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- Κητώ Παπάζογλου
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2 Las reglas para la disyunción son las siguientes: [] [] E. Las reglas de introducción de la disyunción son muy intuitivas: una vez demostrada una proposición, con mayor razón puedo concluir que ella u otra vale. La regla ( E) es un modelo de prueba por casos: si puedo probar cuando es cierta, y también puedo hacerlo cuando es cierta, entonces puedo probar bajo la única suposición de que alguna de las dos es cierta (i.e., que es cierta). Por último, ponemos dos reglas más relativas a la negación, que el lector reconocerá (de igual modo a las de ) como abreviaciones de derivaciones ya hechas previamente: [] La extensión de la definición formal del conjunto de derivaciones D se puede hacer como sigue: ( I) Dadas D y D en D, la siguiente [] D [] D es una derivación en D. () Si D 1, D2 y D son derivaciones, entonces D := D1 D D := D2 D pertenecen a D. [] () Dada D en D, entonces D está en D. () Si tenemos derivaciones D y D entonces 2 D D pertenece a D.
3 () Si D D está en D, entonces también lo está. Si D entonces también lo está. ( E) Dadas D, D y D en D, la siguiente D está en D, D [] D [] D, E es una derivación de D. Nota 1. Tener mucho cuidado cuando se aplica la regla I: la hipótesis se cancela en la primera subderivación (es decir, D), pero no en la segunda (D ). Lo mismo se aplica para E. Como un ejemplo de derivación usando todas las reglas introducidas, demostraremos la equivalencia clásica entre la implicación y la implicación material,. Ejemplo 1. Ver que ( ) ( ). Es natural suponer que la última regla aplicada va a ser la introducción de, así que de ese modo comenzamos nuestra derivación: [ ] [ ] D1 D2 I El lado izquierdo necesita una aplicación de la reducción al absurdo: D 1 := [] 1 E [ ( )] 2 1 [ ( )] 2 RAA2 D 1 tiene como única hipótesis no cancelada a y Concl(D 1 ) =, así que nos sirve 3
4 El lado derecho es el más fácil: [ ] 3 [] 4 D 2 := I 4 [] 3 E3 También D 2 tiene las propiedades requeridas, así que [ ] 5 [ ] 5 D1 D2 I5 es la derivación que andábamos buscando (donde cancelamos las hipótesis recuadradas). Extensión de las definiciones recursivas de la clase pasada La clase pasada definimos la función Concl() : D PROP. Como acabamos de extender el conjunto D, completamos la definición: [] Concl( D [] D ) = Concl( D1 D ) = Concl( D2 D [] ) = Concl( D ) = D Concl( D D ) = Concl( ) = D Concl( ) = Concl( D [] D [] D ) = E También extendemos la definición de la función recursiva Hip() : D P(PROP): 4
5 [] Hip( D [] D ) = D (Hip( ) {}) D (Hip( ) {}) Hip( Hip( D1 D2 D ) = Hip( D 1 ) Hip( D ) D ) = Hip( D2 ) Hip( D ) Hip( D D Hip( [] [] Hip( D ) = D Hip( ) {} D ) = Hip( D ) Hip( D ) D Hip( ) = Hip( D ) D Hip( ) = Hip( D ) D [] D ) = Hip( D E ) (Hip( D ) {}) D (Hip( ) {}) Hacer también alguna de las siguientes derivaciones: ( ) si y también entonces si y también entonces ( ) ( ) ( ) es reflexiva, transitivia y algo así como antisimétrica. 5
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