ΑΠΟ ΤΟΥΣ : Γιάννης Πετσουλας-Μπαλής Στεφανία Ολέκο Χριστίνα Χρήστου Βασιλική Χρυσάφη

Transcript

1

2 ΑΠΟ ΤΟΥΣ : Γιάννης Πετσουλας-Μπαλής Στεφανία Ολέκο Χριστίνα Χρήστου Βασιλική Χρυσάφη

3 Ο ΠΥΘΑΓΟΡΑΣ ( ΠΧ) ΗΤΑΝ ΦΟΛΟΣΟΦΟΣ, ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ ΚΑΙ ΘΕΩΡΗΤΙΚΟΣ ΤΗΣ ΜΟΥΙΣΚΗΣ. ΥΠΗΡΞΕ Ο ΠΡΩΤΟΣ ΠΟΥ ΕΘΕΣΕ ΤΙΣ ΒΑΣΕΙΣ ΤΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΚΑΙ ΤΗΣ ΜΟΥΣΙΚΗΣ ΜΕ ΜΙΑ ΕΠΙΣΤΗΜΟΝΙΚΑ ΘΕΜΕΛΙΩΜΕΝΗ ΘΕΩΡΙΑ ΤΗΣ ΜΟΥΣΙΚΗΣ. ΙΔΡΥΣΕ ΣΧΟΛΗ ΓΥΡΩ ΣΤΟ 532ΠΧ ΟΠΟΥ ΔΙΔΑΣΚΕ ΌΤΙ Ο ΚΟΣΜΟΣ ΠΡΕΠΕΙ ΝΑ ΕΡΜΗΝΕΥΕΤΑΙ ΜΕ ΑΡΙΘΜΟΥΣ. ΑΝΑΚΑΛΥΨΕ ΤΗΝ ΣΧΕΣΗ ΑΝΑΜΕΣΑ ΣΤΟ ΜΗΚΟΣ ΤΩΝ ΧΟΡΔΩΝ ΚΑΙ ΤΟ ΤΟΝΙΚΟ ΥΨΟΣ ΠΟΥ ΔΙΝΟΥΝ. ΜΕ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΥΣ ΚΑΘΑΡΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΥΣ ΒΡΗΚΕ ΤΙΣ ΑΝΑΛΟΓΙΕΣ ΤΩΝ ΜΟΥΣΙΚΩΝ ΔΙΑΣΤΗΜΑΤΩΝ. ΣΥΝΕΠΩΣ Η ΜΟΥΣΙΚΗ ΕΙΝΕ ΙΣΩΣ ΤΟ ΠΡΩΤΟ ΠΟΙΟΤΙΚΟ ΦΑΙΝΟΜΕΝΟ ΤΟ ΟΠΟΙΟ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΠΟΙΕΙ Ο ΑΝΘΡΩΠΟΣ.

4

5 Η ΙΔΕΑ ΤΗΣ ΣΥΝΔΕΣΗΣ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΙ ΤΗΣ ΜΟΥΣΙΚΗΣ ΓΕΝΝΗΘΗΚΕ ΠΡΙΝ ΑΠΌ 26 ΟΛΟΚΛΗΡΟΥΣ ΑΙΩΝΕΣ ΣΤΗΝ ΑΡΧΑΙΑ ΕΛΛΑΔΑ ΑΠΌ ΤΟΝ ΠΥΘΑΓΟΡΑ. Ο ΦΙΛΟΣΟΦΟΣ ΓΝΩΡΙΖΕ ΠΟΛΎ ΚΑΛΑ ΤΗ ΣΧΕΣΗ ΤΗΣ ΜΟΥΣΙΚΗΣ ΜΕ ΤΟΥΣ ΑΡΙΘΜΟΥΣ. ΟΙ ΕΙΔΙΚΟΙ ΕΡΕΥΝΗΤΕΣ ΘΕΩΡΟΥΝ ΌΤΙ ΤΟ ΠΙΘΑΝΟΤΕΡΟ ΕΊΝΑΙ ΠΩΣ Ο ΙΔΙΟΣ ΚΑΙ ΟΙ ΜΑΘΗΤΕΣ ΤΟΥ ΕΝΤΡΥΦΗΣΑΝ ΣΤΗ ΣΧΕΣΗ ΤΗΣ ΜΟΥΣΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ ΜΕΛΕΤΩΝΤΑΣ ΤΟ ΑΡΧΑΙΟ ΟΡΓΑΝΟ ΜΟΝΟΧΟΡΔΟ

