ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ ΓΡΑΦΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ.

Μέγεθος: px

Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ ΓΡΑΦΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ."

Αελλαι Μάγκας
7 χρόνια πριν
Προβολές:

1 ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ Α ΓΡΑΦΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ. Αρκετές φορές τα πειραματικά δεδομένα πρέπει να απεικονίζονται υπό μορφή γραφικών παραστάσεων σε ορθογώνιο σύστημα αξόνων καρτεσιανών συντεταγμένων. Με τις γραφικές παραστάσεις επιτυγχάνονται τα εξής: (1) Δημιουργία εικόνας για τη συνολική πορεία συμπεριφοράς του φαινομένου και της αλληλεξάρτησης των μεταβλητών του. () Γίνεται άμεση εκτίμηση της κλίμακας των αριθμητικών τιμών των μεγεθών που συμμετέχουν και (3) Διερευνάται η ύπαρξη κάποιας ένδειξης για τη μαθηματική σχέση που μπορεί να συνδέει τις μεταβλητές αυτές. Η πρώτη ενέργεια για τη δημιουργία μιας γραφικής παράστασης σε χιλιοστομετρικό χαρτί - είναι η κατάλληλη επιλογή της κλίμακας και των δυο αξόνων. Σημειώνεται ότι δεν είναι αναγκαίο η κλίμακα αυτή να είναι η ίδια για τον οριζόντιο και τον κατακόρυφο άξονα. Απεναντίας πολύ σπάνια είναι η περίπτωση όπου η ίδια κλίμακα και στους δυο άξονες δημιουργεί μία ικανοποιητική γραφική παράσταση. Κριτήριο για την επιλογή της κλίμακας σε κάθε άξονα είναι αφ' ενός μεν η διάσταση που επιθυμούμε να έχει το χιλιοστομετρικό χαρτί και αφ' ετέρου η μεταβολή του μεγέθους που απεικονίζεται στον συγκεκριμένο άξονα. Θα πρέπει η κλίμακα που επιλέγουμε για κάθε υποδιαίρεση του χιλιοστομετρικού χαρτιού, να είναι ίση ή ακέραιο πολλαπλάσιο των αριθμών, 5 ή 10. 'Έτσι γίνεται περισσότερο εύκολος ο προσδιορισμός σημείων που αντιστοιχούν σε ενδιάμεσες τιμές, όχι μόνο κατά τη δημιουργία της γραφικής παράστασης αλλά και κατά το στάδιο της μετέπειτα αξιοποίησής της. Θα πρέπει ακόμη οι άξονες να συμβολίζονται με το φυσικό μέγεθος που απεικονίζουν όπως επίσης και με την αντίστοιχη μονάδα μέτρησης. Τέλος, η κάθε γραφική παράσταση θα πρέπει να συμβολίζεται αξιοποιώντας τα καθιερωμένα σύμβολα των φυσικών μεγεθών και για τους δυο άξονες π.χ. u=f(t) ή s=f(t) Με δεδομένη τη διασπορά των πειραματικών σημείων, η πειραματική καμπύλη που θα χαραχθεί οφείλει να είναι όσο το δυνατόν πιο ομαλή. Σε περιπτώσεις όπου δεν επιδιώκεται μαθηματική ακρίβεια, η εκτίμηση για την καλύτερη καμπύλη καθορίζεται προσεγγιστικά με το μάτι ούτως ώστε τα πειραματικά σημεία να κατανέμονται ισόρροπα γύρω από τη χαραχθείσα καμπύλη. Αν τα πειραματικά σημεία φαίνεται να ανήκουν σε ευθεία γραμμή χαράσσουμε την ευθεία με τον χάρακα, ενώ αν η κατανομή τους συμφωνεί με καμπύλη, τότε χαράσσουμε την καμπύλη με καμπυλόγραμμο ή με ελεύθερο χέρι. Δεν θα πρέπει να ενώσουμε στη τύχη ή και διαδοχικά όλα τα πειραματικά σημεία. Καμπύλες, όπως του σχήματος 1α, δεν δίνουν σωστή πληροφορία για τα

2 μεταβαλλόμενα μεγέθη, ενώ η ομαλοποιημένη καμπύλη του σχήματος 1β, αν και δεν διέρχεται απ' όλα τα σημεία, εντούτοις περιγράφει ικανοποιητικότερα το φαινόμενο. Σχήμα 1 Αξίζει να σημειωθεί ότι τα σχήματα 1α και 1β αντιστοιχούν στην ίδια ακριβώς χωρική κατανομή πειραματικών σημείων. Στα σχήματα α και β απεικονίζεται η ίδια κατανομή πειραματικών σημείων με διαφορετική όμως χάραξη της πειραματικής ευθείας. Σχήμα Το σχήμα α χαρακτηρίστηκε λάθος, διότι η πειραματική ευθεία υποχρεώθηκε να περάσει από την αρχή των αξόνων χωρίς αυτό να είναι αναγκαίο.η κλίση μιας πειραματικής καμπύλης σε ένα σημείο Α(χο, yo) ορίζεται (Σχ. 3) ως το πηλίκο: x y y1 y x x1

