Transcript

1 ΤΕΙ ΚΡΗΤΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΟΥΣΙΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΚΑΙ ΑΚΟΥΣΤΙΚΗΣ Ασκήσεις Εργαστηρίου Εισαγωγής στην Ακουστική Δημητρης Ζαχαριουδακης Ρέθυμνο 2011

2

3 Περιεχόμενα Βιβλιογραφία iv 1 Μετρήσεις Η έννοια της μέτρησης Σφάλματα μετρήσεων Σφάλματα στις άμεσες μετρήσεις Σφάλματα στις έμμεσες μετρήσεις Στρογγυλοποίηση αριθμών Σημαντικά ψηφία Σύγκριση δύο ποσοτήτων Άσκηση 1: Μέτρηση της συχνότητας στον παλμογράφο Μεθοδολογία της άσκησης Πείραμα Γραφικές παραστάσεις Η τεχνική των γραφικών παραστάσεων Άσκηση 2: Η γραφική παράσταση της ευθείας Μεθοδολογία της άσκησης Πείραμα Ηχητικοί σωλήνες Εισαγωγή Άσκηση 3:Τρόποι δόνησης κλειστού σωλήνα i

4 3.2.1 Μεθοδολογία της άσκησης Συνιστώσες της πειραματικής διάταξης Πείραμα Άσκηση 6: Καμπύλη συντονισμού ηχητικού σωλήνα Μεθοδολογία της άσκησης Συνιστώσες της πειραματικής διάταξης Πείραμα Άσκηση 7:Τρόποι δόνησης ανοιχτού σωλήνα Μεθοδολογία της άσκησης Συνιστώσες της πειραματικής διάταξης Πείραμα Χορδές Εισαγωγή Άσκηση 4:Τρόποι ταλάντωσης χορδής Ι Μεθοδολογία της άσκησης Συνιστώσες της πειραματικής διάταξης Πείραμα Άσκηση 8:Τρόποι ταλάντωσης χορδής ΙΙ Μεθοδολογία της άσκησης Συνιστώσες της πειραματικής διάταξης Πείραμα Σύνθεση Fourier Εισαγωγή Άσκηση 5: Σύνθεση Fourier με συνημίτονα Μεθοδολογία της άσκησης Συνιστώσες της πειραματικής διάταξης Πείραμα Άσκηση 9: Σύνθεση Fourier με ημίτονα Μεθοδολογία της άσκησης ii

5 5.3.2 Συνιστώσες της πειραματικής διάταξης Πείραμα Συμβολή και περίθλαση κυμάτων Εισαγωγή Συμβολή Περίθλαση Άσκηση 10:Συμβολή και περίθλαση κυμάτων Μεθοδολογία της άσκησης Συνιστώσες της πειραματικής διάταξης Πείραμα iii

6 Βιβλιογραφία [1] Raymond A. Serway, Physics for Scientists and Engineers (τόμος 3), Εκδόσεις Κορφιάτη, 1990 [2] Hugh D. Young, Φυσική (Τόμος Α), Εκδόσεις Παπαζήση, 1994 [3] D. Halliday, R. Resnik, Φυσική (Μέρος Α), Εκδόσεις Πνευματικού, 1976 [4] Δημήτρης Ζαχαριουδάκης Σημειώσεις Φυσικής Ακουστικής, Ρέθυμνο, 2006 iv

