2) Ομογενής δίσκος μάζας m και ακτίνας R κυλίεται χωρίς να ολισθαίνει πάνω σε οριζόντιο

Transcript

1 - 1 - Επώνυμο.. Όνομα.. Αγρίνιο 22/3/2015 Ζήτημα 1 0 Να επιλεγεί η σωστή πρόταση 1) Ομογενής δίσκος μάζας m και ακτίνας R κυλίεται χωρίς να ολισθαίνει πάνω σε οριζόντιο επίπεδο. Ο δίσκος στρέφεται γύρω από νοητό άξονα που περνά από το κέντρο μάζας του, είναι άξονας συμμετρίας και δεν αλλάζει ο προσανατολισμός του κατά την κίνηση του σώματος.τότε : α) Κατά την κίνηση του σώματος δεν μπορεί να εφαρμοστεί ο θεμελιώδης νόμος Νεύτωνα της στροφικής κίνησης. β) Κατά την κίνηση του σώματος δεν μπορεί να εφαρμοστεί ο θεμελιώδης νόμος Νεύτωνα για την μεταφορική κίνηση. γ) Τα σημεία του δίσκου από τα οποία περνά ο νοητός άξονας περιστροφής θα περιστρέφονται και ταυτόχρονα θα μεταφέρονται. δ) Κατά την κίνηση του σώματος μπορεί να εφαρμοστεί ο θεμελιώδης νόμος της στροφικής κίνησης. (5 Mόρια ) 2) Ομογενής δίσκος μάζας m και ακτίνας R κυλίεται χωρίς να ολισθαίνει πάνω σε οριζόντιο επίπεδο. Ο δίσκος στρέφεται γύρω από νοητό άξονα που περνά από το κέντρο μάζας του, είναι άξονας συμμετρίας και δεν αλλάζει ο προσανατολισμός του κατά την κίνηση του σώματος.αν υ cm είναι η ταχύτητα του κέντρου μάζας του σώματος, αν (υ cm 2 3 )το μέτρο της ταχύτητας σημείου της περιφέρειας του δίσκου, τότε: α) Το σημείο με την παραπάνω ταχύτητα βρίσκεται σε ύψος h = R από το οριζόντιο δάπεδο. β) Το σημείο βρίσκεται σε τέτοιο ύψος ώστε η γραμμική με την μεταφορική ταχύτητα του σημείου να σχηματίζουν γωνία γ) Το σημείο βρίσκεται σε τέτοιο ύψος h = 2 R από το οριζόντιο επίπεδο. δ) Το σημείο βρίσκεται σε τέτοιο ύψος ώστε η γραμμική με την μεταφορική ταχύτητα του σημείου να σχηματίζουν γωνία (5 Mόρια ) 3) Υλικό σημείο μάζας m διαγράφει οριζόντια κυκλική τροχιά ακτίνας r με ταχύτητα σταθερού μέτρου υ. Η στροφορμή του σώματος ως προς τον άξονα που είναι κάθετος στο επίπεδο περιστροφής και περνά από το κέντρο της τροχιάς : α) Έχει μέτρο L = m.ω.r. β) Έχει την ίδια κατεύθυνση με αυτή της γραμμικής ταχύτητας. γ) Έχει μονάδα μέτρησης το 1Kg.m 2 /sec δ) Έχει μονάδα μέτρησης το 1Kg.m 2 /sec 2. (5 Mόρια ) 4) Στο διπλανό σχήμα φαίνεται μια διπλή τροχαλία που αποτελείται από δύο ομόκεντρους ομογενείς δίσκους με ακτίνες R 1 και R 2 με R 1 < R 2 και μάζες Μ 1, Μ 2. Οι δύο δίσκοι συνδέονται μεταξύ τους έτσι, ώστε να περιστρέφονται ως ένα σώμα, χωρίς τριβές, γύρω από σταθερό άξονα ο οποίος

