ΟΡΘΟΔΙΑΓΩΝΙΑ ΤΕΤΡΑΠΛΕΥΡΑ
|
|
- Ἐφραίμ Παπάγος
- 5 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΣΧΟΛΗ ΘΕΤΙΚΩΝ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Πτυχιακή Εργασία Μαρίας Γιαννακάκη ΟΡΘΟΔΙΑΓΩΝΙΑ ΤΕΤΡΑΠΛΕΥΡΑ J P S U V Q M N K R L ΧΕΙΜΕΡΙΝΟ ΕΞΑΜΗΝΟ
2 Πτυχιακή Εργασία Μαρίας Γιαννακάκη Α. Μ ΘΕΜΑ: ΟΡΘΟΔΙΑΓΩΝΙΑ ΤΕΤΡΑΠΛΕΥΡΑ Επιβλέπων Καθηγητής: Πάρις Πάμφιλος
3 ΠΡΟΛΟΓΟΣ Ορθοδιαγώνια κυρτά τετράπλευρα ονομάζονται όλα τα τετράπλευρα των οποίων οι διαγώνιοι τέμνονται κάθετα. Τα ορθοδιαγώνια τετράπλευρα εμφανίζουν πολλές ενδιαφέρουσες ιδιότητες, απ τις οποίες άλλες είναι προφανείς κι αποδεικνύονται εύκολα κι άλλες αρκετά περίπλοκες και με δυσκολότερες αποδείξεις. Σκοπός της εργασίας αυτής είναι η μελέτη ορισμένων χαρακτηριστικών των ορθοδιαγωνίων τετραπλεύρων, η απόδειξή τους, όπως επίσης και η διερεύνηση για την ύπαρξη περισσοτέρων ιδιοτήτων. Στην εργασία, λοιπόν, αυτή δεν αναφέρονται όλα τα χαρακτηριστικά και οι ιδιότητες των συγκεκριμένων γεωμετρικών σχημάτων, αλλά μονάχα ένα μέρος τους. Ωστόσο, η περιοχή αυτή της Ευκλείδειας Γεωμετρίας παρουσιάζει μεγάλο ενδιαφέρον και προσφέρεται για περαιτέρω έρευνα.
4 ΟΡΘΟΔΙΑΓΩΝΙΑ ΤΕΤΡΑΠΛΕΥΡΑ
5 Δίνεται ορθογώνιο παραλληλόγραμμο s = (ABCD) και τυχαίο σημείο Ε στο εσωτερικό του. Ύστερα από ανάκλαση του Ε ως προς τις πλευρές AB, BC, CD, DA του ορθογωνίου, προκύπτουν αντίστοιχα τα σημεία,,,. Σχηματίζεται έτσι το τετράπλευρο q = (). Πρόταση 1: Οι διαγώνιοι του q = () τέμνονται στο Ε, είναι ορθογώνιοι και διπλού μήκους, από αυτό των παραλλήλων πλευρών του s = (ABCD). A ' B ' ' D ' C Απόδειξη: (Σύμφωνα με το σχήμα 1 της σελίδας 1.) (Σχήμα 1)
6 AB. Το προέκυψε από ανάκλαση του Ε ως προς την ΑΒ. Συνεπώς Το Η προέκυψε από ανάκλαση του Ε ως προς τη CD. Συνεπώς CD. Επιπλέον ισχύει ότι AB // CD, ως μη διαδοχικές πλευρές ορθογωνίου παραλληλογράμμου. Άρα, AB, CD, οπότε τα,, είναι συνευθειακά. Έχουμε λοιπόν ότι η διαγώνιος του q διέρχεται από το Ε. (1) Το προέκυψε από ανάκλαση του Ε ως προς τη CD. Συνεπώς BC. Το Ι προέκυψε από ανάκλαση του Ε ως προς τη DA. Συνεπώς DA. Επιπλέον ισχύει ότι BC // DA ως μη διαδοχικές πλευρές ορθογωνίου παραλληλογράμμου. Άρα, BC, DA, οπότε τα,, είναι συνευθειακά. Έχουμε λοιπόν ότι η διαγώνιος του q διέρχεται από το Ε. (2) Από τα (1), (2) συμπεραίνουμε ότι οι διαγώνιοι του q τέμνονται στο Ε. Γνωρίζουμε ότι AB και Επιπλέον AD. Οπότε προκύπτει ότι του q είναι ορθογώνιοι. AB AD. Άρα ισχύει ότι // AD.. Επομένως, οι διαγώνιοι Έστω, τα σημεία τομής της με τις AB, CD αντίστοιχα και, τα σημεία τομής της με τις AD, BC αντίστοιχα. Εφόσον τα,,, προκύπτουν από την ανάκλαση του Ε ως προς τις AB, BC, CD, DA αντίστοιχα, τότε ισχύει ότι: = = = =. Επιπλέον // AD και // AB. Εφόσον το s είναι ορθογώνιο παραλληλόγραμμο, τότε A // D και A // B. Αυτό σημαίνει ότι τα A D και A B είναι παραλληλόγραμμα και συνεπώς = AD και = AB. Οπότε έχουμε ότι: = = = = 2 ( + ) = 2 = 2 AD, = + + +
7 = = = 2 ( + ) = 2 = 2 AB. Επομένως, οι διαγώνιοι του q έχουν διπλάσιο μήκος από τις παράλληλες πλευρές του s. Πρόταση 2: Οι κορυφές του s = (ABCD) είναι τα μέσα των πλευρών του q = (). Απόδειξη: (Σύμφωνα με το σχήμα 1 της σελίδας 1.) Στο τρίγωνο ισχύει ότι AB // και AB = ½*. Άρα, τα A, B είναι τα μέσα των πλευρών,. Ομοίως, στο τρίγωνο ισχύει ότι CD // και CD = ½*. Άρα, τα C, D είναι τα μέσα των πλευρών,. Συνεπώς, οι κορυφές του s = (ABCD) τα μέσα των πλευρών του q = (). Πρόταση 3: Το εμβαδόν του q =() είναι διπλάσιο του εμβαδού του s = (ABCD). Απόδειξη: Παρατηρούμε ότι τα παρακάτω ζεύγη τριγώνων έχουν όλες τις πλευρές τους παράλληλες: α) B, B, β) C,, γ) D, D, δ) A, A Συνεπώς είναι όμοια μεταξύ τους. Επιπλέον, ισχύει ότι: B = B, C = C, D = D και A = A, που σημαίνει ότι τα τρίγωνα είναι ίσα. Επομένως, και τα εμβαδά τους θα είναι αντίστοιχα ίσα.
8 A ' B ' ' D ' C (Σχήμα 2) Όπως φαίνεται στο σχήμα 2, ισχύει ότι: = q q q q q q q q q s = s = s + A' A' A' 'B 'B 'B B' 'B 'C 'C 'C + C' 'C 'D 'D 'D A' ' ' ' B ' ' C ' ' D = s = + A' ' + ' ' B + ' ' C + ' ' D s = s = s = s = s A ' ' s + ' B' + ' C ' + ' ' D + + D' 'D + A' ' + ' ' B + ' ' C + ' ' D Πρόταση 4: Όλα τα τετράπλευρα με ορθογώνιες διαγώνιους κατασκευάζονται με τον εξής τρόπο: Σημείο στο εσωτερικό ενός ορθογωνίου παραλληλογράμμου ανακλάται στις πλευρές του. Τα τέσσερα σημεία που προκύπτουν είναι οι κορυφές ορθοδιαγώνιου τετραπλεύρου. + + 'A A'
9 A ' B ' ' D ' C (Σχήμα 3) Απόδειξη: Έστω ότι το ορθοδιαγώνιο τετράπλευρο q = () (με Ε το σημείο τομής των διαγωνίων του) δεν κατασκευάζεται με τον τρόπο αυτό. Τότε τα μέσα των πλευρών του δεν σχηματίζουν ένα ορθογώνιο παραλληλόγραμμο. Έστω A, B, C, D τα μέσα των πλευρών,,, αντίστοιχα. Σχηματίζουμε το τετράπλευρο s = (ABCD). Στο τρίγωνο παρατηρούμε ότι το ευθύγραμμο τμήμα ΑΒ ενώνει τα μέσα των πλευρών,. Γνωρίζουμε ότι το ευθύγραμμο τμήμα που ενώνει τα μέσα δύο πλευρών ενός τριγώνου είναι παράλληλο προς την τρίτη πλευρά του τριγώνου και ισούται με το μισό της. Άρα, ισχύει ότι AB // και AB =. 2 Ομοίως, στο τρίγωνο παρατηρούμε ότι το ευθύγραμμο τμήμα CD ενώνει τα μέσα των πλευρών,. Άρα, ισχύει ότι CD // και CD =. 2 Προκύπτει λοιπόν ότι AB //= CD, που σημαίνει ότι το s είναι παραλληλόγραμμο. Συνεπώς, ισχύει ότι AD //=BC. Στο τρίγωνο παρατηρούμε ότι το ευθύγραμμο τμήμα BC ενώνει τα μέσα των πλευρών, αντίστοιχα. Οπότε BC //. Όμως, ως διαγώνιοι του ορθοδιαγώνιου τετράπλευρου q. Προκύπτει
10 λοιπόν ότι BC BC AB. Επομένως, το τετράπλευρο s είναι ορθογώνιο παραλληλόγραμμο. Άτοπο! Επομένως, κάθε ορθοδιαγώνιο τετράπλευρο κατασκευάζεται με αυτόν τον τρόπο. Πρόταση 5: Τα μέσα των πλευρών ορθοδιαγωνίου τετραπλεύρου περιέχονται σε κύκλο.
11 A B D C (Σχήμα 4) Απόδειξη: Γνωρίζουμε ότι τα μέσα των πλευρών ορθοδιαγωνίων τετραπλεύρων σχηματίζουν ένα ορθογώνιο παραλληλόγραμμο. Οι απέναντι γωνίες ενός ορθογωνίου παραλληλογράμμου είναι παραπληρωματικές. Συνεπώς, κάθε ορθογώνιο παραλληλόγραμμο είναι εγγράψιμο σε κύκλο. Επομένως, τα μέσα των πλευρών ενός ορθοδιαγωνίου τετράπλευρου περιέχονται σε κύκλο. Πρόταση 6: Οι μεσοκάθετοι των πλευρών του q = () σχηματίζουν άλλο ορθοδιαγώνιο q με διαγωνίους παράλληλες σε αυτές του q.
12 J A B M N K D C L (Σχήμα 5) Απόδειξη: Μας δίνεται το τετράπλευρο q = (). Φέρνουμε τις μεσοκαθέτους των πλευρών του. Έστω J το σημείο τομής των μεσοκαθέτων των,. Γνωρίζουμε ότι τα σημεία της μεσοκαθέτου ενός ευθύγραμμου τμήματος ισαπέχουν από τα άκρα του. Συνεπώς J = J και J = J. Άρα J = J, που σημαίνει ότι το J είναι σημείο της μεσοκαθέτου της. Έστω Κ το σημείο τομής των μεσοκαθέτων των,. Τότε K = K και K = K. Άρα K = ΚΗ, που σημαίνει ότι το Κ είναι σημείο της μεσοκαθέτου της.
13 Έστω L το σημείο τομής των μεσοκαθέτων των,. Τότε L = L και L = L. Άρα L = L, που σημαίνει ότι το L είναι σημείο της μεσοκαθέτου της. Έστω M το σημείο τομής των μεσοκαθέτων των,. Τότε M = M και M = M. Άρα M = M, που σημαίνει ότι το M είναι σημείο της μεσοκαθέτου της. Τα J, K, L, M σχηματίζουν το τετράπλευρο q = (JKLM), με διαγωνίους JL, KM. Εφόσον τα J, L είναι σημεία της μεσοκαθέτου της, τότε JL (και συγκεκριμένα η JL είναι η μεσοκάθετος της ). Ομοίως, αφού τα Κ, Μ είναι σημεία της μεσοκαθέτου της, τότε KM (και συγκεκριμένα η ΚΜ είναι η μεσοκάθετος της ). Άρα οι διαγώνιοι του q είναι κάθετες σε αυτές του q (ή παράλληλες αν το δούμε διαφορετικά). Επιπλέον JL και, δηλαδή JL //. Επίσης KM, άρα JL. Συνεπώς το q είναι ορθοδιαγώνιο τετράπλευρο. Πρόταση *: Για οποιοδήποτε τετράπλευρο ισχύει ότι το ευθύγραμμο τμήμα που ενώνει τα μέσα των διαγωνίων του έχει το ίδιο μέσο με τα ευθύγραμμα τμήματα που ενώνουν τα μέσα δύο απέναντι πλευρών του. Απόδειξη: Έστω τυχόν τετράπλευρο ΑΒΓΔ (Σχήμα 6). Φέρνουμε τις διαγώνιους του ΑΓ, ΒΔ και βρίσκουμε τα μέσα τους Μ, Ν αντίστοιχα. Έστω ακόμη Ε, Ζ, Η, Θ τα μέσα των πλευρών ΑΒ, ΒΓ, ΓΔ, ΔΑ αντίστοιχα.
