( 5) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Ενδεικτικές λύσεις
|
|
- Τάνις Σερπετζόγλου
- 6 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ Πανεπιστημίου (Ελευθερίου Βενιζέλου) ΑΘΗΝΑ Τηλ Fax: info@hms.gr GREEK MATHEMATICAL SOCIETY 34, Panepistimiou (Εleftheriou Venizelou) Street GR Athens - HELLAS Tel Fax: info@hms.gr ΕΠΙΤΡΟΠΗ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΩΝ 77 ος ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΟΣ ΜΑΘΗΤΙΚΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ο ΘΑΛΗΣ 1 Νοεμβρίου 016 Ενδεικτικές λύσεις Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Πρόβλημα 1 Να υπολογίσετε την τιμή της αριθμητικής παράστασης: ( ) ( 5) ( ) ( 5) ( ) Α= ( ) Α= = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) = = = = 48. Πρόβλημα Δίνεται ισόπλευρο τρίγωνο ΑΒΓ πλευράς α. Στο σημείο Α φέρουμε ευθύγραμμο τμήμα Α = α κάθετο προς την πλευρά ΑΓ. Η προέκταση της διαμέσου ΒΕ τέμνει το ευθύγραμμο τμήμα ΓΔ στο σημείο Ζ. (α) Να αποδείξετε ότι ΖΑ = ΖΓ. (β) Να βρείτε πόσες μοίρες είναι η γωνία ˆ Α Β. (α) Η διάμεσος ΒΕ του ισοπλεύρου τριγώνου ΑΒΓ είναι ύψος και διχοτόμος, άρα και μεσοκάθετη της πλευράς ΑΓ. Επομένως το σημείου Ζ απέχει ίσες αποστάσεις από τα σημεία Α και Γ, δηλαδή ΖΑ = ΖΓ.. 1
2 Σχήμα (β) Επειδή είναι Α = α, το τρίγωνο ΑΒΔ είναι ισοσκελές με Α Β ˆ = ΑΒ ˆ (1) Όμως έχουμε ˆ ˆ ˆ ΒΑ = ΒΑΓ + ΓΑ = = 150 () Επομένως από το τρίγωνο ΑΒΔ έχουμε: ˆ ˆ Α Β = ΑΒ = = = 15 Εναλλακτικά, μετά τη σχέση (1) θα μπορούσαμε να προχωρήσουμε ως εξής: Η διάμεσος ΒΕ του ισόπλευρου τριγώνου ΑΒΓ είναι και ύψος, άρα κάθετη προς την πλευρά ΑΓ, όπως είναι κάθετη και η ΑΔ, από την υπόθεση. Επομένως είναι ΒΕ Α, οπότε Α Β ˆ = ΒΕ ˆ (3) Από τις σχέσεις (1) και () έπεται ότι ΑΒ ˆ = ΒΕ. ˆ (4) Άρα η ΒΔ είναι διχοτόμος της γωνίας ΑΒΕ ˆ, οπότε θα έχουμε ˆ ˆ ˆ 30 ΑΒΕ ΑΒ = ΒΕ = = = 15, ˆ 60 αφού η ΒΕ είναι και διχοτόμος της γωνίας ˆΒ, δηλαδή ˆ ΑΒΓ ΑΒΕ = = = 30. Επομένως, λόγω της (1) έχουμε ˆ Α Β = 15. Πρόβλημα 3 Ένα κατάστημα πωλούσε μία τηλεόραση πριν τις εκπτώσεις 540 ευρώ. Την περίοδο των εκπτώσεων την πωλούσε με έκπτωση α %. Με το τέλος των εκπτώσεων το κατάστημα αύξησε την τιμή που πωλούσε την τηλεόραση στις εκπτώσεις κατά β %. Αυτό είχε ως αποτέλεσμα η τιμή πώλησης της τηλεόρασης να γίνει ίση με την τιμή που είχε πριν τις εκπτώσεις. Να βρείτε την τιμή του β συναρτήσει της τιμής του α. Η τιμή πώλησης της τηλεόρασης την περίοδο των εκπτώσεων είναι 540α 540 ευρώ. 100
3 Η τιμή της τηλεόρασης μετά την περίοδο των εκπτώσεων θα γίνει 540α 540α β ευρώ Σύμφωνα με την υπόθεση του προβλήματος θα ισχύει: 540α 540α β 540α = β = 540 α ( 100 α ) 540α α β = 540 α β = β = α ( α) Πρόβλημα 4 Όλα τα ψηφία του θετικού ακέραιου αριθμού Α είναι ίσα είτε με 8 είτε με 9 και καθένα από αυτά τα ψηφία εμφανίζεται τουλάχιστον μία φορά στον αριθμό. Να βρεθεί η ελάχιστη τιμή του Α, αν αυτός διαιρείται με το 4 και με το 3. Για να διαιρείται ένας αριθμός με 4, το τελευταίο διψήφιο τμήμα πρέπει να διαιρείται με το 4 (κριτήρια διαιρετότητας Α Γυμνασίου). Οι πιθανές περιπτώσεις για το τελευταίο διψήφιο τμήμα του αριθμού είναι: 88,89,98,99. Από αυτούς μόνο ο 88 διαιρείται με το 4, οπότε ο Α πρέπει να λήγει σε 88. Επίσης, ξέρουμε ότι ένας ακέραιος διαιρείται με το 3, όταν το άθροισμα των ψηφίων του διαιρείται με 3. Αν υποθέσουμε ότι ο αριθμός Α είναι διψήφιος, τότε πρέπει Α= 88, ο οποίος δεν διαιρείται με το 3. Αν ο αριθμός είναι τριψήφιος, τότε θα είναι είτε ο 888 είτε ο 988. Όμως στον 888 δεν χρησιμοποιείται το ψηφίο 9, ενώ ο 988 έχει άθροισμα ψηφίων 5 και δεν διαιρείται με το 3. Αν ο αριθμός είναι τετραψήφιος είναι ένας από τους παρακάτω: 8888,8988,9888,9988. Όμως οι αριθμοί 8888,9988 έχουν άθροισμα ψηφίων 3 και 34 αντίστοιχα, άρα δεν διαιρούνται με το 3. Επομένως, οι μόνοι τετραψήφιοι που ικανοποιούν τις συνθήκες είναι οι 8988,9888, οπότε η ελάχιστη τιμή του Α είναι Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Πρόβλημα 1 ν 1 Αν : ν 1 α = και ν 3 παράστασης: β ν+ 1 ν = 10 :100, να βρείτε την αριθμητική τιμή της Α= ( ) 3 α 3 β + αβ β+ α α + αβ α. 10 3
4 Έχουμε ότι ν ν ν 1 ν 1 ν ν 1 ν ν 1 ν (ν 1) : : 4 : :. ν 1 1 α = = = = = = 3 3 και ν+ 1 ν ν+ 1 ν 3 β = 10 :100 = 10 :10 = 10, οπότε είναι α = 4, α = 8 και 3 3 ( α β) + αβ β + α 3 (8 10) α + αβ 10α Α= = = = 5 4 Πρόβλημα Δίνεται ευθύγραμμο τμήμα κύκλοι ακτίνας α που έχουν κέντρα στα σημεία Ο και Κ, οι οποίοι τέμνονται στα σημεία Α και ΟΚ = α και δύο Β. Το σημείο Γ ανήκει στο τόξο ΚΒ και η ευθεία ΓΚ τέμνει τον κύκλο C κέντρου Κ και ακτίνας α στο σημείο Δ. Η ευθεία ΟΚ τέμνει τον κύκλο C κέντρου Κ και ακτίνας α στο σημείο Ε. Αν είναι ΚΟΓ ˆ = 45, να βρείτε : (α) πόσες μοίρες είναι η γωνία Κ Ε ˆ, (β) το εμβαδόν του τριγώνου ΟΓΕ συναρτήσει του α. (α) Το τρίγωνο ΟΚΓ έχει ΟΚ = ΟΓ = α, οπότε είναι ισοσκελές με βάση ΚΓ. Άρα έχει τις προσκείμενες στη βάση γωνίες του ίσες, οπότε θα είναι: Σχήμα ˆ ΟΚΓ = = = 67,5 μοίρες. Επίσης, επειδή οι γωνίες ΚΕ ˆ και ΟΚΓ ˆ είναι κατά κορυφή, έχουμε 4
5 ΚΕ ˆ = ΟΚΓ ˆ = 67,5 μοίρες. Η γωνία Κ Ε ˆ είναι μία από τις ίσες γωνίες του ισοσκελούς τριγώνου ΔΚΕ (έχει Κ = ΚΕ = α ), οπότε ˆ ,5 11,5 Κ Ε = = = 56, 5 μοίρες (β) Έστω ΓΖ το ύψος του τριγώνου ΟΓΕ από την κορυφή Γ. Τότε από το ορθογώνιο τρίγωνο ΟΓΖ έχουμε α ΓΖ = α ηµ 45 =, οπότε το εμβαδόν του τριγώνου ΟΓΕ είναι 1 α α Ε( ΟΓ ) = α =. Πρόβλημα 3 Ο Γιώργος και οι φίλοι του έχουν 450 καραμέλες τις οποίες μοίρασαν μεταξύ τους σε ίσα μερίδια και ο καθένας πήρε ακέραιο αριθμό καραμέλες. Όμως τρεις από τους φίλους του Γιώργου του επέστρεψαν το 0% του μεριδίου τους. Έτσι ο Γιώργος πήρε συνολικά περισσότερες από 10 καραμέλες. Να βρείτε πόσοι ήταν συνολικά ο Γιώργος και οι φίλοι του και πόσες καραμέλες πήρε ο Γιώργος. Έστω ότι ο Γιώργος και οι φίλοι του ήταν συνολικά x,.όπου x 4, από την 450 υπόθεση. Τότε ο καθένας τους αρχικά πήρε καραμέλες. Ο τρεις φίλοι x επέστρεψαν στο Γιώργο συνολικά = καραμέλες. 100 x x Ο Γιώργος πήρε συνολικά = καραμέλες. x x x Σύμφωνα με την υπόθεση του προβλήματος, πρέπει: x 70 x 6. x > < < Επομένως οι δυνατές τιμές για το x είναι x= 4 ή x= 5. Όμως η τιμή x = 4 απορρίπτεται, γιατί η διαίρεση 450 : 4 δεν δίνει ακέραιο πηλίκο. Άρα είναι x = 5 και ο Γιώργος πήρε συνολικά = καραμέλες. Πρόβλημα 4 Δίνονται οι αριθμοί 3 Α= 3ab 5 = a b και 3 Β= 5cd 3 = c d. Α Β (α) Να αποδείξετε ότι για οποιαδήποτε ψηφία abcd,,,, ισχύει ότι: < Α Β (β) Αν ανάμεσα στα κλάσματα, υπάρχουν ακριβώς δύο ακέραιοι, να
