Αλγόριθμοι Δικτύων και Πολυπλοκότητα Προσεγγιστικοί Αλγόριθμοι. Άρης Παγουρτζής

HTML
DOWNLOAD

Μέγεθος: px

Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Αλγόριθμοι Δικτύων και Πολυπλοκότητα Προσεγγιστικοί Αλγόριθμοι. Άρης Παγουρτζής"

Ξάνθη Φραγκούδης
6 χρόνια πριν
Προβολές:

1 Αλγόριθμοι Δικτύων και Πολυπλοκότητα Προσεγγιστικοί Αλγόριθμοι Άρης Παγουρτζής

2 Άδεια Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται σε άδεια χρήσης άλλου τύπου, αυτή πρέπει να αναφέρεται ρητώς.

3 ý ý» µ Ð ÓÐÙ¹ Ø ÓÒ µ Ó Ø Ú ÙÒØ ÓÒµ º ºµº º Ñ Ò Ñ Þ Ø ÓÒµ» Ñ Ü Ñ Þ Ø ÓÒµ ÆÈ¹ÓÔØ Ñ Þ Ø ÓÒ ÆÈÇµ ÆÈº ý º ºº ß ºº ºýº ¾

4 Π Á µ ËÇÄ (Π Á) Á Πº ÇÈ Ì(Π Á) Á Πº Π Á º ý º ºº ß ºº ºýº

5 Π ÔÔÖÓÜ Ñ Ø ÓÒ Ö Ø Óµ ¹ ÇÈ Ì(Á) µ º º Πº Á ËÇÄ (Á) Ò ÑÙÑµ Á ý µ º ý º ºº ß ºº ºýº

6 Á º µº ý º ºº ß ºº ºýº

7 ÇÈ Ì(Á) ¹ Π Á ËÇÄ (Á) 1 µ ÙÔÖ ÑÙÑµ Áµº º ý º ºº ß ºº ºýº

8 » Π ÔÔÖÓÜ Ñ Ø ÓÒ Ö Ø Óµ ¹ Á max{ ËÇÄ (Á) ÇÈ Ì(Á) Ì(Á) ÇÈ (Á) } ËÇÄ 1º ý ô º ô ý º ºº ß ºº ºýº

9 Á : ËÇÄ (Á) ÇÈ Ì(Á) ÇÈ Ì(Á) ý µ º ý º ºº ß ºº ºýº

10 µ Á : ËÇÄ (Á) ÇÈ Ì(Á) ( ) ( Ñ Ü) ý Ò 0 º È º ÆÈÇ ÆÈ ß µº µº ý º ºº ß ºº ºýº

11 Î ÖØ Ü ÏÎ µ Ï Ø ÓÚ Ö Î º Î ÖØ Ü ÓÚ Ö Î µ (Î ) Ú ÖØ Ü ÓÚ Öµ Î Î º Î ÖØ Ü ÓÚ Ö Û Ø º ÍÒÛ Ø Ö Ò Ð ØÝ º ý º ºº ß ºº ºýº ½¼

12 Î ÖØ Ü ÓÚ Ö þ Ñ Ü Ñ Ð Ñ Ø Ò ÅÅ º º Ö Ýµº Î ÅÅº º ¾¹ º ý º ½º Î µ ¾º ÅÅ ÇÈ Ì º ËÇÄ = 2 ÅÅ 2 ÇÈ Ì ý º ºº ß ºº ºýº ½½

13 ý ý Ì Ø Ò ÐÝ µ Ø Øµ º Ø Ø Ü ÑÔÐ µ º Î Ø Ø Ü ÑÔÐ Ã Ò Ò º ý º ºº ß ºº ºýº ½¾

14 Ø ØÒ µ ô Ú ÖØ Ü ÓÚ Ö 3 2 ÅÅ º ý ÇÈ Ì ÇÈ Ì º Î ÖØ Ü ÓÚ Ö Ã Ò Ñ Ü Ñ Ð Ñ Ø Ò ÇÈ Ì ¾º ¾¹ ý º ºº ß ºº ºýº ½

15 µ Ã Ò º º ý º ºº ß ºº ºýº ½

16 Ï Ø Î ÖØ Ü ÓÚ Ö ÏÎ µ º Ö ¹Û Ø Û : Î É (Î )µ 0 Ú Î Û(Ú) = (Ú) (Ú) Úº º ý Û (Î ) Ö ¹ Û Ø Û(Î) 2 ÇÈ Ì Ï Î º Û(Î) = Ú Î Û(Ú)º ý º ºº ß ºº ºýº ½

