ΥΛΟΠΟΙΗΣΗ ΜΟΝΤΕΛΩΝ ΓΙΑ ΝΕΥΡΩΝΕΣ ΜΕ ΧΡΗΣΗ ΚΥΚΛΩΜΑΤΩΝ ΧΑΜΗΛΗΣ ΤΑΣΗΣ ΤΡΟΦΟΔΟΣΙΑΣ

Transcript

1 ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ ΣΧΟΛΗ ΘΕΤΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΗΣ ΠΜΣ ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΗ & ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΕΣ ΥΛΟΠΟΙΗΣΗ ΜΟΝΤΕΛΩΝ ΓΙΑ ΝΕΥΡΩΝΕΣ ΜΕ ΧΡΗΣΗ ΚΥΚΛΩΜΑΤΩΝ ΧΑΜΗΛΗΣ ΤΑΣΗΣ ΤΡΟΦΟΔΟΣΙΑΣ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΗ ΔΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ ΚΟΛΙΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ Α.Μ. 407 Επιβλέπων: Αναπλ. Καθηγητής Κ. Ψυχαλίνος Πάτρα, Ιούλιος 2013

2 ii

3 ΥΛΟΠΟΙΗΣΗ ΜΟΝΤΕΛΩΝ ΓΙΑ ΝΕΥΡΩΝΕΣ ΜΕ ΧΡΗΣΗ ΚΥΚΛΩΜΑΤΩΝ ΧΑΜΗΛΗΣ ΤΑΣΗΣ ΤΡΟΦΟΔΟΣΙΑΣ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΗ ΔΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ ΚΟΛΙΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ Εξεταστική επιτροπή: Κ. Ψυχαλίνος Γ. Οικονόμου Σπ. Βλάσσης Εγκρίθηκε από την τριμελή εξεταστική επιτροπή την 2 α Ιουλίου Κ. Ψυχαλίνος Αναπλ. Καθηγητής Γ. Οικονόμου Καθηγητής Σπ. Βλάσσης Επικ. Καθηγητής Πάτρα, Ιούλιος 2013 iii

4 iv

5 Περίληψη Η παρούσα Διπλωματική Εργασία εστίασε το ενδιαφέρον της στην διερεύνηση των μοντέλων για νευρώνες (neuron models) ικανών να μιμηθούν την φυσική λειτουργία των βιολογικών νευρώνων. Συγκεκριμένα, έγινε μελέτη κάποιων μοντέλων για νευρώνες που παρουσιαστήκαν τα τελευταία χρόνια και στην συνέχεια, σχεδιάστηκε και υλοποιήθηκε ένα από τα μοντέλα αυτά κάνοντας χρήση κυκλωμάτων χαμηλής τάσης τροφοδοσίας στο πεδίο του υπερβολικού ημιτόνου (Sinh-Domain). Η γρήγορη ανάπτυξη της μικροηλεκτρονικής στην υλοποίηση συστημάτων υψηλής αξιοπιστίας και απόδοσης μικρού βάρους και όγκου όπως φορητών ηλεκτρονικών πολυμέσων, επικοινωνιών, βιοϊατρικών συσκευών, ωθεί στην σχεδίαση των ολοκληρωμένων κυκλωμάτων που τα απαρτίζουν με μειωμένη κατανάλωση ισχύος και κατ επέκταση χαμηλής τάσης τροφοδοσίας. Αρχικά, γίνεται μια εισαγωγή για τη σχεδίαση ολοκληρωμένων κυκλωμάτων για λειτουργία σε περιβάλλον χαμηλής τάσης τροφοδοσίας. Ακολούθως, δίνεται η περιγραφή της δομής και της λειτουργίας ενός βιολογικού νευρώνα και στην συνέχεια η περιγραφή των δύο βασικών μοντέλων νευρώνα (neuron models) που μελετήθηκαν στα πλαίσια της συγκεκριμένης εργασίας. Επίσης, παρουσιάζεται μία πρόσφατη υλοποίηση του βασικού μοντέλου νευρώνα των Mihalas και Niebur που ερευνάται στα πλαίσια της παρούσας εργασίας, στο πεδίο του λογαρίθμου καθώς και τα μοτίβα αιχμών τα οποία είναι ικανό να παράγει το συγκεκριμένο μοντέλο στο πεδίο του λογαρίθμου. Τον πυρήνα στην σχεδίαση των συγκεκριμένων μοντέλων για νευρώνες που μελετώνται, αποτελεί η τοπολογία του Tau-Cell. Η συγκεκριμένη βαθμίδα χρησιμοποιείται για την συστηματική σχεδίαση φίλτρων στο πεδίο του λογαρίθμου (Log-Domain filters). Έπειτα, αναλύεται η μέθοδος σχεδίασης κυκλωμάτων, και συγκεκριμένα φίλτρων, χαμηλής τάσης τροφοδοσίας στο πεδίο του υπερβολικού ημιτόνου (Sinh-Domain). Παρουσιάζονται οι βασικούς τελεστές καθώς και τα βασικά cells, για την σχεδίαση κυκλωμάτων στο πεδίο του υπερβολικού ημιτόνου (Sinh-Domain). Στην συνέχεια, περιγράφεται η σχεδίαση της τοπολογίας του Tau-Cell η οποία όπως αναφέραμε, αποτελεί τον πυρήνα στην υλοποίηση μοντέλων για νευρώνες, στο πεδίο του υπερβολικού ημιτόνου και επιβεβαιώνεται η ορθή λειτουργία της συγκεκριμένης βαθμίδας, με την σχεδίαση και εξομοίωση φίλτρων στο πεδίο του υπερβολικού ημιτόνου, με βασικό στοιχείο το Tau-Cell στο Analog Design Environment του λογισμικού της Cadence σε τεχνολογία της AMS CMOS 0.35μm. Αφότου έχει ολοκληρωθεί η σχεδίαση του Tau-Cell στο πεδίο του υπερβολικού ημιτόνου, περιγράφεται στην συνέχεια η υλοποίηση του μοντέλου νευρώνα των Mihalas και Niebur στο πεδίο του υπερβολικού ημιτόνου. Κάνοντας χρήση της βαθμίδας του Tau-Cell στο πεδίο του υπερβολικού ημιτόνου, γίνεται η υλοποίηση και στην συνέχεια η εξομοίωση, δύο βασικών v

6 κυκλωμάτων του μοντέλου, με βάση την ήδη υπάρχουσα υλοποίηση τους στο πεδίο του λογαρίθμου, ικανών να παράγουν διάφορα μοτίβα αιχμών (spiking patterns) με βάση το συγκεκριμένο μοντέλο του νευρώνα. Η ορθή λειτουργία των δύο αυτών κυκλωμάτων του μοντέλου με βάση τα μοτίβα αιχμών (spiking patterns) που είναι ικανά να παράγουν, επιβεβαιώνεται από τις εξομοιώσεις στο περιβάλλον του Analog Design Environment του λογισμικού της Cadence σε τεχνολογία της AMS CMOS 0.35μm. Τέλος, παρουσιάζεται η φυσική σχεδίαση (layout) των δύο βασικών κυκλωμάτων του μοντέλου νευρώνα καθώς και τα αποτελέσματα από την post-layout εξομοίωση του μοντέλου. Η φυσική σχεδίαση πραγματοποιήθηκε μέσω του λογισμικού Cadence το οποίο και περιέχει το περιβάλλον φυσικής σχεδίασης αναλογικών ηλεκτρονικών κυκλωμάτων Virtuoso Layout Editor. Η τεχνολογία που χρησιμοποιήθηκε αναφέρεται ως AMS C35D4 CMOS διαστάσεων 0.35μm. Λέξεις κλειδιά: Αναλογικά ολοκληρωμένα κυκλώματα, Φίλτρα συμπίεσης-αποσυμπίεσης, Φίλτρα στο πεδίο του υπερβολικού ημιτόνου, Τοπολογία Tau-Cell, Βιοϊατρικές εφαρμογές, Μοντέλα νευρώνων. vi

7 Abstract This present M.Sc. Thesis is focused its interest in the study of neuron models that emulate the physical behavior of biological neurons. More specifically, we present a study of some neuron models that have been presented the last years and we proceed with the design and the implementation one of them using low voltage circuits in the Sinh-Domain. Τhe radical technological developments of microelectronics in the systems implementation with high reliability and performance, such as portable electronic devices for multimedia, communications and biomedical systems, demand the design of integrated circuits with reduced power consumption and thus low voltage supply. Initially, an introduction for the design of integrated circuits in low voltage environment is given and, also, the description of the structure and behavior of a biological neuron. Next, an analysis of two recently introduced neuron models realized in the Log- Domain, from which the Mihalas and Niebur neuron model constitutes the basic model studied in the context of this work and, also, the basic spiking patterns, that this implementation of the Mihalas-Niebur neuron model is capable of producing. The core in the implementation of this neuron models, is the topology of Tau-Cell. The topology of Tau-Cell is used for the systematic design of filters in the Log-Domain. Thereafter, is given an analysis of the method of designing low voltage circuits and more specifically filters, in the Sinh-Domain. The basic operators and the principal cells, for designing circuits in the Sinh-Domain are presented. Then, the design and implementation of the Tau-Cell topology which as mentioned is the core for the implementation of neuron models, is realized in the Sinh-Domain. The proper operation of this topology is confirmed through the design and simulation of filters in the Sinh-Domain, in the Analog Design Environment of Cadence using the AMS CMOS 0.35μm technology. After the design of the Tau-Cell in the Sinh-Domain, we continue with the implementation of the Mihalas-Niebur neuron model. Using the topology of Tau-Cell in the Sinh-Domain, we proceed with the implementation and the simulation of the basic two topologies of the neuron model based on the existing implementation in the Log-Domain. The implemented topologies of the neuron are capable of producing spiking patterns based to the Mihalas-Niebur neuron model. The proper operation of these topologies based on the spiking patterns that are capable of producing, is confirmed through the design and simulation in the Sinh-Domain, in the Analog Design Environment of Cadence using the AMS CMOS 0.35μm technology. vii

