Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας 134. Ερωτήσεις Κατανόησης

Μέγεθος: px

Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "6.5 6.6. Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας 134. Ερωτήσεις Κατανόησης"

Ἄτλας Παπαδάκης
8 χρόνια πριν
Προβολές:

1 σκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας 34 ρωτήσεις Κατανόησης. Σε ένα εγγεγραµµένο τετράπλευρο i) Τα αθροίσµατα των απέναντι γωνιών του είναι ίσα Σ Λ ii) Κάθε πλευρά φαίνεται από τις απέναντι κορυφές Σ υπό ίσες γωνίες Χαρακτηρίστε σωστή ή λάθος κάθε µία από τις παραπάνω προτάσεις και αιτιολογήστε την απάντηση σας. πάντηση i) Καθένα από τα αθροίσµατα αυτά είναι ίσο µε 80 ο ii) Και οι δύο γωνίες είναι εγγεγραµµένες στο ίδιο τόξο Λ. ν εγγεγραµµένο τετράπλευρο τότε α. ˆ + ˆεξ = β. ˆ = ˆ γ. ˆ = ˆ εξ δ ˆ = ˆεξ ε. ˆ= ˆ Κυκλώστε το γράµµα της σωστής απάντησης και αιτιολογήστε την απάντηση σας πάντηση Σωστή απάντηση είναι η (δ), αφού στο εγγεγραµµένο τετράπλευρο κάθε γωνία του είναι ίση µε την απέναντι εξωτερική 3. πό τέσσερα µη συνευθειακά σηµεία διέρχεται πάντα ένας κύκλος; πάντηση Όχι

τις παραπάνω προτάσεις και αιτιολογήστε την απάντηση σας. πάντηση i) Καθένα από τα αθροίσµατα αυτά είναι ίσο µε 80 ο ii) Και οι δύο γωνίες είναι εγγεγραµµένες στο ίδιο τόξο Λ.

2 4. i) Πότε ένα τετράπλευρο λέγεται εγγράψιµο; ii) ν οι µεσοκάθετες των πλευρών ενός τετραπλεύρου διέρχονται από το ίδιο σηµείο τότε το τετράπλευρο είναι εγγράψιµο; πάντηση i) Ένα τετράπλευρο λέγεται εγγράψιµο όταν µπορεί να γραφεί κύκλος που να διέρχεται από τις κορυφές του τετραπλεύρου ii) Ναι διότι το σηµείο τοµής των µεσοκαθέτων θα ισαπέχει από τις κορυφές του τετραπλεύρου 5. Ποια είναι τα κριτήρια για να είναι ένα τετράπλευρο εγγράψιµο; πάντηση i) ύο απέναντι γωνίες του να είναι παραπληρωµατικές ii) Μία γωνία του να είναι ίση µε την απέναντι εξωτερική iii) Μία πλευρά του να φαίνεται από τις απέναντι κορυφές υπό ίσες γωνίες 6. Ποιο από τα τετράπλευρα : παραλληλόγραµµο, ορθογώνιο, ρόµβος, τετράγωνο, τραπέζιο είναι εγγράψιµο; πάντηση Το ορθογώνιο και το τετράγωνο

Ποια είναι τα κριτήρια για να είναι ένα τετράπλευρο εγγράψιµο; πάντηση i) ύο απέναντι γωνίες του να είναι παραπληρωµατικές ii) Μία γωνία του να είναι ίση µε την απέναντι εξωτερική iii) Μία

3 3 σκήσεις µπέδωσης. Σε ένα εγγράψιµο τετράπλευρο είναι Â = 0 ο και ˆBεξ = 80 ο. Να βρείτε τις γωνίες ˆ, ˆ και ˆ του τετραπλεύρου. γγράψιµο γγράψιµο ˆ + Â = 80ο ˆ = 60 ο ˆB εξ = 80 ο ˆB = 00 ο ˆ = ˆBεξ = 80 ο. ν ένας ρόµβος είναι εγγεγραµµένος σε κύκλο, να αποδείξετε ότι είναι τετράγωνο. εγγεγραµµένο Â + ˆ = 80 ο ρόµβος Â = ˆ Άρα Â = 80ο Â = 90 ο = ˆ Οµοίως ˆB = 90 ο = ˆ Έτσι, το είναι ορθογώνιο µε ίσες πλευρές, άρα είναι τετράγωνο. 3. Να αποδείξετε ότι, κάθε εγγεγραµµένο παραλληλόγραµµο είναι ορθογώνιο. εγγεγραµµένο Â + ˆ = 80 ο παραλληλόγραµµο Â = ˆ Άρα Â = 80ο Â = 90 ο, οπότε το παραλληλόγραµµο είναι ορθογώνιο.

ν ένας ρόµβος είναι εγγεγραµµένος σε κύκλο, να αποδείξετε ότι είναι τετράγωνο.

