ~i 'f<ilfdlo σριι0'6 '"1ι; F. ΙΙ) Νιι I'ιlπ1ιθιΙ <ι>ι; ιrρoι; '"1 Ioνo-roνlo "11' ~II li"ριπii~1i η F. Λ γrιι Ι) Η ouν6.ιnησιι!(ι)_~ έxιιrεδlo φιιοί> το αόνολο (_-I]u(I..."). Για νll oρlζιtll η F. ιrρtιrε '11 6.ιφa Ι Χ ΤΟ\Ι oλodηρώιιooι; Υ<Ι 1Iv1j"O\Iv ΟΤΟ \δ'0 δ16.aπιιια τo\l ιrεδlou οριαμοί> τικ f "'-ρο _ρt_ε χ Ε [1...). oιr6re το ιrεδlo ορ αιι"" τικ F είνα 10 αόνολο [Ι...). iί) Για χ&[i...) έxo\lιι~: Ε'(:ι).. (Γ Jϊ:ϊιιι)'..Fi. ε_ειδή η F εινο """ηiκ "'ο (1... "') "α φι Ε'Ι)> ο για I«iBe :ι 11 (1. +..). η a1>vάιm1σιι F ιlνα MOkι>ς αύξouσo ατο (Ι...). o_6re _αpoll<l16.ζε ελδχ"το ο F{I)=O. Μi:(Ιοόιιι o;.ι~ ;.ιjιιυi1ψ; Ο τό_~ τηι; οj.ol<λήρωοηι; ι<ατ6. _aρ6:yoντες Ύι0 το ο/)ιομ("ο olol<liιpωjiq IfOIpνtl τη μορφή Ι:!IXJg'Ix)ιtt"(f(x)g(r)J~ - Ι: Γι"jg(:ι)dr. 6._ou Γ.Β' ε(να αυνεxεlς αiiνaρτ/oε'ς στο [α.βj. Για _aρ6.δεyμα. ας ulfoj.oyiaoujit το oj.ol<liιpωiiq ι.. (" xσιr.:tdt. Έχουμε: Ι.. Ι " ήημr)'dι'.. (>'I)μr);" -r" (χj'ημrdt.. [xημrj;' -ι " ημrd:r.. {xημrj" +{<M:tj'"

35 J ΟΛΟΧΛΗΡΡΤΙΧΟΣ ΛOΓΙΣMQΣ Ο τiιaoς οι.οκλήρωσης μι; illατή μεταβλητής τια το ορlaμένο ολοκλήρωμα ι<αίρ"ιl τη μορφή 1: ιικ(>:)'(>:)ιά CI(N)dιι. 6110U /.g' ιlναl ouνεxε(ς σuναρτήoεις. Ν. ι(:ι). t1ιι.. g'(:ι)dr και Νι.ι(α). Ν.. (β) Για 'Σαρδ.δεΙΥμα. CΣι; ΙΙ'Σοι.οΥΙσουμετο αλοχλήρ<ιιμο 1.. Ι Ίο:ι -". ' Έχουμι;: 1..r!n>:{ln>:)'dr Αν θέσουμε Ν" (η:ι. τότε ΙΙΙΙ.. (lnx)'dr. ".. Inl.O I<CΙI " (o~.. Ι. ε"ομένως. ΕΦΑΡΜΟΓΗ Ncι u""οι.ου.θοilν ιcι αλα"ληρc!lμιιτιι LI) I.r; '~ ΙΙΟ ί).. -2Iιιb:. Λ Ι'ΣΙΙ ί) Έχouμι; ii) Έχουμε {"'C'""'=-".". ί'_χ' dr+ ί'!dr- f''!'dr χ ι >: ι ί ι χ ' ί' ίό ι>: >:<1>:+ Idr- ~dr ι ι ι :ι [ ']' "..!.- +[>:]'-(ln>:j' _2 +I_102.. ln2 2 ι Ι ι 2 2 Γ7/ dr.. Γ -j;dr+ Γ J; ιά.r>:"'<1>:+r>:-'''dr

36 Η. iίί) Ει;&ιδ1\ 1 2-Χ. r:s;2 χ-2. χ;ι έχουμε Ι J ΟΛΟΜΗΡΡΤΙΚΟΣ ΛOΓJΣMOΣ Η ψι;ι' --. ""]' Ι''']' [']' " 3/2 Ι12 3 '3 [ ]'[]' 1;r-2Idr-! (2~r)dr...!(x-2)dr. 2>:--..' --2:;< "" '9+ 9. Ι. ι ΛΣΚΗΣΕ/Σ ι. Nαlm)1.σyίoετε τα ολοι<ληρώμιπα: ί) (3Χ' -2:r"I)dr iii) Ι (σw.r-2ημ>")dr ίί) I'j;+I dr [;' 2. Να (Σ"&ι;ΙξεΗ όη Ι r'... 7" dr+2 ['_'_ιtr.1. \ r'.5 Jr'.5 2 J. Να α"οδε(ξετε δι! 2r!(Χ'!(:ι)dr.. (/(β)' - (/(an'. ~. Αν η Ύριιφ\κή ltαριισταση τη συν{φτησης f διέρχεται αχό τα σημε!α Α{ΟΟ) Κ(Ι' 8(ι.ι). να βρείι την ημή 1011 ολοκληρώματ<>ι; II'(x)dr. εφόαο\' η f' ε(ι"αl οllνεχής στο [0.1]. S. Να βρείτε τι. lt<lραυώυοι>ι;.\ον oυ\'cιpτήαεω'.. i) "'(χ)..r.f]:;' ι!ι j ' <ni\'b Η) F(r)_ --'"

