Lógica Proposicional

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Ευθαλία Δεσποτόπουλος
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1 Proposicional educción Natural Proposicional - 1

2 Justificación de la validez del razonamiento os maneras diferentes de justificar Justificar que la veracidad de las hipótesis implica la veracidad de la conclusión (Justificación semántica: Γ = β) ar una demostración que pruebe a la conclusión a partir de las hipótesis, a través de pasos debidamente justificados (Justificación sintáctica: Γ β) Proposicional - 2

3 Justificación Sintáctica ar una demostración que: pruebe la conclusión a partir de las hipótesis esté constituida de pasos debidamente justificados Una demostración es una prueba formal: la corrección de la demostración depende de su forma y no del significado existen reglas precisas de construcción para las demostraciones Proposicional - 3

4 Pruebas Formales Cómo probamos usualmente? Hipótesis iniciales (las podemos usar como dato en todo instante de la prueba). La prueba consiste en un encadenamiento de pasos simples de deducción que nos permite llegar a la conclusión. Por qué pruebas formales? Podemos compilar las pruebas hechas, y asegurar su corrección o detectar errores mediante el análisis de su estructura. Proposicional - 4

5 Formalización del razonamiento Existen varias maneras de formalizar el razonamiento: - Método Axiomático (a la Hilbert) - educción Natural (Gentzen) - otros.. En educción Natural se formalizan las demostraciones mediante árboles, siguiendo la estructura de las mismas: Proposicional - 5

6 Prueba Formal Ejemplo α β γ, α β γ α β α β γ α β γ β γ (1) (I ) (E ) (I ) (1) Proposicional - 6

7 educción Natural Reglas de construcción de pruebas Indican cómo: subdividir la prueba en subpruebas más simples manejar las hipótesis correctamente en cada etapa de la prueba El análisis de corrección de una prueba formal puede mecanizarse (existen asistentes y verificadores automáticos de pruebas). Proposicional - 7

8 Pruebas = Árboles Las hojas son las hipótesis de la prueba. La raíz es la conclusión de la prueba. e las hojas hacia la raíz se pasa por aplicación de alguna de las reglas de construcción. Las hipótesis locales a subpartes de una prueba se representan con hojas tachadas. Proposicional - 8

9 Reglas de Construcción de Pruebas Para cada conectivo se definen: Reglas de Introducción indican cómo probar una fórmula con el conectivo correspondiente Reglas de Eliminación indican cómo utilizar una fórmula con el conectivo en una demostración Proposicional - 9

10 Cómo probar una conjunción? H) δ 1. δ n T) (α β) em. - Probamos α. (usamos δ 1 δ n ) δ 1. δ n δ 1. δ n - Probamos β. (usamos δ 1 δ n ) α α β β (I ) Luego (α β) Proposicional - 10

11 Cómo probar un implica? H) δ 1. δ n T) (α β) em. Supongamos α (usamos δ 1 δ n α.) entonces β. Luego (α β) δ 1 δ n α β α β (I ) Proposicional - 11

12 Cómo probar una disyunción? (I) H) δ 1. δ n T) (α β) em. - Probamos α. (usamos δ 1 δ n ) Luego (α β) δ 1. δ n α α β δ 1. δ n β α β (I 1 ) (I 2 ) Proposicional - 12

13 Cómo probar un si sólo si? H) δ 1. δ n T) )(α β) em. ) Supongamos α. (usamos δ 1 δ n α.) entonces β. ) Supongamos β. (usamos δ 1 δ n β.) entonces α. δ 1 δ n α δ 1 δ n β β α β α (I ) Luego α β. Proposicional - 13

14 Cómo probar una negación? H) δ 1. δ n T) α em. -Supongamos α -Llegamos al absurdo (usamos δ 1 δ n α) Luego α. δ 1 δ n α α ( I ) Proposicional - 14

