Ιατρικά Ηλεκτρονικά. Χρήσιμοι Σύνδεσμοι. ΙΑΤΡΙΚΑ ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΑ - ΔΙΑΛΕΞΗ 5α. Σημειώσεις μαθήματος: E mail:

Transcript

1 Ιατρικά Ηλεκτρονικά Δρ. Π. Ασβεστάς Τμήμα Μηχανικών Βιοϊατρικής Τεχνολογίας Τ.Ε Χρήσιμοι Σύνδεσμοι Σημειώσεις μαθήματος: E mail: pasv@teiath.gr 2 1

2 Περιοδικά Σήματα Ένα σήμα ( συμβολίζει τον χρόνο) ονομάζεται περιοδικό εάν επαναλαμβάνεται συνεχώς το ίδιο ανά συγκεκριμένα χρονικά διαστήματα. Το κάθε πότε γίνεται η επανάληψη ενός σήματος ονομάζεται περίοδος του σήματος και συμβολίζεται με (μονάδες χρόνου). Μαθηματικά, η περιοδικότητα ενός σήματος εκφράζεται από την ακόλουθη σχέση: για κάθε χρονική στιγμή. Το αντίστροφο της περιόδου, ονομάζεται συχνότητα και συμβολίζεται με (μονάδες Hz). 3 Περιοδικά Σήματα Παραδείγματα περιοδικών σημάτων Ημίτονο Περίοδος V s 4 2

3 Περιοδικά Σήματα Παραδείγματα περιοδικών σημάτων Τετραγωνικό Περίοδος V 5 s Περιοδικά Σήματα Παραδείγματα περιοδικών σημάτων Τριγωνικό Περίοδος V 6 s 3

4 Περιοδικά Σήματα Παραδείγματα περιοδικών σημάτων Πριονωτό Περίοδος V 7 s Περιοδικά Σήματα Παραδείγματα περιοδικών σημάτων Καρδιογράφημα Περίοδος V 8 s 4

5 Υπάρχει ένα θεμελιώδες θεώρημα των μαθηματικών, το οποίο λέει ότι οποιοδήποτε περιοδικό σήμα μπορεί να αναλυθεί ως άθροισμα ημιτόνων διαφορετικών πλατών, συχνοτήτων και φάσεων. Συγκεκριμένα, εάν εκφράζει ένα σήμα με περίοδο ( συμβολίζει τον χρόνο), τότε το μπορεί να γραφτεί στη ακόλουθη μορφή: όπου συμβολίζει τη dc συνιστώσα του σήματος, και ( 1,2,3, ) συμβολίζουν πλάτος και φάση ημιτόνου αντίστοιχα. Ησυχνότητα είναι η λεγόμενη θεμελιώδης συχνότητα. 9 Τα πλάτη και οι φάσεις των ημιτόνων που απαρτίζουν ένα περιοδικό σήμα,, προκύπτουν με χρήση του μετασχηματισμού Fourier: 1 tan 2 cos 2 2 sin 2 1,2,3, 10 5

6 Το πλήθος των ημιτόνων στα οποία αναλύεται ένα σήμα εξαρτάται από τη μορφή του σήματος. Εάν το σήμα έχει ομαλές μεταβολές, όπως για παράδειγμα ένα τριγωνικό σήμα, χρειάζονται λίγα ημίτονα για να το αναπαραστήσουν πλήρως. Αντίθετα, εάν ένα σήμα έχει απότομες μεταβολές, όπως για παράδειγμα μία τετραγωνική κυματομορφή, χρειάζονται περισσότερα ημίτονα. Στη συνέχεια, δίνονται παραδείγματα ανάλυσης Fourier ορισμένων ευρέως χρησιμοποιούμενων σημάτων: τριγωνικό σήμα τετραγωνικό σήμα πριονωτό σήμα καρδιογράφημα 11 Παράδειγμα Ανάλυση τριγωνικού σήματος (1 ημίτονο) 1 ο ημίτονο 12 6

7 Παράδειγμα Ανάλυση τριγωνικού σήματος (άθροισμα 2 ημιτόνων) 2 ο ημίτονο 13 Παράδειγμα Ανάλυση τριγωνικού σήματος (άθροισμα 3 ημιτόνων) 3 ο ημίτονο 14 7

8 Παράδειγμα Ανάλυση τριγωνικού σήματος (άθροισμα 4 ημιτόνων) 4 ο ημίτονο 15 Παράδειγμα Ανάλυση τριγωνικού σήματος (άθροισμα 5 ημιτόνων) 5 ο ημίτονο 16 8

