Συστήματα Αναμονής. Ενότητα 10: Ουρά Μ/Μ/s. Αγγελική Σγώρα Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής ΤΕ

Transcript

1 Συστήματα Αναμονής Ενότητα 10: Ουρά Μ/Μ/s Αγγελική Σγώρα Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής ΤΕ

2 Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται σε άλλου τύπου άδειας χρήσης, η άδεια χρήσης αναφέρεται ρητώς. 2

3 Χρηματοδότηση Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό έχει αναπτυχθεί στα πλαίσια του εκπαιδευτικού έργου του διδάσκοντα. Το έργο «Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο TEI Δυτικής Μακεδονίας και στην Ανώτατη Εκκλησιαστική Ακαδημία Θεσσαλονίκης» έχει χρηματοδοτήσει μόνο τη αναδιαμόρφωση του εκπαιδευτικού υλικού. Το έργο υλοποιείται στο πλαίσιο του Επιχειρησιακού Προγράμματος «Εκπαίδευση και Δια Βίου Μάθηση» και συγχρηματοδοτείται από την Ευρωπαϊκή Ένωση (Ευρωπαϊκό Κοινωνικό Ταμείο) και από εθνικούς πόρους. 3

4 Σκοποί ενότητας Η ενότητα αυτή, πραγματεύεται το ζήτημα της ουράς Μ/Μ/s. 4

5 Περιεχόμενα ενότητας Εισαγωγή. Αναπαράσταση ουράς M/M/s ως ανέλιξη γέννησης-θανάτου. Συνθήκη ύπαρξης οριακής κατανομής. Μέτρα λειτουργικότητας. Ουρά M/M/s/k. 5

6 Εισαγωγή (1/4) Έχει τα χαρακτηριστικά της ουράς Μ/Μ/1. Με τη διαφορά ότι υπάρχουν s εξυπηρετητές Που εργάζονται ανεξάρτητα και παράλληλα. Αν όλοι οι εξυπηρετητές είναι απασχολημένοι: Οι επιπλέον πελάτες που καταφθάνουν, σχηματίζουν μία ουρά με την σειρά την οποία αφίχθησαν. Όταν ένας εξυπηρετητής παραμείνει ελεύθερος: Αναλαμβάνει την εξυπηρέτηση του πρώτου πελάτη που περιμένει στην ουρά. 6

7 Εισαγωγή (2/4) Έχει τα χαρακτηριστικά της ουράς Μ/Μ/1. Με τη διαφορά ότι υπάρχουν s εξυπηρετητές (Συνέχεια). Αν υπάρχουν περισσότεροι από έναν ελεύθεροι εξυπηρετητές: Τότε ο πελάτης διαλέγει με τυχαίο τρόπο κάποιον από αυτούς.» Ουρά M/M/s/οο/FIFO. 7

8 Εισαγωγή (3/4) Αφίξεις σύμφωνα με ανέλιξη Poisson. Ρυθμός λ. Χρόνοι εξυπηρέτησης. Ανεξάρτητες και ισόνομες τ.μ.. Με κατανομή την εκθετική με παράμετρο μ. 8

9 Εισαγωγή (4/4) Παραπάνω, θεωρούμε ότι ο παρεχόμενος ρυθμός εξηπηρετησης μ, είναι ίδιος για όλους τους εξηπηρετητές. Πολλές φορές όμως, διαφορετικοί εξυπηρετητές παρέχουν διαφορετικό ρυθμό εξηπηρετησης μ. 9

10 Αναπαράσταση ουράς M/M/s ως ανέλιξη γέννησης-θανάτου (1/3) Λόγο ότι λn = λ για όλα τα n. Οι πελάτες καταφθάνουν πάντα με τον ίδιο ρυθμό. Για τα μ n έχουμε: 10

11 Αναπαράσταση ουράς M/M/s ως ανέλιξη γέννησης-θανάτου (2/3) Για τα μ n έχουμε (Συνέχεια): Αν υπάρχουν περισσότεροι από s πελάτες: Όλοι οι εξυπηρετητές (s) είναι απασχολημένοι. Για ένα διάστημα μήκους h: Κάθε εξυπηρετητής προκαλεί μία αναχώρηση με πιθανότητα μh. Έτσι, η πιθανότητα να συμβεί μία αναχώρηση από το σύστημα είναι μsh. 11

12 Αναπαράσταση ουράς M/M/s ως ανέλιξη γέννησης-θανάτου (3/3) Για τα μ n έχουμε (Συνέχεια): Αν υπάρχουν λιγότεροι από s πελάτες (έστω n < s πελάτες). Τότε μόνο n < s εξυπηρετητές είναι απασχολημένοι. Έτσι, η πιθανότητα να συμβεί μία αναχώρηση από το σύστημα είναι nμh. 12

13 Θέτοντας: Έχουμε: Συνθήκη ύπαρξης οριακής κατανομής (1/2) Δηλαδή για την ύπαρξη «στατιστικής ισορροπίας» πρέπει να ισχύει r < s. 13

14 Συνθήκη ύπαρξης οριακής κατανομής (2/2) Στον τύπο υπολογισμού των ρ n. Σε μία ανέλιξη γέννησης-θανάτου, αντικαθιστώντας τα λn και μn έχουμε: 14

15 Μέτρα λειτουργικότητας (1/9) Μέσο μήκος ουράς. 15

16 Μέτρα λειτουργικότητας (2/9) Μέσος χρόνος αναμονής στην ουρά. Θεώρημα του Little. Μέσος χρόνος παραμονής στο σύστημα. 16

