Η ιστορία του 5 ου αιτήματος του Ευκλείδη και οι μη Ευκλείδειες Γεωμετρίες : Ένα διδακτικό πείραμα σε μαθητές Β Λυκείου

Transcript

1 Η ιστορία του 5 ου αιτήματος του Ευκλείδη και οι μη Ευκλείδειες Γεωμετρίες : Ένα διδακτικό πείραμα σε μαθητές Β Λυκείου Παναγιώτα Κοταρίνου, Καλλιτεχνικό σχολείο Γέρακα pkotarinou@uth.gr Χαρούλα Σταθοπούλου ΠΤΕΑ Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας hastath@sed.uth.gr Περίληψη: H εισήγηση αντλεί από την εμπλοκή μιας ομάδας μαθητών Β Λυκείου σε ένα διαθεματικό project που αφορούσε στην αξιωματική θεμελίωση της Ευκλείδειας και των μη-ευκλείδειων Γεωμετριών (Υπερβολικής και Ελλειπτικής γεωμετρίας) και το οποίο υλοποιήθηκε μέσω τεχνικών «Δραματικής Τέχνης στην Εκπαίδευση» 1. Οι μαθητές μας σε ένα συνεργατικό πλαίσιο πραγματεύτηκαν μαθηματικές έννοιες γεωμετρικές έννοιες έγραψαν κείμενα για τα δρώμενα και τα παρουσίασαν υποδυόμενοι ρόλους. Στην εργασία αυτή εξετάζεται η συμβολή της «Δραματικής Τέχνης στην Εκπαίδευση» (ΔΤΕ) στη διδασκαλία και μάθηση των μαθηματικών εννοιών, στη δημιουργία μιας ανθρωπιστικής εικόνας για τα Μαθηματικά και στη δημιουργία ενός διδακτικού περιβάλλοντος που συντελεί στην ψυχική ευεξία των μαθητών. Λέξεις κλειδιά : Αξιωματική θεμελίωση Ευκλείδειας, Υπερβολικής και Ελλειπτικής Γεωμετρίας, Δραματική Τέχνη στην Εκπαίδευση 1. Εισαγωγή Πολλές έρευνες τα τελευταία χρόνια έχουν δείξει ότι παρά το γεγονός ότι η Γεωμετρία θεωρείται ως ένα από τα σπουδαιότερα αντικείμενα των Μαθηματικών, πολλοί από τους μαθητές τρέφουν μικρή εκτίμηση γι αυτήν, ενώ ένα μεγάλο ποσοστό αντιμετωπίζει πολλές δυσκολίες στη μάθηση και κατανόησή της. Επειδή η αξιωματική Γεωμετρία θεωρείται ότι είναι το πιο δύσκολο αντικείμενο από όλα τα σχολικά μαθηματικά και ως προς τη διδασκαλία του και ως προς τη μάθηση Stone[1], η ερευνητική κοινότητα προσπαθεί να εντοπίσει τις δυσκολίες που αντιμετωπίζουν οι μαθητές στη μάθηση της Γεωμετρίας, να προσδιορίσει τα αίτια που προκαλούν τις δυσκολίες αυτές και να μελετήσει τα πλέον κατάλληλα μαθησιακά περιβάλλοντα που θα βοηθήσουν να υπερβούν τις δυσκολίες. Σκοπός των ερευνητών είναι η δημιουργία μαθησιακού περιβάλλοντος το οποίο θα έχει νόημα για τα παιδιά, θα αρμόζει στη φύση τους και θα τους παρέχει κίνητρα για μάθηση. 1 Η Δραματική Τέχνη στην Εκπαίδευση (ΔΤΕ) αποτελεί μια αυστηρά δομημένη παιδαγωγική διαδικασία η οποία χρησιμοποιεί ασκήσεις και τεχνικές της δραματικής τέχνης (Άλκηστις 2000). Συνέδριο για τα Μαθηματικά στα Π.Π.Σ

2 Η ιστορία του 5 ου αιτήματος του Ευκλείδη και οι μη Ευκλείδειες Γεωμετρίες: Αν και τόσο στο Ενιαίο Πλαίσιο Προγραμμάτων Σπουδών προτείνεται αλλαγή στη φιλοσοφία της διδασκαλίας και της μάθησης των Μαθηματικών 2, όσο και στις οδηγίες του Παιδαγωγικού Ινστιτούτου εμπεριέχονται καινοτομίες με στόχο την υλοποίηση των αρχών τις σύγχρονης Διδακτικής των Μαθηματικών 3, οι εκπαιδευτικοί στην Ελλάδα εξακολουθούν να διδάσκουν σύμφωνα με τα παραδοσιακά μοντέλα, με αποτέλεσμα την αναποτελεσματική διδασκαλία των μαθηματικών Τζεκάκη [2], Tzekaki et al [3], με την πλειοψηφία των δασκάλων αλλά και των μαθητών να συναντά δυσκολίες στην υιοθέτηση αλλαγών της διδακτικής τους πρακτικής Sakonidis et al [4]. Mια επισκόπηση ερευνών που έχουν διεξαχθεί τα τελευταία χρόνια στην Ελλάδα αναδεικνύει την ανεπάρκεια της παραδοσιακής διδασκαλίας των Μαθηματικών Θωμαΐδης [5]. Επειδή οι παραδοσιακές μέθοδοι για τη μάθηση και τη διδασκαλία των μαθηματικών έχουν περιορισμένα αποτελέσματα, η ερευνητική κοινότητα έχει στραφεί στην αναζήτηση εναλλακτικών προσεγγίσεων. Σ αυτό το πλαίσιο, μεταξύ άλλων προσεγγίσεων για τη βελτίωση της μάθησης και διδασκαλίας των μαθηματικών διερευνάται η σύνδεση των Μαθηματικών με τις τέχνες. Τις εικαστικές ή πλαστικές τέχνες ζωγραφική, γλυπτική, αρχιτεκτονική, φωτογραφία τις παραστατικές ή ερμηνευτικές τέχνες (performing arts) δράμα, μουσική, όπερα, χορό, χοροθέατρο και τη λογοτεχνία. Η θετική επίδραση της τέχνης στη μάθηση των Μαθηματικών έχει παρατηρηθεί όχι μόνο ως αποτέλεσμα της ενασχόλησης των μαθητών με τις τέχνες σε σχολικά προγράμματα πλούσια σε καλλιτεχνικές δραστηριότητες Catterall et al [6], αλλά κυρίως από τη διδασκαλία των Μαθηματικών μέσω της τέχνης (Learning in and through the arts) Catteral [7], Catteral [8]. Όσον αφορά στη διδασκαλία της Γεωμετρίας η διαπίστωση είναι, ότι αυτή έχει περιέλθει σε μια κατάσταση υποβάθμισης και αδιεξόδου Θωμαΐδης [9]. Η εισαγωγή της Αναλυτικής Γεωμετρίας περιόρισε τη διδασκαλία της Γεωμετρίας σε δύο σχολικά έτη και περιόρισε και τις ώρες που διατίθενται για τη διδασκαλία του 1ου κεφαλαίου που αναφέρεται στην αξιωματική θεμελίωση της γεωμετρίας, καθώς και ουσιαστική κατάργηση των γεωμετρικών κατασκευών και της Στερεομετρίας. Σημαντικό επίσης πρόβλημα αποτελεί το ότι ενώ η Γεωμετρία διδάσκεται στην υποχρωτική εκπαίδευση και στις δύο πρώτες τάξεις του Λυκείου, δεν συμπεριλαμβάνεται στα μαθήματα με τα οποία αξιολογείται η εισαγωγή των μαθητών στην Τριτοβάθμια εκπαίδευση. Το γεγονός ότι η Γεωμετρία δεν περιλαμβάνεται στα εξεταστέα μαθήματα είναι γνωστό στους μαθητές και έχει ως αποτέλεσμα αυτοί να ενδιαφέρονται λιγότερο έως καθόλου για το μάθημα αυτό. Τα προβλήματα αυτά στη διδασκαλία της Γεωμετρίας αποτέλεσαν το κίνητρο για να ερευνήσουμε αν η χρήση της τέχνης και πιο ειδικά της Δραματικής τέχνης στην Εκπαίδευση βελτιώνει τη διδασκαλία της Γεωμετρίας στο Λύκειο και αν έχει τη δυνατότητα να καλλιεργήσει ικανότητες και δυνατότητες που θεωρούνται σημαντικές στη διδασκαλία των μαθηματικών. 2 Η διαδικασία μάθησης των μαθηματικών είναι μια κατασκευαστική δραστηριότητα (ΕΠΠΣ, 1998). 3 Θεωρία οικοδόμησης τις γνώσης, κοινωνική διάσταση τις γνώσης. Συνέδριο για τα Μαθηματικά στα Π.Π.Σ