9 Παράδειγμα Ανάλυση τετραγωνικού σήματος (1 ημίτονο) 1 ο ημίτονο 17 Παράδειγμα Ανάλυση τετραγωνικού σήματος (άθροισμα 2 ημίτονων) 2 ο ημίτονο 18 9

10 Παράδειγμα Ανάλυση τετραγωνικού σήματος (άθροισμα 3 ημίτονων) 3 ο ημίτονο 19 Παράδειγμα Ανάλυση τετραγωνικού σήματος (άθροισμα 4 ημίτονων) 4 ο ημίτονο 20 10

14 Παράδειγμα Ανάλυση καρδιογραφήματος (1 ημίτονο) 1 ο ημίτονο 27 Παράδειγμα Ανάλυση καρδιογραφήματος (άθροισμα 2 ημιτόνων) 2 ο ημίτονο 28 14

15 Παράδειγμα Ανάλυση καρδιογραφήματος (άθροισμα 3 ημιτόνων) 3 ο ημίτονο 29 Παράδειγμα Ανάλυση καρδιογραφήματος (άθροισμα 4 ημιτόνων) 4 ο ημίτονο 30 15

18 Από τα προηγούμενα παραδείγματα προκύπτει ότι: Τα πρώτα ημίτονα (δηλαδή τα ημίτονα χαμηλών συχνοτήτων) παρέχουν το γενικό σχήμα του σήματος (την περιβάλλουσα του σήματος όπως είναι ο επίσημος όρος). Τα επόμενα ημίτονα (τα ημίτονα υψηλότερων συχνοτήτων) προσθέτουν λεπτομέρειες στο σήμα. Στην περίπτωση του τετραγωνικού σήματος, επειδή υπάρχουν απότομες μεταβάσεις ανάμεσα σε δύο τιμές χρειάζονται αρκετά ημίτονα για να το αναπαραστήσουν. Έχοντας κάνει ανάλυση Fourier ενός σήματος, μπορούμε να το αναπαραστήσουμε ισοδύναμα με γραφικό τρόπο με δύο διαγράμματα: το διάγραμμα πλάτους: παρέχει το πλάτος κάθε ημιτόνου ως προς τη συχνότητα το διάγραμμα φάσης: παρέχει τη φάση κάθε ημιτόνου ως προς τη συχνότητα 35 Παράδειγμα Διαγράμματα πλάτους και φάσης για τριγωνικό σήμα συχνότητας 1kHz

19 Παράδειγμα Διαγράμματα πλάτους και φάσης για τετραγωνικό σήμα συχνότητας 1kHz. 37 Παράδειγμα Διαγράμματα πλάτους και φάσης για πριονωτό σήμα συχνότητας 370 Hz

20 Παράδειγμα Διαγράμματα πλάτους και φάσης για καρδιογράφημα. 39 Παράδειγμα Καρδιογράφημα με θόρυβο γραμμής 50 Hz

21 Παράδειγμα Διαγράμματα πλάτους και φάσης για καρδιογράφημα με θόρυβο γραμμής 50 Hz. 41 Στα προηγούμενα διαγράμματα, η ύπαρξη μίας κορυφής στο διάγραμμα πλάτους σε κάποια συχνότητα σημαίνει ότι υπάρχει ένα ημίτονο με μη μηδενικό πλάτος στη συχνότητα αυτή. Για παράδειγμα, έστω ότι σε ένα διάγραμμα πλάτους υπάρχουν δύο κορυφές στις συχνότητας 1kHz και 3kHz με τιμές 400mV και 100mV αντίστοιχα. Έστω ακόμα ότι από το διάγραμμα φάσης του σήματος προκύπτει ότι οι αντίστοιχες τιμές της φάσης είναι 90 και 45. Τότε το σήμα είναι: 400mV sin mV sin