3 Σχήμα 3 Θα πρέπει να σημειωθεί ότι η (ε) είναι η εφαπτομένη ευθεία της καμπύλης στο σημείο Α(χο, yo) και με τη χάραξη της δημιουργείται το ορθογώνιο ΚΛΜ. Το ορθογώνιο τρίγωνο ΚΛΜ έχει ως υποτείνουσα την εφαπτομένη ευθεία (ε), ενώ το σημείο Α βρίσκεται περί το μέσου της υποτείνουσας ΚΜ. Η κλίση λοιπόν είναι το πηλίκο της κατακόρυφης μεταβολής Δy προς την αντίστοιχη οριζόντια μεταβολή Δχ, ανεξάρτητα από την επιλογή του ορθογωνίου τριγώνου ΚΛΜ. Σημειώνεται ότι, η τιμή της κλίσης για τη παραπάνω καμπύλη δεν είναι σταθερή, αλλά εξαρτάται από το σημείο επιλογής Α, δηλαδή η κλίση της ίδιας καμπύλης σε άλλο σημείο θα είναι διαφορετική. Για παράδειγμα στο προηγούμενο σχήμα η κλίση της καμπύλης στο σημείο Β είναι μηδέν. Βέβαια σε περίπτωση όπου η πειραματική καμπύλη ταυτίζεται με ευθεία - και η αναπαράσταση γίνεται σε χιλιοστομετρικό χαρτί - τότε η κλίση παραμένει σταθερή για κάθε σημείο πάνω σε αυτή. Στις γραφικές παραστάσεις που συνοδεύουν μια πειραματική διαδικασία οι όροι Δy και Δχ αντιπροσωπεύουν φυσικά μεγέθη με συγκεκριμένες μονάδες. 'Έτσι η κλίση της καμπύλης δεν είναι καθαρός αριθμός, αλλά διαθέτει μονάδες που προέρχονται απλά από το πηλίκο των επί μέρους μονάδων στους δυο άξονες. Για παράδειγμα σε προβλήματα κινηματικής η κλίση της καμπύλης υ = f(t) έχει μονάδες m/sec, πρόκειται δηλαδή για το μέγεθος της επιτάχυνσης Υ. u Y t Τέλος, αναφέρεται ότι η κλίση που ορίστηκε με τη προηγούμενη σχέση είναι ανεξάρτητη από την επιλογή της κλίμακας των επί μέρους αξόνων για τη χάραξη της καμπύλης. Στη συνέχεια παρουσιάζεται ένας πίνακας μετρήσεων χρόνου - ταχύτητας που αντιστοιχεί σ' ένα τυπικό πρόβλημα κινηματικής. Στο Σχήμα 4 γίνεται η ταυτόχρονη γραφική παράσταση υ= f(t) του προηγούμενου πίνακα με διαφορετική όμως επιλογή του κατακόρυφου άξονα της ταχύτητας. Εύκολα διαπιστώνεται ότι αν και οι δυο προκύπτουσες πειραματικές ευθείες δεν είναι παράλληλες, εν τούτοις η κλίση που κάθε φορά ανεξάρτητα υπολογίστηκε είναι η ίδια και ίση με m/sec. Πρόκειται δηλαδή για τη περιγραφή μιας ευθύγραμμης κίνησης ομαλά επιταχυνόμενης. Παρατηρείται επίσης ότι οι προεκτάσεις των πειραματικών ευθειών - και στις δυο περιπτώσεις - διέρχονται από

4 το σημείο 3 m/sec στον κατακόρυφο άξονα τιμή που αντιστοιχεί στην αρχική ταχύτητα (για τ=0) στο συγκεκριμένο πρόβλημα. Σχήμα 4 Προφανώς γραφικές παραστάσεις δεν γίνονται μόνο σε χιλιοστομετρικά χαρτιά. Υπάρχουν χαρτιά ειδικής χρήσης με μη γραμμική χάραξη των αξόνων των συντεταγμένων. Τέτοια χαρτιά είναι τα ημιλογαριθμικά, τα (πλήρη) λογαριθμικά, τα πολικά κ.α.. Η δημιουργία γραφικών παραστάσεων σε τέτοιου είδους χαρτιά με ιδιαίτερη χάραξη πραγματοποιείται σε σχετικά μικρό αριθμό πειραματικών ασκήσεων στα επί μέρους κείμενα των οποίων ο αναγνώστης θα βρει περισσότερες λεπτομέρειες.