14 Α Θ Δ Ε Η Μ Ν Β Γ Ζ (Σχήμα 6) Φέρνουμε τα ευθύγραμμα τμήματα ΜΝ και ΘΖ (Σχήμα 7). Ονομάζουμε Ο το σημείο τομής τους. Στη συνέχεια φέρνουμε τα ευθύγραμμα τμήματα ΘΜ, ΝΖ. Στο τρίγωνο ΑΓΔ παρατηρούμε ότι το ευθύγραμμο τμήμα ΘΜ ενώνει τα μέσα των πλευρών ΑΔ, ΑΓ του τριγώνου. Συνεπώς, το ΘΜ είναι παράλληλο προς την τρίτη πλευρά του τριγώνου και ίση με το μισό της, δηλαδή ΘΜ // ΓΔ και ΓΔ ΘΜ =. 2 Ακόμη, στο τρίγωνο ΒΓΔ παρατηρούμε ότι το ευθύγραμμο τμήμα ΝΖ ενώνει τα μέσα των πλευρών ΒΔ, ΒΓ του τριγώνου. Συνεπώς, το ΝΖ είναι παράλληλο προς την τρίτη πλευρά του τριγώνου και ίση με το μισό της, δηλαδή ΝΖ // ΓΔ και ΓΔ ΝΖ =. 2 Άρα, προκύπτει ότι ΘΜ // = ΝΖ. Αυτό σημαίνει ότι το ΘΜΖΝ είναι παραλληλόγραμμο, αφού έχει τις δύο απέναντι πλευρές του ίσες και παράλληλες. Τα ευθύγραμμα τμήματα ΜΝ, ΘΖ είναι οι διαγώνιοι του ΘΜΖΝ. Γνωρίζουμε ότι οι διαγώνιοι ενός παραλληλογράμμου διχοτομούνται. Συνεπώς, το Ο είναι το μέσο των ΜΝ, ΘΖ.
15 Α Θ Δ Ε Η Μ Ο Ν Β Γ Ζ (Σχήμα 7) Φέρνουμε τώρα τα ευθύγραμμα τμήματα ΜΝ, ΕΗ (Σχήμα 8) κι έπειτα τα ΜΗ, ΝΕ. Στο τρίγωνο ΑΓΔ παρατηρούμε ότι το ευθύγραμμο τμήμα ΜΗ ενώνει τα μέσα των πλευρών ΓΑ, ΓΔ του τριγώνου. Συνεπώς, το ΜΗ είναι παράλληλο προς την τρίτη πλευρά του τριγώνου και ίση με το μισό της, δηλαδή ΜΗ // ΔΑ και ΔΑ ΜΗ =. 2 Ακόμη, στο τρίγωνο ΑΒΔ παρατηρούμε ότι το ευθύγραμμο τμήμα ΝΕ ενώνει τα μέσα των πλευρών ΒΔ, ΒΑ του τριγώνου. Συνεπώς, το ΝΕ είναι παράλληλο προς την τρίτη πλευρά του τριγώνου και ίση με το μισό της, δηλαδή ΝΕ // ΔΑ και ΔΑ ΝΕ =. 2 Άρα, προκύπτει ότι ΜΗ // = ΔΑ. Αυτό σημαίνει ότι το MN είναι παραλληλόγραμμο, αφού έχει τις δύο απέναντι πλευρές του ίσες και παράλληλες. Τα ευθύγραμμα τμήματα ΜΝ, ΕΗ είναι οι διαγώνιοι του ΜΕΝΗ. Γνωρίζουμε ότι οι διαγώνιοι ενός παραλληλογράμμου διχοτομούνται. Συνεπώς, το μέσο Ο του ΜΝ είναι και μέσο του ΕΗ.
16 Α Θ Δ Ε Η Μ Ο Ν Β Γ Ζ (Σχήμα 8) Επομένως, το ευθύγραμμο τμήμα που ενώνει τα μέσα των διαγωνίων ενός οποιουδήποτε τετραπλεύρου έχει το ίδιο μέσο με τα ευθύγραμμα τμήματα που ενώνουν τα μέσα δύο απέναντι πλευρών του. Πρόταση 7: Τα σημεία τομής των διαγωνίων των q = () και q = (JKLM) είναι συμμετρικά ως προς το κέντρο Ο του s = (ABCD). Απόδειξη: Έχουμε Ε το σημείο τομής των διαγωνίων του q. Ονομάζουμε Ν το σημείο τομής των διαγωνίων του q. Ονομάζουμε Ο το κέντρο του s (δηλαδή το σημείο τομής των διαγωνίων του). Στην απόδειξη της πρότασης 6, δείξαμε ότι η JL είναι η μεσοκάθετος της και η ΚΜ η μεσοκάθετος της. Ονομάζουμε Ν1 το σημείο τομής των JL, (δηλαδή το μέσο της ) και Ε1 το σημείο τομής των KM, (δηλαδή το μέσο της ).
17 J A B M 1 O N K N1 D C L (Σύμφωνα με το σχήμα 9 της σελίδας 13.) (Σχήμα 9) Φέρνουμε το ευθύγραμμο τμήμα Ε1Ν1, που ενώνει τα μέσα των διαγωνίων του q. Επίσης, φέρνουμε και το ευθύγραμμο τμήμα AC, που ενώνει τα μέσα των απέναντι πλευρών, του q. Σύμφωνα με την πρόταση *, τα ευθύγραμμα τμήματα Ε1Ν1 και AC έχουν κοινό μέσο. Το AC, εφόσον είναι διαγώνιος του s, έχει μέσο το σημείο Ο. Άρα, το Ο είναι το μέσο του Ε1Ν1.
18 J A B M 1 O N K N1 D C L (Σχήμα 10) Από την πρόταση 6 προκύπτει ότι το τετράπλευρο Ε1ΝΝ1Ε είναι ορθογώνιο παραλληλόγραμμο. Αυτό σημαίνει ότι οι διαγώνιοί του διχοτομούνται. Αφού λοιπόν το Ο είναι το μέσο της Ε1Ν1, τότε είναι και μέσο της ΕΝ. Άρα, τα Ε, Ν είναι συμμετρικά ως προς το Ο. (Σχήμα 10) Πρόταση 8: Επαναλαμβάνοντας την κατασκευή που περιγράφεται στην πρόταση 6 για το q = (JKLM), σχηματίζεται το ορθοδιαγώνιο τετράπλευρο q = (PQRS).
19 J P A B S Q M N K R D C L (Σχήμα 11) Απόδειξη: Σύμφωνα με την πρόταση 6, οι μεσοκάθετοι των πλευρών ενός ορθοδιαγώνιου τετραπλεύρου σχηματίζουν ένα άλλο ορθοδιαγώνιο τετράπλευρο, με διαγώνιους παράλληλες σε αυτές του αρχικού. Φέρνοντας λοιπόν τις μεσοκαθέτους των πλευρών του q (Σχήμα 11), σχηματίζεται το ορθοδιαγώνιο τετράπλευρο q = PQRS, του οποίου οι διαγώνιοι είναι παράλληλοι σε αυτές του q. Πρόταση 9: Το q = (PQRS) είναι όμοιο του q = ().
20 J P A B S V Q M N K R D C L (Σχήμα 12) Απόδειξη: Φέρνουμε τις διαγωνίους PR, QS του q κι ονομάζουμε V το σημείο τομής τους. Σχηματίζονται έτσι τα ορθογώνια τρίγωνα PQV, QRV, RSV, SPV. Γνωρίζουμε ότι PQ JM και JM. Άρα, προκύπτει ότι PQ //. Παρατηρούμε ότι τα τρίγωνα PQV και έχουν όλες τους τις πλευρές παράλληλες κι άρα είναι όμοια. Γνωρίζουμε ότι QR LM και LM. Άρα, προκύπτει ότι QR //. Παρατηρούμε ότι τα τρίγωνα QRV και έχουν όλες τους τις πλευρές παράλληλες κι άρα είναι όμοια. Γνωρίζουμε ότι RS KL και KL. Άρα, προκύπτει ότι RS //. Παρατηρούμε ότι τα τρίγωνα RSV και έχουν όλες τους τις πλευρές παράλληλες κι άρα είναι όμοια.
21 Γνωρίζουμε ότι SP JK και JK. Άρα, προκύπτει ότι SP //. Παρατηρούμε ότι τα τρίγωνα SPV και έχουν όλες τους τις πλευρές παράλληλες κι άρα είναι όμοια. Τα τρίγωνα PQV και QRV σχηματίζουν το τρίγωνο PQR. Ομοίως, τα τρίγωνα και σχηματίζουν το τρίγωνο. Προφανώς τα PQR, είναι όμοια κι έχουν τις πλευρές τους παράλληλες. Τα τρίγωνα RSV και SPV σχηματίζουν το τρίγωνο RSP. Ομοίως, τα τρίγωνα και σχηματίζουν το τρίγωνο Η. Προφανώς τα RSP, Η είναι όμοια κι έχουν τις πλευρές τους παράλληλες. Τα τρίγωνα PQR, RSP σχηματίζουν το q = PQRS. Ομοίως, τα τρίγωνα σχηματίζουν το q =. Άρα τα δύο τετράπλευρα είναι μεταξύ τους όμοια κι έχουν τις πλευρές τους παράλληλες. Πρόταση 10: Τα q = (JKLM) και q = (PQRS) είναι προοπτικά του q = () ως προς σημείο U, περιεχόμενο στην ευθεία V, όπου το V είναι το σημείο τομής των διαγωνίων του q. Οι κορυφές των q και q περιέχονται σε ευθείες δια του U. Το q είναι αντιομοιοθετικό του q. Απόδειξη:
22 J P S U V Q M N K R L (Σύμφωνα με το σχήμα 13 της σελίδας 18.) (Σχήμα 13) Φέρνω τις ευθείες P, Q, οι οποίες δεν είναι παράλληλες. Έστω U το σημείο τομής τους. Τα τρίγωνα U, PQU που σχηματίζονται είναι όμοια, διότι έχουν όλες τους τις πλευρές παράλληλες. Έστω m ο λόγος ομοιότητάς τους. Τότε, εφόσον = m, συμπεραίνουμε ότι ο λόγος PQ ομοιότητας των q, q είναι m. Φέρνω τα ευθύγραμμα τμήματα U, UR. Παρατηρούμε ότι: 1) ÎU = UQˆ R, ως εντός εναλλάξ των παραλλήλων ευθειών, QR. 2) = m, λόγω ομοιότητας των q, q. QR
23 U 3) = m, λόγω ομοιότητας των U, PQU. UQ Άρα τα τρίγωνα U, QRU είναι όμοια. Συνεπώς Û = QÛR, που σημαίνει ότι είναι κατακορυφήν. Άρα, τα U, UR ανήκουν στην ίδια ευθεία. Οπότε και η ευθεία R διέρχεται από το U. Φέρνω τα ευθύγραμμα τμήματα SU, U. Παρατηρούμε ότι: 1) S PˆU = ĤU, ως εντός εναλλάξ γωνίες των παραλλήλων ευθειών SP,. SP U = UP 2) = m, λόγω ομοιότητας των q, q. 3) m, λόγω ομοιότητας των U, PQU. Άρα τα τρίγωνα U, SPU είναι όμοια. Συνεπώς Û = SÛP, που σημαίνει ότι είναι κατακορυφήν. Άρα, τα SU, U ανήκουν στην ίδια ευθεία. Οπότε και η ευθεία S διέρχεται από το U. Επομένως, τα q, q είναι προοπτικά ως προς το U. (Σύμφωνα με το σχήμα 14 της σελίδας 20.) Έστω V το σημείο τομής των διαγωνίων του q. Φέρνω τα ευθύγραμμα τμήματα U, UV. Παρατηρούμε ότι: 1) ÎU = VQˆ U, ως εντός εναλλάξ γωνίες των παραλλήλων ευθειών, VQ. 2) = m, λόγω ομοιότητας των PQV, (απόδειξη QV πρότασης 9, σελίδα 17). U 3) = m, λόγω ομοιότητας των U, PQU. UQ Άρα τα τρίγωνα U, QVU είναι όμοια. Συνεπώς V ÛQ = Û, που σημαίνει ότι είναι κατακορυφήν. Άρα, τα U, UV ανήκουν στην ίδια ευθεία. Οπότε η ευθεία V διέρχεται από το U. Επομένως, το U είναι σημείο της ευθείας V.
