Αλγόριθμοι. Μάρθα Σιδέρη. epl333 lect

Transcript

1 Αλγόριθμοι Μάρθα Σιδέρη epl333 lect

2 Τι είναι αλγόριθμος?? ιαδικασία για να λύνουμε υπολογιστικά προβλήματα. Βήμα βήμα σαφής διαδικασία επίλυσης προβλήματος (μετασχηματισμού της εισόδου στην επιθυμητή έξοδο). ηλαδή τα πάντα σχετικά με την Επιστήμη μας? epl333 lect

3 Τι κάνουμε στο μάθημα αυτό Τι σημαίνει καλός αλγόριθμος. Τι σημαίνει «καλός» διαισθητικά: Όταν υλοποιηθεί, να κάνει τη δουλειά που θέλουμε σωστά και γρήγορα για τις εισόδους που παρουσιάζονται στην πράξη. Πριν υλοποιηθεί, ανεξαρτήτως γλώσσας και επεξεργαστή Πως αποδεικνύουμε ότι είναι ορθός? Πως μετράμε το γρήγορα...ασυμπτωτικός συμβολισμός εν μπορούμε πάντα να προβλέψουμε, εξετάζουμε τη χειρότερη περίπτωση εισόδου (worst case) epl333 lect

4 Μας δίνουν ένα πρόβλημα. Πως το λύνουμε, πως κατασκευάζουμε αλγόριθμο? Περιμένουμε επιφοίτηση... Μήπως είναι παραλλαγή κάποιου από τους πολύ βασικούς? (το πιο συνηθισμένο στην πράξη, πάντα στις εξετάσεις...) ) ιδασκαλία πολλών βασικών αλγορίθμων. Πως αφαιρούμε από το πρόβλημα τα περιττά... Αν δεν είναι παραλλαγή γνωστού, πώς αρχίζουμε να σκεφτόμαστε? Κατηγορίες αλγορίθμων Αν δεν υπάρχει καλός αλγόριθμος? ύσκολα- εύκολα προβλήματα (πως τα αναγνωρίζουμε) epl333 lect

5 Ποίοι είναι ο πρώτοι αλγόριθμοι που μαθαίνουμε? Πρόσθεση πολλαπλασιασμός. δεκάδες 75 μονάδες Θεσιακό σύστημα (positional system) Mayan Indians πριν 2000 χρόνια. Τι κάνει τον αλγόριθμο αυτό εύκολο? Ποιος σκέφτηκε τους αλγόριθμους αυτούς? Al-Khwarizmi, 750 μχ Περσία epl333 lect

6 Όλα αυτά δεν είναι αυτονόητα?? Όχι στους σοφούς Αρχαίους Έλληνες : τξθ,, 309: τθ Η στους Ρωμαίους :CCCLXIX + 244:CCXLIV = 2175:DCXIII epl333 lect

7 Ας μιλήσουμε λίγο τη γλώσσα που θα χρησιμοποιούμε στο μάθημα αυτό. 75 Πόσο γρήγορος είναι ο αλγόριθμος του Πρόσθεση και πολλαπλασιασμός: 2 αριθμοί x και y, n bits ο καθένας. Μήκος αποτελέσματος πράξης: Πρόσθεση n+1 Πολλαπλασιασμός 2n epl333 lect

8 Πρόσθεση και πολλαπλασιασμός: x και y, n bits ο καθένας Πόσο γρήγορη είναι η πράξη? Πρόσθεση, αποτέλεσμα n+1 On ( ) Γίνεται καλύτερα; ΟΧΙ! Πολλαπλασιασμός, αποτέλεσμα 2 On ( ) 2n Γίνεται καλύτερα; NAI epl333 lect