8 Finally, is presented the layout design of the main two topologies of the neuron model and also the results of the post-layout simulations. The layout was conducted via the Cadence software through Virtuoso Layout Editor. The technology used is referred as AMS C35D4 CMOS in 0.35μm dimensions. Index Terms: Continuous-time filters, Analog filters, Companding filters, Sinh-Domain filters, Tau-Cell, Neuron Models, Biomedical applications. viii

9 Ευχαριστίες Η εργασία αυτή πραγματοποιήθηκε το ακαδημαϊκό έτος στο τμήμα Φυσικής του Πανεπιστημίου Πατρών, στα πλαίσια του προγράμματος μεταπτυχιακών σπουδών ειδίκευσης στην Ηλεκτρονική και τις Επικοινωνίες (Ραδιοηλεκτρολογία) του Εργαστηρίου Ηλεκτρονικής. Θα ήθελα να ευχαριστήσω θερμά τον Αναπληρωτή Καθηγητή κ. Κ. Ψυχαλίνο, επιβλέποντα σε αυτή τη Μεταπτυχιακή Διπλωματική Εργασία, τόσο για τις γνώσεις, την καθοδήγηση και την αμέριστη υποστήριξή του όλα αυτά τα χρόνια, όσο και για την ευκαιρία που μου έδωσε να γνωρίσω τον τομέα της Μικροηλεκτρονικής και της Σχεδίασης Αναλογικών Ολοκληρωμένων Κυκλωμάτων. Επίσης, να ευχαριστήσω τον Επίκουρο καθηγητή κ. Σ. Βλάσση, καθώς και τον Αναπληρωτή Καθηγητή κ. Γ. Οικονόμου, μέλη της τριμελούς επιτροπής, καθώς και τον κ. Γ. Σουλιώτη, ΕΤΕΠ του τμήματος Φυσικής, για τη σημαντική βοήθεια που προσέφερε κατά την διάρκεια της εργασίας. Τέλος, θα ήθελα να ευχαριστήσω του γονείς μου καθώς και τον αδελφό μου, για την αμέριστη συμπαράσταση, κατανόηση και έμπρακτη υποστήριξη τους όλα αυτά τα χρόνια των σπουδών μου. Βασίλης Κολιός Πάτρα, Ιούλιος 2013 ix

10 x

11 Περιεχόμενα Περίληψη... Abstract. Ευχαριστίες... Περιεχόμενα... v vii ix xi Κεφάλαιο 1 o : Εισαγωγή Αναλογικά κυκλώματα σε περιβάλλον χαμηλής τάσης τροφοδοσίας Αντικείμενο και στόχοι της Διπλωματικής Εργασίας Οργάνωση της Διπλωματικής Εργασίας 17 Κεφάλαιο 2 o : Μοντέλα νευρώνων Εισαγωγή Δομή και λειτουργία ενός βιολογικού νευρώνα Νευρωνικό μοντέλο Izhikevich Νευρωνικό μοντέλο Mihalas-Niebur Ανασκόπηση της βιβλιογραφίας 36 Κεφάλαιο 3 o : Φίλτρα στο πεδίο του υπερβολικού ημιτόνου Εισαγωγή Γενική περιγραφή συστημάτων συμπίεσης-αποσυμπίεσης (Companding Systems) Συστήματα στο πεδίο του υπερβολικού ημιτόνου MOS transistor στην περιοχή υποκατωφλίου Μη-γραμμικοί διαγωγοί με MOS transistor Μη-γραμμικός διαγωγός υπερβολικού ημιτόνου Μη-γραμμικός διαγωγός υπερβολικού συνημιτόνου Μη-γραμμικοί διαγωγοί πολλαπλών εξόδων Συμπληρωματικοί τελεστές συμπίεσης (SINH -1 ) και αποσυμπίεσης (SINH) Διαιρέτης ρεύματος δυο τεταρτημορίων (Two-Quadrant Divider) Ολοκληρωτές στο πεδίο του υπερβολικού ημιτόνου Ολοκληρωτές χωρίς απώλειες (Lossless Integrators) Ολοκληρωτές με απώλειες (Lossy Integrators).. 58 xi

12 Κεφάλαιο 4 o : Tau-Cell στο πεδίο του υπερβολικού ημιτόνου Εισαγωγή Το Tau-Cell Υλοποίηση του Tau-Cell στο πεδίο του υπερβολικού ημιτόνου Παράδειγμα σχεδίασης φίλτρων με χρήση του Tau-Cell Υλοποίηση φίλτρων 1 ης και 2 ης -τάξης Τοπολογίες φίλτρων και αποτελέσματα εξομοίωσης Κεφάλαιο 5 o : Μοντέλο νευρώνα Mihalas - Niebur στο πεδίο του υπερβολικού ημιτόνου Εισαγωγή Υλοποίηση του μοντέλου Leaky-Integrate-and-Fire στο Sinh-Domain Υλοποίηση του μοντέλου Leaky-Integrate-and-Fire με προσαρμογή κατωφλίου στο Sinh-Domain Αποτελέσματα εξομοίωσης Κεφάλαιο 6 o : Φυσική σχεδίαση του μοντέλου Mihalas - Niebur Εισαγωγή Φυσική σχεδίαση (layout) βασικών cells Φυσική σχεδίαση (layout) του μοντέλου νευρώνα Αποτελέσματα εξομοίωσης (post-layout) του μοντέλου Mihalas - Niebur Κεφάλαιο 7 o : Συμπεράσματα και προτάσεις για μελλοντική έρευνα Σύνοψη και συμπεράσματα της ερευνητικής εργασίας Προτάσεις για μελλοντική έρευνα. 133 Αναφορές xii

13 Κεφάλαιο 1 ο Εισαγωγή 1.1 Αναλογικά κυκλώματα σε περιβάλλον χαμηλής τάσης τροφοδοσίας Η εξέλιξη της VLSI τεχνολογίας, σε συνδυασμό με τις τεράστιες απαιτήσεις της αγοράς για ανάπτυξη φορητών συσκευών, έχει εντείνει το ενδιαφέρον για σχεδίαση κυκλωμάτων με δυνατότητα λειτουργίας σε χαμηλή τάση τροφοδοσίας, και ενδεχομένως, χαμηλή κατανάλωση ισχύος. Η σχεδίαση αναλογικών ολοκληρωμένων κυκλωμάτων τα οποία θα λειτουργούν σε συνθήκες χαμηλής τάσης τροφοδοσίας, αλλά ταυτόχρονα θα παρουσιάζουν υψηλές επιδόσεις, είναι πλέον επιβεβλημένη. Η συνεχής μείωση της κλίμακας ολοκλήρωσης οδηγεί σε χαμηλότερες τάσεις κατάρρευσης (breakdown voltages) των transistor. Επομένως, τα κυκλώματα δεν μπορούν να λειτουργούν σε υψηλές τάσεις τροφοδοσίας. Επίσης, οι σύγχρονες εφαρμογές επιτάσσουν τη χρήση συσκευών με όσο το δυνατό μικρότερες διαστάσεις και μεγαλύτερη αυτονομία. Τέλος, η συνεχής μείωση της τάσης τροφοδοσίας στα ψηφιακά κυκλώματα, επιβάλλει τη σχεδίαση των αναλογικών κυκλωμάτων προς την ίδια κατεύθυνση, έτσι ώστε να μπορούν να τοποθετηθούν στο ίδιο ολοκληρωμένο κύκλωμα και επομένως να κατασκευαστούν με την ίδια τεχνολογία. Σύμφωνα με στοιχεία της International Technology Roadmap for Semiconductors (ITRS) [1], η οποία παρέχει πληροφορίες για το 13

