ΕΠΙΤΡΟΠΗ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΩΝ 72 ος ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΟΣ ΜΑΘΗΤΙΚΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ο ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ ΣΑΒΒΑΤΟ, 21 ΙΑΝΟΥΑΡΙΟΥ 2012

Transcript

1 Τηλ Fax: Tel Fax: ος ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΟΣ ΜΑΘΗΤΙΚΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΣΑΒΒΑΤΟ, 1 ΙΑΝΟΥΑΡΙΟΥ 01 ΟΔΗΓΙΕΣ ΠΡΟΣ ΤΟΥΣ ΠΡΟΕΔΡΟΥΣ ΤΩΝ ΤΟΠΙΚΩΝ ΝΟΜΑΡΧΙΑΚΩΝ ΕΠΙΤΡΟΠΩΝ, ΠΡΟΕΔΡΟΥΣ ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΩΝ ΚΕΝΤΡΩΝ ΚΑΙ ΕΠΙΤΗΡΗΤΕΣ 1. Παρακαλούμε να διαβάσετε προσεκτικά τις οδηγίες στους μαθητές.. Οι επιτηρητές των αιθουσών θα διανείμουν πρώτα κόλλες αναφοράς, στις οποίες οι μαθητές θα πρέπει απαραίτητα να γράψουν ΕΠΩΝΥΜΟ, ΟΝΟΜΑ, ΣΧΟΛΕΙΟ, ΤΑΞΗ, ΔΙΕΥΘΥΝΣΗ ΚΑΤΟΙΚΙΑΣ και το ΣΤΑΘΕΡΟ και ΚΙΝΗΤΟ ΤΗΛΕΦΩΝΟ, τα οποία θα ελεγχθούν σε αντιπαραβολή με την ταυτότητα που θα έχουν οι εξεταζόμενοι, πριν καλυφθούν και μετά θα γίνει η υπαγόρευση ή διανομή φωτοτυπιών των θεμάτων στους μαθητές. 3. Να φωτοτυπηθεί και να μοιραστεί σε όλους τους μαθητές η επιστολή που σας αποστέλλουμε μαζί με τα θέματα. 4. Η εξέταση πρέπει να διαρκέσει ακριβώς τρεις (3) ώρες από τη στιγμή που θα γίνει η εκφώνηση των θεμάτων (9-1 περίπου). Δε θα επιτρέπεται σε κανένα μαθητή ν' αποχωρήσει πριν παρέλθει μία ώρα από την έναρξη της εξέτασης. 5. Οι επιτηρητές των αιθουσών έχουν το δικαίωμα ν' ακυρώσουν τη συμμετοχή μαθητών, αν αποδειχθεί ότι αυτοί έχουν χρησιμοποιήσει αθέμιτα μέσα, σημειώνοντας τούτο στις κόλλες των μαθητών. Η επιτροπή Διαγωνισμών της Ε.Μ.Ε. έχει δικαίωμα να επανεξετάσει μαθητή αν έχει λόγους να υποπτεύεται ότι το γραπτό του είναι αποτέλεσμα χρήσης αθέμιτου μέσου. 6. Υπολογιστές οποιουδήποτε τύπου καθώς και η χρήση κινητών απαγορεύονται. 7. Αμέσως μετά το πέρας της εξέτασης, οι κόλλες των μαθητών πρέπει να σφραγιστούν εντός φακέλου ή φακέλων, που θα έχουν την υπογραφή του υπεύθυνου του εξεταστικού κέντρου και ν' αποσταλούν στην Επιτροπή Διαγωνισμών της Ε.Μ.Ε., Πανεπιστημίου 34, Αθήνα, αφού πρώτα στα παραρτήματα, εφόσον είναι εφικτό, γίνει μία πρώτη βαθμολόγηση, σύμφωνα με το σχέδιο βαθμολόγησης της επιτροπής διαγωνισμών. 8. Τα αποτελέσματα του διαγωνισμού θα σταλούν στους Προέδρους των Τοπικών Νομαρχιακών Επιτροπών (ΤΝΕ) και τα Παραρτήματα της Ε.Μ.Ε. 9. Η Εθνική Ολυμπιάδα Μαθηματικών «ΑΡΧΙΜΗΔΗΣ» θα γίνει στις 3 Μαρτίου 01 στην Αθήνα. Από τους διαγωνισμούς αυτούς και επί πλέον από ένα τελικό διαγωνισμό στην Ε.Μ.Ε. και μια προφορική εξέταση με προκαθορισμένη διαδικασία θα επιλεγεί η εθνική ομάδα, που θα συμμετάσχει στην 9 η Βαλκανική Μαθηματική Ολυμπιάδα (Τουρκία, Μάιος 01), στην 16 η Βαλκανική Μαθηματική Ολυμπιάδα Νέων (Ιούνιος 01) και στην 53 η Διεθνή Μαθηματική Ολυμπιάδα (Αργεντινή, Ιούλιος 01). 10. Με την ευκαιρία αυτή, το Δ.Σ. της Ε.Μ.Ε. ευχαριστεί όλους τους συναδέλφους που συμβάλλουν με την εθελοντική τους συμμετοχή στην επιτυχία των Πανελλήνιων Μαθητικών Διαγωνισμών της Ελληνικής Μαθηματικής Εταιρείας. 11. Παρακαλούμε τον Πρόεδρο της ΤΝΕ να αναπαράγει με τα ονόματα των επιτηρητών την ευχαριστήρια επιστολή του Δ.Σ. της Ελληνικής Μαθηματικής Εταιρείας και την παραδώσει στους επιτηρητές. Για το Διοικητικό Συμβούλιο της Ελληνικής Μαθηματικής Εταιρείας Ο Πρόεδρος Γρηγόριος Καλογερόπουλος Καθηγητής Πανεπιστημίου Αθηνών Ο Γενικός Γραμματέας Εμμανουήλ Κρητικός Λέκτορας Οικονομικού Πανεπιστημίου Αθηνών

