Δύνονται το μϋτρο ελαςτικότητασ Ε=70GPa, η διατομό των ρϊβδων Α=2cm 2 και ο ςυντελεςτόσ θερμικόσ διαςτολόσ α=23*10-6 / ο C.

Transcript

1 1 E.M.Π. - ΣΜΗΜΑ ΠΟΛΙΣΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΙΙ - 17/06/2013 ΘΕΜΑ 1 ο Ο ςυμμετρικόσ επύπεδοσ φορϋασ ΑΒ ςτηρύζεται με κυλύςεισ ςτα ςημεύα Α και Β και με τισ δύο ελαςτικϋσ ρϊβδουσ (1) και (2) ςτιβαρότητασ ΕΑ (ςτο ςημεύο Δ υπϊρχει εςωτερικό ϊρθρωςη) όπωσ ςτο ςχόμα. Ζητούνται οι κατακόρυφεσ μετατοπύςεισ των ςημεύων ΓΔ και Ε για αύξηςη τησ θερμοκραςύασ των ρϊβδων (1) και (2) κατϊ ΔΣ=30 0 C. 1. για q=0 2. για q=8kn/m Δύνονται το μϋτρο ελαςτικότητασ Ε=70GPa η διατομό των ρϊβδων Α=2cm 2 και ο ςυντελεςτόσ θερμικόσ διαςτολόσ α=23*10-6 / ο C. Λύςη: Παρατηρούμε ότι ο φορϋασ εύναι ςυμμετρικόσ με φόρτιςη ςυμμετρικό. Θα αςχοληθούμε με τον μιςό φορϋα όπου ςτην θϋςη τησ εςωτερικόσ ϊρθρωςησ Δ θα μπει κύλιςη με οριζόντια αντύδραςη ενώ ςτη θϋςη Ζ η ϊρθρωςη παραμϋνει ωσ ϋχει. Έτςι ο φορϋασ μου μεταςχηματύζεται όπωσ ςτο διπλανό ςχόμα. 1. Παρατηρώ ότι ο νϋοσ μου φορϋασ εύναι ιςοςτατικόσ. Λόγω μόνο τησ ομοιόμορφησ θερμοκραςιακόσ μεταβολόσ δεν θα ϋχω εντατικϊ μεγϋθη (ϊρα S 1=A y=δ x=0) αλλϊ θα ϋχω μετακινόςεισ των κόμβων. Eπύςησ από γεωμετρύα θα ϋχω: tanθ= θ=53130 και l 1= l 1=25m.

2 2 Καταςκευϊζω την παραμορφωμϋνη κατϊςταςη του ςυςτόματοσ. Έτςι τα ςημεύα Γ και Δ μετακινούνται μόνο κατακόρυφα ϋςτω προσ τα κϊτω κατϊ Y Γ' και Y Δ' αντύςτοιχα. Οι νϋεσ θϋςεισ των ςημεύων εύναι οι Γ'' και Δ'' αντύςτοιχα. Ρϊβδοσ (1) Δl ΔΣ=αlΔΣ 1 αlδσ=y Γ'sin y Γ'= Δl ΔΣ=y Γ'sin y Γ'= y Γ'=2156*10-3 m(=y Ε') 3 Λόγω όμοιων τριγώνων ιςχύει: = = y Δ'=2y Γ' 3 y Δ'=4312*10-3 m 2. Βρύςκω τισ μετατοπύςεισ των ρϊβδων λόγω μόνο του ομοιόμορφου φορτύου. Καταςκευϊζω την παραμορφωμϋνη κατϊςταςη του ςυςτόματοσ η οπούα θα εύναι η ύδια με την προηγούμενη με τη διαφορϊ ότι το Δl ΔΣ το αντικαθιςτώ με το Δl 1. Και πϊλι τα ςημεύα Γ και Δ μετακινούνται μόνο κατακόρυφα ϋςτω προσ τα κϊτω κατϊ y Γ και y Δ αντύςτοιχα. Έτςι η παραμορφωμϋνη κατϊςταςη θα εύναι όπωσ ςτο διπλανό ςχόμα. Ρϊβδοσ (1) Δl 1= 4 =y Γsin y Γ= 6 Δl 1=y Γsin