14 Κεφάλαιο 1 ο : Εισαγωγή εγγύς μέλλον της τεχνολογίας των ημιαγωγών, η ελάχιστη διάσταση σχεδίασης να είναι στα 22nm με την τροφοδοσία να φθάνει 0.5V, Σχήμα 1.1. Σχήμα 1.1 Τάση τροφοδοσίας και τάση κατωφλίου σε συνάρτηση με την κλίμακα ολοκλήρωσης, συμφώνα με την ITRS [1]. Δεδομένου ότι στα ψηφιακά κυκλώματα η κατανάλωση ισχύος είναι ανάλογη του τετραγώνου της τάσης τροφοδοσίας, η συνεχής μείωση της τάσης τροφοδοσίας επιφέρει δραστική μείωση της συνολικής κατανάλωσης ισχύος. Πρέπει ωστόσο να τονιστεί ότι, η μείωση της τάσης τροφοδοσίας καθορίζεται κυρίως από παράγοντες που έχουν σχέση με την αξιόπιστη λειτουργία των κυκλωμάτων και τις τάσεις κατάρρευσης των ενεργών στοιχείων. Στα αναλογικά κυκλώματα, η μείωση της τάσης τροφοδοσίας δεν συνεπάγεται απαραίτητα και την μείωση της κατανάλωσης ισχύος. Αντιθέτως, αν δεν υπάρξει διαφορετική σχεδίαση των κυκλωμάτων, κάνοντας χρήση συγκεκριμένων τεχνικών, τότε μείωση της τάσης τροφοδοσίας συνεπάγεται μείωση του επιτρεπτού πλάτους των σημάτων που μπορούν να διαχειριστούν, και επομένως μικρότερη δυναμική περιοχή για δεδομένη κατανάλωση ισχύος. Αυτό έχει ως επακόλουθο την αύξηση των σφαλμάτων λόγω θορύβου αλλά και λόγω offset των τάσεων (ρευμάτων), προβλήματα των οποίων η επίλυση οδηγεί σε μεγαλύτερη κατανάλωση ισχύος. Επομένως, τα υπάρχοντα αναλογικά κυκλώματα θα πρέπει είτε να τροποποιηθούν είτε να επανασχεδιαστούν έτσι ώστε, να έχουν την ίδια ή καλύτερη απόδοση σε συνθήκες χαμηλής τάσης τροφοδοσίας. Υπάρχουν αρκετοί περιοριστικοί παράγοντες οι οποίοι θα πρέπει να λαμβάνονται υπόψη στον αξιόπιστο σχεδιασμό ενός CMOS αναλογικού συστήματος σε περιβάλλον χαμηλής τάσης τροφοδοσίας. Οι σημαντικότεροι είναι: α) η τιμή της 14

15 1.1 - Αναλογικά κυκλώματα σε περιβάλλον χαμηλής τάσης τροφοδοσίας τάσης κατωφλίου (Vth), β) η λειτουργία του MOS transistor στην περιοχή υποκατωφλίου (Subthreshold Region) και γ) η δυναμική περιοχή (Dynamic Range) λειτουργίας της διάταξης. Τα ηλεκτρονικά φίλτρα αποτελούν βασικές μονάδες σε πολλά σύγχρονα ολοκληρωμένα κυκλώματα μεταβάλλοντας το φάσμα συχνοτήτων ενός σήματος. Ένα από τα χαρακτηριστικά στοιχεία αξιοπιστίας ενός φίλτρου είναι η δυναμική περιοχή λειτουργίας του (Dynamic Range). Γενικά αυτό ορίζεται ως o λόγος του μεγαλύτερου προς το μικρότερο αποδεκτό σήμα που μπορούν να εφαρμοστούν στην είσοδο ενός φίλτρου με τη προϋπόθεση διατήρησης των ιδιοτήτων του σε επιθυμητό επίπεδο. Είναι γνωστό ότι σε ένα ολοκληρωμένο κύκλωμα ενεργού φίλτρου η κατανάλωση ισχύος καθώς και ο χώρος που καταλαμβάνουν οι πυκνωτές μέσα σ αυτό αυξάνεται ανάλογα με την δυναμική περιοχή του. Η κατάσταση αυτή είναι ασυμβίβαστη με τις ανάγκες των ολοκληρωμένων συστημάτων, ιδιαίτερα όταν αυτά λειτουργούν αυτόνομα. Στην πραγματικότητα απαιτείται σχεδιαστική καινοτομία προκειμένου με μειωμένη τάση τροφοδοσίας να αποφευχθεί η αύξηση της κατανάλωσης, για ένα συγκεκριμένο λόγο σήματος προς θόρυβο (S/N) της διάταξης. Τα τελευταία χρόνια έχει προσελκύσει το ερευνητικό ενδιαφέρον της επιστημονικής κοινότητας, η σχεδίαση αναλογικών φίλτρων συμπίεσης-αποσυμπίεσης (companding filters), ονομασία που προέρχεται από τα ακρωνύμια των λέξεων (compressing) συμπιέζω και (expanding) αποσυμπιέζω. Τα φίλτρα αυτά ανήκουν στην κατηγορία των (ELIN) (Externally Linear, Internally Non-linear) εξωτερικά γραμμικά, εσωτερικά μη-γραμμικά, και διέπονται από την αρχή της διαγραμμικότητας (translinear principle). 1.2 Αντικείμενο και στόχοι της Διπλωματικής Εργασίας Τα τελευταία χρόνια, έχουν αποκτήσει ιδιαίτερο ερευνητικό ενδιαφέρον τα μοντέλα νευρώνων με την δυνατότητα παραγωγής αιχμών καθώς, και διαφόρων μοτίβων τέτοιων αιχμών (spiking-based models of neurons), αντίστοιχων αυτών που παρατηρούνται στου φυσικούς βιολογικούς νευρώνες. Η μελέτη τέτοιων μοντέλων νευρώνων γίνεται προκειμένου να διερευνηθεί ο ρόλος τους, στον τομέα της υπολογιστικής νευροεπιστήμης (computational neuroscience field), και η υλοποίηση υπολογιστικών συστημάτων στον τομέα της νευρομορφικής μηχανικής (neuromorphic engineering field). Έχουν αναπτυχθεί αρκετά ψηφιακά εργαλεία και εξομοιωτές ιδανικά, καθώς και πρακτικά, για την μελέτη της υπολογιστικής συμπεριφοράς των νευρωνικών δικτύων (neural networks). Ωστόσο, δεν είναι ιδανικά για την υλοποίηση συστημάτων που λειτουργούν σε πραγματικό χρόνο (real-time systems) καθώς και, για την εξομοίωση μεγάλης κλίμακας νευρωνικών συστημάτων. Η χρήση ψηφιακών συστημάτων όπως οι GPUs ή τα FPGAs, μπορεί στα επόμενα χρόνια, να προσφέρει αυτήν την δυνατότητα. Παρ όλα αυτά, δεν είναι σίγουρο ότι τέτοιου είδους συστήματα, θα μπορέσουν να προσεγγίσουν την πυκνότητα, την ενεργειακή αποδοτικότητα καθώς 15

16 Κεφάλαιο 1 ο : Εισαγωγή και την προσαρμοστικότητα των νευρώνων και των συνάψεων, που προσπαθούν να μοντελοποιήσουν, στο κεντρικό νευρικό σύστημα. Η παρατήρηση και η μελέτη του εγκέφαλου έχει δείξει, ότι η λειτουργία του βασίζεται σε αναλογικές αρχές της φυσικής των νευρωνικών υπολογισμών, οι οποίες είναι τελείως διαφορετικές από τις αντίστοιχες ψηφιακές αρχές και οδήγησε στην έρευνα στον τομέα της μηχανικής νευρωνικών μοντέλων ή νευροεπιστήμης (neuromorphic engineering). Αντικείμενο, λοιπόν, της παρούσας Διπλωματικής Εργασίας αποτελεί η μελέτη καθώς και η υλοποίηση ενός μοντέλου νευρώνα (neuron model) ικανού να παράγει διάφορα ηλεκτρικά μοτίβα αντίστοιχων αυτών που παρατηρούνται στους βιολογικούς νευρώνες. Το συγκεκριμένο μοντέλο νευρώνα, υλοποιείται κάνοντας χρήση κατάλληλων κυκλωμάτων, ικανών να λειτουργήσουν σε περιβάλλον χαμηλής τάσης τροφοδοσίας με σκοπό την μείωση της κατανάλωσης ισχύος. Τα μοντέλα νευρώνων ή όπως αλλιώς ονομάζονται silicon neurons (SiNs), είναι υβριδικά (αναλογικά και ψηφιακά) κυκλώματα πολλής μεγάλης κλίμακας ολοκλήρωσης (VLSI) τα οποία είναι ικανά να μιμηθούν την ηλεκτρικοφυσιολογική συμπεριφορά των βιολογικών νευρώνων. Υλοποιήσεις νευρωνικών συστημάτων σε επίπεδο κυκλώματος, κάνοντας χρήση τέτοιων μοντέλων νευρώνων έχουν την δυνατότητα λειτουργίας σε πραγματικό χρόνο και η ταχύτητα ενός νευρωνικού δικτύου είναι ανεξάρτητη από το πλήθος των νευρώνων και των συζεύξεων μεταξύ αυτών. Τα μοντέλα νευρώνων αποτελούν ένα μέσο με το οποίο μπορεί να γίνει εξομοίωση νευρωνικών δικτύων απευθείας σε επίπεδο υλικού κυκλώματος (hardware) απ ότι να γίνει σε έναν γενικού σκοπού υπολογιστή. Πρωταρχικός στόχος της εργασίας, είναι η μελέτη καθώς και η υλοποίηση της βασικής βαθμίδας τοπολογίας που χρησιμοποιείται στην σχεδίαση και υλοποίηση σε επίπεδο κυκλώματος, των σημαντικότερων μοντέλων για νευρώνες που έχουν παρουσιαστεί τα τελευταία χρόνια, κάνοντας χρήση κατάλληλων κυκλωμάτων και συγκεκριμένα, κυκλωμάτων στο πεδίο του υπερβολικού ημίτονου (Sinh-Domain), ικανών να λειτουργήσουν σε περιβάλλον χαμηλής τάσης τροφοδοσίας. Η συγκεκριμένη τοπολογία ονομάζεται Tau-Cell και έχει αρχικά προταθεί για την συστηματική σχεδίαση φίλτρων στο πεδίο του λογαρίθμου (Log-Domain Filters). Ωστόσο, το βασικό χαρακτηριστικό αποτελεί η δυνατότητα που παρέχει η συγκεκριμένη βαθμίδα για την υλοποίηση κυκλωμάτων που η λειτουργία τους περιγράφεται από διαφορικές συναρτήσεις οποιασδήποτε τάξης. Αυτό το χαρακτηριστικό, καθιστά την τοπολογία του Tau-Cell ιδιαίτερα ελκυστική για την υλοποίηση μοντέλων για νευρώνες δεδομένου ότι, η λειτουργία των μοντέλων περιγράφεται από συνήθεις διαφορικές εξισώσεις. Η επιβεβαίωση της ορθής λειτουργίας της συγκεκριμένης τοπολογίας, επιτυγχάνεται με την σχεδίαση και εξομοίωση φίλτρων στο πεδίο του υπερβολικού ημιτόνου (Sinh-Domain Filters) με βασικό δομικό στοιχειό την τοπολογία του Tau-Cell. Στην συνέχεια, γίνεται η σχεδίαση και εξομοίωση ενός βασικού μοντέλου νευρώνα κάνοντας χρήση της τροποποιημένης βαθμίδας Tau-Cell στο πεδίο του υπερβολικού ημιτόνου (Sinh-Domain Tau-Cell ). Το συγκεκριμένο μοντέλο, είναι ικανό να παράγει διάφορα μοτίβα αιχμών που παρατηρούνται στους βιολογικούς νευρώνες. Ωστόσο, η σχεδίαση και υλοποίηση του σε επίπεδο κυκλώματος, είναι ιδιαίτερα απλή σε σχέση με άλλα προτεινόμενα μοντέλα της βιβλιογραφίας. 16

