ΕΠΙΤΡΟΠΗ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΩΝ 67ος ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΟΣ ΜΑΘΗΤΙΚΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ "Ο ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ" ΣΑΒΒΑΤΟ, 20 ΙΑΝΟΥΑΡΙΟΥ 2007

Transcript

1 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ Πανεπιστημίου (Ελευθερίου Βενιζέλου) ΑΘΗΝΑ Τηλ Fax: info@hmsgr wwwhmsgr GREEK MATHEMATICAL SOCIETY 4, Panepistimiou (Εleftheriou Venizelou) Street GR Athens - HELLAS Tel Fax: info@hmsgr wwwhmsgr ΕΠΙΤΡΟΠΗ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΩΝ 67ος ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΟΣ ΜΑΘΗΤΙΚΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ "Ο ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ" ΣΑΒΒΑΤΟ, 0 ΙΑΝΟΥΑΡΙΟΥ 007 ΟΔΗΓΙΕΣ ΠΡΟΣ ΤΟΥΣ ΠΡΟΕΔΡΟΥΣ ΤΩΝ ΤΟΠΙΚΩΝ ΝΟΜΑΡΧΙΑΚΩΝ ΕΠΙΤΡΟΠΩΝ, ΠΡΟΕΔΡΟΥΣ ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΩΝ ΚΕΝΤΡΩΝ ΚΑΙ ΕΠΙΤΗΡΗΤΕΣ Παρακαλούμε να διαβάσετε προσεκτικά τις οδηγίες στους μαθητές Οι επιτηρητές των αιθουσών θα διανείμουν πρώτα κόλλες αναφοράς, στις οποίες οι μαθητές θα πρέπει απαραίτητα να γράψουν ΕΠΩΝΥΜΟ, ΟΝΟΜΑ, ΣΧΟΛΕΙΟ, ΤΑΞΗ, ΔΙΕΥΘΥΝΣΗ ΚΑΤΟΙΚΙΑΣ και ΤΗΛΕΦΩΝΟ, τα οποία θα ελεγχθούν σε αντιπαραβολή με την ταυτότητα που θα έχουν οι εξεταζόμενοι, πριν καλυφθούν και μετά θα γίνει η υπαγόρευση ή διανομή φωτοτυπιών των θεμάτων στους μαθητές Η εξέταση πρέπει να διαρκέσει ακριβώς τρεις () ώρες από τη στιγμή που θα γίνει η εκφώνηση των θεμάτων (9- περίπου) Δε θα επιτρέπεται σε κανένα μαθητή ν' αποχωρήσει πριν παρέλθει μία ώρα από την έναρξη της εξέτασης 4 Οι επιτηρητές των αιθουσών έχουν το δικαίωμα ν' ακυρώσουν τη συμμετοχή μαθητών, αν αποδειχθεί ότι αυτοί έχουν χρησιμοποιήσει αθέμιτα μέσα, σημειώνοντας τούτο στις κόλλες των μαθητών Η επιτροπή Διαγωνισμών της ΕΜΕ έχει δικαίωμα να επανεξετάσει μαθητή αν έχει λόγους να υποπτεύεται ότι το γραπτό του είναι αποτέλεσμα χρήσης αθέμιτου μέσου 5 Υπολογιστές οποιουδήποτε τύπου καθώς και η χρήση κινητών απαγορεύονται 6 Αμέσως μετά το πέρας της εξέτασης, οι κόλλες των μαθητών πρέπει να σφραγιστούν εντός φακέλου ή φακέλων, που θα έχουν την υπογραφή του υπεύθυνου του εξεταστικού κέντρου και ν' αποσταλούν στην Επιτροπή Διαγωνισμών της ΕΜΕ, Πανεπιστημίου 4, Αθήνα, αφού πρώτα στα παραρτήματα, εφόσον είναι εφικτό, γίνει μία πρώτη βαθμολόγηση, σύμφωνα με το σχέδιο βαθμολόγησης της επιτροπής διαγωνισμών 7 Τα αποτελέσματα του διαγωνισμού θα σταλούν στους Προέδρους των Τοπικών Νομαρχιακών Επιτροπών (ΤΝΕ) και τα Παραρτήματα της ΕΜΕ και δεν προβλέπεται Αναβαθμολόγηση (διότι γίνεται εσωτερικά) 8 Η Εθνική Ολυμπιάδα Μαθηματικών «ΑΡΧΙΜΗΔΗΣ» θα γίνει στις 4 Φεβρουαρίου 007 στην Αθήνα Από τους διαγωνισμούς αυτούς και επί πλέον από ένα τελικό διαγωνισμό στην ΕΜΕ και μια προφορική εξέταση με προκαθορισμένη διαδικασία θα επιλεγεί η εθνική ομάδα, που θα συμμετάσχει στη 4 η Βαλκανική Μαθηματική Ολυμπιάδα (Ρόδος, 6 Απριλίου Μαΐου 007), στην η Βαλκανική Μαθηματική Ολυμπιάδα Νέων (Βουλγαρία, Ιούνιος 007) και στην 48η Διεθνή Μαθηματική Ολυμπιάδα (Βιετνάμ, Ιούλιος 007) 9 Με την ευκαιρία αυτή, το ΔΣ της ΕΜΕ ευχαριστεί όλους τους συναδέλφους που συμβάλλουν στην επιτυχία των Πανελληνίων Μαθητικών Διαγωνισμών της Ελληνικής Μαθηματικής Εταιρείας 0 Παρακαλούμε τον Πρόεδρο της ΤΝΕ μαζί με τα γραπτά να μας στείλει το ονοματεπώνυμο και την ταχυδρομική διεύθυνση όλων των επιτηρητών για να τους σταλεί ονομαστική ευχαριστήρια επιστολή από το ΔΣ της ΕΜΕ ΓΙΑ ΤΟ ΔΣ ΤΗΣ ΕΜΕ Ο Πρόεδρος Καθηγητής Θεόδωρος Εξαρχάκος Ο Γενικός Γραμματέας Ιωάννης Τυρλής