6 βρεθούν οι δυνατές τιμές των ψηφίων abcd.,,, Α 3ab (α) Ισχύει ότι = < < = 110. Επίσης η μικρότερη τιμή του 53 cd λαμβάνεται όταν c = d = 0, άρα Β 5cd = > > Επομένως, για οποιαδήποτε ψηφία abcdισχύει,,, ότι: Α 35 ab 53 cd Β = < 110 < 111 < = (β) Από το πρώτο ερώτημα ξέρουμε ότι πάντα υπάρχουν δύο ακέραιοι ανάμεσά τους, Α Β το 110 και το 111, αφού δείξαμε ότι < 110 < 111 < Για να είναι μόνο αυτοί οι ακέραιοι ανάμεσά τους, θα πρέπει 35 ab 53 cd 109 < 110 < 111 < Από την ανισότητα αριστερά παίρνουμε ότι 3ab 5 > ab 5 > 394, οπότε πρέπει a = 9 και ο b μπορεί να πάρει οποιαδήποτε τιμή από το 0 μέχρι το 9. Από την ανισότητα δεξιά παίρνουμε 53 cd 11 5cd 3 < cd 3 < 5040, 45 οπότε c = 0 και το d μπορεί να πάρει οποιαδήποτε τιμή από 0 μέχρι 9. Α ΛΥΚΕΙΟΥ Πρόβλημα 1 Να βρείτε όλες τι ακέραιες τιμές του x για τις οποίες συναληθεύουν οι ανισώσεις: 3 ( x + x+ 1)( x 1) + 5x x + x+ 19. (1) x 1 3 4x 1 > () Έχουμε: x + x+ 1 x 1 + 5x x + x+ 19 x x + x x+ x 1+ 5x x + x+ 19 ( )( ) 3 3 x + x x + x+ x x x 1 3 4x 1 5 > 6x 3 3 > 4x 1 x> 5 x> Επομένως, οι δύο ανισώσεις συναληθεύουν για 5 < x 5, οπότε οι ακέραιες τιμές του x που τις συναληθεύουν είναι οι τιμές 3, 4 και 5. 6
7 Πρόβλημα ν ν 1 Να βρεθεί θετικός ακέραιος Α = αα ν ν 1 αα 1 0 = αν 10 + αν α α0, ν, ο οποίος έχει άθροισμα ψηφίων ίσο με 8, έχει γινόμενο ψηφίων ίσο με 8 και διαιρείται με το 8. Επειδή τα ψηφία του αριθμού έχουν γινόμενο 8 και άθροισμα 8, αυτά πρέπει να είναι διαιρέτες του 8 που έχουν άθροισμα 8. Οι διαιρέτες του 8 είναι οι θετικοί ακέραιοι 1,, 4 και 8. Επομένως, λαμβάνοντας υπόψη ότι τα πολλαπλάσια του 8 είναι άρτιοι ακέραιοι, οι δυνατές επιλογές ψηφίων είναι: 1,1, και 4, οπότε προκύπτουν οι αριθμοί: 114, 114, 114, 141, 114, 411.Από αυτούς με έλεγχο διαπιστώνουμε ότι μόνο ο αριθμός Α = 411 διαιρείται με το 8. 1,1,,,, οπότε προκύπτουν οι αριθμοί: 11, 11, 11, 11, 11 και 11 Από αυτούς με έλεγχο διαπιστώνουμε ότι μόνο ο αριθμός Α = 11 διαιρείται με το 8. Άρα υπάρχουν δύο δυνατές τιμές του Α που ικανοποιούν τις συνθήκες του προβλήματος. Ο τετραψήφιος θετικός ακέραιος 411 και ο πενταψήφιος 11. Πρόβλημα 3 Δίνεται ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ με ΑΒ=ΑΓ και Α= ˆ 30. Στο ύψος ΑΜ θεωρούμε σημείο Κ ώστε ΜΒ=ΜΓ=ΜΚ. Με βάση την ΑΚ κατασκευάζουμε τετράγωνο ΑΚΕΖ (στο ημιεπίπεδο με ακμή την ΑΜ, που περιέχει το Β) και ισόπλευρο τρίγωνο ΑΚΔ (στο ημιεπίπεδο με ακμή την ΑΜ, που περιέχει το Γ). Να αποδείξετε ότι τα ευθύγραμμα τμήματα ΔΕ και ΓΖ, τέμνονται πάνω στην ΑΒ. Σχήμα 3 Πρώτα θα αποδείξουμε ότι τα σημεία Γ,Κ,Ζ είναι συνευθειακά. Από το ορθογώνιο και ισοσκελές τρίγωνο ΜΓΚ, έχουμε:. Από το ορθογώνιο και ισοσκελές τρίγωνο ΑΚΖ, έχουμε:. Άρα τα σημεία Γ,Κ,Ζ είναι συνευθειακά, οπότε η ΓΖ είναι μεσοκάθετος της ΑΕ (*) και κατά συνέπεια το τρίγωνο ΑΓΕ είναι ισοσκελές (ΓΑ=ΓΕ). 7
8 Ισχύουν επίσης οι παρακάτω ισότητες γωνιών: Άρα Επιπλέον. (διότι ) και (διότι ). και κατά συνέπεια το ισοσκελές τρίγωνο ΑΕΓ είναι ισόπλευρο. Άρα η ΑΒ είναι διχοτόμος της γωνίας (**). Στο ισοσκελές τρίγωνο ΔΚΕ ισχύει Άρα 15. Επειδή όμως 5, καταλήγουμε, δηλαδή η ΕΔ είναι διχοτόμος της γωνίας (***). Από τα συμπεράσματα (*),(**) και (***) καταλήγουμε ότι οι ΔΕ, ΓΖ και ΑΒ συντρέχουν, δηλαδή οι ΔΕ και ΓΖ τέμνονται πάνω στην ΑΒ. Πρόβλημα 4 Να βρείτε έναν θετικό ακέραιο k, ο οποίος όταν προστεθεί στο γινόμενο Α= , να μας δώσει άθροισμα ίσο με το τετράγωνο ενός ακεραίου. Θέτουμε n = 014 και τότε έχουμε: Α= ( n+ 3)( n+ )( n+ 1)( n 1)( n )( n 3) και θα προσπαθήσουμε να γράψουμε τον αριθμό Α στη μορφή Α= ϕ ( n) k, όπου ϕ ( n) πολυώνυμο μεταβλητής n με ακέραιους συντελεστές και k θετικός ακέραιος. Με εκτέλεση των πράξεων, έχουμε: 6 4 Α= ( n 9)( n 4)( n 1) = n 14n + 49n 36 = 4 = n ( n 14n + 49) 36 = n ( n 7) 36 Επομένως, αν στον αριθμό Α προσθέσουμε θετικό ακέραιο k = 36, παίρνουμε ότι 3 Α+ 36 = n ( n 7) = ( n 7 n), που δίνει έναν θετικό ακέραιο υψωμένο στο τετράγωνο. Άρα μία τιμή για το k είναι η τιμή k = 36. Σημείωση. Μία σύντομη απάντηση μπορεί να δώσει κάποιος στο πρόβλημα, αν θεωρήσει τον αριθμό k =Β Α, με Β >Α, όπου Β θετικός ακέραιος. Για παράδειγμα, ένας τέτοιος αριθμός είναι ο k =Α Α. Β ΛΥΚΕΙΟΥ Πρόβλημα 1 Να προσδιορίσετε την τιμή του ακέραιου αριθμού α για την οποία ο ακέραιος είναι πρώτος. ( α 18) ( 8α 1) Α= + + 8
9 Έχουμε ( α 18) ( 8α 1) ( α 18 8α 1)( α 18 8α 1) ( α α )( α α ) ( α ) ( α ) Α= + + = = = Επειδή ( α + 4) + 3 3, ο ακέραιος Α θα είναι πρώτος, μόνον όταν ( α ) 4 + 1= 1 α = 4 Πρόβλημα Δίνεται οξυγώνιο ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ (ΑΒ=ΑΓ) και σημείο Δ στη διάμεσό του ΑΜ τέτοιο, ώστε ΜΒ = ΜΓ = ΜΔ. Με βάση την ΑΔ κατασκευάζουμε τετράγωνο ΑΔΕΖ (στο ημιεπίπεδο με ακμή την ΑΜ, που περιέχει το Γ). Αν Κ είναι το σημείο τομής των ΑΕ και ΓΖ, να αποδείξετε ότι η ΜΚ είναι παράλληλη στην ΔΖ. Σχήμα 3 Προεκτείνουμε τις ΑΕ, ΒΓ και έστω Ν το σημείο τομής τους. Από την ισότητα των γωνιών ΑΜΝ είναι ισοσκελές., συμπεραίνουμε ότι το τρίγωνο Επομένως ΜΑ=ΜΝ ΜΔ+ΔΑ=ΜΓ+ΓΝ και με δεδομένη την ισότητα ΜΓ=ΜΔ, καταλήγουμε: ΑΔ=ΓΝ=ΑΖ. Θα συγκρίνουμε τώρα τα τρίγωνα ΚΑΖ και ΚΝΓ. Ισχύουν οι ισότητες: α) ΓΝ=ΑΖ β) και γ). Άρα τα τρίγωνα ΚΑΖ και ΚΝΓ είναι ίσα, οπότε ΚΖ=ΚΓ και ΚΑ=ΚΝ. Επομένως, η ΜΚ είναι διάμεσος (άρα και ύψος) στο ορθογώνιο και ισοσκελές τρίγωνο ΑΜΝ. Οπότε οι ΜΚ και ΔΖ είναι παράλληλες (διότι είναι και οι δύο κάθετες στην διαγώνιο ΑΕ. 9
10 Πρόβλημα 3 Να αποδείξετε ότι για κάθε θετικό πραγματικό αριθμό α ισχύει η ανισότητα: (1 ος τρόπος) Θα αποδείξουμε πρώτα ότι: ( )( )( )( ) ( + 1)( + )( + 3) α + 1 α + 3 α + 5 α + 7 α + 4 > 16 α α α α α α + 1 α + 1 >. (1) α α Πράγματι, η τελευταία είναι ισοδύναμη με ( α + ) α > + > > + ( ) ( ) α 1 4α α 1 4α 4α 1 4α 4 α, α α που ισχύει. Αν βάλουμε τώρα στην (1) όπου α το α + 1, παίρνουμε ότι α + 3 α + > () α + 1 α + 1 Και ομοίως παίρνουμε ότι α + 5 α + 3 α + 7 α + 4 > (3) και > (4) α + α + α + 3 α + 3 Πολλαπλασιάζοντας τις (1), (), (3) και (4) κατά μέλη, έχουμε ότι: ( α + 1)( α + 3)( α + 5)( α + 7) α + α + α + α + 16 α + > = α( α + 1)( α + )( α + 3) α α + 1 α + α + 3 α που είναι το ζητούμενο. Σημείωση. Η ανισότητα (1) θα μπορούσε να προκύψει μέσω της ανισότητας αριθμητικού γεωμετρικού μέσου, αφού α > 0, ως εξής: α + 1 α + 1 α + 1 α + 1 = 1+ > 1 =, α α α α α + 1 αφού είναι 1. Ομοίως προκύπτουν και οι ανισότητες (), (3) και (4), οπότε α τελειώνουμε την άσκηση όπως παραπάνω. Πρόβλημα 4 Να βρεθούν οι μη-αρνητικοί πραγματικοί αριθμοί xyzwπου,,, ικανοποιούν τις παρακάτω σχέσεις: x+ w=, y+ w=, z+ + w=, y+ + w=. x y x z Έστω (Σ) x+ = w+ (1), y+ = w+ (), z+ = w (3), y+ = w (4) x y x z Με αφαίρεση κατά μέλη των (1) και () λαμβάνουμε: 10