24 J P S U V Q M N K R L (Σχήμα 14)
25 J D' P S A U V Q M N K R A' D L (Σχήμα 15) (Σύμφωνα με το σχήμα 15 της σελίδας 21.) Υπενθυμίζουμε ότι A, D είναι τα μέσα των, αντίστοιχα. Ονομάζουμε A, D τα μέσα των LM, MJ αντίστοιχα. Φέρνουμε τα AD, A D. Γνωρίζουμε ότι AD (από την απόδειξη της πρότασης 1). Ακόμη, το A D ενώνει τα μέσα των πλευρών LM, MJ του τριγώνου LMJ. Αυτό σημαίνει ότι A D // LJ. Όμως LJ και συνεπώς A' D'. Άρα, προκύπτει ότι AD // A D. Παρατηρούμε ότι AD // A D, AM // A M (διότι τα Α, Μ, Α είναι συνευθειακά) και DM // D M (διότι τα A, D, A είναι συνευθειακά).
26 Προφανώς λοιπόν τα τρίγωνα ADM, A D Μ είναι όμοια, μιας κι έχουν όλες τις αντίστοιχες πλευρές τους παράλληλες. (1) Επιπλέον A // A Q (διότι είναι και τα δύο κάθετα στην ΑΑ ) και D // D Q (διότι είναι και τα δύο κάθετα στην DD ). Προφανώς λοιπόν τα τρίγωνα AD, A D Q είναι όμοια, εφόσον έχουν όλες τις αντίστοιχες πλευρές τους παράλληλες. (2) Από τα (1), (2) συμπεραίνουμε ότι τα τετράπλευρα AMD, MD QA είναι όμοια κι έχουν τις αντίστοιχες πλευρές τους παράλληλες. Συνεπώς, θα έχουν και τις αντίστοιχες διαγώνιούς τους παράλληλες, δηλαδή M // MQ. Εφόσον μάλιστα τα M, MQ έχουν κοινό σημείο το Μ, συμπεραίνουμε ότι τα, M, Q είναι συνευθειακά. Γνωρίζουμε ότι η ευθεία Q διέρχεται από το U. Επομένως η ευθεία που ενώνει τα M, Q διέρχεται από το U. (Α) Με ανάλογο τρόπο δείχνουμε ότι : η ευθεία που ενώνει τα P, J διέρχεται από το U (Σχήμα 16) (Β) η ευθεία που ενώνει τα R, L διέρχεται από το U (Σχήμα 17) (Γ) η ευθεία που ενώνει τα K, S διέρχεται από το U (Σχήμα 18) (Δ).
27 J D' P C' S V Q M N K R D C L (Σχήμα 16)
28 J P S A U V Q B M N K R A' B' L (Σχήμα 17)
29 J P C' S U V Q B M N K R B' C L (Σχήμα 18) Από τα (Α), (Β), (Γ), (Δ) προκύπτει ότι οι κορυφές των q, q περιέχονται σε ευθείες δια του U. (Σχήμα 19) Έχουμε αποδείξει ότι τα q, q είναι όμοια (παραπάνω πήραμε ως λόγο ομοιότητάς τους m ). Ακόμη, δείξαμε ότι τα q, q είναι προοπτικά ως προς το U. Επιπλέον τα σημεία -R, -S, -P, -Q αντίστοιχα βρίσκονται εκατέρωθεν του U. Συμπεραίνουμε λοιπόν ότι το U είναι κέντρο ομοιοθεσίας και m λόγος ομοιοθεσίας, τ.ώ. το q να είναι αντιομοιοθετικό του q.
30 J P S U V Q M N K R L (Σχήμα 19) Πρόταση 11: Οι προβολές του Ε στις πλευρές του q = () σχηματίζουν τετράπλευρο r, τέτοιο ώστε οι μεσοκάθετοι των πλευρών του διέρχονται από τα σημεία τομής των διαγωνίων του q με τις πλευρές του ορθογωνίου παραλληλογράμμου s = (ABCD). Απόδειξη: Έστω Φ, Χ, Ψ, Ω οι προβολές του Ε στις πλευρές,,, αντίστοιχα (Σχήμα 20). Σχηματίζουμε το τετράπλευρο r = (ΦΧΨΩ).
31 Υπενθυμίζουμε ότι, είναι τα σημεία τομής της με τις AB, CD αντίστοιχα και, τα σημεία τομής της με τις AD, BC αντίστοιχα (Σχήμα 1 της σελίδας 1). Χ A ' B Φ ' ' D Ω ' C Ψ (Σχήμα 20)
32 Χ Φ A ' B ' ' D Ω ' C Ψ (Σχήμα 21) (Σύμφωνα με το σχήμα 21.) Φέρνουμε τα ευθύγραμμα τμήματα ΕΦ, ΕΧ. Εφόσον τα Φ, Χ είναι οι προβολές του Ε στις πλευρές, αντίστοιχα, τότε ΕΦ και ΕΧ. Σχηματίζονται δηλαδή τα ορθογώνια τρίγωνα ΕΦ, ΕΧ, που έχουν κοινή υποτείνουσα την. Γνωρίζουμε ότι το σημείο είναι το μέσο του ευθύγραμμου τμήματος (απόδειξη πρότασης 1, σελίδα 2). Φέρνουμε τις διαμέσους Φ, Χ. Γνωρίζουμε ότι η διάμεσος ορθογωνίου τριγώνου που άγεται από την κορυφή της ορθής γωνίας ισούται με το μισό της υποτείνουσας. Συνεπώς, προκύπτει ότι Φ'= και 2 Χ'= 2, δηλαδή Φ = Χ. Αυτό σημαίνει ότι το σημείο ισαπέχει από τα άκρα του ευθύγραμμου τμήματος ΦΧ. Άρα το είναι σημείο της μεσοκαθέτου του ΦΧ. Με άλλα λόγια, η μεσοκάθετος του ΦΧ διέρχεται από το (Σχήμα 22 της σελίδας 30).
33 Χ A ' B Φ ' ' D Ω ' C Ψ (Σχήμα 22) Με ανάλογο τρόπο αποδεικνύεται ότι οι μεσοκάθετοι των πλευρών ΧΨ, ΨΩ, ΩΦ διέρχονται αντίστοιχα από τα σημεία,,. Χ A ' B Φ ' ' D Ω ' C Ψ (Σχήμα 23) Επομένως, οι μεσοκάθετοι των πλευρών του r = (ΦΧΨΩ) διέρχονται από τα σημεία τομής των διαγωνίων του q με τις πλευρές του ορθογωνίου παραλληλογράμμου s = (ABCD).
34 Πρόταση 12: Οι προβολές του Ε στις πλευρές του q = () περιέχονται σε κύκλο. Απόδειξη: Χ Φ χ Ω Ψ (Σχήμα 24) (Σύμφωνα με το σχήμα 24.) Έστω Φ, Χ, Ψ, Ω οι προβολές του Ε στις πλευρές,,, αντίστοιχα. Για να δείξουμε ότι το τετράπλευρο r = (ΦΧΨΩ) είναι εγγράψιμο, αρκεί να δείξουμε ότι μια γωνία του ισούται με την εξωτερική της απέναντι γωνίας. Αρχικά, φέρνουμε το φορέα της πλευράς ΨΩ (ευθεία χ). Παρατηρούμε ότι το τετράπλευρο ΙΦΕΩ είναι εγγράψιμο, διότι Φˆ Ε = ΙΩΕ ˆ, ως ορθές. Τότε Ι Ωˆ Φ = ΙΕˆ Φ, διότι βαίνουν στο ίδιο τόξο, το ΙΦ.(1) Παρατηρούμε ότι τα τρίγωνα ΙΦΕ, έχουν: 1) Ι Φˆ Ε = Ê, ως ορθές,
35 2) ΦΙˆΕ κοινή γωνία. Προφανώς λοιπόν ισχύει ότι Ι Εˆ Φ = ˆ. (2) Παρατηρούμε ότι το τετράπλευρο ΦΧΕ είναι εγγράψιμο, διότι Φˆ Ε = Xˆ, ως ορθές. Τότε Φ ˆ = ΦΧˆ Ε, διότι βαίνουν στο ίδιο τόξο, το ΦΕ.(3) Από τις (1), (2), (3) συμπεραίνουμε ότι Ι Ωˆ Φ = ΦΧˆ Ε. (*) Παρατηρούμε ότι χωˆ Ι = ΗΩΨ ˆ, ως κατακορυφήν. (4) Ακόμη, το τετράπλευρο ΗΨΕΩ είναι εγγράψιμο, διότι ΕΨˆ Η = ΕΩΗ ˆ, ως ορθές. Τότε ΗΩˆ Ψ = ΗΕΨ ˆ, διότι βαίνουν στο ίδιο τόξο, το ΗΨ. (5) Παρατηρούμε ότι τα τρίγωνα ΗΨΕ, ΗΕ έχουν: 1) Ψˆ Ε = Ê, ως ορθές, 2) ΕΗˆ Ψ κοινή γωνία. Προφανώς λοιπόν ισχύει ότι Η Εˆ Ψ = Ĝ. (6) Παρατηρούμε ότι το τετράπλευρο XΨ είναι εγγράψιμο, διότι Xˆ = Ψˆ, ως ορθές. Τότε Ψ Ĝ = ΨΧˆ Ε, διότι βαίνουν στο ίδιο τόξο, το ΕΨ. (7) Από τις (4), (5), (6), (7) συμπεραίνουμε ότι χ Ωˆ Ι = ΨΧˆ Ε. (**) Προσθέτοντας κατά μέλη τις (*), (**), προκύπτει ότι χ Ωˆ Φ = ΦΧˆ Ψ, δηλαδή η γωνία ΦΧˆ Ψ ισούται με την εξωτερική της ΦΩˆ Ψ. Άρα το ΦΧΨΩ είναι εγγράψιμο. Διαφορετικά, θα μπορούσαμε να πούμε ότι οι προβολές του Ε στις πλευρές του q περιέχονται σε κύκλο. Πρόταση 13: Ο περιγεγραμμένος κύκλος του ΦΧΨΩ έχει κέντρο το μέσο του ευθυγράμμου τμήματος U. Σημείωση: Το ΦΧΨΩ είναι το τετράπλευρο που προκύπτει από την προβολή του Ε στις πλευρές του q ( πρόταση 12) και το σημείο U είναι το σημείο που αναφέρεται στην πρόταση 10. Απόδειξη:
36 Έχουμε q = (JKLM) το τετράπλευρο που σχηματίζεται από τις μεσοκαθέτους των πλευρών του q = (). Φέρνουμε τα ευθύγραμμα τμήματα ΕΦ, ΕΧ (Φ, Χ είναι οι προβολές του Ε στις πλευρές, αντίστοιχα). Σχηματίζονται τα τετράπλευρα ΦΧ και LAB. Φέρνουμε επίσης την ευθεία που διέρχεται από τις κορυφές, L. J Χ Φ A ' B M K ' ' D Ω ' C Ψ L (Σύμφωνα με το σχήμα 25 της σελίδας 33.) (Σχήμα 25) ˆ ˆ Παρατηρούμε ότι Φ=X ως ορθές. Συνεπώς, το ΦΧ είναι εγγράψιμο, διότι έχει τις απέναντι γωνίες του παραπληρωματικές. Ομοίως, LA=LB ˆ ˆ ως ορθές, που σημαίνει ότι το LAB είναι εγγράψιμο. Παρατηρούμε ότι τα ορθογώνια τρίγωνα X, B έχουν κοινή γωνία την X ˆ. Υποχρεωτικά, λοιπόν, θα έχουν και τις X ˆ, 'B ˆ ίσες μεταξύ τους. Άρα, τα δυο τρίγωνα είναι όμοια. Επιπλέον 'B ˆ = AL ˆ, διότι βαίνουν στο ίδιο τόξο. Αυτό σημαίνει ότι τα ορθογώνια τρίγωνα LA, B είναι όμοια μεταξύ τους. Συμπεραίνουμε, λοιπόν, ότι τα LA, X είναι όμοια. (1)
37 ˆ ˆ Γνωρίζουμε ότι ALB = ΦΕΧ, αφού έχουν τις πλευρές τους παράλληλες κι ακόμη ότι X ˆ = AL ˆ. Συνεπώς, προκύπτει ότι ΦΕ ˆ = BL ˆ. Αυτό σημαίνει ότι τα ορθογώνια τρίγωνα LB, Φ είναι όμοια μεταξύ τους. (2) Τα τρίγωνα LA, LB σχηματίζουν το τετράπλευρο LAB και τα τρίγωνα X, Φ σχηματίζουν το τετράπλευρο ΦΧ. Οπότε από τα (1), (2) συμπεραίνουμε ότι τα δυο τετράπλευρα είναι όμοια. (Σύμφωνα με το σχήμα 26 της σελίδας 35.) Ονομάζουμε 1 το σημείο τομής των διαγωνίων του ΦΧ, 2 το σημείο τομής των L, ΦΧ και 3 το σημείο τομής των διαγωνίων του LAB. Εφόσον τα LAB, ΦΧ είναι όμοια, οι διαγώνιοι τους σχηματίζουν αντίστοιχα ίσες γωνίες. Ισχύει λοιπόν ότι 1Φ ˆ = B3L ˆ. Όμως B3L ˆ = A3 ˆ, ως κατακορυφήν. Παρατηρούμε ότι η εξωτερική γωνία 1Φ ˆ του τετραπλεύρου 123 ισούται με την απέναντι εσωτερική A3 ˆ. Αυτό σημαίνει ότι το 123 είναι εγγράψιμο. Συνεπώς, έχει τις απέναντι γωνίες του παραπληρωματικές, οπότε 1'3 ˆ = 123 ˆ. Προκύπτει λοιπόν ότι L ΦΧ ή διαφορετικά ότι η L είναι παράλληλη στη μεσοκάθετο της ΦΧ.