9 Παρουσίαση ενός άλλου αλγόριθμου πολ/σμου repeat ιαίρεσε τον πρώτο αριθμό με 2 (πέταξε τα δεκαδικά ψηφία) Πολλαπλασίασε τον δεύτερο με 2 until ο πρώτος γίνει 1 ιάγραψε τις σειρές, στις οποίες ο πρώτος είναι άρτιος Πρόσθεσε τις σειρές του δεύτερου που δεν διαγράφηκαν. epl333 lect

10 Παράδειγμα διαιρώ/2 29 πολ/ζω x epl333 lect

11 Ερωτήματα που θα εξετάζουμε για κάθε αλγόριθμο Τερματίζει; Είναι ορθός; Είναι γρήγορος; Πόσο μεγαλύτερη είναι η παράσταση στο δυαδικό από την παράσταση στο δεκαδικό? 75 (2 ψηφία) -> (7 ψηφία) τι συμβαίνει γενικά? Πόση μνήμη; epl333 lect

12 Στον πρώτο μας αλγόριθμο 2 φορές χρησιμοποιήσαμε την έννοια log log 2 Πόσα ψηφία χρειαζόμαστε για να παραστήσουμε αριθμό x σε βάση base log a log b c a / log log n log n log 10 c log base x b epl333 lect

13 Ένα πρόβλημα που (θα) άκουτε συνέχεια... TSP traveling salesman problem: πρόβλημα περιοδεύοντος πωλητή Στιγμιότυπο:Σημεία-πόλεις, αποστάσεις μεταξύ κάθε ζεύγους, αρχική πόλη Ζητούμενο: συντομότερη διαδρομή που ξεκινά και καταλήγει στην αρχική και περνά από όλες τις πόλεις epl333 lect

14 Στιγμιότυπο TSP... epl333 lect

15 Να βρεθεί ένας γρήγορος αλγόριθμος που να το λύνει. Πιστεύουμε ότι αυτό είναι αδύνατο... Αλλά γιατί δεν δοκιμάζουμε να πάμε κάθε φορά στην πόλη που είναι πιο κοντά μέχρι να περάσουμε από όλες? Ο αλγόριθμος τερματίζει και είναι γρήγορος! εν είναι ορθός, δεν έχει πάντα το αποτέλεσμα που θέλουμε epl333 lect

16 Πρόβλημα περιοδεύοντος πωλητή: αλγόριθμος πλησιέστερου γείτονα = =64 εν είναι ορθός. Απόδειξη με Αντιπαράδειγμα epl333 lect

17 Θέλουμε οι αλγόριθμοί μας να τρέχουν γρήγορα! Εξετάζουμε τη χειρότερη περίπτωση. Τον μεγαλύτερο χρόνο που κάνει ο αλγόριθμος για όλες τις εισόδους μεγέθους n και πως μεταβάλλεται ο χρόνος αυτός με το n Πώς κάνουμε την έννοια «γρήγορος αλγόριθμος» κάτι πιο συγκεκριμένο??? Υπάρχει πάντα ο αλγόριθμος λό να ψάξουμε όλες τις δυνατές λύσεις. Πχ. Στο TSP να δοκιμάσουμε όλες τις διαδρομές που αρχίζουν και καταλήγουν στην αρχική πόλη. n! Ένας αλγόριθμος θεωρείται γρήγορος αν, όταν τον αναλύσουμε, είναι σημαντικά καλύτερος από το να ψάχναμε όλες τις λύσεις... epl333 lect

18 Σταθερός γάμος (stable marriage) Κάθε άνδρας βάζει σε σειρά προτίμησης όλες τις γυναίκες Κάθε γυναίκα βάζει σε σειρά προτίμησης όλους τους άνδρες Υπάρχει σταθερό ταίριασμα; Μπορούμε να το βρούμε γρήγορα; Σταθερό: κανένας να μην θέλει να αλλάξει Ποιο είναι το μήκος της εισόδου; n άνδρες, n γυναίκες 2 On ( ) epl333 lect

