ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ

Transcript

1 Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο ΤΕΙ ΙΟΝΙΩΝ ΝΗΣΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ενότητα 10: ΡΑΝΤΕΣ Το περιεχόμενο του μαθήματος διατίθεται με άδεια Creatve Commos εκτός και αν αναφέρεται διαφορετικά Το έργο υλοποιείται στο πλαίσιο του Επιχειρησιακού Προγράμματος «Εκπαίδευση και Δια Βίου Μάθηση» και συγχρηματοδοτείται από την Ευρωπαϊκή Ένωση (Ευρωπαϊκό Κοινωνικό Ταμείο) και από εθνικούς πόρους.

2 ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ Ράντα ονομάζεται μια σειρά κεφαλαίων τα οποία καταβάλλονται ή κατατίθενται σε ίσα χρονικά διαστήματα. Δόση ή όρος της ράντας λέγεται κάθε χρηματικό ποσό το οποίο καταβάλλεται ή κατατίθεται σε ίσα χρονικά διαστήματα. Συμβολίζεται με. Λήξη λέγεται η χρονική στιγμή της της καταβολής μιας δόσης της ράντας. Ο χρόνος μεταξύ της καταβολής δύο διαδοχικών όρων μιας ράντας ονομάζεται περίοδος της ράντας.

3 Ληξιπρόθεσμη λέγεται η ράντα της οποίας ο όρος καταβάλλεται στο τέλος κάθε περιόδου. Προκαταβλητέα λέγεται η ράντα την οποίας ο όρος καταβάλλεται στην αρχή κάθε περιόδου. Αρχή ράντας λέγεται στις ληξιπρόθεσμες ράντες μια περίοδος πριν την καταβολή του πρώτου όρου ενώ στις προκαταβλητέες ράντες η περίοδος καταβολής του πρώτου όρου της ράντας. Τέλος ράντας είναι στις ληξιπρόθεσμες ράντες η περίοδος καταβολής του τελευταίου όρου ενώ στις προκαταβλητέες μια περίοδος μετά την καταβολή του τελευταίου όρου.

4 Η χρονική στιγμή κατά την οποία ζητείται να υπολογιστεί η αξία των όρων μιας ράντας λέγεται εποχή υπολογισμού. Παρούσα αξία ράντας λέγεται η αξία των όρων μιας ράντας σε μια ορισμένη χρονική στιγμή. Αν η χρονική στιγμή συμπίπτει με την αρχή της ράντας τότε η παρούσα αξία ονομάζεται αρχική αξία. Τελική αξία ράντας λέγεται η αξία των ορών μιας ράντας στο τέλος της τελευταίας περιόδου. Βέβαιη ράντα λέγεται η ράντα της οποίας η καταβολή των όρων δεν εξαρτάται από την πραγματοποίηση ή όχι κάποιου γεγονότος, δηλ. θεωρείται δεδομένο ότι όλοι οι όροι της

5 καταβάλλονται σε ορισμένες χρονικές στιγμές. Τυχαία ράντα λέγεται η ράντα της οποίας η καταβολή των όρων της εξαρτάται από την πραγματοποίηση ενός τυχαίου γεγονότος. Στις τυχαίες ράντες ανήκουν και οι ράντες ζωής με τις οποίες ασχολούνται τα ασφαλιστικά μαθηματικά. Διάκριση ραντών Οι ράντες διακρίνονται: Με βάση τους όρους: α) σε σταθερές όταν όλοι οι όροι της ράντας είναι ίσοι β) σε μεταβλητές όταν οι όροι δεν είναι ίσοι

6 Με βάση τη χρονική διάρκεια: α) σε πρόσκαιρες όταν το πλήθος των όρων της ράντας είναι ορισμένο β) σε διηνεκείς όταν το πλήθος των όρων της ράντας είναι άπειρο, δηλαδή καταβάλλονται χωρίς χρονικό περιορισμό γ) σε ζωής όταν η καταβολή των όρων εξαρτάται από την εμφάνιση τυχαίων γεγονότων Με βάση την εποχή υπολογισμού: α) σε άμεσες όταν η εποχή υπολογισμού της ράντας ταυτίζεται με την αρχή της ράντας

7 β) σε μέλλουσες όταν η εποχή υπολογισμού βρίσκεται πριν από την αρχή της ράντας γ) σε αρξάμενες όταν η εποχή υπολογισμού είναι μεταγενέστερη της αρχής της ράντας. Με βάση την περίοδο α) σε ακέραιες, όταν η ράντα έχει περίοδο ίση με εκείνη στην οποία αναφέρεται το επιτόκιο β) σε κλασματικές, όταν ο όρος μιας ράντας καταβάλλεται φορές μέσα 1 στο έτος ανά ποσό αυτής. Η κλασματική διακρίνεται σε άμεση, μέλλουσα, πρόσκαιρη και διηνεκής.

