ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 Ο 3.2 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΟΥ ΓΡΑΜΜΙΚΟΥ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ ΚΑΙ Η. (Σ) όπου α, β, α, β, είναι οι

Transcript

1 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 Ο ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ 3. Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΟΥ ΓΡΑΜΜΙΚΟΥ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ ΚΑΙ Η ΓΡΑΦΙΚΗ ΕΠΙΛΥΣΗ ΤΟΥ. Ποια είναι η μορφή ενός συστήματος δύο γραμμικών εξισώσεων, δύο αγνώστων; Να δοθεί παράδειγμα. α x + β y = γ Η μορφή είναι (Σ) όπου α, β, α, β, είναι οι α x + β y = γ συντελεστές των αγνώστων x, y και γ, γ είναι οι σταθεροί όροι του συστήματος. Παράδειγμα x + 5ψ = 6 x + ψ =. Τι ονομάζουμε επίλυση ενός συστήματος; Επίλυση ονομάζουμε τη διαδικασία κατά την οποία προσπαθούμε να βρούμε κάθε ζεύγος της μορφής (x, y) το οποίο να επαληθεύει και τις δύο εξισώσεις του συστήματος. 3. Τι ονομάζουμε λύση ενός συστήματος; Να δοθεί παράδειγμα. 55

2 Λύση ενός συστήματος ονομάζουμε κάθε ζεύγος της μορφής (x, y) το οποίο ικανοποιεί και τις δύο εξισώσεις του συστήματος. Για παράδειγμα, το σύστημα: x+ ψ= 4 3x+ 4ψ= έχει λύση το ζεύγος (, ), δηλαδή x =, y =. 4. Τι παριστάνει στο επίπεδο κάθε μία από τις εξισώσεις ενός γραμμικού συστήματος με δύο αγνώστους; Κάθε εξίσωση του συστήματος παριστάνει στο επίπεδο μία ευθεία. 5. Πώς επιλύουμε γραφικά ένα σύστημα; Να δοθούν παραδείγματα. Στο ίδιο σύστημα αξόνων σχεδιάζουμε τις δύο ευθείες που αντιπροσωπεύουν τις δύο εξισώσεις του συστήματος και στη συνέχεια παρατηρούμε εάν τέμνονται, εάν είναι παράλληλες ή αν ταυτίζονται (ίδια ευθεία). Αναλυτικότερα: α. Αν τέμνονται τότε οι συντεταγμένες του σημείου τομής τους (του κοινού τους σημείου) θα επαληθεύουν και τις δύο εξισώσεις του συστήματος, άρα θα είναι ζευγάρι λύσεων αυτού. β. Αν είναι παράλληλες (κανένα κοινό σημείο) το σύστημα δεν θα έχει κανένα ζευγάρι λύσεων και σ αυτήν την περίπτωση θα χαρακτηρίζεται αδύνατο. γ. Αν οι δύο ευθείες ταυτίζονται τότε σημαίνει ότι όλα τα σημεία τους (που είναι άπειρα) θα ικανοποιούν με τις συντεταγμένες τους και τις δύο εξισώσεις. 56

3 Επομένως το σύστημα θα έχει άπειρα ζευγάρια λύσεων και θα χαρακτηρίζεται αόριστο. Παράδειγμα Να λυθεί γραφικά το σύστημα: x + ψ = () x + ψ = () Σχεδιάζουμε στο ίδιο σύστημα αξόνων τις ευθείες (ε ), (ε ) που είναι οι γραφικές παραστάσεις των εξισώσεων () και (). Παρατηρούμε ότι τέμνονται στο σημείο Α (,0), δηλαδή x =, ψ = 0 που επαληθεύουν τις δύο εξισώσεις. Πράγματι είναι: + 0 = και + 0 = ( ε ) ( ε ) y x Ο x y Παράδειγμα Να λυθεί γραφικά το σύστημα: x + ψ = 6 x + 3ψ = 6 Σχεδιάζουμε και πάλι τις γραφικές παραστάσεις των εξισώσεων και διαπιστώνουμε ότι πρόκειται για παράλληλες ευθείες. Άρα το σύστημα είναι αδύνατο. 57

4 Αν λύναμε την κάθε εξίσωση ως προς ψ θα είχαμε ψ = -x + και 3ψ = - 6x+6 ή ψ = - x +. Δηλαδή έχουν τον ίδιο συντελεστή του x. Άρα οι ευθείες είναι παράλληλες προς την ευθεία με εξίσωση y = - x και επειδή τέμνουν τον άξονα y y σε διαφορετικά σημεία θα είναι μεταξύ τους παράλληλες. ( ε ) ( ε ) y x Ο x y ΑΣΚΗΣΕΙΣ. Να λυθούν γραφικά τα συστήματα: α) x + y = y = x β) x + y = 3 x + y = γ) x y = x + y =. Να βρείτε ποια από τα συστήματα έχουν μία λύση, ποια είναι αόριστα και ποια αδύνατα. x y = x + 3y = 3x - y = α) β) γ) x y = 3-4x - 6y = 3-6x + y = -4 58