3 2. Το πλαίσιο και η μέθοδος της έρευνας Το πλαίσιο της έρευνας: Η έρευνα πραγματοποιήθηκε σε τμήμα 26 μαθητών/τριών Β Λυκείου (16 κορίτσια, 10 αγόρια). Από τους συμμετέχοντες μαθητές/τριες οι 17 ακολουθούσαν το πρόγραμμα σπουδών της θετικής και τεχνολογικής κατεύθυνσης και οι 9 τον κύκλο της θεωρητικής. Η έρευνα έγινε στο Πειραματικό Λύκειο Ιλίου και είχε διάρκεια τεσσάρων μηνών (σχολ. έτος ). H Μέθοδος της έρευνας: Για τη συλλογή των δεδομένων αξιοποιήσαμε τεχνικές εθνογραφικής έρευνας (παρατήρηση, συνεντεύξεις), ορισμένες συζητήσεις στην τάξη μαγνητοφωνήθηκαν και αναλύθηκαν και όλα τα δρώμενα των μαθητών βιντεοσκοπήθηκαν και αναλύθηκαν. Για την παρέμβασή μας στηριχτήκαμε στη λογική του διδακτικού πειράματος (Χρονάκη, 2008). Το διδακτικό πείραμα έφερε τον τίτλο Είναι ο κόσμος μας Ευκλείδειος; και αφορούσε στη διδασκαλία με χρήση τεχνικών ΔΤΕ της αξιωματικής θεμελίωσης της Ευκλείδειας, της Υπερβολικής και Ελλειπτικής Γεωμετρίας καθώς και της ιστορίας του 5ου αιτήματος του Ευκλείδη. Πραγματοποιήθηκε σε 25 διδακτικές ώρες, στη διάρκεια 7 εβδομάδων και διέτρεξε τα μαθήματα της Γεωμετρίας, Ιστορίας, Νεοελληνικής Γλώσσας Λογοτεχνίας και Αρχαίων Ελληνικών. Το διδακτικό πείραμα Είναι ο κόσμος μας Ευκλείδειος; Διδακτικοί στόχοι του διδακτικού πειράματος Με τη μελέτη της αξιωματικής θεμελίωσης της Ευκλείδειας, της Υπερβολικής και Ελλειπτικής Γεωμετρίας θέσαμε τους παρακάτω στόχους. 1. Γνωστικούς: α) Να γνωρίσουν οι μαθητές πώς θεμελιώνονται αξιωματικά τα τρία μοντέλα Γεωμετριών και να κατανοήσουν και συγκρίνουν τα αξιώματα και τις βασικές έννοιες των παραπάνω Γεωμετριών. β) Να κατανοήσουν ότι τα παραπάνω γεωμετρικά μοντέλα έχουν διαφορετικές ιδιότητες ανάλογα με το αξίωμα των παραλλήλων. γ) Μέσω της σύγκρισης των ομοιοτήτων και διαφορών των τριών Γεωμετριών επιδιώξαμε να δώσουμε την ευκαιρία στους μαθητές να επαναδιαπραγματευτούν βασικές έννοιες της Ευκλείδειας Γεωμετρίας και να κερδίσουν επίσης μια βαθύτερη και συνολικότερη κατανόηση της Γεωμετρίας. 2. Επιστημολογικούς: α) Να αντιληφθούν οι μαθητές ότι τα Μαθηματικά είναι μια πολιτισμική κατασκευή, δηλ. είναι ενταγμένα σε ένα πολιτισμικό πλαίσιο και είναι συνδεδεμένα με τη ζωή. β) Να αντιληφθούν ότι τα Μαθηματικά είναι ιστορικά εξελισσόμενο ανθρώπινο δημιούργημα. γ) Να αμφισβητηθεί η βεβαιότητα της απόλυτης αλήθειας στα Μαθηματικά, μέσω της γνωριμίας των μαθητών με τις μη Ευκλείδειες Γεωμετρίες. Για τη Γεωμετρία ειδικότερα επιζητούσαμε, α) Να γίνει φανερό στους μαθητές ότι η Γεωμετρία είναι ένας επιστημονικός κλάδος ο οποίος δεν ολοκληρώθηκε πριν 2000 χρόνια στην Αρχαία Ελλάδα, αλλά αποτελεί ένα σύγχρονο και ενεργό πεδίο έρευνας. β) Να συνειδητοποιήσουν οι μαθητές ότι η Ευκλείδεια Γεωμετρία είναι μία από τις πολλές υποψήφιες Γεωμετρίες ως Γεωμετρία του Σύμπαντος. γ) Συνέδριο για τα Μαθηματικά στα Π.Π.Σ

4 Η ιστορία του 5 ου αιτήματος του Ευκλείδη και οι μη Ευκλείδειες Γεωμετρίες: Να αντιληφθούν την απελευθέρωση της Γεωμετρίας ως επιστήμης που προσπαθεί να περιγράψει τις χωρικές ιδιότητες του κόσμου στον οποίο ζούμε και ότι οι μαθηματικοί μπορούν να κατασκευάσουν διάφορες Γεωμετρίες, θέτοντας αξιώματα, με μόνη προϋπόθεση τη συνέπεια μεταξύ τους και όχι τη φυσική τους αλήθεια. 3. Συναισθηματικούς: Σε όλο το διδακτικό πείραμα επιδιώξαμε τη συναισθηματική ευεξία των μαθητών μας. 4. Διαθεματική προσέγγιση της γνώσης: Η διαχρονική εξέλιξη της Γεωμετρίας συνδεδεμένη με τις ιστορικές, κοινωνικές, οικονομικές και πολιτικές συνθήκες κάθε εποχής θεωρήσαμε ότι μπορεί να αποτελέσει τον ενοποιητικό παράγοντα σε διάφορα μαθήματα του αναλυτικού προγράμματος όπως η Αρχαία Ελληνική γλώσσα, η Νεοελληνική Γλώσσα, η λογοτεχνία, η Ιστορία και τα Μαθηματικά. Για την επίτευξη των παραπάνω στόχων αξιοποιήσαμε διάφορες τεχνικές «Δραματικής Τέχνης στην Εκπαίδευση», με τελικό προϊόν του διδακτικού πειράματος μια ταινία- (δραματοποιημένο ντοκιμαντέρ) για την Ευκλείδεια και τις μη-ευκλείδειες Γεωμετρίες. Παρουσίαση του διδακτικού πειράματος α. Δομή του διδακτικού πειράματος Άξονες του διδακτικού πειράματος: Τρεις ήταν οι άξονες του διδακτικού μας πειράματος. Οι Μαθηματικές έννοιες, το ιστορικό και πολιτισμικό πλαίσιο στο οποίο αυτές γεννήθηκαν και αναπτύχθηκαν και τα πρόσωπα που συμμετείχαν στη γέννεσή τους. Ενότητες του διδακτικού πειράματος:το όλο διδακτικό πείραμα χωρίστηκε σε επτά ενότητες, ανάλογα με το θέμα των Μαθηματικών που αναπτύχθηκε σε κάθε μία. Την τελευταία ενότητα αποτέλεσε η δημιουργία της ταινίας. Για κάθε ενότητα, προσδιορίσαμε τους ειδικούς στόχους συνδέοντάς τους με τους σκοπούς που είχαμε θέσει για το διδακτικό πείραμα Δομή ενοτήτων : Η δομή των δραστηριοτήτων σε κάθε διδακτική ενότητα ήταν σε γενικές γραμμές η ακόλουθη. Η ερευνήτρια έκανε μια εισαγωγική διάλεξη στο θέμα, με τη βοήθεια μιας ψηφιακής παρουσίασης και ταυτόχρονα ή μετά τη διάλεξη επακολουθούσε σχετική συζήτηση. Σε επόμενες διδακτικές ώρες οι μαθητές σε ομάδες, μελετούσαν σχετική με το θέμα βιβλιογραφία, που τους μοίραζε η ερευνήτρια, με στόχο την κατανόηση του διδασκόμενου θέματος. Ορισμένες φορές για πληρέστερη κατανόηση του θέματος γινόταν αξιοποίηση των Νέων Τεχνολογιών καθώς και χειραπτικού υλικού και αν κρινόταν απαραίτητο γινόταν μια μικρή ανακεφαλαιωτική συζήτηση ή δραστηριότητα με τους μαθητές. Τέλος οι ομάδες προετοίμαζαν και πραγματοποιούσαν παρουσιάσεις σχετικές με το θέμα, αξιοποιώντας τεχνικές ΔΤΕ. Στο τέλος των παρουσιάσεων, δινόταν χρόνος για να αναστοχαστούν οι μαθητές σχετικά με το θέμα, την παρουσίαση και την προετοιμασία του δρώμενου. Ο αναστοχασμός μετά από κάθε ενότητα μας έδινε την ευκαιρία να εντοπίζουμε τυχόν παρανοήσεις των μαθητών και με δικές μας παρεμβάσεις, με τεχνικές Δράματος ή μη, να διασαφηνίζουμε τις παρανοήσεις αυτές. Συνέδριο για τα Μαθηματικά στα Π.Π.Σ

