ΦΥΣΙΚΗ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ

Transcript

1 ΦΥΣΙΚΗ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Ευθύγραμμη Ομαλή Κίνηση Επιμέλεια: ΑΓΚΑΝΑΚΗΣ.ΠΑΝΑΓΙΩΤΗΣ, Φυσικός

2 Βασικές Έννοιες Ένα σώμα καθώς κινείται περνάει από διάφορα σημεία. Αν ενώσουμε όλα αυτά τα σημεία σχηματίζουμε την τροχιά του. Τροχιά ενός σώματος είναι το σύνολο τον διαδοχικών θέσεων από τις οποίες αυτό διέρχεται κατά την διάρκεια της κίνησής του. Για λόγους ευκολίας πλέον κάθε σώμα θα το αναπαριστούμε μ ένα σημείο (σημειακό αντικείμενο). Έτσι πλέον δεν θα υπάρχει λόγος να ασχολούμαστε με το μέγεθος του κάθε σώματος που θα μελετήσουμε από δω και πέρα. Μπορούμε πλέον με έναν χάρακα να τραβήξουμε μία ευθεία γραμμή, στο μέσον της να ορίσουμε το μηδέν. Έτσι έχουμε φτιάξει ένα απλό σύστημα αναφοράς (άξονας ). Η θέση του σώματος θα προσδιορίζεται από την απόσταση που έχει από το σημείο αναφοράς, δηλαδή το μηδέν. Αν το σώμα όμως δεν κινείται παράλληλα με την γραμμή αλλά σχηματίζει κάποια γωνία η τροχιά του με την αρχική μας γραμμή, τότε απλά φέρνω μία νέα γραμμή (άξονας y) κάθετη στην αρχική, κι έτσι έχω φτιάξει ένα επίπεδο (καρτεσιανό). Οπότε το σώμα πλέον έχει μία θέση που προσδιορίζεται από τα (τετμημένη) και μίας ως προς τα y (τεταγμένη). Και οι δυο μαζί αποτελούν τις συντεταγμένες της θέσης. 1

3 Σπουδαίο ρόλο όμως στην κίνηση ενός σώματος παίζει ο χρόνος. Για την μελέτη της κίνησης χρησιμοποιούμε τις εξής έννοιες: Χρονική στιγμή: αντιστοιχεί στην ακριβή ένδειξη ενός ρολογιού ή χρονομέτρου. Συμβάν (γεγονός): είναι κάτι που συμβαίνει (π.χ. ένα σώμα είναι στη θέση =3cm τη χρονική στιγμή t=4sec) Χρονική Διάρκεια: Συμβολίζεται με Δt και είναι ουσιαστικά η χρονική μεταβολή μεταξύ δύο γεγονότων. Στη συνέχεια θα ορίσουμε δύο έννοιες οι οποίες αρκετές φορές είναι εύκολο να τις μπερδέψουμε. Αυτές είναι η μετατόπιση και το διάστημα. Μετατόπιση, ονομάζουμε το διάνυσμα που έχει ως αρχή την αρχική θέση του σώματος και τέλος την τελική του θέση. Άρα είναι η μεταβολή της θέσης Συμβολίζεται ως Δ, και να 1 η αρχική θέση και 2 η τελική τότε η μετατόπιση θα είναι Δ= 2-1. Αν η μετατόπιση είναι θετική σημαίνει πως το σώμα κινείται προς τα θετικά (προς τα δεξιά) ενώ αν είναι αρνητική τότε κινείται προς τα αρνητικά (προς τα αριστερά). Διάστημα, είναι το άθροισμα των απόλυτων τιμών όλων των διαδοχικών μετατοπίσεων του σώματος. 2

4 Αν το σώμα κινείται μόνο προς μία κατεύθυνση τότε το διάστημα είναι ίσο με την μετατόπιση (κατά απόλυτη τιμή). Το διάστημα είναι μόνο θετικό. Μετατόπιση Διανυσματικό Μέγεθος Εξαρτάται από την αρχική και την τελική θέση και είναι ανεξάρτητη της τροχιάς του κινητού Η αλγεβρική τιμή μπορεί να είναι θετική ή αρνητική Διάστημα Μονόμετρο Μέγεθος Εξαρτάται από τη διαδρομή που ακολουθεί το κινητό Είναι πάντα θετικός αριθμός 3