2 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ Πανεπιστημίου (Ελευθερίου Βενιζέλου) ΑΘΗΝΑ Τηλ Fax: 6405 Web site: wwwhmsgr GREEK MATHEMATICAL SOCIETY 4, Panepistimiou (Εleftheriou Venizelou) Str GR Athens - HELLAS Tel Fax: 6405 Web site: wwwhmsgr ΕΠΙΤΡΟΠΗ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΩΝ 67ος ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΟΣ ΜΑΘΗΤΙΚΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ "Ο ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ" ΣΑΒΒΑΤΟ, 0 ΙΑΝΟΥΑΡΙΟΥ 007 Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Να προσδιορίσετε τους φυσικούς αριθμούς ν που είναι τέτοιοι ώστε ο αριθμός 4 ν + να είναι ακέραιος Θεωρούμε οξεία γωνία ΑΟΒ και την προέκταση ΟΓ της πλευράς ΟΑ Στο ημιεπίπεδο που ορίζεται από την ΑΓ και περιέχει το σημείο Β, φέρουμε ευθεία ΟΔ ΟΑ και ευθεία ΟΕ ΟΒ Αν είναι ΓΟΕ = 4ΑΟΒ, να υπολογίσετε τη γωνία ΑΟΒ α βγδ είναι πραγματικοί αριθμοί τέτοιοι ώστε ( γ δ)( γ δ) 0 Αν,,, α + β α β α + β α β + = + γ + δ γ δ γ δ γ + δ να αποδείξετε ότι ένας τουλάχιστον από τους α, βγδ,, ισούται με 0 + και 4 Να αποδείξετε ότι κάθε εξαψήφιος φυσικός αριθμός της μορφής xyzxyz, όπου x, y, z είναι ψηφία με x 0 διαιρείται με τους αριθμούς 7, και, Διάρκεια διαγωνισμού: ώρες Καλή επιτυχία