5 Στη συνέχεια παρουσιάζουμε επιγραμματικά τις ενότητες του project. 1η: Τα στοιχεία του Ευκλείδη και η αξιωματική θεμελίωση της Γεωμετρίας. Σχέση της αξιωματικής θεμελίωσης του Ευκλείδη με τη Λογική του Αριστοτέλη και μελέτη από το πρωτότυπο, των ορισμών, των κοινών εννοιών και των αξιωμάτων του Ευκλείδη καθώς και σχολίων που αφορούν σε αυτά. Ανακεφαλαιωτική παρουσίαση της αξιωματικής θεμελίωσης του Ευκλείδη, με την τεχνική Δάσκαλος σε ρόλο. Δραστηριότητες των μαθητών με τεχνικές Δράματος όπως : παιχνίδι ρόλων, ρεπορτάζ και Alter-ego. 2 η : Ο Ευκλείδης και το ιστορικό, πολιτισμικό και πολιτικό πλαίσιο της εποχής του. Δραματοποιημένη αφήγηση από τους μαθητές του κεφαλαίου Η έπαρση του Ευκλείδη από το βιβλίο Η ράβδος του Ευκλείδη του Jean-Pierre Luminet. 3η: Η ιστορία στη σκιά. Η αμφισβήτηση του 5 ου αιτήματος ως τον 18 ο αι. Γνωριμία των μαθητών με την ιστορία αμφισβήτησης του 5 ου αιτήματος του Ευκλείδη από τους διαδόχους του και παρουσίαση από τους μαθητές με τεχνικές θεάτρου σκιών των αποτυχημένων προσπαθειών απόδειξής του από τους Άραβες μαθηματικούς καθώς και από τους Σακκιέρι και Λάμπερτ. Ισοδύναμες με το 5 ο αίτημα αίτημα προτάσεις της Ευκλείδειας Γεωμετρίας. 4η: Οι θεμελιωτές των μη-ευκλείδειων Γεωμετριών, János Bolyai, Lobatscevski και Riemann. Μετά από μελέτη των βιογραφιών τους, παρουσίαση του Lobatsefski με την τεχνική Περίγραμμα ρόλου στον τοίχο και του Riemann με την τεχνική ένα πορτραίτο ζωντανεύει. Γνωριμία με τον János Bolyai μέσα από δραματοποιημένη ανάγνωση της αλληλογραφίας του πατέρα του με τον ίδιο και με τον Gauss και μέσα από τις τεχνικές της ΔΤΕ Διάδρομος της συνείδησης και Αντικρουόμενες συμβουλές. 5η: Αυτός ο κόσμος ο μικρός ο μέγας. Η Υπερβολική Γεωμετρία και το μοντέλο Poincaré για την υπερβολική Γεωμετρία. Αξιωματική θεμελίωση, βασικές έννοιες και προτάσεις της Υπερβολικής Γεωμετρίας μέσω του μοντέλου Poincaré. Μελέτη αποσπασμάτων από το βιβλίο Flatterland του Ian Stewart και Ραδιοφωνικές εκπομπές για τη Δισκοχώρα (μια χώρα με σχήμα δίσκου Poincaré). 6η: Η Σφαιρική Γεωμετρία. Βασικές έννοιες στη σφαίρα και αξιωματική θεμελίωση της Ελλειπτικής Γεωμετρίας. Δραστηριότητα με παιχνίδι ρόλων για την αξιολόγηση της διατηρησιμότητας της γνώσης. 7η:Ταινία: Η ζωή μας με τον Ευκλείδη. Δημιουργία ενός δραματοποιημένου ντοκυμαντέρ, με μαθητές σε ρόλο αφηγητών να συνδέουν τα βιντεοσκοπημένα δρώμενα που πραγματοποιήθηκαν στο διδακτικό πείραμα. Οι αφηγητές αφού μελέτησαν αντίστοιχη με το θέμα τους βιβλιογραφία, η οποία έχει επιλεγεί και τους έχει δοθεί από την ερευνήτρια, διαμόρφωσαν τα κείμενά τους. Η βιντεοσκόπηση πραγματοποιήθηκε από μαθητή ο οποίος ανέλαβε το ρόλο του cameraman. Στο τέλος του διδακτικού πειράματος πραγματοποιήθηκε ο τελικός αναστοχασμός των μαθητών σχετικά με όσα πραγματοποιήθηκαν. 3. Αποτελέσματα Συνέδριο για τα Μαθηματικά στα Π.Π.Σ