5 Ευθύγραμμη Ομαλή Κίνηση Σ αυτό το σημείο πλέον μπορούμε να ορίσουμε και την ταχύτητα του σώματος. Ένα σώμα καθώς κινείται καλύπτει κάποια απόσταση σε συγκεκριμένη χρονική διάρκεια. Το πηλίκο λοιπόν αυτό ονομάζεται ταχύτητα και συμβολίζεται με. Άρα διανυσματικό μέγεθος το ίδιο θα ισχύει και για την ταχύτητα οπότε Διεθνές Σύστημα είναι το 1m/s. t t. Αφού η μετατόπιση είναι. Μονάδα μέτρησης στο Αν το σώμα που μελετάμε κάνει ευθύγραμμη ομαλή κίνηση, δηλαδή καθ όλη την διάρκεια της κίνησης η ταχύτητα του σώματος είναι σταθερή, τότε θα ισχύει εξίσωση κίνησης. t Η σχέση αυτή ονομάζεται και Αν θεωρήσουμε ένα καρτεσιανό επίπεδο, στο οποίο έχουμε στον άξονα τη μετατόπιση και στον y τον χρόνο t, τότε αν βάλουμε τις τιμές που θα έχουμε από την παραπάνω σχέση θα σχηματιστεί μία ευθεία γραμμή η οποία θα διέρχεται από την αρχή των αξόνων (το μηδέν). Η εφαπτομένη της γωνίας που σχηματίζει η γραφική παράσταση με τον οριζόντιο άξονα (δηλαδή η κλίση της ευθείας) είναι η ταχύτητα του σώματος. Ένα απλό παράδειγμα φαίνεται παρακάτω: 4

6 Η κλίση της ευθείας, θα μας δίνει την ταχύτητα. Αν τώρα κάνουμε γραφική παράσταση της ταχύτητας με τον χρόνο τότε θα έχουμε το παρακάτω γράφημα. Όπως παρατηρούμε το εμβαδόν του τετράπλευρου που σχηματίστηκε, υπολογίζεται από τη σχέση t, και είναι η μετατόπιση του σώματος στο χρονικό διάστημα που μελετάμε. Το εμβαδόν του τετράπλευρου είναι η μετατόπιση. 5

7 Μέση Ταχύτητα Όταν ένα σώμα κινείται στον πραγματικό κόσμο, δεν μπορεί να έχει πάντα σταθερή ταχύτητα, αφού δεν ένα δρόμος δεν είναι πάντα ευθεία. Υπάρχουν στροφές, φανάρια κ.α. Για τον λόγο αυτό έχουμε εισάγει ένα ακόμα μέγεθος την μέση ταχύτητα ή. Το μέγεθος αυτό μας δείχνει ουσιαστικά την ταχύτητα που θα είχε το σώμα αν εκτελούσε καθ όλη την διάρκεια της κίνησης του ευθύγραμμη ομαλή κίνηση. Για τον υπολογισμός της, χρησιμοποιούμε τη σχέση: κινείται. s t, όπου s το διάστημα που διένυσε το σώμα που Σ αυτό το σημείο να τονίσουμε πως η μέση ταχύτητα είναι ένα μονόμετρο μέγεθος, σε αντίθεση με την ταχύτητα η οποία είναι διανυσματικό μέγεθος. Στιγμιαία Ταχύτητα Τελευταία έννοια που συσχετίζεται με την ταχύτητα είναι αυτή της στιγμιαίας ταχύτητας. Είναι η ταχύτητα που έχει το σώμα κάποια δεδομένη χρονική στιγμή. Σ αυτό το επίπεδο θα ασχοληθούμε μόνο με τον υπολογισμό της στην ευθύγραμμη ομαλή κίνηση όπου η στιγμιαία ταχύτητα έχει ίδια τιμή με την μέση ταχύτητα. 6

