Ο διαβήτης του Πλάτωνα

Transcript

1 Ο διαβήτης του Πλάτωνα Του Μιχ. Γ. Μαριά Μαθηματικού La véritable finalité de la Science est l honneur de l esprit humain C. Jacobi ( ) Στον Κώστα Β. Τα τελευταία καλοκαίρια περνώ πάντα μερικές μέρες στην μέχρι πρόσφατα ξεχασμένη και ταπεινή Τήλο, δραπετεύοντας από το νησί μου, την γειτονική και κοσμοπολίτικη Ρόδο. Παλιός φίλος έκτισε στην παραλία και κοιμάται <επί του εξώστου> ύπνον νανουριστόν, μερικά μέτρα υψηλότερ από το κύμα, θεωρών τα άστρα και μελετών όλα τα μυστήρια του ουρανού 1. Μερικές φορές ρεμβάζοντας ξεφεύγει. Σκέφτεται παράταιρα πράγματα. Την ποίηση της Ήρινας, τα δύσκολα θαλασσινά ταξείδια των παλιών, την μοχθηρία των πανεπιστημιακών και την λυτρωτική δύναμη της Τέχνης και της ομορφιάς. Ανεβαίνοντας στον Άγιο Παντελεήμονα η στάση κρίνεται απαραίτητη. Εικόνα 1. Ανεβαίνοντας στον Άγιο Παντελεήμονα Αριστερά η Νίσυρος με τα Νικιά κάτασπρα, κρεμασμένα στο χείλος του κρατήρα και τον Γίγαντα Πολυβότη ακόμα ζωντανό να καπνίζει. Πιο πάνω η Κώς κι απέναντι τα ερείπια της αρχαίας Κνίδου, στο βόρειο άκρο της κακοτράχαλης Τραχείας χερσονήσου. Το αρχαίο θέατρο πάνω στο κύμα και πιο ψηλά ο ναός της Αφροδίτης με το περίφημο ολόσωμο και ολόγυμνο άγαλμα της θεάς. Ήταν έργο του Πραξιτέλη με μοντέλο την περίφημη εταίρα Φρύνη και λένε πως σκανδάλισε κόσμο και κοσμάκη. Εδώ θα δούμε το καταπληκτικό ελληνιστικό (;) αντίγραφο, που βρίσκεται στο Λούβρο και είναι γνωστό ως κεφαλή Kaufmann. Δυστυχώς έχουμε μόνο το κεφάλι! 1 Αλέξανδρου Παπαδιαμάντη Ανθος του γιαλού τροποποιημένο για την περίσταση.

2 2 Εικόνα 2. Κεφαλή Αφροδίτης Kaufmann (Louvre) Εκεί γεννήθηκε ο Εύδοξος στα 408 π.χ., όταν οι πατριώτες μου οι Ροδίτες, μετοίκησαν στην νέα και λαμπρή πόλη τους. Πατέρας του ήταν ο Αισχίνης. Τα ζεστά βράδια του καλοκαιριού, όταν ο φωτεινός ουρανός χαμηλώνει τις ασέληνες νύχτες, τότε πατέρας και γιός, κοίταζαν τα άστρα και μελετούσαν όλα τα μυστήρια του ουρανού. V. Van Gogh, la nuit etoilée Έτσι ο Εύδοξος έγινε Αστρονόμος και Μαθηματικός. Μεταξύ των άλλων μελέτησε και το Δήλιον πρόβλημα κι έτσι παίζει σημαντικό ρόλο στο βιβλίο του αγαπητού Γιάννη, που σήμερα παρουσιάζουμε. Ας μην ξεχνάμε ότι λίγο πιο πάνω, στα παράλια της Ιωνίας, και δύο αιώνες πριν έγινε η μεγάλη τομή, le miracle grec. Οι πολίτες των πόλεων της Ιωνίας πήραν τις αποστάσεις τους απο το θείο, ξέκοψαν από την δεισιδαιμονία και προσπάθησαν να καταλάβουν τον κόσμο με την παρατήρηση, την δύναμη του μυαλού και τη λογική τους. Έτσι γεννήθηκε η Φιλοσοφία και