6 Η ιστορία του 5 ου αιτήματος του Ευκλείδη και οι μη Ευκλείδειες Γεωμετρίες: Α. Επίδραση της διδασκαλίας με τεχνικές ΔΤΕ στη μάθηση, κατανόηση και διατηρησιμότητα της γνώσης των μαθηματικών εννοιών. Τα έργα που δόθηκαν κατά το διδακτικό πείραμα στόχευαν στη διερεύνηση από τους μαθητές της Αξιωματικής θεμελίωσης της Ευκλείδειας Γεωμετρίας και των μη Ευκλείδειων Γεωμετριών όπως της Ελλειπτικής και της Υπερβολικής Γεωμετρίας, καθώς και των ανεπιτυχών προσπαθειών απόδειξης του 5 ου αιτήματος ανά τους αιώνες. Η ανάλυση των φύλλων εργασίας ως προς την ορθότητα των απαντήσεων και η ανάλυση των διαλόγων των δρώμενων των ομάδων ως προς την ορθή χρήση της μαθηματικής ορολογίας και την κατανόηση των μαθηματικών εννοιών μας έδειξε ότι κάθε ομάδα κατανόησε σε βάθος τις έννοιες που επεξεργάστηκε και παρουσίασε μέσα από τα δρώμενα. Τα αποτελέσματά μας δεν αφορούν τη μάθηση κάθε υποκειμένου ξεχωριστά αλλά τη συλλογική πνευματική εμπειρία των μαθητών στο κοινωνικό περιβάλλον της τάξης. Οι στόχοι μας για την 1η ενότητα όπως τους είχαμε καθορίσει, ήταν να γνωρίσουν οι μαθητές την αξιωματική θεμελίωση της Γεωμετρίας από τον Ευκλείδη και να διευκρινήσουν τις έννοιες ορισμός, αρχικές έννοιες, αξίωμα. Η ανάλυση των διαλόγων από τις παρουσιάσεις των μαθητών έδειξε ότι δεν είχαν μαθηματικά λάθη (εκτός ελαχίστων, τα οποία δεν επηρέαζαν την κατανόηση των εννοιών αυτών από τους θεατές) και έδιναν μια ολοκληρωμένη εικόνα του θέματος που πραγματεύονταν. Παραθέτουμε ορισμένα χαρακτηριστικά αποσπάσματα από τους διαλόγους των δρώμενων. Γιάννης:Τι είναι οι κοινές έννοιες ή τα αξιώματα κατά τον Αριστοτέλη; Αγγελική:Είναι ιδιότητες οι οποίες είναι δεκτές απ όλες τις επιστήμες. Γιάννης: Ο ίδιος ο Ευκλείδης χρησιμοποιεί κοινές έννοιες; Αγγελική:Βεβαίως τις χρησιμοποιεί προκειμένου να θεμελιώσει την επιστήμη του. Γιάννης: Ποιες είναι αυτές οι κοινές έννοιες; Αγγελική :Αν σε ίσα προσθέσουμε ίσα,... αν από ίσα αφαιρεθούν ίσα τα υπολοιπόμενα είναι ίσα. Το όλο είναι μεγαλύτερο του μέρους. Αν είναι ίσα προς το ίδιο, είναι ίσα μεταξύ τους. Και αυτά που εφαρμόζουν το ένα πάνω στο άλλο είναι ίσα μεταξύ τους. Γιάννης:Ποια από τις κοινές έννοιες δεν ισχύει για όλες τις επιστήμες; Αγγελική:Η τέταρτη ιδιότητα δεν ισχύει. Ισχύει για τη Γεωμετρία. Γιάννης: Μπορείτε να μας δώσετε ένα παραδειγμα για μια από τις κοινές έννοιες; Αγγελική:Αν δυο αντικείμενα είναι ίσα προς ένα τρίτο, τότε είναι και ίσα μεταξύ τους, δηλ. αν α=β και α=γ, τοτε β=γ. Απόσπασμα 1 ο. Διάλογος μεταξύ δύο μαθητών σε ρόλο. Ο Γιάννης μαθητής σε ρόλο ρεπόρτερ σε τηλεοπτική εκπομπή παίρνει συνέντευξη από την Αγγελική μαθήτρια σε ρόλο ερευνήτριας στην ιστορία των Μαθηματικών. Αντώνης: Σημείο είναι ότι δεν έχει μέρος. Γραμμή είναι μήκος δίχως πλάτος, Εδώ ο Ευκλείδης ουσιαστικά αναφέρεται στο σημείο ως κάτι άυλο, χωρίς διαστάσεις. Επίσης στη γραμμή σαν ένα μήκος απλά χωρίς διαστάσεις και αυτό πάλι κάτι σαν πολύ γενικότερο, σαν μια απλή γραμμή με μήκος. Βιργιάννα: Εφ όσον είναι αυτές θεμελιώδεις έννοιες και τις ορίζει ο Ευκλείδης, πού ξέρουμε εμείς ότι στην ουσία υπάρχουν; Που βασίζονται; Συνέδριο για τα Μαθηματικά στα Π.Π.Σ

7 Αντώνης: Το συγκεκριμένο ζήτημα ο Ευκλείδης το έχει απαντήσει στα αιτήματα. Απόσπασμα 2 ο. Απόσπασμα μεταξύ δύο μαθητών σε ρόλο. Ο Αντώνης σε ρόλο καθηγητή Μαθηματικών και η Βιργινία σε ρόλο μαθήτριας. Ένας σχολιασμός των αιτημάτων του Ευκλείδη γίνεται απο την Ιωάννα-σε- ρόλο Alter-ego του Ευκλείδη και τον Στέφανο-σε ρόλο ιστορικού της επιστήμης. Ιωάννα: Με τα τρία πρώτα αυτά αιτήματα θέλω να έχω εξασφαλίσει την ύπαρξη δύο θεμελιωδών εννοιών, της ευθείας και του κύκλου. Το 4ο αίτημα το σκέφτηκα, διότι θέλω η τιμή αυτών των γωνιών να παραμένει σταθερή ανεξάρτητα από τη θέση την οποία βρίσκονται. Το 5ο αίτημα με δυσκόλεψε. Αυτό είναι αρκετά πολύπλοκο. Μήπως δεν είναι αίτημα και πρέπει να το αποδείξω; Όχι δεν γίνεται. Απλώς θα προσπαθήσω να μην το χρησιμοποιήσω απ την αρχή. Θα προσπαθήσω να το αποφύγω. Δύσκολο όμως, αργά ή γρήγορα θα το χρειαστώ. Στέφανος:Τα τρία πρώτα αιτήματα, όπως γίνεται φανερό, μπορούν να παραλληλιστούν με τις ειδικές έννοιες του Αριστοτέλη. Δηλ. χρησιμοποιούνται προκειμένου ο Ευκλείδης να μπορέσει να προσδιορίσει τις θεμελιώδεις του έννοιες. Με τα τρία πρώτα αιτήματα λοιπόν, τα οποία ονομάζουμε αιτήματα ύπαρξης, ο Ευκλείδης έχει κατορθώσει να προσδιορίσει τις θεμελιώδεις του έννοιες, την ευθεία, τον κύκλο και το ευθύγραμμο τμήμα. Αντίθετα, όπως και πάλι βλέπουμε το τέταρτο και το πέμπτο αίτημα δεν είναι αιτήματα ύπαρξης. Η ανάλυση των δεδομένων της ενότητας σχετικής με την αμφισβήτηση του 5ου αιτήματος του Ευκλείδη ως τον 18ο αι. Έδειξε ότι οι μαθητές κατανόησαν την έννοια των ισοδύναμων προτάσεων, γνωρίζοντας μια σειρά από ισοδύναμες με το 5ο αίτημα προτάσεις τις οποίες χρησιμοποίησαν μαθηματικοί του Ισλάμ και της αναγέννησης για την απόδειξη του 5ου αιτήματος. Κατανόησαν επίσης το λογικό σφάλμα του κυκλικού επιχειρήματος. Χρήστος:Ο Αλ Χαυθάμ ή Αλχάζεν υποθέτει την ύπαρξη ενός τρισορθογώνιου τετραπλεύρου με τρεις ορθές γωνίες και εξετάζει τις περιπτώσεις η τέταρτη γωνία να είναι οξεία, ορθή ή αμβλεία.αποκλείει τις περιπτώσεις της οξείας και αμβλείας γωνίας θεωρώντας τις παράλληλες ευθείες ως ισαπέχουσες. Αυτό είναι ισοδύναμο με το 5 ο αίτημα. Απόσπασμα 3 ο. Από παρουσίαση με θέατρο σκιών. Στην ενότητα της Υπερβολικής Γεωμετρίας φάνηκε ότι οι τεχνικές δράματος βοήθησαν τους μαθητές να κατανοήσουν τα βασικά στοιχεία του μοντέλου Poincaré και μέσω αυτού τις βασικές έννοιες της Υπερβολικής Γεωμετρίας και την αξιωματική της θεμελίωση. Η προσπάθεια δε κατασκευής ορισμένων σχημάτων στο μοντέλο τους βοήθησε να κατανοήσουν τις αντίστοιχες ε ννοιες απο την Ευκλει δεια γεωμετρι α και η διαπίστωση ότι το άθροισμα των γωνιών ενός τριγώνου είναι μικρότερο των 180 ο τους έκανε να αντιληφθούν το ρόλο του 5 ου αξιώματος της Ευκλείδειας Γεωμετρίας. Εύα: Εντύπωση μου προκάλεσε το γεγονός ότι στη δισκοχώρα υπάρχουν μόνο δύο διαστάσεις και πως αν και από μακριά η χώρα φαίνεται ότι έχει ορισμένη έκταση, στην πραγματικότητα φτάνοντας εκεί αντιλαμβάνεσαι ότι είναι άπειρη. Αγγελική: Αξιοσημείωτο είναι το γεγονός ότι η δισκοχώρα είναι ένας κυκλικός δίσκος χωρίς περιφέρεια και σημεία ορίζονται μόνο στο εσωτερικό. Συνέδριο για τα Μαθηματικά στα Π.Π.Σ