3 3 Kαταςκευϊζω Δ.Ε.. τησ απαραμόρφωτησ δοκού: Μ Α=0 15S 1sin5313-8*15(15 075) S 1=225kN 7 Η 6 7 = =5022* Σϋλοσ λόγω όμοιων τριγώνων ιςχύει: = = Τ Δ=2Τ Γ 8 Τ Δ=0010m ΒΤΘΙΗ ΛΟΓΩ ΚΑΙ ΣΩΝ ΔΤΟ ΑΙΣΙΩΝ(q ΔΣ) Βύθιςη ςτα ςημεύα ΓE: 2156* *10-3 =7178*10-3 m Βύθιςη ςτο ςημεύο Δ: 4312* =14356*10-3 m

4 4 ΘΕΜΑ 2 ο ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΙΙ - 17/06/ ΣΜΗΜΑ ΠΟΛΙΣΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ - E.M.Π. Η τριγωνικό λεπτό επύπεδη πλϊκα ΑΒΓ καταπονεύται ςε ςυνθόκεσ ομοιόμορφησ επύπεδησ ϋνταςησ όπου οι τϊςεισ που αναπτύςςονται ςημειώνονται ςτο ςχόμα. Ζητούνται: 1. Ο τανυςτόσ των κυρύων τϊςεων και των κυρύων τροπών. 2. H μεταβολό τησ ορθόσ γωνύασ ΒΑΓ. 3. Ο τανυςτόσ των τϊςεων ςτο ςύςτημα Αx'y'. 4. Η μϋγιςτη διατμητικό τϊςη. 5. Να ςχεδιαςτεύ ο κύκλοσ του Mohr για τισ τϊςεισ. Δύνονται το μϋτρο ελαςτικότητασ Ε=200GPa και ο λόγοσ του Poisson ν=0.3. Λύςη: 1. ύμφωνα με την εκφώνηςη μου θα ϋχω: (βλ.και ςχόμα δύπλα) Ο τανυςτόσ των τϊςεων ςτο Αxy: ς Αxy=[ ς ς ς ς ]=[ς ] 1 Ο τανυςτόσ των τϊςεων ςτο Αx'y': ς Αx'y'=[ ς ς Παρατηρούμε ότι το ςύςτημα Αxy εύναι κύριο. ς ς ]=[ 0 τ τ ς ] 2 Για να υπολογύςω την τϊςη ς ςτρϋφω το ςύςτημα Αxy κατϊ 30 0 αριςτερόςτροφα και μεταφϋρομαι ςτο Αx'y'. ς x'x'= + cos60 0 +ς xysin60 0 0= ( ) + ( ) cos =075ς-3 ς=4μpa (ς 1=4ΜPa και ς 2=-12ΜPa) Άρα ο τανυςτόσ των κύριων τϊςεων θα εύναι: ς Αxy=[ ] [MPa] 3 Χρηςιμοποιώ τισ καταςταςτικϋσ εξιςώςεισ για να βρω τον τανυςτό των παρ/ςεων:

5 5 ε xx=1/ε(ς xx-vς yy) ε xx= [4-03*(-12)] εxx=1086*10-4 ε yy=1/ε(ς yy-vς xx) ε yy= [(-12)-03*4] εxx=-1886*10-4 ε zz=-ν/ε(ς yy ς xx) ε zz=- (-12+4) εzz=34286* Άρα ο τανυςτόσ των κύριων παρ/ςεων θα εύναι: Αxy=[ ] * Επειδό το Αxy εύναι κύριο ςύςτημα ςημαύνει ότι η μεταβολό τησ ορθόσ γωνύασ ΒΑΓ εύναι μηδϋν. 3. Για να υπολογύςω πλόρωσ των τανυςτό των τϊςεων ςτο ςύςτημα Αx'y' αρκεύ να υπολογύςω τισ τιμϋσ των τ και ς (βλ.ςχϋςη 2). Για να τισ υπολογύςω ςτρϋφω το ςύςτημα Αxy κατϊ 30 0 αριςτερόςτροφα και μεταφϋρομαι ςτο Αx'y'. ς y'y'= - cos60 0 -ς xysin60 03 ς y'y'= - cos ς y'y'=-8mpa ς x'y'=- sin60 0 -ς xycos60 03 ς x'y'=- sin ς x'y'=-6928mpa Άρα ο τανυςτόσ των τϊςεων θα εύναι: ς Αx'y'=[ ] [MPa] 4. Η μϋγιςτη διατμητικό τϊςη ςτο επύπεδο xy θα εύναι: τ max= τ max= ( ) τ max=80mpa

