(CLR, κεφάλαιο 32) Στην ενότητα αυτή θα µελετηθούν τα εξής θέµατα: Παραστάσεις πολυωνύµων Πολυωνυµική Παρεµβολή ιακριτός Μετασχηµατισµός Fourier

Transcript

1 Ταχύς Μετασχηµατισµός Fourier CLR, κεφάλαιο 3 Στην ενότητα αυτή θα µελετηθούν τα εξής θέµατα: Παραστάσεις πολυωνύµων Πολυωνυµική Παρεµβολή ιακριτός Μετασχηµατισµός Fourier Ταχύς Μετασχηµατισµός Fourier ΕΠΛ 3 Αλγόριθµοι και Πολυπλοκότητα 9-

2 Πολυώνυµα Ένα πολυώνυµο βαθµού - στη µεταβλητή είναι µια συνάρτηση p της µορφής p, Οι παράµετροι,,..., ονοµάζονται συντελεστές του πολυωνύµου p. ΕΠΛ 3 Αλγόριθµοι και Πολυπλοκότητα 9-

3 Πρόσθεση Πράξεις σε πολυώνυµα Αν p και q b τότε r p q c, c b Πολλαπλασιασµός Αν p και q b τότε s p q d, d b T Το διάνυσµα d λέγεται η συνέλιξη των διανυσµάτων, d,..., d,,..., και b., b,..., b Η κλασσική µέθοδος πολλαπλασιασµού δύο πολυωνύµων πολλαπλασιάζει κάθε όρο του p επί κάθε όρο του q και προσθέτει τα αποτελέσµατα. ΕΠΛ 3 Αλγόριθµοι και Πολυπλοκότητα 9-3

4 Πράξεις σε πολυώνυµα ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ Η κλασσική µέθοδος αποτελεί άµεση υλοποίηση του πολλαπλασιασµού δύο πολυωνύµων. ΕΠΛ 3 Αλγόριθµοι και Πολυπλοκότητα 9-4

5 Πράξεις σε πολυώνυµα Πόσο χρόνο παίρνει; δεδοµένου ότι µονάδα µέτρησης χρόνος είναι ο αριθµός στοιχειωδών αριθµητικών πράξεων µεταξύ των συντελεστών των πολυωνύµων. πολλαπλασιασµοί και προσθέσεις πράξεις για κάθε συντελεστή του γινοµένου πολυωνύµου, δηλαδή, συνολικά Θ Θα δούµε πως να κάνουµε πολλαπλασιασµό µε Ο² πράξεις µε χρήση FFT Fst Fourier Trsform, η Ταχύ Μετασχηµατισµό Fourier. ΕΠΛ 3 Αλγόριθµοι και Πολυπλοκότητα 9-5

6 Παραστάσεις Πολυωνύµων Παράσταση µε συντελεστές Ένα πολυώνυµο παριστάνεται ως το διάνυσµα που περιέχει τους συντελεστές του: H T p p,,...,. Πρόσθεση πολυωνύµων γίνεται σε χρόνος Θ. Πολλαπλασιασµός πολυωνύµων γίνεται σε χρόνο Θ² 3. Υπολογισµός της τιµής ενός πολυωνύµου p σε κάποιο σηµείο c γίνεται σε - προσθέσεις και - πολλαπλασιασµούς χρησιµοποιώντας τον κανόνα του Horer. p c c c... c c... ΕΠΛ 3 Αλγόριθµοι και Πολυπλοκότητα 9-6

7 Παραστάσεις Πολυωνύµων ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ p 7³ - ² 35 9 pc 9 c35 c- 7c Tικερδίζουµε µε τον κανόνα του Horer; O αριθµός των πολλαπλασιασµών πέφτει περίπου στο µισό από τον αριθµό των πολλαπλασιασµών που εξασφαλίζει η προφανής µέθοδος υπολογισµού του pc: ; p[]; for ; < ; c; c[][]; p pc[]; ΕΠΛ 3 Αλγόριθµοι και Πολυπλοκότητα 9-7

8 Παραστάσεις πολυωνύµων Παράσταση µε τιµές σε σηµεία Το πολυώνυµο p παριστάνεται µε ένα σύνολο από ζεύγη σηµείωντιµών,,,,...,, i τέτοια ώστε όλα τα είναι διάφορα µεταξύ τους και p, Ένα πολυώνυµο µπορεί να έχει πολλές διαφορετικές παραστάσεις µε τιµές σε σηµεία αλλά µόνο µια παράσταση µε συντελεστές. ΕΠΛ 3 Αλγόριθµοι και Πολυπλοκότητα 9-8

