Συστήματα Αναμονής. Ενότητα 9: Ανέλιξη Γέννησης - Θανάτου. Αγγελική Σγώρα Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής ΤΕ

Transcript

1 Συστήματα Αναμονής Ενότητα 9: Ανέλιξη Γέννησης - Θανάτου Αγγελική Σγώρα Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής ΤΕ

2 Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται σε άλλου τύπου άδειας χρήσης, η άδεια χρήσης αναφέρεται ρητώς. 2

3 Χρηματοδότηση Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό έχει αναπτυχθεί στα πλαίσια του εκπαιδευτικού έργου του διδάσκοντα. Το έργο «Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο TEI Δυτικής Μακεδονίας και στην Ανώτατη Εκκλησιαστική Ακαδημία Θεσσαλονίκης» έχει χρηματοδοτήσει μόνο τη αναδιαμόρφωση του εκπαιδευτικού υλικού. Το έργο υλοποιείται στο πλαίσιο του Επιχειρησιακού Προγράμματος «Εκπαίδευση και Δια Βίου Μάθηση» και συγχρηματοδοτείται από την Ευρωπαϊκή Ένωση (Ευρωπαϊκό Κοινωνικό Ταμείο) και από εθνικούς πόρους. 3

4 Σκοποί ενότητας Αυτή η ενότητα πραγματεύεται το ζήτημα της ανέλιξης γέννησης-θανάτου. 4

5 Περιεχόμενα ενότητας Εισαγωγή. Ορισμός. Παρατηρήσεις. Ουρά Μ/Μ/1 με μεταβλητές αφίξεις. Ουρά Μ/Μ/1 με μεταβλητό ρυθμό εξυπηρέτησης. 5

6 Εισαγωγή (1/2) Η ανέλιξη γέννησης-θανάτου αποτελεί γενίκευση της ανέλιξης Poisson. Μπορούμε να έχουμε μετάβαση από μια κατάσταση του συστήματος. Στην επόμενη της (γέννηση). Στην προηγούμενη της (θάνατος). Ρυθμοί μεταβάσεων. Δεν είναι σταθεροί. Εξαρτώνται από την κατάσταση στην οποία βρίσκεται το σύστημα. 6

7 Εισαγωγή (2/2) Έστω {X(t) t 0 } μία στοχαστική ανέλιξη. X(t) ο αριθμός των πελατών σε ένα σύστημα την χρονική στιγμή t. Επίσης έστω ότι ο χώρος καταστάσεων της είναι S=Ν 0. Πιθανότητες μετάβασης της ανέλιξης: 7

8 Ορισμός Η στοχαστική ανέλιξη {X(t) t 0 } ονομάζεται ανέλιξη γέννησης-θανάτου, με ρυθμούς μετάβασης λ n και μ n αν ισχύουν τα παρακάτω: p i,i+1 (h) = λ i h + o(h). p i,i-1 (h) = μ i h+o(h). p ii (h) = -(λ i + μ i )h + o(h). p ii (0) = 1. μ 0 = 0, λ 0 > 0 μ i > 0, λ i > 0 i = 1, 2,. 8

9 Παρατηρήσεις (1/7) Οι ανελίξεις γέννησης-θανάτου είναι: Κατάλληλα μαθηματικά μοντέλα για την μελέτη βιολογικών πληθυσμών. Διότι οι εν λόγω πληθυσμοί μεταβάλλονται με την πάροδο. Μοντέλα που χρησιμοποιούνται και σε συστήματα ουρών. Διότι στα συστήματα ουρών ο αριθμός των πελατών δεν παραμένει σταθερός. 9

10 Παρατηρήσεις (2/7) Προσδιορισμός της κατανομή της τυχαίας μεταβλητής Χ(t). Υπολογισμός των πιθανοτήτων: Αν η αρχική κατανομή είναι p i (t) i S. Η κατανομή της Χ(0) που θα θεωρείται δεδομένη. Από το θεώρημα ολικής πιθανότητας, έχουμε: 10

11 Παρατηρήσεις (3/7) Για τον υπολογισμό της κατανομής p i (t) i S πρέπει πρώτα να υπολογισθούν οι πιθανότητες p in (t), i, n S. Για το σκοπό αυτό: Μπορούμε να χωρίσουμε το διάστημα (0, t+h] στα δύο υποδιαστήματα (0, t] και (t, t+h]. Να υπολογίσουμε την p m (t + h) συναρτήσει της πιθανότητας ρ in (t). 11

12 Παρατηρήσεις (4/7) Όπως και στην περίπτωση της ουράς Μ/Μ /1 έχουμε: Αν n 1: Αν n = 0: 12

13 Παρατηρήσεις (5/7) Αν το μέγεθος s της ανέλιξης γέννησης-θανάτου είναι πεπερασμένο. Χώρος καταστάσεων S = 1, 2,, s. Για n = s έχουμε: Κάνοντας πράξεις έχουμε: Οι εν λόγω εξισώσεις ονομάζονται προδρομικές σχέσεις του Kolmogorov. 13

14 Παρατηρήσεις (6/7) Οι ανελίξεις γέννησης-θανάτου χρησιμοποιούνται για τη μελέτης μίας ευρείας κατηγορίας συστημάτων ουράς. Σύστημα ουράς Μ/Μ/1. Είναι μια ανέλιξη γέννησης-θανάτου, για την οποία ισχύει: 14