2 - 2 - διέρχεται από το κέντρο τους και είναι κάθετος στο επίπεδο τους. Στα δύο αυλάκια των δίσκων της τροχαλίας έχουμε τυλίξει αβαρή, μη εκτατά νήματα, στα ελεύθερα άκρα των οποίων έχουμε δέσει δύο σώματα με μάζες m 1 και m 2. Αρχικά το σύστημα τροχαλία - σώματα κρατείται ακίνητο. Αφήνουμε το σύστημα ελεύθερο και αυτό κινείται δεξιόστροφα.τότε : α) Όσο είναι το μήκος του σχοινιού που ξετυλίγει από τον ένα δίσκο, τόσο θα είναι το μήκος του σχοινιού που θα τυλίγει στον άλλο. β) Σε χρόνο Δt η γωνία που διαγράφεται από τον δίσκο ακτίνας R 2 θα είναι μεγαλύτερη της γωνίας που διαγράφεται από το δίσκο ακτίνας R 1. γ) To μέτρο της ροπής της δύναμης W 2 θα είναι μεγαλύτερο του μέτρου της ροπής της δύναμης W 1 δ) To μέτρο της ροπής της δύναμης W 1 θα είναι μεγαλύτερο του μέτρου της ροπής της δύναμης W 2 ( 5 Mόρια ) 5) Σε ένα υποθετικό σενάριο που οι πάγοι της Γης θα λιώσουν η στάθμη των θαλασσών θα ανέβει.αμετάβλητη τότε θα παραμείνει : α) Η ροπή αδράνειας της Γής γύρω από τον άξονα περιστροφής. β) Η γωνιακή ταχύτητα της Γης γύρω από τον άξονα περιστροφής της. γ) Η στροφορμή της Γής γύρω από τον άξονα περιστροφής της. δ) Η περίοδος περιστροφής της Γης γύρω από τον άξονα της. ( 5 Mόρια ) Ζήτημα 2 0 Α) Να επιλέξετε και να αιτιολογείστε τη σωστή πρόταση. 1) Ο κατακόρυφος δίσκος του σχήματος μπορεί να στρέφεται χωρίς τριβές γύρω από οριζόντιο άξονα που περνά από το κέντρο του (Ο) και είναι κάθετος σ αυτόν. Ο δίσκος στρέφεται δεξιόστροφα με σταθερή γωνιακή ταχύτητα (ω) και συγκρούεται με σώμα μάζας m το οποίο κινείται οριζόντια με ταχύτητα υ 0.Η διεύθυνση της ταχύτητα του σώματος είναι κάθετη στην κατακόρυφη διάμετρο του δίσκου, όπως φαίνεται στο σχήμα,η κρούση είναι πλαστική και το σώμα σφηνώνεται σε σημείο της περιφέρειας του δίσκου. Αν το σώμα κινείται όπως φαίνεται στην περίπτωση (α), αμέσως μετά την κρούση το σύστημα έχει γωνιακή ταχύτητα ω 1 και συνεχίζει να κινείται δεξιόστροφα. Αν το σώμα κινείται όπως φαίνεται στην περίπτωση (β), αμέσως μετά την κρούση το σύστημα έχει γωνιακή ταχύτητα ω 2. Αν οι αποστάσεις (ΟΛ) και (ΟΚ) είναι ίσες, αν ω 2 = 2ω 1, τότε για τα μέτρα των στροφορμών του δίσκου και του σώματος πρίν τη κρούση ως προς τον άξονα του δίσκου θα είναι: α) L Δίσκου = L Σώματος.

3 - 3 - β) L Δίσκου = 3L Σώματος. γ) L Δίσκου = 2L Σώματος. (Θεωρείστε ως θετική φορά τη φορά περιστροφής του δίσκου πρίν τη κρούση ) (5Mόρια ) 2) Ομογενής τροχαλία μάζας m και ακτίνας R βρίσκεται ακίνητη πάνω σε λείο οριζόντιο επίπεδο. Στο αυλάκι της τροχαλίας έχουμε τυλίξει αβαρές νήμα στο άκρο (Ζ) του οποίου ασκούμε τη χρονική στιγμή t = 0 οριζόντια δύναμη F σταθερού μέτρου,όπως φαίνεται στο σχήμα.καθώς το σχοινί ξετυλίγει η τροχαλία περιστρέφεται και ταυτόχρονα μεταφέρεται.τότε : Α) Για την επιτάχυνση του κέντρου μάζας της τροχαλίας και τη γωνιακή επιτάχυνση θα ισχύει : α 1 ) α cm = α γ.r α 2 ) α cm = 2α γ.r α 3 ) α cm = ½ (α γ.r) Β) Μετά από χρόνο κίνησης t για την ταχύτητα του σημείου (Λ) θα ισχύει : β 1 ) υ (Λ) = 2υ cm β 2 ) υ (Λ) = υ cm β 3 ) υ (Λ) = 3υ cm Γ) Για το μήκος του σχοινιού που ξετυλίγει και τη μετατόπιση του κέντρου μάζας θα ισχύει : γ 1 ) L (Ξετυλίγει) = ΔΧ cm γ 2 ) L (Ξετυλίγει) = 2ΔΧ cm γ 3 ) L (Ξετυλίγει) = 3ΔΧ cm. Δίνεται Ι cm =1/2.m.R 2. (8Mόρια ) 3) Η λεπτή ομογενής ράβδος ΑΒ του διπλανoύ σχήματος έχει μάζα Μ= 3m, μήκος L και περιστρέφεται με γωνιακή ταχύτητα μέτρου ω (αρχ) γύρω από κατακόρυφο άξονα yy' που διέρχεται από το μέσο της και είναι κάθετος σ' αυτή. Με τη βοήθεια δύο νημάτων συγκρατώνται στη ράβδο δύο δακτύλιοι ίσης μάζας m 1 =m 2 =m, που θεωρούνται ως υλικά σημεία, απέχοντας ο καθένας από το μέσο της ράβδου απόσταση d = 4 L Aν η ροπή αδράνειας της ράβδου ως προς τον άξονα περιστροφής της είναι Ιcm = 1 12 M. L 2 και τη χρονική στιγμή t = 0sec κόψουμε ταυτόχρονα τα δυο νήματα οι δυο δακτύλιοι συγκρατούνται τελικά στα άκρα Α και Β της ράβδου. Α) Για την αρχική και τελική ροπή αδράνειας του συστήματος θα ισχύει :