3 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ Πανεπιστημίου (Ελευθερίου Βενιζέλου) ΑΘΗΝΑ Τηλ Fax: 6405 Web site: wwwhmsgr GREEK MATHEMATICAL SOCIETY 4, Panepistimiou (Εleftheriou Venizelou) Str GR Athens HELLAS Tel Fax: 6405 Web site: wwwhmsgr ΕΠΙΤΡΟΠΗ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΩΝ 67ος ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΟΣ ΜΑΘΗΤΙΚΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ " Ο ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ " ΣΑΒΒΑΤΟ, 0 ΙΑΝΟΥΑΡΙΟΥ 007 Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Α= 5 7 Να βρείτε σε πόσα μηδενικά λήγει ο Α και Δίνεται ο αριθμός ποιο είναι το τελευταίο μη μηδενικό ψηφίο του Να προσδιορίσετε τους φυσικούς αριθμούς,, x y 6 = = 4 z xyz που είναι τέτοιοι ώστε: Έστω Μ σημείο της βάσης ΒΓ ισοπλεύρου τριγώνου ΑΒΓ με ΑΒ=6 Αν είναι Κ Λ είναι η προβολή του ΚΛ στη ΒΓ, να υπο- ΜΚ ΑΒ, ΜΛ ΑΓ και λογίσετε το εμβαδόν του τραπεζίου ΚΚΛΛ 4 Οι 5 μαθητές μιας τάξης έχουν συνολικά στις τσάντες τους 5 τετράδια Αν κάθε μαθητής έχει ένα τουλάχιστον τετράδιο, να αποδείξετε ότι δύο τουλάχιστον μαθητές έχουν τον ίδιο αριθμό τετραδίων Διάρκεια διαγωνισμού: ώρες Καλή επιτυχία

4 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ Πανεπιστημίου (Ελευθερίου Βενιζέλου) ΑΘΗΝΑ Τηλ Fax: 6405 GREEK MATHEMATICAL SOCIETY 4, Panepistimiou (Εleftheriou Venizelou) Str GR Athens HELLAS Tel Fax: 6405 Web site: wwwhmsgr ΕΠΙΤΡΟΠΗ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΩΝ 67ος ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΟΣ ΜΑΘΗΤΙΚΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ " Ο ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ " ΣΑΒΒΑΤΟ, 0 ΙΑΝΟΥΑΡΙΟΥ 007 Α ΛΥΚΕΙΟΥ Δίνονται οι πραγματικοί αριθμοί α, βγδε,,, με α < β < γ < δ < ε και η παράσταση (i) Να αποδείξετε ότι: β (ii) Αν είναι α δ γ + α δ ε + ε β α + ε β γ Κ= β α + β γ + δ γ + δ ε <Κ< δ ( α β)( γ δ), ( α γ)( β δ), ( α δ)( β γ) x= + + y = + + z = + +, να συγκρίνετε τους αριθμούς xyz,, Στο εσωτερικό τριγώνου ΑΒΓ υπάρχει σημείο Μ τέτοιο ώστε ΜΒΓ = ΜΓΒ και πάνω στις ΜΒ και ΜΓ υπάρχουν σημεία Δ και Ε, αντίστοιχα, έτσι ώστε ΑΔ=ΑΕ και ΜΑΔ = ΜΑΕ Να αποδείξετε ότι το τρίγωνο ΑΒΓ είναι ισοσκελές Αν είναι xy>, 0 και x + y 64, να αποδείξετε ότι: x + y < Έχουμε κέρματα και χαρτονομίσματα των, 0 και 00 ευρώ Είναι δυνατόν με 000 α- κριβώς από αυτά να σχηματίσουμε το ποσό των ευρώ; Διάρκεια διαγωνισμού: ώρες Καλή επιτυχία