11 1 1 1 x y+ = 0 ( x y) 1 = 0 x= y x y xy ή xy = 1. Περίπτωση 1: Έστω x= y. Τότε από τις (3) και (4) έχουμε: z + = x + ( z x) 1+ = 0 x = z x z zx ή xz = 1. Αν x= z, τότε x= y = z και από τις (1) και (3) προκύπτει ότι: w= 0 και 1 x+ = w= 0 και x= 1. Επομένως, σε αυτή την x xyzw,,, = 1,1,1, 0. υποπερίπτωση έχουμε τη λύση ( ) ( ) Αν xz = 1, τότε οι xzθα, είναι ετερόσημοι, οπότε ένας θα είναι αρνητικός. Περίπτωση : Έστω xy = 1. Τότε με αφαίρεση της (4) από την (3) λαμβάνουμε: 1 z = 0 z 1 = 0 z = 1, αφού z 0. z Με πρόσθεση των (1) και (3) λαμβάνουμε x+ = 3 x 3x+ = 0 x= 1 ή x=. x Για 1 xyzw,,, = 1,1,1, 0. Για x =, προκύπτει πάλι η λύση ( ) ( ) x =, προκύπτει η λύση ( xyzw) 1 1,,, =,,1,. Γ ΛΥΚΕΙΟΥ Πρόβλημα 1 Στο Καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων Oxy θεωρούμε την παραβολή με εξίσωση y = x και τα σημεία της ΑΒ, και Γ με τετμημένες αβ, και γαντίστοιχα,, έτσι ώστε α β = β γ = ω > 0. Να εκφράσετε το εμβαδόν του τριγώνου ΑΒΓ ως συνάρτηση του ω. Αν είναι Α, Β και Γ οι προβολές των σημείων ΑΒ, και τότε έχουμε: E ΑΒΓ = E ΑΓΓ Α E ΑΒΒ Α E ΒΓΓ Β ( ) ( ) ( ) ( ) α + γ α + β β + γ ω Γ πάνω στον άξονα xx, ( ) = ω ω = α + γ α β β γ ω ω, = ( α + γ β β ) = α β ( β γ ) = ω ω ω 3 = ( α β)( α + β) ( β γ)( β + γ) = ( α + β β γ) = ω = ω 11
12 Σχήμα 5 Σημείωση. Η άσκηση μπορεί να λυθεί με χρήση του τύπου εμβαδού τριγώνου από την Αναλυτική Γεωμετρία του επιπέδου της Β Λυκείου. Έχουμε 1 1 α β α β E ( ΑΒΓ ) = det ( ΒΑ, ΒΓ) = γ β γ β 1 = ( α β)( γ β ) ( α β )( γ β) 1 = ( α β)( γ β)( γ + β α β) = ( α β)( γ β)( γ α) = ω ( ω)( ω) = ω. Πρόβλημα Δίνεται ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ με ΑΒ=ΑΓ και Α= ˆ 45. Στο ύψος ΑΔ θεωρούμε σημείο Κ ώστε ΔΒ = ΔΓ = ΔΚ. Οι προεκτάσεις των υψών ΒΕ και ΓΖ τέμνουν τον περιγεγραμμένο κύκλο του τριγώνου ΑΒΓ, στα σημεία Μ και Ν αντίστοιχα. Να αποδείξετε ότι τα σημεία Ν, Κ και Μ είναι συνευθειακά. Πρώτα θα αποδείξουμε ότι ΚΑ = ΚΒ = ΚΓ (δηλαδή ότι το σημείο Κ είναι το περίκεντρο του τριγώνου ΑΒΓ). Από το ορθογώνιο και ισοσκελές τρίγωνο ΒΔΚ, έχουμε:. Από το ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ (αφού ) έχουμε:. Άρα ˆ ˆ ˆ Β ˆ 1 =Β Β = 67,5 45 =,5 =Α1, δηλαδή το τρίγωνο ΚΑΒ είναι ισοσκελές με ΚΑ=ΚΒ. Όμοια αποδεικνύουμε ότι ΚΑ=ΚΓ, οπότε το Κ είναι το κέντρο του περιγεγραμμένου κύκλου του τριγώνου ΑΒΓ. 1
13 Σχήμα 6 Η γωνία είναι εγγεγραμμένη στον περιγεγραμμένο κύκλο του τριγώνου που βαίνει στο τόξο ΑΜ. Άρα ˆ ˆ Γ ˆ 1 =ΜΒΑ= 90 Α= 45 (από το ορθογώνιο τρίγωνο ΑΕΒ). Ισχύει επίσης ˆ 90 Γ ˆ 45 = Α= (από το ορθογώνιο τρίγωνο ΑΓΖ). Επομένως ΜΓΝ ˆ = Γ ˆ ˆ 1+ Γ = 90, δηλαδή η ΜΝ είναι διάμετρος του κύκλου, άρα θα περνά από το κέντρο Κ του κύκλου. Πρόβλημα 3 P x πολυώνυμο τετάρτου βαθμού, τέτοιο ώστε: Έστω ( ) (α) P( 1) = 1, P( ) = 4, P( 3) = 9, P( 4) = 16. (β) Όλοι οι συντελεστές του P( x) είναι μικρότεροι ή ίσοι του 10. Να βρείτε τη μικρότερη και τη μεγαλύτερη δυνατή τιμή του P ( 5). Το πολυώνυμο Q( x) = P( x) x είναι τετάρτου βαθμού και λόγω της (α) έχει ρίζες τους αριθμούς 1,,3 και 4. Επομένως μπορεί να γραφεί στη μορφή Q x = P x x = a x 1 x x 3 x 4 Άρα είναι Λόγω της (β) έχουμε: ( ) ( ) ( )( )( )( ) P( x) a( x 1)( x )( x 3)( x 4) x 4 3 P ( x) ax 10ax ( 35a 1) x 50ax 4a = + = ( ) P 5 = 4a
14 a 10, 10a 10, 35a+ 1 10, 50a 10, 4a a 10, a 1, a, a, a a Επομένως, έχουμε: a 4a + 5 4a a+ 5 P( a), δηλαδή η μικρότερη δυνατή τιμή του P( a) είναι 101 και η μεγαλύτερη δυνατή τιμή 5 του P( a) είναι Πρόβλημα 4 Να βρείτε έναν πρώτο αριθμό που διαιρεί τον αριθμό 7 Α= Θέτουμε για ευκολία n = 14 και θα προσπαθήσουμε να παραγοντοποιήσουμε τον 7 αριθμό Α= n + n + 1. Πράγματι, μπορούμε να αποδείξουμε ότι ο n + n+ 1 είναι παράγοντάς του Α ως εξής: Α= n + n + 1 = n n+ n + n+ 1 = n( n 1) + n + n+ 1 = = n( n + 1)( n 1) + n + n+ 1 = n( n + 1)( n 1)( n + n+ 1) + n + n+ 1 = 5 4 = ( n + n+ 1)( n n + n n+ 1) Επομένως ο αριθμός n + n+ 1 = = 11 διαιρεί τον αριθμό Α. Επιπλέον, ο 11 είναι πρώτος και το ζητούμενο έπεται. 14
ΕΠΙΤΡΟΠΗ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΩΝ 77 ος ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΟΣ ΜΑΘΗΤΙΚΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ο ΘΑΛΗΣ 12 Νοεμβρίου Ενδεικτικές λύσεις Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ
ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ Πανεπιστημίου (Ελευθερίου Βενιζέλου) 34 106 79 ΑΘΗΝΑ Τηλ. 361653-3617784 - Fax: 364105 e-mail : info@hms.gr www.hms.gr GREEK MATHEMATICAL SOCIETY 34, Panepistimiou (Εleftheriou
Διαβάστε περισσότεραΟΔΗΓΙΕΣ ΠΡΟΣ ΤΟΥΣ ΠΡΟΕΔΡΟΥΣ ΤΩΝ ΤΟΠΙΚΩΝ ΝΟΜΑΡΧΙΑΚΩΝ ΕΠΙΤΡΟΠΩΝ, ΠΡΟΕΔΡΟΥΣ ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΩΝ ΚΕΝΤΡΩΝ ΚΑΙ ΕΠΙΤΗΡΗΤΕΣ
ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΣΑΒΒΑΤΟ,1 ΝΟΕΜΒΡΙΟΥ 016 ΟΔΗΓΙΕΣ ΠΡΟΣ ΤΟΥΣ ΠΡΟΕΔΡΟΥΣ ΤΩΝ ΤΟΠΙΚΩΝ ΝΟΜΑΡΧΙΑΚΩΝ ΕΠΙΤΡΟΠΩΝ, ΠΡΟΕΔΡΟΥΣ ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΩΝ ΚΕΝΤΡΩΝ ΚΑΙ ΕΠΙΤΗΡΗΤΕΣ 1. Παρακαλούμε να διαβάσετε προσεκτικά τις οδηγίες στους
Διαβάστε περισσότερα: :
ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ Πανεπιστημίου (Ελευθερίου Βενιζέλου) 34 106 79 ΑΘΗΝΑ Τηλ. 361653-3617784 - Fax: 364105 e-mail : info@hms.gr www.hms.gr GREEK MATHEMATICAL SOCIETY 34, Panepistimiou (Εleftheriou
Διαβάστε περισσότεραΕΠΙΤΡΟΠΗ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΩΝ 79 ος ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΟΣ ΜΑΘΗΤΙΚΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ο ΘΑΛΗΣ 10 Νοεμβρίου Ενδεικτικές λύσεις Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ
ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ Πανεπιστημίου (Ελευθερίου Βενιζέλου) 34 106 79 ΑΘΗΝΑ Τηλ. 361653-3617784 - Fax: 364105 e-mail : info@hms.gr www.hms.gr GREEK MATHEMATICAL SOCIETY 34, Panepistimiou (Εleftheriou
Διαβάστε περισσότεραΕΠΙΤΡΟΠΗ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΩΝ 76 ος ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΟΣ ΜΑΘΗΤΙΚΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ο ΘΑΛΗΣ 14 Νοεμβρίου 2015. Ενδεικτικές λύσεις Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ
ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ Πανεπιστημίου (Ελευθερίου Βενιζέλου) 34 06 79 ΑΘΗΝΑ Τηλ. 36653-367784 - Fax: 36405 e-mail : info@hms.gr www.hms.gr GREEK MATHEMATICAL SOCIETY 34, Panepistimiou (Εleftheriou
Διαβάστε περισσότεραΕΠΙΤΡΟΠΗ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΩΝ 77 ος ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΟΣ ΜΑΘΗΤΙΚΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ο ΘΑΛΗΣ 12 Νοεμβρίου 2016 Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ˆ ΑΔΒ.
