Μουσική και Μαθηματικά!!!

Μέγεθος: px

Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Μουσική και Μαθηματικά!!!"

Ἐφραίμ Βέργας
8 χρόνια πριν
Προβολές:

1 Μουσική και Μαθηματικά!!!

2 Η μουσική είναι ίσως από τις τέχνες η πιο δεμένη με τα μαθηματικά, με τη μαθηματική σκέψη, από την ίδια τη φύση της. Η διατακτική δομή μπορεί να κατατάξει τα στοιχεία ενός συνόλου, ενός χαρακτήρα, όπως είναι το ύψος, ή ένταση, ή πυκνότητα, όπως είναι ο βαθμός αταξίας. Στην ιστορία, πολλές φορές η μουσική σκέψη ήταν πρωτοπορία απέναντι στη μαθηματική σκέψη. Οι Πυθαγόρειοι, για παράδειγμα, συσχέτιζαν το ύψος με το μήκος των χορδών. Για να βρούνε, ας πούμε, το διάστημα της ογδόης, έπρεπε να διαιρέσουν τη χορδή στα τέσσερα. Είναι διαίρεση με το δύο - πρόκειται για μια φθίνουσα γεωμετρική πρόοδο. Ι. Ξενάκης, Έλληνας μουσικός και μαθηματικός.

Στην ιστορία, πολλές φορές η μουσική σκέψη ήταν πρωτοπορία απέναντι στη μαθηματική σκέψη.

3 Ιστορική αναδρομή - Πυθαγόρας Αρχαία ελληνικά μουσικά όργανα Αρμονία, φιλοσοφία & μαθηματικά

4 Ρυθμός - Αριθμός Η πρώτη συνάντηση της Μουσικής με τα Μαθηματικά συντελείται μέσω της αίσθησης που έχουμε για τον χρόνο. Ο άνθρωπος διαθέτει την ικανότητα να εντοπίζει, να απομονώνει χρονικές στιγμές. Το διάστημα που μεσολαβεί μεταξύ δύο στιγμών συγκροτεί την έννοια της διάρκειας. Η κατάτμηση που υφίσταται ο χρόνος από τη ροή των γεγονότων δημιουργεί ένα πυκνό σύνολο από στιγμές. Κατά τον Bachelard η διάρκεια είναι ένας αριθμός, μονάδα του οποίου είναι η στιγμή (G.Bachelard 1997).

Το διάστημα που μεσολαβεί μεταξύ δύο στιγμών συγκροτεί την έννοια της διάρκειας.

5 Η ΜΟΥΣΙΚΗ ΣΤΟΥΣ ΠΥΘΑΓΟΡΕΙΟΥΣ Η ιδέα της σύνδεσης των μαθηματικών και της μουσικής γεννήθηκε πριν από 26 ολόκληρους αιώνες στην αρχαία Ελλάδα από τον Πυθαγόρα, μαθηματικό και ιδρυτή της πυθαγόρειας σχολής σκέψης. Πυθαγόρας Οι ειδικοί ερευνητές θεωρούν ότι το πιθανότερο είναι πως ο ίδιος και οι μαθητές του εντρύφησαν στη σχέση της μουσικής και των αριθμών μελετώντας το αρχαίο όργανο μονόχορδο.

6 Όπως φαίνεται από το όνομά του, το μονόχορδο ήταν ένα όργανο με μία χορδή και ένα κινητό καβαλάρη που διαιρούσε τη χορδή επιτρέποντας μόνο ένα τμήμα της να ταλαντώνεται. Το μονόχορδο χρησιμοποιήθηκε για τον καθορισμό των μαθηματικών σχέσεων των μουσικών ήχων. Ονομαζόταν και "Πυθαγόρειος κανών" γιατί απέδιδαν την εφεύρεσή του στον Πυθαγόρα. Μονόχορδο

Το μονόχορδο χρησιμοποιήθηκε για τον καθορισμό των μαθηματικών σχέσεων των μουσικών

7 Η Αναλογία - Πυθαγόρας Ο Πυθαγόρας ανακάλυψε ότι οι μουσικοί τόνοι έχουν το αντίστοιχό τους σε χωρική έκταση. Οι μουσικές συνηχήσεις ορίζονται από λόγους μονοψήφιων ακέραιων αριθμών. Οι συνηχήσεις πάνω στις οποίες βασιζόταν το ελληνικό μουσικό σύστημα μπορούν να εκφραστούν με την πρόοδο 1:2:3:4.