τα Μαθηματικά και ο κόσμος άλλαξε, δεν ήταν πια όπως πριν. Σας θυμίζω πως λίγο νωρίτερα, εκεί στα ίδια χώματα γεννήθηκε και η μεγάλη Ποίηση με τα αθάνατα Έπη. Δίκαια λοιπόν μιλάμε για θαύμα, το ελληνικό θαύμα. Το πρόγραμμα των φιλοσόφων-επιστημόνων της Ιωνίας ήταν τόσο μεγαλεπήβολο, όσο είναι σήμερα το πρόγραμμα των Φυσικών, που θέλουν να εξερευνήσουν το Σύμπαν, μέχρι τις εσχατιές του και το Big Bang. Στόχος τους ήταν να προσδιορίσουν το μέγεθος και το σχήμα ολόκληρης της Γης, όταν με τα καράβια τους ταξίδεψαν

3 3 μόνο σ ένα πολύ μικρό της μέρος. Ήξεραν την Μεσόγειο και λίγα πράγματα απο την γειτονιά της. Τα κατάφεραν χάρη στην ευφυϊα τους και την βοήθεια ενός εκπληκτικού εργαλείου, που οι ίδιοι ανακάλυψαν: την Γεωμετρία και τα Μαθηματικά 2. Αλλά καιρός είναι να γυρίσουμε στα δικά μας και στο Δήλιον πρόβλημα Εκεί γύρω στα 430 π.χ., όπως μας λέει ο Γιάννης, έφτασε ο λοιμός στη Δήλο, το νησί του Απόλλωνα. Οι προσευχές, οι επικλήσεις στον θεό και οι καθαρμοί δεν έφεραν αποτέλεσμα κι έτσι πήγαν στο μαντείο. Η Πυθία τους είπε πως για να τελειώσουν τα βάσανά τους, πρέπει να διπλασιάσουν τον βωμό του Απόλλωνα, που ήταν κύβος. Προσπάθησαν, αλλά δεν τα κατάφεραν. Ζήτησαν την βοήθεια του μεγάλου φιλοσόφου και δασκάλου, του Πλάτωνα. Ο Πλάτωνας, για να υποστηρίξει την Φιλοσοφία του, την Φιλοσοφία του ορθού λόγου, πολλές φορές ζήταγε την συνδρομή των Μαθηματικών που, αφ ενός έχουν στην διάθεση τους την απόδειξη και αφ ετέρου, τα αποτελέσματά τους, εκτός του ότι υπάρχουν αφ εαυτά, παρουσιάζουν τις περισσότερες φορές, μια εσωτερική ομορφιά και αρμονία 3. Προσπάθησε κι ο Πλάτωνας αλλά ούτε αυτός τα κατάφερε αφού το Δήλιον πρόβλημα, μαζί με τον τετραγωνισμό του κύκλου και την τριχοτόμηση της γωνίας, είναι ένα από τα διάσημα άλυτα προβλήματα των αρχαίων μαθηματικών, αυτής της καταπληκτικής εποποιϊας της ανθρώπινης σκέψης. Ας προσέξουμε πως με τον όρο άλυτα, εννοούμε πως αποδείξαμε πως είναι αδύνατον να λυθούν με τις προδιαγραφές των αρχαίων, δηλαδή κανόνα και διαβήτη. Έτσι λοιπόν, αν α είναι η πλευρά του υπάρχοντος βωμού, τότε ο όγκος του V ισούται με 3 V = a, ενώ ο νέος βωμός με ακμή β πρέπει να έχει όγκο 2V: 3 2V = β. Άρα β = 3 2a και συνεπώς για να κατασκευαστεί ο νέος βωμός με τον διπλάσιο όγκο, πρέπει να κατασκευαστεί η 3 2 με κανόνα και διαβήτη, όπως όριζαν τα αξιώματα της Ευκλείδιας Γεωμετρίας και η θέληση του θεού. Όμως η τρίτη ρίζα του 2 δεν είναι κατασκευάσιμη. Δεν θα σας κουράσω με λεπτομέρειες και ορισμούς, αφού ο σύγχρονος ορισμός του