37 J OAOKιlHPfjTJΚOI ιloγjσmoσ '" 6. Ι) Να βρεlτε τη>' καράυωυο τη~ o\)\'ό:ρtηαη~ 1(1:).In(x+-Jx' +- Ι) Η) Να α"oδει~τε ι.τι Ι_"Ι+-χ' ~dι:.ln(i+./1). Β' ΟΜΑΔΑΣ Ι Α' l' tg(l)dι χ' +- 1:' Υ'ιι' ~άθε 1:" R 'α βρεlτε το g(l) ( e 3. Α" ι(χ) '" -di. "α 1IρaOδιαρ(oετε τα διασtήματα μo'oταvιυ.<; ~α/ " " το <ΟΚΙΚ'; OKρ(ltOtO <η~ f 4. Α" F(x). Ι if(t)dr ' α βρε(τε τη' F (x). Ι ' Ι''' 5 Να Moδεl~tε δη η ooνό:ρtηαη F(I:). --. dt εlι 1+-1' ι 1+1' "ΔΙ οτοθερή ΟΤΟ (ο. «:) κοι "11 βρειτι ΤΟ" ηί1l11 τη~. 6. Να βριlτι το Iim_ '\'. Γ.} '4' "S+t ιiι. 7 Να ukoλcy(ottt το. oλc~ληpώμoo ί) Ι Ι: dι: J%' _4 ~. Να li1ioλo'tίσιτε10 oλc~ληρώμoo. Ι) (χι -lx-ll)ιb: ίι) [IΙx)ιb: ;Ii) (ι χι - 31:'1" 21 dι: αν Ι(χ).(" Ο" 9. Να ιικολoylοtε ΤΟ o).oιcληρώματo Ι) Ι " (oxι/:r r ίίί) 1xΙo(9+-I:')d:ιr ivj ('" t'""2j>i<.

38 J ΟιlΟΚΛΗPfJTJΚ()Σ Λ()Γ1ΣΜ()Σ ("" 10. λν /.. Jo >ημ xιlx. r" J.. Jo r<m" xtb:. να υιιολουlσετε τα ολοl(ληρώ- ματα /+J /-J Ι. J. λν 1{1f).. ι. με τη βοήθεια τη ολαl(λήρωαη Ι(ατά ΛαράΥΟ\'lε" να υ Λολoytαεtε το [(Ο). 12. Έοτω αl αυl'αρtήσεl I.g. με f". 11" αυνεχε( στο [α. β] Al' I(cι.).. Β(α).. Ο ιια\ 1(". ι'(β) να αιιoδε(~τε ~1l /. J:(/(x)g"(X)- Γ(χ)g(χ)d:<.. B'(IJXf("~Β(β») 3.6 θεώρημα ΜΕΣΗΣ Τ1ΜΗΣ ΤΟΥ ΟΑΟΚΛΗΡΩΤιΚΟΥΛΟΓ1ΣΜΟΥ Με τη βοήθεια του θεμελιώδοιχ; θεωρήματ<χ; ταυ ολαιιληρω"ιιοι'ι λουιομαι'ι μιιιψοόμι: τ.ιlp'cι. νο...oδεl~αυμε τα ιιορο-ιιoi'!ω θεώρημα ΛOU ε(i'οι Y"ωoτ~ ωι; θεώρημα Μtt;ης Tιμ~ς Oλoι<ληpaι"ι<oό Λo~oιιo~. βεορημα Αν μια συν6:ρτηοη Ι rll'o σιινεχή οτο ]ο.β] τότε υιιάρχει tl'q.. toua6:x\otol' (ε (Ω" τέιοιο. ώστε λ"οδειζη θεωροι'ιμε τη ουl'6:ρtηοη r(x)" Ι.' I(rjdl. Η οul'άρtηοη Ωυτή ειναι ιιαραυωυισιμη οτο [α β] ιιαl \ο{όει r'(x)" j(x) Ειιαμtl'ωι; σ';μφωνα με τα θεώρημω μέση τιμή του διο.φορll(οι'ι λουιομο'; υιι6:ρχεl (ε (Ρ β) Ιτσιο. ώστε F'«().. F(p)-r(p. β-ο Εlνα όμ~ rt"" ί: I(ι)dι "Ωι F(a)..r1(1)dι"0. '"