6 ΌΠΩΣ ΦΑΙΝΕΤΑΙ ΑΠΌ ΤΟ ΟΝΟΜΑ ΤΟΥ, ΤΟ ΜΟΝΟΧΟΡΔΟ ΗΤΑΝ ΈΝΑ ΟΡΓΑΝΟ ΜΕ ΜΙΑ ΧΟΡΔΗ ΚΑΙ ΈΝΑ ΚΙΝΗΤΟ ΚΑΒΑΛΑΡΗ ΠΟΥ ΔΙΑΙΡΟΥΣΕ ΤΗ ΧΟΡΔΗ ΕΠΙΤΡΕΠΟΝΤΑΣ ΜΟΝΟ ΈΝΑ ΤΜΗΜΑ ΤΗΣ ΝΑ ΤΑΛΑΝΤΩΝΕΤΑΙ ΠΟΥ ΑΠΌ ΑΡΚΕΤΟΥΣ ΜΕΛΕΤΗΤΕΣ ΤΟΠΟΘΕΤΕΙΤΑΙ ΣΤΗΝ ΟΙΚΟΓΕΝΕΙΑ ΤΟΥ ΛΑΟΥ ΤΟΥ ΔΗΛΑΔΗ ΜΕ ΒΡΑΧΙΟΝΑ, ΧΕΡΙ. ΤΟ ΜΟΝΟΧΟΡΔΟ ΧΡΗΣΙΜΟΠΟΙΗΘΗΚΕ ΓΙΑ ΤΟΝ ΚΑΘΟΡΙΣΜΟ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΣΧΕΣΕΩΝ ΤΩΝ ΜΟΥΣΙΚΩΝ ΗΧΩΝ. ΟΝΟΜΑΖΟΝΤΑΝ ΚΑΙ ΠΥΘΑΓΟΡΕΙΟΣ ΚΑΝΩΝ ΓΙΑΤΙ ΑΠΕΔΙΔΑΝ ΤΗΝ ΕΦΕΥΡΕΣΗ ΤΟΥ ΣΤΟΝ ΠΥΘΑΓΟΡΑ.