17 1.3 Οργάνωση της Διπλωματικής Εργασίας 1.3 Οργάνωση της Διπλωματικής Εργασίας Στο δεύτερο Κεφάλαιο, παρουσιάζεται αρχικά, η δομή και η λειτουργία ενός βιολογικού νευρώνα και στην συνέχεια ακολουθεί η περιγραφή των δύο βασικών μοντέλων νευρώνα που μελετήθηκαν. Το πρώτο μοντέλο, είναι το μοντέλο νευρώνα του Izhikevich του οποίου δίνονται οι βασικές εκφράσεις που το περιγράφουν, καθώς και τα διάφορα μοτίβα αιχμών (spiking patterns) που είναι ικανό να παράγει. Το δεύτερο μοντέλο νευρώνα το οποίο αποτελεί και το βασικό μοντέλο νευρώνα αυτής της εργασίας, είναι αυτό των Mihalas και Niebur. Περιγράφονται αναλυτικά οι εκφράσεις που χαρακτηρίζουν την λειτουργία του συγκεκριμένου μοντέλου, καθώς και μία προτεινόμενη υλοποίηση του κάνοντας χρήση κυκλωμάτων στο πεδίο του λογαρίθμου (Log -Domain Circuit) και τα διάφορα μοτίβα αιχμών (spiking patterns) που είναι ικανό να παράγει. Στην συνέχεια, αναφέρονται οι διάφορες υλοποιήσεις του συγκεκριμένου μοντέλου που υπάρχουν ήδη στην βιβλιογραφία. Στο τρίτο Κεφάλαιο, αναλύεται μία νέα μέθοδος σχεδίασης κυκλωμάτων χαμηλής τάσης τροφοδοσίας που έχει προταθεί, τα οποία ανήκουν στην κατηγορία των συστημάτων συμπίεσης-αποσυμπίεσης (Companding Systems). Η μέθοδος αυτή, μας δίνει την δυνατότητα συστηματικής σχεδίασης φίλτρων στο πεδίο του υπερβολικού ημιτόνου (Sinh-Domain Filters) κάνοντας χρήση όπως θα δούμε, MOS transistor που λειτουργούν στην περιοχή υποκατωφλίου (Operation in Weak Inversion). Δίνονται, οι βασικοί τελεστές της συγκεκριμένης μεθόδου, οι μη-γραμμικοί διαγωγούς που αποτελούν τα δομικά στοιχεία της μεθόδου αυτής και τέλος, περιγράφονται οι δομικές βαθμίδες ολοκληρωτών στο πεδίο του υπερβολικού ημιτόνου. Στο τέταρτο Κεφάλαιο, παρουσιάζεται η βασική βαθμίδα που χρησιμοποιείται και από τα δύο μοντέλα νευρώνων που μελετήθηκαν στην παρούσα εργασία, το Tau- Cell. Το βασικό χαρακτηριστικό της βαθμίδας αυτής είναι η δυνατότητα υλοποίησης οποιουδήποτε κυκλώματος του οποίου η λειτουργία περιγράφεται από διαφορικές εξισώσεις. Δεδομένου ότι τα μοντέλα νευρώνων που έχουν παρουσιαστεί έως τώρα περιγράφονται από συνήθεις διαφορικές εξισώσεις, καθιστά το συγκεκριμένο χαρακτηριστικό του Tau-Cell ιδιαίτερα ελκυστικό για την σχεδίαση τέτοιων μοντέλων. Στην συνέχεια, περιγράφεται η σχεδίαση της συγκεκριμένης βαθμίδας του Tau-Cell κάνοντας χρήση κυκλωμάτων στο πεδίο του υπερβολικού ημιτόνου και επιβεβαιώνεται η ορθή λειτουργία της συγκεκριμένης βαθμίδας, με την σχεδίαση και εξομοίωση φίλτρων στο πεδίο του υπερβολικού ημιτόνου, με βασικό στοιχείο το Tau-Cell στο Analog Design Environment του λογισμικού της Cadence σε τεχνολογία της AMS CMOS 0.35μm. Στο πέμπτο Κεφάλαιο, παρουσιάζεται η υλοποίηση του νευρωνικού μοντέλου των Mihalas και Niebur στο πεδίο του υπερβολικού ημιτόνου. Κάνοντας χρήση της βαθμίδας του Tau-Cell που υλοποιήθηκε στο προηγούμενο Κεφάλαιο, στο πεδίο του υπερβολικού ημιτόνου, γίνεται η υλοποίηση και στην συνέχεια η εξομοίωση, δύο βασικών κυκλωμάτων του μοντέλου, με βάση την περιγραφή τους στο 2 ο Κεφάλαιο, ικανών να παράγουν διάφορα μοτίβα αιχμών (spiking patterns) με βάση το μοντέλο του νευρώνα. Συγκεκριμένα, γίνεται υλοποίηση του μοντέλου Leaky-Integrate-and-Fire και του Leaky-Integrate-and-Fire με προσαρμογή του κατωφλίου στο πεδίο του υπερβολικού ημιτόνου. Η ορθή λειτουργία των δύο αυτών κυκλωμάτων του μοντέλου 17

18 Κεφάλαιο 1 ο : Εισαγωγή με βάση τα μοτίβα αιχμών (spiking patterns) που είναι ικανά να παράγουν, επιβεβαιώνεται από τις εξομοιώσεις στο περιβάλλον του Analog Design Environment του λογισμικού της Cadence σε τεχνολογία της AMS CMOS 0.35μm. Στο έκτο Κεφάλαιο, παρουσιάζεται η φυσική σχεδίαση (layout) αρχικά, των βασικών στοιχείων (cells) από τα οποία δομείται το μοντέλο του νευρώνα και στην συνέχεια των δύο βασικών κυκλωμάτων του μοντέλου, που σχεδιάστηκαν στο προηγούμενο Κεφάλαιο. Τέλος, δίνονται τα αποτελέσματα από την post-layout εξομοίωση του μοντέλου από όπου πρόεκυψαν τα αντίστοιχα μοτίβα αιχμών (spiking patterns) που παρουσιαστήκαν και στο πέμπτο Κεφάλαιο. Η φυσική σχεδίαση πραγματοποιήθηκε μέσω του λογισμικού Cadence το οποίο και περιέχει το περιβάλλον φυσικής σχεδίασης αναλογικών ηλεκτρονικών κυκλωμάτων Virtuoso Layout Editor. Η τεχνολογία που χρησιμοποιήθηκε είναι διαστάσεων 0.35μm, που αναφέρεται ως AMS C35D4 CMOS. Τέλος, στο έβδομο Κεφάλαιο, δίνονται τα συμπεράσματα της παρούσας Διπλωματικής Εργασίας καθώς και κάποιες προτάσεις για μελλοντική έρευνα. 18

19 Κεφάλαιο 2 ο Μοντέλα νευρώνων 2.1 Εισαγωγή Σε όλους τους βιολογικούς οργανισμούς, ο κυρίαρχος ρόλος του νευρικού συστήματος (Nervous System) είναι η επικοινωνία: να μεταφέρει δηλαδή, και να επεξεργάζεται την εκάστοτε πληροφορία. Ο νευρώνας (neuron) αποτελεί την βασική λειτουργική μονάδα του νευρικού συστήματος, σχεδιασμένη να μεταφέρει και να επεξεργάζεται την νευρωνική πληροφορία μέσω των επαφών ή συνάψεων (synapses or gap junctions) που δημιουργεί με άλλους νευρώνες, μυϊκά κύτταρα ή κύτταρα αδένων χρησιμοποιώντας ηλεκτρικά και/ή βιοχημικά σήματα. Υπάρχουν πάνω από 100 δισεκατομμύρια νευρώνες και πάνω από 100 τρισεκατομμύρια συνάψεις στον ανθρώπινο εγκέφαλο, τα οποία λειτουργούν μαζί προκειμένου να πραγματοποιήσουν πολύπλοκα αισθητήρια συστήματα καθώς και λειτουργίες κίνησης, αποτελεσματικά και με μεγάλη ακρίβεια. Μέχρι σήμερα, όλα τα συστήματα που έχουν φτιαχτεί από τον άνθρωπο δεν έχουν καταφέρει εξομοιώσουν επαρκώς την λειτουργία του νευρικού συστήματος [8]. Γι αυτό τον λόγο, πολλοί μηχανικοί, τα τελευταία χρόνια, έχουν στρέψει το ενδιαφέρον τους στο να μιμηθούν το νευρικό σύστημα σχεδιάζοντας αποτελεσματικά συστήματα προσομοίωσης του εγκέφαλου, τα οποία έχουν την δυνατότητα να πραγματοποιήσουν πολύπλοκους και μεγάλους σε αριθμό υπολογισμούς για την επίλυση διαφόρων προβλημάτων. Τέτοιου είδους ευφυή συστήματα, αποτελούνται από μεγάλης κλίμακας και πολυπλοκότητας νευρωνικά δίκτυα (Neural Networks). Επομένως, είναι απαραίτητη η σχεδίαση τεχνητών νευρώνων (Artificial Neurons or Neuron Models) καθώς και συνάψεων, των οποίων η λειτουργία να προσεγγίζει σε μεγάλο βαθμό την λειτουργία των αντίστοιχων 19

