EXERCICIOS DE REFORZO: RECTAS E PLANOS

Transcript

1 EXERCICIOS DE REFORZO RECTAS E PLANOS Dada a recta r z a) Determna a ecuacón mplícta do plano π que pasa polo punto P(,, ) e é perpendcular a r Calcula o punto de nterseccón de r a π b) Calcula o punto smétrco do punto P(,, ) respecto á recta r z Dadas as rectas r e s = = z a) Estuda a súa poscón relatva Calcula a ecuacón mplícta ou eral do plano que pasa pola ore de coordenadas e é paralelo a r e a s b) Calcula as ecuacóns paramétrcas da recta que corta perpendcularmente a r e a s Dada a recta r z z a) Calcula a ecuacón mplícta ou eral do plano que e é paralelo a r e pasa polos puntos A(,, ) e B(,, ) b) Calcula o punto de corte de r co plano perpendcular a devandta recta e que pasa por B(,, ) a) Calcula o punto smétrco do punto P(,, ) respecto ao plano π + + z = b) Sea r a recta perpendcular ao plano π + + z = e que pasa polo punto P(,, ) Consderemos a recta s z z Estuda a poscón relatva de r e s Calcula a ecuacón do plano paralelo a s que contén a r Dados o plano π e a recta r z, estuda a poscón z relatva de π e r Se se cortan, calcula o punto de corte 6 Dadas as rectas r z e s z z a) Estuda a súa poscón relatva Se se cortan, calcula o punto de corte b) Calcula a ecuacón mplícta ou eral e as ecuacóns paramétrcas do plano que contén a r e a s

2 7 Dados o plano π + z = e a recta r z 6 a) Estuda a poscón relatva de r e π b) Calcula a ecuacón eral ou mplícta do plano que contén a r e é perpendcular a π 8 Calcula as ecuacóns paramétrcas da recta r que pasa pola ore de coordenadas e é perpendcular ao plano π determnado polos puntos A(,, ), B(,, ) e C(,, ) 9 Dadas as rectas r z e s z z a) Estuda a poscón relatva de r e s Se se cortan, calcula o punto de corte Se determnan un plano, calcula a ecuacón eral ou mplícta dese plano b) Estuda a poscón relatva de r e o plano π + z + 7 = a) Dado o plano α, calcula as ecuacóns en forma contnua da z recta r que pasa polo punto P(,, ) e é perpendcular ao plano α Calcula o punto de corte de r con α b) Calcula a ecuacón mplícta ou eral do plano que pasa polos puntos P(,, ) e Q(,, ) e é perpendcular ao plano α c) Calcula as ecuacóns paramétrcas da recta nterseccón do plano β + z 9 = co plano α

3 EXERCICIOS DE REFORZO RECTAS E PLANOS (SOLUCIONARIO) Dada a recta r z a) Determna a ecuacón mplícta do plano π que pasa polo punto P(,, ) e é perpendcular a r Calcula o punto de nterseccón de r a π b) Calcula o punto smétrco do punto P(,, ) respecto á recta r a) Como o plano π e a recta r deben ser perpendculares, o vector drector da recta ten a dreccón do vector normal ao plano Así n = v = (,, ) O plano pasa polo punto P(,, ), logo + z + d = + + d = d = O plano que se busca é + z = Para calcular o punto de nterseccón de r con π, substtúense as ecuacóns paramétrcas da recta na ecuacón do plano ( λ) + λ ( λ) = λ = λ = Substtuíndo este valor nas ecuacóns paramétrcas da recta r, obtense o punto de corte M(,, ) b) Para obter as coordenadas do punto P'(,, z), smétrco de P, basta ter en conta que M é o punto medo do segmento que une P con P' z Da gualdade (,, ) =,, obtense =, = e z = 6 O punto buscado é P'(,, 6) z Dadas as rectas r e s = = z a) Estuda a súa poscón relatva Calcula a ecuacón mplícta ou eral do plano que pasa pola ore de coordenadas e é paralelo a r e a s b) Calcula as ecuacóns paramétrcas da recta que corta perpendcularmente a r e a s a) A recta r pasa por A(,, ) e ten como vector drector v = (,, ) e a recta s pasa por B(,, ) e ten como vector drector w = (,, ) AB = (,, ) rango( v, w ) = rango = e rango( v, w, AB) = rango Polo tanto, as rectas crúzanse = O plano peddo, π, queda determnado polo punto (,, ) do plano e os dous vectores v e w paralelos ao plano e ndependentes entre s