7 ΜΕ ΤΗΝ ΧΟΡΔΗ ΑΝΟΙΧΤΗ ΔΗΛΑΔΗ ΣΕ ΘΕΣΗ ΝΑ ΜΠΟΡΕΙ ΝΑ ΤΑΛΑΝΤΩΝΕΤΑΙ ΟΛΟ ΤΟ ΜΗΚΟΣ ΤΗΣ (ΛΟΓΟΣ 1, ΣΥΧΝΟΤΗΤΑ 1), ΕΚΡΟΥΣΕ ΚΑΙ ΑΚΟΥΣΕ ΈΝΑ ΜΟΥΣΙΚΟ ΤΟΝΟ. ΣΤΗΝ ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΠΕΡΙΟΡΙΣΕ ΤΟ ΜΕΡΟΣ ΤΗΣ ΧΟΡΔΗΣ ΠΟΥ ΤΑΛΑΝΤΩΝΕΤΑΙ ΣΤΟ ΜΙΣΟ ΤΗΣ ΜΗΚΟΣ, ΚΑΙ ΒΡΗΚΕ ΌΤΙ Ο ΗΧΟΣ ΠΟΥ ΑΚΟΥΣΤΗΚΕ ΕΊΝΑΙ Η ΔΙΑΠΑΣΩΝ, ΑΥΤΌ ΠΟΥ ΣΗΜΕΡΑ ΟΝΟΜΑΖΟΥΜΕ ΟΚΤΑΒΑ. ΤΟ ΥΨΟΣ ΛΟΙΠΟΝ ΤΟΥ ΗΧΟΥ ΕΠΗΡΕΑΖΕΤΑΙ ΑΠΌ ΤΟ ΜΗΚΟΣ ΤΗΣ ΧΟΡΔΗΣ ΚΑΙ ΜΑΛΙΣΤΑ ΌΤΑΝ Η ΑΝΑΛΟΓΙΑ ΤΟΥ ΜΗΚΟΥΣ ΕΊΝΑΙ ½ (ΣΥΧΝΟΤΗΤΑ 2/1) ΕΧΟΥΜΕ ΤΟ ΔΙΑΣΤΗΜΑ ΤΗΣ ΟΚΤΑΒΑΣ. ΕΤΣΙ ΟΡΙΣΤΗΚΑΝ ΤΑ ΑΚΡΑ ΤΗΣ ΜΟΥΣΙΚΗΣ ΚΛΙΜΑΚΑΣ, Η ΥΠΑΤΗ ΚΑΙ Η ΝΗΤΗ. ΣΤΗΝ ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΜΕΤΑΚΙΝΩΝΤΑΣ ΤΟΝ ΚΑΒΑΛΑΡΗ ΣΕ ΔΙΑΦΟΡΑ ΣΗΜΕΙΑ, ΒΡΗΚΕ ΌΤΙ ΑΝ ΤΑΛΑΝΤΩΝΟΤΑΝ ΤΑ ¾ ΤΗΣ ΧΟΡΔΗΣ (ΣΥΧΝΟΤΗΤΑ 4/3) ΠΡΟΕΚΥΠΤΕ Ο 4 ΟΣ ΦΘΟΓΓΟΣ ΑΠΌ ΤΟΥΣ 8 ΜΙΑΣ ΜΟΥΣΙΚΗΣ ΚΛΙΜΑΚΑΣ, Η ΜΕΣΗ, ΕΝΏ ΑΝ ΤΑΛΑΝΤΩΝΟΤΑΝ ΤΑ 2/3 ΤΗΣ ΧΟΡΔΗΣ ( ΣΥΧΝΟΤΗΤΑ 3/2) ΠΡΟΕΚΥΠΤΕ Ο 5 ΟΣ ΦΘΟΓΓΟΣ, Η ΠΑΡΑΜΕΣΗ. ΟΙ ΥΠΟΛΟΙΠΟΙ ΦΘΟΓΓΟΙ ΤΗΣ ΚΛΙΜΑΚΑΣ ΚΑΤΑΣΚΕΥΑΖΟΝΤΑΙ ΧΡΗΣΙΜΟΠΟΙΟΩΝΤΑΣ ΤΟ ΛΟΓΟ 9/8.