38 J 1 2 Χ A ' 3 B Φ M K ' ' D Ω ' C Ψ L (Σχήμα 26) Με παρόμοιο τρόπο δείχνουμε ότι η ευθεία που διέρχεται από τα, είναι παράλληλη προς τη μεσοκάθετο της ΨΩ. (Σύμφωνα με το σχήμα 27.) Φέρνουμε τις ευθείες L, και τις μεσοκαθέτους των ΦΧ, ΨΩ. Έστω Τ το σημείο τομής των δύο μεσοκαθέτων, τότε το Τ είναι το κέντρο του περιγεγραμμένου στο ΦΧΨΩ κύκλου. Φέρνουμε το ευθύγραμμο τμήμα ΕΤ. Στην προέκτασή του προς τη μεριά του Τ παίρνουμε συμείο U*, τέτοιο ώστε T = TU*. Παρατηρούμε ότι το ευθύγραμμο τμήμα Τ ενώνει τα μέσα των πλευρών, U* και είναι παράλληλο προς την ευθεία L. Αυτό σημαίνει ότι το U* ανήκει στην ευθεία L. Παρατηρούμε ακόμη ότι το ευθύγραμμο τμήμα Η Τ ενώνει τα μέσα των πλευρών ΗΕ, U* και είναι παράλληλο προς την ευθεία. Αυτό σημαίνει ότι το U* ανήκει στην ευθεία. Από τα παραπάνω προκύπτει ότι το U* είναι το σημείο τομής των ευθειών L,. Όμως γνωρίζουμε, σύμφωνα με την πρόταση 10, ότι οι ευθείες L, τέμνονται στο U. Άρα, τα U*, U συμπίπτουν.
39 J Χ ' Φ M T K ' ' Ω ' Ψ L (Σχήμα 27) Επομένως, το κέντρο Τ του περιγεγραμμένου στο ΦΧΨΩ κύκλου είναι το μέσο του ευθυγράμμου τμήματος U. Πρόταση 14: Αν επαναλάβουμε τις κατασκευές των προτάσεων 6 και 8 για το ορθοδιαγώνιο τετράπλευρο, τότε το κέντρο ομοιοθεσίας των σχημάτων της νέας κατασκευής συμπίπτει με το κέντρο του περιγεγραμμένου στο ΦΧΨΩ κύκλου.
40 Σημείωση: Τα,,, είναι τα σημεία τομής των, με τις πλευρές του ορθογωνίου s = (ABCD) (πρόταση 1) και το ΦΧΨΩ είναι το τετράπλευρο που προκύπτει από την προβολή του Ε στις πλευρές του q ( πρόταση 12). Απόδειξη: Σχηματίζουμε το ορθοδιαγώνιο τετράπλευρο, όπως φαίνεται στο σχήμα 28. A ' B U T ' ' D ' C (Σχήμα 28) Συγκρίνοντας τα ορθογώνια τρίγωνα,, παρατηρούμε ότι ' // = και 2 ' // =. Άρα, τα τρίγωνα, είναι όμοια 2 μεταξύ τους κι έχουν αντίστοιχες πλευρές τους παράλληλες. Συγκρίνοντας τα ορθογώνια τρίγωνα,, παρατηρούμε ότι ' // = και 2 ' // =. Άρα, τα τρίγωνα, είναι όμοια 2 μεταξύ τους κι έχουν αντίστοιχες πλευρές τους παράλληλες.
41 Συγκρίνοντας τα ορθογώνια τρίγωνα,, παρατηρούμε ότι ' // = και 2 ' // =. Άρα, τα τρίγωνα, είναι όμοια μεταξύ 2 τους κι έχουν αντίστοιχες πλευρές τους παράλληλες. Συγκρίνοντας τα ορθογώνια τρίγωνα,, παρατηρούμε ότι ' // = και 2 ' // =. Άρα, τα τρίγωνα, είναι όμοια μεταξύ 2 τους κι έχουν αντίστοιχες πλευρές τους παράλληλες. Τα τρίγωνα, σχηματίζουν το τρίγωνο και τα τρίγωνα, σχηματίζουν το τρίγωνο. Προφανώς, λοιπόν, τα τρίγωνα, είναι όμοια μεταξύ τους (με λόγο ομοιότητας του προς το 2 1 ). Τα τρίγωνα, σχηματίζουν το τρίγωνο και τα τρίγωνα, σχηματίζουν το τρίγωνο. Προφανώς, λοιπόν, τα τρίγωνα, είναι όμοια μεταξύ τους (με λόγο ομοιότητας του προς το 2 1 ). Τα τρίγωνα, σχηματίζουν το τετράπλευρο q = () και τα τρίγωνα, σχηματίζουν το τετράπλευρο. Προφανώς τα δύο τετράπλευρα είναι όμοια μεταξύ τους, με λόγο 1 ομοιότητας του προς το q κι έχουν τις αντίστοιχες πλευρές 2 τους παράλληλες. J' ' U T ' M' N' K' ' ' L'
42 (Σχήμα 29) (Σύμφωνα με το σχήμα 29.) Φέρνουμε τις μεσοκαθέτους των πλευρών του κι ονομάζουμε J το σημείο τομής των μεσοκαθέτων των,, ονομάζουμε Κ το σημείο τομής των μεσοκαθέτων των,, ονομάζουμε L το σημείο τομής των μεσοκαθέτων των, και τέλος ονομάζουμε M το σημείο τομής των μεσοκαθέτων των,. Σχηματίζουμε το τετράπλευρο J K L M. Σύμφωνα με την πρόταση 6, οι μεσοκάθετοι ενός ορθοδιαγωνίου τετραπλεύρου σχηματίζουν άλλο ορθοδιαγώνιο τετράπλευρο με διαγωνίους παράλληλες σε αυτές του αρχικού. Συνεπώς το J K L M είναι ορθοδιαγώνιο, με J L // και K M //. J ' J' U ' M M' T N' K' N K ' ' L' L (Σχήμα 30)
43 (Σύμφωνα με το σχήμα 30.) Αποδείξαμε νωρίτερα ότι τα τετράπλευρα, είναι όμοια κι έχουν τις αντίστοιχες πλευρές τους παράλληλες. Επομένως και οι μεσοκάθετοι των αντίστοιχων πλευρών τους θα είναι μεταξύ τους παράλληλες. Αυτό σημαίνει ότι τα τετράπλευρα JKLM, J K L M έχουν τις αντίστοιχες πλευρές τους παράλληλες. Ακόμη, γνωρίζουμε ότι J' L' και ότι JL. Προκύπτει λοιπόν ότι JL // J L. Παρατηρούμε ότι τα τρίγωνα JKL, J K L είναι όμοια, διότι έχουν όλες τις αντίστοιχες πλευρές τους παράλληλες. Επίσης, τα τρίγωνα LMJ, L M J είναι όμοια, διότι έχουν όλες τις αντίστοιχες πλευρές τους παράλληλες. Τα τρίγωνα JKL, LMJ σχηματίζουν το τετράπλευρο JKLM. Ομοίως, τα τρίγωνα J K L, L M J σχηματίζουν το τετράπλευρο J K L M. Άρα τα τετράπλευρα JKLM, J K L M είναι όμοια. Εφόσον τα τετράπλευρα, είναι όμοια κι επίσης τα JKLM, J K L M είναι όμοια κι έχουν τις διαγωνίους τους παράλληλες, θα ισχύει ότι: '' K' M' KM '' K' M' = KM K' M' 1 = KM 2 =. Αυτό σημαίνει ότι ο λόγος ομοιότητας του J K L M προς το JKLM είναι 2 1. (Σύμφωνα με το σχήμα 31.) Φέρνουμε τις μεσοκαθέτους των πλευρών των JKLM, J K L M. Οι μεσοκάθετοι των πλευρών του JKLM σχηματίζουν το ορθοδιαγώνιο τετράπλευρο q = (PQRS), το οποίο είναι όμοιο με το q = (), σύμφωνα με την πρόταση 9.
44 J J' P S ' P' U Q ' S' M M' T R' Q' K' N' R N K ' ' L' L (Σχήμα 31) Ονομάζουμε P το σημείο τομής των μεσοκαθέτων των πλευρών J K, M J, ονομάζουμε Q το σημείο τομής των μεσοκαθέτων των πλευρών M J, L M, ονομάζουμε R το σημείο τομής των μεσοκαθέτων των πλευρών L M, K L κι ονομάζουμε S το σημείο τομής των μεσοκαθέτων των πλευρών K L, J K. Σχηματίζουμε το τετράπλευρο P Q R S. Σύμφωνα με τις προτάσεις 8 και 9 το P Q R S είναι ορθοδιαγώνιο τετράπλευρο κι είναι όμοιο με το. Γνωρίζουμε ότι τα τετράπλευρα, είναι όμοια κι έχουν τις αντίστοιχες πλευρές τους παράλληλες. Συνεπώς και τα PQRS, P Q R S θα είναι όμοια και θα έχουν τις αντίστοιχες πλευρές τους παράλληλες. Θα ισχύει ότι: ' ' R'S' ' ' R'S' = RS RS R'S' 1 = RS 2 =. Αυτό σημαίνει ότι ο λόγος ομοιότητας του P Q R S προς το PQRS είναι 2 1. (Σύμφωνα με το σχήμα 32.)
45 Σύμφωνα με την πρόταση 10, τα τετράπλευρα J K L M, P Q R S είναι προοπτικά του ως προς κάποιο σημείο (έστω Τ1) και οι κορυφές τους περιέχονται σε ευθείες δια του σημείου αυτού. J' ' P' U ' S' M' T1 R' Q' K' ' ' L' (Σχήμα 32) J' ' P' U ' S' M' T1 R' Q' K' ' ' L' (Σχήμα 33)
46 (Σύμφωνα με το σχήμα 33.) Προφανώς, λόγω της ομοιότητας των σχημάτων των δύο κατασκευών (κατασκευή των προτάσεων 6 και 8 για τα, ), προκύπτει ότι οι ευθείες που διέρχονται δια του Τ1 είναι παράλληλες προς τις αντίστοιχες ευθείες που διέρχονται δια του U, όπως φαίνεται στο σχήμα 33. (Οι κίτρινες ευθείες του σχήματος 33 είναι οι ίδιες με τις κόκκινες ευθείες του σχήματος 19 της σελίδας 26.) Ομοίως, η ευθεία που διέρχεται από τα σημεία Ε, Τ1 θα είναι παράλληλη προς την ευθεία που διέρχεται από τα σημεία, U, δηλαδή T1 // U. Αφού μάλιστα οι T1, U έχουν κοινό σημείο το Ε, τα σημεία Ε, Τ1, U είναι συνευθειακά. Επιπλέον, αφού ο λόγος ομοιότητας των σχημάτων της αρχικής κατασκευής προς τα αντίστοιχα της νέας είναι 2 1, τότε θα ισχύει ότι T1 = U 1 2. Αυτό σημαίνει ότι το σημείο Τ1 είναι το μέσο του U. Σύμφωνα με την πρόταση 13, όμως, το κέντρο του περιγεγραμμένου στο ΦΧΨΩ κύκλου, το Τ, είναι το μέσο του U. Άρα, τα Τ1, Τ συμπίπτουν. Επομένως, το κέντρο ομοιοθεσίας των σχημάτων της νέας κατασκευής συμπίπτει με το κέντρο του περιγεγραμμένου στο ΦΧΨΩ κύκλου. Πρόταση 15: Οι προβολές των A, B, C, D στους φορείς των πλευρών του q = () σχηματίζουν τετράπλευρο εγγράψιμο στον περιγεγραμμένο κύκλο του s = (ABCD). Απόδειξη:
47 C* D* A B D C A* B* (Σχήμα 30) Σύμφωνα με την πρόταση 4 το s = (ABCD) είναι εγγράψιμο. Έστω A*, B*, C*, D* οι προβολές των A, B, C, D στους φορείς των πλευρών του q = () αντίστοιχα. Στο τετράπλευρο ABCA* παρατηρούμε ότι Â* = ˆB ως ορθές, που σημαίνει ότι το ABCA* είναι εγγράψιμο, μιας κι έχει τις απέναντι γωνίες του παραπληρωματικές. Ο περιγεγραμμένος κύκλος του ABCD κι ο περιγεγραμμένος κύκλος του ABCA* έχουν τρία κοινά σημεία, άρα συμπίπτουν. Στο τετράπλευρο ADCC* παρατηρούμε ότι Ĉ* = ˆD ως ορθές, που σημαίνει ότι το ADCC* είναι εγγράψιμο, μιας κι έχει τις απέναντι γωνίες του παραπληρωματικές. Ο περιγεγραμμένος κύκλος του ABCD κι ο περιγεγραμμένος κύκλος του ADCC* έχουν τρία κοινά σημεία, άρα συμπίπτουν. Στο τετράπλευρο ABB*D παρατηρούμε ότι ˆB* = Â ως ορθές, που σημαίνει ότι το ABB*D είναι εγγράψιμο, μιας κι έχει τις απέναντι γωνίες του παραπληρωματικές. Ο περιγεγραμμένος κύκλος του ABCD κι ο περιγεγραμμένος κύκλος του ABB*D έχουν τρία κοινά σημεία, άρα συμπίπτουν. Στο τετράπλευρο BCDD* παρατηρούμε ότι ˆD* = Ĉ ως ορθές, που σημαίνει ότι το BCDD* είναι εγγράψιμο, μιας κι έχει τις απέναντι γωνίες του παραπληρωματικές. Ο περιγεγραμμένος κύκλος του ABCD κι ο
48 περιγεγραμμένος κύκλος του BCDD* έχουν τρία κοινά σημεία, άρα συμπίπτουν. Συμπεραίνουμε λοιπόν από τα παραπάνω ότι τα A, B, C, D, A*, B*, C*, D* περιέχονται όλα στον ίδιο κύκλο.