15 Cómo utilizar una conjunción? (I) H) δ 1. δ n T) α em. - Probamos (α β) (usamos δ 1 δ n ) Luego α δ 1 δ n. α β α δ 1 δ n. α β β (E 1 ) (E 2 ) Proposicional - 15

16 Cómo utilizar una implicancia? H) δ 1. δ n T) β em. - Probamos (α β) (usamos δ 1 δ n ) - Probamos α (usamos δ 1 δ n ) δ 1. δ n α β δ 1. δ n α Luego β β (E ) Proposicional - 16

17 Cómo utilizar una disyunción? H) δ 1. δ n T) δ em. - Probamos α β (usamos δ 1 δ n ) - Caso1: supongamos α. (usamos δ 1 δ n α ) entonces δ - Caso 2: supongamos β. (usamos δ 1 δ n β ) entonces δ δ 1. δ n α β δ 1. δ n α δ δ δ 1. δ n β δ (E ) Luego δ Proposicional - 17

18 Cómo utilizar un si y sólo si? (I) H) δ 1. δ n T) β em. - Probamos α si y sólo si β. (usamos δ 1 δ n ) δ 1. δ n α β β δ 1. δ n α (E 1 ) - Probamos α. (usamos δ 1 δ n ) Luego β. δ 1. δ n α β α δ 1. δ n β (E 2 ) Proposicional - 18

19 Cómo utilizar una negación? (las negaciones sirven para llegar al Absurdo) H) δ 1. δ n T) Absurdo em. - Probamos α (usamos δ 1 δ n ) - Probamos α (usamos δ 1 δ n ) δ 1 δ n α δ 1 δ n α ( E ) Luego Absurdo. Proposicional - 19

20 Cómo utilizar el Absurdo? (I) H) δ 1. δ n T) α em. Probamos Absurdo (usamos δ 1 δ n ) Luego α. δ 1 δ n. α (E ) Proposicional - 20

21 Cómo utilizar el Absurdo? (II) H) δ 1. δ n T) α em. - Supongamos α - Llegamos al absurdo (usamos δ 1 δ n α) Luego α. δ 1 δ n α α (RAA ) (Reducción al absurdo) Proposicional - 21

22 Una prueba trivial H) α T) α em. vale por hipótesis Luego α. α (HIP) (Hipótesis) Proposicional - 22

23 Prueba Formal Estructura de árbol: la prueba se descompone en subpruebas (subárboles). Reglas precisas para la construcción de los árboles. Hipótesis de la prueba: hojas del árbol las del enunciado inicial: hojas no tachadas hipótesis locales: hojas tachadas Conclusión: raíz del árbol. Proposicional - 23

24 Prueba Formal - Ejemplo α β β α α β β (1) (1) (E ) α β α β α α β β α (E ) (I ) (I ) (1) Proposicional - 24

25 Prueba Formal Ejemplo (II) α β γ, α β γ α β α β γ α β γ β γ (1) (I ) (E ) (I ) (1) Proposicional - 25

26 Árboles Las derivaciones se definen inductivamente sobre un conjunto de árboles etiquetados. Cada nodo, interno u hoja, se etiqueta con una fórmula proposicional y una regla. Las hojas pueden estar marcadas o no (cancelación de hipótesis). Proposicional - 26

27 Prueba Formal Ejemplo (II) α β (1) α, HIP β, HIP α β γ γ α β (I ) (E ) (I ) (1) α β γ, HIP α β I β γ γ E β γ I Proposicional - 27

28 erivaciones - ER ef [ER] El conjunto ER de las derivaciones de la lógica proposicional se define inductivamente como sigue: HIP) Si ϕ PROP entonces ϕ ER ϕ ER ψ ER ϕ I ) Si y entonces ψ ER ϕ ψ E1 ) Si ER entonces ϕ ψ ER ϕ ψ ϕ E2 ) Si ER ϕ ψ entonces ϕ ψ ψ ER Proposicional - 28