8

9 ΠΕΡΑ ΑΠΌ ΤΟ ΜΟΝΟΧΟΡΔΟ, Ο ΠΥΘΑΓΟΡΑΣ ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΣΤΗΚΕ ΚΑΙ ΜΕ ΑΛΛΑ ΥΛΙΚΑ ΚΑΙ ΤΙΣ ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΠΟΥ ΣΥΝΘΕΤΟΥΝ ΤΑ ΜΟΥΣΙΚΑ ΔΙΑΣΤΗΜΑΤΑ, ΌΠΩΣ Η ΤΑΣΗ ΧΟΡΔΩΝ ΙΣΟΥ ΜΗΚΟΥΣ ΚΑΙ ΠΑΧΟΥΣ, ΤΟ ΜΗΚΟΣ ΗΧΗΤΙΚΟΥ ΣΩΛΗΝΑ ΚΤΛ. Ο ΧΩΡΙΣΜΟΣ ΚΑΙ ΚΑΘΟΡΙΣΜΟΣ ΤΩΝ ΜΟΥΣΙΚΩΝ ΔΙΑΣΤΗΜΑΤΩΝ ΠΟΥ ΠΕΤΥΧΕ, ΗΤΑΝ ΈΝΑ ΤΕΡΑΣΤΙΑΣ ΣΗΜΑΣΙΑΣ ΕΠΙΤΕΥΓΜΑ ΤΟΣΟ ΓΙΑ ΤΗ ΜΟΥΣΙΚΗ ΚΑΙ ΤΗΣ ΘΕΩΡΙΑ ΤΗΣ ΟΣΟ ΚΑΙ ΓΙΑ ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΤΗ ΔΥΝΑΜΗ ΤΟΥΣ ΝΑ ΕΡΜΗΝΕΥΟΥΝ ΤΟΝ ΚΟΣΜΟΣ ΜΕ ΑΡΙΘΜΟΥΣ ΌΠΩΣ ΕΞΑΛΛΟΥ ΔΙΔΑΣΚΕ ΚΑΙ Ο ΠΥΘΑΓΟΡΑΣ. ΠΕΡΑ ΑΠΌ ΤΗ ΜΕΓΑΛΗ ΣΗΜΑΣΙΑ ΓΙΑ ΤΗ ΘΕΩΡΙΑ ΤΗΣ ΜΟΥΣΙΚΗΣ, Ο ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ ΤΟΥ ΕΔΩΣΕ ΤΗΝ ΕΥΚΑΙΡΙΑ ΝΑ ΚΑΤΑΣΚΕΥΑΣΤΟΥΝ ΜΟΥΣΙΚΗ ΟΡΓΑΝΑ ΜΕ ΜΕΓΑΛΥΤΕΡΗ ΑΚΡΙΒΕΙΑ ΑΠΌ ΠΡΙΝ. ΜΕ ΤΟ ΠΕΡΑΣΜΑ ΤΟΥ ΧΡΟΝΟΥ, Η ΠΥΘΑΓΟΡΕΙΑ ΜΟΥΣΙΚΗ ΚΛΙΜΑΚΑ ΤΡΟΠΟΠΟΙΗΘΗΚΕ ΕΙΤΕ ΓΙΑ ΠΡΑΚΤΙΚΟΥΣ ΕΙΤΕ ΓΙΑ ΚΑΘΑΡΑ ΦΙΛΟΣΟΦΙΚΟΥΣ ΛΟΓΟΥΣ, ΌΜΩΣ Ο ΠΥΘΑΓΟΡΑΣ ΕΙΧΕ ΔΕΙΞΕΙ ΈΝΑΝ ΔΡΟΜΟ ΠΟΥ ΚΑΙ ΟΙ ΣΥΓΧΡΟΝΕΣ ΜΟΥΣΙΚΕΣ ΚΛΙΜΑΚΕΣ ΑΚΟΛΟΥΘΟΥΝ. ΑΚΟΜΑ ΚΑΙ ΣΗΜΕΡΑ ΥΠΟΛΟΓΙΖΟΥΜΕ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΑ ΜΟΥΣΙΚΑ ΔΙΑΣΤΗΜΑΤΑ ΤΑ ΟΠΟΙΑ ΒΕΒΑΙΑ ΕΧΟΥΝ ΔΙΑΦΟΡΟΠΟΙΗΘΕΙ ΣΗΜΑΝΤΙΚΑ ΑΠΌ ΤΟΤΕ.