22 Φίλτρα Εισαγωγή Από τα δύο τελευταία παραδείγματα με το καρδιογράφημα, προκύπτει ότι: η χρήσιμη πληροφορία είναι μέχρι τα 20 Hz περίπου υπάρχει ένα ανεπιθύμητο σήμα που αλλοιώνει το καρδιογράφημα με συχνότητα 50 Hz. Επομένως, το καρδιογράφημα θα μπορούσε να καθαριστεί από το ανεπιθύμητο σήμα, εάν χρησιμοποιούσαμε ένα κύκλωμα που θα άφηνε ανεπηρέαστα τα ημίτονα με συχνότητες μέχρι 20 Hz περίπου και θα εξασθενούσε το ημίτονο με συχνότητα 50 Hz. 43 Φίλτρα Εισαγωγή Ένα κύκλωμα που επιτρέπει όπως λέμε τη διέλευση συγκεκριμένων συχνοτήτων ενός σήματος και εξασθενεί ή αποκόπτει τις υπόλοιπες συχνότητες ονομάζεται φίλτρο. Στην προηγούμενη πρόταση, πρέπει να τονιστεί το εξής όσον αφορά στην ορολογία: διέλευση συγκεκριμένων συχνοτήτων ενός σήματος σημαίνει ότι το κύκλωμα δεν επηρεάζει (ή επηρεάζει ελάχιστα) τα πλάτη των ημιτόνων με τις συγκεκριμένες συχνότητες. εξασθενεί ή αποκόπτει τις υπόλοιπες συχνότητες σημαίνει ότι το κύκλωμα εξασθενεί σημαντικά (ή και μηδενίζει) τα πλάτη των ημιτόνων στις συγκεκριμένες συχνότητες

23 Φίλτρα Εισαγωγή Σε ένα φίλτρο, το εύρος των συχνοτήτων που διέρχονται ανεπηρέαστες από αυτό (ή με πολύ μικρή εξασθένιση), αποτελούν τη ζώνη διέλευσης (passband). Το εύρος των συχνοτήτων που αποκόπτονται (ή εξασθενούν αρκετά) από το φίλτρο αποτελούν τη ζώνη φραγής (stopband). Συνήθως, ένα φίλτρο έχει κέρδος κοντά στη μονάδα (δηλαδή 0dB) στη ζώνη διέλευσης και κέρδος αρκετά μικρότεροαπότημονάδαστηζώνηφραγής. 45 Φίλτρα Εισαγωγή Η συνηθέστερη εφαρμογή ενός φίλτρου είναι να «καθαρίσει» ένα σήμα πληροφορίας από τον λεγόμενο ηλεκτρονικό θόρυβο, δηλαδή από ανεπιθύμητα σήματα που υπεισέρχονται στο αρχικό σήμα πληροφορίας. Στην περίπτωση αυτή, η ζώνη διέλευσης του φίλτρου θα πρέπει να περιλαμβάνει τις συχνότητες που περιέχει το αρχικό σήμα πληροφορίας, ενώ η ζώνη φραγής θα πρέπει να περιλαμβάνει τις συχνότητες που αντιστοιχούν στον θόρυβο. Για παράδειγμα, έστω ένα σήμα που περιλαμβάνει συχνότητες από 0,5Hz έως 150Ηz και στο σήμα υπάρχει ακόμα και θόρυβος γραμμής 50Hz που οφείλεται στο δίκτυο της ΔΕΗ. Επομένως, χρειάζεται ένα φίλτρο το οποίο να έχει ζώνη διέλευσης από 0,5Hz έως 49Ηz και από 51 Hz έως 150Ηz, και ζώνη φραγής από 49Hz έως 51Hz, ώστε να αφαιρεθεί ο θόρυβος

24 Φίλτρα Εισαγωγή Τα φίλτρα κατηγοριοποιούνται ως ακολούθως: Βαθυπερατά (Lowpass): επιτρέπεται η διέλευση σημάτων με συχνότητα μικρότερη από μία συχνότητα. Η συχνότητα συνήθως ονομάζεται συχνότητα αποκοπής (cutoff frequency) ή κρίσιμη συχνότητα (critical frequency) του φίλτρου. Η συχνότητα αποκοπής ορίζεται συνήθως ως η συχνότητα εκείνη στην οποία το κέρδος έχει πέσει 3dB (δηλ. το κέρδος έχει γίνει 0,707). Επομένως, για το κέρδος, ενός βαθυπερατού φίλτρου ισχύει ότι: 0dB, 3dB, 47 0dB, Υπενθυμίζεται ότι αρνητικά db σημαίνει κέρδος μικρότερο από 1. Το σύμβολο σημαίνει πολύ μικρότερο από. Φίλτρα Εισαγωγή Παράδειγμα βαθυπερατού φίλτρου με 1kHz

25 Φίλτρα Εισαγωγή Τα φίλτρα κατηγοριοποιούνται ως ακολούθως: Yψιπερατά (Highpass): επιτρέπεται η διέλευση σημάτων με συχνότητα μεγαλύτερη από μία συχνότητα. Όπως και στο βαθυπερατό φίλτρο, η συχνότητα ονομάζεται συχνότητα αποκοπής (cutoff frequency) ή κρίσιμη συχνότητα (critical frequency) και το κέρδος έχει πέσει 3dB σε αυτή. Επομένως, για το κέρδος, ενός υψιπερατού φίλτρου ισχύει ότι: 0dB, 3dB, 0dB, 49 Φίλτρα Εισαγωγή Παράδειγμα υψιπερατού φίλτρου με 1kHz