8 Μεθοδολογία Ασκήσεων Αρχικά ας δώσουμε κάποιες χρήσιμες πληροφορίες. Είπαμε και παραπάνω πως η ταχύτητα έχει μονάδα μέτρησης στο Διεθνές Σύστημα, m/s. Αν παρατηρήσετε όμως για παράδειγμα τις ταχύτητες που καταγράφονται σε αγώνες ταχύτητας αυτοκινήτων θα δείτε ότι δίνεται σε χιλιόμετρα ανά ώρα. Πως λοιπόν μπορούμε να «πάμε» από χιλιόμετρα ανά ώρα σε μέτρα ανά δευτερόλεπτο; 1000m 1000m 1000m 10 Θα ισχύει: 1km / h m / s 60min 6060s 3600s 36 Και αντίστοιχα: 1m / s 3.6km/ h Ευθύγραμμη Ομαλή Κίνηση i. Διαβάζουμε προσεχτικά την εκφώνηση. Στη συνέχεια καταγράφουμε τα δεδομένα. ii. iii. Αν μας δίνεται η μετατόπιση και ο χρόνος τότε θα μας ζητάει την ταχύτητα (=/t). Αν μας δίνει χρόνο και ταχύτητα θα μας ζητάει την μετατόπιση (=t). Τέλος αν μας δίνει την ταχύτητα και την μετατόπιση θα μας ζητάει τον χρόνο (t=/) Αν μας δίνουν κάποια γραφική παράσταση εφαρμόζουμε τα όσα είπαμε και προηγουμένως για εμβαδό και κλίση και θα έχουμε τα αποτελέσματα που μας ζητάνε. Συχνά θα μας ζητάνε να βρούμε το σημείο συνάντησης δύο σωμάτων ή ανθρώπων που εκτελούν ευθύγραμμη ομαλή κίνηση. Η επίλυση είναι αρκετά εύκολη και φαίνεται στο παρακάτω παράδειγμα. 7

9 Λυμένο Παράδειγμα 1 Ένα αγόρι κι ένα κορίτσι τρέχουν προς την ίδια κατεύθυνση. Την χρονική στιγμή t=0 το αγόρι είναι στη θέση α= -15m και το κορίτσι στην κ=+5m. Το αγόρι τρέχει με σταθερή ταχύτητα α=4m/s και το κορίτσι με σταθερή ταχύτητα κ=2m/s. Θα καταφέρει το αγόρι να φθάσει το κορίτσι; Αν ναι σε ποια θέση και σε ποια χρονική στιγμή; Λύση παρακάτω Παρατηρούμε εδώ πως το αγόρι είναι πιο πίσω από το κορίτσι όπως φαίνεται και στην εικόνα Άρα για να μπορέσει το αγόρι να φτάσει κάποια στιγμή το κορίτσι πρέπει να έχει μεγαλύτερη ταχύτητα, να τρέχει δηλαδή πιο γρήγορα. Κάτι τέτοιο όντως ισχύει. Άρα το πρόβλημα έχει λύση. Θεωρούμε κάποια τυχαία θέση (μεγαλύτερη του =+5m) όπου θα είναι η θέση όπου θα συναντηθούν και την συμβολίζουμε με Α. Αφού τα δύο παιδιά ξεκινάνε ταυτόχρονα και στο Α είναι το ένα δίπλα στο άλλο εύκολα καταλαβαίνουμε πως θα χρειαστούν τον ίδιο ακριβώς χρόνο για να φτάσουν στο Α. Άρα θα ισχύει ότι: 8

10 s ύ s a a t s t s ύ a a t t Στον τελευταίο όρο μπορούμε ν απαλείψουμε τον χρόνο, μιας και είναι ο ίδιος και στις δύο περιπτώσεις, οπότε αν βάλουμε και τα δεδομένα που μας δίνονται θα έχουμε: s s ύ Οπότε πλέον αρκεί να χωρίσουμε γνωστούς από αγνώστους και θα έχουμε να επιλύσουμε μία απλή πρωτοβάθμια εξίσωση, την m Άρα εύκολα βρήκαμε την θέση στην οποία θα συναντηθούν. Οπότε για να βρούμε και την χρονική στιγμή αρκεί να αντικαταστήσουμε το που βρήκαμε στην εξίσωση κίνησης είτε του αγοριού είτε του κοριτσιού. Για το αγόρι: s ύ a 25 ( 15) 40m t 40 4t 40 t 10sec a Για το κορίτσι: s ύ 25 (5) 20m t 20 2t 20 t 10sec Σημείωση: Αν έτρεχαν προς αντίθετες κατευθύνσεις θα κάναμε ακριβώς τα ίδια, απλά θα έπρεπε να βάλουμε το σημείο συνάντησης κάπου ανάμεσα στα δύο παιδιά. 9

