1 La teoría de Jeans. t + (n v) = 0 (1) b) Navier-Stokes (conservación del impulso) c) Poisson

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1 1 La teoría de Jeans El caso ás siple de evolución de fluctuaciones es el de un fluído no relativista. las ecuaciones básicas son: a conservación del núero de partículas n t + (n v = 0 (1 b Navier-Stokes (conservación del ipulso c Poisson v t + ( v v = φ 1 p n ( φ = 4πGn (3 Consideraos una perturbación a partir de una solución hoogénea y estática; la solución no perturbada tiene n = n 0, p = p 0, v = 0 y φ = 0 (estafa de Jeans. Las cantidades perturbadas son, respectivaente, δn, δp, v y φ. Asuios adeás δp = νδn y definios δ = δn/n 0. Por lo tanto las ecuaciones para la perturbación son δ t + v = 0 (4 v t = φ ν δ (5 φ = 4πGn 0 δ (6 Observaos que la vorticidad se conserva. Para la parte longitudinal, encontraos ( v = 4πGn 0 δ ν δ (7 t De donde deducios la ecuación de ondas para δ δ t ν δ 4πGn 0δ = 0 (8 En particular, consideraos una onda plana δ = δ k (t exp [ i k r δ k t + [ c sk 4πGn 0 δk = 0 (9 donde c s = ν/ es la velocidad del sonido. 1

2 1.1 Modelo de Jeans en teoría cinética Ahora epezaos con f t + p x f φ p f = 0 (10 φ = 4πGn (11 n = h f (1 3 La solución sin perturbar es f = f 0 (p, φ = 0. La ecuación para las perturbaciones es δf t + p x δf φ p f 0 = 0 (13 φ = 4πGδn (14 Buscaos una solucion de la fora δn = h3 δf (15 Por lo tanto Cuya solución es δf = f 1 (p e i k x e σt (16 δn = n 1 e i k x e σt ; n 1 = h 3 f 1 (p (17 [ σ + i ( k p f 1 = i 4πG ( k p f k 0 n1 (18 f 1 = in 1 4πG k ( k p f 0 σ + i La solución debe satisfacer la condición de consistencia o sea n 1 = ( k p (19 h 3 f 1 (p (0

3 1 = i 4πG k Separando parte real e iaginaria, veos que h 3 h 3 ( k p f 0 σ + ( k p f 0 σ + i ( k p (1 ( = 0 ( k p (por ejeplo, si f 0 es par, esta condición se satisface por sietría y 4πG k h 3 ( k p ( k p f 0 σ + ( k p = 1 (3 Supongaos para hacer una cuenta sencilla que f 0 es una distribución tipo Maxwell - Boltzann f 0 = n 0 [ πkb T h 3/ exp { y que k está orientado en la dirección z. Entonces p k B T } (4 Se ve que σ = 0 cuando 1 = 4πG k B T = 4πG n 0 k B T k p zf 0 h 3 σ + ( kp z 1 σ n 0 f 0 h 3 σ + ( kp z (5 donde v = k B T/ k = k J = 4πG n 0 k B T = 4πGn 0 v (6 1. Soluciones a grandes escalas Para encontrar la evolución de una perturbación de taaño ucho ayor al horizonte, podeos arguentar que la perturbación se coporta coo un Universo hoogéneo en sí isa, y por lo tanto debe satisfacer las ecuaciones de Friedan 3

4 H = 8πG 3c ρ K c a (7 ρ + 3H (ρ + p = 0 (8 t Consideraos una solución no perturbada (a 0, H 0, ρ 0, p 0, K = 0 y perturbaciones (δa, δh, δρ = ρ 0 δ, δp = Por lo tanto H 0 = 8πG 3c ρ 0 (9 ρ 0 t + 3H 0 (ρ 0 + p 0 = 0 (30 H 0 δh = H 0δ K c a 0 (31 De 30 y 3 (ρ 0 δ t + 3H 0 (1 + ν ρ 0 δ + 3δH (ρ 0 + p 0 = 0 (3 ( δ t + 3H 0 ν p ( 0 δ + 3δH 1 + p 0 = 0 (33 ρ 0 ρ 0 Las ecuaciones se siplifican si p 0 = νρ 0, en cuyo caso Por lo tanto Pero δ t + 3 (1 + ν δh = 0 (34 δ t + 3 (1 + ν δh = 0 (35 t De 31 t δh = H 0 δh = H 0 δ K c H 0 a 0 t δ + δ t H 0 + K c H0a 0 t H 0 + K c a 0 (36 (37 K c a 0 = H 0δ H 0 δh (38 4