2 Τηλ Fax: Tel Fax: ος ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΟΣ ΜΑΘΗΤΙΚΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙ- ΚΑ ΣΑΒΒΑΤΟ, 1 ΙΑΝΟΥΑΡΙΟΥ 01 B τάξη Γυμνασίου (α) Να συγκρίνετε τους αριθμούς Α= + + : και Β= : Μονάδες (β) Αν ισχύει ότι: 6( αβ + βγ + γα) = 11αβγ και αβγ 0, να βρείτε την τιμή της παράστασης: 8 α 1 β 16 γ Γ= + +. α 3β 4γ Μονάδες 3 Πρόβλημα Ένας πελάτης αγόρασε από μία έκθεση αυτοκινήτων ένα αυτοκίνητο για το οποίο πλήρωσε με μετρητά το μισό της τιμής πώλησης του αυτοκινήτου, ενώ για τα υπόλοιπα συμφωνήθηκε να πληρώσει με 4 μηνιαίες δόσεις των 500 ευρώ. Με αυτόν το διακανονισμό επιβαρύνθηκε με τόκους που συνολικά αντιστοιχούν στο 10% της τιμής πώλησης του αυτοκινήτου. Να βρείτε την τιμή πώλησης του αυτοκινήτου και πόσα συνολικά θα πληρώσει συνολικά ο πελάτης. Στο διπλανό σχήμα, το τρίγωνο ΑΒΓ είναι ισοσκελές ( ΑΒ = ΑΓ ) και οξυγώνιο, το τρίγωνο ΑΔΓ είναι ισόπλευρο και Ε είναι το μέσο του ΑΔ. Αν το Κ βρίσκεται στη προέκταση της ΒΓ και οι ΒΔ, ΓΕ τέμνονται στο σημείο Ζ, να αποδείξετε ότι οι γωνίες ˆ ΒΖΓ και ˆ ΚΓΔ, είναι ίσες. Γράφουμε στον πίνακα το σύνολο Α που περιέχει όλους τους ακέραιους από το 1 μέχρι και το 01. Διαγράφουμε από το σύνολο Α όλους τους ακέραιους που είναι πολλαπλάσια του 5 και στη συνέχεια, από τους ακέραιους που απέμειναν, διαγράφουμε αυτούς που είναι πολλαπλάσια του 8. Να βρείτε πόσοι ακέραιοι θα απομείνουν στο σύνολο Α.