7 Κεφάλαιο 1 Μετρήσεις 1.1 Η έννοια της μέτρησης Για να εκτιμήσουμε ένα φυσικό μέγεθος πρέπει να μπορούμε να το μετρήσουμε. Μέτρηση είναι η σύγκριση ενός μεγέθους με ένα πρότυπο αναφοράς. Από τη σύγκριση αυτή προκύπτει η αριθμητική τιμή της μέτρησης, που υποδηλώνει πόσο μεγαλύτερο είναι το συγκρινόμενο μέγεθος από το πρότυπο αναφοράς και η μονάδα, που δηλώνει ποιό είναι το πρότυπο που χρησιμοποιήσαμε για τη σύγκριση. Ανάλογα με τον τρόπο που γίνεται η σύγκριση αυτή διακρίνουμε τις μετρήσεις σε άμεσες και έμμεσες. Μια μέτρηση είναι άμεση όταν η τιμή του μετρούμενου μεγέθους προκύπτει από μία και μόνο σύκριση με ένα συγκεκριμένο πρότυπο αναφοράς. Για παράδειγμα η μέτρηση του μήκους ενός δρόμου είναι άμεση αφού το μήκος αυτό είναι ίσο με τον αριθμό των διαδοχικών πρότυπων μέτρων που απαιτούνται για να καλυφθεί το διάστημα από την αρχή μέχρι το τέλος του δρόμου. Μια μέτρηση είναι έμμεση όταν η τιμή του μετρούμενου μεγέθους προκύπτει από τον αλγεβρικό συνδιασμό τιμών που έχουν προκύψει από άμεσες μετρήσεις. Για παράδειγμα η μέτρηση της ταχύτητας είναι έμμεση δεδομένου ότι για τον προσδιορισμό της πρέπει πρώτα να μετρήσουμε το χρόνο που απαιτείται για να διανύσει ένα κινητό κάποιο διάστημα και μετά το διάστημα αυτό. Το διάστημα και ο χρόνος μετρούνται με άμεσες μετρήσεις ενώ η ταχύτητα προκύπτει από το πηλίκο διάστημα διά χρόνος. Η μέτρηση συνοδεύεται πάντα από τη μονάδα της η οποία υποδηλώνει το πρότυπο μέγεθος με βάση το οποίο έγινε η εκτίμηση της μετρούμενης ποσότητας. Υπάρχουν πολλοί τρόποι να διαλέξουμε το πρότυπο αναφοράς ενός μεγέθους. Οπως υπάρχει και ένας βαθμός αυθαιρεσίας στην εκλογή των μεγεθών που θεωρούνται θεμελιώδη (με την έννοια ότι τα υπόλοιπα ορίζονται με βάση αυτά). Οταν όμως έχουμε εκλέξει τα θεμελιώδη μεγέθη και έχουμε καθορίσει μονάδες γι αυτά, έχουμε καθορίσει ένα 1

8 σύστημα μονάδων. Το πιο διαδεδομένο σύστημα μονάδων είναι το λεγόμενο διεθνές στο οποίο τα βασικά μεγέθη με τις μονάδες τους είναι το μέτρο (m) για το μήκος, το χιλιόγραμμο ή κιλό (kg) για τη μάζα και το δευτερόλεπτο (s) για το χρόνο. Από τα αρχικά των βασικών του μονάδων το διεθνές σύστημα λέγεται και MKS. Άλλο γνωστό σύστημα είναι το λεγόμενο CGS πάλι από τα αρχικά των βασικών του μονάδων, που είναι το εκατοστόμετρο (cm) για το μήκος, το γραμμάριο (g) για τη μάζα και το δευτερόλεπτο (s) για το χρόνο. Πολλές φορές για ευκολία γραφής της μέτρησης, μπροστά από τις μονάδες χρησιμοποιούμε προθέματα που τις μικραίνουν ή τις μεγαλώνουν. Ετσι αντί π.χ. να γράφουμε s γράφουμε 1 µs ή αντί για 1000 m γράφουμε 1 km. Τα πιο συνηθισμένα προθέματα είναι Πίνακας 1.1: Προθέματα μονάδων m (μίλι) 10 3 k (κίλο) 10 3 µ (μίκρο) 10 6 M (μέγα) 10 6 n (νάνο) 10 9 G (γίγα) Σφάλματα μετρήσεων Η μέτρηση ενός φυσικού μεγέθους έχει πάντα μια αβεβαιότητα. Η αριθμητική τιμή που παίρνουμε αποκλίνει πάντοτε από την πραγματική τιμή και η απόκλιση αυτή οφείλεται σε ανακρίβειες ή σφάλματα τα οποία είναι αναπόσπαστα συνδεδεμένα τόσο με τα μετρητικά όργανα όσο και με τον τρόπο χρήσης τους, αλλά και με τον παρατηρητή που κάνει τη μέτρηση. Αν εξαιρέσουμε λοιπόν τα σφάλματα απροσεξίας που μπορεί να γίνουν κατά τη μετρητική διαδικασία τα σφάλματα μιας μέτρησης διακρίνονται σε δυο κατηγορίες. α) Τα συστηματικά σφάλματα είναι αυτά που επηρεάζουν κατά τον ίδιο τρόπο μια πειραματική μέτρηση. Αυτό σημαίνει ότι η μετρούμενη τιμή αποκλίνει από την πραγματική κατά τον ίδιο τρόπο όσες φορές κι αν γίνει η μέτρηση με το ίδιο μετρητικό σύστημα. Τα συστηματικά σφάλματα οφείλονται σε ατέλειες των οργάνων μέτρησης ή κακό στήσιμο της πειραματικής διάταξης. β) Τα τυχαία ή στατιστικά σφάλματα είναι αυτά που οφείλονται σε α- καθόριστους παράγοντες οι οποίοι πάντοτε υπεισέρχονται στη διαδικασία μιας μέτρησης. Ακόμα κι αν εξαλείψουμε όλα τα συστηματικά σφάλματα με προσεκτικό στήσιμο της πειραματικής διάταξης και έλεγχο των οργάνων, τα τυχαία σφάλματα είναι αδύνατο να προβλεφθούν και να εξαλειφθούν. 2