39 J OAQKAIIPQUKQE /JQΓ/ΣMOE J41 ί~ I(ι'}<iι E~oμέ"~ η 10ότηΗΙ (Ι) ΎράQεται f«() ή ισοδ(>ναμα β-ο ΣΧΟΛΙΟ Ο αριθμός ί~ Λ:ι:)d:ι Ι«() κ """β_::0- και ""μβοι.ιζιται με ϊ ι: I(ι)dι '" ΙΙ()(β - α). Γεωμετρικά η μέση τιμή ϊ μιας μη αρ"ηη "ής σu\'/ίρlησης Ισισ διάσιημ- [αρ] ~IφΙ' στά'ει ΤΟ ""ας τοιι ορθουωνιοιι κου έχει β/ίση το [α Ρ] "αι εμβαδ/ίν Ισο μι 10 εμβαδ/ίν του χωριου D κου :ι:εριι:λι;\ειαι α1lό τη Ύραφι"ή ~αp/ίαlαση της j. τον /ίφν-.'. KCΙΙ nι; ενθει. tς:ι:-αkcιι.-p(σi_1'1 ι.έυεται μέση 1Ιμή της συν~ησης f οτο [α Ρ] ί -ρ -----~~ Γ--~--1 " " ' " :ι: ο β Θ ΕΦΑΡΜΟΓΗ 'E..τιtl η συνάρτηση ι(;:ι:) - Ι;. Ncι ~ΡE&ε( "ε{ο.9) έτσι Φστε j{(). ϊ. ιι ΥΣΗ [ ~:ι:"\ ] ' '.[;d:ι: Έιovμε l.. i.. 1!!.2. EXOjIevw. -ρχε\ να βρεθε\ (Ε (Ο. 9) έτσι. ώστε f((). 2 Έχουμε }ρα το ζηιούμενο (ειναl το 4 ΑΣΚΗΣΕΙΣ Α' ΟΜΑΔλΣ Ι. Νο βρεlτε τη μέση τιμι'ι 1 τη. auvcxoiw; οιιν/ίρτηοη. f.. το δl/ίστημα [Ο.!]. αν δίνεται όη Ι:υ(:ι:)~I)dι;.. O

40 '" J ΟΛΟΚΛΗΡρΤιΚΟΣ ΛOΓlΣMOΣ 1. Α v η f εlναl σiι\'ιvιι; στο ΙΙΙ. β]. '" ατ<lθερlι και ι: u(x) - ιι:) dx - Ο. να α"oδι(~tε ότι η "Ιaη τιμή της f σ.ο [αβ] tlvtil". J. Να βρεθει η μέση τιμή της μεταβλητή.""0 διάστημα [α β]. S' ΟΜΛΔΛΣ 1. Δ(νονταl οι αuναρτήσεις!(χ). ' "σι g(xj '" -!. οριομένες ο' ένιι olιoτημα [11. β) α" Ο. Να Iιlιoloy(oετε η!; 7. Ι κιιι nι CtJ;οδι;lξετt 6τ\ 71>] 1. Η τιιlό1ητιι \) το\) ι;ι(ματot; ο' έ cι o:ryyεια ιικtlν~ R κα μήkouι; t σι WE(ιαταοη 0.6 τον ΚΙντρικό άξο'ο'ιχ 1011 ιryyε!o\l εlναι ι>(j.l(r' -'j. (ι-ι;olι Ρ η Ο διαφορά "έοιως μιτο.ξ6 των Δ.Ρω" ΑΒ 10\1 απι(ου 1(0. n το lξώ&ει; του αιματοι; (σταθερά). α) Να βρεlτι τη μέση τιιχόίητα το\) οlμωτοι;. 6τttν /ORj. β) Να βρειτ! τη μέυστη τοχότηια κα να τη ΟυΥκρ(νετε μι τη μέση ταxlί'tητα J. Έοτω / μια 1ΙαρΙΙΥωΥ(ιχψη στο [Ο]) ΙΙΙι\'ιφτηση μι V(X)dr- /(1). Να QjloOεI~1t /ιt' η Cι Ιιιι μι... ΤOUλά):στα. aρζ6""α t9<lxtojit"'l. 3.7 ΕΜΒΑΔΟΝ ΕΠΙΠΕΔΟΥ ΧΩΡΙΟΥ Στην "ιφάypcι Εlδαμι 611. ti\' μια σl)- Υ "ΙΨ1ηση! ΕI"α ΟI>\'Ειή~ σε Ι"α δάοτημα ΙαΡIιι:α [(r)2:0 Υα "άθε "εlαβ). τότε τα Θ εμβαδό' ταl) ιωρlαο {J χαο αpιζtται αχό τη Υρα <iilod) χαράστααη τη~ [. ης.oθεlε~ ". α. ".. β "α ΤΟ\' 6ξΟ"α "' (Σι. ]6).Ι'αι Ε(Ο). Ι:!()dr Q Q

