ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ

Transcript

1 Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο ΤΕΙ ΙΟΝΙΩΝ ΝΗΣΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ενότητα 1: ΑΠΛΟΣ ΤΟΚΟΣ Βασικές έννοιες Το περιεχόμενο του μαθήματος διατίθεται με άδεια Creative Commons εκτός και αν αναφέρεται διαφορετικά Το έργο υλοποιείται στο πλαίσιο του Επιχειρησιακού Προγράμματος «Εκπαίδευση και Δια Βίου Μάθηση» και συγχρηματοδοτείται από την Ευρωπαϊκή Ένωση (Ευρωπαϊκό Κοινωνικό Ταμείο) και από εθνικούς πόρους.

2 Κεφάλαιο (capital C or principal P) Χρόνος (time, t) Τόκος (Interest, I) Επιτόκιο (Interest rate, i) Το άθροισμα P I που προκύπτει από το άθροισμα του τόκου στο κεφάλαιο καλείται τελική ή μέλλουσα αξία (future value) ή τελικό κεφάλαιο του κεφαλαίου και συμβολίζεται με FV. Δηλαδή: FV Όταν ο τόκος που παράγεται ενσωματώνεται στο κεφάλαιο μόνο μια φορά στο τέλος του χρονικού διαστήματος που το κεφάλαιο αυτό είναι παραγωγικό, τότε καλείται απλός τόκος. Το κεφάλαιο παραμένει P I

3 σταθερό σε όλη τη διάρκεια της παραγωγικής διαδικασίας. Στον απλό τόκο θεωρούμε ότι ο τόκος που παράγεται από ένα κεφάλαιο είναι ευθέως ανάλογος προς το κεφάλαιο, το χρόνο και το επιτόκιο. Συνεπώς ο τύπος του απλού τόκου δίνεται ως εξής: I P t i ΠΡΟΣΟΧΗ: Όταν εφαρμόζουμε τον τύπο του απλού τόκου θα πρέπει ο χρόνος να εκφράζεται σε ίδιες μονάδες με τις μονάδες του επιτοκίου. Στην περίπτωση του απλού τόκου η τελική αξία του κεφαλαίου δίνεται από τον τύπο: FV P Pti P( 1 ti)

4 Ο συντελεστής 1 ti εκφράζει το ποσοστό αύξησης του τελικού κεφαλαίου σε σχέση με το αρχικό κεφάλαιο. Διακρίνουμε τις ακόλουθες περιπτώσεις: Α) Όταν το επιτόκιο είναι ετήσιο και ο χρόνος εκφράζεται σε μήνες, τότε ο απλός τόκος δίνεται από τον τύπο: Pmi I, 12 όπου m ο αριθμός των τοκοφόρων μηνών. Β) Αν ο χρόνος εκφράζεται σε ημέρες, τότε η μαθηματική σχέση υπολογισμού του απλού τόκου είναι: Pdi I ή 360 Pdi I, 365

5 όπου d είναι ο αριθμός των τοκοφόρων ημερών. Σχετικά με τον υπολογισμό του τόκου, υπάρχουν τρία (3) έτη: Έτος πολιτικό: κάθε μήνας υπολογίζεται με τον πραγματικό αριθμό των ημερών του (30, 31, 28 ή 29) και το έτος με 365 μέρες 1. Pdi I 365 Έτος εμπορικό: κάθε μήνας υπολογίζεται με 30 μέρες και το έτος με 360 μέρες. I Pdi 360 Έτος μικτό: κάθε μήνας υπολογίζεται με τον πραγματικό αριθμό των ημερών του (30, 31, 28 ή 29) και το έτος με 360 μέρες ημέρες στην περίπτωση του δίσεκτου έτους

6 Pdi I 360 Οι μαθηματικές σχέσεις που δίνουν το τελικό κεφάλαιο αν ένα αρχικό κεφάλαιο C τοκίζεται με απλό τόκο, με ετήσιο επιτόκιο i και με χρονική διάρκεια μήνες (m) ή ημέρες (d) ανάλογα με το είδος τους έτους είναι: ή FV FV Pmi mi P P Pdi di P P1 360 ή ή 365

7 ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ Ο κ. Μάρκου δανείζεται ευρώ για 4 μήνες με ετήσιο επιτόκιο 16%. Ποια είναι η τελική αξία που θα πρέπει να καταβάλει σε 4 μήνες; ΛΥΣΗ Το ποσό που θα πρέπει να καταβάλει ο κ. Μάρκου υπολογίζεται ως εξής: 4 FV ,16 12 ευρώ ,67

8 Υπολογισμός του Κεφαλαίου στον Απλό Τόκο P I ti P I 12 mi P 360(ή 365) di I Υπολογισμός του Χρόνου στον Απλό t I Pi I m 12 Pi Τόκο d 360 (ή 365) I Pi Υπολογισμός του Επιτοκίου στον Απλό Τόκο i I Pt i I 12 Pm i 360 (ή 365) Pd I

9 Εύρεση του Αρχικού Κεφαλαίου σε συνάρτηση του Τελικού Κεφαλαίου P FV 1 ti P 12 1 FV mi P 360 (ή 365) FV 360 (ή 365) di

10 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ ΠΡΟΣ ΜΕΛΕΤΗ Κιόχος, Α., Μπενέκη, Χ. Οικονομικά Μαθηματικά, Εκδόσεις Ελένη Κιόχου (αναμένεται η έκδοση). Φράγκος, Χ. (2007). Οικονομικά Μαθηματικά, B Έκδοση, Εκδόσεις Σταμούλη Αποστολόπουλος, Θ. (2003). Οικονομικά Μαθηματικά και Στοιχεία Τραπεζικών Εργασιών, Εκδόσεις Σύγχρονη Εκδοτική Σόρμας, Α. και Σαριανίδης, Ν. (2014). Οικονομικά Μαθηματικά, Εκδόσεις Σόρμας, Α. και Σαριανίδης