26 Φίλτρα Εισαγωγή Τα φίλτρα κατηγοριοποιούνται ως ακολούθως: Zωνοπερατά (Bandpass): επιτρέπεται η διέλευση σημάτων με συχνότητα που είναι σε ένα εύρος συχνοτήτων που ορίζεται από δύο συχνότητες αποκοπής, και, (,, ). Στις δύο συχνότητες αποκοπής το κέρδος έχει πέσει 3dB. Για το κέρδος, ενός ζωνοπερατού φίλτρου ισχύει ότι: 0dB,, 3dB,, 0dB,,, 3dB,, 0dB,, 51 Φίλτρα Εισαγωγή Παράδειγμα ζωνοπερατού φίλτρου με, 865Hz και, 4,36kHz

27 Φίλτρα Εισαγωγή Τα φίλτρα κατηγοριοποιούνται ως ακολούθως: Zωνοφρακτικά (Bandstop ή bandreject): αποκόπτεισήματαμε συχνότητα σε ένα εύρος συχνοτήτων που ορίζεται από δύο συχνότητες αποκοπής, και, (,, ). Στις δύο συχνότητες αποκοπής το κέρδος έχει πέσει 3dB. Για το κέρδος, ενός ζωνοφρακτικού φίλτρου ισχύει ότι: 0dB,, 3dB,, 0dB,,, 3dB,, 0dB,, 53 Φίλτρα Εισαγωγή Παράδειγμα ζωνοφρακτικού φίλτρου με, 865Hz και, 4,36kHz

28 Φίλτρα Συνάρτηση Μεταφοράς Ένα φίλτρο μπορεί να περιγραφτεί μαθηματικά πλήρως με χρήση δύο συναρτήσεων της συχνότητας : Τη συνάρτηση κέρδους που περιγράφει τον τρόπο που μεταβάλλεται το κέρδος του φίλτρου σε κάθε συχνότητα. Τη συνάρτηση φάσης που περιγράφει τη διαφορά φάσης μεταξύ σήματος εισόδου και σήματος εξόδου σε κάθε συχνότητα. Οι δύο αυτές συναρτήσεις απαρτίζουν τη συνάρτηση μεταφοράς (transfer function) ( ) τουφίλτρου,ηοποία είναι μία μιγαδική συνάρτηση: cos Φ sin Φ 55 Φίλτρα Συνάρτηση Μεταφοράς Για παράδειγμα, έστω ένα φίλτρο με συνάρτηση κέρδους και συνάρτηση φάσης Φ tan 100 Ας υποθέσουμε ότι το φίλτρο αυτό δέχεται ως είσοδο το σήμα: 5V sin 500 Η συχνότητα του σήματος εισόδου είναι: ,6Hz 56 28

29 Φίλτρα Συνάρτηση Μεταφοράς Το κέρδος του φίλτρου στη συχνότητα αυτή είναι: ,6 0,78 79,6 100 Η διαφορά φάσης που εισάγει το φίλτρο στη συχνότητα αυτή είναι: Φ 79,6 tan 79, ,5 Το σήμα εξόδου θα είναι: 0,78 5V sin ,5 3,9V sin ,5 57 Φίλτρα Συνάρτηση Μεταφοράς Κόκκινο: σήμα εισόδου Πράσινο: σήμα εξόδου Υπάρχει χρονική καθυστέρηση 1.326, που αντιστοιχεί σε διαφορά φάσης , , δηλ. περίπου όσο βρήκαμε μαθηματικά. 58 Χρονική καθυστέρηση 29

30 Φίλτρα Συνάρτηση Μεταφοράς Γενικά, εάν ένα φίλτρο δέχεται ως είσοδο ένα σήμα που είναι το άθροισμα πολλών ημιτόνων, τότε το σήμα εξόδου προκύπτει εφαρμόζοντας τη διαδικασία του παραδείγματος σε κάθε ημίτονο χωριστά και αθροίζοντας τα επιμέρους αποτελέσματα. Δηλαδή, εάν sin 2 sin 2 sin 2 τότε το σήμα εξόδου θα είναι: sin 2 Φ sin 2 Φ sin 2 Φ 59 30