4 z = + z = b) Punto enérco de r R( + λ,, + λ) Punto enérco de s S( + μ, μ, + μ) RS = ( + μ λ, μ, + μ λ) Agora mponse a condcón de que RS sea perpendcular a r e a s RS r ( + μ λ, μ, + μ λ) (,, ) = λ + μ = RS s ( + μ λ, μ, + μ λ) (,, ) = λ + 6μ + = Resólvese o sstema 6 Substtuíndo λ = e μ =, obtense R(8,, ), S(,, ) e RS = (,, ) Polo tanto, as ecuacóns paramétrcas da recta que corta perpendcularmente a r e a s 8 son z Dada a recta r z z a) Calcula a ecuacón mplícta ou eral do plano que e é paralelo a r e pasa polos puntos A(,, ) e B(,, ) b) Calcula o punto de corte de r co plano perpendcular a devandta recta e que pasa por B(,, ) a) Vector de dreccón de r k = + k = = ( ) + k = (,, ) (,, ) O plano peddo, π, queda determnado polo punto A(,, ) do plano e os vectores v = (,, ) e AB = (,, ) = + 6 8z + = + z = z b) Sea α o plano perpendcular a r e que pasa polo punto B(,, ) Entón o vector normal a α é n = v = (,, ) Daquela + + z + d = d = d = Polo tanto, α + + z = Para calcular o punto de corte de α e r, escríbense as ecuacóns paramétrcas da recta (coñécense v = (,, ) e evdentemente (,, ) r) z

5 Para obter o punto de corte da recta e o plano, substtúense as coordenadas do punto enérco da recta na ecuacón do plano λ + λ + λ = λ = Polo tanto a recta corta ao plano no punto correspondente ao valor do parámetro λ = P(,, ) a) Calcula o punto smétrco do punto P(,, ) respecto ao plano π + + z = b) Sea r a recta perpendcular ao plano π + + z = e que pasa polo punto P(,, ) Consderemos a recta s z z Estuda a poscón relatva de r e s Calcula a ecuacón do plano paralelo a s que contén a r a) Sea P'(,, z) o smétrco de P(,, ) respecto a π Áchase a ecuacón da recta r que pasa por P e é perpendcular a π As ecuacóns paramétrcas de r (,, z) = ( + λ, λ, + λ) Áchase M, o punto de corte de r e π ( + λ) + λ + + λ = λ 7 = λ = Entón M,, z Da gualdade,, =,, obtense =, = e z = O punto P' ten de coordenadas(,, ) b) Determínase un punto e un vector drector de cada unha das dúas rectas A recta r pasa por P(,, ) e ten como vector drector o vector normal do plano v = n = (,, ) A recta s pasa por Q(,, ) e ten como vector drector w k = = + k = + k = (,, ) PQ = (,, ) rango( v, w ) = rango = e rango( v, w, PQ ) = rango Polo tanto, as rectas crúzanse = Sea α o plano que contén a r e é paralelo a s Entón, o punto P(,, ) r é un punto de α e v = (,, ) e w = (,, ) son dous vectores paralelos a dto plano Polo tanto z = z + 6 =

6 6 Dados o plano π z e a recta r z, estuda a poscón relatva de π e r Se se cortan, calcula o punto de corte Determínase un vector drector da recta v = k = + k = + k = (,, ) Determínase un vector normal ao plano n = k = + k = k = ( 6, 6, ) Entón v n = (,, ) ( 6, 6, ) = 6 r e π córtanse nun punto O vector (,, ) ten a dreccón de n e o punto P(,, ) π Así, a ecuacón mplícta do plano π é + + d = + + d = d = π + = Para calcular o punto de corte, resólvese o sstema formado polas ecuacóns da recta e a do plano z O punto de corte é (,, ) 6 Dadas as rectas r z z e s z a) Estuda a súa poscón relatva Se se cortan, calcula o punto de corte b) Calcula a ecuacón mplícta ou eral e as ecuacóns paramétrcas do plano que contén a r e a s a) Determínase un vector drector e un punto de cada unha das rectas A recta r pasa por P(,, ) e ten como vector drector v = k = + k = ( ) + k = (,, ) A recta s pasa por Q(,, ) e ten como vector drector w = (,, ) PQ = (,, ) rango( v, w ) = rango = = rango( v, w, PQ ) = rango Polo tanto, as rectas córtanse Para calcular o punto de corte, substtúese a, e z das ecuacóns de s nas ecuacóns de r + λ + λ = λ = λ =