Τηλ 361653-3617784 - Fax: 364105 Tel 361653-3617784 - Fax: 364105 1 Νοεμβρίου 016 Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Να υπολογίσετε τη τιμή της αριθμητικής παράστασης: ( ) ( 5) ( ) 3 3 3 0 15 8 3 Α= + + 3 5 3 9 Πρόβλημα Δίεται
Διαβάστε περισσότεραΕΠΙΤΡΟΠΗ ΙΑΓΩΝΙΣΜΩΝ 67 ος ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΟΣ ΜΑΘΗΤΙΚΟΣ ΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ο ΘΑΛΗΣ ΣΑΒΒΑΤΟ, 9 ΕΚΕΜΒΡΙΟΥ Β τάξη Λυκείου
ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ Πανεπιστημίου (Ελευθερίου Βενιζέλου) 4 106 79 ΑΘΗΝΑ Τηλ. 10 6165-10617784 - Fax: 10 64105 e-mail : info@hms.gr www.hms.gr GREEK MATHEMATICAL SOCIETY 4, Panepistimiou (Εleftheriou
Διαβάστε περισσότεραGREEK MATHEMATICAL SOCIETY Πανεπιστημίου (Ελευθερίου Βενιζέλου) ΑΘΗΝΑ Τηλ Fax:
ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ GREEK MATHEMATICAL SOCIETY Πανεπιστημίου (Ελευθερίου Βενιζέλου) 34 106 79 ΑΘΗΝΑ Τηλ. 361653-3617784 - Fax: 364105 e-mail : info@hms.gr www.hms.gr 34, Panepistimiou (Εleftheriou
Διαβάστε περισσότεραΕΠΙΤΡΟΠΗ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΩΝ 75 ος ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΟΣ ΜΑΘΗΤΙΚΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ο ΘΑΛΗΣ 1 Νοεμβρίου Ενδεικτικές λύσεις Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ
ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ Πανεπιστημίου (Ελευθερίου Βενιζέλου) 34 06 79 ΑΘΗΝΑ Τηλ 36653-367784 - Fax: 36405 e-mail : info@hmsgr wwwhmsgr GREEK MATHEMATICAL SOCIETY 34, Panepistimiou (Εleftheriou Venizelou)
Διαβάστε περισσότερα( ) ( ) ( ) ( ) ΕΠΙΤΡΟΠΗ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΩΝ 30 η Ελληνική Μαθηματική Ολυμπιάδα "Ο Αρχιμήδης" 23 Φεβρουαρίου 2013 ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΛΥΣΕΙΣ Λύση (α) Έχουμε
ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ Πανεπιστημίου (Ελευθερίου Βενιζέλου) 3 06 79 ΑΘΗΝΑ Τηλ. 36653-36778 - Fax: 3605 e-mail : info@hms.gr, www.hms.gr GREEK MATHEMATICAL SOCIETY 3, Panepistimiou (Εleftheriou Venizelou)
Διαβάστε περισσότερα: :
ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ Πανεπιστημίου (Ελευθερίου Βενιζέλου) 34 106 79 ΑΘΗΝΑ Τηλ. 361653-3617784 - Fax: 364105 e-mail : info@hms.gr www.hms.gr GREEK MATHEMATICAL SOCIETY 34, Panepistimiou (Εleftheriou
Διαβάστε περισσότεραB τάξη Γυμνασίου ( 2 2) ΕΠΙΤΡΟΠΗ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΩΝ 69 ος ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΟΣ ΜΑΘΗΤΙΚΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ο ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ ΣΑΒΒΑΤΟ, 17 ΙΑΝΟΥΑΡΙΟΥ 2009
ΕΠΙΤΡΟΠΗ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΩΝ 69 ος ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΟΣ ΜΑΘΗΤΙΚΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ο ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ ΣΑΒΒΑΤΟ, 7 ΙΑΝΟΥΑΡΙΟΥ 009 B τάξη Γυμνασίου Πρόβλημα. Αν ισχύει ότι 4x 5y = 0, να βρείτε την τιμή της παράστασης Η
Διαβάστε περισσότεραΕΠΙΤΡΟΠΗ ΙΑΓΩΝΙΣΜΩΝ 68 ος ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΟΣ ΜΑΘΗΤΙΚΟΣ ΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ο ΘΑΛΗΣ ΣΑΒΒΑΤΟ, 24 ΝΟΕΜΒΡΙΟΥ Α τάξη Λυκείου
ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ Πανεπιστημίου (Ελευθερίου Βενιζέλου) 34 106 79 ΑΘΗΝΑ Τηλ. 10 361653-103617784 - Fax: 10 364105 e-mail : info@hms.gr www.hms.gr GREEK MATHEMATICAL SOCIETY 34, Panepistimiou
Διαβάστε περισσότερα2. Να προσδιορίσετε τους επταψήφιους αριθμούς, οι οποίοι είναι τέλεια τετράγωνα και τα τρία πρώτα ψηφία τους, στη σειρά, είναι τα 4, 0 και 0.
Ευκλείδης Γ' Γυμνασίου 1995-1996 1. Να γίνει γινόμενο η παράσταση Α= ν 2 3ν 1 2 1. 2. Να προσδιορίσετε τους επταψήφιους αριθμούς, οι οποίοι είναι τέλεια τετράγωνα και τα τρία πρώτα ψηφία τους, στη σειρά,
Διαβάστε περισσότεραΕΠΙΤΡΟΠΗ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΩΝ 33 η Ελληνική Μαθηματική Ολυμπιάδα "Ο Αρχιμήδης" 27 Φεβρουαρίου 2016
ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ Πανεπιστημίου (Ελευθερίου Βενιζέλου) 4 6 79 ΑΘΗΝΑ Τηλ 665-67784 - Fax: 645 e-mail : info@hmsgr wwwhmsgr GREEK MATHEMATICAL SOCIETY 4 Panepistimiou (Εleftheriou Venizelou) Street
Διαβάστε περισσότερα( ) ( ) ( ) ( ) ΕΠΙΤΡΟΠΗ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΩΝ 30 η Ελληνική Μαθηματική Ολυμπιάδα "Ο Αρχιμήδης" 23 Φεβρουαρίου 2013 ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΛΥΣΕΙΣ Λύση (α) Έχουμε
ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΘΗΜΤΙΚΗ ΕΤΙΡΕΙ Πανεπιστημίου (Ελευθερίου Βενιζέλου) 06 79 ΘΗΝ Τηλ 665-6778 - Fax: 605 e-mail : info@hmsgr, wwwhmsgr GREEK MATHEMATICAL SOCIETY, Panepistimiou (Εleftheriou Venizelou) Street GR
Διαβάστε περισσότεραx , οπότε : Α = = 2.
ΕΠΙΤΡΟΠΗ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΩΝ 69 ος ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΟΣ ΜΑΘΗΤΙΚΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ο ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ ΣΑΒΒΑΤΟ, 7 ΙΑΝΟΥΑΡΙΟΥ 009 Πρόβλημα Αν ισχύει ότι Γ τάξη Γυμνασίου a+ b=, να βρείτε την τιμή της παράστασης Α= ( 6a+
Διαβάστε περισσότεραΠρόβλημα 1 (α) Να συγκρίνετε τους αριθμούς Μονάδες 2 (β) Αν ισχύει ότι: και αβγ 0, να βρείτε την τιμή της παράστασης: Γ= + +.
ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙ- ΚΑ B τάξη Γυμνασίου (α) Να συγκρίνετε τους αριθμούς 3 3 0 3 3 1 1 1 8 3 Α= + + : και Β= : 4 +. 4 31 8 4 4 1 3 9 Μονάδες (β) Αν ισχύει ότι: 6( αβ + βγ + γα) = 11αβγ και αβγ 0, να βρείτε την
Διαβάστε περισσότεραΕΠΙΤΡΟΠΗ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΩΝ 75 ος ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΟΣ ΜΑΘΗΤΙΚΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ο ΘΑΛΗΣ 1 Νοεμβρίου 2014. Ενδεικτικές λύσεις Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ
ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ Πανεπιστημίου (Ελευθερίου Βενιζέλου) 34 06 79 ΑΘΗΝΑ Τηλ. 36653-367784 - Fax: 36405 e-mail : info@hms.gr www.hms.gr GREEK MATHEMATICAL SOCIETY 34, Panepistimiou (Εleftheriou
Διαβάστε περισσότεραB τάξη Γυμνασίου Πρόβλημα 1. Να υπολογίσετε την τιμή της αριθμητικής παράστασης
ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ Πανεπιστημίου (Ελευθερίου Βενιζέλου) 34 06 79 ΑΘΗΝΑ Τηλ 0 36653-0367784 - Fax: 0 36405 GREEK MATHEMATICAL SOCIETY 34, Panepistimiou (Εleftheriou Venizelou) Street GR 06 79
Διαβάστε περισσότερα2. Αν ΑΒΓΔ είναι ένα τετράπλευρο περιγεγραμμένο σε κύκλο ακτίνας ρ, να δείξετε ότι ισχύει: ΑΒ + ΓΔ 4ρ.