17 (Ù)) º ý º Í Ú ÖØ Ü ÓÚ Ö (Í)(= Ù Í ý (Î)(= Ú Î (Ú)) = 2 2 (Í)º Û Ö ¹Û Ø Û(Î) 2Û(Í)º ý Ú ÖØ Ü ÓÚ Ö Í º ý Û(Î) 2Û(Í ) = 2ÇÈ Ì Ï Î ý º ºº ß ºº ºýº ½

18 Ï Ø Î ÖØ Ü ÓÚ Ö ÏÎ µ þ ÓÑÔÓ Ø ÓÒµ Ö ¹Û Ø º ºº Ú Î (Ú) Û(Ú) Û µ Î Û(Ú) := Û(Ú) (Ú) Ú º º ¾¹ ÏÎ º ý º ºº ß ºº ºýº ½

19 Ë Ø ÓÚ Ö µ Ï Ø S º Ë Ø ÓÚ Ö Í Ò Í S {Ë = 1 Ë } Ë Í Å S S ºº Í S Ë S Ë = Íº Ë Ø ÓÚ Ö Û Ø º ÍÒÛ Ø Ö Ò Ð ØÝ º ý º ºº ß ºº ºýº ½

20 Ë ÔÖ ( ) := «:= Ë Ï Ø Ë Ø ÓÚ Ö := Í Ë» þ = Ó Ø(Ë ) Ë «ÔÖ ( ) º Ò =1 ÔÖ ( )º ý º ºº ß ºº ºýº ½

21 À Ò = Ò ý Ï Ø Ë Ø ÓÚ Ö À Ò ¹ º log Ò+1º ý º Í º ÇÈ Ì µº» ÇÈ Ì Í µº Ì Ò +1 º ý ÇÈ Í Ò +1º {1 Ò} À Ò ÇÈ Ì º ý º ºº ß ºº ºýº ¾¼

22 {1 Ò} Ë = { } Ó Ø(Ë ) = 1 Î ÖØ Ü ÓÚ Ö Ì Ø Ü ÑÔÐ Í = { 1 Ò } Ë Ò+1 = Í Ó Ø(Ë Ò+1 ) = 1+ 0 ËÇÄ = À Ò ÇÈ Ì = 1+ (Ò) = Ω(À(Ò)) = Ω(log Ò)º ý Ö Ò Ð ØÝµ Ë Ø ÓÚ Ö ý º ºº ß ºº ºýº ¾½

23 Ì Ø Ü ÑÔÐ Ë Ø ÓÚ Ö Í = { 1 Ñ 1 Ñ} Ñ = 2 1 {1 } Ë = { } Ë +1 = { 1 Ñ } Ë +2 = { 1 Ñ} ËÇÄ = ÇÈ Ì = 2 ý º ºº ß ºº ºýº ¾¾

24 Ï Ø Ë Ø ÓÚ Ö Ë Ø ÓÚ Ö Ï Ø Î ÖØ Ü ÓÚ Ö Î ÖØ Ü ÓÚ Ö ý º ºº ß ºº ºýº ¾

25 ÓÚ Ö º Å Ü ÑÙÑ ÓÚ Ö Í Ò Í S = {Ë 1 Ë Ð } º Å S S ºº S º º Ö Ýµ µ 1 (1 1) 1 1 Å Ü ÑÙÑ ÓÚ Ö º È ³ Ë Ø ý º ºº ß ºº ºýº ¾

26 S S Ò ÇÈ Ì ý µ ô S Ò ÇÈ Ì º ý º ½ º ½ 1 Ò ÇÈ Ì 1 1 S µº º ý º ºº ß ºº ºýº ¾

27 ËÇÄ (1 (1 1 ) )Ò ÇÈ Ì (1 1 )Ò ÇÈ Ì ý µ ¹ 1 S µ (1 1 ) º 1 (1 1 ) º ý º ºº ß ºº ºýº ¾

28 º S µ º 1µ 1 (1 ) 1 1 Å Ü ÑÙÑ ÓÚ Ö º ý º ºº ß ºº ºýº ¾

29 ÌÖ Ú Ð Ò Ë Ð Ñ Ò ÈÖÓ Ð Ñ ÌËÈµ (Î ) º À Ñ ÐØÓÒ ÝÐ µº ý º ºº ß ºº ºýº ¾

30 ¹ ÌËÈ º ÌËÈ «(Ò) Ò = Î «(Ò) È = ÆÈº ý º ý À Ñ ÐØÓÒ ÝÐ º ½ «(Ò) Òº ý À Ñ ÐØÓÒ ÌËÈ Ò ý À Ñ ÐØÓÒ ÌËÈ «(Ò) Òº ý º ºº ß ºº ºýº ¾