19 Αλγόριθμος: Gale Shapley 1962 (ο πρώτος μας ωραίος αλγόριθμος) WHILE υπάρχει άνδρας που είναι ελεύθερος και δεν έχει κάνει πρόταση σε όλες τις γυναίκες Διάλεξε έναν τέτοιο άνδρα m Έστω w η γυναίκα που προτιμάει περισσότερο από αυτές που δεν του έχουν δώσει ακόμα χυλόπιτα IF η w είναι ελεύθερη (m,w) αρραβωνιάζονται ELSE IF η w προτιμά τον αρραβωνιαστικό της m από τον m, o m παίρνει χυλόπιτα και παραμένει ελεύθερος ELSE δημιουργείται το ζευγάρι (m,w) και ο m γίνεται ελεύθερος. Έξοδος: Όλα τα ζευγάρια epl333 lect

20 Ερωτήματα Τερματίζει; Ναι, σε κάθε επανάληψη ένας άνδρας προτείνει σε μια νέα γυναίκα. Κάποτε τελειώνουν όλα τα n ζεύγη. Δεν υπάρχει περίπτωση ένας άνδρας να έχει κάνει πρόταση σε όλες τις γυναίκες και να είναι ελεύθερος (γιατί?). epl333 lect

21 Είναι ορθός; Ζευγαρώνουν όλοι (perfect matching) Με σταθερό τρόπο; Κανείς δεν έχει κίνητρο να αλλάξει Ναι, Μια γυναίκα, όταν αρραβωνιαστεί πρώτη φορά, δεν μένει ποτέ μόνη και έχει όλο και καλύτερους άνδρες. εν θέλει να αλλάξει γιατί έχει τον προτιμότερο από όσους της πρότειναν. Οι γυναίκες, στις οποίες προτείνει ένας άνδρας γίνονται όλο και χειρότερες. Ενόσω είναι ακόμα μόνος, υπάρχει κάποια γυναίκα, από την οποία δεν πήρε χυλόπιτα. εν θέλει να αλλάξει επειδή όλες οι προτιμότερες τον έχουν απορρίψει. epl333 lect

22 Είναι γρήγορος; 2 On ( ) Επαναλήψεις του while Πόσο χρόνο κάθε επανάληψη; Κάθε επανάληψη μπορεί να γίνει σε σταθερό χρόνο, αν φυλάξουμε έξυπνα τις πληροφορίες μας. Σταθερός χρόνος (δεν εξαρτάται από το n, δεν εξαρτάται από το πόσα ζευγάρια έχουμε) epl333 lect

23 Δομές δεδομένων! Παράδειγμα: WHILE υπάρχει άνδρας που είναι εεύθερος ελεύθερος Πως θα βρούμε έναν άνδρα που είναι ελεύθερος δίχως να τους εξετάσουμε όλους? (σε κάθε επανάληψη μπορεί να δημιουργηθεί κάποιος νέος ελεύθερος). Συνδεδεμένη λίστα (linked list). epl333 lect

24 Επιτυχίες Αλγόριθμοι συντακτικής ανάλυσης FFT ταχύς μετασχηματισμός Fourier Γραμμικός προγραμματισμός Ταξινόμηση Επεξεργασία συμβολοσειρών (string matching) Αριθμοθεωρίας, γεωμετρικοί, συμπίεσης. epl333 lect

25 Όλες οι πληροφορίες, ανακοινώσεις κ.λ.π. στο e-class aueb Γραφτείτε σήμερα!! epl333 lect

26 Βιβλιογραφία ιανομή : δύο βιβλία, εκ των οποίων επιλέγετε το ένα: 1. )S. Dasgupta, C.H. Papadimitriou, and U.V. Vazirani «Αλγόριθμοι» Κλειδάριθμος Για να αρχίσετε να διαβάζετε από τώρα το αγγλικό πρωτότυπο S. Dasgupta, C.H. Papadimitriou, and U.V. Vazirani "Algorithms" το οποίο υπάρχει online στο 2.) Thomas H. Cormen, Charles E. Leiserson, Ronald L. Rivest, Clifford Stein: ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟΥΣ ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΥΣ, Τόμος Ι Πανεπιστημιακές εκδόσεις Κρήτης. μετάφραση του "Introduction to Algorithms" (MIT Electrical Engineering and Computer Science Series) MIT Press epl333 lect