Θαλής Β' Λυκείου 1995-1996 1. Έστω κύκλος ακτίνας 1, στον οποίο ορίζουμε ένα συγκεκριμένο σημείο Α 0. Στη συνέχεια ορίζουμε τα σημεία Α ν ως εξής: Το μήκος του τόξου Α 0 Α ν (όπου αυτό μπορεί να είναι
Διαβάστε περισσότεραΕΠΙΤΡΟΠΗ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΩΝ 70 ος ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΟΣ ΜΑΘΗΤΙΚΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ο ΘΑΛΗΣ ΣΑΒΒΑΤΟ, 21 ΝΟΕΜΒΡΙΟΥ 2009 ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΛΥΣΕΙΣ B ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ
ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ Πανεπιστημίου (Ελευθερίου Βενιζέλου) 4 06 79 ΑΘΗΝΑ Τηλ. 0 66-067784 - Fax: 0 640 e-mail : info@hms.gr www.hms.gr GREEK MATHEMATICAL SOCIETY 4, Panepistimiou (Εleftheriou Venizelou)
Διαβάστε περισσότεραΕΠΙΤΡΟΠΗ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΩΝ 69 ος ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΟΣ ΜΑΘΗΤΙΚΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ο ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ ΣΑΒΒΑΤΟ, 17 ΙΑΝΟΥΑΡΙΟΥ B τάξη Γυμνασίου Α= ( 2 2)
ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ Πανεπιστημίου (Ελευθερίου Βενιζέλου) 4 06 79 ΑΘΗΝΑ Τηλ. 0 665-067784 - Fa: 0 6405 e-mail : ifo@hms.gr www.hms.gr GREEK MATHEMATICAL SOCIETY 4, Paepistimiou (Εleftheriou Veizelou)
Διαβάστε περισσότεραΕΠΙΤΡΟΠΗ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΩΝ 29 η Ελληνική Μαθηματική Ολυμπιάδα "Ο Αρχιμήδης" 3 Μαρτίου 2012
ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΘΗΜΤΙΚΗ ΕΤΙΡΕΙ Πανεπιστημίου (Ελευθερίου Βενιζέλου) 06 79 ΘΗΝ Τηλ 665-677 - F: 605 e-mail : info@hmsgr wwwhmsgr GREEK MATHEMATICAL SOCIETY, Panepistimiou (Εleftheriou Venizelou) Street GR 06
Διαβάστε περισσότεραΑ τάξη Λυκείου ( ) 2. ΕΠΙΤΡΟΠΗ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΩΝ 69 ος ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΟΣ ΜΑΘΗΤΙΚΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ο ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ ΣΑΒΒΑΤΟ, 17 ΙΑΝΟΥΑΡΙΟΥ 2009
ΕΠΙΤΡΟΠΗ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΩΝ 69 ος ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΟΣ ΜΑΘΗΤΙΚΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ο ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ ΣΑΒΒΑΤΟ, 7 ΙΑΝΟΥΑΡΙΟΥ 009 Α τάξη Λυκείου Πρόβλημα Να απλοποιήσετε την αλγεβρική παράσταση όπου mακέραιοι, και, m
Διαβάστε περισσότεραΕΠΙΤΡΟΠΗ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΩΝ 32 η Ελληνική Μαθηματική Ολυμπιάδα "Ο Αρχιμήδης" 28 Φεβρουαρίου 2015 Θέματα μικρών τάξεων
ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ Πανεπιστημίου (Ελευθερίου Βενιζέλου) 4 06 79 ΑΘΗΝΑ Τηλ. 665-67784 - Fax: 6405 e-mail : info@hms.gr www.hms.gr GREEK MATHEMATICAL SOCIETY 4, Panepistimiou (Εleftheriou Venizelou)
Διαβάστε περισσότερα2. Αν α, β είναι θετικοί πραγματικοί και x, y είναι θετικοί πραγματικοί διαφορετικοί από το 0, να δείξετε ότι: x β 2 α β
Ευκλείδης Ά Λυκείου 1994-1995 1. Έχουμε στο επίπεδο 4 διαφορετικές ευθείες. Είναι γνωστό ότι κάθε άλλη ευθεία του ίδιου επιπέδου τέμνει ή ή 4 από τις ευθείες. Να βρείτε πόσες από τις ευθείες είναι παράλληλες..
Διαβάστε περισσότεραΟΔΗΓΙΕΣ ΠΡΟΣ ΤΟΥΣ ΠΡΟΕΔΡΟΥΣ ΤΩΝ ΤΟΠΙΚΩΝ ΝΟΜΑΡΧΙΑΚΩΝ ΕΠΙΤΡΟΠΩΝ, ΠΡΟΕΔΡΟΥΣ ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΩΝ ΚΕΝΤΡΩΝ ΚΑΙ ΕΠΙΤΗΡΗΤΕΣ
ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ Πανεπιστημίου (Ελευθερίου Βενιζέλου) 34 106 79 ΑΘΗΝΑ Τηλ. 361653-3617784 - Fax: 364105 GREEK MATHEMATICAL SOCIETY 34, Panepistimiou (Εleftheriou Venizelou) Street GR. 106 79
Διαβάστε περισσότεραΕΠΙΤΡΟΠΗ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΩΝ 33 η Ελληνική Μαθηματική Ολυμπιάδα "Ο Αρχιμήδης" 27 Φεβρουαρίου 2016
ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ Πανεπιστημίου (Ελευθερίου Βενιζέλου) 4 6 79 ΑΘΗΝΑ Τηλ 665-67784 - Fax: 645 e-mail : ifo@hmsgr wwwhmsgr GREEK MATHEMATICAL SOCIETY 4 Paepistimiou (Εleftheriou Veielou) Street
Διαβάστε περισσότεραΕΠΙΤΡΟΠΗ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΩΝ 78 ος ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΟΣ ΜΑΘΗΤΙΚΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ο ΘΑΛΗΣ 11 Νοεμβρίου Ενδεικτικές λύσεις Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ
ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ Πανεπιστημίου (Ελευθερίου Βενιζέλου) 34 106 79 ΑΘΗΝΑ Τηλ. 361653-361774 - Fax: 364105 e-mail : info@hms.gr www.hms.gr GREEK MATHEMATICAL SOCIETY 34, Panepistimiou (Εleftheriou
Διαβάστε περισσότεραΕΠΙΤΡΟΠΗ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΩΝ 73 ος ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΟΣ ΜΑΘΗΤΙΚΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ο ΘΑΛΗΣ 20 Οκτωβρίου 2012 ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΛΥΣΕΙΣ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ 18 :
ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ Πανεπιστημίου (Ελευθερίου Βενιζέλου) 34 06 79 ΑΘΗΝΑ Τηλ 36653-367784 - Fax: 36405 e-mail : info@hmsgr wwwhmsgr GREEK MATHEMATICAL SOCIETY 34, Panepistimiou (Εleftheriou Venizelou)
Διαβάστε περισσότεραΘαλής Α' Λυκείου 1995-1996
Θαλής Α' Λυκείου 1995-1996 1. Δυο μαθητές Α και Β παίζουν το ακόλουθο παιχνίδι: Τους δίνεται ένα κανονικό πολύγωνο με άρτιο πλήθος πλευρών, μεγαλύτερο από 6 (π.χ. ένα 100-γωνο). Κάθε παίκτης συνδέει δυο
Διαβάστε περισσότεραΕΠΙΤΡΟΠΗ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΩΝ 70 ος ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΟΣ ΜΑΘΗΤΙΚΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ο ΘΑΛΗΣ ΣΑΒΒΑΤΟ, 21 ΝΟΕΜΒΡΙΟΥ 2009 B ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ
ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ Πανεπιστημίου (Ελευθερίου Βενιζέλου) 34 06 79 ΑΘΗΝΑ Τηλ. 0 3663-0367784 - Fax: 0 3640 GREEK MATHEMATICAL SOCIETY 34, Panepistimiou (Εleftheriou Venizelou) Street GR. 06 79
Διαβάστε περισσότεραΕΠΙΤΡΟΠΗ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΩΝ 29 η Ελληνική Μαθηματική Ολυμπιάδα "Ο Αρχιμήδης" 3 Μαρτίου 2012
ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΘΗΜΤΙΚΗ ΕΤΙΡΕΙ Πανεπιστημίου (Ελευθερίου Βενιζέλου) 06 79 ΘΗΝ Τηλ. 665-677 - Fax: 605 e-mail : info@hms.gr www.hms.gr GREEK MATHEMATICAL SOCIETY, Panepistimiou (Εleftheriou Venizelou) Street
Διαβάστε περισσότεραΘέματα μεγάλων τάξεων
ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ Πανεπιστημίου (Ελευθερίου Βενιζέλου) 4 106 79 ΑΘΗΝΑ Τηλ. 6165-617784 - Fax: 64105 e-mail : info@hms.gr www.hms.gr ΕΠΙΤΡΟΠΗ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΩΝ η Ελληνική Μαθηματική Ολυμπιάδα "Ο Αρχιμήδης"
Διαβάστε περισσότεραΒ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Πρόβλημα 1 Να υπολογίσετε την τιμή των αριθμητικών παραστάσεων: 2 24 : : 2, : και να τις συγκρίνετε.
Τηλ. 6165-617784 - Fa: 64105 Tel. 6165-617784 - Fa: 64105 Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Να υπολογίσετε την τιμή των αριθμητικών παραστάσεων: 5 5 4 : 6 5 8 8:, 11 : 1 11 7 και να τις συγκρίνετε. Ένα ορθογώνιο έχει μήκος
Διαβάστε περισσότεραΕΠΙΤΡΟΠΗ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΩΝ 36 η Εθνική Μαθηματική Ολυμπιάδα «Ο ΑΡΧΙΜΗΔΗΣ» 23 Φεβρουαρίου 2019 Θέματα και ενδεικτικές λύσεις μεγάλων τάξεων
ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ Πανεπιστημίου (Ελευθερίου Βενιζέλου) 34 06 79 ΑΘΗΝΑ Τηλ 036653 367784 Fax: 036405 e mail : info@hmsgr wwwhmsgr GREEK MATHEMATICAL SOCIETY 34, Paneistimiou (Εleftheriou Venizelou)
Διαβάστε περισσότεραΕΠΙΤΡΟΠΗ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΩΝ Προκριματικός διαγωνισμός Απριλίου 2015
ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ Πανεπιστημίου (Ελευθερίου Βενιζέλου) 34 06 79 ΑΘΗΝΑ Τηλ 36653-367784 - Fax: 36405 e-mail : info@hmsgr, wwwhmsgr GREEK MATHEMATICAL SOCIETY 34, Panepistimiou (Εleftheriou Venizelou)
Διαβάστε περισσότεραB τάξη Γυμνασίου : : και 4 :
Τηλ. 10 6165-10617784 - Fax: 10 64105 Tel. 10 6165-10617784 - Fax: 10 64105 ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΣΑΒΒΑΤΟ, 18 ΙΑΝΟΥΑΡΙΟΥ 014 B τάξη Γυμνασίου Να βρείτε τους αριθμούς 0 4 1 1 77 16 60 19 7 : 000 : και 4 : 4 9
Διαβάστε περισσότεραΕΠΙΤΡΟΠΗ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΩΝ 70 ος ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΟΣ ΜΑΘΗΤΙΚΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ο ΘΑΛΗΣ ΣΑΒΒΑΤΟ, 21 ΝΟΕΜΒΡΙΟΥ 2009 B ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ
ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ Πανεπιστημίου (Ελευθερίου Βενιζέλου) 34 06 79 ΑΘΗΝΑ Τηλ. 0 36653-0367784 - Fax: 0 36405 GREEK MATHEMATICAL SOCIETY 34, Panepistimiou (Εleftheriou Venizelou) Street GR. 06 79
Διαβάστε περισσότεραΟΔΗΓΙΕΣ ΠΡΟΣ ΤΟΥΣ ΠΡΟΕΔΡΟΥΣ ΤΩΝ ΤΟΠΙΚΩΝ ΝΟΜΑΡΧΙΑΚΩΝ ΕΠΙΤΡΟΠΩΝ, ΠΡΟΕΔΡΟΥΣ ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΩΝ ΚΕΝΤΡΩΝ ΚΑΙ ΕΠΙΤΗΡΗΤΕΣ
ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ Πανεπιστημίου (Ελευθερίου Βενιζέλου) 34 06 79 ΑΘΗΝΑ Τηλ. 36653-367784 - Fa: 36405 GREEK MATHEMATICAL SOCIETY 34, Panepistimiou (Εleftheriou Venizelou) Street GR. 06 79 - Athens
Διαβάστε περισσότεραΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΛΥΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΩΝ 68 ου ΘΑΛΗΣ 24 Νοεμβρίου 2007 Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ
ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΛΥΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΩΝ 68 ου ΘΑΛΗΣ 4 Νοεμβρίου 007 Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ( 00 :8 00) 00 : ( 8 ) 76 3 007. Α= + + + + + + ( 5 00) ( 00 :0 76) 5 ( 0 76) = + + + + + = + + = 5 + 78 = 007.. Αν ω είναι ο αριθμός
Διαβάστε περισσότεραΕΠΙΤΡΟΠΗ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΩΝ 27 η Ελληνική Μαθηματική Ολυμπιάδα "Ο Αρχιμήδης" ΣΑΒΒΑΤΟ, 27 ΦΕΒΡΟΥΑΡΙΟΥ 2010
ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ Πανεπιστημίου (Ελευθερίου Βενιζέλου) 4 06 79 ΑΘΗΝΑ Τηλ 66-67784 - Fax: 640 e-mail : info@hmsgr wwwhmsgr GREEK MATHEMATICAL SOCIETY 4, Panepistimiou (Εleftheriou Venizelou)
Διαβάστε περισσότερα: :
Τηλ. 361653-3617784 - Fax: 364105 Tel. 361653-3617784 - Fax: 364105 19 Οκτωβρίου 013 Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Να υπολογίσετε την τιμή της παράστασης: 16 1 74 3 1 : 4 53 3 4 :. 9 8 9 Πρόβλημα Ένας οικογενειάρχης πήρε
Διαβάστε περισσότεραΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΛΥΣΕΙΣ. B τάξη Γυμνασίου. Α= 2 1 : και :
ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ Πανεπιστημίου (Ελευθερίου Βενιζέλου) 4 06 79 ΑΘΗΝΑ Τηλ 0 665-067784 - Fax: 0 6405 e-mail : info@hmsgr wwwhmsgr GREEK MATHEMATICAL SOCIETY 4, Panepistimiou (Εleftheriou Venizelou)
Διαβάστε περισσότεραΕΠΙΤΡΟΠΗ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΩΝ 73 ος ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΟΣ ΜΑΘΗΤΙΚΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ο ΘΑΛΗΣ 20 Οκτωβρίου 2012 Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ
ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ Πανεπιστημίου (Ελευθερίου Βενιζέλου) 34 06 79 ΑΘΗΝΑ Τηλ. 36653-367784 - Fax: 36405 GREEK MATHEMATICAL SOCIETY 34, Panepistimiou (Εleftheriou Venizelou) Street GR. 06 79 - Athens
Διαβάστε περισσότεραΑρχιμήδης Μεγάλοι 1996-1997. 1. Έστω μια ακολουθία θετικών αριθμών για την οποία: i) α ν 2 α ν. για κάθε ν φυσικό διαφορετικό του 0.