5 B. Μέθοδος ελάχιστων τετραγώνων για χάραξη ευθείας Έστω ευθεία που περιγράφεται από την εξίσωση y=αx+β Όπου α είναι η κλίση της ευθείας και β είναι η τεταγμένη επί της αρχής των αξόνων. Υ β ω Για τη χάραξη της ευθείας y=f(x) αρκεί η εύρεση των μεγεθών α, β. Έστω xi: οι μετρήσεις όπου i=1,.ν x: η μέση τιμή των μετρήσεων ν: ο αριθμός των μετρήσεων Τότε: n xy x x ( x) n y Χ y a n x

6 Γ. Τυχαία σφάλματα Στατική ανάλυση (μετρήσεις που ακολουθούν τη κατανομή Gauss) Ορισμός μέσης τιμής: x x [ ] i i1 x Ορισμός σφάλματος μέσης τιμής (βλέπε άσκηση ) Όπου η μέση τιμή των μετρήσεων ν ο αριθμός των μετρήσεων και η εκάστοτε μέτρηση m x ( x xi ) [( x xi ) ] i1 ( 1) ( 1) A/A x i x x-x i (x-x i ) m x [x] [(x-x i ) ] Διαδικασία υπολογισμού μέσης τιμής μεγέθους και μέσου τετραγωνικού σφάλματος. Υπολογίζουμε το άθροισμα Σ (ΔRχ) και από αυτό το σφάλμα της μέσης τιμής ΔRx. Σ(ΔRx) = Ω ΔRx =..Ω Από το σφάλμα ΔRχ και τη μέση τιμή Rχ υπολογίζουμε το σχετικό σφάλμα: ΔRx/Rx*100% Γράφουμε το τελικό αποτέλεσμα με τη μορφή: Rx Rx (......) Rx Rx......% Rx

7 Δ. ΟΔΗΓΙΕΣ ΔΙΑ ΤΟΝ ΤΡΟΠΟ ΓΡΑΦΗΣ ΤΩΝ ΑΣΚΗΣΕΩΝ. Στο εξώφυλλο του κάθε τετραδίου θα γράφετε το ΟΝΟΜΑΤΕΠΩΝΥΜΟ τον ΑΜ και την ΟΜΑΔΑ του Εργαστηρίου που ανήκετε. Ο τρόπος γραφής της κάθε Άσκησης θα είναι όπως παρακάτω. A. Στην αρχή θα αναγράφετε το τίτλο της Άσκησης. Β. Ακολούθως για πιο σκοπό πραγματοποιούμε αυτή την Άσκηση. Γ. Θα γράφετε την απαιτούμενη θεωρία που πρέπει να κατέχετε για να πραγματοποιήσετε την Άσκηση. Τη θεωρία θα την αντλείτε από οποιοδήποτε βιβλίο ΗΛΕΚΤΡΙΚΩΝ ΜΕΤΡΗΣΕΩΝ διαθέτετε. Δ. Κύκλωμα και ΣΥΝΔΕΣΜΟΛΟΓΙΑ θα σχεδιάζονται λεπτομερής. Ε. Θα αναφέρετε λεπτομερώς τα ΟΡΓΑΝΑ και ΣΥΣΚΕΥΕΣ που χρησιμοποιήσατε. ΣΤ. Θα αναγράφετε την πορεία εργασiας που ακολουθήσατε για να επιλύσετε τα ερωτήματα της Άσκησης και θα ακολουθούν οι πiνακες Μετρήσεων με τις τυχόν ζητούμενες Γρ.Παραστάσεις σε χαρτί Μιλλιμιτρέ, σχεδιασμένες με κλίμακα. Ζ. Όπου είναι πραγματοποιήσιμο θα επιχειρείται στατιστική ανάλυση των μεγεθών (υπολογισμός μέσης τιμής, μέσων τετραγωνικών σφαλμάτων, εκτίμηση ακρίβειας διάφορων σειρών μετρήσεις, ). Η. ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΑ - ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ θα γράφετε τι ακριβώς κατανοήσατε πραγματοποιώντας την Άσκηση, θα αιτιολογείτε τις Πειραματικές Μετρήσεις σε σύγκριση με τις θεωρητικές και τη συνέχεια θα γράφετε οποιεσδήποτε παρατηρήσεις πραγματοποιήσατε στο Εργαστήριο κατά την διάρκεια της Άσκησης όσον αφορά τον εξοπλισμό, την κατάσταση των οργάνων και την συμπεριφορά των Εκπαιδευτικών καθώς και τις τυχόν βελτιώσεις στο ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΑΚΟ ΦΥΛΛΑΔΙΟ και στην Εργαστηριακή Άσκηση. Θ. Συμπληρωματικά, θα απαντάτε σε επιπλέον ερωτήσεις σχετικά με την άσκηση. Σημείωση: Στην αρχή κάθε εργαστηριακής άσκησης ενδέχεται να εξετάζεστε γραπτά πάνω στην άσκηση που πραγματοποιήσατε την προηγούμενη φορά.

Σχετικά έγγραφα

ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΑΣΚΗΣΗ Γραφικές παραστάσεις, κλίση καµπύλης Μέθοδος των ελαχίστων τετραγώνων

ΘΕ ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΑΣΚΗΣΗ Γραφικές παραστάσεις, κλίση καµπύλης Μέθοδος των ελαχίστων τετραγώνων 1. Σκοπός Πρόκειται για θεωρητική άσκηση που σκοπό έχει την περιληπτική αναφορά σε θεµατολογίες που αφορούν την