17 Μέτρα λειτουργικότητας (3/9) Μέσος αριθμός πελατών στο σύστημα. Θεώρημα του Little. Συμβολίζοντας με Q τον αριθμό των εξυπηρετητών που είναι απασχολημένοι έχουμε: 17

18 Μέτρα λειτουργικότητας (4/9) Ποσοστό των πελατών που πρέπει να περιμένουν ώστε να εξυπηρετηθούν. Οριακή πιθανότητα: 18

19 Μέτρα λειτουργικότητας (5/9) Τα παραπάνω ισχύουν ανεξάρτητα από την πειθαρχία της ουράς M/M/s. Αρκεί να μην λαμβάνονται υπόψη οι χρονικές διάρκειες των αντίστοιχων εξυπηρετήσεων. Ισχύουν και για ουρές LIFO και SIRO. 19

20 Μέτρα λειτουργικότητας (6/9) Έστω ότι η ουρά είναι FIFO. Κατανομή χρόνου αναμονής: Για t > 0 ισχύει: 20

21 Μέτρα λειτουργικότητας (7/9) Αν υπάρχουν n s πελάτες στο σύστημα. Αναχωρήσεις σύμφωνα με ανέλιξη Poisson. Με ρυθμό sμ. Εκθετικά κατανεμημένος χρόνος μεταξύ δυο διαδοχικών αναχωρήσεων. 21

22 Μέτρα λειτουργικότητας (8/9) Ο χρόνος εξυπηρέτησης των n-s+1 πελατών ακολουθεί την γάμμα κατανομή. Παράμετροι n-s+1 και 1/sμ. 22

23 Μέτρα λειτουργικότητας (9/9) Πιθανότητα να παραμονής στην ουρά για χρόνο > t. Κατανομή χρόνου παραμονής στο σύστημα. 23

24 Ουρά M/M/s/k (1/2) Η ουρά M/M/s έχει σαν γενίκευση την ουρά M/M/s/k. Ουρά M/M/s/k. Υπάρχουν s εξυπηρετητές. Το σύστημα μπορεί να δεχθεί k s πελάτες. Υπάρχει πάντα οριακή κατανομή αριθμού των πελατών στο σύστημα. Οι πιθανότητες ρ n. 24

25 Ουρά M/M/s/k (2/2) Τέλος, για τα μέτρα λειτουργικότητας εφαρμόζουμε το θεώρημα του Little με ρυθμό αφίξεων: 25

26 Βιβλιογραφία 1. Στοχαστικές ανελίξεις, Δάρας Τρύφων Ι., Σύψας Παναγιώτης Θ., Εκδόσεις Ζήτη Πελαγία & Σια Ο.Ε. 2. Ουρές Αναμονής, Φακίνος Δημήτρης, Εκδόσεις Σ. Αθανασόπουλος & ΣΙΑ Ο.Ε. 3. Πιθανότητες, τυχαίες μεταβλητές και στοχαστικές διαδικασίες, Παπούλης Αθανάσιος, Pillai S. Unnikrishna, Εκδόσεις Α. Τζιόλα & ΥΙΟΙ Α.Ε. 26

27 Τέλος Ενότητας

28 Σημείωμα Αναφοράς Copyright ΤΕΙ Δυτικής Μακεδονίας, Αγγελική Σγώρα. «Συστήματα Αναμονής». Έκδοση: 1.0. Κοζάνη Διαθέσιμο από τη δικτυακή διεύθυνση: URL. 28

29 Σημείωμα Αδειοδότησης Το παρόν υλικό διατίθεται με τους όρους της άδειας χρήσης Creative Commons Αναφορά, Μη Εμπορική Χρήση Παρόμοια Διανομή 4.0 [1] ή μεταγενέστερη, Διεθνής Έκδοση. Εξαιρούνται τα αυτοτελή έργα τρίτων π.χ. φωτογραφίες, διαγράμματα κ.λ.π., τα οποία εμπεριέχονται σε αυτό και τα οποία αναφέρονται μαζί με τους όρους χρήσης τους στο «Σημείωμα Χρήσης Έργων Τρίτων». [1] Ως Μη Εμπορική ορίζεται η χρήση: που δεν περιλαμβάνει άμεσο ή έμμεσο οικονομικό όφελος από την χρήση του έργου, για το διανομέα του έργου και αδειοδόχο. που δεν περιλαμβάνει οικονομική συναλλαγή ως προϋπόθεση για τη χρήση ή πρόσβαση στο έργο. που δεν προσπορίζει στο διανομέα του έργου και αδειοδόχο έμμεσο οικονομικό όφελος (π.χ. διαφημίσεις) από την προβολή του έργου σε διαδικτυακό τόπο. Ο δικαιούχος μπορεί να παρέχει στον αδειοδόχο ξεχωριστή άδεια να χρησιμοποιεί το έργο για εμπορική χρήση, εφόσον αυτό του ζητηθεί. 29

30 Διατήρηση Σημειωμάτων Οποιαδήποτε αναπαραγωγή ή διασκευή του υλικού θα πρέπει να συμπεριλαμβάνει: το Σημείωμα Αναφοράς. το Σημείωμα Αδειοδότησης. τη δήλωση Διατήρησης Σημειωμάτων. το Σημείωμα Χρήσης Έργων Τρίτων (εφόσον υπάρχει). μαζί με τους συνοδευόμενους υπερσυνδέσμους. 30