Οι μουσικές συνηχήσεις ορίζονται από λόγους μονοψήφιων ακέραιων αριθμών.

8 Η Αναλογία - Πλάτωνας Ο Πλάτωνας έβρισκε αυτή την αρμονία στα τετράγωνα και στους κύβους του διπλάσιου και του τριπλάσιου της μονάδας, πράγμα που τον οδήγησε στις δύο γεωμετρικές προόδους 1, 2, 4, 8,... και 1, 3, 9, 27,...

και του τριπλάσιου της μονάδας, πράγμα που τον οδήγησε

9 Η Πυθαγόρεια άποψη. Η πρώτη συστηματική αλλά συγχρόνως και καθοριστική προσπάθεια υπαγωγής του φαινομένου της μουσικής σε Μαθηματικές σχέσεις γίνεται από τον Πυθαγόρα. Δύο βασικά ερωτήματα απασχολούν τους Πυθαγόρειους: α) Πότε δύο ήχοι (νότες) συνηχούν αρμονικά, β) Ποια είναι η βαθύτερη αιτία αυτής της αρμονικής συνήχησης. Ήδη είχε τεθεί ρητά το πρόβλημα της αρμονίας.

μουσικής σε Μαθηματικές σχέσεις γίνεται από τον Πυθαγόρα.

10 Στο πρώτο ερώτημα η απάντηση φαίνεται να προέρχεται μέσα από την παρατήρηση και το πείραμα, τις δύο βασικές δηλαδή επιστημονικές δραστηριότητες, οι οποίες οδηγούν στη διατύπωση του πρώτου νόμου στον οποίο υπακούει η αρμονία. "Όταν δύο χορδές έχουν μήκη ανάλογα με δύο από τους αριθμούς 1, 2, 3, 4, τότε συνηχούν αρμονικά". Έτσι κατασκευάζεται η περίφημη Πυθαγόρεια κλίμακα η οποία χρησιμοποιήθηκε για πολλούς αιώνες σαν φυσική κλίμακα μουσικής σύνθεσης.

αρμονία. "Όταν δύο χορδές έχουν μήκη ανάλογα με δύο από τους αριθμούς 1, 2, 3, 4, τότε συνηχούν αρμονικά".

11 Η εξήγηση αυτού του φαινομένου στηρίζεται, κατά τους Πυθαγόρειους, στις μεταφυσικές ιδιότητες που έχουν οι αριθμοί 1, 2, 3, 4 (τετρακτύς). Η αρμονία επιβάλλεται, κατά κάποιον τρόπο, από τους λόγους που προέρχονται από την τετρακτύ δηλαδή από τα 2/3, 3/4, 2/4, 1/2 κλπ.

12 Αρχαία ελληνικά μουσικά όργανα Φόρμιγγα, λύρα, αυλός, κιθάρα.

14 Η μετάβαση Η σύγχρονη αντίληψη για την αρμονία προκύπτει μέσα από τη χρήση ενός ισχυρότατου Μαθηματικού "εργαλείου", της ανάλυσης Fourier. Κάθε περιοδικό φαινόμενο, επομένως και η μουσική νότα, μπορεί να εκφραστεί από ένα αλγεβρικό άθροισμα αρμονικών συνιστωσών. Η αρμονία πλέον δύο μουσικών τόνων καθορίζεται από το πλήθος των αρμονικών συνιστωσών οι οποίες συμπίπτουν. Θα αναζητήσουμε τη σύνδεση των Μαθηματικών με τη Μουσική στις δύο βασικές συνιστώσες της Μουσικής που είναι ο Ρυθμός και η Αρμονία.