9 1.2.1 Σφάλματα στις άμεσες μετρήσεις Σε μια μέτρηση της τιμής x ενός μεγέθους μας ενδιαφέρει να γνωρίζουμε πιο είναι το μέγιστο δυνατό σφάλμα x που υπεισέρχεται. Το σφάλμα αυτό καθορίζει την ακρίβεια της μέτρησης, το διάστημα δηλαδή μέσα στο οποίο είναι πιθανότερο να βρίσκεται η πραγματική τιμή A του μετρούμενου μεγέθους x x A x + x Στην περίπτωση μιας άμεσης μέτρησης το εύρος του μέγιστου δυνατού σφάλματος (x x, x + x) καθορίζεται από τη μικρότερη υποδιαίρεση της κλίμακας του οργάνου. Το πιο συνηθισμένο τυχαίο σφάλμα που γίνεται σε μια μέτρηση είναι αυτό που αφορά στην ανάγνωση της ένδειξης του οργάνου. Ας υποθέσουμε ότι με το χάρακα του σχήματος 1.1 θέλουμε να μετρήσουμε ένα δεδομένο μήκος Σχήμα 1.1: Μέτρηση μήκους με χάρακα Ανεξάρτητα από το γεγονός ότι το πιο πιθανό είναι το μετρούμενο μήκος να μην πέσει ακριβώς πάνω σε μια από τις υποδιαιρέσεις του οργάνου αλλά ανάμεσά τους, κάποιος μπορεί να εκτιμήσει ότι το ζητούμενο μήκος είναι πιο κοντά στο 2.6 και κάποιος άλλος, κοιτάζοντας από άλλη οπτική γωνία το χάρακα, ότι είναι πιο κοντά στο 2.65 ή και στο Το μόνο που μπορεί κάποιος να πει με βεβαιότητα είναι ότι 2.5 x 2.7 ή ισοδύναμα A = x ± x A = 2.6 ± 0.1 Βλέπουμε ότι το μέγιστο δυνατό σφάλμα ή η αβεβαιότητα της μέτρησης είναι x = 0.1 ίσο με την ελάχιστη υποδιαίρεση του οργάνου μέτρησης. Αυτό είναι το απόλυτο σφάλμα μιας άμεσης μέτρησης. Είναι προφανές από τον τρόπο ορισμού του ότι το απόλυτο σφάλμα μιας μέτρησης (άμεσης ή έμμεσης) έχει πάντα ένα μόνο μη μηδενικό ψηφίο! Στην περίπτωση που μας ζητείται να εκτιμήσουμε την ακρίβεια μιας μέτρησης χωρίς να ξέρουμε την ελάχιστη υποδιαίρεση του οργάνου με το οποίο έγινε, αυτή δίνεται από την δεκαδική ακρίβεια της τιμής της μέτρησης. Για παράδειγμα αν η τιμή της μέτρησης είναι 12.4 η ακρίβεια της μέτρησης (το απόλυτο σφάλμα) είναι 0.1, αν η τιμή είναι η ακρίβεια είναι 0.01 κ.τ.λ. 3