10 ΤΟ ΑΙΝΙΓΜΑ ΠΟΥ, 2500 ΧΡΟΝΙΑ ΠΡΙΝ, ΠΡΟΤΕΙΝΕ ΣΤΗΝ ΕΠΙΣΤΗΜΗ, Η ΟΠΟΙΑ ΕΡΕΥΝΑ ΤΙΣ ΑΙΤΙΕΣ ΤΩΝ ΠΡΑΓΜΑΤΩΝ ΓΙΑΤΙ Η ΑΡΜΟΝΙΑ ΚΑΘΟΡΙΖΕΤΑΙ ΑΠΌ ΤΟΥΣ ΛΟΓΟΥΣ ΜΙΚΡΩΝ ΑΚΕΡΑΙΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ ΑΠΑΝΤΗΘΗΚΕ ΜΕ ΤΗΝ ΑΝΑΚΑΛΥΨΗ ΌΤΙ ΤΟ ΑΥΤΙ ΑΝΑΛΥΕΙ ΟΛΟΥΣ ΤΟΥΣ ΣΘΝΘΕΤΟΥΣ ΗΧΟΥΣ ΣΕ ΠΕΡΙΟΔΙΚΕΣ ΤΑΛΑΝΤΕΥΣΕΙΣ, ΣΥΜΦΩΝΑ ΜΕ ΤΟΥΣ ΝΟΜΟΥΣ ΤΩΝ ΔΟΝΗΣΕΩΝ ΤΟΥ ΣΥΜΠΑΘΗΤΙΚΟΥ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ, ΚΑΙ ΌΤΙ ΘΕΩΡΕΙ ΩΣ ΑΡΜΟΝΙΚΕΣ ΜΟΝΟ ΑΥΤΈΣ ΤΙΣ ΔΙΕΓΕΡΣΕΙΣ ΤΟΥ ΝΕΥΡΙΚΟΥ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ ΠΟΥ ΕΊΝΑΙ ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΧΩΡΙΣ ΠΑΡΕΝΟΧΛΗΣΕΙΣ. Η ΑΝΑΛΥΣΗ ΣΕ ΤΟΝΟΥΣ ΕΚΦΡΑΣΜΕΝΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ, ΟΔΗΓΕΙ ΣΤΟΝ ΝΟΜΟ ΤΟΥ FOYRIER, Ο ΟΠΟΙΟΣ ΔΕΙΧΝΕΙ ΠΩΣ ΜΙΑ ΠΕΡΙΟΔΙΚΑ ΜΕΤΑΒΑΛΛΟΜΕΝΗ ΠΟΣΟΤΗΤΑ, ΑΝΕΞΑΡΤΗΤΑ ΑΠΌ ΤΗ ΦΥΣΗ ΤΗΣ, ΜΠΟΡΕΙ ΝΑ ΕΚΦΡΑΣΤΕΙ ΩΣ ΑΘΡΟΙΣΜΑ ΑΠΛΟΥΣΤΕΡΩΝ ΠΕΡΙΟΔΙΚΩΝ ΜΕΓΕΘΩΝ. ΤΑ ΜΗΚΗ ΤΩΝ ΠΕΡΙΟΔΩΝ ΤΩΝ ΑΠΛΩΝ ΠΕΡΙΟΔΙΚΟΩΝ ΟΡΩΝ ΠΡΕΠΕΙ ΝΑ ΕΊΝΑΙ ΤΕΤΟΙΑ, ΏΣΤΕ ΈΝΑ Ή ΔΥΟ Ή ΤΡΙΑ Ή ΤΕΣΣΕΡΑ ΚΛΠ ΤΩΝ ΠΕΡΙΟΔΩΝ ΤΟΥΣ ΔΟΘΕΝΤΟΣ ΜΕΓΕΘΟΥΣ. ΤΕΛΙΚΑ Η ΑΙΤΙΑ ΤΩΝ ΑΝΑΛΟΓΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΩΝ ΣΧΕΣΕΩΝ ΤΟΥ ΠΥΘΑΓΟΡΑ ΠΡΕΠΕΙ ΝΑ ΑΝΑΖΗΤΗΘΕΙ ΣΤΟ ΘΕΩΡΗΜΑ ΦΟΥΡΙΕΡ. ΚΑΙ ΜΕ ΚΑΠΟΙΑ ΕΝΝΟΙΑ ΤΟ ΘΕΩΡΗΜΑ ΑΥΤΌ ΠΡΕΠΕΙ ΝΑ ΘΕΩΡΗΘΕΙ ΩΣ ΠΡΩΤΗ ΠΗΓΗ ΤΗΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΤΗΣ ΑΡΜΟΝΙΑΣ