5 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ Πανεπιστημίου (Ελευθερίου Βενιζέλου) ΑΘΗΝΑ Τηλ Fax: 6405 GREEK MATHEMATICAL SOCIETY 4, Panepistimiou (Εleftheriou Venizelou) Str GR Athens HELLAS Tel Fax: 6405 Web site: wwwhmsgr ΕΠΙΤΡΟΠΗ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΩΝ 67ος ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΟΣ ΜΑΘΗΤΙΚΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ " Ο ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ " ΣΑΒΒΑΤΟ, 0 ΙΑΝΟΥΑΡΙΟΥ 007 Δίνεται ότι το πολυώνυμο ( ) Β ΛΥΚΕΙΟΥ Ρ x = x + κ x+ λ με κ, λ έχει τις πραγματικές ρίζες x, x, και x που ανά δύο είναι διαφορετικές μεταξύ τους Να εκφράσετε την παράσταση συναρτήσει των κ, λ ( x )( )( x x ) Γ= Θεωρούμε τόξο ΑΒ = 90 και προεκτείνουμε τη χορδή ΑΒ κατά ευθύγραμμο τμήμα ΒΓ=ΑΒ Ονομάζουμε Δ το σημείο επαφής της εφαπτομένης του τόξου ΑΒ από το Γ και Κ το ίχνος της κάθετης από το Α προς τη ΒΔ Να αποδείξετε ότι: ΚΒ= ΚΑ Αν α, β είναι θετικοί ακέραιοι, να αποδείξετε ότι: 4 4 α + β α + β α+ β α β α β 4 Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ Από σημείο Μ της πλευράς ΒΓ φέρουμε παράλληλες προς τις ΑΓ και ΑΒ που τέμνουν τις ΑΒ και ΑΓ στα σημεία Κ και Λ, αντίστοιχα Αν είναι ΜΚ= x, ΜΛ= y, να βρείτε το ελάχιστο της παράστασης S = x + y και τη θέση του σημείου Μ για την οποία λαμβάνεται αυτό Διάρκεια διαγωνισμού: ώρες Καλή επιτυχία

6 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ Πανεπιστημίου (Ελευθερίου Βενιζέλου) ΑΘΗΝΑ Τηλ Fax: 6405 GREEK MATHEMATICAL SOCIETY 4, Panepistimiou (Εleftheriou Venizelou) Str GR Athens HELLAS Tel Fax: 6405 Web site: wwwhmsgr ΕΠΙΤΡΟΠΗ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΩΝ 67ος ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΟΣ ΜΑΘΗΤΙΚΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ "Ο ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ " ΣΑΒΒΑΤΟ, 0 ΙΑΝΟΥΑΡΙΟΥ 007 Γ ΛΥΚΕΙΟΥ Αν log50 = x, log50 = y τότε να υπολογιστεί η τιμή της παράστασης A= 50 x y y ( ) Δίνεται ότι το πολυώνυμο ( ) Ρ x = x + κ x+ λ με κ, λ έχει τις πραγματικές ρίζες x, x, και x που ανά δύο είναι διαφορετικές μεταξύ τους Να εκφράσετε την παράσταση συναρτήσει των κλ, Να λύσετε στο την εξίσωση: ( x )( )( x x ) Γ= x x + = 4 Αν Ι είναι το έγκεντρο τριγώνου ΑΒΓ με ΒΓ= και ΒΑΓ = 60, να αποδείξετε ότι: ΙΑ + ΙΒ + ΙΓ Διάρκεια διαγωνισμού: ώρες Καλή επιτυχία

7 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ Πανεπιστημίου (Ελευθερίου Βενιζέλου) ΑΘΗΝΑ Τηλ Fax: info@hmsgr wwwhmsgr GREEK MATHEMATICAL SOCIETY 4, Panepistimiou (Εleftheriou Venizelou) Street GR Athens - HELLAS Tel Fax: info@hmsgr wwwhmsgr ΕΠΙΤΡΟΠΗ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΩΝ 67ος ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΟΣ ΜΑΘΗΤΙΚΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ "Ο ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ" ΣΑΒΒΑΤΟ, 0 ΙΑΝΟΥΑΡΙΟΥ 007 ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΛΥΣΕΙΣ Οι λύσεις είναι ενδεικτικές και όχι μοναδικές Οποιαδήποτε μαθηματικώς σωστή λύση είναι αποδεκτή ανεξάρτητα από τα χρησιμοποιούμενα εργαλεία, πχ η Αναλυτική Γεωμετρία και ο Απειροστικός Λογισμός μπορούν να χρησιμοποιηθούν από μαθητές οποιασδήποτε τάξης Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ 4 με ν ν + Δ 4 = {,,,6,7,4,,4} ν + Επειδή ο ν + είναι περιττός έπεται ότι: ν + = ή ν + = ή ν + = 7 ή ν + = ν = 0 ή ν = ή ν = ή ν = 0 Αν θέσουμε ΑΟΒ = ω, τότε από την υπόθεση του προβλήματος έχουμε: Γ 4ω ω = 80 5ω = 90 ω = 8 Ο Ε Δ Α Β Από τις υποθέσεις έχουμε α + β α β α + β α β α + β α β α + β α β + = + = γ + δ γ δ γ δ γ + δ γ + δ γ + δ γ δ γ δ β β = β( γ δ γ δ) = 0 γ + δ γ δ βδ = 0 βδ = 0 β = 0 ή δ = 0 4 Έχουμε ότι