27 Επιπλέον βιβλιογραφία Jon Kleinberg, Eva Tardos: "Algorithm Design", Pearson, Addison Wesley Κυκλοφορεί και σε ελληνική μετάφραση ως «Σχεδιασμός Αλγορίθμων» Κλειδάριθμος Introduction to algorithms Udi Mamber The algorithm design manual S. Skiena..Web epl333 lect

28 Βιβλιογραφία συνέχεια... Για όσους θέλουν να μελετήσουν σε βάθος Υπολογιστική πολυπλοκότητα: C. H.Papadimitriou: Computational Complexity, Addison Wesley, Για όσους θέλουν να ασχοληθούν περισσότερο με προβλήματα που δεν ξέρουμε πως να λύσουμε γρήγορα: Michael R. Garey, David S. Johnson Computers and Intractability : A Guide to the Theory of Np- Completeness (Series of Books in the Mathematical Sciences) Freeman, epl333 lect

29 Φροντιστήρια Βαγγέλης ούρος (douros at aueb dot gr) Γιώργος Ζώης (georzois at aueb dot gr) Κούρουπας Γεώργιος (kouroupa -AT- aueb.gr) Ώρες ρςφροντιστηρίων (δύο τμήματα): ) Βαγγέλης ούρος Α' Τμήμα: ευτέρα 13:00-15:00 Αίθουσα Π Β' Τμήμα: Τετάρτη 13:00-15:00 23 epl333 lect

30 Πρόοδοι (προαιρετικές, πρέπει να δηλώσετε αν θέλετε να γράψετε μια πρόοδο μια εβδομάδα πριν την κάθε πρόοδο) 1η Πρόοδος: 31 Μαρτίου. 2η Πρόοδος: 18 Μαΐου. 20% του τελικού βαθμού κάθε πρόοδος epl333 lect

31 Προγραμματιστικές εργασίες (προαιρετικές σε ομάδες 2-3 ατόμων, εξετάζονται προφορικά) 4 Μαΐου : 1ο πρόγραμμα. 2 Ιουνίου: 2ο πρόγραμμα. 10% κάθε πρόγραμμα epl333 lect

32 Τελικός βαθμός Οι εργασίες και οι πρόοδοι είναι προαιρετικές Το ποσοστό προόδων μετράει μόνο αν ανεβάζουν την τελική βαθμολογία. Η βαθμολογία εργασιών είναι προσθετική. Για να περάσετε το μάθημα πρέπει προσέλθετε στο τελικό διαγώνισμα πάρετε βαθμό τουλάχιστον 3,5/10. epl333 lect

33 Ύλη στο e-class στα έγραφα, υπάρχει το αρχείο, Υλη προόδων και τελικών εξετάσεων Το οποίο ενημερώνω πριν και μετά από κάθε μάθημα εν θα δώσω σελίδες από συγγράμματα... epl333 lect

34 Επαναφορά στο μάθημα: Είναι φυσικό, για διάφορους λόγους να χάσετε μερικές διαλέξεις. Αν κάποιος θέλει να ξαναρχίσει να παρακολουθεί σε κάποιο σημείο του εξάμηνου, προσφέρω βοήθεια επαναφοράς: Μια συνάντηση που θα εξηγήσω τι είναι απαραίτητο από τα προηγούμενα για να γίνει κατανοητή η επόμενη διάλεξη. epl333 lect

35 Χρειάζομαι τις παρατηρήσεις σας!! Να απαντάτε στα ερωτηματολόγια στο e-class class... epl333 lect

36 Καλό εξάμηνο!! epl333 lect