4 4 4. Να αποδείξετε ότι κάθε περιγεγραµµένο παραλληλόγραµµο είναι ρόµβος, του οποίου οι διαγώνιοι τέµνονται στο κέντρο του εγγεγραµµένου κύκλου. O Έστω Ο το κέντρο του παραλληλογράµµου. Το Ο απέχει από τις πλευρές του παραλληλογράµµου απόσταση ίση µε την ακτίνα ρ του κύκλου. Άρα το Ο ανήκει στις διχοτόµους των γωνιών του παραλληλογράµµου. Έτσι, οι διαγώνιοι του παραλληλογράµµου είναι και διχοτόµοι των γωνιών του, άρα είναι ρόµβος Ταυτόχρονα αποδείχθηκε ότι οι διαγώνιοι διέρχονται από το κέντρο του κύκλου, άρα τέµνονται σ αυτό. ποδεικτικές σκήσεις. ύο κύκλοι τέµνονται στα σηµεία και. πό τα και φέρουµε ευθείες που τέµνουν τον ένα κύκλο στα και και τον άλλο στα και αντίστοιχα. Να αποδείξετε ότι. Φέρουµε την κοινή χορδή. AB εγγεγραµµένο ˆ = ˆ εγγεγραµµένο ˆ = ˆ Άρα ˆ = ˆ.

Έτσι, οι διαγώνιοι του παραλληλογράµµου είναι και διχοτόµοι των γωνιών του, άρα είναι ρόµβος Ταυτόχρονα αποδείχθηκε ότι οι διαγώνιοι διέρχονται από το κέντρο του κύκλου, άρα τέµνονται σ αυτό.

5 5. Ένας κύκλος (Κ) διέρχεται από τις κορυφές και τριγώνου και τέµνει τις πλευρές, στα σηµεία, αντίστοιχα. Να αποδείξετε ότι η είναι παράλληλη προς την εφαπτοµένη ε του περιγεγραµµένου κύκλου στο. ε Έστω ε η εφαπτοµένη στο. ρκεί να αποδείξουµε ότι ˆ = ˆ εγγεγραµµένο ˆ = ˆ αλλά ˆ = ˆ (εγγεγραµµένη χορδής εφαπτοµ) Άρα ˆ = ˆ. 3. Να αποδείξετε ότι τα ύψη,, Ζ ενός τριγώνου διχοτοµούν τις γωνίες του τριγώνου Ζ. Έστω Η το ορθόκεντρο του τριγώνου. ΗΖ εγγράψιµο διότι ˆ, ˆΖ ορθές ˆ = ˆ Η εγγράψιµο διότι ˆ, ˆ ορθές ˆ = ˆ Ζ Η Ζ εγγράψιµο διότι η φαίνεται από τα Ζ, µε ίσες γωνίες ορθές ˆ = ˆ. πό τις παραπάνω τρεις ισότητες γωνιών ˆ = ˆ άρα διχοτόµος της γωνίας ˆ Ζ.

ρκεί να αποδείξουµε ότι ˆ = ˆ εγγεγραµµένο ˆ = ˆ αλλά ˆ = ˆ (εγγεγραµµένη χορδής εφαπτοµ) Άρα ˆ = ˆ. 3.

6 6 4. Να αποδείξετε ότι οι εφαπτόµενες στα άκρα δύο κάθετων χορδών κύκλου σχηµατίζουν εγγράψιµο τετράπλευρο. Ν Κ O ι Ρ Λ Μ ρκεί να αποδείξουµε ότι ˆΛ + ˆΝ = 80 ο. Φέρουµε τις ακτίνες στα σηµεία επαφής. Το τετράπλευρο ΟΛ έχει δύο ορθές γωνίες, άρα ˆΛ + ˆΟ = 80 ο () Το τετράπλευρο ΟΝ έχει δύο ορθές γωνίες, άρα ˆΝ + ˆΟ = 80 ο () () + () ˆΛ + ˆΝ + ˆΟ + ˆΟ = 360 ο. Οπότε, αρκεί να αποδείξουµε ότι ˆΟ + ˆΟ = 80 ο πό εφαρµογή έχουµε ˆΡ + = 90 ο Ο = ˆ +Οˆ ˆΟ + ˆΟ = 80 ο. Σύνθετα Θέµατα. ίνεται τρίγωνο και ο περιγεγραµµένος κύκλος του (Ο,R). ν και είναι ύψη του τριγώνου, να αποδείξετε ότι Ο. (Θεώρηµα Nagel). ε Κ Ο Έστω ε η εφαπτοµένη στο. πειδή Ο ε, αρκεί να αποδείξουµε ότι ε, ή αρκεί Ê = ˆ εγγράψιµο (η φαίνεται από τα, µε ίσες γωνίες ορθές) Ê = ˆ αλλά ˆ = ˆ (εγγεγραµµένη χορδής εφαπτοµ) Άρα Ê = ˆ

Οπότε, αρκεί να αποδείξουµε ότι ˆΟ + ˆΟ = 80 ο πό εφαρµογή έχουµε ˆΡ + = 90 ο Ο = ˆ +Οˆ ˆΟ + ˆΟ = 80 ο. Σύνθετα Θέµατα. ίνεται τρίγωνο και ο περιγεγραµµένος κύκλος του (Ο,R).