9 Παραστάσεις πολυωνύµων Mε παράσταση πολυωνύµων µε τιµές σε σηµεία µπορούµε να πετύχουµε:. Πρόσθεση πολυωνύµων σε χρόνο Θ {,,,,..., {, ',,',...,, {, ',, ',...,, '} '}. Πολλαπλασιασµό πολυωνύµων σε χρόνο Θ. 3. Υπολογισµό της τιµής ενός πολυωνύµου σε ένα καινούριο σηµείο σε χρόνο Θ² µε µετατροπή σε παράσταση συντελεστών και χρήση κανόνα του Horer., } ΕΠΛ 3 Αλγόριθµοι και Πολυπλοκότητα 9-9

10 Μετατρέποντας ανάµεσα στις δύο παραστάσεις Υπολογισµός παράστασης µε τιµές σε σηµεία από παράσταση µε συντελεστές ιάλεξε διαφορετικά σηµεία και υπολόγισε τις τιµές του πολυωνύµου σε αυτά µε τον κανόνα του Horer. Κόστος:Θ² Υπολογισµός παράστασης µε συντελεστές από παράσταση µε τιµές σε σηµεία Πολυωνυµική Παρεµβολή ΘΕΩΡΗΜΑ Για οποιοδήποτε σύνολο από ξεχωριστά ζεύγη σηµείων-τιµών {,,,,...,, } υπάρχει ένα µοναδικό πολυώνυµο βαθµού -, p, τέτοιο ώστε p, ΕΠΛ 3 Αλγόριθµοι και Πολυπλοκότητα 9-

11 ΕΠΛ 3 Αλγόριθµοι και Πολυπλοκότητα 9- Μετατρέποντας ανάµεσα στις δύο παραστάσεις ΑΠΟ ΕΙΞΗ Αφού έχουµε O πίνακας λέγεται πίνακας Vdermode., p ,..., V

12 ΕΠΛ 3 Αλγόριθµοι και Πολυπλοκότητα 9- Μετατρέποντας ανάµεσα στις δύο παραστάσεις Μπορεί να αποδειχθεί ότι Αφού όλα τα ζεύγη είναι διαφορετικά, D, συνεπώς ο V είναι αντιστρέψιµος και υπάρχει µοναδική λύση < V D,...,,...,, V

13 Αλγόριθµοι πολυωνυµικής παρεµβολής Αλγόριθµος Προσδιόρισε τα,,..., λύνοντας το σύστηµα στο προηγούµενο θεώρηµα µε αλγόριθµους επίλυσης γραµµικών συστηµάτων, κεφάλαιο 3. Χρόνος εκτέλεσης: Θ³ Αλγόριθµος Χρησιµοποιεί τον τύπο Lgrge: p Π Π ΕΠΛ 3 Αλγόριθµοι και Πολυπλοκότητα 9-3

14 ΕΠΛ 3 Αλγόριθµοι και Πολυπλοκότητα 9-4 Αλγόριθµοι πολυωνυµικής παρεµβολής ΛΗΜΜΑ ΑΠΟ ΕΙΞΗ Υπολογίζουµε τους όρους του αθροίσµατος χωρίζοντάς τους σε δύο κατηγορίες: Αν l αφού ο παράγοντας δηµιουργείται στον αριθµητή όταν ο δείκτης πάρει την τιµή l., l p l l l l p Π Π Π Π Π l l l

15 ΕΠΛ 3 Αλγόριθµοι και Πολυπλοκότητα 9-5 Αλγόριθµοι πολυωνυµικής παρεµβολής Aν l Έτσι ΘΕΩΡΗΜΑ Ο τύπος Lgrge µπορεί να χρησιµοποιηθεί για πολυωνυµική παρεµβολή σε χρόνο Θ². l l Π Π Π Π l l l l p

16 Ταχύς Μετασχηµατισµός Fourier O ταχύς µετασχηµατισµός Fourier µας επιτρέπει. στην παράσταση µε συντελεστές, πολλαπλασιασµό πολυωνύµων σε χρόνο Θ lg. στην παράσταση µε τιµές σε σηµεία, πολυωνυµική παρεµβολή σε χρόνο Θ lg ΕΠΛ 3 Αλγόριθµοι και Πολυπλοκότητα 9-6