41 J OΔΩΚdHPΡTlKOΣ AOΓIΣMOΣ Γ'α >ιαράμιυμα. το εμβο.δι\ν του χωρίου >ιου )' 'Itpl>;4tltol 0>ι6 τη ΥραφU) >ιαρζοtαση τη Ijxj.{; τον άξονο. χ'χ >;0. τι tulltlti; χ.ο Υ-.ΓΖ χ.] (Σχ. ]7) ε\να \σο με ί.{;"".!χ""-[~x"'1 ~. ο Έοτω. τώρα δοο σllνιψt~σε" Ι και Ι. σwιχει στο αζcπημα [ιιβ] με Ι(Χ) 2og(X)200 Τια >;άσε Χ"ΙΙΙβι και Q το χωρίο >ιαll >ιερι<4lεtο α>ιό τι!; Υρα QI'd >ιαρο.σtάσεltιov I.g και τι ιilβι\ι χ_ιι κοι χ. β (Σχ. ]8α). -/ω -/ω r:! /i -ω ~ ~ -Ι<Χ) ' ο ο ο '" '" 6τι "' ΠαρCΠηραόμι Ε>ιαμέ'Ο>Ιί. E(Q). ΕΦ )- E(Q). ι: j(x)dx:- ι:g(xjd>:. ι: U(x) - g(x»)"" Θ Ι E(Q). J:Uω-g{Χ»)dr ο Για >ιαράοιιυμα to ιμβαδι\ν τοl> χωρίοl> Q >ΙΟI> >ιερι>;λιιετα α>ι6 τις Υραςιι>;έ >ιαραοτάοις tιov οwαρτήοεωv j(xj. -χ+2 "0.1 g(x). χ: (Σχ. (9) ε('ο.ι \00 με: Θ E(Q) - Ι Iftx) - g(x)1dx: -Ι' (-x+l-x')d:r - ο

42 ". J OΛOKΛHPΡΤJΚOΣ ΛorιΣMOI Ο τόιιος (]) βρέιιηu μι.ην "ΡοΟ1ι:ι'ι&εση όη: (ί) /(r);"8'(r) Ύιαιιάθε :rεlοβl "οι (ii) ο. Ι.ι ειναι μη αρνηη...ις 010!σ.β] θα Ο>tΟδεlξΟlιμι.ώρα όη ο Πιιιος (Ι) 10χ6ει "οι ιωρ(ς την υσόβιl1η (Οί). Πράγματι ειιειδή οι O\Wαp;otI I.g εινα σιινεχιις 010 [οβ) θα ""άρχε. ~~ D.ρlIIIIb "er.ιιοl0ςώοτι!(x)+c2.g{x)+c::i.o Υια κ(ιθι ""[OβJ. Ε[να φαηρό 6η τα χωριο Ω (Ιχ. 200) έχει το lδο ιμβαδ<»' με.ο χωρlο D' (Σι. 20β). \0 ~ Ο y-/{r) ) '>i)' (.) Ει<ομΙνως. σόμοωνσ με τον nί'll:o (Ι) ΙX0lιμι: Ε(ΩΊ Ε(Ω'). Ι: lifix)+c)-(g(r)+c»)dr-rutz)-g(x»)dr. Άρα. Ε(Ω).. f: u(x:)- g(r»)dr Μι τη βοήθε.ιι.01> ο;ροηυοόμενοιι τόιιοιι μιιοροόμι να u>coλo-yloouμ.e το εμβαδόν το\) χωρlου Ω ιι:α" 1ΙιριιΑιΙετοl α~ τον άξονα χ'χ. τη ΎριιφιlC1'l1lι:φάοtσαη μ1l1ς σul'όρtηοης g. με g(x):s;o για 6.lΙε 11" [α β] κοι τις ευiiειε~ r_.. "αι r.. (Σχ 11). Πριiyματι. ιιιειδή " ά~ovιι.; r'r ιiνcιι η ΥΡΙ:Ι' ςιιιιή Ίιιφάστ"ση τη~ συνάρτηση [(r)_o ΙxσIιμιi ε(ω)..1: (f(r) -g(r»<b.. li-b(r)!dr- -Ι: B(Ψbι. Ο ' ~(r) Ειισμένω. αν Υια μι\!. αιινάρτηση Β ισ)';όιι B(r) "ο Υι\!. ιιά&ε rll![ctβi τότε Θ

43 J OΛQΚΛHPΩΠXQΣ ΛOΓiΣMOΣ Γα ιιιιράδειυμιι το εμβαδόν 100 χωρίοll D "00 "εριdείεtιιι α>ιό τη ypαφιιcή ιιιιρά Ο'τιιση της g(%) 'Ο Χ _] lcai 1ΙΙV ~σνα χ'χ (Σχ. 22) είναι ίσο με Ε(Ω) [(χ' -]~. I:(I-%'Jdt.[--'-J' =~ 3 _ 3 Όταν η διαφορά I{x)-g(x) δεν διιιτηρι( Ο'τιι&ερό aρόαημo '"'ο [Ο'.βι δll~ Ο'ΤΟ Σx~μII 13. τδτι το ιμβιιδόν τοll χωρ(ου Ο 11011!ιιρι!<λιl. ΙllI ιwi ης yραφικέ~ IIrφα0'1άO'ιι~ των /.g '110' 1\~ εll&εlε~ χ_α ICΙΙι χ_β ειναι 10'0 με 10 άθροο'μα των εμβαδών των χωρίων 00 'ΙΙΟ'Ι 0< Δηl.αδ~ Ε(Ο) 'Ο Ε(Ω)+Ε(Ω)+Ε(Ο) ο '" Θ..'-.. E"oμtνιoς 'Ο r U(%)- ι(%)~..r(g(%)- μ%)~+1. U(%)- (%)~ rlf<;.)-g(χ)ld< ι )1/(χ)-I(χ)1 ιιχ+ I:I/(X)-.f(X)ldr -rl/(%)-g(%)id:r Ι E(O)-I:I/(X)-g(X)Id:r ]. Θ Για!ιιιΡάδεΙΥμι:ι. ~ II!lOl.oy(OOlljI! τα εμβιιδδν τοil χωρ(οιι Ο "ρισλι(ιτιn ιwlτ~ ΎΡClφ\IItς "ιιpιιaτάσι~ των Ο'IIVαρτ/αιων /(%) 'Ο %' g(x) _χ ΙCΙΙΙ ης εll&εlε~ % 2. χ 'Ο] (Σχ. Η). λρχlcδ βρlαιι;αιιμε 1\~ ριι;ε~ 'ΙΙαι τα φόαημα Τ/~ δαφορδι; /(:τ)-.(:τ) στο διάατημα 1-2]]. Εu'δ"ι J"":τ:! /(%) -.(;Φ :τ' -:τ 'Ο ήχ' -Ι) 'Ο :t(:τ - ])(χ +Ι)

