ΕΠΙΤΡΟΠΗ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΩΝ 70 ος ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΟΣ ΜΑΘΗΤΙΚΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ο ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ ΣΑΒΒΑΤΟ, 23 ΙΑΝΟΥΑΡΙΟΥ 2010

Transcript

1 Πανεπιστημίου (Ελευθερίου Βενιζέλου) 4 Τηλ Fax: , Panepistimiou (Εleftheriou Venizelou) Street Tel Fax: ΟΔΗΓΙΕΣ ΠΡΟΣ ΤΟΥΣ ΠΡΟΕΔΡΟΥΣ ΤΩΝ ΤΟΠΙΚΩΝ ΝΟΜΑΡΧΙΑΚΩΝ ΕΠΙΤΡΟΠΩΝ, ΠΡΟΕΔΡΟΥΣ ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΩΝ ΚΕΝΤΡΩΝ ΚΑΙ ΕΠΙΤΗΡΗΤΕΣ 1. Παρακαλούμε να διαβάσετε προσεκτικά τις οδηγίες στους μαθητές.. Οι επιτηρητές των αιθουσών θα διανείμουν πρώτα κόλλες αναφοράς, στις οποίες οι μαθητές θα πρέπει απαραίτητα να γράψουν ΕΠΩΝΥΜΟ, ΟΝΟΜΑ, ΣΧΟΛΕΙΟ, ΤΑΞΗ, ΔΙΕΥΘΥΝΣΗ ΚΑΤΟΙΚΙΑΣ και ΤΗΛΕΦΩΝΟ, τα οποία θα ελεγχθούν σε αντιπαραβολή με την ταυτότητα που θα έχουν οι εξεταζόμενοι, πριν καλυφθούν και μετά θα γίνει η υπαγόρευση ή διανομή φωτοτυπιών των θεμάτων στους μαθητές.. Να φωτοτυπηθεί και να μοιραστεί σε όλους τους μαθητές η επιστολή που σας αποστέλλουμε μαζί με τα θέματα. 4. Η εξέταση πρέπει να διαρκέσει ακριβώς τρεις () ώρες από τη στιγμή που θα γίνει η εκφώνηση των θεμάτων (9-1 περίπου). Δε θα επιτρέπεται σε κανένα μαθητή ν' αποχωρήσει πριν παρέλθει μία ώρα από την έναρξη της εξέτασης. 5. Οι επιτηρητές των αιθουσών έχουν το δικαίωμα ν' ακυρώσουν τη συμμετοχή μαθητών, αν αποδειχθεί ότι αυτοί έχουν χρησιμοποιήσει αθέμιτα μέσα, σημειώνοντας τούτο στις κόλλες των μαθητών. Η επιτροπή Διαγωνισμών της Ε.Μ.Ε. έχει δικαίωμα να επανεξετάσει μαθητή αν έχει λόγους να υποπτεύεται ότι το γραπτό του είναι αποτέλεσμα χρήσης αθέμιτου μέσου. 6. Υπολογιστές οποιουδήποτε τύπου καθώς και η χρήση κινητών απαγορεύονται. 7. Αμέσως μετά το πέρας της εξέτασης, οι κόλλες των μαθητών πρέπει να σφραγιστούν εντός φακέλου ή φακέλων, που θα έχουν την υπογραφή του υπεύθυνου του εξεταστικού κέντρου και ν' αποσταλούν στην Επιτροπή Διαγωνισμών της Ε.Μ.Ε., Πανεπιστημίου 4, Αθήνα, αφού πρώτα στα παραρτήματα, εφόσον είναι εφικτό, γίνει μία πρώτη βαθμολόγηση, σύμφωνα με το σχέδιο βαθμολόγησης της επιτροπής διαγωνισμών. 8. Τα αποτελέσματα του διαγωνισμού θα σταλούν στους Προέδρους των Τοπικών Νομαρχιακών Επιτροπών (ΤΝΕ) και τα Παραρτήματα της Ε.Μ.Ε. 9. Η Εθνική Ολυμπιάδα Μαθηματικών «ΑΡΧΙΜΗΔΗΣ» θα γίνει στις 7 Φεβρουαρίου 010 στην Αθήνα. Από το διαγωνισμό αυτό και επί πλέον από ένα τελικό προκριματικό διαγωνισμό στην Ε.Μ.Ε. συνοδευόμενο από μια προφορική εξέταση με προκαθορισμένη διαδικασία θα επιλεγούν οι εθνικές ομάδες, που θα συμμετάσχουν στην 7 η Βαλκανική Μαθηματική Ολυμπιάδα (Μολδαβία, Μάιος 010), στην 14 η Βαλκανική Μαθηματική Ολυμπιάδα Νέων (Ρουμανία, Ιούνιος 010) και στην 51η Διεθνή Μαθηματική Ολυμπιάδα (Αστάνα, Καζακστάν, Ιούλιος 010). 10. Με την ευκαιρία αυτή, το Δ.Σ. της Ε.Μ.Ε. ευχαριστεί όλους τους συναδέλφους που συμβάλλουν αφιλοκερδώς στην επιτυχία των Πανελληνίων Μαθητικών Διαγωνισμών της Ελληνικής Μαθηματικής Εταιρείας. 11. Παρακαλούμε τον Πρόεδρο της ΤΝΕ μαζί με τα γραπτά να μας στείλει το ονοματεπώνυμο και την ταχ. Δ/νση όλων των επιτηρητών για να τους σταλεί ονομαστική ευχαριστήρια επιστολή από το Δ.Σ. της ΕΜΕ. ΓΙΑ ΤΟ Δ.Σ. ΤΗΣ Ε.Μ.Ε. Ο Πρόεδρος Καθηγητής Γρηγόρης Καλογερόπουλος Ο Γενικός Γραμματέας Ιωάννης Τυρλής