20 Κεφάλαιο 2 ο : Μοντέλα νευρώνων βιολογικών νευρώνων. Τα τελευταία χρόνια έχουν υλοποιηθεί διάφορα είδη μοντέλων για νευρώνες εκ των οποίων, κάποια πλησιάζουν περισσότερο και κάποια λιγότερο την λειτουργία των βιολογικών νευρώνων. Επιγραμματικά αναφέρονται τα γνωστότερα μοντέλα προσομοίωσης νευρώνων: μοντέλα ολοκλήρωσης-καιπυροδότησης (integrate and fire), μοντέλο Hodgkin-Huxley, μοντέλο FitzHugh-Nagumo, μοντέλο Morris-Lecar, μοντέλο Hindmarch-Rose και το μοντέλο Izhikevich. Οι κυριότερες παράμετροι που πρέπει να ληφθούν υπόψιν κατά την σχεδίαση ενός νευρωνικού μοντέλου είναι (i) η βιολογική ρεαλιστικότητα και (ii) η υπολογιστική απλότητα του μοντέλου, όπως χαρακτηρίστηκα φαίνεται και στο Σχήμα 2.1 [31]. Σχήμα 2.1 Σύγκριση των γνωστότερων μοντέλων προσομοίωσης νευρώνων με βάση την βιολογική τους αληθοφάνεια και την υπολογιστική τους πολυπλοκότητα [31]. Στην συνέχεια, περιγράφεται αναλυτικότερα η δομή και η λειτουργία ενός βιολογικού νευρώνα καθώς και δύο από τα μοντέλα νευρώνων που αναφέρθηκαν νωρίτερα. Πιο συγκεκριμένα, γίνεται αρχικά, μια περιγραφή του μοντέλου νευρώνα του Izhikevich, δίνονται οι βασικές σχέσεις που το χαρακτηρίζουν καθώς και τα διάφορα νευρωνικά σήματα τα οποία είναι ικανό να παράγει. Έπειτα, παρουσιάζεται το μοντέλο νευρώνα των Mihalas και Niebur (MN-neuron model), το οποίο αποτελεί και το βασικό μοντέλο της συγκεκριμένης εργασίας. Το συγκεκριμένο μοντέλο νευρώνα ανήκει στην κατηγορία των μοντέλων ολοκλήρωσης-και-πυροδότησης (integrate and fire), δίνονται οι βασικές σχέσεις που το χαρακτηρίζουν καθώς και μια περιγραφή της υλοποίησης αυτού κάνοντας χρήση κυκλωμάτων στο πεδίο του λογαρίθμου (Log-Domain). Επίσης, παρουσιάζονται και τα βασικά παραγόμενα νευρωνικά σήματα τα οποία εξετάζονται και στην συνέχεια στην υλοποίηση του συγκεκριμένου μοντέλου με χρήση κυκλωμάτων χαμηλής τάσης τροφοδοσίας στο πεδίο του υπερβολικού ημιτόνου (Sinh-Domain). 20

21 2.2 Δομή και λειτουργία ενός βιολογικού νευρώνα 2.2 Δομή και λειτουργία ενός βιολογικού νευρώνα Όπως αναφέρθηκε και νωρίτερα, ο νευρώνας ή το νευρικό κύτταρο αποτελεί την βασική και λειτουργική μονάδα του νευρικού συστήματος. Οι νευρώνες έχουν τη δυνατότητα να μεταδίδουν ηλεκτρικά σήματα από το ένα μέρος του κυττάρου στο άλλο ενώ παράλληλα επικοινωνούν με άλλους νευρώνες εκλύοντας νευροδιαβιβαστές. Ανάλογα με τη λειτουργία που επιτελούν διαχωρίζονται σε προσαγωγούς, απαγωγούς και διανευρώνες. Οι προσαγωγοί νευρώνες μεταφέρουν την πληροφορία από τους ιστούς και τα όργανα προς το Κεντρικό Νευρικό Σύστημα (ΚΝΣ), οι απαγωγοί μεταφέρουν ηλεκτρικά σήματα από το ΚΝΣ προς τους μύες ή τα κύτταρα αδένων και οι διανευρώνες συνδέουν τις δύο παραπάνω κατηγορίες νευρώνων [31]. Το μέγεθος ενός νευρώνα κυμαίνεται από σχεδόν 0 έως και 1m και ανατομικά, αποτελείται όπως φαίνεται και στο Σχήμα 2.2 [8], από τέσσερα μέρη: το σώμα (soma or cell body), τους δενδρίτες (dendrites), τον άξονα (axon) και τις συνάψεις (synapses) που δημιουργεί με άλλους νευρώνες στις απολήξεις του άξονα. Νευροαξονικές Απολήξεις Σώμα (Cell body) Νευροαξονικές Απολήξεις Άξονας Δενδρίτες Σύναψη Α Πυρήνας Νευρώνα Σύναψη Β Δενδρίτες Σχήμα 2.2 Δομή ενός τυπικού βιολογικού νευρώνα [8]. Το σώμα αποτελεί το μεταβολικό κέντρο του κύτταρου το οποίο περιέχει τον πυρήνα και τα ενδοκυτταρικοπλασματικά οργανίδια. Τα περισσότερα είδη νευρώνων τείνουν να έχουν έναν άξονα ο οποίος μεταδίδει τα σήματα εξόδου σε άλλους διασυνδεδεμένους νευρώνες. Οι δενδρίτες εκτίνονται από το κυτταρικό σώμα και λαμβάνουν τα σήματα εισόδου από άλλους νευρώνες. Οι συνάψεις αναφέρονται στα 21

22 Κεφάλαιο 2 ο : Μοντέλα νευρώνων σημεία όπου οι νευροαξονικές απολήξεις ενός νευρώνα (γνωστού ως προσυναπτικού νευρώνα) διασταυρώνονται και αλληλεπιδρούν με τους δενδρίτες ή το σώμα ενός άλλου νευρωνικού κύτταρου (γνωστού και ως μετασυναπτικού νευρώνα). Ο νευρώνας που άγει σήματα προς μία σύναψη ονομάζεται προσυναπτικός, ενώ ο νευρώνας που δέχεται τις αξονικές απολήξεις ενός άλλου νευρώνα ονομάζεται μετασυναπτικός. Ένας νευρώνας είναι ταυτόχρονα προσυναπτικός σε κάποιες συνάψεις και μετασυναπτικός σε κάποιες άλλες ανάλογα με τον τρόπο με τον οποίο συμμετέχει σε αυτές. Οι συνάψεις αποτελούν ειδικές ζώνες επαφών, στις οποίες τα προσυναπτικά στοιχεία του άξονα του προσυναπτικού νευρώνα (μια στενή προσυναπτική σχισμή), αλληλεπιδρούν με τα μετασυναπτικά στοιχεία στους δενδρίτες ή το κυτταρικό σώμα του μετασυναπτικού νευρώνα. Ένα τυπικό νευρωνικό κύτταρο μπορεί να δέχεται σήματα εισόδου από πάνω από άλλους νευρώνες μέσω των συνάψεων που δημιουργεί. Οι νευρώνες παράγουν παλμούς τάσης, μικρής χρονικής διάρκειας, όταν αυτοί διεγείρονται ηλεκτρικά από άλλους νευρώνες. Τέτοιου είδους παλμοί, γνωστοί και ως δυναμικά ενέργειας ή αιχμές (spikes), εμφανίζονται όταν ιόντα εισέρχονται ή εξέρχονται από το νευρωνικό κύτταρο μέσω της κυτταρικής μεμβράνης, μεταβαλλόντας το μεμβρανικό δυναμικό του κυττάρου. Αυτού του είδους οι αιχμές, αποτελούν το βασικό επικοινωνιακό μέσο μεταξύ των νευρώνων. Ωστόσο, οι νευρώνες δεν προκαλούν αιχμές από μονοί τους άλλα είναι αποτέλεσμα αιχμών που δέχονται στις εισόδους τους από άλλους νευρώνες. Στην βιβλιογραφία γύρω από την λειτουργία του ΚΝΣ, οι νευρώνες περιγράφονται ως ολοκληρωτές με κατώφλι (threshold). Με άλλα λόγια, οι νευρώνες αθροίζουν τις εισερχόμενες αιχμές και συγκρίνουν το συνολικό άθροισμα με μια συγκεκριμένη τιμή τάσης που ονομάζεται κατώφλι πυροδότησης (firing threshold), το οποίο διαφέρει σε κάθε νευρώνα. Εάν το συνολικό άθροισμα των αιχμών εισόδου είναι κάτω από το κατώφλι, ο νευρώνας παραμένει σε κατάσταση ηρεμίας, ενώ όταν η τιμή του αθροίσματος ξεπερνά το κατώφλι, ο νευρώνας πυροδοτεί μια αιχμή (allor-none spike) και μηδενίζει το δυναμικό της μεμβράνης. Ωστόσο, υπάρχουν νευρώνες οι οποίοι είναι ικανοί να παράγουν μια ακολουθία από αιχμές, γνωστή και ως ριπή αιχμών ή ξέσπασμα (burst), αντί μίας και μοναδικής αιχμής. Ορισμένοι νευρώνες έχουν την ικανότητα να μεταβούν από τη μία κατάσταση στην άλλη, δηλαδή, αρχικά να παράγουν μία αιχμή και έπειτα μια ριπή συνεχόμενων αιχμών με ελάχιστη χρονική διαφορά μεταξύ τους. Η ικανότητα των νευρώνων να παράγουν, να επεξεργάζονται και να επικοινωνούν μέσω τέτοιου είδους σήματα (spikes or bursts) όταν δέχονται κάποιο ηλεκτρικό ερέθισμα, αποτελεί το βασικό χαρακτηριστικό το οποίο προσπαθούν να μιμηθούν τα μοντέλα νευρώνων. Τα μοντέλα νευρώνων, πρέπει να είναι ικανά να μιμηθούν και να παράγουν τέτοιου είδους μοτίβα αιχμών (spike or burst patterns) που παρατηρούνται στους βιολογικούς νευρώνες. Στην συνέχεια, περιγράφονται δύο μοντέλα νευρώνων ικανά να παράγουν, σε ικανοποιητικό βαθμό, αρκετά από τα μοτίβα αιχμών που παρατηρούνται σε βιολογικούς νευρώνες όπως αναφέρθηκε και νωρίτερα. 22