10 Από τις δύο παραπάνω μετρήσεις η δεύτερη είναι σαφώς ακριβέστερη. Τι γίνεται όμως όταν θέλουμε να συγκρίνουμε ως προς την ακρίβεια τις μετρήσεις δυο διαφορετικών μηκών, για παράδειγμα cm και cm ή ακόμα και δυο διαφορετικών μεγεθών. Εδώ το απόλυτο σφάλμα της μέτρησης δεν μας δίνει το μέτρο της ακρίβειας αφού τα μεγέθη που μετρήσαμε είναι διαφορετικά μεταξύ τους. Ποιά είναι ακριβέστερη μέτρηση λοιπόν, αυτή που έχει ακρίβεια εκατοστού στα 12 ή αυτή που έχει ακρίβεια δεκάτου στα 225; Για να μπορέσουμε να απαντήσουμε σε τέτοιες ερωτήσεις χρησιμοποιούμε το σχετικό σφάλμα σ = x x 100 (%) που εκφράζεται πάντοτε επί τοις εκατό. Για τα προηγούμενα μήκη τα σχετικά σφάλματα είναι 0.08% και 0.04% αντίστοιχα, άρα η δεύτερη μέτρηση αν και με μεγαλύτερο απόλυτο σφάλμα είναι ακριβέστερη της πρώτης. Από την άλλη αν δούμε μια μέτρηση γραμμένη σαν x = 45 cm ± 8%, αυτό σημαίνει πως x = 45 cm και x x = 0.08 x = cm = 3.6 cm Εδώ εφαρμόζουμε τον κανόνα που λέει πως το απόλυτο σφάλμα έχει ένα μόνο μη μηδενικό ψηφίο και παίρνουμε x = 4 cm. Άρα x = 45 ± 4 cm Σφάλματα στις έμμεσες μετρήσεις Στις έμμεσες μετρήσεις ο υπολογισμός των σφαλμάτων γίνεται ως εξής α) Στην πρόσθεση (ή στην αφαίρεση) το ολικό απόλυτο σφάλμα προκύπτει από την πρόσθεση των επιμέρους απολύτων σφαλμάτων. (A ± B) = A + B Παράδειγμα: Για να μετρήσουμε το μήκος ενός δωματίου έχουμε στη διάθεσή μας μια κορδέλα μήκους 4 m, ένα χάρακα μήκους 1 m και ένα χάρακα μήκους 50 cm όλα με ακρίβεια ενός χιλιοστού. Με ποιό από τα παραπάνω όργανα θα πάρουμε πιο ακριβή μέτρηση ; Μετράμε με την κορδέλα και παίρνουμε L = ± m Με το χάρακα θα χρειαστεί να πάρουμε τρεις μετρήσεις l 1 = ± m, l 2 = ± m και l 3 = ± m οπότε το ολικό μήκος είναι L = (l 1 + l 2 + l 3 ) ± ( l 1 + l 2 + l 3 ) = ± m 4

11 Με τον ίδιο τρόπο με το μικρό χάρακα θα χρειαστούμε 6 μετρήσεις που ακόμα κι αν τις κάνουμε πολύ προσεκτικά θα πάρουμε L = ± m Συμπεραίνουμε λοιπόν ότι αν μπορούμε κάτι να το μετρήσουμε μια κι έξω τότε κάνουμε το μικρότερο σφάλμα στη μέτρηση! β) Στον πολλαπλασιασμό (ή στη διαίρεση) το ολικό σχετικό σφάλμα προκύπτει από το άθροισμα των επιμέρους σχετικών σφαλμάτων (A B) A B = A A + B B Κατόπιν το απόλυτο σφάλμα προκύπτει εύκολα με ένα ακόμη πολλαπλασιασμό (A B) = ( A A + B ) (A B) B Παράδειγμα: Οι πλευρές ενός ορθογωνίου μετρήθηκαν a = 10.5 ± 0.1 cm και b = 4.8 ± 0.1 cm. Ποιά μέτρηση είναι πιο ακριβής; Υπολογίστε το εμβαδό E = a b του ορθογωνίου και το απόλυτο σφάλμα του και γράψτε το στη μορφή E ± E. E E E = = 50.4 cm 2 = a a + b b = = E = E = 1.53 = 2 cm 2 (Στο τελευταίο βήμα του υπολογισμού του απολύτου σφάλματος εφαρμόσαμε πάλι τον κανόνα πως αυτό πρέπει να έχει ένα μόνο μη μηδενικό ψηφίο). Άρα E = 50 ± 2 cm 2 και ακριβέστερη μέτρηση είναι αυτή της a πλευράς. Παράδειγμα (δυνάμεις): Οι δυνάμεις είναι ένας έυκολος τρόπος να εκφράζουμε γινόμενα του ίδιου αριθμού, π.χ. A 3 = A A A. Οπότε για τον υπολογισμό σφαλμάτων σε παραστάσεις που έχουν δύναμη ισχύει ότι ισχύει για τα γινόμενα. Ετσι A n A n = n A A και μια και η τετραγωνική ρίζα είναι κι αυτή δύναμη ( A = A 1 2 ) A = 1 A A 2 A 5