2 Πανεπιστημίου (Ελευθερίου Βενιζέλου) 4 Τηλ Fax: , Panepistimiou (Εleftheriou Venizelou) Street Tel Fax: B τάξη Γυμνασίου (α) Να υπολογίσετε την τιμή της παράστασης Α= Μονάδες (β) Να συγκρίνετε τους αριθμούς Β= : και Γ= Μονάδες Ο τριψήφιος θετικός ακέραιος x = αβγ = 100α + 10 β + γ, α 0, έχει άθροισμα ψηφίων 10. Αν εναλλάξουμε το ψηφίο των εκατοντάδων με το ψηφίο των μονάδων του, τότε προκύπτει ακέραιος μικρότερος από τον x κατά 97. Ποιες είναι οι δυνατές τιμές του x ; Πρόβλημα Ορθογώνιο ΑΒΓΔ έχει πλάτος ΑΒ = x μέτρα και μήκος ΒΓ= y μέτρα, το οποίο είναι διπλάσιο του πλάτους του. Αν αυξήσουμε το πλάτος του κατά 5%, να βρείτε πόσο επί τα εκατό πρέπει να ελαττώσουμε το μήκος του, ώστε το εμβαδόν του να μείνει αμετάβλητο. Στο διπλανό σχήμα το τετράπλευρο ΑΒΓΔ είναι ρόμβος πλευράς α και το τρίγωνο ΓΕΖ είναι ισόπλευρο πλευράς α. Τα σημεία Ε και Ζ βρίσκονται πάνω στις πλευρές ΑΒ και ΑΔ, αντίστοιχα. Να βρείτε τις γωνίες του ρόμβου ΑΒΓΔ. Ε Β Α Ζ Γ Δ

3 Πανεπιστημίου (Ελευθερίου Βενιζέλου) 4 Τηλ Fax: , Panepistimiou (Εleftheriou Venizelou) Street Tel Fax: Γ τάξη Γυμνασίου Έστω ο ακέραιος ν ν ν 4ν Α= ( 1) + ( 1) + ( 1) + ( 1 ) ν, όπου ν θετικός ακέραιος. Αν ο Α είναι διαιρέτης του 4, να βρείτε τις δυνατές τιμές του ν. Υπάρχει διψήφιος θετικός ακέραιος N = ab= 10 a+ b, όπου ab, ψηφία με a 0, που ισούται με το γινόμενο των ψηφίων του ελαττωμένο κατά το άθροισμα των ψηφίων του; Πρόβλημα Να υπολογίσετε την τιμή της παράστασης S = Στο παρακάτω σχήμα δίνεται ότι το σημείο Δ είναι το μέσο της πλευράς ΑΓ= β του τριγώνου ΑΒΓ, ˆ ΔΑΕ = 90, η ευθεία ΔΕ είναι κάθετη προς την ευθεία ΒΓ, ΑΔΕ ˆ = ΓΔΖ ˆ = θ και ΓΖΔ ˆ = 0 0. (i) Να βρείτε τη γωνία θ. Μονάδες 1 (ii) Να υπολογίσετε το μήκος του ευθύγραμμου τμήματος ΕΖ συναρτήσει του β. Μονάδες 4