Οι γωνίες και που ονομάζονται «εντός εναλλάξ γωνίες» και είναι ίσες. «εντός-εκτός και επί τα αυτά μέρη γωνίες» και είναι ίσες.
ΠΡΟΤΥΠΟ ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΟ ΛΥΚΕΙΟ ΑΝΑΒΡΥΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΓΙΑ ΤΟΝ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟ «ΘΑΛΗΣ» ΤΑΞΗ Α ΘΕΜΑΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ: ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΒΑΣΙΚΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ 1. Μεσοκάθετος ενός ευθύγραμμου τμήματος ΑΒ ονομάζεται η ευθεία που είναι κάθετη
ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ( α μέρος )
Πυθαγόρειο ενικό Λύκειο Σάμου ΕΠΝΛΗΨΗ ΕΩΜΕΤΡΙΣ ΛΥΚΕΙΟΥ ( α μέρος ) Να βρείτε στην αντίστοιχη σελίδα του σχολικού σας βιβλίου το ζητούμενο της κάθε ερώτησης που δίνεται παρακάτω και να το γράψετε στο τετράδιό
Κεφάλαιο 6 Παράλληλες Ευθείες και Τετράπλευρα Ορισμός. Δύο ευθείες ονομάζονται παράλληλες όταν ανήκουν στο ίδιο επίπεδο και δεν τέμνονται. Δύο παράλληλες ευθείες ε και ζ συμβολίζονται ε ζ. Γωνίες δύο ευθειών
Όμοια τρίγωνα. Ορισμός : Δύο τρίγωνα είναι όμοια όταν έχουν τις γωνίες τους ίσες και τις αντίστοιχες πλευρές τους ανάλογες.
Όμοια τρίγωνα Ορισμός : Δύο τρίγωνα είναι όμοια όταν έχουν τις γωνίες τους ίσες και τις αντίστοιχες πλευρές τους ανάλογες. Συμβολισμός : Αν τα τρίγωνα ΑΒΓ, ΔΕΖ είναι όμοια γράφουμε Κριτήριο 1 Όταν δύο
Β.1.8. Παραπληρωματικές και Συμπληρωματικές γωνίες Κατά κορυφήν γωνίες
Β.1.6. Είδη γωνιών Κάθετες ευθείες 1. Ορθή γωνία λέγεται η γωνία της οποίας το μέτρο είναι ίσο με 90 ο. 2. Οξεία γωνία λέγεται κάθε γωνία με μέτρο μικρότερο των 90 ο. 3. Αμβλεία γωνία λέγεται κάθε γωνία
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο ΠΡΩΤΑΡΧΙΚΕΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ Τα αξιώματα είναι προτάσεις που δεχόμαστε ως αληθείς, χωρίς απόδειξη: Από δύο σημεία διέρχεται μοναδική ευθεία. Για κάθε ευθεία υπάρχει τουλάχιστον ένα σημείο
ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΩΝ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΜΑΪΟΣ ΙΟΥΝΙΟΣ
ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΩΝ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΜΑΪΟΣ ΙΟΥΝΙΟΣ ΤΑΞΗ: ΜΑΘΗΜΑ: A ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΘΕΜΑ Α Α1. Να αποδείξετε ότι σε κάθε ορθογώνιο τρίγωνο η διάμεσος που αντιστοιχεί στην υποτείνουσα ισούται με το μισό της.
ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. ΚΕΦΑΚΑΙΟ 3 ο -ΤΡΙΓΩΝΑ
ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΟΙ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΛΕΙΣΤΟΥ ΤΥΠΟΥ ΑΠΟΤΕΛΟΥΝ ΜΕΡΟΣ ΤΟΥ ΘΕΜΑΤΟΣ Α ΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ (ΘΕΜΑ ΘΕΩΡΙΑΣ) Α. ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΣΩΣΤΟΥ - ΛΑΘΟΥΣ ΚΕΦΑΚΑΙΟ 3 ο -ΤΡΙΓΩΝΑ 1. Ένα τρίγωνο είναι οξυγώνιο όταν έχει
ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ
ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΩΡΙΑ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΟΡΙΣΜΟΙ Ευθύγραμμο τμήμα είναι το κομμάτι της ευθείας που έχει αρχή και τέλος. Ημιευθεια Είναι το κομμάτι της ευθείας που έχει αρχή αλλά όχι
Μαθηματικά προσανατολισμού Β Λυκείου
Μαθηματικά προσανατολισμού Β Λυκείου Συντεταγμένες Διανύσματος wwwaskisopolisgr wwwaskisopolisgr Συντεταγμένες στο επίπεδο Άξονας Πάνω σε μια ευθεία επιλέγουμε δύο σημεία Ο και Ι, έτσι το διάνυσμα i OI
Γραμμή. Σημείο. κεφαλαίο γράμμα. Κάθε γραμμή. αποτελείται. Ευθεία κι αν αρχή και χωρίς. τέλος! x x
1. Οι Πρωταρχικές Γεωμετρικές Έννοιες Σημείο Γραμμή Δεν έχει διαστάσεις!! Υπάρχει μόνο στο μυαλό μας. Συμβολίζεται με κεφαλαίο γράμμα. Κάθε γραμμή αποτελείται από άπειρα σημεία. Ευθεία Δεν είναι εύκολο
ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ. 1 o ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΘΕΜΑ 1
ΩΜΤΡΙ ΛΥΚΙΟΥ ΩΜΤΡΙ ΘΜ o ΙΩΝΙΣΜ. Να αποδείξετε ότι : Ι) διάμεσος που αντιστοιχεί στην υποτείνουσα ορθογωνίου τριγώνου είναι ίση με το μισό της υποτείνουσας. ΙΙ) ν μια διάμεσος τριγώνου είναι ίση με το μισό
Θέματα ενδοσχολικών εξετάσεων Άλγεβρας Α Λυκείου Σχ. έτος , Ν. Δωδεκανήσου ΘΕΜΑΤΑ ΕΝΔΟΣΧΟΛΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΤΑΞΗ: Α ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ
ΘΕΜΑΤΑ ΕΝΔΟΣΧΟΛΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΤΑΞΗ: Α ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ: 2013-2014 Επιμέλεια: Καραγιάννης Ιωάννης Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικών Μαθηματικός Περιηγητής 1 ΠΡΟΛΟΓΟΣ Η συλλογή των θεμάτων
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Ο ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ
ΜΕΡΟΣ ΚΕΦΛΙΟ 1 Ο ΕΩΜΕΤΡΙ 1.1 ΙΣΟΤΗΤ ΤΡΙΩΝΩΝ 1. Ποια ονομάζονται κύρια και ποια δευτερεύοντα στοιχεία τριγώνων; Κύρια στοιχεία ενός τριγώνου ονομάζουμε τις πλευρές και τις γωνίες του. Δευτερεύοντα στοιχεία
Τάξη A Μάθημα: Γεωμετρία
Τάξη A Μάθημα: Γεωμετρία Η Θεωρία σε Ερωτήσεις Ερωτήσεις Κατανόησης Επαναληπτικά Θέματα Επαναληπτικά Διαγωνίσματα Περιεχόμενα Τρίγωνα Α. Θεωρία-Αποδείξεις Σελ.2 Β. Θεωρία-Ορισμοί..Σελ.9 Γ. Ερωτήσεις Σωστού
ΙΣΟΤΗΤΑ ΚΑΙ ΟΜΟΙΟΤΗΤΑ ΣΧΗΜΑΤΩΝ
ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ Ερώτηση 1 η Ποια καλούνται κύρια και ποια δευτερεύοντα στοιχεία ενός τριγώνου; Τι ονομάζεται τριγωνική ανισότητα; Κύρια στοιχεία ενός τριγώνου είναι οι πλευρές και οι γωνίες του. Οι
ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ - ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ
ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ - ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑ 1 Ο - Α ( απόδειξη θεωρήματος) 1 ) Να αποδειχθεί ότι : «Οι διαγώνιοι ορθογωνίου είναι ίσες». ( 5.3 σελ 100 ) 2 ) Να αποδειχθεί ότι τα εφαπτόμενα τμήματα κύκλου
2 Β Βάσεις παραλληλογράµµου Βαρύκεντρο Γ Γεωµετρική κατασκευή Γεωµετρικός τόπος (ς) Γωνία Οι απέναντι πλευρές του. Κέντρο βάρους τριγώνου, δηλ. το σηµ
1 ΛΕΞΙΚΟ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΩΝ ΟΡΩΝ Α Ακτίνιο Ακτίνα κύκλου Ακτίνα σφαίρας Άκρα ευθύγραµµου τµήµατος Αµβλεία γωνία Αµβλυγώνιο Ανάλογα ευθύγραµµα τµήµατα Αντιδιαµετρικό σηµείο Αντικείµενες ηµιευθείες Άξονας συµµετρίας
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8 ο ΟΜΟΙΟΤΗΤΑ
ΟΜΟΙΟΤΗΤΑ Ορισμός: Δύο ευθύγραμμα σχήματα ονομάζονται όμοια, αν έχουν τις πλευρές τους ανάλογες και τις γωνίες που σχηματίζονται από ομόλογες πλευρές τους ίσες μία προς μία. ΚΡΙΤΗΡΙΑ ΟΜΟΙΟΤΗΤΑΣ ΤΡΙΓΩΝΩΝ
ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΟ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. Α) Να αποδείξετε ότι αν σε ορθογώνιο τρίγωνο μια γωνία του ισούται με 30 ο,
ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΟ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑ 1 Ο Α) Να αποδείξετε ότι αν σε ορθογώνιο τρίγωνο μια γωνία του ισούται με 30 ο, τότε η απέναντι πλευρά του είναι το μισό της υποτείνουσας και αντίστροφα.
ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Τι είναι ένα ευθύγραμμο τμήμα ΑΒ; Πώς ονομάζονται τα σημεία Α και Β; 1 ος ορισμός : Είναι η «ίσια» γραμμή που ενώνει τα δύο σημεία Α και Β. 2 ος ορισμός : Είναι
Γενικό Ενιαίο Λύκειο Γεωμετρία - Τάξη Α
ενικό νιαίο Λύκειο εωμετρία - Τάξη 61 Θέματα εξετάσεων περιόδου Μαΐου-Ιουνίου στην εωμετρία Τάξη! Λυκείου ενικό νιαίο Λύκειο εωμετρία - Τάξη 6. Να αποδείξετε ότι διάμεσος τραπεζίου είναι παράλληλη προς
Aν οι ευθείες ΚΒ και ΓΛ τέμνονται στο σημείο Μ, τότε η ΑΜ είναι μεσοκάθετος του ευθυγράμμου τμήματος ΚΛ
ΓΡΑΠΤΕΣ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΠΕΡΙΟΔΟΥ ΜΑΙΟΥ ΙΟΥΝΙΟΥ 2017 ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ A ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ 26/5/2017 ΘΕΜΑ 1 ο Α 1. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας στο τετράδιό σας την ένδειξη
Κεφάλαιο 9 Ο κύκλος Ορισμός. Ο κύκλος (Κ, r) με κέντρο Κ και ακτίνα r είναι το σχήμα που αποτελείται από όλα τα σημεία του επιπέδου που απέχουν απόσταση r από το σημείο Κ. Σχήμα 9.1: Στοιχεία ενός κύκλου.