8 Η ιστορία του 5 ου αιτήματος του Ευκλείδη και οι μη Ευκλείδειες Γεωμετρίες: Απόσπασμα 4 ο. Διάλογος μεταξύ δύο μαθητών -σε -ρόλο. Η Εύα σε ρόλο δημοσιογράφου και η Αγγελική σε ρόλο μαθηματικού προσκεκλημένου στη ραδιοφωνική εκπομπή. Στην ίδια ραδιοφωνική εκπομπή η Αγγελική εξηγεί την έννοια της ευθείας γραμμής στο δίσκο Poincaré και η Μαρία ως κάτοικος της Δισκοχώρας ερμηνεύει την φαινομενική σμίκρυνση ευθυγράμμων τμημάτων ίδιου μέτρου, όσο αυτά απομακρύνονται από το κέντρο του δίσκου. Αγγελική: Πράγματι στην Ευκλείδεια Γεωμετρία αυτό που ονομάζουμε ευθεία γραμμή στο δικό τους κόσμο, το αντιλαμβανόμαστε σαν τόξο κύκλου που τέμνει την περιφέρεια κατά ορθές γωνίες. Μαρία:Τα αντικείμενα της δισκοχώρας καθώς απομακρύνονται προς το άπειρο, συρρικνώνονται, αν και αυτό δε μπορεί να το αντιληφθεί το άτομο που κινείται στη δισκοχώρα γιατί καθώς μικραίνει το άντικείμενο, μικραίνει και το μέτρο. Οπότε σε κάθε μέτρηση έχουμε το ίδιο αποτέλεσμα. Για τη διδασκαλία της αξιωματικής θεμελίωσης της Ελλειπτικής Γεωμετρίας λόγω έλλειψης χρόνου δεν χρησιμοποιήθηκαν οι τεχνικές ΔΤΕ, αλλά μόνον απτικό υλικό όπως η σφαίρα Lénart. Από την αξιολόγηση των φύλλων εργασίας και την προφορική συμμετοχή τους, φάνηκε ότι οι μαθητές κατανόησαν την έννοια της ευθείας και του ευθυγράμμου τμήματος στη Σφαιρική Γεωμετρία, την απουσία παραλληλίας, καθώς και τις βασικές έννοιες και προτάσεις που οδηγούν στην αξιωματική θεμελίωση της Ελλειπτικής Γεωμετρίας. Για τις υπόλοιπες έννοιες οι μαθητές θεωρητικής κατεύθυνσης εγκατέλειψαν γρήγορα τα αντίστοιχα έργα που τους είχαμε αναθέσει και μόνο μία ομάδα από τις 9 συμπλήρωσε όλο το φύλλο εργασίας. Από την ανάλυση των κειμένων των μαθητών οι οποίοι είχαν στην ταινία ρόλο αφηγητή συμπεραίνουμε ότι τα κείμενα ήταν ορθά ως προς το περιεχόμενό τους και περιεκτικά για να μπορέσει ο θεατής της ταινίας να κατανοήσει τα κατάλληλα μαθηματικά θέματα που πραγματεύονταν οι μαθητές στα δρώμενα που ακολουθούσαν την αφήγηση. Στέφανος - Ενώ στη Σφαιρική Γεωμετρία το άθροισμα των γωνιών ενός τριγώνου είναι μεγαλύτερο από 180 ο - Αν όμως στην Ελλειπτική Γεωμετρία δύο πλευρές ενός τετραπλεύρου είναι ίσες και κάθετες στην ίδια πλευρά, το σχήμα δεν είναι ορθογώνιο και οι άλλες δυο γωνίες του είναι αμβλείες -Το ίδιο ισχύει και στη σφαιρική Γεωμετρία. Δεν υπάρχουν σε καμία περίπτωση όμοια τρίγωνα. Όλα τα όμοια τρίγωνα είναι ίσα. - Όσον αφορά το εμβαδόν στην Ελλειπτική Γεωμετρία δύο ευθείες και μόνον μπορούν να ορίζουν και να περικλείουν μια επιφάνεια. -Το μέτρο των γωνιών δεν είναι ίσο για όλα τα ισόπλευρα τρίγωνα. Νικολέττα - Ας πούμε στην Υπερβολική Γεωμετρία ξέρουμε ότι το άθροισμα των γωνιών ενός τριγώνου είναι μικρότερο από 180 ο - Αν δύο πλευρές ενός τετραπλεύρου είναι ίσες και κάθετες στην τρίτη πλευρά, οι δύο άλλες δυο γωνίες του είναι οξείες. - Ένα τρίτο θεώρημα είναι ότι δεν υπάρχει ομοιότητα στα τρίγωνα. Αν δύο τρίγωνα είναι όμοια τότε είναι ίσα. - Επίσης τρίγωνα έχουν το ίδιο εμβαδόν αν και μόνον αν έχουν το ίδιο έλλειμμα ή ισοδύναμα αν και μόνον αν έχουν το ίδιο άθροισμα γωνιών -Το εμβαδόν ενός τριγώνου δεν μπορεί να υπερβεί ένα ορισμένο όριο Συνέδριο για τα Μαθηματικά στα Π.Π.Σ