Αρχιμήδης Μεγάλοι 1996-1997 1. Έστω μια ακολουθία θετικών αριθμών για την οποία: i) α ν 2 α ν = 1 4 για κάθε ν φυσικό διαφορετικό του 0. ii) α n 1 α n Να αποδείξετε: α ν 1 =1 για κάθε n - ν 1 α ν α) ότι
Διαβάστε περισσότεραβ =. Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Πρόβλημα 1 Να βρείτε την τιμή της παράστασης: 3β + α α 3β αν δίνεται ότι: 3
Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Να βρείτε την τιμή της παράστασης: α αν δίνεται ότι: 3 β =. 3β + α α 3β 13 Α= 10 +, β α 3 Στο διπλανό σχήμα το τρίγωνο ΑΒΓ είναι ισοσκελές με ΑΒ = ΑΓ και Γ= ˆ Α ˆ. Το τετράπλευρο ΑΓΔΕ είναι
Διαβάστε περισσότεραΕΠΙΤΡΟΠΗ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΩΝ 67ος ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΟΣ ΜΑΘΗΤΙΚΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ "Ο ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ" ΣΑΒΒΑΤΟ, 20 ΙΑΝΟΥΑΡΙΟΥ 2007 ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΛΥΣΕΙΣ
ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ Πανεπιστημίου (Ελευθερίου ενιζέλου) 4 06 79 ΑΘΗΝΑ Τηλ 665-67784 - Fax: 6405 e-mail : info@hmsgr wwwhmsgr GREEK MATHEMATICAL SOCIETY 4, Panepistimiou (Εleftheriou Venizelou)
Διαβάστε περισσότεραΒ τάξη Λυκείου. ΕΠΙΤΡΟΠΗ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΩΝ 69 ος ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΟΣ ΜΑΘΗΤΙΚΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ο ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ ΣΑΒΒΑΤΟ, 17 ΙΑΝΟΥΑΡΙΟΥ 2009
Β τάξη Λυκείου Πρόβλημα Να προσδιορίσετε τις τιμές του πραγματικού αριθμού a για τις οποίες το σύστημα x + 4y = 4a ax y = a έχει μία μόνο λύση. Για τις τιμές του a που θα βρείτε να λύσετε το σύστημα. Το
Διαβάστε περισσότεραΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΛΥΣΕΙΣ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. α β. β (β) Το μικρότερο από τα κλάσματα που βρήκαμε στο προηγούμενο ερώτημα είναι το
ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ Πανεπιστημίου (Ελευθερίου Βενιζέλου) 4 06 79 ΑΘΗΝΑ Τηλ. 665-67784 - Fax: 6405 e-mail : info@hms.gr www.hms.gr GREEK MATHEMATICAL SOCIETY 4, Panepistimiou (Εleftheriou Venizelou)
Διαβάστε περισσότεραΕυκλείδης Β' Γυμνασίου 1995-1996. 1. Να λύσετε την εξίσωση: 1 {3 [5 7 x : 9] 7} 5=26
Ευκλείδης Β' Γυμνασίου 1995-1996 1. Να λύσετε την εξίσωση: 1 {3 [5 7 x : 9] 7} 5=26 2. Σ' ένα ισόπλευρο τρίγωνο ΑΒΓ παίρνουμε τις διαμέσους ΑΔ, ΒΕ και ΓΖ (που διέρχονται από το ίδιο σημείο Θ). Πόσες γωνίες,
Διαβάστε περισσότεραΒ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ,,,,,,,
Τηλ 36653-367784 - Fa: 36405 Tel 36653-367784 - Fa: 36405 Νοεμβρίου 04 Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ 3 74 3 3 Να υπολογίσετε την τιμή της παράστασης: :8 9 9 37 4 Πρόβλημα Ένας έμπορος συλλεκτικών αντικειμένων αγόρασε δύο
Διαβάστε περισσότεραGREEK MATHEMATICAL SOCIETY Πανεπιστημίου (Ελευθερίου Βενιζέλου) 34 106 79 ΑΘΗΝΑ Τηλ. 3616532-3617784 - Fax: 3641025 e-mail : info@hms.gr www.hms.
Τηλ 361653-3617784 - Fax: 364105 Tel 361653-3617784 - Fax: 364105 17 Ιανουαρίου 015 Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ 7 49 3 4 3 6 11 Υπολογίστε την τιμή της παράστασης: Α= + + : 3 9 7 3 5 10 Πρόβλημα Μία οικογένεια αγόρασε
Διαβάστε περισσότεραΓια τις εορτές των Χριστουγέννων και το νέο έτος το Δ.Σ. της ΕΜΕ σας εύχεται ολόψυχα χρόνια πολλά, προσωπική και οικογενειακή ευτυχία.
ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ Πανεπιστημίου (Ελευθερίου Βενιζέλου) 4 06 79 ΑΘΗΝΑ Τηλ. 665-67784 - Fax: 6405 GREEK MATHEMATICAL SOCIETY 4, Panepistimiou (Εleftheriou Venizelou) Street GR. 06 79 - Athens
Διαβάστε περισσότεραΕΠΙΤΡΟΠΗ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΩΝ 69 ος ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΟΣ ΜΑΘΗΤΙΚΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ο ΘΑΛΗΣ ΣΑΒΒΑΤΟ, 1 ΝΟΕΜΒΡΙΟΥ 2008 B ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ
ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ Πανεπιστημίου (Ελευθερίου Βενιζέλου) 34 06 79 ΑΘΗΝΑ Τηλ. 0 36653-0367784 - Fax: 0 36405 e-mail : info@hms.gr www.hms.gr GREEK MATHEMATICAL SOCIETY 34, Panepistimiou (Εleftheriou
Διαβάστε περισσότεραΜΕΡΟΣ Α. 1 ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
ΜΕΡΟΣ Α ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ. Τι ονομάζεται Αριθμητική και τι Αλγεβρική παράσταση; Ονομάζεται Αριθμητική παράσταση μια παράσταση που περιέχει πράξεις μεταξύ αριθμών. Ονομάζεται αλγεβρική παράσταση μια παράσταση
Διαβάστε περισσότεραΕΠΙΤΡΟΠΗ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΩΝ 73 ος ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΟΣ ΜΑΘΗΤΙΚΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ο ΘΑΛΗΣ 20 Οκτωβρίου 2012 ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΛΥΣΕΙΣ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ
ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ Πανεπιστημίου (Ελευθερίου Βενιζέλου) 34 06 9 ΑΘΗΝΑ Τηλ 36653-3684 - Fax: 36405 e-mail : info@hmsgr wwwhmsgr GREEK MATHEMATICAL SOCIETY 34, Panepistimiou (Εleftheriou Venizelou)
Διαβάστε περισσότεραΑρχιμήδης Μικροί Θεωρούμε τους αριθμούς. A= : : και B= 2 25 : Ποιος είναι μεγαλύτερος;
Αρχιμήδης Μικροί 1994-1995 Θεωρούμε τους αριθμούς Ποιος είναι μεγαλύτερος; A= 2 0 8 21 :16 15 6 27 10 :81 7 63 και B= 2 25 :2 52 1 54 2. Θεωρούμε 6 διαδοχικούς φυσικούς αριθμούς. Έστω α το άθροισμα των
Διαβάστε περισσότερα[ f 1 ] 3 [ f 2 ] 3... [ f ν ] 3 = [ f 1 f 1... f ν ] 2, για κάθε ν N.