7 λ = λ = λ = E substtuíndo nas ecuacóns de s, obtéñense as coordenadas do punto de corte (, 6, ) b) Como o plano contén ás rectas, v e w son dous vectores contdos no plano e polo tanto, v w é un vector normal ao plano Ademas, calquera punto das rectas tamén pertence ao plano, por eemplo P(,, ) v w k = = + k = ( ) + k = = (,, ) Ecuacón mplícta + + z + d = d = d = z 9 = 7 Dados o plano π + z = e a recta r z 6 a) Estuda a poscón relatva de r e π b) Calcula a ecuacón eral ou mplícta do plano que contén a r e é perpendcular a π a) Un vector normal ao plano é n = (,, ) Determínase un vector drector da recta v k = = + k = ( ) + k = (,, ) Entón v n = (,, ) (,, ) = r e π son paralelos porque ademas, por eemplo, A(,, ) r pero A(,, ) π b) O plano peddo queda determnado polo punto A(,, ) r o e os vectores v = (,, ) e n = (,, ) z = z + = + z = 8 Calcula as ecuacóns paramétrcas da recta r que pasa pola ore de coordenadas e é perpendcular ao plano π determnado polos puntos A(,, ), B(,, ) e C(,, ) Os vectores AB = (,, ) e AC = (,, ) son lnealmente ndependentes e están contdos no plano π Polo tanto, o vector AB AC ten a dreccón da recta r k AB AC = = + k = ( ) k = = (,, ) E pódese tomar como vector drector de r o vector v = (,, ) Tendo en conta que a recta pasa pola ore de coordenadas, as súas ecuacóns paramétrcas serán 7

8 z 9 Dadas as rectas r z e s z z a) Estuda a poscón relatva de r e s Se se cortan, calcula o punto de corte Se determnan un plano, calcula a ecuacón eral ou mplícta dese plano b) Estuda a poscón relatva de r e o plano π + z + 7 = a) Determínase un vector drector e un punto de cada unha das rectas A recta r pasa por P(,, ) e ten como vector drector v k = = + k = ( ) + k = (,, ) A recta s pasa por Q(,, ) e ten como vector drector w = (,, ) PQ = (,, ) rango( v, w ) = rango = = rango( v, w, PQ ) = rango Polo tanto, as rectas córtanse Para calcular o punto de corte, substtúese a, e z das ecuacóns de s nas ecuacóns de r + λ ( + λ) + + λ + = λ = λ = ( + λ) ( + λ) = λ + = λ = E substtuíndo nas ecuacóns de s, obtéñense as coordenadas do punto de corte (,, ) Como as rectas se cortan, determnan un plano α O plano peddo queda determnado polo punto (,, ) e o vector v w que é un vector normal ao plano v w k = = + k = ( ) k = (,, ) A ecuacón mplícta do plano α será + z + d = + + d = d = + z = + z = b) O vector normal ao plano π é n = (,, ) Entón v n = (,, ) (,, ) = r e π son paralelos porque ademas, por eemplo, P(,, ) r pero P(,, ) π 8

9 a) Dado o plano α, calcula as ecuacóns en forma contnua da z recta r que pasa polo punto P(,, ) e é perpendcular ao plano α Calcula o punto de corte de r con α b) Calcula a ecuacón mplícta ou eral do plano que pasa polos puntos P(,, ) e Q(,, ) e é perpendcular ao plano α c) Calcula as ecuacóns paramétrcas da recta nterseccón do plano β + z 9 = co plano α a) Como a recta é perpendcular ao plano, entón o vector drector da recta é perpendcular ao plano v = n k = = + k = ( ) + 6k = = (,, 6) Tómase como vector drector (,, ) Entón as ecuacóns da recta en forma contnua son r = z = Para calcular o punto de corte da recta e o plano, consdéranse as ecuacóns paramétrcas da recta r z Entón un punto enérco é Q( + λ, + λ, + λ) Calcúlase a ecuacón eral do plano tendo en conta que n = (,, ) e un punto do plano é (,, ) + + z + d = d = d = α + + z = Imponse a condcón de que Q α + λ + ( + λ) + ( + λ) = λ 8 = λ = Polo tanto, o punto de corte será R(,, ) b) O vectores PQ = (,, ) e n = (,, ) son dous vectores contdos no plano β peddo Polo tanto, PQ n é un vector perpendcular ao plano β PQ n k = = + k = + k = (,, ) A ecuacón eral do plano β será + z + d = ( ) + ( ) + d = d = 9 β + z 9 = c) Basta resolver o sstema de ecuacóns lneas dadas polas ecuacóns eras de α e β z z 9 Como z 9 z =, o sstema anteror é equvalente ao segunte 9

10 Resolvéndoo z z = 9 z z 86 9 z = = z, = 7 E as ecuacóns paramétrcas da recta nterseccón son 7 s, λ R z = z = z