5 3.3 ΑΛΓΕΒΡΙΚΗ ΕΠΙΛΥΣΗ ΓΡΑΜΜΙΚΟΥ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ. Ποιες είναι οι αλγεβρικές μέθοδοι επίλυσης ενός συστήματος δύο γραμμικών εξισώσεων δύο αγνώστων;. Μέθοδος της αντικατάστασης. Μέθοδος των αντιθέτων συντελεστών.. Πώς επιλύουμε ένα σύστημα με τη μέθοδο της αντικατάστασης; Να x + y = 5 λυθεί το σύστημα: 3 x + 5 y = 3 Λύνουμε τη μία από τις δύο εξισώσεις ως προς έναν άγνωστο και αντικαθιστούμε την τιμή του στην άλλη. Για παράδειγμα x+ y = 5 x = 5 y ή ή 3x+ 5y = 3 3(5 y) + 5y = 3 [λύνουμε την πρώτη [αντικαθιστούμε την τιμή του x εξίσωση ως προς x] στη η εξίσωση] x = 5 y x = 5 y ή ή 5 6y+ 5y = 3 y = 3 5 x =. Άρα η λύση του συστήματος είναι η (, ). y = x = 5 y y = 59

6 3. Πώς επιλύουμε ένα σύστημα με το μέθοδο των αντίθετων συντελεστών; Να λυθεί το παρακάτω σύστημα με τη μέθοδο των αντίθετων συντελεστών x + 5 y = 7 3 x + 8 y = 3 Πολλαπλασιάζουμε με κατάλληλο αριθμό τα μέλη κάθε εξίσωσης, ώστε ένας άγνωστος να έχει αντίθετους συντελεστές στις δύο εξισώσεις. x+ 5y = 7 3x+ 8y = 3 Πολλαπλασιάζουμε την η με 3 Πολλαπλασιάζουμε τη η με - 6x+ 5y = 6x 6y = 6 Προσθέτουμε κατά μέλη και παίρνουμε: - y = - 5 ή y = 5. Αντικαθιστούμε την τιμή y = 5 σε μία από τις δύο αρχικές (συνήθως σ αυτήν που έχει τους μικρότερους συντελεστές) εδώ αντικαθιστούμε στην πρώτη εξίσωση και παίρνουμε: x = 7 ή x = -8 ή x = -9 Άρα η λύση του συστήματος είναι το ζεύγος (- 9, 5). Αν α και α είναι οι συντελεστές του αγνώστου τους οποίους επιλέξαμε να κάνουμε αντίθετους και δ το Ε.Κ.Π. αυτών τότε επιλέγουμε κατάλληλους αριθμούς να πολλαπλασιάσουμε τις εξισώσεις ώστε οι συντελεστές α και α να γίνουν δ και δ. Όποια μέθοδο και να επιλέξουμε φροντίζουμε κατά τη διαδικασία της επίλυσης να εμφανίσουμε στο σύστημα μία εξίσωση μ έναν άγνωστο. 4. Ένα σύστημα γραμμικών εξισώσεων, με δυο αγνώστους είναι δυνατό να έχει δύο μόνο λύσεις; (αιτιολόγηση) Όχι, μπορεί να έχει μόνο μία ή καμία ή άπειρες λύσεις. 60

7 5. Πώς λύνεται ένα σύστημα δύο εξισώσεων, όπου η μία εξίσωση είναι ου βαθμού και η άλλη ου ; x + y = 0 x y = 5 γραμμικό] [σύστημα εξισώσεων με αγνώστους, όχι Κατά κύριο λόγο ακολουθούμε τη μέθοδο αντικατάστασης. Λύνουμε τη γραμμική εξίσωση ως προς ένα άγνωστο. Από την εξίσωση x y = 5 παίρνουμε y = x 5 και με αντικατάσταση στην πρώτη έχουμε: x + x 5 = 0 ή x + x 5 = 0 Είναι Δ = = 64 > 0 οπότε οι λύσεις της είναι: x, = ± 8 Για x = - 5 από την () παίρνουμε y = - 5. Για x = 3 από την (3) παίρνουμε y =. x = - 5 ή x = 3 Επομένως οι λύσεις του συστήματος είναι οι (- 5, - 5), (3, ). ΑΣΚΗΣΕΙΣ. Να λύσετε τα συστήματα: α) x + y = x - y = - 4 β) x y = 3 x + 3 y = 7. Να λύσετε τα συστήματα: α) x - 3y = 3x + y = 8 β) x + y = 7 4 x + 5 y = 7 6

8 3. Να λύσετε τα συστήματα: x + 5y = 3 α) 4x + 0y = 6 3x - y = β) 6x - 4y = 3 4. Να λυθούν τα συστήματα: x + y + = 3 6 α) x y + = x + y = 0 3 β) 7 y 3 x = 4 5. Να λυθούν τα συστήματα: α) 3 x xy = x y = = β) x y 6 x y = 6 6. Να λυθούν τα συστήματα: x y 3 α) + = x y = 6 β) + x y = 34 x + y = 8 7. Να βρείτε την εξίσωση της ευθείας η οποία διέρχεται από τα σημεία Α(,) και Β(3,4). 8. Να βρείτε τις κάθετες πλευρές ενός ορθογωνίου τριγώνου το οποίο έχει υποτείνουσα μήκους 5 cm και εμβαδόν 6 cm. 9. Να βρείτε δύο αριθμούς που έχουν άθροισμα 7 και άθροισμα τετραγώνων 9. 6