44 .. J OΛOXΛHPΡΤIΚOΣ doγjσmqσ txoi>)lt τον Q.bAOlleO... Ιν..κα: Λιιμβάνοντας. τώρα. \)Κό... η τον Ita.ρωιάνω -ι:(νιικ«έχοιιμε Ε(Ο).. I~I f(r) - g(r) ι"' Γ;(g(;r) - /(:<»ιh..r (j(7:)- ε(χ»)ιά+t(s(x) -!Ιx»)dιι ΣΧΟΛΙΟ tiijiφwνι;ι μt tι;1 1Ia.ρωι:άνω ο Ι:!(z)ιtt ειναι 1110 με 1(1 όθριlloμιι των εμβαδών των χωρ(ων :<00 PpIO"OV1:Q1 1I(rνω ιv;6 τον όξονι;ι Ζ'Ζ "ε(ον το 6:θροlΟ'μιι των εμβαδών των χωρ(ων χα\> ~I""OY1ΙΙ\!Πω αu. τον Ιι.ξονιι Χ'Ζ (Σι. 25).[.!C_.!C]-'.[.!C_.!C]'.[.!C_.!C]'.II ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ Ι. Νιι βρε&ει το εμβιι66ν το" χο>ρlοl> IJ 1101> ιιερl"λειηιι ης ΥΡIl.'''Ι; ιιαριιιιτ(ι"ειι; (110 ""νιιρτt'jαιοιν f(x)" "... g{x).. ""v" ΚΟ. ηι; εοθεl χ.ο Κιι'... Ζ.. Λ Υ).:Η Αρχικ(ι PP(O""UIIt ΤΙ!; plctii '(0.\ ΤΟ :ιρόοημο της δι«qoράι; /(X)-I1(r) ΟΤΟ δl6.0τημα [02"]' Στο διάστημα 11"16 έχο""4 Θ!(r).. g(r)= ημ:t.. ιnιvx <:>ιφχ.1.. <:>r._ ή Χ.-

45 J ΟΛΟΚΛΗΡρΤΙΚΟΣ ιtoγiσmqσ Η7 E"oμtνιιις Υιιι ο κρδαημο ης δhιφoρoiς j(x)- κιχ) _ ημr-σ'iiν.< fχοιjμ& ον α 1(δ/.ο1J80 "Ινα1(ΙΙ: - - ιιχ)-ι(χ) - ο ο - ο. '" r" Ε(Ω)_.ι.1/(x)-I(xJlιΙΙ' - ('" (-ημr+σiiv.t)dr+ j"" (ημr-σ'iiν.<)ιιh(" (-ημησiiv.t)dr.".1< 2. Νιι ρρε911'0 εμβcιδ6ν.oij χloρlοlj ΙΙΟΙJ IιlρlIIο αιιδ ''1 Υρα"κή ιιαplillcι"" της!(x)_iιιr.ον (ί~oνα. 'ιον χ κα.ην 1α.If.ομΙ..".ης C 11.0 ""110 Α{".Ι). ΙΙΥΣΗ Η ε~ισoxnι.ης lφωl.oμένη. 1'1. CΙ σισ ση- Υ μεισ Α(ί.l) ιιναl. ':Υ-Ι_ Γ{ε)(χ-ε). Εχειδή j'(x)_(lnr)'. ΙΧΟlJμε Γω--. Υ-Ι (χ_ε) <:::> Υ Χ. Exoμtνως. η (Ι) Υρόφεlα:... ο Το ''''ο''μενο εμβαδόν Ε &!"I1' Ισο με ο εμβιιδδν.01> 'ΡΙΥώ'ιοlJ μειον 10 εμβαδόν.ο\ι χωριo\l :ΙΟI> OρiCtlOI 0:ι6 lη C Ον (ίξο. νιι r'r "α ης lι>βειες r _ Ι "ο χ _ ε. δηλιιδή Ι ' Ι [' 'J' ( Ι' ) ε xιtt_ Ιηxιtt!... - Ixιnxl; _ x-ιtt ε ε 2 ι χ ["'1 [ Ι' [( Η x!nx + r. ε 2 ' 2 Θ "