4 - 4 - α 1 ) 2 α 2 ) 1 α 3 ) 3 Β) Για την τελική και την αρχική γωνιακή ταχύτητα θα ισχύει : ( ) β 1 ) =2 β 2 ) β 3 ) =1/2 =1 (7 Mόρια ) Β) Να απαντήστε με σωστό ή λάθος. 1) Το κέντρο μάζας στερεού μπορεί να είναι σημείο το οποίο βρίσκεται εκτός της μάζας του σώματος. (1 Mόριο ) 2) Αν ένα στερεό σώμα στρέφεται γύρω από ακλόνητο άξονα περιστροφής, όλα τα σημεία που στρέφονται θα έχουν την ίδια γωνιακή ταχύτητα. (1 Mόριο ) 3) Αν η συνισταμένη των δυνάμεων που ενεργούν σε σώμα είναι μηδέν, τότε η στροφορμή του παραμένει σταθερή. (1 Mόριο ) 4) 1 Το spin των στοιχειωδών σωματιδίων εκφράζεται ως ( ). (1 Mόριο ) 2 5) Αν ένα σώμα στρέφεται γύρω από άξονα περιστροφής που περνά από το κέντρο μάζας του η ροπή αδράνειας του θα είναι η μικρότερη δυνατή. (1 Mόριο ) Ζήτημα 3 0 Η κατακόρυφη τροχαλία ακτίνας r = 0,25m του σχήματος μπορεί να στρέφεται γύρω από σταθερό οριζόντιο άξονα που διέρχεται από το κέντρο της και είναι κάθετος στο επίπεδο της. Από την περιφέρεια της τροχαλίας διέρχεται αβαρές, μη εκτατό νήμα στο ένα άκρο του οποίου έχουμε προσδέσει σώμα Σ 1 μάζας m 1 = 1Kg. Το άλλο άκρο του νήματος είναι τυλιγμένο πολλές φορές στο αυλάκι κατακόρυφου ομογενή δίσκου 32 μάζας M Δίσκου = Κg και ακτίνας R. 3