9 Απόσπασμα 5 ο από την ταινία των μαθητών. Οι δύο μαθητές σε ρόλο αφηγητών μιλούν παράλληλα, δείχνοντας πώς διαφορετικά αιτηματα οδηγούν σε διαφορετικά θεωρήματα. Από τις συνεντεύξεις των μαθητών, δύο σχεδόν μήνες μετά τις παρουσιάσεις, μελετήθηκε η διατηρησιμότητα από τους μαθητές της γνώσης που διδάχθηκε. Επίσης με ένα παιχίδι ρόλων ένα μήνα μετά το διδακτικό πείραμα μελετήθηκε η διατηρησιμότητα της γνώσης για τη Σφαιρική Γεωμετρία. Σχετικά με την αξωματική θεμελίωση της Ευκλείδειας Γεωμετρίας ένας μεγάλος αριθμός μαθητών απάντησε σωστά αν και όχι ολοκληρωμένα. Οι περισσότεροι διατήρησαν στη μνήμη τους ότι ο Ευκλείδης οργάνωσε ήδη υπάρχουσες γνώσεις και για τη θεμελίωση δέχθηκε ορισμένες θεμελιώδεις έννοιες και αιτήματα, χωρίς να μπορούν να αναφέρουν όλα τα αιτήματα. Θεωρούμε ότι στους μαθητές είχε αποτυπωθεί το ότι η προσφορά του Ευκλείδη στη Γεωμετρία είναι ουσιαστικά η οργάνωσή της σε επιστήμη. Ως προς την τρίτη ενότητα οι μισοί μαθητές μαθητές είχαν τη δυνατότητα να μας δώσουν μια ικανοποιητική εικόνα του τι προσπάθησαν να αποδείξουν οι Άραβες και οι Σακκέρι και Λάμπερτ με τους περισσότερους από αυτούς να αναφέρονται στη λήψη ζητουμένου, έννοια η οποία είχε εντυπωθεί στους μαθητές. Ως προς την Υπερβολική Γεωμετρία η πλειοψηφία των ερωτηθέντων μαθητών εντυπωσιασμένη από την παράξενη γι αυτούς Γεωμερία διατήρησαν στη μνήμη τους πολλές από τις έννοιες της Γεωμετρίας αυτής που πραγματευτήκαμε στη διάρκεια του διδακτικού πειράματος. Εννοιες όπως η ευθεία στο μοντέλο Poincaré, η φαινομενική αλλαγή στο μήκος ευθυγράμμων τμημάτων με το ίδιο μέτρο, το διαφορετικό άθροισμα των γωνιών ενός τριγώνου είχε διατηρηθεί στη μνήμη τους δύο μήνες μετά. Σε αντίθεση, από το παιχνίδι ρόλων φάνηκε ότι πολύ λίγοι μαθητές είχαν διατηρήσει στη μνήμη τους τις βασικές έννοιες της Σφαιρικής Γεωμετρίας που διδάχθηκε χωρίς τη χρήση Δράματος. Μόνο η ανυπαρξία της παραλληλίας είχε διατηρηθεί στη μνήμη των περισσοτέρων μαθητών. Σε σχέση με την ανατρεπτική σκέψη των Bolyai και Lobatsewski να δεχθούν ως αξίωμα την άρνηση του 5ου αιτήματος, είχαμε μόνο δύο ολοκληρωμένες και σε βάθος απαντήσεις, από τις οχτώ. Οι ίδιοι οι μαθητές στις συνεντεύξεις τους θεωρούν ότι οι τεχνικές ΔΤΕ στη διδασκαλία, τους βοήθησε να κατανοήσουν τα μαθηματικά θέματα που μελέτησαν και να διατηρήσουν αυτή τη γνώση στη μνήμη τους. -(Ζωή) και έμαθα πολύ περισσότερα πράγματα σε σχέση με το αν ήμουνα σε έναν πίνακα, σε ένα θρανίο καθόμουνα εγώ και ο καθηγητής στον πίνακα και μούλεγε, μούλεγε, μούλεγε. (Από τη συνέντευξη) - (Τζίνα) Ήταν πάρα πολύ ωραία, ήταν κάτι ξεχωριστό και συμφωνώ με αυτά που είπαν προηγουμένως ότι στην ώρα των Μαθηματικών που κάναμε αυτά τα σκετσάκια, ήταν πάρα πολύ ωραία, γιατί περνούσε πιο καλά η ώρα και μαθαίνεις κάποια πράγματα, περισσότερα πράγματα. (Από τη Συζήτηση αναστοχασμού) Β) Επίδραση της διδασκαλίας με τεχνικές ΔΤΕ στην εικόνα των μαθητών για τη Γεωμετρία Συνέδριο για τα Μαθηματικά στα Π.Π.Σ

10 Η ιστορία του 5 ου αιτήματος του Ευκλείδη και οι μη Ευκλείδειες Γεωμετρίες: Ισχυριζόμαστε ότι οι τεχνικές της Δραματικής Τέχνης στην Εκπαίδευση με την ενεργό και βιωματική συμμετοχή των μαθητών στη διδακτική διαδικασία υποστήριξαν τη διδασκαλία η οποία σχεδιάστηκε υπό το πρίσμα της νέας φιλοσοφίας των Μαθηματικών όπως αναφέρεται από τον Ernest [10], [11], [12] και πραγματοποιήθηκε με στόχο τη δημιουργία μιας ουμανιστικής εικόνας για τα μαθηματικά σύμφωνα με την θεώρηση του ίδιου Ernest [10], [11]. Πράγματι το διδακτικό πείραμα είχε ως αποτέλεσμα οι μαθητές να αμφισβητήσουν τις στερεοτυπικές εικόνες τους που συνδέονται με τη Γεωμετρία και να επαναπροσδιορίσουν τη μαθηματική γνώση ως πολιτισμική και κοινωνική κατασκευή. Το διδακτικό πείραμα βοήθησε να αναδειχθούν και άλλες όψεις των μαθηματικών, όπως τα Μαθηματικά ως ένα ιστορικά εξελισσόμενο ανθρώπινο δημιούργημα και ως μια δημιουργία υπό συνεχή διαπραγμάτευση. Η γνωριμία των μαθητών στο διδακτικό μας πείραμα με μία επιστημολογική ρήξη στα Μαθηματικά, καθώς και με την πορεία προς αυτήν, προκάλεσε τις αντιλήψεις τους για τη Γεωμετρία και γενικότερα για τα Μαθηματικά ως επιστήμης της απόλυτης αλήθειας και προκάλεσε την κυρίαρχη πεποίθηση ότι η Ευκλείδεια γεωμετρία είναι το μόνο μοντέλο που ερμηνεύει και αντιπροσωπεύει τον πραγματικό κόσμο μας, αμφισβητώντας έτσι και άλλες βεβαιότητες. Το θέμα του πρότζεκτ έπαιξε σημαντικό ρόλο στην αμφισβήτηση της στερεοτυπικής εικόνας των μαθητών για τη Γεωμετρία αλλά οι συμβάσεις του Δράματος όπως το παιχνίδι ρόλων, η δραματοποίηση, ο διάδρομος συνείδησης οι αντικρουόμενες συμβουλές δημιούργησαν το πλαίσιο που πρόσφερε στους μαθητές καινοτόμους και δημιουργικούς τρόπους ώστε να επαναπροσδιορίσουν τη μαθηματική γνώση, ως μια κοινωνικά κατασκευασμένη ανθρώπινη επινόηση. Γ) Συναισθηματική ευεξία των μαθητών και Δραματική Τέχνη στην Εκπαίδευση Το διδακτικό περιβάλλον με αξιοποίηση τεχνικών ΔΤΕ έχει τη δυνατότητα να ενισχύσει την ψυχική ευεξία των μαθητών κατά τη διάρκεια του διδακτικού πειράματος. Ενώ κατά τη διάρκεια του καθημερινού μαθήματος στη Γεωμετρία, οι μαθητές στην πλειοψηφία τους είχαν αρνητικά συναισθήματα, κατά τη διάρκεια του διδακτικού πειράματος διαπιστώθηκε μια μεταστροφή των συναισθημάτων τους η οποία ήταν χαρακτηριστική για όλο το διδακτικό πείραμα. Oι μαθητές έδειχναν γεμάτοι ζωντάνια, μιλούσαν μεταξύ τους, εξηγούσαν ο ένας στον άλλον, πειράζονταν, γελούσαν, διασκέδαζαν. Αντώνης: υπήρχε διασκέδαση ναι δε μπορώ να πω ότι δεν υπήρχε, γελάσαμε αρκετά, ενθουσιασμός είναι υπερβολική λέξη; (Από τη συνέντευξη) Χρήστος: Στο πρότζεκτ... Είμαστε σε ομάδες, περνάγαμε καλά, συμμετείχαμε όλοι.. (Από τη συνέντευξη Δ) Διαθεματικότητα και Δράμα Ο τρόπος που διδάσκονται τα μαθηματικά στο σχολείο δημιουργεί στους μαθητές την αντίληψη ότι πρόκειται για ένα αντικείμενο αποκομμένο από άλλες όψεις ανθρώπινης έκφρασης. Στο διδακτικό μας πείραμα το 5ο αίτημα του Ευκλείδη, ένα θέμα από την ιστορία των Μαθηματικών, αποτέλεσε την έννοια η οποία ενέπλεξε και συντόνισε τα υπόλοιπα μαθήματα του αναλυτικού προγράμματος. Οι μαθητές στο τμήμα αυτό είχαν την ευκαιρία στο μάθημα της Συνέδριο για τα Μαθηματικά στα Π.Π.Σ