31 ý µ Ô ÁÒØÖÓ Ù Ò Ê ÙØ ÓÒ µ Π Π Á Π Á = (Á) Π µ «Á Ý ³¹ Ò Ø Ò ÇÈ Ì Π ý Π ) ) (Á (Á ý Á ÒÓ³¹ Ò Ø Ò Π ÇÈ Ì Π (Á ) «( Á ) (Á )º º ý Π ÆÈ¹ÓÑÔÐ Ø «Π Π Π «( Á ) ³ È ÆÈº ý º ºº ß ºº ºýº ¼

32 ý µ Ô ÁÒØÖÓ Ù Ò Ê ÙØ ÓÒ µ Π Π Á Π Á = (Á) Π µ «Á Ý ³¹ Ò Ø Ò ÇÈ Ì Π ý Π ) ) (Á (Á ý Á ÒÓ³¹ Ò Ø Ò Π ÇÈ Ì Π (Á ) «( Á ) (Á )º ý º ºº ß ºº ºýº ½

33 Å ØÖ ÌËÈ º ÆÈ¹ÓÑÔÐ Ø µ Å ØÖ ÌËÈ þ Ì º Ì º þ ÙÐ Ö Ì º ÓÖØ¹ÙØØ Ò µº ¾¹ Ó Ø( ) Ó Ø( Ì ) 2Ó Ø(Ì) 2ÇÈ Ì ý º ºº ß ºº ºýº ¾

34 3 ¹ Å ØÖ ÌËÈ 2 Ö ØÓ ³ Ð ÓÖ Ø Ñµ þ ÙÐ Öº þ ÙÐ Ö Ò ÓÑÔÐ Ø ÓÒ Ì Ô Ö Ø Ñ Ø Ò Å Ì º 3 2 ¹ Ó Ø(Å) 1 Ì ÓÖØ¹ÙØØ Ò ÇÈ 2 Ì º Ó Ø( ) Ó Ø( Ì Å ) = Ó Ø(Ì)+Ó Ø(Å) 3 2 ÇÈ Ì ý º ºº ß ºº ºýº

35 Å ØÖ ÌËÈ ( Ø) Ô Ø ËÇÄ 1 2ÇÈ Ì Ø Ø ¾ Ø À Ñ ÐØÓÒ Ô Ø Øº 5 3 ¹ Å ØÖ ÌËÈ ( Ø) Ô Ø ½º þ Ì º Ì º ý ( Ø)¹Ô Ø º þ ( Ø)¹ ÙÐ Ö Ô Ø È Ø ÓÖØ¹ÙØØ Ò ( Ø)¹À Ñ ÐØÓÒ Ô Ø ¾º ÙÐ Ö Ò ÓÑ¹ ÔÐ Ø ÓÒ ( Ø)¹ ÙÐ Ö Ô Ø ÓÖØ¹ÙØØ Ò µ ( Ø)¹ ý º ºº ß ºº ºýº

36 min{ëçä 1 ËÇÄ 2 } 5 3 ÇÈ Ì Ø À Ñ ÐØÓÒ Ô Ø ËÇÄ 2 (3ÇÈ Ì Ø + Ø ) 2 ý 5 3 ¹ ý º ºº ß ºº ºýº

37 ËØ Ò Ö ÌÖ (Î ) ËØ Ò Öº º Å ØÖ ËØ Ò Ö ÌÖ º ý º ºº ß ºº ºýº

38 ý ÌÖ Å ØÖ ËØ Ò Ö ÌÖ º ËØ Ò Ö ËØ Ò Ö ÌÖ Å ØÖ ËØ Ò Ö ÌÖ º ¹ Å ØÖ ÌÖ ¹ ËØ Ò Ö ËØ Ò Ö ÌÖ º ý º ºº ß ºº ºýº

39 ËØ Ò Ö ÌÖ ÔÜ ÔÖ Å ØÖ ËØ Ò Ö ÌÖ º Ñ ØÖ ÐÓ ÙÖ µº º ÇÈ Ì(Á ) ÇÈ Ì(Á) µ Á ËÇÄ(Á ) Á ËÇÄ(Á) ËÇÄ(Á ) º ËÇÄ(Á) ËÇÄ(Á ) ÇÈ Ì(Á ) ÇÈ Ì(Á) ÇÈ Ì(Á) = ÇÈ Ì(Á ) º ý º ºº ß ºº ºýº

40 ý ÔÔÖÓÜ Ñ Ø ÓÒ ØÓÖ ÈÖ ÖÚ Ò Ê ÙØ ÓÒ µ Π Π Á Π Á = (Á) Π Á Á ÇÈ Ì(Á ) ÇÈ Ì(Á) Ë Á ËÇÄ(Á Ë ) Ë = (Ë ) Á ËÇÄ(Á Ë) ËÇÄ(Á Ë )º º Π Π ¹ Π ¹ Πº ý º ºº ß ºº ºýº