8 Ν= xyzxyz = 00000x y + 000z + 00x + 0y + z = 0000x+ 000y+ 00z ( x y z) = = 7 xyz Άρα οι αριθμοί 7, και διαιρούν τον αριθμό Ν Έχουμε Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ( ) Α= 5 7 = = Άρα ο Α λήγει σε 90 μηδενικά και το τελευταίο μη μηδενικό ψηφίο του είναι το 6 Έχουμε x y 6 4x = = 4x= y και xz = 8 y = και xz = 8 4 z Επειδή οι αριθμοί x, z είναι φυσικοί έχουμε xz = 8 ( x, z) = (,8) ή (,9) ή (, 6) ή ( 6,) ή ( 9, ) ή ( 8,), 4x οπότε, από την ισότητα y = προκύπτει ότι : xyz,, =, 4,6 ή 6,8, ή 9,, ή 8, 4, ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Έχουμε 6 ΑΒΓ = ΑΒΜ + ΑΓΜ = 6 ΜΚ + 6 ΜΚ 4 ( ) ( ) ( ) ΜΚ + ΜΛ = () A K Λ Β K M Λ Γ Από τα ορθογώνια τρίγωνα ΚΚ Μ και ΛΛ Μ γεωμετρικά ή τριγωνομετρικά έχουμε KK = MK, ΛΛ = ΜΛ και ΜΚ = ΜΚ, ΜΛ = ΜΛ 9 Οπότε ΚΛ = ΜΚ + ΜΛ = ( ΜΚ + ΜΛ ) =

9 ΚΚ + ΛΛ = + Λ = = 7 ΚΚΛΛ = ΚΚ + ΛΛ ΚΛ = 8 και ( MK M ) Άρα είναι ( ) ( ) 4 Αν υποθέσουμε ότι όλοι οι μαθητές έχουν διαφορετικό αριθμό τετραδίων, τότε ο ελάχιστος αριθμός τετραδίων που μπορούν να έχουν όλοι μαζί είναι = 0 > 5 Άρα δεν είναι δυνατόν να έχουν όλοι οι μαθητές διαφορετικό αριθμό τετραδίων, οπότε δύο τουλάχιστον θα έχουν τον ίδιο αριθμό τετραδίων Α ΛΥΚΕΙΟΥ (i) Λαμβάνοντας υπόψη τις ανισότητες α < β < γ < δ < ε εύκολα βρίσκουμε ότι Κ= γ, οπότε β <Κ< δ (ii) Έχουμε x y = ( α + β)( γ + δ) ( α + γ)( β + δ) = αγ + βδ αβ γδ = α( γ β) + δ ( β γ) = ( γ β)( α δ) < 0 Άρα είναι x y < 0 δηλαδή x < y Ομοίως λαμβάνουμε y z = ( δ γ)( α β) < 0 Επειδή είναι ΜΒΓ = ΜΓΒ, το τρίγωνο ΜΒΓ είναι ισοσκελές με ΜΒ = ΜΓ () Επιπλέον, τα τρίγωνα ΜΑΔ και ΜΑΕ είναι ίσα γιατί έχουν: ΑΜ κοινή πλευρά, ΑΔ = ΑΕ, ΜΑΔ = ΜΑΕ Άρα θα έχουν και ΑΜΔ = ΑΜΕ () Λόγω των () και () τα τρίγωνα ΜΑΒ και ΜΑΓ είναι ίσα, οπότε θα έχουν και ΑΒ =ΑΓ, δηλαδή το τρίγωνο ΑΒΓ είναι ισοσκελές Β Δ Μ Α Ε Γ Επειδή είναι xy>, 0 έχουμε 4 x + y 64 x < 64 και y < 64 x< 4 και y< 8 x < 4x και y < 8y, από τις οποίες με πρόσθεση κατά μέλη λαμβάνουμε 4 x + y < 4x + 8y < 8 x + y 8 64 = 5 ( ) 4 Αν υποθέσουμε ότι παίρνουμε x κέρματα του ενός ευρώ, y χαρτονομίσματα των 0 ευρώ και z χαρτονομίσματα των 00 ευρώ, τότε θα έχουμε τις ισότητες x+ 0y+ 00z = και x+ y+ z = 000, () από τις οποίες με αφαίρεση κατά μέλη λαμβάνουμε:

10 ( ) 9y+ 99z = y+ z = , που είναι άτοπο, γιατί το άθροισμα των ψηφίων του είναι ο αριθμός που δεν διαιρείται με το 9 Β ΛΥΚΕΙΟΥ Από την υπόθεση έχουμε ότι: Ρ x = x x x x x x () ( ) ( )( )( ) Η παράσταση Κ γράφεται: Κ x, x, x = x + x x + x x + x ( ) ( )( )( )( )( )( ) = ( x)( x)( x)( + x)( + x)( + x) =Ρ() ( x )( x )( x ) () ( ) ( )( ) ( ) = Ρ Ρ = + κ + λ κ + λ = + κ λ Γ Β Β Δ Κ Α Ε Ο Α ος Τρόπος Έχουμε: ΓΔ = ΓΑ ΓΒ = R R = 4R ΓΔ = R = O Δ Επειδή επιπλέον ΟΔΓ ˆ = 90 ο, αρκεί να αποδείξουμε ότι ΟΓΔ ΑΚΒ ή ισοδύναμα αρκεί να αποδείξουμε ότι: O ΓΔ ˆ = ΑΒΚ ˆ Πράγματι αν Ε είναι το αντιδιαμετρικό σημείο του Α ως προς τον κύκλο Ο, τότε: OB EΓ ΕΓ ΟΕ ΟΔΓΕ εγγεγραμμένο τετράπλευρο ΔΓΕ ˆ = ΔΟΑ ˆ ΔΓΟ ˆ = ΑΒΚ ˆ ΔΓΟ=ΑΒΚ ˆ ˆ ος Τρόπος Δ Δ

11 Έστω Ε το αντιδιαμετρικό σημείο του Α ως προς τον κύκλο κέντρου Ο Από το εγγεγραμμένο τετράπλευρο ΑΔΒΕ έπεται ότι ΚΔΑ = ΑΕΒ = 45, οπότε και το τρίγωνο ΑΔΚ είναι ορθογώνιο ισοσκελές Άρα είναι ΑΔ ΚΑ = ΚΔ = () Επιπλέον, αν είναι ΑΑ ΓΔ, ΒΒ ΓΔ και ΟΑ= R, τότε με χρήση του τύπου της απόστασης σημείου κύκλου από εφαπτομένη του, λαμβάνουμε ΔΑ ΔΑ R ΑΑ ΓΑ = = = = () ΔΒ ΔΒ ΒΒ ΓΒ R ΑΔ Από τη () έπεται ότι ΔΒ =, οπότε από την () έπεται ότι ΔΒ = ΚΔ = ΚΑ και ΚΒ = ΚΔ + ΔΒ = ΚΑ Από την ανισότητα αριθμητικού γεωμετρικού μέσου έχουμε α φορές β φορές 4 4 α + β α + α + + α + β + β + β = = α + β α + β από την οποία έπεται το ζητούμενο α β α β ( α ) ( β ) ( α β ) α+ β α+ β, 4 Έστω ότι είναι ΜΒ= κ και ΜΓ = λ, οπότε θα είναι κ + λ = α Τότε θα έχουμε x β κ = α και y γ βκ γλ = x = και y = Α λ α α α Άρα η παράσταση S γίνεται Λ β κ γ λ S = x + y = + () α α Κ βκ + γ ( α κ) S = α β + γ γ = + = κ κ γ f ( κ) Β Γ α α Μ Άρα η παράσταση S είναι τριώνυμο ως προς κ με συντελεστή του κ τον γ β + γ αγ > 0, οπότε η παράσταση έχει ελάχιστο για κ = α = α ( β + γ ) β + γ α αβ Τότε είναι λ = α κ =, οπότε το σημείο Μ στο οπο0ίο λαμβάνεται το β + γ ΜΒ γ ελάχιστο της παράστασης S χωρίζει την πλευρά ΒΓ σε λόγο = ΜΓ β Η τιμή του ελάχιστου είναι