11 Λυμένο Παράδειγμα 2 Δύο πόλεις Α και Β απέχουν απόσταση d 50km. Ένα αυτοκίνητο ξεκινάει από την πόλη Α με κατεύθυνση τη Β και κινείται με σταθερή ταχύτητα μέτρου 10m / s. Αντίστοιχα ένα αυτοκίνητο ξεκινάει από την πόλη Β με κατεύθυνση την Α με ταχύτητα μέτρου B 15m / s. Να βρείτε σε πόση απόσταση από την πόλη Α θα συναντηθούν τα δύο οχήματα και ποια χρονική στιγμή; Αρχικά κάνουμε το σχήμα όπως φαίνεται και παραπάνω. Ορίζουμε το σημείο συνάντησης ως Γ. Επειδή το αυτοκίνητο από την πόλη Β κινείται με μεγαλύτερη ταχύτητα απ ότι αυτό της Α το σημείο συνάντησης θα είναι πιο κοντά στην πόλη Α, αφού θα προλάβει να διανύσει μικρότερη απόσταση. Επιπλέον ο χρόνος κίνησης των δύο οχημάτων θα είναι ακριβώς ο ίδιος. Στη συνέχεια γράφουμε τις εξισώσεις κίνησης: Για το όχημα από την πόλη Α θα ισχύει: Για το όχημα από την πόλη Α θα ισχύει: B t d t 10

12 11 Λύνουμε την πρώτη εξίσωση ως προς τον χρόνο και εισάγουμε την σχέση που θα εξάγουμε στη δεύτερη,, κάνουμε δηλαδή απαλοιφή του χρόνου. Έτσι θα έχουμε: t και d d d d d d d B B B B B B B Επομένως αντικαθιστώντας θα έχουμε: km d B Άρα τα δύο οχήματα θα συναντηθούν 20 km από την πόλη Α. Για τον υπολογισμό της χρονικής στιγμής θα έχουμε: s t Προσοχή, πρέπει να μετατρέψουμε την απόσταση σε μέτρα για να πάρουμε τον χρόνο σε δευτερόλεπτα.

13 Άρα ανακεφαλαιώνοντας, όταν μας ζητάνε στην ευθύγραμμη ομαλή κίνηση να βρούμε σημείο συνάντησης κάνουμε τα εξής βήματα: 1. Ελέγχουμε αν η ταχύτητα του σώματος που προηγείται είναι μικρότερη απ αυτού που έπεται. Διαφορετικά δεν υπάρχει λύση. 2. Θέτουμε τυχαίο σημείο Α (ή όπως αλλιώς επιθυμούμε) ως σημείο συνάντησης 3. Βρίσκουμε την απόσταση που έχει διανύσει το κάθε σώμα μέχρι να φθάσει στο Α. Καταγράφουμε τις εξισώσεις κίνησης για αυτές τις αποστάσεις. 4. Ο χρόνος κίνησης και των δύο θα είναι κοινός. 5. Λύνουμε μία από τις δύο εξισώσεις ως προς τον χρόνο και αντικαθιστούμε την ποσότητα αυτή στη δεύτερη, κάνουμε δηλαδή απαλοιφή του χρόνου 6. Πλέον έχουμε μία εξίσωση με έναν άγνωστο οπότε λύνοντας την βρίσκουμε το σημείο συνάντησης 7. Τέλος μπορούμε πλέον εύκολα να υπολογίσουμε και την χρονική στιγμή 12

14 Λυμένο Παράδειγμα 3 Στο παρακάτω γράφημα φαίνεται η μεταβολή της θέσης ενός κινητού σε συνάρτηση με τον χρόνο. Μπορείτε να εξηγήσετε τι κίνηση κάνει το κινητό; Μπορείτε να υπολογίσετε την ταχύτητά του; Παρατηρούμε πως η γραφική παράσταση της απόστασης με τον χρόνο είναι μία ευθεία γραμμή. Άρα το κινητό εκτελεί ευθύγραμμη ομαλή κίνηση, δηλαδή κινείται σε ευθεία γραμμή με σταθερή κίνηση Για τον υπολογισμό της ταχύτητας θα έχουμε: t 2 1, δηλαδή πρέπει να επιλέξουμε t t δύο χρονικές στιγμές και να υπολογίσουμε την μετατόπιση του σώματος στο χρονικό αυτό διάστημα. Επιλέγουμε ως στιγμή t 1 την χρονική στιγμή t 0 (για να κάνουμε και πιο απλές πράξεις) και ως t 1s. Θα έχουμε λοιπόν: m / s t t t 2 την χρονική 13

15 Λυμένο Παράδειγμα 4 Στο παρακάτω γράφημα δίνεται η ταχύτητα ενός σώματος συναρτήσει με τον χρόνο. Μπορείτε να εξηγήσετε τι κίνηση κάνει το σώμα; Μπορείτε να υπολογίσετε την μετατόπιση του τη χρονική στιγμή t 5s ; Παρατηρούμε πως η γραφική παράσταση της ταχύτητας με τον χρόνο είναι μία ευθεία γραμμή παράλληλη με τον άξονα του χρόνου. Άρα το κινητό εκτελεί ευθύγραμμη ομαλή κίνηση, δηλαδή κινείται σε ευθεία γραμμή με σταθερή κίνηση Για τον υπολογισμό της μετατόπισης αρκεί να υπολογίσουμε το εμβαδόν που δημιουργείται όπως φαίνεται και στο παρακάτω σχήμα. 14