46 ". J OdΟΚι1ΗΡΡΤΙΚΟΣ ΛΟΠΣΜΟΣ 3. Ncι υ"oj.oyl~nι η:ι εμρalι6~ Ε το\! K"KΙΙKOIί δ'~"o" χ +Υ' - ρ'. ΛΥΣΗ Το ημιιώ"λιο C ε(ναι ΥραφιΊιή ι;αράα.ιιοη.η( <J\Ivψησης!(x).. Jp' ~x'. αφα» Ύ\CΙ >:>0 ει"α. "'+Υ Ρ - x~[-ρ.p]. Αν Ει εlναι.0 εμβαδόν.0\1 ημιιωο;).ιου ότε ε_ζε. ε"e'δiι ι(χ);ιο για "άθε Η[-Ρρ). Ιιουμε ~Ι " (c) \. /(c) -' ( ') Eι;ειδfι ώατε -psrsp. έχουμε -IS-SI. ε"oμtνως --ημθ. ιιι;6ρχιι fje [_!..!.l.έ.οιο 2 '. Έτσι txovjit χ.. ρημθ ;ι.ρα ε_ζει."'. ε Ij~ - ρ'ημ'θ 'pιn.n'&'θ" ρ' I~ίiΊ'':-;"O''''θ "1W'o'θdθ....οι 1'" _Ρ' JarNg.~.p' aw'θdθ Ι '" -.1>..." 1'1> I+CJWlfJ ΔΑ [8 ημ2θ]"" >φ'.ρ "".Ρ (ΕΖιιδή 'Ν.θ:> Ο) χ Υ' Με τον (δια φό1lιι onootlcviίoujitδη.ο εμβαδόν τη. Ιλλεινη(-'- "ι είναι β (011 με πaβ.

47 j ΟΛΟΚΛΗΡΟΤιΚΟΣ ΛOΓlΣMOΣ '" ΑΣΚΗΣΕJΣ... ΟΜΑΔΑΣ 1. ΝQuιιολοΥlοt't το εμβqδ<)ν.0u XOJi!IOU.OU.ιρ~λε\ι;'QΙ αιιό τη TPQφ~ή Ιιο;ιράσ.Qοη της σι»'όιηησης /(ι) _ ι' - 2χ+3. ης ιυβεlις χ_ ο χ ~ 1 ~αι το» άξο'1l 'α/ν χ!. ΝlluιιολσΥιοt.t το εμβοδ<)' ou Χα/ρlου.ou "ρ~λεlε.α ωιό τη ΎραςI'ιnj Ιιο;ιράσ'Qοη.ης συ'cψιηoης f. τον άξο'α ων χ KQ τις ιυθιιις JlOU δινοντα ιιάθε φορά ί) f(x)-ι.γx...0._η 11).. f (Ι)---. ' ι" χ συν' Να IfI[ολοΥ!σεΤΕ.Ο εμβαδάν ταυ Χα/ρlαυ.ou αριιλειεα ωιό.η ΤΡΟφιnj ιι:ο;ιρόστααη.ης σuνlψ.ηoης /(χ) _ χ -3χ κα σν όξονq Τα/ν χ.. Νσ υlιoλσyloe.ε το ιμβαδόν του χωριου.ou ΙΙΕΡ\κλεΙιτ(U ""ό τις Ύραφές.ο;ιρασ.όσιις Τα/ν oυναρτf)oεα/ν f(x) - χ κα ι(:ι). 2:ι-:ι'. ~. Ν(ιυJlολοΥΙσιτι ο ιμβαδάν του Χα/ρΙου ιι:ου ιι:εριιλειετα αιιό tη τραφιnj.ο;ιράσ.αση της O"uνόρTησης f(x).. 4-:ι' κα την ιυθιια :Ι-Υ-1_0. Β' ΟΜΑΔΑΙ: 1. Έσ.ω η ouνlψtηoη /(χ) _ ]χ' ί) Να βρεlτε την ι~ισα/ση ης εφαlιτoμένης.ης Cι σ.ο σημι:lο 'η A(J.]). ii) Να υlιoλoyio"ιτι το εμβαδόν του Χα/ρΙου "O"U Jιιριιλε\ι;τα ""ό τη TpαφιlCΊ'! ιι:ο;ιρόο.αση.ης f. την ιφο"ιι:τομένη.ης σ.ο Α ιια τον ά ξονα ων Χ. Ζ Να υιι:ολου!σετε.0 ιμβαδάν ou Χα/ρΙου.ou "ΕΡιιλεΙια αlιό.η τρα- Ι _χ +3 χ<1 Q\Kij Ιιο;ιράσ.οοη 'ης f(<<)" τις ιυθειες χ_ -Ι χ.. 1 2J;.:ι:l;Ι "ο τον ά~oνα Τα/ν..