11

12 Η ΑΝΑΚΑΛΥΨΗ ΤΗΣ ΣΧΕΣΗΣ ΜΕΤΑΞΥ ΜΗΚΟΥΣ ΧΟΡΔΗΣ ΚΑΙ ΥΨΟΥΣ ΤΟΝΟΥ ΕΊΝΑΙ ΤΟ ΠΡΩΤΟ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ ΦΥΣΙΚΟΥ ΝΟΜΟΥ ΠΟΥ ΒΡΕΘΗΚΕ ΕΜΠΕΙΡΙΚΑ. ΓΙΑ ΚΕΙΝΗ ΤΗΝ ΕΠΟΧΗ ΘΑ ΠΡΕΠΕΙ ΝΑ ΘΕΩΡΗΘΗΚΕ ΕΞΑΙΡΕΤΙΚΑ ΕΝΤΥΠΩΣΙΑΚΟ ΤΟ ΓΕΓΟΝΟΣ ΌΤΙ ΥΠΑΡΧΕΙ ΣΥΣΧΕΤΙΣΗ ΜΕΤΑΞΥ ΤΟΣΟ ΔΙΑΦΟΡΕΤΙΚΩΝ ΠΡΑΓΜΑΤΩΝ, ΌΠΩΣ ΜΟΥΣΙΚΟΙ ΤΟΝΟΙ ΚΑΙ ΛΟΓΟΙ ΑΡΙΘΜΩΝ. ΟΙ ΠΥΘΑΓΟΡΕΙΟΙ ΘΕΤΑΝΕ ΤΑ ΕΡΩΤΗΜΑΤΑ ΠΟΙΑ ΕΙΝΑΙ Η ΑΙΤΙΑ ΚΑΙ ΠΟΙΟ ΤΟ ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑ ΚΑΙ ΚΑΤΕΛΗΞΑΝ ΣΤΟ ΝΑ ΑΠΟΔΕΧΘΟΥΝ ΠΩΣ Η ΑΙΤΙΑ ΒΡΙΣΚΟΤΑΝ ΣΤΟΥΣ ΛΟΓΟΥΣ ΑΡΙΘΜΩΝ. ΕΤΣΙ Η ΑΡΜΟΝΙΑ ΗΤΑΝ ΓΙ ΑΥΤΟΥΣ ΙΔΙΟΤΗΤΑ ΤΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ ΚΑΙ ΜΟΥΣΙΚΗ ΑΡΜΟΝΙΑ ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑ ΤΟΥ ΌΤΙ ΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ 6,8,9 ΚΑΙ 12 ΕΊΝΑΙ ΑΡΜΟΝΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. ΓΙΑ ΤΟΝ ΠΥΘΑΓΟΡΑ Η ΣΧΕΣΗ ΠΟΥ ΒΡΕΘΗΚΕ ΑΠΌΤΕΛΟΥΣΕ ΑΠΟΔΕΙΞΗ ΓΙΑ ΤΟ ΌΤΙ Ο ΑΡΙΘΜΟΣ ΠΑΙΖΕΙ ΈΝΑ ΡΟΛΟ ΣΤΑ ΠΡΑΓΜΑΤΑ ΜΕ ΤΑ ΟΠΟΙΑ ΕΡΧΟΜΑΣΤΕ ΣΕ ΚΑΘΗΜΕΡΙΝΗ ΕΠΑΦΗ.