11 Γλώσσας να γράψουν κείμενα τα οποία περιελάμβαναν μαθηματικό λόγο και να μελετήσουν βιογραφίες που αφορούσαν σπουδαίους μαθηματικούς, στο μάθημα της Λογοτεχνίας να μελετήσουν αποσπάσματα από βιβλία μαθηματικής Λογοτεχνίας, στο μάθημα των Αρχαίων Ελληνικών να έλθουν σε επαφή με μαθηματικά κείμενα γραμμένα στην Αρχαία Ελληνική γλώσσα, ενώ για πρώτη φορά στο μάθημα της ιστορίας αντιμετώπισαν τα Μαθηματικά ως πολιτισμικό αγαθό. Και ενώ το 5 ο αίτημα ήταν η έννοια που συνέδεσε τα αντικείμενα του αναλυτικού προγράμματος, η Δραματική Τέχνη στην Εκπαίδευση αποτέλεσε το πλαίσιο που προσέφερε τους τρόπους σύνδεσης των διαφορετικών αυτών γνωστικών αντικειμένων και ενήργησε ως καταλύτης για την ενιαιοποίηση της κατακερματισμένης γνώσης. Η δημιουργία της ταινίας, του δραματοποιημένου ντοκυμαντέρ, με τις αφηγήσεις και τα δρώμενα των μαθητών προσέφερε το πλαίσιο για τη ενοποίηση. 4. Συμπεράσματα και συζήτηση Θεωρούμε ότι με το διδακτικό μας πείραμα στο οποίο αξιοποιήσαμε στη διδασκαλία τεχνικές ΔΤΕ, υλοποιήθηκαν οι γενικοί μας διδακτικοί στόχοι σε μεγάλο βαθμό. Οι μαθητές γνώρισαν πώς θεμελιώνονται αξιωματικά τα τρία μοντέλα Γεωμετριών, η σύγκριση της Ευκλείδειας με την Υπερβολική και Ελλειπτική Γεωμετρία βοήθησε τους μαθητές να αντιληφθούν πώς βασικά αξιώματα και ορισμοί μπορούν να οδηγήσουν σε διαφορετικά και συχνά αντιφατικά αποτελέσματα σε σχέση με την Ευκλείδεια Γεωμετρία. Το τελευταίο αποτέλεσμα συμφωνεί με τα ευρύματα των Guven & Karadas [13] σε έρευνά τους σχετική με τη διδασκαλία της Σφαιρικής Γεωμετρίας σε φοιτητές μελλοντικούς δασκάλους Μαθηματικών. Η επαφή των μαθητών με τις μη Ευκλείδειες Γεωμετρίες τους έδωσε την ευκαιρία να επαναδιαπραγματευτου ν βασικές έννοιες της Ευκλείδειας Γεωμετρίας ως μιας Γεωμετρίας και όχι ως της Γεωμετρίας και να κερδίσουν μια βαθύτερη και συνολικότερη κατανόηση της Γεωμετρίας. Η επαναπραγμαδιάτευση βασικών εννοιών της Ευκλείδειας Γεωμετρίας ως αποτέλεσμα της μελέτης της Υπερβολικής και ελλειπτικής Γεωμετρίας συμφωνεί με τα αποτελέσματα της έρευνας του Felsager [14] σχετικά με τη διδασκαλία της μη Ευκλείδειας Γεωμετρίας Minkowski σε μαθητές Λυκείου. Από όλα τα προηγούμενα μπορούμε να συμπεράνουμε ότι η Δραματική Τέχνη στη Εκπαίδευση λειτούργησε ως ένα αποτελεσματικό διαμεσολαβητικό εργαλείο για την επίτευξη των γνωστικών μας στόχων, τη μάθηση δηλ. και κατανόηση Γεωμετρικών εννοιών, εύρημα που υποστηρίζει τα αποτελέσματα προηγούμενων ερευνών που παρείχαν αποδείξεις για την αποτελεσματικότητα της διδασκαλίας που βασίζεται στις τεχνικές Δράματος στην κατανόηση των μαθηματικών εννοιών Erdogan & Baran [15], Fleming et all [16], Saab [17], Duatepe [18], Şengül & Örnek, [19]. Στις περισσότερες απο τις έρευνες αυτές οι μαθητές των πειραματικών ομάδων που διδάχτηκαν τα Μαθηματικά μέσω τεχνικών Δράματος σε όλες τις βαθμίδες της εκπαίδευσης, εκτός από μαθητές Λυκείου, παρουσίασαν Συνέδριο για τα Μαθηματικά στα Π.Π.Σ

12 Η ιστορία του 5 ου αιτήματος του Ευκλείδη και οι μη Ευκλείδειες Γεωμετρίες: υψηλότερες επιδόσεις στα Μαθηματικά, από τους μαθητές της ομάδας ελέγχου που διδάχθηκαν το ίδιο θέμα με τον παραδοσιακό τρόπο. Θεωρούμε ότι η χρήση τεχνικών ΔΤΕ έπαιξε το βασικό ρόλο στη διατηρησιμότητα των κύριων στοιχείων των θεμάτων που πραγματευθήκαμε με τους μαθητές, εύρημα που συμφωνεί τα ευρήματα των παρακάτω ερευνών που αφορούν όλες τις βαθμίδες εκπαίδευσης εκτός από μαθητές Λυκείου Duatepe [18], Tulej & Gorman [20], Kayhan [21], Bakkaloğlu [22], Ekinözü [23]. Από τις απαντήσεις των μαθητών συμπεραίνουμε επίσης ότι και οι ίδιοι οι μαθητές θεωρούν ότι οι τεχνικές ΔΤΕ στη διδασκαλία τους βοήθησε να κατανοήσουν τα μαθηματικά θέματα που μελέτησαν και να διατηρήσουν αυτή τη γνώση στη μνήμη τους, γεγονός που διαπίστωσαν και οι Cantürk- Günan & Özen [25] και Duatepe [18] με μαθητές άλλων ηλικιακά ομάδων. Η επαφή των μαθητών με τις μη-ευκλείδειες Γεωμετρίες τους έδωσε επίσης τη δυνατότητα να αντιληφθούν την απελευθέρωση της Γεωμετρίας ως επιστήμης που προσπαθεί να περιγράψει τις χωρικές ιδιότητες του κόσμου στον οποίο ζούμε και συνέβαλε στη δημιουργία μιας εικόνας της Γεωμετρίας ως ενός ενδιαφέροντος αντικειμένου του αναλυτικού προγράμματος. Αντίστοιχα αποτελέσματα έχουμε από έρευνες των Krauss και Okolika [21] και Sriraman [22], [23] οι οποίοι ισχυρίζονται αντίστοιχα ότι μέσα από την παρουσίαση της προσπάθειας των μαθηματικών να αποδείξουν το 5 ο αίτημα, οι μαθητές συνειδητοποίησαν ότι η Γεωμετρία δε σταμάτησε την εποχή του Ευκλείδη αλλά είχε και εξακολουθεί να έχει μια πλούσια ιστορία και ανάπτυξη και προβληματίστηκαν γύρω από θέματα φιλοσοφίας των Μαθηματικών που αφορούν τη φύση και την αλήθεια των Μαθηματικών Sriraman [22], [23]. Το κλίμα στην τάξη ήταν σύμφωνο με την διαπίστωση της Annarella [24] η οποία ισχυρίζεται ότι η ΔΤΕ συμβάλει στη δημιουργία ενός ευχάριστου κλίματος μέσα στην τάξη, στο οποίο οι μαθητές μαθαίνουν και ταυτόχρονα διασκεδάζουν. Το Δράμα αποτέλεσε επίσης τη γέφυρα που μπορεί να συνδέσει τα διαφορετικά αντικείμενα του αναλυτικού προγράμματος. Το συμπέρασμα αυτό είναι σύμφωνο με τους ισχυρισμούς του Somers [25] για τη δυνατότητα της ΔΤΕ να ενώσει ανόμοιες πτυχές της μάθησης, αλλά και με τα αποτελέσματα της έρευνας των Stathopoulou et al. [26] σε μαθητές Α Λυκείου που αφορούσε την Ελληνική παράδοση των Ξυστών. Μέσα από την ανάλυση των ερευνητικών μας δεδομένων διαπιστώσαμε ότι η διδασκαλία της Γεωμετρίας η οποία περιλαμβάνει μια σειρά από δραστηριότητες με τεχνικές Δράματος, λειτουργεί ως ένα διαμεσολαβητικό εργαλείο για τη μαθηματική γνώση η οποία μετασχηματίζεται σε μια γνώση προσιτή, ελκυστική και κατανοητή στους μαθητές. Βοηθάει τους μαθητές να επαναπροσδιορίσουν τη μαθηματική γνώση ως πολιτισμική και κοινωνική κατασκευή συμβάλλοντας με τον τρόπο αυτό σε μια ουμανιστική εικόνα των μαθηματικών, τους βοηθάει να συνδέσουν τα διάφορα αντικείμενα του αναλυτικού προγράμματος ενισχύοντας με τον τρόπο τα κίνητρα εμπλοκής τους στη μάθηση και ταυτόχρονα αποτελεί μια ευχάριστη διαδικασία επιτυχάνοντας την ψυχική ευεξία (wellbeing) των μαθητών που σήμερα προβάλλεται ως σημαντικός εκπαιδευτικός στόχος. Συνέδριο για τα Μαθηματικά στα Π.Π.Σ