12 1.3 Στρογγυλοποίηση αριθμών Οπως είδαμε το απόλυτο σφάλμα μιας μέτρησης (άμεσης ή έμμεσης) έχει πάντα ένα μόνο μη μηδενικό ψηφίο. Είναι αναγκαία λοιπόν η στρογγυλοποίηση των αριθμών που προκύπτουν από τις πράξεις. Για το σκοπό αυτό ακολουθούμε τον παρακάτω κανόνα Αν το πρώτο από τα ψηφία που θέλουμε να διώξουμε από τον αριθμό είναι μεγαλύτερο ή ίσο από το 5, τότε το προηγούμενό του ψηφίο αυξάνεται κατά 1 διαφορετικά παραμένει το ίδιο. Ετσι προηγουμένως που θέλαμε να στρογγυλοποιήσουμε σε ένα ψηφίο το 3.6 γράψαμε Το ίδιο για να στρογγυλοποιήσουμε το 1.53 σε ένα ψηφίο γράψαμε , ενώ αν θέλαμε να το στρογγυλοποιήσουμε σε δύο ψηφία θα γράφαμε Σημαντικά ψηφία Τι γίνεται όμως στις περιπτώσεις (και αυτές είναι οι περισσότερες ευτυχώς) που δεν κάνουμε υπολογισμό σφαλμάτων; Οπως έχουμε δει ο αριθμός των ψηφίων της τιμής μιας μέτρησης υποδηλώνει κατά κάποιο τρόπο και την ακρίβεια της μέτρησης, δηλαδή όσο περισσότερα δεκαδικά έχει μια μέτρηση τόσο καλύτερη ακρίβεια έχει. Γι αυτό και τα ψηφία που απαρτίζουν την αριθμητική τιμή ενός μετρούμενου μεγέθους ονομάζονται σημαντικά ψηφία. Σημαντικά ψηφία είναι όλα τα μη μηδενικά ψηφία ενός αριθμού και τα μηδενικά κάτω από τις παρακάτω δυο προϋποθέσεις 1. Να βρίσκονται μεταξύ μη μηδενικών ψηφίων 2. Ο αριθμός να είναι δεκαδικός και τα μηδενικά να βρίσκονται δεξιά από το τελευταίο μη μηδενικό ψηφίο Αντίθετα στις παρακάτω περιπτώσεις τα μηδενικά δεν είναι σημαντικά ψηφία 1. Ο αριθμός είναι ακέραιος και τα μηδενικά βρίσκονται δεξιά από το τελευταίο μη μηδενικό ψηφίο 2. Ο αριθμός είναι δεκαδικός και τα μηδενικά βρίσκονται αριστερά από το πρώτο μη μηδενικό ψηφίο Για την κατανόηση των παραπάνω κανόνων δίνουμε τα παρακάτω παραδείγματα 1. Αριθμοί με ένα σημαντικό ψηφίο 0.006, 0.02, 0.5, 5, 50,

13 2. Αριθμοί με δύο σημαντικά ψηφία , 2.0, 3.5, 1500, Αριθμοί με τρία σημαντικά ψηφία , 0.508, 5.00, 205, Τα μηδενικά στο τέλος ενός ακέραιου αριθμού όπως είπαμε δεν είναι σημαντικά ψηφία άρα δεν έχει κανένα νόημα να τα γράφουμε ιδίως όταν είναι πολλά. Είναι προτιμότερο να χρησιμοποιούμε τη γραφή με δυνάμεις του 10. Ετσι οι τελευταίοι αριθμοί κάθε περίπτωσης μπορούν να γραφούν , = , = Αν ένας αριθμός προέκυψε από αλγεβρική πράξη μεταξύ δυο άλλων τότε τα σωστά ψηφία του αριθμού βρίσκονται ως εξής Πρόσθεση και αφαίρεση Τα δεκαδικά ψηφία του αριθμού που προκύπτει δεν πρέπει να ξεπερνούν αυτά του αριθμού με τα λιγότερα δεκαδικά ψηφία που παίρνει μέρος στην πράξη. π.χ. Πολλαπλασιασμός και διαίρεση = Τα σημαντικά ψηφία του αριθμού που προκύπτει δεν πρέπει να ξεπερνούν αυτά του αριθμού με τα λιγότερα σημαντικά ψηφία που παίρνει μέρος στην πράξη. π.χ = Σύγκριση δύο ποσοτήτων Αφού υπολογίσουμε πειραματικά την τιμή A μιας φυσικής ποσότητας, μας ενδιαφέρει να δούμε πόσο κοντά πέσαμε στην ήδη γνωστή από τη θεωρία τιμή της A θ. Αν έχουμε υπολογίσει το σφάλμα τότε έχουμε επιτύχει αν η θεωρητική τιμή πέφτει μέσα στο διάστημα A A, A + A. Αν όμως δεν έχουμε υπολογίσει το σφάλμα, μια γρήγορη εκτίμηση του πόσο κοντά στη γνωστή τιμή πέσαμε γίνεται υπολογίζοντας την επί τοις εκατό διαφορά των δύο τιμών A A θ A θ 100 (%) Η απόλυτη τιμή στον αριθμητή υποδηλώνει πως δε μας ενδιαφέρει η σειρά στην αφαίρεση. Το σημαντικό επίσης είναι πως στον παρονομαστή μπαίνει πάντοτε η θεωρητική τιμή. 7