13 Η ΙΔΙΑ ΔΟΜΗ ΤΗΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΛΟΓΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ ΌΠΩΣ ΠΑΡΟΥΣΙΑΖΕΤΑΙ ΑΠΌ ΤΟΝ ΕΥΚΛΕΙΔΗ ΣΤΟ 7 Ο ΒΙΒΛΙΟ ΤΩΝ ΣΤΟΙΧΕΙΩΝ ΔΙΝΕΙ ΙΣΧΥΡΕΣ ΕΝΔΕΙΞΕΙΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΠΡΟΕΛΕΥΣΗ ΤΗΣ ΑΠΌ ΤΗΝ ΜΟΥΣΙΚΗ. ΣΤΗΝ ΘΕΩΡΙΑ ΛΟΓΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ ΔΕΝ ΥΠΑΡΧΕΙ ΣΕ ΚΑΜΙΑ ΠΡΟΤΑΣΗ Η ΜΕΤΑΒΑΤΙΚΗ ΙΔΙΟΤΗΤΑ, ΠΑΡΟΤΙ ΧΡΗΣΙΜΟΠΟΙΕΙΤΑΙ ΚΑΤΆ ΤΗΝ ΑΠΟΔΕΙΞΗ ΠΡΟΤΑΣΕΩΝ. ΣΤΟ 5 Ο ΒΙΒΛΙΟ ΌΜΩΣ ΑΠΟΔΕΙΚΝΥΕΤΑΙ Η ΜΕΤΑΒΑΤΙΚΟΤΗΤΑ ΤΩΝ ΛΟΓΩΝ ΜΕΓΕΘΩΝ (ΠΡΟΤΑΣΗ 11 Η ). ΕΠΟΜΕΝΩΣ ΜΑΛΛΟΝ ΘΑ ΠΡΕΠΕΙ ΝΑ ΔΕΧΘΟΥΜΕ ΌΤΙ Ο ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ ΘΕΩΡΗΣΕ ΤΗΝ ΙΔΙΟΤΗΤΑ ΑΥΤΉ ΠΡΟΦΑΝΗ ΣΤΗΝ ΜΕΛΕΤΗ ΤΟΥ ΛΟΓΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ, ΕΝΏ ΔΕΝ ΤΗΝ ΘΕΩΡΗΣΕ ΠΡΟΦΑΝΗ ΣΤΗΝ ΜΕΛΕΤΗ ΤΟΥ ΛΟΓΟΥ ΜΕΓΕΘΩΝ. ΣΤΗΝ ΘΕΩΡΙΑ ΛΟΓΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ ΌΠΩΣ ΠΑΡΟΥΣΙΑΖΕΤΑΙ ΣΤΟ 7 Ο ΒΙΒΛΙΟ ΣΗΜΑΝΤΙΚΟ ΡΟΛΟ ΠΑΙΖΕΙ Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΟΥ ΜΕΡΟΥΣ ΚΑΙ ΜΕΡΩΝ. ΠΡΟΚΥΠΤΕΙ ΕΠΟΜΕΝΩΣ ΤΟ ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑ ΌΤΙ ΒΑΣΙΚΟ ΡΟΛΟ ΣΤΗΝ ΑΝΑΠΤΥΞΗ ΤΗΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΛΟΓΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ ΕΠΑΙΞΕ Η ΕΜΠΕΙΡΙΚΗ ΣΧΕΣΗ ΙΣΟΔΥΝΑΜΙΑΣ ΠΟΥ ΔΗΜΙΟΥΡΓΗΘΗΚΕ ΜΕ ΤΗΝ ΜΕΛΕΤΗ ΤΩΝ ΜΟΥΣΙΚΩΝ ΔΙΑΣΤΗΜΑΤΩΝ