8 Συμβολισμοί : Όρος ή Δόση A: Παρούσα ή Αρχική Αξία S : Μέλλουσα ή Τελική Αξία : Έτος ή αριθμός περιόδων ράντας : Επιτόκιο Υπολογισμός της Αρχικής Αξίας Σταθερής και Ληξιπρόθεσμης Ράντας U A 1 όπου ο όρος της ράντας δεν είναι μία νομισματική μονάδα αλλά νομισματικές μονάδες. Εάν ο όρος της ράντας είναι μία νομισματική μονάδα τότε ο τύπος γράφεται: U A 1

9 Παράδειγμα 1. Τι ποσό πρέπει να δανεισθεί ένα άτομο σήμερα με ανατοκισμό και ετήσιο επιτόκιο 8% για να μπορέσει να το εξοφλήσει πληρώνοντας ευρώ στο τέλος κάθε έτους και για 15 έτη; ΛΥΣΗ Δίνονται: , 15, 0, 08 Εφαρμόζουμε τη σχέση: 1U A , ,8 ευρώ Το 1U συμβολίζεται και ως α και υπολογίζεται από τους ειδικούς πίνακες.

10 Υπολογισμός της Τελικής Αξίας Σταθερής και Ληξιπρόθεσμης Ράντας S ( 1 ) 1 Υπολογισμός της Αρχικής Αξίας Σταθερής και Προκαταβλητέας Ράντας A 1U (1 ) Υπολογισμός της Τελικής Αξίας Σταθερής και Προκαταβλητέας Ράντας S (1 ) 1 (1 )

11 Υπολογισμός της Αρχικής Αξίας Σταθερής, Πρόσκαιρης, Ληξιπρόθεσμης, Μέλλουσας και Ακέραιας Ράντας Μια ράντα λέγεται μέλλουσα όταν η αξία της αναφέρεται σε μια χρονική στιγμή που είναι προγενέστερη της αρχής της πρώτης περιόδου, δηλ. όταν η αρχή της ράντας βρίσκεται σε μεταγενέστερο της εποχής υπολογισμού χρόνο. A 1U (1 )

12 Υπολογισμός της Τελικής Αξίας Σταθερής, Πρόσκαιρης, Ληξιπρόθεσμης, Μέλλουσας και Ακέραιας Ράντας S ( 1 ) 1 Υπολογισμός της Αρχικής Αξίας Σταθερής, Πρόσκαιρης, Προκαταβλητέας, Μέλλουσας και Ακέραιας Ράντας A 1U (1 ) 1

13 Υπολογισμός της Τελικής Αξίας Σταθερής, Πρόσκαιρης, Προκαταβλητέας, Μέλλουσας και Ακέραιας Ράντας S (1 ) 1 (1 ) Υπολογισμός της Αρχικής Αξίας Σταθερής, Διηνεκούς, Ληξιπρόθεσμης, Άμεσης και Ακέραιας Ράντας A Η τελική της αξία είναι το άπειρο, διότι εξ ορισμού η διηνεκής ράντα διαθέτει άπειρους όρους, δηλαδή οι όροι της καταβάλλονται συνεχώς χωρίς χρονικό περιορισμό (π.χ. μία ετήσια υποτροφία που δίνεται επ άπειρον).

14 Υπολογισμός της Αρχικής Αξίας Σταθερής, Διηνεκούς, Προκαταβλητέας, Άμεσης και Ακέραιας Ράντας A Παράδειγμα 2. ( 1 ) Ποια είναι η αρχική αξία μιας προκαταβλητέας διηνεκούς ράντας ετήσιου όρου ευρώ με επιτόκιο 4%; ΛΥΣΗ A 1 ( 1 ) ,

15 Παράδειγμα 3. Τι ποσό πρέπει να καταθέσει ένα άτομο σε μια τράπεζα στην αρχή κάθε έτους με επιτόκιο 5% για να συσσωρευτεί στο λογαριασμό του στο τέλος του 4 ου έτους ποσό ευρώ; ΛΥΣΗ Πρόκειται για προκαταβλητέα ράντα. (1 ) 1 Από τον τύπο: S (1 ) Λύνουμε ως προς και έχουμε: (1 ) S 1 (1 )

16 ( 1 ) 1 Την τιμή της ποσότητας την υπολογίζουμε από τους ειδικούς πίνακες. Βρίσκουμε: (1 ) 1 Επομένως, (1 0,05) 0, , (1 4 0,05) 4, ,9ευρώ

17 Σημείωμα Αδειοδότησης Το παρόν υλικό διατίθεται με τους όρους της άδειας χρήσης Creatve Commos Αναφορά, Μη Εμπορική Χρήση Παρόμοια Διανομή 4.0 [1] ή μεταγενέστερη, Διεθνής Έκδοση. Εξαιρούνται τα αυτοτελή έργα τρίτων π.χ. φωτογραφίες, διαγράμματα κ.λ.π., τα οποία εμπεριέχονται σε αυτό. Οι όροι χρήσης των έργων τρίτων επεξηγούνται στη διαφάνεια «Επεξήγηση όρων χρήσης έργων τρίτων». Τα έργα για τα οποία έχει ζητηθεί άδεια αναφέρονται στο «Σημείωμα Χρήσης Έργων Τρίτων».