48 '" j Od0KdHfQTJΚOI "ΟΓ1ΙΜΟΣ 3. Να βρειτι το εμβαδόν τοi) ιωρlου και) KεΡI~λ.t(ιτα ακ6 τη Υριιφιτ/ -"'..4"-3. %<1 χαράσιααη τη~ αυ-άρτηαη Ι(Τ). κοι τον {ψ>νιι (-2"... x~l 4. Να υχοαο-υ;οε1ε το εμβαδόν.ου Xmpiou _ου xερι~λεlε1αι αιό tι~ 1ΡΟφι](Ις χαριιστάσες των συνιφιήσεω' r--: χ.. ] j(.rj...;r-] ](οι g(x) --. ~. \) Να UJιολO'ylσειε τα εμβαδόν. Ε(λ) του χωρίου 1101) ιεριdεlειιι Q_ ;ιι) I~ τραφlκές χαροο1άσες των ιιm'ιιρτήοεω-' f(x)--. κ(χι_ιηχ.τον6ξονο;ιιωνχ_"ιτηνειι&εια χ_λ l>t..- ί;) Να βρε{τε το όρια 1im Ε(λ). 'Υ 6. Να vιιo1..oylotιt ΤΟ εμβαδόν του ypoppooiιlcloptvou χωριου το\) δλαvoίι ";r:fιμιιτ<>ι;. r'v 1 /: 7. Να uitoloylaεte το φβ<>δόv του yραμμooιnιιιιμt oiι χωρίου του δ'>ιλα' ναό 1111\μll.<>ι;. "-' : : : : r"...1"..2 i :

49 J ΟΛΟΚ4ΗΡρΤΙΚΟΣ 40ΠrMQΣ 8 Δlνεται η αυνlιιnηση j(x) _ ημι" '" ;) Να βρειτε ης φαώσεις ιιw εφα>ll:tομένων της C I οτα αημεία 0(00) και Α(κΟ). /0(00) ί;) Να βρειτε 'ο εμβα&όν το.. xaιριo ερικΙΙ:ΙΙτa a1l6 η Υραφιτ/ 1Iαρlιaaαη της j και ης εοακτ6μενες οlα οημειiι Ο και Α. 9.;) Να U1l0λoy(attt ΤΟ εμβαδόν του χωριου 1Ιου 1IεΡ\KλεΙεtα α6 η YP<ιQιτ/ "ρlιαtllαη της oυν~ηαη. /(χ).. Ι; την εφwιτ6μεν" της στο σημείο ([]) και τον (ιξο'α '01'0' χ. ίί) Να βρε(τε την ευθεια Χ _α. η ο"οία χωρίζε"ο χωρίο αυτό αε δ.κι ιαεμβαδlκlι χωρία. 10. Να ""ΟλoyiσΕ1Ε ο Εμβαδόν ταό Xaιploυ 1Ι:ου 1I:tptl(4IEtat O1l:6 ης YP<ιQΙKtς 1Ιαρα<ftlιοεις των συναρτ"οεων j(x) _ln Χ g(x).. ln- κα την εόθεια Υ.In2. 11 ί) Να βρεlτε συν{φιηση j τη. ο"σιαι; η Υραφιτ/ >ll:αρlιoταση διέρχειιι wι6 το σημεlο Α(Ο2) και η dιση 'η. στο σημεlο Μ(Χ/(χ») ε;ναι u-3. ίί) Παισ ειναι το εμβαδόν το.. xaιp;oό "αό oplςα"' η C I κα ο 6ξοναι; των Χ. 12 Έοτω η αυν(φτηοη j(r) _ (Χ-ΙΧΖ-3). Ι) Να βρεllε ης εξισώσει. TΙΙW εφα"τομένων lη. Υρο:φτ/ς "αρlισσης <η. j ατα σημεια Α Β 1Ισυ η C I τέμνε τον (ιξσ'α ων χ. ;ί) Αν Γ είνα α σημειο ταμ"ς 'ων EΦWΙTσμtνων. 'α α"οδειξετε δη η C I χωρίζει το 1ΙΙΙΥωνο ΑΒΓ αε δ60 χωρι" 1Ισll α J..bΥαι; ων εμ βαδών ouς ΕΙ'α ϊ-

50 J ΟΛΟΚΛΗΡΟΤιΧΟΣ ΙΙΟΠΣΜΟΕ ΓΕΝJΚΕΣ ΛΣΚJιΣΕ/Σ Γ' ΟΜλΔΑ); Ι. ί) Να ):ρηοφοjl:ο1ήοετε την ανηkατά;oτcιση ~.. If-x Υια "ο. ι;nioδt.ι ξετε 611 Ι' if(qμr)dr Τι f(qμr)dr 1 τ/μr d:ιι 3+ημ'... Ι) Να ΙΙ1ΙοlΟΥΙΟΙ'& το ολοκλ1\ριιιμα 1 J. Να Ι>1ΙολοΥ!σε& το ολοκλήρωμα '" L --d> χι_ι 'I> J.. [ (... ])(... 2) Ι -d>." ηιι>' "111 στη ο" Ιχεια.11 οj.oκληρώμιι"ι: ;[ - d> (ημ<" I)(ημr" 2) iί) [ ε' ιtι:. Ιε' +1)('' +2) l '("ο ~. Αν /_ --dι ""Ν ι Ι +t' ί) Ναu_ολΟΥ;Ο&& <ο6.θροιομα J +1.". ""Ν ίί) Να lιιιολου(οετεαοι.ο"ληρώμιιτα Ι" 1. J. ~. Αν η σll\'οψσηση f ειναι ου'ιχ/ίι; ΟΤΟ R \'0. O1Ioδt.ίξετε 6η ιό. Δίνεται η σιιν6.ρτηση F(x)..!' f(t}th. όjιoiι /(1)..r[;':ίιl".