23 2.3 Νευρωνικό μοντέλο Izhikevich 2.3 Νευρωνικό μοντέλο Izhikevich Το 2003 ο Eugene Izhikevich πρότεινε ένα νευρωνικό μοντέλο το οποίο παρουσίαζε δυναμικά τύπου Hodgkin-Huxley [9]. Ωστόσο, υπολογιστικά είναι εξίσου αποτελεσματικό όσο ένα νευρωνικό μοντέλο τύπου ολοκλήρωσης-και-πυροδότησης (integrate and fire). Το συγκεκριμένο μοντέλο, έχει την δυνατότητα να παράγει διάφορα μοτίβα αιχμών (spike or burst patterns) που παρατηρούνται στους βιολογικούς νευρώνες μέσω της ρύθμισης τεσσάρων μόνο παραμέτρων. Ως αποτέλεσμα, το Izhikevich (Iz) νευρωνικό μοντέλο έχει γίνει ιδιαίτερο γνωστό για την εξομοίωση νευρωνικών δικτύων με χρήση σημάτων αιχμών (spiking neural networks). Το νευρωνικό μοντέλο του Izhikevich περιγράφεται από το παρακάτω δισδιάστατο σύστημα διαφορικών εξισώσεων: dv dt v 5v 140 u I ex (2.1) du a b v u dt με μία συνθήκη αρχικοποίησης (reset) μετά την πυροδότηση αιχμής (spike): v c v 30mV u u d (2.2) (2.3) όπου, το v αναπαριστά το δυναμικό της μεμβράνης του νευρωνικού κύτταρου και το u αποτελεί μια μεταβλητή ανάκαμψης (επαναφοράς) του δυναμικού της μεμβράνης η οποία είναι υπεύθυνη για την ενεργοποίηση του ρεύματος ιόντων Κ + και για την απενεργοποίηση του ρεύματος ιόντων Ν +. Μόλις παραχθεί αιχμή ( v 30mV ), γίνεται επαναφορά των τιμών των μεταβλητών v και u συμφώνα με την σχέση (2.3). Το Iex αναπαριστά το ρεύμα εισόδου ή ρεύμα διέγερσης όπως διαφορετικά ονομάζεται. Το συγκεκριμένο ρεύμα, Iex, προκύπτει από το άθροισμα των ρευμάτων στις συνάψεις του νευρωνικού κυττάρου συμπεριλαμβανόμενου και των dc συνιστωσών των ρευμάτων αυτών [11]. 2 Το κομμάτι 0.04 v 5v 140 της εξίσωσης (2.1) πρόεκυψε, προσαρμόζοντας τη δυναμική έναρξης της αιχμής (the spike initiation dynamics) ενός νευρωνικού κυττάρου, έτσι ώστε το δυναμικό της μεμβράνης, v, να έχει μονάδες mv και ο χρόνος, t, να είναι σε msec [9]. Επίσης, όπως και στους βιολογικούς νευρώνες έτσι και στο συγκεκριμένο νευρωνικό μοντέλο, η τιμή του κατωφλίου (threshold) δεν είναι συγκεκριμένη. 23

24 Κεφάλαιο 2 ο : Μοντέλα νευρώνων Αξίζει να αναφερθεί ότι, παρόλο που στους βιολογικούς νευρώνες ως φορέας του σήματος είναι η τάση (voltage-mode), στα μοντέλα νευρώνων όταν υλοποιούνται σε επίπεδο κυκλώματος, συνηθίζεται να χρησιμοποιείται το ρεύμα ως φορέας του σήματος (current-mode neuron models) [11]. Συνεπώς, τροποποιώντας κατάλληλα τις σχέσεις (2.1) (2.3), θα ισχύει: di dt v Iv 5 Iv 140 Iu Iex (2.4) diu a b Iv I dt με την συνθήκη αρχικοποίησης (reset) μετά την πυροδότηση αιχμής (spike), να είναι: u (2.5) Iv c Iv 30nA Iu Iu d (2.6) όπου, οι παράμετροι c και d είναι επίσης ρεύματα σε na, και το τ αντιστοιχεί στη σταθερά χρόνου σε msec. Ωστόσο, η χρήση ρευμάτων της τάξεως των na δεν είναι υποχρεωτική, οπότε σε κάθε υλοποίηση του μοντέλου σε επίπεδο κυκλώματος είναι δυνατό να γίνει χρήση ρευμάτων κατάλληλης τιμής, ανάλογα με τις ανάγκες τις εκάστοτε εφαρμογής. Η αναπαραγωγή μεγάλου αριθμού μοτίβων εκφόρτισης επιτυγχάνεται με κατάλληλη επιλογή των παραμέτρων (α, b, c, d). Η παράμετρος a περιγράφει την χρονική κλίμακα της μεταβλητής αποκατάστασης u. Μικρή τιμή του a συνεπάγεται αργή αποκατάσταση του δυναμικού v της μεμβράνης. Μια τυπική τιμή είναι α=0.02. Η παράμετρος b περιγράφει την ευαισθησία της μεταβλητής αποκατάστασης u στις υπό το κατώφλι μεταβολές του δυναμικού v της μεμβράνης. Μεγάλες τιμές για το b οδηγούν σε ισχυρότερη σύζευξη μεταξύ των μεταβλητών u και v, που έχει ως πιθανό αποτέλεσμα την πρόκληση υπό-κατωφλιακής ταλαντωτικής δραστηριότητας και δυναμικά δράσης χαμηλού κατωφλίου. Μια τυπική τιμή είναι b=0.2. H παράμετρος c περιγράφει την επαναφορά του δυναμικού v της μεμβράνης μετά την εκδήλωση δυναμικού δράσης λόγω του άμεσου υψηλού-κατωφλίου ιοντικού ρεύματος K + και η τιμή της είναι συνήθως c= mv. H παράμετρος d περιγράφει την επαναφορά της μεταβλητής u μετά την εκδήλωση δυναμικού δράσης λόγω των αργών υψηλού-κατωφλίου ιοντικών ρευμάτων Na + και K +. Mια τυπική τιμή είναι d=2. Στην συνέχεια, στον Πινάκα 2.1 μπορούμε να δούμε τις κατάλληλες τιμές των παραμέτρων (α, b, c, d) με βάση το μοντέλο έτσι ώστε, όπως φαίνεται και στο Σχήμα 2.3, να πάρουμε τα αντίστοιχα μοτίβα που είναι ικανό να αναπαράγει το συγκεκριμένο μοντέλο νευρώνα [10],[31]. 24

25 2.3 Νευρωνικό μοντέλο Izhikevich Πίνακας 2.1 Τιμές των παραμέτρων (α, b, c, d) για την παραγωγή των μοτίβων του μοντέλου Izhikevich. Μοτίβα αιχμών (Spike and burst patterns) α b c d (A) τονική πυροδότηση / tonic spiking 0,02 0, (B) φασική πυροδότηση / phasic spiking 0,02 0, (C) τονικό ξέσπασμα / tonic bursting 0,02 0, (D) φασικό ξέσπασμα / phasic bursting 0,02 0, ,05 (E) ανάμεικτη πυροδότηση / mixed mode 0,02 0, (F) συχνοτικά προσαρμοστική / spike frequency 0,01 0, adaptation (G) 1ης τάξης διέγερση / Class 1 excitable 0,02-0, (H) 2ης τάξης διέγερση / Class 2 excitable 0,2 0, (I) καθυστέρηση πυροδότησης / spike latency 0,02 0, (J) υποκατωφλιακή ρυθμική / subthreshold 0,05 0, oscillations (K) πυροδότηση συντονισμού / resonator 0,1 0, (L) πυροδότηση ολοκληρωτή / integrator 0,02-0, (M) αντιδραστική πυροδότηση / rebound spike 0,03 0, (N) αντιδραστικό ξέσπασμα / rebound burst 0,03 0, (O) μεταβλητότητα κατωφλίου / 0,03 0, threshold variability (P) δισταθερότητα / bistability 1 1, (Q) αποπολωτικό μετά-δυναμικό / depolarizing after-potential 1 0, (R) πυροδότηση προσαρμογής / 0, accommodation (S) πυροδότηση λόγω αναστολής / inhibitioninduced -0, spiking (T) ξέσπασμα λόγω αναστολής / inhibitioninduced bursting -0,