11 Ν. Χουβαρδάς, Β. (2004). Οικονομικά Μαθηματικά, 2η έκδοση, Μακεδονικές Εκδόσεις

12 Σημείωμα Αδειοδότησης Το παρόν υλικό διατίθεται με τους όρους της άδειας χρήσης Creative Commons Αναφορά, Μη Εμπορική Χρήση Παρόμοια Διανομή 4.0 [1] ή μεταγενέστερη, Διεθνής Έκδοση. Εξαιρούνται τα αυτοτελή έργα τρίτων π.χ. φωτογραφίες, διαγράμματα κ.λ.π., τα οποία εμπεριέχονται σε αυτό. Οι όροι χρήσης των έργων τρίτων επεξηγούνται στη διαφάνεια «Επεξήγηση όρων χρήσης έργων τρίτων». Τα έργα για τα οποία έχει ζητηθεί άδεια αναφέρονται στο «Σημείωμα Χρήσης Έργων Τρίτων».

13 [1] από-nc-sa/4.0/ Ως Μη Εμπορική ορίζεται η χρήση: που δεν περιλαμβάνει άμεσο ή έμμεσο οικονομικό όφελος από την χρήση του έργου, για το διανομέα του έργου και αδειοδόχο που δεν περιλαμβάνει οικονομική συναλλαγή ως προϋπόθεση για τη χρήση ή πρόσβαση στο έργο που δεν προσπορίζει στο διανομέα του έργου και αδειοδόχο έμμεσο οικονομικό όφελος (π.χ. διαφημίσεις) από την προβολή του έργου σε διαδικτυακό τόπο Ο δικαιούχος μπορεί να παρέχει στον αδειοδόχο ξεχωριστή άδεια να

14 χρησιμοποιεί το έργο για εμπορική χρήση, εφόσον αυτό του ζητηθεί. Επεξήγηση όρων χρήσης έργων τρίτων Δεν επιτρέπεται η επαναχρησιμοποίηση του έργου, παρά μόνο εάν ζητηθεί εκ νέου άδεια από το δημιουργό. διαθέσιμο με άδεια CC-BY Επιτρέπεται η επαναχρησιμοποίηση του έργου και η δημιουργία παραγώγων αυτού με απλή αναφορά του δημιουργού. διαθέσιμο με άδεια CC-BY-SA Επιτρέπεται η επαναχρησιμοποίηση του έργου με αναφορά του δημιουργού, και διάθεση του έργου ή του παράγωγου αυτού με την ίδια άδεια. διαθέσιμο με άδεια CC-BY-ND Επιτρέπεται η επαναχρησιμοποίηση του έργου με αναφορά του δημιουργού. Δεν επιτρέπεται η δημιουργία παραγώγων του έργου. διαθέσιμο με άδεια CC-BY-NC Επιτρέπεται η επαναχρησιμοποίηση του έργου με αναφορά του δημιουργού. Δεν επιτρέπεται η εμπορική χρήση του έργου. διαθέσιμο με άδεια CC-BY-NC-SA Επιτρέπεται η επαναχρησιμοποίηση του έργου με αναφορά του δημιουργού και διάθεση του έργου ή του παράγωγου αυτού με την ίδια άδεια. Δεν επιτρέπεται η εμπορική χρήση του έργου. διαθέσιμο με άδεια CC-BY-NC-ND Επιτρέπεται η επαναχρησιμοποίηση του έργου με αναφορά του δημιουργού. Δεν επιτρέπεται η εμπορική χρήση του έργου και η δημιουργία παραγώγων του. διαθέσιμο με άδεια CC0 Public Domain Επιτρέπεται η επαναχρησιμοποίηση του έργου, η δημιουργία παραγώγων αυτού και η εμπορική του χρήση, χωρίς αναφορά του δημιουργού.

15 διαθέσιμο ως κοινό κτήμα Επιτρέπεται η επαναχρησιμοποίηση του έργου, η δημιουργία παραγώγων αυτού και η εμπορική του χρήση, χωρίς αναφορά του δημιουργού. χωρίς σήμανση Συνήθως δεν επιτρέπεται η επαναχρησιμοποίηση του έργου. Διατήρηση Σημειωμάτων Οποιαδήποτε αναπαραγωγή ή διασκευή του υλικού θα πρέπει να συμπεριλαμβάνει: το Σημείωμα Αναφοράς το Σημείωμα Αδειοδότησης τη δήλωση Διατήρησης Σημειωμάτων το Σημείωμα Χρήσης Έργων Τρίτων (εφόσον υπάρχει) μαζί με τους συνοδευόμενους υπερσυνδέσμους.

16 Χρηματοδότηση Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό έχει αναπτυχθεί στα πλαίσια του εκπαιδευτικού έργου του διδάσκοντα. Το έργο «Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο ΤΕΙ Ιονίων Νήσων» έχει χρηματοδοτήσει μόνο την αναδιαμόρφωση του εκπαιδευτικού υλικού. Το έργο υλοποιείται στο πλαίσιο του Επιχειρησιακού Προγράμματος «Εκπαίδευση και Δια Βίου Μάθηση» και συγχρηματοδοτείται από την Ευρωπαϊκή Ένωση (Ευρωπαϊκό Κοινωνικό Ταμείο) και από εθνικούς πόρους.