Ανακτήθηκε από την ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΗ ΚΛΙΜΑΚΑ ΕΦΗΜΕΡΙΣ ΤΗΣ ΚΥΒΕΡΝΗΣΕΩΣ (ΤΕΥΧΟΣ ΔΕΥΤΕΡΟ) 16691
ΕΦΗΜΕΡΙΣ ΤΗΣ ΚΥΒΕΡΝΗΣΕΩΣ (ΤΕΥΧΟΣ ΔΕΥΤΕΡΟ) 16691 1.. 2.. 1.,. ( ) ( ) (2 ).. ( ) (5 ),,. ; ; 2.,,. 3.,.,,. (,,,, ). : ), ) ),, ),...1 16692 ΕΦΗΜΕΡΙΣ ΤΗΣ ΚΥΒΕΡΝΗΣΕΩΣ (ΤΕΥΧΟΣ ΔΕΥΤΕΡΟ) 4. 5.. 6. (,, ). 1.,
Ερωτήσεις τύπου «Σωστό - Λάθος» Σωστό Λάθος
Εγγράψιμα και περιγράψιμα τετράπλευρα Ερωτήσεις τύπου «Σωστό - Λάθος» Σωστό Λάθος 1. Ένα τετράπλευρο είναι εγγράψιμο σε κύκλο αν είναι παραλληλόγραμμο.. Ένα τετράπλευρο είναι εγγράψιμο σε κύκλο αν είναι
ΘΕΜΑΤΑ. β. ΜΗΔ = 45 Μονάδες 5. Θέμα 4 ο Δίνεται ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ ( Α = 90 ) με ΑΓ > ΑΒ, η διάμεσός του ΑΖ και έστω Δ και
Α. Να χαρακτηρίσετε Σωστές (Σ) ή Λάθος (Λ) τις παρακάτω προτάσεις: α. Οι διχοτόμοι δύο διαδοχικών και παραπληρωματικών γωνιών σχηματίζουν ορθή γωνία. β. Οι διαγώνιες κάθε παραλληλογράμμου είναι ίσες μεταξύ
24 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ
4 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Δίνεται παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ με ΑΒ=ΒΓ. Φέρνουμε το ΑΕ ΒΓ και έστω Ζ,Η τα μέσα των ΔΓ και ΑΒ αντίστοιχα. Ν.δ.ο. α) το ΖΓΒΗ είναι ρόμβος ( 9 μον.) β) ΗΖ=ΗΕ ( 8 μον.) γ)
ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΛΥΣΗ - ΑΝΔΡΕΣΑΚΗΣ ΔΗΜΗΤΡΗΣ
Τι ονοµάζουµε γωνία σε ένα επίπεδο; Tι ονοµάζουµε κορυφή µιας γωνίας και τι πλευρά µιας γωνίας; Πότε δύο σχήµατα λέγονται ίσα; Τι ονοµάζουµε απόσταση δύο σηµείων; Τι ονοµάζουµε µέσο ενός ευθυγράµµου τµήµατος;
3 o ΓΕ.Λ. ΚΕΡΑΤΣΙΝΙΟΥ. ΖΟΥΖΙΑΣ ΠΑΝΑΓΙΩΤΗΣ Μαθηματικός 2013 2014 EΠΑΝΑΛΗΨΗ ΣΤΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ
3 o ΓΕ.Λ. ΚΕΡΑΤΣΙΝΙΟΥ Μαθηματικός 2013 2014 EΠΑΝΑΛΗΨΗ ΣΤΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ 1) ΘΕΩΡΙΑ... 2 2) ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ... 5 2.1. ΤΡΙΓΩΝΑ... 5 2.1.1. ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ Σωστού - Λάθους στα τρίγωνα... 5 2.1.2.
Γεωμετρία. 63. Σε περίπτωση που η αρχή, το σημείο Ο, βρίσκεται πάνω σε μια ευθεία χχ τότε η
Γεωμετρία Κεφάλαιο 1: Βασικές γεωμετρικές έννοιες Β.1.1 61.Η ευθεία είναι βασική έννοια της γεωμετρίας που την αντιλαμβανόμαστε ως την γραμμή που αφήνει ο κανόνας (χάρακας).συμβολίζεται με μικρά γράμματα
ΤΕΤΡΑΚΤΥΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΜΕΣΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ Αμυραδάκη 20, Νίκαια (210-4903576) ΝΟΕΜΒΡΙΟΣ 2013 ΤΑΞΗ... Β ΛΥΚΕΙΟΥ... ΜΑΘΗΜΑ...ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ...
Αμυραδάκη 0, Νίκαια (10-4903576) ΤΑΞΗ... Β ΛΥΚΕΙΟΥ... ΘΕΜΑ 1 ΝΟΕΜΒΡΙΟΣ 013 Α. Να αποδείξετε ότι σε κάθε ορθογώνιο τρίγωνο, το τετράγωνο του ύψους που αντιστοιχεί στην υποτείνουσα του ισούται με το γινόμενο
Σε τρίγωνο ΑΒΓ το τετράγωνο πλευράς απέναντι από οξεία γωνία ισούται με το άθροισμα των τετραγώνων των άλλων δύο πλευρών ελαττωμένο κατά το διπλάσιο τ
ΚΥΠΡΙΑΝΟΣ ΕΥΑΓΓΕΛΟΣ ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ ΣΤΑ ΟΡΘΟΓΩΝΙΑ ΤΡΙΓΩΝΑ Το τετράγωνο μιας κάθετης πλευράς είναι ίσο με την υποτείνουσα επί την προβολή της πλευράς στην υποτείνουσα. ΑΒ 2 = ΒΓ ΑΔ ή ΑΓ 2 = ΒΓ ΓΔ Σε κάθε
Ερωτήσεις κατανόησης σελίδας 114. Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας Στα παρακάτω τραπέζια να βρείτε τα x, ψ ω, και θ
5.0 5. σκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας 4 5 ρωτήσεις κατανόησης σελίδας 4. Στα παρακάτω τραπέζια να βρείτε τα x, ψ ω, και θ 3 3 (α) x 0 ψ 4 (β) x ψ 7 (γ) x (δ) θ x+ 3x ω 0 ο πάντηση + 0 Στο σχήµα (α) το
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1Ο : ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΒΑΣΙΚΗ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ Διάνυσμα Θέσης ενός σημείου Αν θεωρήσουμε ένα οποιοδήποτε σημείο Ο του επιπέδου ως σημείο αναφοράς (ακόμα
ΑΣΚΗΣΕΙΣ 3 Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
ΑΣΚΗΣΕΙΣ 3 Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1) Από εξωτερικό σημείο Ρ ενός κύκλου (Ο,ρ) φέρνουμε τα εφαπτόμενα τμήματα ΡΑ και ΡΒ. Αν Μ είναι ένα τυχαίο εσωτερικό σημείο του ευθύγραμμου τμήματος ΟΡ, να αποδείξετε ότι: α) τα
ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ( α μέρος )
ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ( α μέρος ) Ερωτήσεις Θεωρίας Να βρείτε στην αντίστοιχη σελίδα του σχολικού σας βιβλίου το ζητούμενο της κάθε ερώτησης που δίνεται παρακάτω και να το γράψετε στο τετράδιό
ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Ο Βασικές Γεωμετρικές Έννοιες ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ 1. Μια τεντωμένη κλωστή με άκρα δύο σημεία Α και Β μας δίνει μια εικόνα της έννοιας του.. Τα σημεία Α και Β λέγονται.. 2. Τι ονομάζεται ευθεία;..
ΛΥΣΕΙΣ ΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ 08/04/10
ΥΣΙΣ ΙΑΩΝΙΣΜΑ ΩΜΤΡΙΑ Α ΥΚΙΟΥ ΘΜΑ ο 08/04/0 Α. Να αποδείξετε ότι η διάµεσος ορθογωνίου τριγώνου που φέρουµε από την κορυφή της ορθής γωνίας είναι ίση µε το µισό της υποτείνουσας. Θεωρία σχολικό βιβλίο σελ.09
66 Γεωμετρία Σχήμα 11.1: Το ΜΝ είναι κοινό μέτρο των και ΓΔ. τόσο ανατρεπτική που απαγόρευσαν να διαδοθεί αυτή η γνώση. Οταν μάλιστα ο *** παρέβει την
Κεφάλαιο 11 Αναλογίες, Ομοιότητα Η έννοια του λόγου ορίζεται στο πέμπτο βιβλίο των Στοιχείων του Ευκλείδη ως εξής: Λόγος εστί δύο μεγεθών ομογενών η κατά πηλικότητά ποια σχέσις Λόγον έχειν προς άλληλα
ΓΕΝΙΚΟ ΛΥΚΕΙΟ Λ. ΑΙΔΗΨΟΥ ΣΧΟΛ. ΕΤΟΣ ΓΡΑΠΤΕΣ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΠΕΡΙΟΔΟΥ ΜΑΪΟΥ ΙΟΥΝΙΟΥ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ
ΓΕΝΙΚΟ ΛΥΚΕΙΟ Λ. ΑΙΔΗΨΟΥ ΣΧΟΛ. ΕΤΟΣ 212-213 ΓΡΑΠΤΕΣ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΠΕΡΙΟΔΟΥ ΜΑΪΟΥ ΙΟΥΝΙΟΥ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ Θέμα 1 ο Α. Να αποδείξετε ότι κάθε σημείο της διχοτόμου μιας γωνίας ισαπέχει
1. Γενικά για τα τετράπλευρα
1. ενικά για τα τετράπλευρα Ένα τετράπλευρο θα λέγεται κυρτό αν η προέκταση οποιασδήποτε πλευράς του αφήνει το σχήμα από το ίδιο μέρος (στο ίδιο ημιεπίπεδο, όπως λέμε καλύτερα). κορυφές γωνία εξωτερική
ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Γ γυμνασίου από Σχολικό Βιβλίο + Ασκήσεις Εξάσκησης
ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Γ γυμνασίου από Σχολικό Βιβλίο + Ασκήσεις Εξάσκησης ΙΣΟΤΗΤΑ ΤΡΙΓΩΝΩΝ Γρήγορη Επανάληψη Θεωρίας Ένα τρίγωνο ανάλογα με το είδος των γωνιών του ονομάζεται: Σε κάθε ορθογώνιο τρίγωνο η πλευρά που
2 η εκάδα θεµάτων επανάληψης
η εκάδα θεµάτων επανάληψης. Έστω τρίγωνο µε + Ένα πρόχειρο σχήµα είναι το διπλανό
Δ. Ε. ΚΟΝΤΟΚΩΣΤΑΣ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ
Δ. Ε. ΚΟΝΤΟΚΩΣΤΑΣ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΣΚΗΣΗ 1 η Να αποδείξετε ότι στις ομόλογες πλευρές δύο ίσων τριγώνων αντιστοιχούν ίσες διάμεσοι. Α Α ΑΠΟΔΕΙΞΗ Β Γ Β Γ Θα δείξουμε ότι ΑΜ=Α
Κόλλιας Σταύρος 1 ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Α ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΠΕΡΙΟΥ ΔΕΥΤΕΡΑ 4 ΙΟΥΝΙΟΥ 2007 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ:
Κόλλιας Σταύρος http://users.sch.gr/stkollias 1 ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Α ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΠΕΡΙΟΥ ΔΕΥΤΕΡΑ 4 ΙΟΥΝΙΟΥ 7 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Θέμα 1 Α. Να αποδείξετε ότι κάθε σημείο της διχοτόμου
ΓΡΑΠΤΕΣ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Α ΤΑΞΗΣ ΓΕΛ ΕΡΕΤΡΙΑΣ 9/6/2016 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ
ΓΡΑΠΤΕΣ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Α ΤΑΞΗΣ ΓΕΛ ΕΡΕΤΡΙΑΣ 9/6/016 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑ Α A1. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν γράφοντας στην κόλλα σας, τη λέξη Σωστό ή Λάθος,
Σωστό -λάθος. 2) Δύο τρίγωνα που έχουν τις γωνίες τους ίσες μία προς μία είναι ίσα
Σωστό -λάθος Α. Για καθεμιά από τις παρακάτω προτάσεις να γράψετε στο τετράδιό σας τον αριθμό της και, ακριβώς δίπλα, την ένδειξη (Σ), αν η πρόταση είναι σωστή, ή (Λ), αν αυτή είναι λανθασμένη. 1)Δύο ισόπλευρα
ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ - ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο Το Θεώρημα του Θαλή και οι Συνέπειές του
ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ - ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο Το Θεώρημα του Θαλή και οι Συνέπειές του 198 ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΝΑΠΤΥΞΗΣ ΚΑΙ ΑΝΤΙΚΕΙΜΕΝΙΚΟΥ ΤΥΠΟΥ 1. Στο παρακάτω σχήμα το τρίγωνο ΑΒΓ είναι ορθογώνιο στο Α. Αν ΑΔ ΒΓ, ΕΔ ΑΒ τότε το τρίγωνο
ΠΩΣ ΕΙΧΝΩ ΟΤΙ ΥΟ ΕΥΘΕΙΕΣ ΕΙΝΑΙ ΠΑΡΑΛΛΗΛΕΣ 1. είχνω ότι τέµνονται από τρίτη ευθεία και σχηµατίζονται γωνίες
ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ ΣΧΟΛΙΑ στη γεωµετρία της Α τάξης ΠΩΣ ΕΙΧΝΩ ΟΤΙ ΥΟ ΕΥΘΕΙΕΣ ΕΙΝΑΙ ΚΑΘΕΤΕΣ 1. είχνω ότι η γωνία τους είναι 90 ο 2. είχνω ότι είναι διχοτόµοι δύο εφεξής και παραπληρωµατικών γωνιών. 3. είχνω ότι
Παράλληλες ευθείες που τέμνονται από μια άλλη ευθεία. είναι «επί τα αυτά».