17 Μιγαδικές ρίζες της µονάδας Μια µιγαδική -ιοστή ρίζα της µονάδας είναι ένας µιγαδικός αριθµός τέτοιος ώστε Υπάρχουν ακριβώς µιγαδικές -ιοστές ρίζες της µονάδας: πi e π π cos i si, Επαλήθευση: e πi e πi cos π i si π Συµβολισµός: Γράφουµε e πi ΕΠΛ 3 Αλγόριθµοι και Πολυπλοκότητα 9-7

18 Μιγαδικές ρίζες της µονάδας Γεωµετρική παράσταση των µιγαδικών ριζών της µονάδας στο µιγαδικό επίπεδο: Im i - Re -i ΕΠΛ 3 Αλγόριθµοι και Πολυπλοκότητα 9-8

19 Ιδιότητες των µιγαδικών ριζών της µονάδας. Για οποιουσδήποτε ακέραιους,, d>, ΑΠΟ ΕΙΞΗ d d πid πi d d e d e. Για οποιοδήποτε άρτιο ακέραιο >, ΑΠΟ ΕΙΞΗ / e πi e πi ΕΠΛ 3 Αλγόριθµοι και Πολυπλοκότητα 9-9

20 Ιδιότητες των µιγαδικών ριζών της µονάδας 3. Ιδιότητα µοιράσµατος Για οποιοδήποτε άρτιο ακέραιο >, τα τετράγωνα των µιγαδικών -ιοστών ριζών της µονάδας είναι οι / µιγαδικές /-ιoστές ρίζες της µονάδας. ΑΠΟ ΕΙΞΗ Από την ιδιότητα για οποιοδήποτε µη αρνητικό ακέραιο. / Επίσης / ηλαδή, οι µιγαδικές -ιοστές ρίζες και έχουν το ίδιο τετράγωνο που είναι η µιγαδική -ιοστή ρίζα της µονάδας. Αφού όλες οι /-ιοστές ρίζες της µονάδας είναι διάφορες µεταξύ τους, συµπεραίνουµε ότι η ιδιότητα ισχύει. / / ΕΠΛ 3 Αλγόριθµοι και Πολυπλοκότητα 9-

21 ΕΠΛ 3 Αλγόριθµοι και Πολυπλοκότητα 9- Ιδιότητες των µιγαδικών ριζών της µονάδας 4. Για οποιοδήποτε ακέραιο, και µή-διαιρετό από το, AΠΟ ΕΙΞΗ Αφού το δεν διαιρεί το, ο παρονοµαστής ισούται µε cos π/ icosπ/ και η ιδιότητα έπεται.

22 ιακριτός Μετασχηµατισµός Fourier Έστω πολυώνυµο p το οποίο µας δίδεται ως το διάνυσµα των συντελεστών του,,... Έστω όπου p Το διάνυσµα είναι ο διακριτός µετασχηµατισµός Fourier του διανύσµατος p. Συµβολικά:,,...,... p DFT. T ΕΠΛ 3 Αλγόριθµοι και Πολυπλοκότητα 9-

23 ιακριτός Μετασχηµατισµός Fourier Πως µπορούµε να υπολογίσουµε το διακριτό µετασχηµατισµό του πολυωνύµου p, DFT; Υποθέτοντας ότι το είναι άρτιος, θέτουµε q r Το πολυώνυµο q περιέχει όλους τους συντελεστές του p µε άρτιους δείκτες, ενώ το πολυώνυµο r όλους τους συντελεστές µε περιττούς δείκτες. Ισχύει ότι p q² r² ΕΠΛ 3 Αλγόριθµοι και Πολυπλοκότητα 9-3

24 ιακριτός Μετασχηµατισµός Fourier Η πιο πάνω σχέση υπαγορεύει τον πιο κάτω αλγόριθµο για τον υπολογισµό της τιµής του πολυωνύµου p στις -ιοστές ρίζες της µονάδας:. Υπολόγισε την τιµή των πολυωνύµων q και r στα σηµεία. συνδύασε τα αποτελέσµατα σύµφωνα µε την εξίσωση p q² r² 3. Από την ιδιότητα του µοιράσµατος, τα σηµεία είναι ακριβώς τα σηµεία,, /, /,...,,...,,..., Έτσι υπολογισµός του DFT p ανάγεται στους υπολογισµούς των DFT / r και DFT / q. / / ΕΠΛ 3 Αλγόριθµοι και Πολυπλοκότητα 9-4