3 Τηλ Fax: Tel Fax: ος ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΟΣ ΜΑΘΗΤΙΚΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΣΑΒΒΑΤΟ, 1 ΙΑΝΟΥΑΡΙΟΥ 01 Γ τάξη Γυμνασίου (α) Να βρείτε την τιμή της παράστασης: 3 α α α Α= + β +, β 4β β 3 αν δίνεται ότι α = β =. Μονάδες x (β) Αν τα ποσά x, y είναι ανάλογα με συντελεστή αναλογίας = α > 0, να αποδείξετε ότι η y xy παράσταση Κ= έχει τιμή ανεξάρτητη των τιμών των x, y και ισχύει ότι Κ 1. x + y Για ποια τιμή του α η παράσταση Κ παίρνει τη μέγιστη τιμή της. Μονάδες 3 Πρόβλημα Στο διπλανό σχήμα, οι μικροί κύκλοι είναι ίσοι μεταξύ τους (με ακτίνα R ), έχουν κέντρα τα σημεία ΚΛ, και εφάπτονται εξωτερικά στο σημείο Μ. Οι διάμετροι ΑΒ και ΓΔ (των μικρών κύκλων) είναι κάθετες στην διάκεντρό τους ΚΛ. Ο μεγάλος κύκλος τέλος, έχει κέντρο το σημείο Μ και περνάει από τα σημεία ΑΒΓΔ.,,, Να υπολογιστεί συναρτήσει του R, το εμβαδό του σκιασμένου χωρίου. Γράφουμε στον πίνακα το σύνολο Α που περιέχει όλους τους ακέραιους από το 101 μέχρι και το 01. Διαγράφουμε από το σύνολο Α όλους τους ακέραιους που είναι πολλαπλάσια του 3 και στη συνέχεια, από τους ακέραιους που απέμειναν, διαγράφουμε αυτούς που είναι πολλαπλάσια του 8. Να βρείτε πόσοι ακέραιοι θα απομείνουν στο σύνολο Α. Δίνονται τα πολυώνυμα P( x) = ( x 1)( x+ 1)( x )( x+ ) και Q( x) = ( αx + βx)( γx + δ) + 4, όπου α, βγδ,,. Αν ισχύει ότι α + β + γ + δ = 3, να βρείτε τις τιμές των παραμέτρων,,, P x και Q x είναι ίσα. α βγδ για τις οποίες τα πολυώνυμα ( ) ( )

4 Τηλ Fax: Tel Fax: ος ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΟΣ ΜΑΘΗΤΙΚΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΣΑΒΒΑΤΟ, 1 ΙΑΝΟΥΑΡΙΟΥ 01 Α τάξη Λυκείου Να βρείτε το υποσύνολο των πραγματικών αριθμών στο οποίο συναληθεύουν οι ανισώσεις: ( ) ( ) x x 1 x + x x+ 1 x x+ 1 x+ + και + > Πρόβλημα Να προσδιορίσετε τις λύσεις της εξίσωσης ( 1 ax) ( a x) x + x + + ab = 1 x 1 a a b για τις διάφορες τιμές των πραγματικών αριθμών, ( ) ab με ab( a b)( a ), 1 0. Δίνεται ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ με ˆ Β= 90 και Α< ˆ 45. Θεωρούμε τα μέσα Δ και Ε των πλευρών ΒΓ και ΑΓ, αντίστοιχα, και σημείο Μ διαφορετικό από το Α στο ευθύγραμμο τμήμα ΑΕ. Αν η μεσοκάθετη του ευθύγραμμου τμήματος ΒΜ τέμνει την ευθεία ΔΕ στο Ζ και την ευθεία ΑΓ στο Θ, να αποδείξετε ότι: (α) ΒΜΖ ˆ = Α. ˆ (β) Η ευθεία ΒΖ διχοτομεί τη γωνία ΘΒΕ ˆ. Αν υπάρχουν ακέραιοι x, ya, που επαληθεύουν την εξίσωση ( ) ( ) yx + y a x + y y a = 0, να αποδείξετε ότι ο αριθμός xy είναι τέλειο τετράγωνο ρητού αριθμού.