Κάθε περιοδικό φαινόμενο, επομένως και η μουσική νότα, μπορεί να εκφραστεί από ένα αλγεβρικό άθροισμα αρμονικών συνιστωσών.

15 Ο Μπαχ αργότερα δημιούργησε μαθηματικές θεωρίες μουσικής σύνθεσης. Και ο μαθηματικός- αρχιτέκτονας Ιάνης Ξενάκης συνδύασε τα Μαθηματικά με τη Μουσική και δημιούργησε ηλεκτρονικές μουσικές συνθέσεις.

16 Εφαρμογή της χρυσής τομής σε ένα βιολί Stradivarius

17 «Δεν θα υπήρχε (μουσική) αρμονία αν δεν υπήρχαν αριθμοί. Δεν θα υπήρχε αρμονία αν δεν υπήρχε ο άνθρωπος για να την ακούσει και να την κρίνει ως τέτοια, για να γίνουν οι αριθμοί εργαλεία. Δεν υπάρχει αρμονία από μόνη της» Ρούντολφ Τάσνερ, καθηγητής στο Τεχνολογικό Πανεπιστήμιο της Βιέννης.

την κρίνει ως τέτοια, για να γίνουν οι αριθμοί εργαλεία.

19 Επίλογος Η Μουσική είναι ένα ποιοτικό φαινόμενο όπως η αίσθηση του ωραίου, της ανάμνησης και της λήθης, του ευχάριστου και του δυσάρεστου. Η ιστορία του Δυτικού κόσμου συνδέεται άμεσα, τους τρεις τελευταίους αιώνες, με την προσπάθεια υπαγωγής όλων των ποιοτικών φαινομένων σε ποσότητες εφόσον έτσι γίνονται τα φαινόμενα αυτά ελέγξιμα, ερμηνεύσιμα, αντικειμενικά. Κάθε εσωτερική αίσθηση μπορεί πλέον να γίνει εικόνα, να βγει στο χώρο. Ένας συνεχής μετασχηματισμός συντελείται ο οποίος μεταμορφώνει το υποκειμενικό σε αντικειμενικό και ο καταλύτης σε αυτόν το μετασχηματισμό φαίνεται πως είναι τα Μαθηματικά.

εφόσον έτσι γίνονται τα φαινόμενα αυτά ελέγξιμα, ερμηνεύσιμα, αντικειμενικά. Κάθε εσωτερική αίσθηση μπορεί πλέον να γίνει εικόνα, να βγει στο χώρο.

21 Επιμέλεια: Παππάς Δημήτρης, Πετράκος Κωνσταντίνος, Σκιαδάς Πέτρος, Τσιλίκης Γιάννης

Σχετικά έγγραφα

ΑΠΟ ΤΟΥΣ : Γιάννης Πετσουλας-Μπαλής Στεφανία Ολέκο Χριστίνα Χρήστου Βασιλική Χρυσάφη

ΑΠΟ ΤΟΥΣ : Γιάννης Πετσουλας-Μπαλής Στεφανία Ολέκο Χριστίνα Χρήστου Βασιλική Χρυσάφη Ο ΠΥΘΑΓΟΡΑΣ (572-500 ΠΧ) ΗΤΑΝ ΦΟΛΟΣΟΦΟΣ, ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ ΚΑΙ ΘΕΩΡΗΤΙΚΟΣ ΤΗΣ ΜΟΥΙΣΚΗΣ. ΥΠΗΡΞΕ Ο ΠΡΩΤΟΣ ΠΟΥ ΕΘΕΣΕ ΤΙΣ ΒΑΣΕΙΣ