5 - 5 - Αρχικά το σύστημα κρατείται ακίνητο και αφήνεται ελεύθερο να κινηθεί την χρονική στιγμή t = 0sec.Κατά την κίνηση του συστήματος το νήμα δεν ολισθαίνει στην τροχαλία και στο αυλάκι του δίσκου, ο δίσκος κυλίεται χωρίς να ολισθαίνει στο οριζόντιο επίπεδο και το σώμα Σ 1 κινείται κατακόρυφα. Αν το μέτρο της τάσης του νήματος που δέχεται το σώμα Σ 1 είναι Τ 1 = 8Ν, τότε : α) Να βρεθεί η επιτάχυνση με την οποία κατέρχεται το σώμα Σ 1, καθώς και η επιτάχυνση του κέντρου μάζας του δίσκου.( 6Μόρια) β) Να βρεθεί το μέτρο της δύναμης στατικής τριβής που δέχεται ο δίσκος από το οριζόντιο επίπεδο, καθώς και το μέτρο της τάσης του νήματος που δέχεται ο δίσκος.. ( 6Μόρια) γ) Να βρεθεί η ροπή αδράνειας της τροχαλίας ως προς τον άξονα περιστροφής της, καθώς και η γωνιακή της ταχύτητα την t = 5sec.( 7Μόρια) δ) Να βρεθεί το μέτρο της δύναμης που δέχεται η τροχαλία από τον άξονα περιστροφής της.( 6Μόρια). Δίνεται η ροπή αδράνειας του δίσκου ως προς άξονα που είναι κάθετος στο επίπεδο του και περνά από το κέντρο μάζας του Ι CM = ½.MR 2, g = 10m/sec 2. Ζήτημα 4 0 Α) Ομογενής και ισοπαχής ράβδος (ΟΑ) μήκους L = 1m και μάζας M Ράβδου =2,5Kg μπορεί να περιστρέφεται γύρω από ακλόνητο οριζόντιο άξονα που περνά από το άκρο της (Ο) χωρίς τριβές. Η ράβδος διατηρείται οριζόντια με τη βοήθεια στηρίγματος το οποίο απέχει από το άκρο της (Α) απόσταση d 1 = L/4. Θεωρούμε ότι ανάμεσα στη ράβδο και το στήριγμα δεν αναπτύσσεται τριβή. Πάνω στην ράβδο και σε απόσταση d 2 = L/4 από το άκρο (Ο) θεωρούμε διπλή ομογενή τροχαλία συνολικής μάζας Μ = 4Kg η οποία αποτελείται από δυο ομόκεντρους δίσκους με ακτίνες R 1 = R, R 2 = 2R αντίστοιχα με R = 0,1m. Οι δυο δίσκοι είναι κολλημένοι ο ένας πάνω στον άλλο,το κοινό κέντρο των δυο δίσκων είναι το σημείο Κ και η ροπή αδράνειας της διπλής τροχαλίας ως προς το κέντρο (Κ) είναι CM = M.R 2. α 1 ) Αν το σύστημα της ράβδου με τη διπλή τροχαλία ισορροπεί, να βρεθεί το μέτρο της δύναμης που δέχεται η ράβδος από το στήριγμα.( 5Μόρια) Β) Ο δίσκος με την μεγάλη ακτίνα φέρει αυλάκι στο οποίο έχουμε τυλίξει αβαρές και μη εκτατό νήμα μεγάλου μήκους Τη χρονική στιγμή t = 0sec ασκούμε στο άκρο (Γ) του σχοινιού οριζόντια δύναμη σταθερού μέτρου F = 5N, όπως φαίνεται στο σχήμα.η τροχαλία στη συνέχεια κυλίεται χωρίς να ολισθαίνει γύρω από τον άξονα της, ο προσανατολισμός του οποίου δεν αλλάζει κατά τη διάρκεια της κίνησης και το σχοινί δεν ολισθαίνει στο αυλάκι της τροχαλίας.

6 - 6 - β 1 ) Να βρεθεί η επιτάχυνση με την οποία κινείται το κέντρο μάζας της τροχαλίας και το μέτρο της δύναμης στατικής τριβής.( 5Μόρια) β 2 ) Να βρεθεί η χρονική στιγμή που η τροχαλία φτάνει στο μέσο της ράβδου, καθώς και η στροφορμή της τότε ως προς τον άξονα περιστροφής της..( 5Μόρια) β 3 ) Από τη χρονική στιγμή t = 0sec και μέχρι η τροχαλία να φτάσει στο μέσο της ράβδου να βρεθεί η χρονική εξίσωση που δίνει τα μέτρα των συνιστωσών δυνάμεων που δέχεται η ράβδος από τον άξονα περιστροφής της (F (Aρθ,χ) - t, F (Aρθρ,ψ) -t) και να γίνει η αντίστοιχη γραφική παράσταση των παραπάνω σχέσεων.( 5Μόρια) Γ) Απομακρύνουμε την τροχαλία από τη ράβδο και δένουμε ακλόνητα το άκρο (Γ) του σχοινιού σε οροφή.τη χρονική στιγμή t = 0sec αφήνουμε την τροχαλία ελεύθερη να κινηθεί.η τροχαλία καθώς κινείται προς τα κάτω μεταφέρεται και περιστρέφεται γύρω από άξονα που είναι κάθετος στο επίπεδο της,περνά από το κέντρο μάζας της και δεν αλλάζει ο προσανατολισμός του. γ 1 ) Τη χρονική στιγμή t = 1sec να βρεθεί το μέτρο της ταχύτητας σημείου περιφέρειας που βρίσκεται στο άκρο κατακόρυφης διαμέτρου και στον δίσκο ακτίνας 2R..( 5Μόρια) Δίνεται g = 10m/sec 2.!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!Καλή επιτυχία!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!