51 J OΛOKtJHPQTlKQX ΛOΓlΣMOΣ ι) ΝαβρεΙτε το κεδιο opojiou των σιιι'ιψτήσεων {"αι F. '" ii) Νιι σxoδεi~tε δτι η F ε!'α. ΜσΙωι; αuξοuoα κοι ""ρτή. 7. Δ[νονταl τα oλoιr.ληρώμα1α F(x).. ϊ e'σw'di και G(x).. ϊ t'ημ'dι χε R. ί) Να ui<oao'y'loe1e 10 αλο"ληρώματα F(x)+G(X) "οι F(x)-G(X) κα. στη ΟΙινέχΕια τα oλoιr.ληρώματα F(x) "αι G(x). ίι) ΝαΙιl<ολΟΥΙΟΕτετιι ολοκληρώμ(ltα ι.. Ι: e'σw'rdi και J ~ Ι:" e'ημ'ιdr. 8. Το χωριο 1<01> I<εριιr.λεIετσl αl<ά τη Υρt1Qιτ/ ι<ιψάσταση της ο"ν(φτη σης f(x).. χ +1 και την EI>Oeio Υ _5 χωρι'ετα αl<ά 1ην εl>θεlιι Υ. α' +] α. Ο σε δiκj οεμβαδκ(ιχωρlα. Να βικιτε Τψ' τιμή τοi> α. yραφocτ\ ι<ιψόσταση της σuνόpτησης f(x). - τον (ιξονα των χ "αιηςειιθειες x~] χ.. ;.. λ>ο. iί) Να βρεθούν οι τιμις ΤΟΙι λ Ιτσ. ώατε Ε(λ).. '2' " ι) Να βρεθεl το εμβαδόν Ε(;.) ΤΟI> χωρ;ου ι<αιι ι<ερι"λείεται αl<ά τη ιίι)να βρεθοίι" τα lime(λj "αι lim Ε(λ). '... ~- 10. Έστω {.g δοο αl>νιψτήαες σlι\'εxeις στο [ο β]. Νο οχοδειξετε δη: ί) Α ν {(χ) ~ g(x) Υα "δθε xe [α β] τά1ε J: f(x)<1r ~ Ι: ι(x)dτ. Η) Αν m η ελάχ'στη "αι.\1 η μιυιοτη ημή της { στα [α. β]. τάτε m(p-o)s;rf(x)dx s;ai(p-o) ίη) Με τη βσήθεα της OV1σάτητας Eφr"x Υια >:όθε x.. (o~) να αl<οδειξετε άll η σuνιφτηση {(χ). η: ΧΕ( O~) ει'α ΥνησΙως φθι"οιισα και στη συ'ιχεια να αl<αδεi~τε δ1\:

52 '" J ΟΛΟΚΛΗΡΟΤΙΚΟΣ ΛΟΓ1ΣΜΟΣ 3J3 ημχ ) [ ] οι s_ Υιαχ{ιθε ΧΕ -.- και 2... Jt If 6) i\') Να οχufu:iξετε ότι η QlJ"lIptIIO"!fr)...~..1"0.1 Υνησίως φθι. "01.10α οτο [Ο. +00) κα. στη σuνέ:ι.εια. με τη IΙοljθεΗ' της α-ισό.ητας ~' ~] +r '1'Q: ~(Ιθε ΧΕ ft. να σιfοδειςετε 611: α) Ι-ι:' S.: "Ι)'\α ~όθε Ζε[Ο.Ι) )(σ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟJlΣJιΣ ι. Σε ""θ.ι'(ι ιιιιό ης "ιιριι"' ".ριιτ(ί)ο'ε να Ι(α"λώσετι το ΥΡ'ιιιιιι Α. αν " 'συιρ"μόι; είναι cιιη81\ι; ι<σ. το ΎρΔιιιι.. νι ςιν Ο.ηορ.. μ6ι; ει"iι.nι6ής """.σιου<ίιυτiιι; σvnρ6νlll. την "(ι... ηιr" σα I"X~\ r(f(:t) +g(.r»)d:t"'rπo)ιtι +LS(x)dr Α ψ. Ισχm. rf(r).g(r)d%8r!(r)dr'{i(r)dr Α Ψ. Αν Q. β. τότε LΙΙΧ)dr-Ο. Α Ψ Αν f/(χj<ά.0. 16τε "ατ' αν.rτ/ θα.ιναι!(χ)'ο ο '1(1 κα.θε ".. (οβ). Α Ψ Αν f(x) 2:0 '!'ια"άθε Η(αρΙ. τότε lf(r)d:r2:0. Α ψ