Παράλληλες ευθείες που τέμνονται από μια άλλη ευθεία Οι γωνίες που βρίσκονται ανάμεσα στις ευθείες ε 1 και ε ονομάζονται «εντός» (των ευθειών)και όλες οι άλλες «εκτός». Οι γωνίες B 4, B 3, 1, είναι εντός
ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ 43. Ύλη: Όλη η ύλη
ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ 43 Ον/μο:.. Α Λυκείου Ύλη: Όλη η ύλη 08-05-16 Θέμα 1 ο : Α. Σε ποιες κατηγορίες ταξινομούνται τα τρίγωνα με βάση τις πλευρές τους και σε ποιες με βάση τις γωνίες τους; (αναλυτικά)
ΘΕΩΡΙΑ ΣΤΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΓΙΑ ΤΗΝ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Α. ΓΩΝΙΕΣ - ΚΥΚΛΟΣ
ΘΕΩΡΙΑ ΣΤΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΓΙΑ ΤΗΝ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Α. ΓΩΝΙΕΣ - ΚΥΚΛΟΣ 1. Απόσταση δύο σηµείων Α και Β είναι το µήκος του ευθύγραµµου τµήµατος που τα ενώνει. 2. Γωνία είναι το µέρος του επιπέδου που βρίσκεται µεταξύ
Εφαρμογές της αναλυτικοσυνθετικής μεθόδου. Δέκα Στοιχειώδεις Κατασκευές:
Δέκα Στοιχειώδεις Κατασκευές: Κ 1 : Κατασκευή ευθείας διερχόμενης από δύο σημεία. Κ 2 : Κατασκευή κύκλου με δοθέν κέντρο και δοθείσα ακτίνα. Κ 3 : Κατασκευή ισοπλεύρου τριγώνου Κ 4 : Κατασκευή ευθυγράμμου
Συνοπτική θεωρία. Οι σημαντικότερες αποδείξεις. Ερωτήσεις αντικειμενικού τύπου. Ασκήσεις. Διαγωνίσματα
Γ Ε Ω Μ Ε Τ Ρ Ι Α Β Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ Συνοπτική θεωρία Οι σημαντικότερες αποδείξεις Ερωτήσεις αντικειμενικού τύπου Ασκήσεις Διαγωνίσματα Μαθηματικός Περιηγητής 1 ΚΕΦΑΙΑΟ 9 ο : ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ
Ορισµοί. Ένα τετράπλευρο λέγεται εγγεγραµµένο σε κύκλο, αν οι κορυφές του είναι σηµεία του κύκλου.
6.5 6.6 ΘΩΡΙ. Ορισµοί Ένα τετράπλευρο λέγεται εγγεγραµµένο σε κύκλο, αν οι κορυφές του είναι σηµεία του κύκλου. Ένα τετράπλευρο λέγεται εγγράψιµο σε κύκλο, όταν µπορεί να γραφεί κύκλος που να διέρχεται
Απαντήσεις Λύσεις σε Θέματα από την Τράπεζα Θεμάτων. Μάθημα: Γεωμετρία Α Λυκείου
Απαντήσεις Λύσεις σε Θέματα από την Τράπεζα Θεμάτων Μάθημα: Γεωμετρία Α Λυκείου Παρουσιάζουμε συνοπτικές λύσεις σε επιλεγμένα Θέματα («Θέμα 4 ο») από την Τράπεζα θεμάτων. Το αρχείο αυτό τις επόμενες ημέρες
ΛΥΣΗ Έστω x = λ-1 και y = 2λ+3, τότε λ = x+1 (1) και λ = (2). Αυτό σημαίνει ότι ο γεωμετρικός τόπος των σημείων Μ είναι η ευθεία y = 2x+5.
. Να βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος των σημείων Μ (λ -, λ ), λ R. - Έστω λ- και λ, τότε λ () και λ (). - Από τις () και () έχουμε:. Αυτό σημαίνει ότι ο γεωμετρικός τόπος των σημείων Μ είναι η ευθεία.. Να αποδείξετε
Γεωμετρία Βˊ Λυκείου. Κεφάλαιο 9 ο. Μετρικές Σχέσεις
Γεωμετρία Β Λυκείου Κεφάλαιο 9 Γεωμετρία Βˊ Λυκείου Κεφάλαιο 9 ο Μετρικές Σχέσεις ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9 ο ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ ΣΕ ΟΡΘΟΓΩΝΙΑ ΤΡΙΓΩΝΑ Μετρικές σχέσεις ονομάζουμε τις σχέσεις μεταξύ των μέτρων των στοιχείων
Θέματα ενδοσχολικών εξετάσεων Γεωμετρίας Β Λυκείου Σχ. έτος , Ν. Δωδεκανήσου ΘΕΜΑΤΑ ΕΝΔΟΣΧΟΛΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΤΑΞΗ: Β ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ
ΘΕΜΑΤΑ ΕΝΔΟΣΧΟΛΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΤΑΞΗ: Β ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ: 013-014 Επιμέλεια: Καραγιάννης Ιωάννης Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικών Μαθηματικός Περιηγητής 1 ΠΡΟΛΟΓΟΣ Η συλλογή των θεμάτων
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΛΓΕΒΡΑ. 3 2 x. β)
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ. Να λυθούν οι εξισώσεις και οι ανισώσεις : α) γ) x x 3x 7x 9 4 5 0 x x x 3 6 3 4 β) δ) 3x x 3 x 4 3 5 x x. 4 4 3 5 x. Να λυθούν οι εξισώσεις: α) 3x x 3 3 5x x β) 4 3 x x x 0
Αν η διάμεσος ενός τριγώνου ισούται με το μισό της πλευράς στην οποία αντιστοιχεί, τότε το τρίγωνο είναι ορθογώνιο με υποτείνουσα την πλευρά αυτή.
Τα παρακάτω θέματα δόθηκαν στις εξετάσεις Ιουνίου του σχολικού έτους 013-14 στο 17 ο ΓΕ.Λ Αθηνών με εισηγητές τους καθηγητές Νίκο Καρακάση και Δημήτρη Αθανασίου. ΘΕΜΑ 1 ο Α. Να αποδείξετε ότι : Αν η διάμεσος
Γεωμετρία Β Λυκείου ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8: ΟΜΟΙΟΤΗΤΑ
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8: ΟΜΟΙΟΤΗΤΑ 36 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9: ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ 37 ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ ΣΕ ΤΥΧΑΙΟ ΤΡΙΓΩΝΟ 38 39 40 41 ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ ΣΕ ΚΥΚΛΟ 4 43 44 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 10:ΕΜΒΑΔΑ ΕΠΙΠΕΔΩΝ ΣΧΗΜΑΤΩΝ 45 46 47 48 49 50 51 5 53
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ - ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ - ο ΘΕΜΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο : ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ 1. Δίνεται παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ με τρεις κορυφές τα σημεία Α (1,1), Γ (4,3) και Δ (,3). α) Να υπολογίσετε τα μήκη
Βασικές Γεωμετρικές έννοιες
Βασικές Γεωμετρικές έννοιες Σημείο Με την άκρη του μολυβιού μου ακουμπώντας την σε ένα κομμάτι χαρτί αφήνω ένα σημάδι το οποίο το λέω σημείο. Το σημείο το δίνω όνομα γράφοντας πάνω απ αυτό ένα κεφαλαίο
ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ
ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο : ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ 1 ΜΑΘΗΜΑ 1 ο +2 ο ΕΝΝΟΙΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΟΣ Διάνυσμα ορίζεται ένα προσανατολισμένο ευθύγραμμο τμήμα, δηλαδή ένα ευθύγραμμο τμήμα
1 x και y = - λx είναι κάθετες
Κεφάλαιο ο: ΕΥΘΕΙΑ Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό-Λάθος» 1. * Συντελεστής διεύθυνσης μιας ευθείας (ε) είναι η εφαπτομένη της γωνίας που σχηματίζει η ευθεία (ε) με τον άξονα. Σ Λ. * Ο συντελεστής διεύθυνσης
ΙΣΟΤΗΤΑ ΤΡΙΓΩΝΩΝ. 1. Καθεμιά από τις παρακάτω προτάσεις μπορεί να είναι σωστή ή λάθος Να γράψετε Σ στο
ΙΣΟΤΗΤΑ ΤΡΙΓΩΝΩΝ. 1. Καθεμιά από τις παρακάτω προτάσεις μπορεί να είναι σωστή ή λάθος Να γράψετε Σ στο τέλος της πρότασης αν αυτή είναι Σωστή και Λ αν αυτή είναι Λάθος: ύο τρίγωνα είναι ίσα αν έχουν ίσες
ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ - ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο Παραλληλόγραµµα - Τραπέζια
ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ - ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο Παραλληλόγραµµα - Τραπέζια 184 ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΝΑΠΤΥΞΗΣ ΚΑΙ ΑΝΤΙΚΕΙΜΕΝΙΚΟΥ ΤΥΠΟΥ 1. Να αντιστοιχίσετε κάθε στοιχείο της στήλης (Α) µε ένα µόνο στοιχείο της στήλης (Β): στήλη (Α) τετράπλευρα
ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΑΠΟΣΤΟΛΟΥ ΑΝΔΡΕΑ ΕΜΠΑΣ ΣΧΟΛΙΚΗ ΧΡΟΝΙΑ ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΟ ΔΟΚΙΜΙΟ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΙΟΥΝΙΟΥ ΧΡΟΝΟΣ : 2 Ώρες Υπογραφή :
ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΑΠΟΣΤΟΛΟΥ ΑΝΔΡΕΑ ΕΜΠΑΣ ΣΧΟΛΙΚΗ ΧΡΟΝΙΑ 2018 2019 ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΟ ΔΟΚΙΜΙΟ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΙΟΥΝΙΟΥ 2019 ΜΑΘΗΜΑ : Μαθηματικά ΤΑΞΗ : Γ ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ : 5 / 6 / 2019 ΧΡΟΝΟΣ : 2 Ώρες Βαθμός : Ολογράφως
ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΤΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ
ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΤΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Διανύσματα Πολλαπλασιασμός αριθμού με διάνυσμα ο Θέμα _8603 Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ και σημεία Δ και Ε του επιπέδου τέτοια, ώστε 5 και
ΘΕΩΡΙA 5. Μονάδες 5x2=10 A2. Πότε ένα τετράπλευρο ονομάζεται τραπέζιο;
1 ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΕ ΝΕΟ ΣΥΣΤΗΜΑ 14 ΘΕΩΡΙA 5 ΘΕΜΑ A 1. A1. Να μεταφέρετε στην κόλλα απαντήσεων το γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση και δίπλα να σημειώσετε το γράμμα Σ αν
Επαναληπτικό Διαγώνισμα Γεωμετρίας Α Λυκείου
Επαναληπτικό Διαγώνισμα Γεωμετρίας Α Λυκείου Θέμα Α. Να αποδείξετε ότι το ευθύγραμμο τμήμα που ενώνει τα μέσα των δύο πλευρών τριγώνου, είναι παράλληλο προς την τρίτη πλευρά και ίσο με το μισό της (7 μονάδες)
3 η δεκάδα θεµάτων επανάληψης
3 η δεκάδα θεµάτων επανάληψης. ίνεται το ισοσκελές τραπέζιο µε ɵ = = 45 ο. Έστω Ε, Ζ τα µέσα των και αντίστοιχα και Η. πό το Z φέρνουµε παράλληλη στην που τέµνει την στο Θ. Να δείξετε ότι Το τετράπλευρο
6.5 6.6. Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας 134. Ερωτήσεις Κατανόησης
6.5 6.6 σκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας 34 ρωτήσεις Κατανόησης. Σε ένα εγγεγραµµένο τετράπλευρο i) Τα αθροίσµατα των απέναντι γωνιών του είναι ίσα Σ Λ ii) Κάθε πλευρά φαίνεται από τις απέναντι κορυφές
ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΤΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ
ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΤΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Διανύσματα Πολλαπλασιασμός αριθμού με διάνυσμα ο Θέμα _8603 Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ και σημεία Δ και Ε του επιπέδου τέτοια, ώστε 5 και
γεωµετρία του ευκλείδη µε λίγα λόγια για µαθητές α λυκείου (www.sonom.gr) 1 γωνίες Β ευθεία (2 ) οξεία (< 1 ) ορθή ( =1 ) αµβλεία ( > 1 )
γεωµετρία του ευκλείδη µε λίγα λόγια για µαθητές α λυκείου (www.sonom.gr) 1 γωνίες µη κυρτή ευθεία ( ) πλήρης (4 ) κυρτή, οξεία (< 1 ) ορθή ( =1 ) αµβλεία ( > 1 ) συµπληρωµατικές παραπληρωµατικές φ ω ω
Γεωμετρία. Κεφ 1 ο : Γεωμετρια.