13 Βιβλιογραφία [1] Marshal Stone, Learning and Teaching Axiomaitic Geometry, Educational Studies in Mathematics, 4 (1971), [2] Μαριάννα Τζεκάκη, Εναλλακτικές διδακτικές προσεγγίσεις στη διδασκαλία των Μαθηματικών, Πανελλήνιο Συνέδριο Έρευνα για την Ελληνική Εκπαίδευση, Κέντρο Εκπαιδευτικής Έρευνας, Αθήνα, [3] Marianna Tzekaki, Charalambos Sakonidis and Maria Kaldrimidou, Mathematics Education in Greece; A Study, in A. Gagatsis & S. Papastavridis (Eds.), Proceedings of the 3rd Mediterranean Conference on Mathematical Education, Hellenic Mathematical Society, Cyprus Mathematical Society, Athens (2003), [4] Haralambos Sakonidis & Joan Bliss, Mathematics Teaching and Learning Practices in Transition, in Proceedings of the 26 th Annual Meeting of the International Group for the Psychology of Mathematics Education, Norwich, England, [5] Γιάννης Θωμαΐδης, Μια επισκόπηση ερευνών για τη διδασκαλία και μάθηση των Μαθηματικών στην Ελληνική Δευτεροβάθμια Εκπαίδευση, Ερευνητική Διάσταση της Διδακτικής των Μαθηματικών, 4, (1999). [6] James Catterall, John Iwanaga and Richard Chapleau, "Involvement in the Arts and Human Development", in Edward B. Fiske (Ed.), Champions of Change: The Impact of the Arts on Learning Washington D.C.: The Arts Education Partnership ; The President's Committee on the Arts and Humanities, (1999), [7] James Catterall, Different ways of knowing: National Longitudinal Study Final report, The Galef Institute of Los Angeles, Los Angeles, California, [8] James Catterall J., Dreyfus, J. P., DeJarnette, K. G. How Can "Different Ways of Knowing" Impact a Learning Community? Summary of the Rosemead School District Evaluation Report, Galef Inst., Santa Monica CA, 1995 (ED461002). [9] Γιάννης Θωμαΐδης, Η διδασκαλία της θεωρητικής Γεωμετρίας στην Ελλάδα και το νέο αναλυτικό πρόγραμμα από τη σκιά της διδακτικής των Μαθηματικών, Ερευνητική Διάσταση, 1 (1996), 72-9 [10] Paul Ernest, What does the new philosophy of mathematics mean for mathematics education, Πρακτικά 25ου Πανελλήνιου Συνεδρίου Μαθηματικής Παιδείας, Βόλος, [11] Paul Ernest, Epistemology plus values equals classroom Image of Mathematics, Philosophy of Mathematics Education Journal, 23 (2008). Συνέδριο για τα Μαθηματικά στα Π.Π.Σ

14 Η ιστορία του 5 ου αιτήματος του Ευκλείδη και οι μη Ευκλείδειες Γεωμετρίες: [12] Paul Ernest, New Philosophy of Mathematics: Implications for Mathematics Education, in B. Greer, S. Mukhophadhay, S. Nelson- Barber & A. Powell (Eds.) Culturally responsive mathematics education, Routledge New York, [13] Bulent Guven, B. & Ilhan Karatas, Students Discovering Spherical Geometry Using Dynamic Geometry Software, International Journal of Mathematical Education in Science and Technology, 40(3) (2009), [14] Bjørn Felsager, Introducing Minkowski-geometry using Dynamic Geometry Programs, ICME-10, Topic Study Group 10, Copenhagen (2004). [15] Serap Erdogan, & Gulen Baran, A study on the effect of Mathematics teaching provided through Drama on the Mathematics ability of sixyear-old children, Eurasia Journal of Mathematics, Science and Technology Education, 5(1) (2009), [16] Mike Fleming, Christine Merell, Peter Tymms, The impact of Drama on pupils language, mathematics, and attitude in two primary schools, Research in Drama Education, 9(2) (2004), [17] Joy Faini Saab, The effects of creative Drama methods on mathematics achievement, attitudes and creativity, PhD Dissertation Education D., West Virginia University, [18] Asuman Duatepe, The effects of Drama based instruction on seventh grade students Geometry achievement, Van Hiele geometric thinking levels, attitude toward Mathematics and Geometry, PhD Thesis Graduate School of Natural and Applied Sciences of Middle East Technical University, [19] Sare Şengül, S. & Seçil Örnek Tükenmez, The effects of dramatization method on elementary school students levels of maths attitudes and achievements, Procedia Social and Behavioral Sciences 1 (2009), [20] Jane Tulej, & Marjorie Gorman, Mathematics and Drama. Mathematics teaching, 131 (1990). [21] Hüseyin Cahit Kayhan, Creative Drama Iṅ Terms Of Retaining Information. Procedia social and Behavoral Sciences 1(1) (2009), [22] Nilgün Bakkaloğlu, The effect of Drama method on 4 th grade students at mathematics success and attitudes, Paper presented in Conference: ECER 2011, Urban Education, [23] İbrahim Ekinözü, İlköğretim 8. Sınıf Öğrencilerinin Permütasyon ve Olasılık Konusunu Dramatizasyon Yöntemiyle Öğretiminin Başarıya Συνέδριο για τα Μαθηματικά στα Π.Π.Σ

15 Etkisi, Yayınlanmamaış Yüksek Lisans Tezi. Marmara Üniversitesi, İstanbul (An investigation on the Effects of Permutation and Probablity in Elementary School on the Success of Education with Dramatization, Unpublished Master Thesis, Marmara University, Istanbul), [25] Berna Cantürk Günan, & Deniz Özen, Prizmalar konusunda Drama yönteminin uygulanmasi (The application of Drama method on Prisms subject), Dokuz Eylül Üniversitesi Buca Egĭtim Fakültesi 27 (2010). [21] Peter A. Krauss & Steven L. Okolica, Neutral and Non-Euclidean Geometry--A High School Course, Mathematics Teacher, 70(4) (1977), [22] Bharath Sriraman, Mathematics and Literature. Synonyms, Antonyms or the Perfect Amalgam? Australian Mathematics Teacher, 59(4) (2003), [23] Bharath Sriraman, Mathematics and Literature (the sequel) Imagination as a pathway to advanced mathematical ideas and philosophy. Australian Mathematics Teacher, 60(1) (2004), [24] Lorie A. Annarella (1992). Creative Drama in The Classroom. (ERIC Document Reproduction Service ED391206). [25] John Somers, Drama in the curriculum, Cassell, London, [26] Charoula Stathopoulou, Panagiota Kotarinou, Konstantinos Gkoufas, Integrating 10 th grade curriculum through Drama: the Greek traditional practice of Xysta, Drama Research, 3(1), (2012) Συνέδριο για τα Μαθηματικά στα Π.Π.Σ