15 Παρατηρήσεις (7/7) Σύστημα ουράς Μ/Μ/1/k. Είναι μια ανέλιξη γέννησης-θανάτου, για την οποία ισχύει: Ανέλιξη Poisson. Είναι μια ανέλιξη γέννησης-θανάτου, για την οποία ισχύει: 15

16 Ουρά Μ/Μ/1 με μεταβλητές αφίξεις (1/3) Αν σε ένα σύστημα ουράς υπάρχει ουρά μεγάλου μήκους. Τότε ενδέχεται κάποιοι πελάτες να αποθαρρυνθούν και να αποχωρήσουν από το σύστημα χωρίς να εξυπηρετηθούν. Αν ένας πελάτης που βρίσκει n ήδη υπάρχοντες πελάτες στο σύστημα, αναχωρεί με πιθανότητα: Ο ρυθμός αφίξεων στο σύστημα θα είναι: 16

17 Ουρά Μ/Μ/1 με μεταβλητές αφίξεις (2/3) Δηλαδή θα έχουμε: Ανέλιξη γέννησης-θανάτου: Συνθήκη ύπαρξης οριακής κατανομής: Οριακή κατανομή: 17

18 Ουρά Μ/Μ/1 με μεταβλητές αφίξεις (3/3) Δηλαδή θα έχουμε (Συνέχεια): Μέσο αριθμό πελατών: Ρυθμό πραγματικών αφίξεων: Μέσο χρόνο παραμονής: 18

19 Ουρά Μ/Μ/1 με μεταβλητό ρυθμό εξυπηρέτησης (1/2) Έστω ένα σύστημα ουράς στο οποίο η ταχύτητα του εξυπηρετητή είναι ανάλογη του αριθμού των πελατών στο σύστημα. Το εν λόγω σύστημα μπορεί να περιγράφει με την χρήση μίας σ.α. Χ t t 0 γέννησης-θανάτου με: Συνθήκη ύπαρξης οριακής κατανομής: 19

20 Ουρά Μ/Μ/1 με μεταβλητό ρυθμό εξυπηρέτησης (2/2) Οριακή κατανομή: Μέσος αριθμός πελατών: Μέσος χρόνος παραμονής: 20

21 Βιβλιογραφία 1. Στοχαστικές ανελίξεις, Δάρας Τρύφων Ι., Σύψας Παναγιώτης Θ., Εκδόσεις Ζήτη Πελαγία & Σια Ο.Ε. 2. Ουρές Αναμονής, Φακίνος Δημήτρης, Εκδόσεις Σ. Αθανασόπουλος & ΣΙΑ Ο.Ε. 3. Πιθανότητες, τυχαίες μεταβλητές και στοχαστικές διαδικασίες, Παπούλης Αθανάσιος, Pillai S. Unnikrishna, Εκδόσεις Α. Τζιόλα & ΥΙΟΙ Α.Ε. 21

22 Τέλος Ενότητας

23 Σημείωμα Αναφοράς Copyright ΤΕΙ Δυτικής Μακεδονίας, Αγγελική Σγώρα. «Συστήματα Αναμονής». Έκδοση: 1.0. Κοζάνη Διαθέσιμο από τη δικτυακή διεύθυνση: URL. 23

24 Σημείωμα Αδειοδότησης Το παρόν υλικό διατίθεται με τους όρους της άδειας χρήσης Creative Commons Αναφορά, Μη Εμπορική Χρήση Παρόμοια Διανομή 4.0 [1] ή μεταγενέστερη, Διεθνής Έκδοση. Εξαιρούνται τα αυτοτελή έργα τρίτων π.χ. φωτογραφίες, διαγράμματα κ.λ.π., τα οποία εμπεριέχονται σε αυτό και τα οποία αναφέρονται μαζί με τους όρους χρήσης τους στο «Σημείωμα Χρήσης Έργων Τρίτων». [1] Ως Μη Εμπορική ορίζεται η χρήση: που δεν περιλαμβάνει άμεσο ή έμμεσο οικονομικό όφελος από την χρήση του έργου, για το διανομέα του έργου και αδειοδόχο. που δεν περιλαμβάνει οικονομική συναλλαγή ως προϋπόθεση για τη χρήση ή πρόσβαση στο έργο. που δεν προσπορίζει στο διανομέα του έργου και αδειοδόχο έμμεσο οικονομικό όφελος (π.χ. διαφημίσεις) από την προβολή του έργου σε διαδικτυακό τόπο. Ο δικαιούχος μπορεί να παρέχει στον αδειοδόχο ξεχωριστή άδεια να χρησιμοποιεί το έργο για εμπορική χρήση, εφόσον αυτό του ζητηθεί. 24

25 Διατήρηση Σημειωμάτων Οποιαδήποτε αναπαραγωγή ή διασκευή του υλικού θα πρέπει να συμπεριλαμβάνει: το Σημείωμα Αναφοράς. το Σημείωμα Αδειοδότησης. τη δήλωση Διατήρησης Σημειωμάτων. το Σημείωμα Χρήσης Έργων Τρίτων (εφόσον υπάρχει). μαζί με τους συνοδευόμενους υπερσυνδέσμους. 25