Μαθηματικά Γ Γυμνασίου Γεωμετρία. Κεφ 1 ο : Γεωμετρια. Μέρος Α Θεωρία. 1. Με τι είναι ίσο το άθροισμα των γωνιών ενός τριγώνου; 2. Ποιο τρίγωνο λέγετε οξυγώνιο αμβλυγώνιο ορθογώνιο. 3. Ποιο τρίγωνο λέγετε
Κύρια και δευτερεύοντα στοιχεία τριγώνου Είδη τριγώνων.
ΜΕΡΟΣ Β 1.1 ΙΣΟΤΗΤΑ ΤΡΙΓΩΝΩΝ 397 1. 1 ΙΣΟΤΗΤΑ ΤΡΙΓΩΝΩΝ Κύρια και δευτερεύοντα στοιχεία τριγώνου Είδη τριγώνων. Σε κάθε τρίγωνο οι πλευρές και οι γωνίες του ονομάζονται κύρια στοιχεία του τριγώνου. Οι πλευρές
ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ & ΕΡΓΑΣΙΑΣ
Η ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ της Α τάξης του ΕΠΑΛ με Φύλλα Μαθήματος & Εργασίας - ΕΠΑΛ ΚΑΛΑΜΑΡΙΑΣ 014 ΦΥΛΛΟ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ & ΕΡΓΑΣΙΑΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΕΠΑΛ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 3.1-3.6 Τρίγωνα ΕΠΑΛ ΚΑΛΑΜΑΡΙΑΣ Ονομασία Πλευρών ΑΒ ή ΒΑ ή γ
5o ΚΕΦΑΛΑΙΟ : Παραλληλόγραμμα - Τραπέζια
5o ΚΕΦΑΛΑΙΟ : Παραλληλόγραμμα - Τραπέζια 7 η διδακτική ενότητα : Παραλληλόγραμμα-Είδη παραλληλογράμμων 1. Να εξετάσετε αν είναι σωστή ή λανθασμένη καθεμιά από τις επόμενες προτάσεις: α) Οι διαγώνιοι κάθε
Τράπεζα Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας-Μαθηματικά Ομάδας Προσανατολισμού Θετικών Σπουδών ΟΜΑΔΑΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ Β Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ
Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α ΟΜΑΔΑΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ Β Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΔΙΑΒΑΘΜΙΣΜΕΝΗΣ ΔΥΣΚΟΛΙΑΣ Σχολικό έτος : 04-05 Τα θέματα εμπλουτίζονται με την δημοσιοποίηση και των νέων θεμάτων
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΑΝΔΡΕΣΑΚΗΣ ΔΗΜΗΤΡΗΣ
ΦΥΛΛΟ ΕΡΓΑΣΙΑΣ ΕΝΟΤΗΤΑ.1.1. Σημείο - Ευθύγραμμο τμήμα - Ευθεία - Ημιευθεία - Επίπεδο - Ημιεπίπεδο. ΟΝΟΜΑΤΕΠΩΝΥΜΟ ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ / / 1. Σχεδιάστε το ευθύγραμμο τμήμα Α και το ευθύγραμμο τμήμα ΓΔ A B Γ Δ 2.
Γεωμετρία Α' Λυκείου Κεφάλαιο 4 ο (Παράλληλες ευθείες) Λύσεις Διαγωνισμάτων
Λύσεις Διαγωνισμάτων Λύσεις 1 ου Διαγωνίσματος Θέμα 1 ο α) Από μία κορυφή, π.χ. την Α, φέρουμε ευθεία xy ΒΓ. Τότε ω = Β και φ = Γ, ως εντός εναλλάξ των παραλλήλων xy και ΒΓ με τέμνουσες ΑΒ και ΑΓ αντίστοιχα.
24 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ
1ο Α. Nα αποδείξετε ότι το άθροισμα των γωνιών κάθε τριγώνου είναι 2 ορθές. Β. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν γράφοντας στο τετράδιό σας τη λέξη Σωστό ή Λάθος δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί
Ιωάννης Σ. Μιχέλης Μαθηματικός
1 Άλγεβρα 1 ο Κεφάλαιο Ερώτηση 1 : Ποιες είναι οι ιδιότητες της πρόσθεσης των φυσικών; Το άθροισμα ενός φυσικού αριθμού με το 0 ισούται με τον ίδιο αριθμό. α+0=α Αντιμεταθετική ιδιότητα. Με βάση την οποία
ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ & ΕΡΓΑΣΙΑΣ
ΦΥΛΛΟ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ & ΕΡΓΑΣΙΑΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 3.1-3.6 Τρίγωνα Πλευρές ΑΒ ή ΒΑ ή γ ΑΓ ή ΓΑ ή β ΒΓ ή ΓΒ ή α Γωνίες ˆ ή ˆ ή ˆ ˆ ή ˆ ή ˆ ˆ ή ˆ ή ˆ μ α δ α υ α Διάμεσος ΑΜ ή μ α Διχοτόμος ΑΔ ή δ α Ύψος
ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΣΤΗΝ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ
ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΣΤΗΝ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ 1)Τι ονομάζεται διχοτόμος μιας γωνίας ; Διχοτόμος γωνίας ονομάζεται η ημιευθεία που έχει αρχή την κορυφή της γωνίας και τη χωρίζει σε δύο ίσες γωνίες. 2)Να
ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ. ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Κεφάλαιο 9ο: Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό-Λάθος»
ΕΩΜΕΤΡΙΑ Β ΥΚΕΙΟΥ Κεφάλαιο 9ο: ΜΕΤΡΙΚΕ ΧΕΕΙ Ερωτήσεις του τύπου «ωστό-άθος» Να χαρακτηρίσετε με (σωστό) ή (λάθος) τις παρακάτω προτάσεις. 1. * Αν σε τρίγωνο ΑΒ ισχύει ΑΒ = Α + Β, τότε το τρίγωνο είναι:
ΙΣΟΣΚΕΛΕΣ ΤΡΙΓΩΝΟ ΜΕΣΟΚΑΘΕΤΟΣ - ΔΙΧΟΤΟΜΟΣ. 2ο ΘΕΜΑ
ΙΣΟΣΚΕΛΕΣ ΤΡΙΓΩΝΟ ΜΕΣΟΚΑΘΕΤΟΣ - ΔΙΧΟΤΟΜΟΣ 5029 Έστω κυρτό τετράπλευρο ΑΒΓΔ με και α) β) Το τρίγωνο ΑΔΓ είναι ισοσκελές μ 10 γ) Η ευθεία ΒΔ είναι μεσοκάθετος του τμήματος ΑΓ μ 7 5619 Δίνεται γωνία χαy και
ΘΕΩΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Η διαίρεση καλείται Ευκλείδεια και είναι τέλεια όταν το υπόλοιπο είναι μηδέν.
ΑΛΓΕΒΡΑ 1 ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΘΕΩΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ 1. Τι είναι αριθμητική παράσταση; Με ποια σειρά εκτελούμε τις πράξεις σε μια αριθμητική παράσταση ώστε να βρούμε την τιμή της; Αριθμητική παράσταση λέγεται κάθε
«Η Ευκλείδεια γεωμετρία και η διδασκαλία της» Λύσεις Θεμάτων Εξέτασης
Τομέας Παιδαγωγικής Ιστορίας, και Φιλοσοφίας των Μαθηματικών «Η Ευκλείδεια γεωμετρία και η διδασκαλία της» Λύσεις Θεμάτων Εξέτασης 01-0-016 ΘΕΜΑ 1α [] Σε τυχαίο ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ ( Α=90 Ο ) η διχοτόμος
πλευρές του κείνται στις ευθείες : 4χ-3ψ+7=0, 3χ+2ψ-16=0, χ-5ψ+6=0. (ΑΒ=5, ΒΓ= 13,
1 Η Ευθεία στο Επίπεδο Η Ευθεία στο Επίπεδο 1 Να βρεθεί το είδος των γωνιών του τριγώνου που οι πλευρές του κείνται στις ευθείες : 4χ-3ψ+3=0, 3χ+4ψ+4=0, χ-7ψ+8=0. (90, 45, 45 ) 2 Να βρεθεί το μήκος των
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 10 Ο ΕΜΒΑΔΑ 10.1 ΠΟΛΥΓΩΝΙΚΑ ΧΩΡΙΑ 10.2 ΕΜΒΑΔΟΝ ΕΥΘΥΓΡΑΜ. ΣΧΗΜ. ΙΣΟΔΥΝΑΜΑ ΕΥΘΥΓΡΑΜ. ΣΧΗΜ. 10.3 ΕΜΒΑΔΟΝ ΒΑΣΙΚΩΝ ΕΥΘΥΓΡΑΜΜΩΝ ΣΧΗΜΑΤΩΝ
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 0 Ο ΕΜΒΑΔΑ 0. ΠΟΛΥΓΩΝΙΚΑ ΧΩΡΙΑ 0. ΕΜΒΑΔΟΝ ΕΥΘΥΓΡΑΜ. ΣΧΗΜ. ΙΣΟΔΥΝΑΜΑ ΕΥΘΥΓΡΑΜ. ΣΧΗΜ. 0.3 ΕΜΒΑΔΟΝ ΒΑΣΙΚΩΝ ΕΥΘΥΓΡΑΜΜΩΝ ΣΧΗΜΑΤΩΝ ΘΕΩΡΙΑ (Πολυγωνικά χωρία) Ας θεωρήσουμε ένα πολύγωνο, για παράδειγμα
ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΕΣ ΚΑΤΑΣΚΕΥΕΣ ΣΤΟΧΟΙ: Με τη συμπλήρωση του στόχου αυτού θα μπορείτε να: Σχεδιάζετε τρίγωνα, τετράπλευρα και πολύγωνα.
ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΕΣ ΚΑΤΑΣΚΕΥΕΣ ΣΤΟΧΟΙ: Με τη συμπλήρωση του στόχου αυτού θα μπορείτε να: Σχεδιάζετε τρίγωνα, τετράπλευρα και πολύγωνα. ΓΕΝΙΚΑ: Οι γεωμετρικές κατασκευές εφαρμόζονται στην επίλυση σχεδιαστικών προβλημάτων
Γ Ε Ω Μ Ε Τ Ρ Ι Α - Κ Ε Φ Α Λ Α Ι Ο 1
Ε Ω Μ Ε Τ Ρ Ι Α - Κ Ε Φ Α Λ Α Ι Ο 1 Εμβαδά Επίπεδων Σχημάτων & Πυθαγόρειο Θεώρημα Η συλλογή των ασκήσεων προέρχεται από μια ποικιλία πηγών, σημαντικότερες από τις οποίες είναι το Mathematica.gr, παλιότερα
1 ΘΕΩΡΙΑΣ...με απάντηση
1 ΘΕΩΡΙΑΣ.....με απάντηση ΑΛΓΕΒΡΑ Κεφάλαιο 1 0 Εξισώσεις Ανισώσεις 1. Τι ονομάζεται Αριθμητική και τι Αλγεβρική παράσταση; Ονομάζεται Αριθμητική παράσταση μια παράσταση που περιέχει πράξεις μεταξύ αριθμών.
Ενότητα: Τετράπλευρα (Ιδιότητες Ταξινόμηση) Keywords: parallelogram, rectangular, rhombus, square, diagonals, height.
Νέο Αναλυτικό Πρόγραμμα Σπουδών Σχολικό έτος 2016-17 Σπύρος Γ. Γλένης spyrosglenis@gmail.com Ενότητα: Τετράπλευρα (Ιδιότητες Ταξινόμηση) Keywords: parallelogram, rectangular, rhombus, square, diagonals,
ΚΥΚΛΟΣ. Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό-Λάθος»
ΚΥΚΛΟΣ Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό-Λάθος» Σωστό Λάθος 1. Αν α είναι η απόσταση ευθείας ε από το κέντρο του κύκλου (Ο, ρ) τότε: αν α > ρ η ε λέγεται εξωτερική του κύκλου αν α = ρ η ε λέγεται τέμνουσα του
) = Απόσταση σημείου από ευθεία. Υπολογισμός Εμβαδού Τριγώνου. και A
[Επιλογή Ιαν.. Εμβαδόν Τριγώνου ΣΤΟΧΟΙ: Ο µαθητής ϖρέϖει: να είναι ικανός να υϖολογίζει την αϖόσταση σηµείου αϖό ευθεία να είναι ικανός να υϖολογίζει το εµβαδό ενός τριγώνου αϖό τις συντεταγµένες των κορυφών