5 Τηλ Fax: Tel Fax: ος ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΟΣ ΜΑΘΗΤΙΚΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΣΑΒΒΑΤΟ, 1 ΙΑΝΟΥΑΡΙΟΥ 01 Β τάξη Λυκείου Να προσδιορίσετε τις τιμές της παραμέτρου a 0 για τις οποίες η εξίσωση 1 1 a + 6 =, 3 a+ ax x x x 4x έχει δύο πραγματικές ρίζες με διαφορά 4. Πρόβλημα Αν y ακέραιος και x, να προσδιορίσετε όλα τα ζευγάρια (, ) συστήματος x y που είναι λύσεις του 1+ y x 3x+ 1 > 0. ( ) y + x < 0 Να παραστήσετε γραφικά στο Καρτεσιανό επίπεδο Oxy, το σύνολο των σημείων ( x, y) όπου ( x, y ) λύση του συστήματος (Σ). Σ Μ, Δίνεται οξυγώνιο σκαληνό τρίγωνο ΑΒΓ με ΑΒ<ΑΓ, εγγεγραμμένο σε κύκλο cor (, ). Η διχοτόμος της γωνίας ˆΑ τέμνει τον κύκλο cor (, ) στο σημείο Μ. Ο κύκλος c (, ) 1 ΜΑΜ τέμνει την προέκταση της ΑΓ στο σημείο Δ. Να αποδείξετε ότι ΓΔ=ΑΒ. Βρείτε όλες τις ρητές τιμές του x για τις οποίες είναι ρητός ο αριθμός ab, ρητοί τέτοιοι ώστε a < 4b. x + ax + b, όπου

6 Τηλ Fax: Tel Fax: ος ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΟΣ ΜΑΘΗΤΙΚΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΣΑΒΒΑΤΟ, 1 ΙΑΝΟΥΑΡΙΟΥ 01 Γ τάξη Λυκείου Να βρεθεί η αριθμητική πρόοδος αν, ν = 1,,3,... που έχει πρώτο όρο α1 = α 0, διαφορά ω 0 και είναι τέτοια ώστε ο λόγος του αθροίσματος α1 + + αν των ν πρώτων όρων της προς το άθροισμα αν α3 ν των επόμενων ν το πλήθος όρων της είναι σταθερός, δηλαδή ανεξάρτητος του ν. Πρόβλημα Να λύσετε στους πραγματικούς αριθμούς το σύστημα: x = z, y = x, z = y 16 + z 16 + x 16 + y Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ εγγεγραμμένο σε κύκλο cor (, ). Τα ύψη του ΑΔ, ΒΕ, ΓΖ τέμνουν τον περιγεγραμμένο κύκλο στα σημεία Α1, Β1, Γ 1 αντίστοιχα. Αν Α, Β, Γ είναι τα μέσα των ευθυγράμμων τμημάτων ΟΔ, ΟE, Ο Z αντίστοιχα, να αποδείξετε ότι οι ευθείες ΑΑ 1,ΒΒ 1,Γ1Γ περνάνε από το ίδιο σημείο. Βρείτε όλες τις ρητές τιμές του x για τις οποίες είναι ρητός ο αριθμός ab, ρητοί τέτοιοι ώστε a < 16b. 4x ax + b, όπου