κατασκευάσιμου αριθμού δεν είναι καθόλου απλός. Απλώς θα σας πω, πως απο τον 19 ο αιώνα, ξέρουμε πως πέραν των ρητών, κατασκευάσιμες είναι και οι ρίζες πολυωνύμων 2 ου βαθμού με ρητούς συντελεστές. Τέτοια είναι η 2, που είναι ρίζα 2 του x 2 = 0. Όμως η είναι ρίζα του x 2 = 0 που είναι τρίτου βαθμού και την πατήσαμε! Τώρα θα μου πείτε πως, αν είμαστε άνθρωποι πρακτικοί και ρεαλιστές, θα κάναμε δοκιμές και προσεγγίσεις και θα βλέπαμε πως η 3 2 είναι περίπου ίση με 1,26 οπότε 2 R. Ossermann, Η Ποίηση του Σύμπαντος, Εκδ. Κάτοπρο. 3 Μιχ. Γ. Μαριάς, Ο θεός αεί γεωμετρεί ή η ιστορία ενός εξωφύλλου, Εκδ. ΖΗΤΗ, 2004.

4 4 ο διπλασιασμός του βωμού είναι εφικτός με μια πολύ καλή προσέγγιση. Όμως, όπως λέει και ο Γιάννης, κι ένας κόκκος της άμμου να λείπει.... Τελειώνω το Δήλιον πρόβλημα, αναφέροντας πως δυσκολίες της ίδιας φύσης συναντούμε για την τριχοτόμηση της γωνίας, ενώ για τον τετραγωνισμό του κύκλου τα πράγματα είναι πιο δύσκολα, αφού το διαβόητο π δεν είναι ρίζα κανενός πολυωνύμου με ρητούς συντελεστές. Είναι, όπως λένε οι Μαθηματικοί, υπερβατικός. Πως γεννιούνται τα νέα Μαθηματικά Θα σταθώ σε κάτι που θεωρώ πολύ σημαντικό. Πως δηλαδή, τα μεγάλα άλυτα προβλήματα, παλαιά και νέα, είναι αυτά, που στην προσπάθειά μας να τα λύσουμε, γεννούν τίς νέες θεωρίες και τα εργαλεία τους, τα νέα Μαθηματικά. Όλες οι νέες θεωρίες, όπως π.χ. η θεωρία Ομάδων ή η Υπερβολική Γεωμετρία δεν είναι προϊόντα παρθενογέννησης, αλλά αναδύθηκαν στην προσπάθεια να απαντηθούν τα παλιά ερωτήματα που ταλάνισαν γενιές μαθηματικών. Ευτυχισμένες στιγμές των Μαθηματικών Η θεωρία Galois. Απλώς θα αναφέρω πως ο Évariste Galois, που πέθανε στα είκοσί του σε μονομαχία κατά πως λένε για τα μάτια μιας πεταλουδίτσας, για να λύσει τις εξισώσεις 5 ου βαθμού ή την τριχοτόμηση της γωνίας, έβαλε τα θεμέλια σε μια απο τις πιο όμορφες θεωρίες των μαθηματικών: την Θεωρία Ομάδων, ενώ έφτιαξε και τη θεωρία των επεκτάσεων των σωμάτων, γνωστή πια σήμερα ως Θεωρία Galois. Η Υπερβολική Γεωμετρία. Μια δεύτερη ευτυχισμένη στιγμή των Μαθηματικών είναι η Υπερβολική Γεωμετρία, που έρχεται κι αυτή απο μακρυά. Έλκει την καταγωγή της από το 5 ο Ευκλείδιο αίτημα: Από σημείου εκτός ευθείας άγεται μια και μόνον ευθεία παράλληλη προς την δοθείσα. Έτσι παρουσιάζεται σε κάποιο απο τα βιβλία των Στοιχείων, που ο Ευκλείδης έγραψε στην Αλεξάδρεια γύρω στα 300 π.