26 Κεφάλαιο 2 ο : Μοντέλα νευρώνων Σχήμα 2.3 Μοτίβα αιχμών (Spike and burst patterns) που αναπαράγει το μοντέλο Izhikevich [10]. 26

27 2.4 Νευρωνικό μοντέλο Mihalas-Niebur 2.4 Νευρωνικό μοντέλο Mihalas-Niebur Οι Mihalas και Niebur παρουσίασαν το 2009 ένα νέο μοντέλο νευρώνα τύπου ολοκλήρωσης-και-πυροδότησης (integrate and fire) το οποίο είναι ικανό να παράγει διάφορα μοτίβα αιχμών που παρατηρούνται στους βιολογικούς νευρώνες [4]. Σε αντίθεση με άλλα νευρωνικά μοντέλα που έχουν παρουσιαστεί, όπως αυτό του Izhikevich που αναλύσαμε νωρίτερα, το Mihalas-Niebur (ΜΝ) μοντέλο νευρώνα, χρησιμοποιεί απλές, 1 ης -τάξης, διαφορικές εξισώσεις για να περιγράψει κάθε μία από τις μεταβλητές καταστάσεων (state variables of the neuron model). Η σχετική πολυπλοκότητα του ΜΝ νευρωνικού μοντέλου, έγκειται στους όρους αποκατάστασης ή επαναφοράς (reset rules) οι οποίοι εφαρμόζονται όταν παραχθεί κάποια αιχμή [5]. Αντίστοιχα με τα μοντέλα νευρώνων που αναφέρθηκαν νωρίτερα, όπως και αυτό του Izhikevich που έχει προσελκύσει ενδιαφέρον για την εξομοίωση νευρωνικών δικτύων αιχμών, το μοντέλο νευρώνα των Mihalas-Niebur έχει κάποια σημαντικά πλεονεκτήματα. Πρώτον, όλες οι μεταβλητές καταστάσεων στο συγκεκριμένο μοντέλο έχουν φυσική ερμηνεία, το οποίο μας δίνει την δυνατότητα να μάθουμε από το μοντέλο πως πραγματικά συμπεριφέρονται οι βιολογικοί νευρώνες. Δεύτερον, το ΜΝ νευρωνικό μοντέλο έχει την δυνατότητα να υλοποιηθεί κάνοντας χρήση βασικών δομικών στοιχείων ή βαθμίδων με αποτέλεσμα, την δυνατότητα επέκτασής του με την προσθήκη επιπλέον μηχανισμών καθώς και μεταβλητών καταστάσεων, για την παράγωγη περισσοτέρων μοτίβων αιχμών που παρατηρούνται στους βιολογικούς νευρώνες [5]. Η υλοποίηση του Mihalas-Niebur μοντέλου νευρώνα, όσο και αυτό του Izhikevich, έχει γίνει σε παλαιότερες εργασίες κάνοντας χρήση κυκλωμάτων στο πεδίο του λογαρίθμου (Log-Domain Circuits). Στην συνέχεια, θα περιγράψουμε αναλυτικότερα την υλοποίηση του Mihalas-Niebur μοντέλου νευρώνα κάνοντας χρήση βασικών δομικών βαθμίδων στο πεδίο του λογαρίθμου [5]. Οι εξισώσεις που περιγράφουν το Mihalas-Niebur νευρωνικό μοντέλο είναι: di dt j k I, με j=1,,n (2.7) j j dv dt mem 1 Iex I j G Vmem Cmem j d a Vmem b dt (2.8) (2.9) Η πρώτη εξίσωση αναπαριστά τα ρεύματα Ij που σχετίζονται με τις αιχμές (spiking related currents), εκ των οποίων, μπορεί να προστεθεί οποιοσδήποτε αριθμός ρευμάτων στο μοντέλο νευρώνα προκειμένου να είναι ικανό να μιμηθεί διαφορές συμπεριφορές-καταστάσεις καθώς και διαφορά συνοπτικά δυναμικά (synaptic dynamics). Η δεύτερη εξίσωση αναπαριστά το δυναμικό της μεμβράνης Vmem (εκφράζεται σε σχέση με το δυναμικό ηρεμίας της μεμβράνης Vmem0) και 27

28 Κεφάλαιο 2 ο : Μοντέλα νευρώνων παρουσιάζει συμπεριφορά μίας τυπικής ολοκλήρωσης με απώλειες (leaky integration) των ρευμάτων διέγερσης Iex στην είσοδο καθώς και των ρευμάτων Ij που σχετίζονται με τις αιχμές. Η τρίτη εξίσωση υλοποιεί την αργή προσαρμογή του κατωφλίου αιχμών θ (spiking threshold adaptation) συναρτήσει του δυναμικού της μεμβράνης Vmem (εκφράζεται σε σχέση με το κατώφλι ηρεμίας θ0). Αξίζει να επισημανθεί ότι, το κατώφλι δε ανανεώνεται όταν το μοντέλο νευρώνα παράγει μία αιχμή, αντιθέτως ακολουθεί την συμπεριφορά των ρευμάτων που εξαρτώνται από το δυναμικό (voltage-dependent currents). Αυτό αποτελεί μία πολύ σημαντική λεπτομέρεια όσον αφόρα την συμπεριφορά του μοντέλου καθώς, όταν για παράδειγμα, το μοντέλο δεν παράγει κάποια αιχμή, επιτυγχάνεται η υψηλότερη προσαρμογή του κατωφλίου (highest threshold adaptation). Όταν το μοντέλο νευρώνα παράγει κάποια αιχμή, το μέσο δυναμικό της μεμβράνης θα βρίσκεται χαμηλότερα από ότι στην προηγούμενη περίπτωση, το οποίο οφείλεται στην επαναφορά αποκατάσταση (reset) μετά από κάθε αιχμή, και το κατώφλι προσαρμόζεται χαμηλότερα από την προηγούμενη περίπτωση. Όταν, το δυναμικό της μεμβράνης Vmem +Vmem0 φτάσει το κατώφλι θ + θ0, τότε ο νευρώνας παράγει αιχμές και οι μεταβλητές καταστάσεων επαναφέρονται σε τιμές που ορίζονται από τις παρακάτω σχέσεις. 28 I j Rj I j A (2.10) j V mem V (2.11) r max (2.12) όπου Rj, Aj, Vr και θr αποτελούν παραμέτρους του νευρωνικού μοντέλου. Στις υλοποιήσεις του μοντέλου που έχουν γίνει μέχρι τώρα, το Rj επιλέγεται να είναι 0, το οποίο οδηγεί σε επαναφορά σε μία σταθερή τιμή Aj, ή το Rj επιλέγεται να είναι 1, που οδηγεί σε μία αθροιστική επαναφορά των μεταβλητών. Το Vr είναι το δυναμικό επαναφοράς του δυναμικού της μεμβράνης και το θ είναι το δυναμικό κατωφλίου το οποίο επαναφέρεται στην τιμή θr μόνο όταν η τιμή του θ είναι χαμηλότερα του θr καθώς ο νευρώνας παράγει αιχμή. Τα σχετιζόμενα με τις αιχμές ρεύματα Ij, είναι ανεξάρτητα από όλες τις μεταβλητές καταστάσεων και εξαρτώνται μόνο από τις επιλεγμένες τιμές των παραμέτρων καθώς και την εμφάνιση κάποιας αιχμής. Το δυναμικό της μεμβράνης Vmem, εξαρτάται μόνον από τις δικές του παραμέτρους και το ρεύμα εισόδου Iex συν το άθροισμα των σχετιζόμενων με τις αιχμές ρευμάτων. Τέλος, το δυναμικό κατωφλίου θ εξαρτάται μόνον από τις παραμέτρους του και το δυναμικό τις μεμβράνης. Η ελάχιστη συσχέτιση που υπάρχει μεταξύ των μεταβλητών καταστάσεων, απλοποιεί σημαντικά την ρύθμιση των παραμέτρων προκειμένου να πετύχουμε τα διαφορά μοτίβα αιχμών του συγκεκριμένου μοντέλου [5]. Από την εξομοίωση του συγκεκριμένου μοντέλου νευρώνα στο λογισμικό MATLAB σε μια αντίστοιχη μελέτη του μοντέλου, κάνοντας χρήση των βασικών εξισώσεων που το περιγράφουν και ρυθμίζοντας κατάλληλα τόσο τις μεταβλητές καταστάσεων όσο και τις αντίστοιχες παραμέτρους αυτών, πρόεκυψαν τα μοτίβα αιχμών που φαίνονται στο Σχήμα 2.4, αντίστοιχα αυτών του μοντέλου Izhikevich [8]., r