Ευκλείδης Γ' Λυκείου 1995-1996 1. Να ορίσετε συνάρτηση με πεδίο ορισμού και σύνολο τιμών το N* και η οποία να ικανοποιεί τη σχέση: [ f 1 ] [ f ]... [ f ν ] = [ f 1 f 1... f ν ], για κάθε ν N.. Ο Α και
Διαβάστε περισσότεραΕΠΙΤΡΟΠΗ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΩΝ 79 ος ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΟΣ ΜΑΘΗΤΙΚΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ο ΘΑΛΗΣ 10 Νοεμβρίου Ενδεικτικές λύσεις Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ
ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ Πανεπιστημίου (Ελευθερίου Βενιζέλου) 34 06 79 ΑΘΗΝΑ Τηλ. 36653-367784 - Fax: 36405 e-mail : info@hms.gr www.hms.gr GREEK MATHEMATICAL SOCIETY 34, Panepistimiou (Εleftheriou
Διαβάστε περισσότεραΕυκλείδης Β' Λυκείου 1993-1994 ΜΕΡΟΣ Α
Ευκλείδης Β' Λυκείου 993-994 ΜΕΡΟΣ Α. Δύο ίσα τετράγωνα ΑΒΓΔ και ΕΖΗΘ πλευράς 0 τοποθετούνται έτσι ώστε η κορυφή Ε να βρίσκεται στο κέντρο του τετραγώνου ΑΒΓΔ. Το εμβαδό του μέρους του επιπέδου που καλύπτεται
Διαβάστε περισσότερα1 ΘΕΩΡΙΑΣ...με απάντηση
1 ΘΕΩΡΙΑΣ.....με απάντηση ΑΛΓΕΒΡΑ Κεφάλαιο 1 0 Εξισώσεις Ανισώσεις 1. Τι ονομάζεται Αριθμητική και τι Αλγεβρική παράσταση; Ονομάζεται Αριθμητική παράσταση μια παράσταση που περιέχει πράξεις μεταξύ αριθμών.
Διαβάστε περισσότεραΑ={1,11,111,1111,..., 11...1 }
Θαλής Γ' Γυμνασίου 1995-1996 1. Δύο μαθητές Α, Β χρησιμοποιούν ένα πίνακα 3x3, όπως στο σχήμα, για να παίξουν "τρίλιζα". Καθένας γράφει σ' ένα τετραγωνάκι της επιλογής του ένα σταυρό ή έναν κύκλο. (Και
Διαβάστε περισσότεραΕΠΙΤΡΟΠΗ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΩΝ 72 ος ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΟΣ ΜΑΘΗΤΙΚΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ο ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ ΣΑΒΒΑΤΟ, 21 ΙΑΝΟΥΑΡΙΟΥ 2012
Τηλ. 361653-3617784 - Fax: 364105 Tel. 361653-3617784 - Fax: 364105 7 ος ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΟΣ ΜΑΘΗΤΙΚΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΣΑΒΒΑΤΟ, 1 ΙΑΝΟΥΑΡΙΟΥ 01 ΟΔΗΓΙΕΣ ΠΡΟΣ ΤΟΥΣ ΠΡΟΕΔΡΟΥΣ ΤΩΝ ΤΟΠΙΚΩΝ ΝΟΜΑΡΧΙΑΚΩΝ ΕΠΙΤΡΟΠΩΝ, ΠΡΟΕΔΡΟΥΣ
Διαβάστε περισσότεραΕΠΙΤΡΟΠΗ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΩΝ 78 ος ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΟΣ ΜΑΘΗΤΙΚΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ο ΘΑΛΗΣ 11 Νοεμβρίου 2017 Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ 1 Α=
Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Να υπολογίσετε την τιμή της αριθμητικής παράστασης: 3 3 ( 0) ( 5) 3 ( 8) Α= + 3 3 ( ) +. ( 3) 4 Στο διπλανό σχήμα τα τρίγωνα ΑΒΓ και ΑΒΟ είναι ισοσκελή με βάση την πλευρά ΑΒ. Η προέκταση της
Διαβάστε περισσότεραΙωάννης Σ. Μιχέλης Μαθηματικός
1 Άλγεβρα 1 ο Κεφάλαιο Ερώτηση 1 : Ποιες είναι οι ιδιότητες της πρόσθεσης των φυσικών; Το άθροισμα ενός φυσικού αριθμού με το 0 ισούται με τον ίδιο αριθμό. α+0=α Αντιμεταθετική ιδιότητα. Με βάση την οποία
Διαβάστε περισσότεραΒ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Πρόβλημα 1. (α) Να βρεθούν όλα τα μη μηδενικά κλάσματα α β, με αβ, μη αρνητικούς ακέραιους και
Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. (α) Να βρεθούν όλα τα μη μηδενικά κλάσματα α β, με αβ, μη αρνητικούς ακέραιους και α + β = 4. (β) Για το μικρότερο από τα κλάσματα του προηγούμενου ερωτήματος να βρείτε την τιμή της παράστασης:
Διαβάστε περισσότεραΕΠΙΤΡΟΠΗ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΩΝ 72 ος ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΟΣ ΜΑΘΗΤΙΚΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ο ΘΑΛΗΣ 19 Νοεμβρίου 2011 Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ 2 : 2.
Τηλ. 361653-3617784 - Fax: 364105 Tel. 361653-3617784 - Fax: 364105 7 ος ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΟΣ ΜΑΘΗΤΙΚΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ 19 Νοεμβρίου 011 Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Να υπολογίσετε την τιμή της παράστασης: 1 17 1 1 3 7 1 : 5 1 7 14
Διαβάστε περισσότεραΜαθηματικά Α Γυμνασίου
Μαθηματικά Α Γυμνασίου Επαναληπτικές ασκήσεις Στέλιος Μιχαήλογλου Ασκήσεις. Δίνεται η παράσταση 7 : α) Να αποδείξετε ότι Α=8. β) Ο αριθμός Α είναι πρώτος ή σύνθετος; γ) Να αναλύσετε τον αριθμό Α σε γινόμενο
Διαβάστε περισσότεραΜαθηματικά Α' Γυμ. - Ερωτήσεις Θεωρίας 1 ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ. (1) Ποιοι είναι οι φυσικοί αριθμοί; Γράψε τέσσερα παραδείγματα.
Μαθηματικά Α' Γυμ. - Ερωτήσεις Θεωρίας 1 ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ (1) Ποιοι είναι οι φυσικοί αριθμοί; Γράψε τέσσερα παραδείγματα. (2) Ποιοι είναι οι άρτιοι και ποιοι οι περιττοί αριθμοί; Γράψε από τρία παραδείγματα.
Διαβάστε περισσότεραΕπαναληπτικό Διαγώνισµα Γεωµετρίας Β Λυκείου
Επαναληπτικό Διαγώνισµα Γεωµετρίας Β Λυκείου Θέµα 1 Α. Να υπολογίσετε την πλευρά λ και το απόστηµα α τετραγώνου εγγεγραµµένου σε κύκλο (Ο, R) συναρτήσει της ακτίνας R (10 Μονάδες) Β. Να χαρακτηρίσετε τις
Διαβάστε περισσότεραΟΔΗΓΙΕΣ ΠΡΟΣ ΤΟΥΣ ΠΡΟΕΔΡΟΥΣ ΤΩΝ ΤΟΠΙΚΩΝ ΝΟΜΑΡΧΙΑΚΩΝ ΕΠΙΤΡΟΠΩΝ, ΠΡΟΕΔΡΟΥΣ ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΩΝ ΚΕΝΤΡΩΝ ΚΑΙ ΕΠΙΤΗΡΗΤΕΣ
ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ Πανεπιστημίου (Ελευθερίου Βενιζέλου) 34 06 79 ΑΘΗΝΑ Τηλ 36653-367784 - Fax: 36405 GREEK MATHEMATICAL SOCIETY 34, Panepistimiou (Εleftheriou Venizelou) Street GR 06 79 - Athens
Διαβάστε περισσότερα: :
ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ Πανεπιστημίου (Ελευθερίου Βενιζέλου) 34 06 79 ΑΘΗΝΑ Τηλ. 36653-367784 - Fax: 36405 e-mail : info@hms.gr www.hms.gr GREEK MATHEMATICAL SOCIETY 34, Panepistimiou (Εleftheriou
Διαβάστε περισσότεραΕΠΙΤΡΟΠΗ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΩΝ 29 η Ελληνική Μαθηματική Ολυμπιάδα "Ο Αρχιμήδης" 3 Μαρτίου 2012
ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΘΗΜΤΙΚΗ ΕΤΙΡΕΙ Πανεπιστημίου (Ελευθερίου Βενιζέλου) 06 79 ΘΗΝ Τηλ 665-6778 - F: 605 e-mail : info@hmsgr wwwhmsgr GREEK MATHEMATICAL SOCIETY, Panepistimiou (Εleftheriou Venizelou) Street GR 06
Διαβάστε περισσότεραΟΔΗΓΙΕΣ ΠΡΟΣ ΤΟΥΣ ΠΡΟΕΔΡΟΥΣ ΤΩΝ ΤΟΠΙΚΩΝ ΝΟΜΑΡΧΙΑΚΩΝ ΕΠΙΤΡΟΠΩΝ, ΠΡΟΕΔΡΟΥΣ ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΩΝ ΚΕΝΤΡΩΝ ΚΑΙ ΕΠΙΤΗΡΗΤΕΣ
ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ Πανεπιστημίου (Ελευθερίου Βενιζέλου) 34 06 79 ΑΘΗΝΑ Τηλ 36653-367784 - Fax: 36405 GREEK MATHEMATICAL SOCIETY 34, Panepistimiou (Εleftheriou Venizelou) Street GR 06 79 - Athens
Διαβάστε περισσότεραΕΠΙΤΡΟΠΗ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΩΝ 27 η Ελληνική Μαθηματική Ολυμπιάδα "Ο Αρχιμήδης" ΣΑΒΒΑΤΟ, 27 ΦΕΒΡΟΥΑΡΙΟΥ 2010
ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ Πανεπιστημίου (Ελευθερίου Βενιζέλου 34 106 79 ΑΘΗΝΑ Τηλ. 361653-3617784 - Fax: 364105 e-mail : info@hms.gr www.hms.gr GREEK MATHEMATICAL SOCIETY 34, Panepistimiou (Εleftheriou
Διαβάστε περισσότεραΑσκήσεις για τις εξετάσεις Μάη Ιούνη στη Γεωμετρία Β Λυκείου του ΜΑΝΩΛΗ ΨΑΡΡΑ
Ασκήσεις για τις εξετάσεις Μάη Ιούνη 014 στη Γεωμετρία Β Λυκείου του ΜΑΝΩΛΗ ΨΑΡΡΑ Άσκηση 1 η Δίνεται παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ και. Με διάμετρο τη διαγώνιο ΑΓ γράφουμε κύκλο με κέντρο Ο που τέμνει τη ΓΔ στο
Διαβάστε περισσότεραΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΔΙΑΝΥΣΜΑ. ΘΕΜΑ 2ο
Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΔΙΑΝΥΣΜΑ ΘΕΜΑ ο ΘΕΜΑ 8603 Δίνεται τρίγωνο και σημεία και του επιπέδου τέτοια, ώστε 5 και 5. α) Να γράψετε το διάνυσμα ως γραμμικό
Διαβάστε περισσότεραΒ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. + και. ΕΠΙΤΡΟΠΗ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΩΝ 67ος ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΟΣ ΜΑΘΗΤΙΚΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ "Ο ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ" ΣΑΒΒΑΤΟ, 20 ΙΑΝΟΥΑΡΙΟΥ 2007
GR. 06 79 - Athens - HELLAS ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ "Ο ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ" Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Να προσδιορίσετε τους φυσικούς αριθμούς ν που είναι τέτοιοι ώστε ο αριθμός 42 2 ν + να είναι ακέραιος. 2. Θεωρούμε οξεία γωνία ΑΟΒ και
Διαβάστε περισσότεραΟΔΗΓΙΕΣ ΠΡΟΣ ΤΟΥΣ ΠΡΟΕΔΡΟΥΣ ΤΩΝ ΤΟΠΙΚΩΝ ΝΟΜΑΡΧΙΑΚΩΝ ΕΠΙΤΡΟΠΩΝ, ΠΡΟΕΔΡΟΥΣ ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΩΝ ΚΕΝΤΡΩΝ ΚΑΙ ΕΠΙΤΗΡΗΤΕΣ
Τηλ 361653-3617784 - Fax: 364105 Tel 361653-3617784 - Fax: 364105 ΕΠΙΤΡΟΠΗ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΩΝ 68 ος ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΟΣ ΜΑΘΗΤΙΚΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΣΑΒΒΑΤΟ, 4 ΝΟΕΜΒΡΙΟΥ 007 ΟΔΗΓΙΕΣ ΠΡΟΣ ΤΟΥΣ ΠΡΟΕΔΡΟΥΣ ΤΩΝ ΤΟΠΙΚΩΝ ΝΟΜΑΡΧΙΑΚΩΝ
Διαβάστε περισσότεραΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΩΝ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΜΑΪΟΣ ΙΟΥΝΙΟΣ
ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΩΝ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΜΑΪΟΣ ΙΟΥΝΙΟΣ ΤΑΞΗ: ΜΑΘΗΜΑ: A ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΘΕΜΑ Α Α1. Να αποδείξετε ότι σε κάθε ορθογώνιο τρίγωνο η διάμεσος που αντιστοιχεί στην υποτείνουσα ισούται με το μισό της.