12 αγ = f β + γ + + γ = β γ αγ γ αγ β γ α β + γ α β + γ β + γ ος τρόπος Μέσω της σχέσης () θα μπορούσαμε να προχωρήσουμε ως εξής: α α β κ γ λ α α β γ S + = + + ( κ + λ) = α S β γ α α β β β + γ οπότε έχουμε: βγ Smin = β +γ Η ισότητα ισχύει όταν ΒΓ σε λόγο γ β Γ ΛΥΚΕΙΟΥ βκ γλ α κ γ = α ή = α α λ β β γ, δηλαδή όταν το σημείο Μ χωρίζει τη x y 50 =, 50 = x y x y 50 ( y) 50 ( y) y x y x y y ( ) ( y ) A = = = 50 = x y x y ( ) ( y ) y x y = 50 = 50 = 50 = = = x+ y x y 50 = = 5 = 5 ος τρόπος 50 log50 x y 6 log50a = = log50 50 = log50 50 = log50 5 = log50 5 ( y) 50 log50 Άρα Α=5 Από την υπόθεση έχουμε ότι: Ρ x = x x x x x x () ( ) ( )( )( ) Η παράσταση Κ γράφεται: Κ x, x, x = i x i x i x i x i x i x ( ) ( )( )( )( )( )( ) = ( i x )( i x )( i x )( i x )( i x )( i x ) () ( ) ( i κi λ)( i κi λ) λ ( κ ) =Ρ Ρ = = +

13 Η συνάρτηση h( x) Άρα ( ) ( ) ( ) x + = είναι γνησίως αύξουσα, άρα αντιστρέφεται και x, x h ( x) = x, x < h x = h x με x Αφού f γνησίως αύξουσα, τα κοινά σημεία των G, G h h θα βρίσκονται στη πρώτη διχοτόμο y=x x + x + y= h( x) y= x = Έχουμε: y= x y= x y= x + x x + = 0 x,, x, y x αφού x = y= x y= x Άρα ( ) x, ος τρόπος x + x + () y= h( x) y h y ( x = ) y = = y= h ( x) x = h( y) y + x = x y= ( y x ) () x yx y 0 4 x = y αφού η 4 έχει ( ) x = y ή ( ) Δ= y + 4 < 0, y κλπ = ( ) ( ) 4 Θεωρούμε τον περιγεγραμένο κύκλο C ( ) C (,R) K,R του AB Δ Γ και τον συμμετρικό του Λ ως προς τη ΒΓ Τότε το Λ θα είναι μέσο του μικρού τόξου ΒΓ Έστω Α το αντιδιαμετρικό του Α στον C και Α το αντιδιαμετρικό του Κ στον C Το τρίγωνο ΒΑ Γ είναι ισόπλευρο οπότε IΑ = IB + IΓ Επίσης BI ˆΓ=ΒΚΓ= ˆ 0 ο Επομένως IA + IB + IΓ=ΙΑ+ΙΑ Αλλά IA ΚΑ = R (R η ακτίνα του περιγεγραμμένου κύκλου) και IA = AΛ R < A Λ R = KA = R Άρα IA + IB + IΓ R = =, αφού ΒΓ= R = =

14 A A Β K Ι Λ Γ Α ος τρόπος Έστω ΙΑ=x, IB=y, IΓ=ω Â o Τότε 0 x = = ρ ο ( ) ( ) BI ˆΓ= 0 y +ω + yω= 4 y +ω yω= 4 y +ω = 4 + yω y+ω= 4+ yω= 4+λ με λ=yω Εξάλλου ( IBΓ ) = ρ =ρ λ λ ( IBΓ ) = yω =, οπότε ρ= 4 4 λ Αρκεί λοιπόν + 4+λ, ή λ + 4+λ Όμως R = R = και R 8 4 >ρ > 4 > λ >λ > >λ Οπότε αρκεί 4 ( 4 ) που ισχύει αφού Δ= 88 + λ λ, ή 4( 4 ) ( 4 ) A + λ λ, ή λ 8λ+ 0 0 x Β ρ y I 0 ω Γ