χ. Όπως είναι ευρέως γνωστό, τα Στοιχεία είναι το μακροβιώτερο εγχειρίδιο στην ιστορία της παγκόσμιας εκπαίδευσης. Από την πρώτη τους έκδοση μέχρι και τις αρχές του 20 ου αιώνα, δεν υπήρξε Πανεπιστημίο με την στενή ή την ευρύτερη έννοια, που να μην έχει στο πρόγραμμά του την Ευκλείδια Γεωμετρία, δηλαδή τα Στοιχεία. Επί 22 αιώνες δεν βρέθηκε λάθος ή αντίφαση σ αυτό το τέλειο δημιούργημα. Το μόνο προβληματικό του σημείο ήταν ακριβώς το 5 ο αίτημα που μόλις αναφέραμε παραπάνω. Επί 22 αιώνες οι αμφισβητίες προσπάθησαν να δείξουν πως το αίτημα της μοναδικής παραλλήλου δεν είναι ανεξάρτητο και πως προκύπτει απο τ άλλα αξιώματα. Χύθηκε πολύ μελάνι και ιδρώτας. Πολλές οι αγρύπνιες. Εις μάτην! Τα Στοιχεία άντεχαν στις επιθέσεις όπως άντεχε στα κύματα εκείνος ο μονοκόμματος και αλίκτυπος βράχος του κυρ-αλέξανδρου. Κι εκεί γύρω στα 1830 ένας νεαρός Ούγγρος μαθηματικός, ο Bolay και ένας Ρώσος, o Lobachevski, έφτιαξαν μια νέα, καμπυλόγραμμη πλέον Γεωμετρία, (Υπερβολική την ονόμασε λίγο αργότερα ο Klein) όπου το 5 ο Ευκλείδιο αίτημα δεν ισχύει πλέον. Λέγεται πως ο μέγας Gauss, ο άνθρωπος που εν ζωή αποκλίθηκε Princeps Mathimaticorum, είχε φτιάξει νωρίτερα την Γεωμετρία αυτή. Δεν είχε όμως πεισθεί για την υλοποίησή της. Έτσι απέρριψε και την εργασία του νεαρού Bolay, του γιού του παλιού του συμφοιτητή και φίλου. Δράμα!

5 5 Παρ όλο που η έρευνα του Lobachevsky αλλά και άλλων, έδειξε ότι όχι μόνον δεν υπάρχει αντίφαση στην υπερβολική γεωμετρία αλλά πρόκειται για μια γεωμετρία ιδιαίτερα πλούσια, η άρνηση ενός Ευκλειδείου αξιώματος ήταν μια πολύ σοβαρή υπόθεση. Έτσι, η ύπαρξη μιας τέτοιας γεωμετρίας έγινε αιτία διενέξεων για μια μεγάλη περίοδο του 19 ου αιώνα. Τέτοιου είδους αμφιβολίες διήρκεσαν μέχρι που ο Beltrami κατασκεύασε το 1868 ένα συγκεκριμένο μοντέλο του υπερβολικού χώρου 4 Οι Μαθηματικοί λοιπόν επείσθησαν από τον Beltrami πως η νέα αυτή γεωμετρία υλοποιείται. Έτσι άνετα μπορούμε να σχεδιάσουμε τις ευθείες της, τα τρίγωνά της και ότι άλλο ζητήσει η όρεξή μας. Στο σχήμα που ακολουθεί παρουσιάζουμε το μοντέλο του δίσκου για τον υπερβολικό χώρο που πρότεινε ο Poincaré γύρω στο Σαν σύνολο, ο υπερβολικός χώρος συμπίπτει με τον μοναδιαίο δίσκο και οι (υπερβολικές) ευθείες εμφανίζονται ή ως τόξα κύκλων που τέμνουν κάθετα την μοναδιαία περιφέρεια ή διάμετροι. Εικόνα 3. Το μοντέλο του δίσκου του Poincaré Δύο ευθείες που δεν τέμνονται είναι προφανώς παράλληλες. Έτσι, στο παρακάτω σχήμα έχουμε μια εικονογράφηση της άρσης του αιτήματος των παραλλήλων στην νέα αυτή γεωμετρία. Εικόνα 4. Δύο ευθείες που τέμνονται είναι παράλληλες στην τρίτη που δεν τέμνουν 4 W. Thurston, Three-Dimensional Geometry and Topology.