18 [1] από-c-sa/4.0/ Ως Μη Εμπορική ορίζεται η χρήση: που δεν περιλαμβάνει άμεσο ή έμμεσο οικονομικό όφελος από την χρήση του έργου, για το διανομέα του έργου και αδειοδόχο που δεν περιλαμβάνει οικονομική συναλλαγή ως προϋπόθεση για τη χρήση ή πρόσβαση στο έργο που δεν προσπορίζει στο διανομέα του έργου και αδειοδόχο έμμεσο οικονομικό όφελος (π.χ. διαφημίσεις) από την προβολή του έργου σε διαδικτυακό τόπο Ο δικαιούχος μπορεί να παρέχει στον αδειοδόχο ξεχωριστή άδεια να

19 χρησιμοποιεί το έργο για εμπορική χρήση, εφόσον αυτό του ζητηθεί. Επεξήγηση όρων χρήσης έργων τρίτων Δεν επιτρέπεται η επαναχρησιμοποίηση του έργου, παρά μόνο εάν ζητηθεί εκ νέου άδεια από το δημιουργό. διαθέσιμο με άδεια CC-BY Επιτρέπεται η επαναχρησιμοποίηση του έργου και η δημιουργία παραγώγων αυτού με απλή αναφορά του δημιουργού. διαθέσιμο με άδεια CC-BY-SA Επιτρέπεται η επαναχρησιμοποίηση του έργου με αναφορά του δημιουργού, και διάθεση του έργου ή του παράγωγου αυτού με την ίδια άδεια. διαθέσιμο με άδεια CC-BY-ND Επιτρέπεται η επαναχρησιμοποίηση του έργου με αναφορά του δημιουργού. Δεν επιτρέπεται η δημιουργία παραγώγων του έργου. διαθέσιμο με άδεια CC-BY-NC Επιτρέπεται η επαναχρησιμοποίηση του έργου με αναφορά του δημιουργού. Δεν επιτρέπεται η εμπορική χρήση του έργου. διαθέσιμο με άδεια CC-BY-NC-SA Επιτρέπεται η επαναχρησιμοποίηση του έργου με αναφορά του δημιουργού και διάθεση του έργου ή του παράγωγου αυτού με την ίδια άδεια. Δεν επιτρέπεται η εμπορική χρήση του έργου. διαθέσιμο με άδεια CC-BY-NC-ND Επιτρέπεται η επαναχρησιμοποίηση του έργου με αναφορά του δημιουργού. Δεν επιτρέπεται η εμπορική χρήση του έργου και η δημιουργία παραγώγων του. διαθέσιμο με άδεια CC0 Publc Doma Επιτρέπεται η επαναχρησιμοποίηση του έργου, η δημιουργία παραγώγων αυτού και η εμπορική του χρήση, χωρίς αναφορά του δημιουργού.

20 διαθέσιμο ως κοινό κτήμα Επιτρέπεται η επαναχρησιμοποίηση του έργου, η δημιουργία παραγώγων αυτού και η εμπορική του χρήση, χωρίς αναφορά του δημιουργού. χωρίς σήμανση Συνήθως δεν επιτρέπεται η επαναχρησιμοποίηση του έργου. Διατήρηση Σημειωμάτων Οποιαδήποτε αναπαραγωγή ή διασκευή του υλικού θα πρέπει να συμπεριλαμβάνει: το Σημείωμα Αναφοράς το Σημείωμα Αδειοδότησης τη δήλωση Διατήρησης Σημειωμάτων το Σημείωμα Χρήσης Έργων Τρίτων (εφόσον υπάρχει) μαζί με τους συνοδευόμενους υπερσυνδέσμους.

21 Χρηματοδότηση Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό έχει αναπτυχθεί στα πλαίσια του εκπαιδευτικού έργου του διδάσκοντα. Το έργο «Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο ΤΕΙ Ιονίων Νήσων» έχει χρηματοδοτήσει μόνο την αναδιαμόρφωση του εκπαιδευτικού υλικού. Το έργο υλοποιείται στο πλαίσιο του Επιχειρησιακού Προγράμματος «Εκπαίδευση και Δια Βίου Μάθηση» και συγχρηματοδοτείται από την Ευρωπαϊκή Ένωση (Ευρωπαϊκό Κοινωνικό Ταμείο) και από εθνικούς πόρους.