25 DFT { } if else ; q, r, DFT DFT for ; Ο Αλγόριθµος ; ; -; [] [] []; [ /] [] []; e retur retur 3,...,,..., / / q; r; πi/ / [],[],...,[-] Αυτή η αναδροµικότητα οδηγεί στον εξής διαίρει και βασίλευε αλγόριθµο για υπολογισµό DFT ο οποίος είναι γνωστός ως ταχύς µετασχηµατισµός Fourier. ΕΠΛ 3 Αλγόριθµοι και Πολυπλοκότητα 9-5

26 Απόδειξη ορθότητας Mε τη µέθοδο της επαγωγής: Η βάση της αναδροµής είναι προφανώς ορθή. Από την υπόθεση της επαγωγής έχουµε ότι για / [] r Aρα για / [] q q q p / / [ ] [ ] /, [ ] r r / ΕΠΛ 3 Αλγόριθµοι και Πολυπλοκότητα 9-6

27 ΕΠΛ 3 Αλγόριθµοι και Πολυπλοκότητα 9-7 Απόδειξη ορθότητας ενώ οι τιµές [/ ], / - δίνονται ως: όπως χρειάζεται. } { ] [ ] [ /] [ / / / / / / / / / p r q r q r q r q

28 Χρόνος Εκτέλεσης Έστω T ο χρόνος εκτέλεσης της DFT. Aφού ο χρόνος εκτέλεσης για την εκτέλεση των πράξεων µέσα στο βρόχο είναι γραµµικός Ο4, έχουµε: Τ T/. Από το θεώρηµα γενικής χρήσης παίρνουµε ότι: Τ Θ lg. Άσκηση: Να υπολογίσετε το DFT<,,3,4> ΕΠΛ 3 Αλγόριθµοι και Πολυπλοκότητα 9-8

29 ΕΠΛ 3 Αλγόριθµοι και Πολυπλοκότητα 9-9 Πολυωνυµική παρεµβολή στις µιγαδικές ρίζες της µονάδας Σε µορφή γινοµένου πινάκων, ο ορισµός του διακριτού µετασχηµατισµού Fourier, µπορεί να δοθεί ως εξής: Πίνακας Vdermode µε σηµεία τις -ιοστές µιγαδικές ρίζες του. Στη θέση, του πίνακα έχουµε την τιµή """" "! """" " ] [, V

30 Πολυωνυµική παρεµβολή στις µιγαδικές ρίζες της µονάδας Έτσι Λήµµα V [, ] V Απόδειξη είχνουµε ότι για V όπως ορίζεται στην εκφώνηση του λήµµατος ισχυεί ότι V I V ΕΠΛ 3 Αλγόριθµοι και Πολυπλοκότητα 9-3

31 Πολυωνυµική παρεµβολή στις µιγαδικές ρίζες της µονάδας Εχουµε Αν, τότε V V V [, ' ] V [, ' ] V [,] V ' ' [, ' ] ιαφορετικά, από την ιδιότητα 4 των µιγαδικών ριζών της µονάδας έχουµε: V V [, ' ] ' Παρατηρούµε ότι οι συνθήκες της ιδιότητας εξασφαλίζονται αφού -- ' - - έτσι ώστε ο ακέραιος '- δεν είναι διαιρετός από το. ΕΠΛ 3 Αλγόριθµοι και Πολυπλοκότητα 9-3

32 Αντίστροφος DFT Από το λήµµα συµπεραίνουµε ότι Παρατηρούµε ότι Βλέπουµε ότι υπάρχει ένας δυισµός µεταξύ των διανυσµάτων p και, ως προς το διακριτό µετασχηµατισµό Fourier και τον αντίστροφό του. ΕΠΛ 3 Αλγόριθµοι και Πολυπλοκότητα 9-3

33 Αντίστροφος DFT Αυτός ο δυισµός συνεπάγεται ότι και ο αντίστροφος διακριτός µετασχηµατισµός Fourier µπορεί να υπολογισθεί σε χρόνο Θ lg : µε παραλλαγή του ταχέως µετασχηµατισµού Fourier, όπου αντικαθιστούµε το µε το - και διαιρούµε κατάλληλα µε το, όπου χρειάζεται. Γράφοντας DFT για τη διαδικασία πολυωνυµικής παρεµβολής στις µιγαδικές ρίζες της µονάδας, παίρνουµε την εξής διαδικασία για πολλαπλασιασµό δύο πολυωνύµων µε παράσταση µε συντελεστές: multiplp,q{ DFTp; bdftq; cb; retur DFT c ; } Χρονική Πολυπλοκότητα: ΕΠΛ 3 Αλγόριθµοι και Πολυπλοκότητα 9-33