5 t δh = H 0 = H 0 t δ + δ t H 0 + H 0δ H 0 δh H0 t H 0 + H0δ H 0 δh [ t δ + δ δh H 0 t H 0 + H0 [δ δhh0 (39 Por otro lado, de las ecuaciones de Friedan Finalente t δh = H 0 t H 0 = 3 H 0 (1 + ν (40 [δ [δ δhh0 δhh0 t δ 3 H 0 (1 + ν + H 0 (41 t δh = H 0 3 (1 + ν Y la ecuación para las perturbaciones es 1 δh = 3 (1 + ν t δ (4 t δ 1 (1 + 3ν H 0δ (43 δ t + H 0 t δ 3 (1 + ν (1 + 3ν H 0δ = 0 (44 Durante la etapa doinada por la radiación a t 1/, H = 1/t y ν = 1/3, δ t + 1 t t δ 1 t δ = 0 (45 Si δ t n, entonces n = ±1, o δ a. Durante la etapa doinada por la ateria a t /3, H = /3t y ν = 0, Si δ t n, entonces δ t + 4 3t t δ 3t δ = 0 (46 n + n 3 ( 3 = 0 = n (n + 1 (47 3 De odo que δ a. 5

6 1.3 Correcciones relativistas Las ecuaciones para un fluído con correcciones relativistas son a conservación de la energía ρ t + (ρ v + p ( v = 0 (48 b Navier-Stokes (conservación del ipulso c Poisson v t + ( v v = φ c p ρ + p (49 φ = 4πG c (ρ + 3p (50 La solución no perturbada corresponde a un odelo de Friedan con ρ = ρ 0, p = p 0, v = H 0 r y φ = ( Ḣ 0 + H 0 r /. La ecuación de Poisson da Ḣ 0 + H0 = 4πG 3c (ρ 0 + 3p 0 = H 0 que de hecho es equivalente a 40. Las ecuaciones para la perturbación son (1 + 3ν (51 δρ t + H ( ( 0 r δρ + ρ0 (δ v + p0 δ v + 3H0 (1 + ν δρ = 0 (5 δ v t + H ( 0δ v + H 0 r δ v = δφ c ν δρ (53 ρ 0 + p 0 δφ = 4πG c (1 + 3ν δρ (54 Asuiendo que igualente p 0 = νρ 0, δρ = ρ 0 δ δ t + H ( 0 r δ + (1 + ν (δ v = 0 (55 δ v t + H ( 0δ v + H 0 r δ v = δφ c ν δ 1 + ν (56 δφ = 3 H 0 (1 + 3ν δ (57 En el líite de grandes longitudes de onda, recuperaos el análisis anterior si δ = δ (t y δ v = δh r. Entonces 6

7 Y la ecuación de Poisson exige que [ r δφ = t δh + H 0δH (58 t δh + H 0δH = 1 H 0 (1 + 3ν δ (59 que es equivalente a 4 y 43. En el caso general, las ecuaciones se siplifican si δ = δ (t, q, q = r/a 0, ya que De esta fora resulta δ t + H 0 ( r δ δ = (60 t q δ t + (1 + ν 1 a 0 ( δ v = 0 (61 δ v t + H 0δ v = 1 a 0 [ δφ + c ν δ 1 + ν (6 δφ = 3 a 0H 0 (1 + 3ν δ (63 Estas tres ecuaciones son equivalentes a una única ecuación de ondas para δ. Priero toaos la divergencia de la segunda δ v t [ + H 0 δ v 1 3 = a 0 a 0H0 (1 + 3ν δ + c ν 1 + ν δ (64 Dividios por a 0 Adeás 1 δ v + 1 [ H 0 3 δ v = a 0 t a 0 H 0 (1 + 3ν δ + c ν 1 + ν δ a 0 (65 De odo que Resulta 1 δ v a 0 t = 1 1 δ v + H 0 δ v (66 t a 0 a 0 [ 1 3 δ v = t a 0 H 0 (1 + 3ν δ + c ν δ + H 1 + ν a 0 δ v 0 a 0 (67 7

8 δ t + H δ 0 (1 + ν t [ 3 H 0 (1 + 3ν δ + c ν 1 + ν δ = 0 (68 a 0 que en el líite de grandes longitudes de onda se reduce a la hallada anteriorente. Observaos que la longitud de Jeans λ J = Para ν = 1/3, el factor vale 1/1. ν 3 (1 + 3ν (1 + ν c H 0 (69 8

Σχετικά έγγραφα

SOLUCIONES DE LAS ACTIVIDADES Págs. 101 a 119

SOLUCIONES DE LAS ACTIVIDADES Págs. 101 a 119 Página 0. a) b) π 4 π x 0 4 π π / 0 π / x 0º 0 x π π. 0 rad 0 π π rad 0 4 π 0 π rad 0 π 0 π / 4. rad 4º 4 π π 0 π / rad 0º π π 0 π / rad 0º π 4. De izquierda a derecha: 4 80 π rad π / rad 0 Página 0. tg