29 erivaciones - ER I ) Si ϕ ϕ ψ ER entonces ψ ϕ ψ ER E ) Si y entonces ϕ ER ϕ ψ ER ϕ ϕ ψ ER ψ Proposicional - 29

30 erivaciones - ER I1 ) Si ϕ ER entonces ϕ ϕ ψ ER I2 ) Si ER entonces ψ ER ψ ϕ ψ ϕ ψ E ) Si ER y ER entonces ϕ ψ ER, γ γ ϕ ψ ϕ ψ ER γ γ γ Proposicional - 30

31 ϕ ψ ϕ ψ I ) Si ψ ER y ϕ ER entonces ψ ϕ ϕ ψ ER E1 ) Si y entonces ϕ ER ϕ ψ ER ϕ ϕ ψ ER E2 ) Si ψ y entonces ψ ER ϕ ψ ER ψ ϕ ψ ER ϕ erivaciones - ER Proposicional - 31

32 erivaciones - ER ϕ I ) Si ER entonces ϕ ϕ ER E ) Si ϕ ER y ϕ ER entonces ϕ ϕ ER Proposicional - 32

33 erivaciones - ER E ) Si ER y ϕ PROP entonces ϕ ER RAA) Si ϕ ϕ entonces ER ϕ ER Proposicional - 33

34 Conclusión e hipótesis ef [conclusión e hipótesis de una derivación] Sea ER. C() es la conclusión de H() es el conjunto de hipótesis no canceladas de Ejercicio: efinir C() y H() por recursión en, asumiendo que se cancelan todas las hipótesis en las reglas que se aplican. Proposicional - 34

35 Consecuencia Sintáctica ef [consecuencia sintáctica] Sea Γ PROP y ϕ PROP. ϕ es consecuencia sintáctica de Γ (o ϕ se deriva de Γ) ssi existe ER tal que: C() = ϕ y H() Γ Notación: Γ ϕ se lee ϕ se deriva de Γ ϕ se lee ϕ es teorema y se escribe ϕ ef [CONS, consecuencias sintácticas] ado Γ PROP, el conjunto de las consecuencias sintácticas de Γ es CONS(Γ) ={α PROP Γ α } Proposicional - 35

36 erivaciones - Ejemplo α α α (2) α α α α (1) (E ) (RAA) (1) (I ) (2) Proposicional - 36

37 erivaciones Ejemplo (II) α α (1) α α α α α (2) (E ) (I ) (1) (I ) (2) Proposicional - 37

38 Propiedades de, y Lema Para todos α, β PROP y Γ, PROP : Si α Γ entonces Γ α Si Γ α y β entonces Γ α β Si Γ α β entonces Γ α y Γ β Si Γ,α β entonces Γ α β Si Γ α y α β entonces Γ β Si Γ entonces Γ α Si Γ, α entonces Γ α Proposicional - 38

39 Propiedades de,, Lema Para todos α, β PROP y Γ, PROP : 1. Si Γ α entonces Γ α β 2. Si Γ β entonces Γ α β 3. Si Γ, α γ y Γ, β γ entonces Γ, (α β) γ 4. Si Γ, α β y Γ, β α entonces Γ (α β) 5. Si Γ (α β) entonces Γ, α β y Γ, β α 6. Si Γ, α entonces Γ α 7. Si Γ α y α entonces Γ Proposicional - 39

40 Equivalencias entre conectivos Teorema Para todos α, β Prop: ( α) (α ) (α β) ( α β) (α β) (α β) (β α) (α β) ( α β) (α β) ( α β) (α α) Proposicional - 40

41 Más Propiedades Teorema α (β α) α ( α β ) (α β) ( (β σ ) (α σ ) ) (α β ) ( β α ) α α α (β σ ) (α β σ ) (α α) Propiedades interesantes de Si Γ y Γ α, entonces α Si Γ α, entonces existe Γ tal que es finito y α Si Γ δ para toda δ y α, entonces Γ α Proposicional - 41

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