6 6 5. Με βϊςη τον κύριο τανυςτό των τϊςεων μπορώ να χαρϊξω τον κύκλο του Mohr. Ξεκινϊμε με τα ςημεύα Α και Β που ϋχουν ςυντεταγμϋνεσ: Α(4 0) Β(-12 0) Σότε το κϋντρο του κύκλου θα ϋχει ςυντεταγμϋνεσ: Κ(-4 0) και ακτύνα r= =8MPa

7 7 ΘΕΜΑ 3 ο ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΙΙ - 17/06/ ΣΜΗΜΑ ΠΟΛΙΣΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ - E.M.Π. Πρόβολοσ ΑΒ ςύνθετησ διατομόσ αποτελεύται από ξύλο και χϊλυβα όπωσ ςτο ςχόμα. Να προςδιοριςθεύ η μϋγιςτη τιμό τησ ϋνταςησ q του κατανεμημϋνου φορτύου που μπορεύ να παραλϊβει η διατομό δεδομϋνου ότι οι επιτρεπόμενεσ τϊςεισ ςε θλύψη και εφελκυςμό εύναι ς επ(χαλ)=120mpa ς επ(ξυλ)=7mpa και τα μϋτρα ελαςτικότητασ Ε χαλ=200gpa και Ε ξυλ=10gpa. Λύςη: Καταςκευϊζω ςε πρώτη φϊςη το διϊγραμμα ροπών του προβόλου. Η μεγαλύτερη τιμό βρύςκεται ςτη θϋςη τησ πϊκτωςησ(θϋςη Β) και εύναι: Μ Β=- =- Μ Β=-8q knm(=maxm) 1 (το q ςε kn/m) "Μετατρϋπω" τον χϊλυβα ςε ξύλο. Έτςι θα ϋχω b ΝΕΟ=n*b= 30 b ΝΕΟ=600cm. Σελικϊ η ιδεατό διατομό μου θα εύναι όπωσ φαύνεται ςτο παρακϊτω ςχόμα δύπλα ςτην πραγματικό. Ορύζω βοηθητικό ςύςτημα αξόνων για να βρω το Κ.Β. τησ ιδεατόσ διατομόσ το Οy'z'. ΕΤΡΕΗ ΚΕΝΣΡΟΤ ΒΑΡΟΤ (G) Χωρύζω την ιδεατό διατομό ςε τρύα τμόματα(ολικό=1 2-3) z G= z G= ( ) ( ) ( ) z ( ) ( ) ( ) G'=14563cm

8 8 ΕΤΡΕΗ ΡΟΠΗ ΑΔΡΑΝΕΙΑ ΔΙΑΣΟΜΗ 1 Ι = 1 +(600*1)*( ) 2 Ι = cm 4 2 Ι = 2 +(40*30)*( ) 2 Ι = cm 4 3 Ι = 3 +(20*10)*( ) 2 Ι =920566cm Άρα Ι =Ι +Ι -Ι Ι = cm 4 ΕΛΕΓΧΟ ΣΑΕΩΝ Κρύςιμεσ περιπτώςεισ εύναι ςτα δύο ϊκρα τησ διατομόσ. Άνω ϊκρο(χϊλυβασ) ς ς επιτρ n ς επιτρ *10-2 *20 120*10 3 q 1644kN/m Κϊτω ϊκρο(ξύλο) ς ύ ς επιτρ ύ ς επιτρ *10-2 7*10 3 q 10565kN/m Άρα η μϋγιςτη τιμό του φορτύου που μπορεύ να καταπονόςει τον πρόβολο εύναι: q επιτρ=min[ ]=10565kN/m