4 Πανεπιστημίου (Ελευθερίου Βενιζέλου) 4 Τηλ Fax: , Panepistimiou (Εleftheriou Venizelou) Street Tel Fax: Α τάξη Λυκείου (i) Να βρείτε τις τιμές του ρητού αριθμού α, για τις οποίες ο αριθμός Α= α είναι ρητός. Μονάδες (ii) Να αποδείξετε ότι ο αριθμός Β= ( 1+ ) είναι άρρητος. Μονάδες Να αποδείξετε ότι η εξίσωση x + 1 x = α x, έχει, για κάθε τιμή της παραμέτρου α, μία τουλάχιστον πραγματική λύση. Για ποιες τιμές του α η εξίσωση έχει δύο διαφορετικές μεταξύ τους πραγματικές λύσεις; Πρόβλημα Δίνεται τρίγωνο ABC εγγεγραμμένο σε κύκλο COR (, ) και έστω A1, B1, C 1 τα αντιδιαμετρικά σημεία των κορυφών του A, B, C. Στις ευθείες που ορίζουν οι πλευρές BC, ACAB, θεωρούμε τα σημεία A, B, C, αντίστοιχα, και έστω (ε 1) η ευθεία που ορίζουν τα σημεία A1, A, (ε ) η ευθεία που ορίζουν τα σημεία B1, B και (ε ) η ευθεία που ορίζουν τα σημεία C1, C. Έστω ακόμη (δ 1) η παράλληλη ευθεία που φέρουμε από το σημείο A προς την (ε 1), (δ ) η παράλληλη ευθεία που φέρουμε από το σημείο B προς την (ε ) και (δ ) η παράλληλη ευθεία που φέρουμε από το σημείο C προς την (ε ). Να αποδείξετε ότι οι ευθείες (ε 1), (ε ) και (ε ) συντρέχουν (δηλαδή, περνάνε από το ίδιο σημείο), αν, και μόνο αν, οι ευθείες (δ 1), (δ ) και (δ ) συντρέχουν. Οι πραγματικοί αριθμοί x, y και z ικανοποιούν τις ισότητες: x y = 6z x y xy = 6 z. (α) Να εκφράσετε τους x, y συναρτήσει του z. Μονάδες (β) Αν επιπλέον ισχύει ότι x+ y+ z = 8, να βρείτε τους πραγματικούς αριθμούς x, y και z. Μονάδες

5 Πανεπιστημίου (Ελευθερίου Βενιζέλου) 4 Τηλ Fax: , Panepistimiou (Εleftheriou Venizelou) Street Tel Fax: Να προσδιορίσετε όλες τις τριάδες (,, ) x yz πραγματικών αριθμών που είναι λύσεις του συστήματος: Β τάξη Λυκείου x + y = 65z x y+ xy = 0z x y+ z = 10. Δίνεται οξυγώνιο και σκαληνό τρίγωνο ABC, K τυχόν σημείο στο εσωτερικό του και τα ύψη του AH1, BH, CH. Ο περιγεγραμμένος κύκλος του τριγώνου AH H τέμνει την ημιευθεία AK στο σημείο K 1, ο περιγεγραμμένος κύκλος του τριγώνου BH1H τέμνει την ημιευθεία BK στο σημείο K και ο περιγεγραμμένος κύκλος του τριγώνου CH1H τέμνει τη ημιευθεία CK στο σημείο K. Να αποδείξετε ότι τα σημεία K1, K, K, H και K είναι ομοκυκλικά, δηλαδή ανήκουν στον ίδιο κύκλο, όπου H είναι το ορθόκεντρο του τριγώνου ABC. Πρόβλημα Να αποδείξετε ότι η εξίσωση x x x αx =, α, έχει, για κάθε α, δύο διαφορετικές μεταξύ τους ρίζες στο σύνολο. Για ποιες τιμές του α οι δύο ρίζες είναι ετερόσημες; Να λύσετε στους πραγματικούς αριθμούς την εξίσωση x x x x 1 x = +.

6 Πανεπιστημίου (Ελευθερίου Βενιζέλου) 4 Τηλ Fax: , Panepistimiou (Εleftheriou Venizelou) Street Tel Fax: Γ τάξη Λυκείου * Η ακολουθία a,, n n ορίζεται αναδρομικά από τις σχέσεις * a = n 1 a + + n kn, n, όπου k θετικός ακέραιος και a 1 = 1. Να βρείτε για ποια τιμή του k ο αριθμός 011 είναι όρος * της ακολουθίας a,. n n. Δίνεται οξυγώνιο και σκαληνό τρίγωνο ABC και έστω M1, M, M τυχόντα σημεία των πλευρών του BC, AC, AB αντίστοιχα. Έστω ακόμη τα ύψη του AH1, BH, CH. Να αποδείξετε ότι οι περιγεγραμμένοι κύκλοι των τριγώνων AH H, BM1H, CM1H περνάνε από το ίδιο σημείο (έστω K 1), οι περιγεγραμμένοι κύκλοι των τριγώνων BH H, 1 AM H, CM H 1 περνάνε από το ίδιο σημείο (έστω K ) και οι περιγεγραμμένοι κύκλοι των τριγώνων CH1H, AM H, BM H 1 περνάνε από το ίδιο σημείο (έστω K ). Στη συνέχεια, να αποδείξετε ότι οι ευθείες AK1, BK, CK συντρέχουν ( δηλαδή, περνάνε από το ίδιο σημείο), αν, και μόνο αν, οι ευθείες AM1, BM, CM συντρέχουν. Πρόβλημα Αν,,,, 0,0 xy, 0,0 και ισχύουν abxy με ( ab) ( ) και ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) a x y bxy = x a b aby b x y + axy = y a b + abx, να αποδείξετε ότι x = a και y = b. Σημείο Μ βρίσκεται στο εσωτερικό κύκλου C ( O, r), όπου r = 15cm, σε απόσταση 9cm από το κέντρο του κύκλου. Να βρείτε τον αριθμό των χορδών του κύκλου C ( O, r) που περνάνε από το σημείο Μ και το μήκος τους είναι ακέραιος αριθμός.