29 2.4 Νευρωνικό μοντέλο Mihalas-Niebur Σχήμα 2.4 Μοτίβα αιχμών (Spike and burst patterns) που αναπαράγει το μοντέλο Mihalas- Niebur: (a) Tonic spiking. (b) Class 1 spiking. (c) Spike frequency adaptation. (d) Phasic spiking. (e) Accommodation. (f) Threshold variability. (g) Rebound spiking. (h) Class 2 spiking. (i) Integrator. (j) Input bistability. (k) Hyperpolarizing spiking. (l) Hyperpolarizing bursting. (m) Tonic bursting. (n) Phasic bursting. (o) Rebound bursting. (p) Mixed mode. (q) Afterpotential. (r) Basal bistability. (s) Preferred frequency. (t) Spike latency [8]. 29

30 Κεφάλαιο 2 ο : Μοντέλα νευρώνων Η υλοποίηση του μοντέλου νευρώνα των Mihalas-Niebur σε επίπεδο κυκλώματος, όπως αναφέραμε και νωρίτερα, γίνεται κάνοντας χρήση κυκλωμάτων στο πεδίο του λογαρίθμου (Log-Domain Circuits). Προτού αναλυθεί η διαδικασία υλοποίησης του συγκεκριμένου μοντέλου, επαναδιατυπώνονται οι εξισώσεις (2.7) (2.9) έτσι ώστε να αναπαριστούν συναρτήσεις μεταφοράς 1 ης -τάξης βαθυπερατών φίλτρων. I mem I j IDC, όπου 1 j (2.13) s 1 mem j k j Iex Imem0 I j j C, όπου mem mem (2.14) s 1 G I A ( I I ) I mem s mem , όπου και b a A b (2.15) Στις σχέσεις (2.13) (2.15) έχει εκφραστεί κάθε μεταβλητή κατάστασης ως ρεύμα προκειμένου να παρουσιαστεί στην συνέχεια, η υλοποίηση του νευρωνικού μοντέλου κάνοντας χρήση κυκλωμάτων και συγκεκριμένα φίλτρων, στο πεδίο του λογαρίθμου (Log-Domain Filters). Η μέθοδος σχεδίασης κυκλωμάτων όπως ολοκληρωτές (integrators) και φίλτρα, στο πεδίο του λογαρίθμου, κάνει χρήση του ρεύματος ως φορέα του σήματος (current-mode circuits) για διάφορους λόγους όπως είναι η επίτευξη μεγάλης δυναμικής περιοχής (Dynamic Range-DR), χαμηλή κατανάλωση (Low-Power Dissipation) κ.ά. Συνεπώς, δεδομένου ότι τα μοντέλα νευρώνων, όπως φαίνεται και από τις εξισώσεις (2.13)-(2.15), απαιτούν την χρήση ολοκληρωτών με απώλειες (lossy integrators) για την υλοποίηση τους, καθιστούν τα κυκλώματα και συγκεκριμένα τα φίλτρα στο πεδίο του λογαρίθμου ιδιαίτερα ελκυστικά για την υλοποίηση τέτοιου είδους μοντέλων. Για το συγκεκριμένο μοντέλο νευρώνα, οι τυπικές τιμές των σταθερών χρόνου με βάση τις σχέσεις (2.13) (2.15) είναι: τmem = 20msec και τθ = 100msec, και επίσης Aθ = 0 ή 1/2. Για την υλοποίηση του συγκεκριμένου μοντέλου κάνοντας χρήση φίλτρων στο πεδίο του λογαρίθμου, δεχόμαστε ότι ισχύουν οι παρακάτω σχέσεις: A 0 και A 0 (2.16) j I j 0 (2.17) j και αρχικά: I I (2.18) 0 30

31 2.4 Νευρωνικό μοντέλο Mihalas-Niebur Επομένως, με βάση τις σχέσεις (2.16)-(2.18) το μοντέλο νευρώνα απλοποιείται περαιτέρω σε μοντέλο απλής ολοκλήρωσης με απώλειες και πυροδότησης ή μοντέλο νευρώνα Leaky-Integrate-and-Fire. Η υλοποίηση του μοντέλου σε επίπεδο κυκλώματος φαίνεται στο Σχήμα 2.5 [5]. V DD Comparator M 6 M 5 M 8 M 13 M 15 V A Tau-Cell M 7 V DD V comp V nspike V spike I e I 0 I mem M 1 M 2 M 3 M 4 I θ M 12 M 14 V ref C mem 2I 0 V ref M 16 V EL Reset transistor Σχήμα 2.5 Μοντέλο νευρώνα Leaky-Integrate-and-Fire στο πεδίο του λογαρίθμου. Η υλοποίηση του μοντέλου νευρώνα Leaky-Integrate-and-Fire στο πεδίο του λογαρίθμου, κάνει χρήση της βαθμίδας Tau-Cell ως ένα 1 ης -τάξης βαθυπερατό φίλτρο έτσι ώστε να παραχθεί το ρεύμα Imem με βάση το μοντέλο. Η τοπολογία του Tau-Cell αποτελείται από έναν διαγραμμικό βρόχο που υλοποιούν τα nmos τρανζίστορ M1 M4, τον πυκνωτή Cmem και τα ρεύματα πόλωσης I0 και 2I0. Η συνάρτηση μεταφοράς της συγκεκριμένης τοπολογίας είναι: I mem Ie, όπου s 1 mem V C T mem mem (2.19) I0 όπου, VT είναι η θερμική τάση ( 26mV σε θερμοκρασία δωματίου). 31

32 Κεφάλαιο 2 ο : Μοντέλα νευρώνων Επομένως, εάν εξισώσουμε το ρεύμα Ie με το άθροισμα των ρευμάτων Iex + Imem0, έχουμε υλοποιήσει την εξίσωση (2.14). Ωστόσο, η πιθανή εμφάνιση ενός αρνητικού ρεύματος Iex θα μπορούσε να αποσυντονίσει το μοντέλο του νευρώνα. Γι αυτόν τον λόγο, γίνεται χρήση του ρεύματος Imem0 έτσι ώστε, να εξασφαλίσουμε ότι στην είσοδο του μοντέλου το ρεύμα θα είναι πάντοτε θετικό. Προκειμένου να παραχθεί κάποια αιχμή, το ρεύμα Imem καθρεφτίζεται μέσω των τρανζίστορ Μ5 και Μ8, και συγκρίνεται με ένα σταθερό ρεύμα (DC) κατωφλίου Iθ. Έπειτα, γίνεται χρήση ενός αντιστροφέα (Μ12, Μ13) ο οποίος μετατρέπει το αποτέλεσμα της σύγκρισης των δύο ρευμάτων σε μια ψηφιακή τιμή τάσης Vnspike. Με την χρήση του αντιστροφέα που υλοποιείται από τα τρανζίστορ Μ14 και Μ15, παράγεται μια θετικής τιμής αιχμή τάσης Vspike, η οποία οδηγεί στην συνέχεια το τρανζίστορ Μ16 το όποιο επαναφέρει (reset) το ρεύμα μεμβράνης Imem σε μια τιμή που καθορίζεται από την VEL. Η συγκεκριμένη λειτουργία επαναφοράς του ρεύματος μεμβράνης Imem σε μια συγκεκριμένη τιμή, αποτελεί την current-mode υλοποίηση της εξίσωσης (2.11). Αυτή η επαναφορά προκαλεί το τέλος της αιχμής και η μεμβράνη είναι έτοιμη για να ξεκινήσει ένα επιπλέον κύκλο ολοκλήρωσης. Στην περίπτωση που ο πολλαπλασιαστικός όρος κέρδους Aθ δεν είναι μηδέν, το κατώφλι προσαρμόζεται κατάλληλα βάση της εξίσωσης (2.15). Αυτή η προσαρμογή του ρεύματος κατωφλίου μπορεί να υλοποιηθεί κάνοντας χρήση μιας δεύτερης βαθμίδας Tau-Cell της οποίας η συνάρτηση μεταφοράς δίνεται από την σχέση (2.20). I A I mem, όπου s 1 V C I T (2.20) 0 Ένα σταθερό ρεύμα IθDC = Iθ0 ΑθImem0 προστίθεται στην εξίσωση (2.20) προκειμένου να υλοποιηθεί η εξίσωση (2.15). Το ρεύμα αυτό χρησιμοποιείται για τον ίδιο λόγο που αναφέρθηκε και προηγουμένως. Όπως φαίνεται και στο Σχήμα 2.6, ο πολλαπλασιαστικός όρος κέρδους Aθ υλοποιείται από τα τρανζίστορ Μ17 Μ19 [5]. Οι δύο βαθμίδες των Tau-Cell έχουν το ίδιο ρεύμα πόλωσης I0 και ο λόγος των σταθερών χρόνου καθορίζεται από τον λόγο των πυκνωτών Cθ/ Cmem. Όπως αναφέρθηκε και νωρίτερα, η σταθερά χρόνου τθ είναι τυπικά πέντε φορές μεγαλύτερη από την τmem, οπότε με βάση τις σχέσεις (2.19) και (2.20), ο λόγος των πυκνωτών θα είναι: mem C 5 (2.21) C mem 32

33 2.4 Νευρωνικό μοντέλο Mihalas-Niebur M6 M5 Tau-Cell M7 VDD Ie Imem Imult I0 M1 M2 M3 M4 M17 Cmem 2I0 Vref Vref M19 M16 VEL Reset transistor Comparator VDD M8 M13 M15 VA VDD Vcomp Vnspike Vspike AθImult I0 Iθ M18 M9 M10 M11 IθDC M12 M14 Vref Cθ 2I0 Vref Σχήμα 2.6 Μοντέλο νευρώνα Leaky-Integrate-and-Fire με προσαρμογή κατωφλίου στο πεδίο του λογαρίθμου. 33