6 6 Υπάρχουν τα Μαθηματικά πριν καν γεννηθούν; Ας θυμηθούμε την πρώτη συνάντηση με τον Πλάτωνα στον Διαβήτη....Περπατούσε κατά μήκος του Ιλισού βρέχοντας τα πόδια του. Έπειτα ανέβηκε στον δρόμο. Κάρα φορτωμένα με γελαστά κορίτσια κουβαλούσαν νερό από την πηγή της Καλλιρρόης. Θα καναν το γαμήλιο λουτρό τους μ αυτό οι νύφες της επόμενης μέρας. Χαμογέλασε με τούτη τη σκέψη. «Νύφες της επόμενης μέρας! Οι μορφές των παιδιών τους υπάχουν ήδη αποτυπωμένες σ έναν κόσμο ιδεατό. Υπάρχουν πριν καν γεννηθούν. Αναλλοίωτες και αιώνιες!» 5. Ισχύει άραγε το ίδιο για τα Μαθηματικά; Υπάρχουν ήδη αποτυπωμένα σ έναν κόσμο ιδεατό. Υπάρχουν πριν καν γεννηθούν. Αναλλοίωτα και αιώνια; Ο Πλάτωνας το πίστευε. Εμείς; Ας θυμηθούμε τον μεγάλο σύγχρονο μαθηματικό, τον Α. Connes και τις συζητήσεις του με τον βιολόγο J.P. Changeux. 6 Τις διάβαζα εκείνη την εποχή, τις ώρες που ήθελα να ξεκόψω από τα Μαθηματικά. Βλέπετε, στο επάγγελμά μας, πολλές φορές η ένταση είναι μεγάλη και ο κίνδυνος να σφυρίξεις έχει θετική πιθανότητα. Καλό είναι λοιπόν να ξεφεύγεις κάπου-κάπου. Ο Connes λοιπόν, όπως και πολλά άλλα εξέχοντα μέλη της κοινότητας μας, πιστεύει, ως γνήσιος πλατωνιστής, ότι τα Μαθηματικά προϋπάρχουν. Υπάρχουν αφ εαυτά. Ανεξάρτητα από κοινωνίες και πολιτισμούς. Ακόμα και από αυτό το ανθρώπινο είδος! Οποιοσδήποτε νοήμων εξωγήινος, στις εσχατιές του Σύμπαντος, θα παρήγαγε τα ίδια Μαθηματικά με τα δικά μας. Εμείς, στην προσπάθειά μας να καταλάβουμε το θαύμα του κόσμου, ανακαλύπτουμε κάθε φορά και ένα μικρό μέρος τους. -Παρουσιαζόμαστε, ταπεινοί προσκυνητές, στον φύλακα του σπηλαίου, ο οποίος, αν κρίνει ότι η προσπάθεια μας ήταν αρκετή, ανοίγει το Μεγάλο Βιβλίο και μας παραδίδει τα λίγα που καταφέραμε να αποδείξουμε, λέγαμε με μια φίλη τις προάλλες. 7 Θεσσαλονίκη 28 Μαρτίου Σελ J.P. Changeux, A. Connes, Conversations on Mind, Matter and Mathematics. Υπάρχει και στα ελληνικά. 7 Ο θεός αεί γεωμετρεί.