7 7. ίνεται µια χορδή ενός κύκλου (Ο,R) και οι εφαπτόµενες ε και ε στα άκρα της. πό ένα τυχαίο σηµείο Μ της φέρουµε κάθετη στην ΟΜ, που τέµνει τις ε και ε στα σηµεία και αντίστοιχα. Να αποδείξετε ότι Μ = Μ. Έστω Κ το σηµείο τοµής των ε, ε. ε Ο Μ ε Φέρουµε τις ακτίνες Ο, Ο στα σηµεία επαφής και τις Ο, Ο. Στο τρίγωνο Ο το ΟΜ είναι ύψος. Θέλοντας να αποδείξουµε ότι το Μ είναι µέσο του, δηλαδή ότι το ΟΜ είναι και Κ διάµεσος του τριγώνου Ο, αρκεί να αποδείξουµε ότι ΟΜ είναι διχοτόµος της γωνίας Ο ˆ, ή αρκεί ˆΟ = ˆΟ. Το ΟΜ είναι εγγράψιµο, αφού οι γωνίες του ˆ και ˆΜ είναι ορθές ˆΟ = ˆ Το ΟΜ είναι εγγράψιµο, αφού τα Μ, βλέπουν την Ο µε ίσες γωνίες ορθές ˆΟ = ˆ (εσωτερική και απέναντι εξωτερική). Κ = Κ σαν εφαπτοµενικά τµήµατα, δηλαδή το τρίγωνο Κ είναι ισοσκελές,άρα ˆ = ˆ. πό τις παραπάνω τρεις ισότητες γωνιών ˆΟ = ˆΟ.

Θέλοντας να αποδείξουµε ότι το Μ είναι µέσο του, δηλαδή ότι το ΟΜ είναι και Κ διάµεσος του τριγώνου Ο, αρκεί να αποδείξουµε ότι ΟΜ είναι διχοτόµος της γωνίας Ο ˆ, ή αρκεί ˆΟ = ˆΟ.

8 8 3. Να αποδείξετε ότι οι προβολές κάθε σηµείου του περιγεγραµµένου κύκλου τριγώνου πάνω στις πλευρές του είναι σηµεία συνευθειακά (ευθεία Simson). Ζ M το τρίγωνο, Μ το τυχαίο σηµείο του περιγεγραµµένου κύκλου και,, Ζ οι προβολές. νώνουµε το Μ µε τις κορυφές. πίσης φέρουµε τις Ζ,. ια να αποδειχθεί ότι Ζ είναι ευθεία, αρκεί να αποδειχθεί ότι ˆ + ˆ = 80 ο Λόγω των προβολών (ορθές γωνίες) έχουµε εγγράψιµα τετράπλευρα Στο ΜΖ έχουµε +Ζ= ˆ ˆ = 80 άρα είναι εγγράψιµο ˆ = ΖΜ ˆ Στο Μ, τα, βλέπουν τη Μ µε ίσες γωνίες ορθές, άρα είναι εγγράψιµο ˆ = 80 ο Μ ˆ ποµένως ˆ + ˆ = ΖΜ ˆ + 80 ο Μ ˆ λλά, από το εγγεγραµµένο Μ έχουµε Άρα ˆ + ˆ = 80 ο. ˆ ΖΜ = ˆ Μ 4. ίνεται τρίγωνο και η διχοτόµος του. ν οι περιγεγραµµένοι κύκλοι των τριγώνων και τέµνουν τις πλευρές και στα και Ζ αντίστοιχα, να αποδείξετε ότι = Ζ. Ζ Πάµε για τα τρίγωνα Ζ, διχοτόµος της γωνίας ˆ = = () διχοτόµος της γωνίας Ζ= Ζ = () ˆ Ζ Ζ εγγεγραµµένο ˆ = ˆ και εγγεγραµµένο ˆ = ˆ Άρα ˆ = ˆ (3) (), (), (3) τρ.ζ = τρ. = Ζ.

ια να αποδειχθεί ότι Ζ είναι ευθεία, αρκεί να αποδειχθεί ότι ˆ + ˆ = 80 ο Λόγω των προβολών (ορθές γωνίες) έχουµε εγγράψιµα τετράπλευρα.

Σχετικά έγγραφα

8.1 8.2. Ερωτήσεις Κατανόησης. Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας 177 179

8.1 8.2. Ερωτήσεις Κατανόησης. Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας 177 179 8. 8. σκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας 77 79 ρωτήσεις Κατανόησης. i) ν δύο τρίγωνα είναι ίσα τότε είναι όµοια; ii) ν δύο τρίγωνα είναι όµοια προς τρίτο τότε είναι µεταξύ τους όµοια πάντηση i) Προφανώς