16 Άρα θα έχουμε: t m Λυμένο Παράδειγμα 5 Στο παρακάτω γράφημα δίνεται η θέση ενός σώματος σε συνάρτηση με τον χρόνο. Μπορείτε να εξηγήσετε τι κίνηση κάνει το σώμα; Μπορείτε να υπολογίσετε την ταχύτητα του; Ποια είναι η μέση ταχύτητα που έχει το σώμα; 15

17 στιγμή Παρατηρούμε πως το σώμα σ αυτή την περίπτωση κάνει μία σύνθετη κίνηση. Από τη χρονική t 0 χρονική στιγμή έως τη χρονική στιγμή t 6s t 2s έως τη χρονική στιγμή το σώμα εκτελεί ευθύγραμμη ομαλή κίνηση. Επίσης από τη t 10s το σώμα εκτελεί πάλι ευθύγραμμη ομαλή κίνηση. Από τη χρονική στιγμή καθηλωμένο στη θέση τη κίνηση του. t 2s έως τη χρονική στιγμή t 6s παρατηρούμε πως το σώμα παραμένει 20m. Άρα για εκείνη τη χρονική περίοδο το σώμα δεν κινείται, έχει σταματήσει Επομένως σπάσαμε τη κίνηση του σώματος σε τρεις διαφορετικές χρονικές περιόδους προκειμένου να τη μελετήσουμε ευκολότερα. Οπότε ξεκινάμε πλέον την μελέτη της κίνησής του. Για t 0 έως t 2s : Το σώμα εκτελεί Ε.Ο.Κ. με 1 10m / s t t Για t 2s έως t 6s : Το σώμα είναι ακίνητο με 0 2 Για t 6 έως t 10s : Το σώμα εκτελεί Ε.Ο.Κ. με 2 5m / s t t Παρακάτω φαίνεται και το γράφημα της ταχύτητας του σώματος σε συνάρτηση με τον χρόνο. 16

18 Η μέση ταχύτητα της κίνησης του σώματος θα είναι η: s 40 4m / s t 10 Λυμένο Παράδειγμα 6 Στο παρακάτω γράφημα δίνεται η ταχύτητα ενός σώματος σε συνάρτηση με τον χρόνο. Μπορείτε να εξηγήσετε τι κίνηση κάνει το σώμα; Μπορείτε να υπολογίσετε την συνολική του μετατόπιση; Όπως και πριν πρέπει να σπάσουμε την κίνηση σε τρεις διαφορετικές χρονικές περιόδους, αφού βλέπουμε πως η ταχύτητα δεν είναι κάθε χρονική στιγμή σταθερή. Την χρονική στιγμή t 0 έως τη χρονική στιγμή t 4s το σώμα εκτελεί ευθύγραμμη ομαλή κίνηση, αφού η γραφική παράσταση είναι παράλληλη προς τον άξονα του χρόνου. Επίσης από τη χρονική στιγμή t 8s έως τη χρονική στιγμή t 10s το σώμα εκτελεί πάλι ευθύγραμμη ομαλή κίνηση. 17

19 Αντίθετα παρατηρούμε πως από t 4s έως τη χρονική στιγμή εκείνη τη χρονική περίοδο το σώμα έχει σταματήσει να κινείται. t 8s η ταχύτητα είναι μηδέν. Άρα Οπότε πλέον μπορούμε να ξεκινήσουμε την μελέτη της κίνησης του σώματος. Για t 0 έως t 4s : Το σώμα εκτελεί Ε.Ο.Κ. με t m 1 1 Για t 4s έως t 8s : Το σώμα είναι ακίνητο, επομένως με 2 0 Για t 8s έως t 10s : Το σώμα εκτελεί Ε.Ο.Κ. με t m 3 3 Η ολική μετατόπιση του σώματος θα δίνεται από τη σχέση s m Άρα το σώμα τη χρονική στιγμή t 10s έχει φθάσει στη θέση σώματος συναρτήσει του χρόνου. t 4s 2 40m έχει φθάσει στη θέση 1 16m ενώ την χρονική στιγμή. Παρακάτω φαίνεται και η γραφική παράσταση της θέσης του 18