Διαβάστε περισσότερα3, ( 4), ( 3),( 2), 2017
ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΣ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ 1 ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1. α. Τι γνωρίζετε για την Ευκλείδεια διαίρεση; Πότε λέγεται τέλεια; β. Αν σε μια διαίρεση είναι Δ=δ, πόσο είναι το πηλίκο και
Διαβάστε περισσότεραΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΛΥΣΕΙΣ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. β = =.
ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ Πανεπιστημίου (Ελευθερίου Βενιζέλου) 6 79 ΑΘΗΝΑ Τηλ 665-6778 - Fax: 65 e-mail : info@hmsgr wwwhmsgr GREEK MATHEMATICAL SOCIETY, Panepistimiou (Εleftheriou Venizelou) Street
Διαβάστε περισσότεραΕΠΙΤΡΟΠΗ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΩΝ 78 ος ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΟΣ ΜΑΘΗΤΙΚΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ο ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 20 Ιανουαρίου 2018 Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ
ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ Πανεπιστημίου (Ελευθερίου Βενιζέλου) 4 106 79 ΑΘΗΝΑ Τηλ. 6165-617784 - Fax: 64105 GREEK MATHEMATICAL SOCIETY 4, Panepistimiou (Εleftheriou Venizelou) Street GR. 106 79 - Athens
Διαβάστε περισσότεραΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΛΥΣΕΙΣ B ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ
ΕΠΙΤΡΟΠΗ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΩΝ 69 ος ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΟΣ ΜΑΘΗΤΙΚΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ο ΘΑΛΗΣ ΣΑΒΒΑΤΟ, ΝΟΕΜΒΡΙΟΥ 008 ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΛΥΣΕΙΣ B ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Να υπολογίσετε την τιμή της παράστασης: 3 Α= 4 5 + 008: 4 + (3
Διαβάστε περισσότεραΑΣΚΗΣΕΙΣ 3 Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
ΑΣΚΗΣΕΙΣ 3 Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1) Από εξωτερικό σημείο Ρ ενός κύκλου (Ο,ρ) φέρνουμε τα εφαπτόμενα τμήματα ΡΑ και ΡΒ. Αν Μ είναι ένα τυχαίο εσωτερικό σημείο του ευθύγραμμου τμήματος ΟΡ, να αποδείξετε ότι: α) τα
Διαβάστε περισσότεραΑπαντήσεις Λύσεις σε Θέματα από την Τράπεζα Θεμάτων. Μάθημα: Γεωμετρία Α Λυκείου
Απαντήσεις Λύσεις σε Θέματα από την Τράπεζα Θεμάτων Μάθημα: Γεωμετρία Α Λυκείου Παρουσιάζουμε συνοπτικές λύσεις σε επιλεγμένα Θέματα («Θέμα 4 ο») από την Τράπεζα θεμάτων. Το αρχείο αυτό τις επόμενες ημέρες
Διαβάστε περισσότεραΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΤΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ
ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΤΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Διανύσματα Πολλαπλασιασμός αριθμού με διάνυσμα ο Θέμα _8603 Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ και σημεία Δ και Ε του επιπέδου τέτοια, ώστε 5 και
Διαβάστε περισσότεραΕΠΙΤΡΟΠΗ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΩΝ 35 η Ελληνική Μαθηματική Ολυμπιάδα "Ο Αρχιμήδης" 3 Μαρτίου 2018 Θέματα μικρών τάξεων Ενδεικτικές λύσεις
ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ Πανεπιστημίου (Ελευθερίου Βενιζέλου) 4 06 79 ΑΘΗΝΑ Τηλ. 665-67784 - Fax: 6405 e-mail : info@hms.gr, www.hms.gr GREEK MATHEMATICAL SOCIETY 4, Panepistimiou (Εleftheriou Venizelou)
Διαβάστε περισσότερα117 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Μανώλη Ψαρρά. Μαθηματικού
117 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Μανώλη Ψαρρά Μαθηματικού Περιεχόμενα 1. Διανύσματα (47) ελ. - 9. Ευθεία (18) ελ. 10-1 3. Κύκλος (13).ελ. 13-15 4. Παραβολή (14) ελ. 16-18 5. Έλλειψη (18)..
Διαβάστε περισσότεραΘΕΩΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Η διαίρεση καλείται Ευκλείδεια και είναι τέλεια όταν το υπόλοιπο είναι μηδέν.
ΑΛΓΕΒΡΑ 1 ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΘΕΩΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ 1. Τι είναι αριθμητική παράσταση; Με ποια σειρά εκτελούμε τις πράξεις σε μια αριθμητική παράσταση ώστε να βρούμε την τιμή της; Αριθμητική παράσταση λέγεται κάθε
Διαβάστε περισσότεραΕΠΙΤΡΟΠΗ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΩΝ 69 ος ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΟΣ ΜΑΘΗΤΙΚΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ο ΘΑΛΗΣ ΣΑΒΒΑΤΟ, 1 ΝΟΕΜΒΡΙΟΥ 2008 B ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ
Tel. 10 361653-103617784 - Fax: 10 364105 B ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ 1. Να υπολογίσετε την τιμή της παράστασης: 3 Α= 4 5 + 008: 4 + (3 5 ) 49 10 4. Στο διπλανό σχήμα η ευθεία A y είναι παράλληλη προς την πλευρά ΒΓ του
Διαβάστε περισσότερακαι 2, 2 2 είναι κάθετα να βρείτε την τιμή του κ. γ) Αν στο τρίγωνο ΑΒΓ επιπλέον ισχύει Α(3,1), να βρείτε τις συντεταγμένες των κορυφών του Β και Γ.
Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ (ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ) 8556 ΘΕΜΑ Δίνονται τα διανύσματα και με, και, 3 α) Να βρείτε το εσωτερικό γινόμενο β) Αν τα διανύσματα γ) Να βρείτε το μέτρο του διανύσματος 8558 ΘΕΜΑ
Διαβάστε περισσότεραΕρωτήσεις θεωρίας για τα Μαθηματικά Γ γυμνασίου. Άλγεβρα...
Ερωτήσεις θεωρίας για τα Μαθηματικά Γ γυμνασίου Άλγεβρα 1.1 Β: Δυνάμεις πραγματικών αριθμών. 1. Πως ορίζεται η δύναμη ενός πραγματικού αριθμού ; Η δύναμη με βάση έναν πραγματικό αριθμό α και εκθέτη ένα
Διαβάστε περισσότεραΕΠΙΤΡΟΠΗ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΩΝ 27 η Ελληνική Μαθηματική Ολυμπιάδα "Ο Αρχιμήδης" ΣΑΒΒΑΤΟ, 27 ΦΕΒΡΟΥΑΡΙΟΥ 2010
ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ Πανεπιστημίου (Ελευθερίου Βενιζέλου) 34 106 79 ΑΘΗΝΑ Τηλ. 361653-3617784 - Fax: 364105 e-mail : info@hms.gr www.hms.gr GREEK MATHEMATICAL SOCIETY 34, Panepistimiou (Εleftheriou
Διαβάστε περισσότεραΕΠΙΤΡΟΠΗ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΩΝ 34 η Ελληνική Μαθηματική Ολυμπιάδα "Ο Αρχιμήδης" 4 Μαρτίου 2017
ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ Πανεπιστημίου (Ελευθερίου Βενιζέλου) 4 06 79 ΑΘΗΝΑ Τηλ. 665-67784 - Fax: 6405 e-mail : ifo@hms.gr, www.hms.gr GREEK MATHEMATICAL SOCIETY 4, Paepistimiou (Εleftheriou Veizelou)
Διαβάστε περισσότεραΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ Επιμέλεια: Άλκης Τζελέπης ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΕΝΝΟΙΑ - ΠΡΑΞΕΙΣ. Αν τα διανύσματα,, σχηματίζουν τρίγωνο, να αποδείξετε ότι το ίδιο συμβαίνει
Διαβάστε περισσότεραGREEK MATHEMATICAL SOCIETY Πανεπιστημίου (Ελευθερίου Βενιζέλου) ΑΘΗΝΑ Τηλ Fax:
Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Δίνονται οι δεκαδικοί περιοδικοί αριθμοί α = 0, 2 και β = 0, 3.. (α) Να γράψετε τους αριθμούς α και β σε κλασματική μορφή. (β) Να βρείτε την τιμή της παράστασης 2015 2 2 ( 3 5 ) ( 18 ) 2016
Διαβάστε περισσότεραΚεφάλαιο 7 ο : Θετικοί και Αρνητικοί αριθμοί
ΕΡΩΤΗΣΕΙΙΣ ΘΕΩΡΙΙΑΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΒΑΣΙΙΚΩΝ ΕΝΝΟΙΙΩΝ ΑΠΟ ΤΗΝ ΥΛΗ ΤΗΣ Α ΤΑΞΗΣ Κεφάλαιο 7 ο : Θετικοί και Αρνητικοί αριθμοί Α. 7. 1 1. Τι είναι τα πρόσημα και πως χαρακτηρίζονται οι αριθμοί από αυτά; Τα σύμβολα
Διαβάστε περισσότερα