41 Å ØÖ ËØ Ò Ö ÌÖ ËØ Ò Ö ÌÖ µ Å ØÖ ËØ Ò Ö ÌÖ ÌËÈ Å ØÖ ËØ Ò Ö ÌÖ Ê ÓÖØ¹ÙØØ Ò ¾¹ ý ÒÓ ¹ Ò Ù µ Êµº ÙÐ Öµº Ì Ê 2 ÇÈ Ì º ý Ó Ø(ÅËÌ Ê ) Ó Ø(Ì Ê) 2 ÇÈ Ì ý º ºº ß ºº ºýº ¼

42 ÅÙÐØ Û Ý ÙØ» Å Ò ÑÙÑ ¹ ÙØ Ñ Ò¹ÙØ Ñ Ü¹ ÓÛ» Ñ Ò¹ÙØµ ÅÙÐØ Û Ý ÙØ Ø ÖÑ ¹ Ò Ð µº Ø ÖÑ Ò Ð ÓÒÒ Ø ÓÑÔÓÒ ÒØµº ÆÈ¹ Ö Ü 3º = 2 Å Ò ÑÙÑ ¹ ÙØ º Ü ÆÈ¹ Ö º ý º ºº ß ºº ºýº ½

43 ý ÅÙÐØ Û Ý ÙØ ÓÐ Ø Ò ÙØ Ø ÖÑ Ò Ð º ÙØ º º ô Î 1 Î º ý ¹ Î ÓÐ Ø Ò ÙØ º Û( ) Û( )º =1 Û( ) = 2Û( ) = 2ÇÈ Ì ý º ºº ß ºº ºýº ¾

44 Û( ) Û( (1 1 ) ) (1 1 ) =1 =1 Û( ) = 2(1 1 )ÇÈ Ì ý º ºº ß ºº ºýº

45 ÓÒ ØÖÙØ ØÖ Ì Û Ø ÙÒ ÕÙ ÒÓ Ø Ø Ë ½º 0 Î = Û Ð Ø Ö Ë ºØº Ë 2 Ó ¾º ØÛÓ Ò Ë Ý Ü Ý ÓÓ Ú ÖØ Ü Ý ÙØ Ò Û Ø Ù ØÖ Ó Ë Ò Ì Ñ Ò ÑÙÑ ÓÑÔÙØ Û Ø ÕÙ Ð ØÓ Ø Ø Ó Ø ÙØ Û Ø Ù ØÖ Ó Ë Ò Ì ØÓ Ë Ü ÓÖ Ë Ý ÓÖ Ò ØÓ Ø ÙØ Ø µ ÑÙÐØ Û Ý ÙØ º ºº ß ºº ºýº ý ý Å Ò ÑÙÑ ¹ ÙØ ½º ÓÑÔÙØ ÓÑÓÖÝ¹ÀÙ ØÖ Ì º ¾º ÇÙØÔÙØ Ø ÙÒ ÓÒ Ó ÙØ ÓÖÖ ÔÓÒ Ò ØÓ Ð Ø Ø 1 Ó Ì º ÓÑÓÖÝ¹ÀÙ (Ù Ú) (Ù Ú)¹ÙØµ ÓÐÐ Ô µ Ë ÓÖ Ò ÐÝ ØÓ Ë Ü ËÝ ÔÐ Ø Û Ø Ò ØÛ Ò Ø Ñ

46 2(1 1 )ÇÈ Ì º ý º ºº ß ºº ºýº

47 Χρηματοδότηση Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό έχει αναπτυχθεί στα πλαίσια του εκπαιδευτικού έργου του διδάσκοντα. Το έργο «Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα» του ΕΜΠ έχει χρηματοδοτήσει μόνο την αναδιαμόρφωση του υλικού. Το έργο υλοποιείται στο πλαίσιο του Επιχειρησιακού Προγράμματος «Εκπαίδευση και Δια Βίου Μάθηση» και συγχρηματοδοτείται από την Ευρωπαϊκή Ένωση (Ευρωπαϊκό Κοινωνικό Ταμείο) και από εθνικούς πόρους.

Σχετικά έγγραφα

Ανώτερα Μαθηματικά ΙI

Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Αθήνας Ανώτερα Μαθηματικά ΙI Ενότητα 2: Αναλυτική Γεωμετρία Αθανάσιος Μπράτσος Τμήμα Πολιτικών Μηχ.ΤΕ και Μηχ. Τοπογραφίας & Γεωπληροφορικής