14 1.6 Άσκηση 1: Μέτρηση της συχνότητας στον παλμογράφο Μεθοδολογία της άσκησης Η συχνότητα f σε ένα περιοδικό φαινόμενο είναι το πηλίκο των επαναλήψεων N που συμβαίνουν σε χρόνο t διά το χρόνο αυτό f = N t Αν στη θέση του χρόνου βάλουμε την περίοδο T, το χρόνο δηλαδή μιας επανάληψης, τότε προφανώς f = 1 T Στην άσκηση αυτή θα υπολογίσουμε τη συχνότητα ενός περιοδικού αρμονικού παλμού, μετρώντας την περίοδό του στην οθόνη ενός παλμογράφου. Για το σκοπό αυτό θα χρειαστούμε 1. Παλμογράφο 2. Γεννήτρια συχνοτήτων Πείραμα 1. Ρυθμίστε τη συχνότητα στη γεννήτρια συχνοτήτων στα 440 Hz. Ο παλμός στην οθόνη του παλμογράφου πρέπει να φαίνεται όπως στο παρακάτω σχήμα (Φροντίστε δηλαδή παίζοντας με το κουμπί της κλίμακας του χρόνου ο παλμός να έχει δυο κορυφές και όχι περισσότερες. Τότε η ακρίβεια των μετρήσεών μας είναι η καλύτερη!) T Σχήμα 1.2: Απεικόνιση αρμονικού παλμού στην οθόνη του παλμογράφου 8

15 2. Μετρήστε την απόσταση από κορφή σε κορφή πάνω στην οθόνη του παλμογράφου d = cm 3. Σημειώστε την ένδειξη της κλίμακας που μας λέει πόσος χρόνος αντιστοιχεί σε κάθε εκατοστό στην οθόνη του παλμογράφου t k = s/cm 4. Υπολογίστε την περίοδο του παλμού (2 μονάδες) T = d t k = s 5. Το σφάλμα στη μέτρηση αυτή είναι ίσο με τη μικρότερη υποδιαίρεση του μήκους στην οθόνη του παλμογράφου επί την ένδειξη της κλίμακας. Πόσο είναι το σφάλμα στη μέτρησή σας; (2 μονάδες) T = s 6. Γράψτε την περίοδο που μετρήσατε μαζί με το σφάλμα της (1 μονάδα) 7. Υπολογίστε τη συχνότητα (1 μονάδα) T ± T = ± s f = 1 T = Hz 8. Για τον υπολογισμό της συχνότητας κάνουμε διαίρεση, άρα το σχετικό σφάλμα στον υπολογισμό της συχνότητας είναι (η μονάδα του αριθμητή δεν έχει σφάλμα!) f f = T T Υπολογίστε λοιπόν το απόλυτο σφάλμα της συχνότητας (2 μονάδες) f = Hz 9. Γράψτε τη συχνότητα που μετρήσατε μαζί με το σφάλμα της (1 μονάδα) f ± f = ± Hz 9

16 10. Η τιμή της συχνότητας που δίνει η γεννήτρια (αυτή είναι η θεωρητική τιμή) είναι f = 440 Hz Βρίσκεται η τιμή αυτή μέσα στο διάστημα (f f, f + f) που υπολογίσατε παραπάνω; Συγκρίνετε τη θεωρητική τιμή της συχνότητας με την πειραματική που βρήκατε, υπολογίζοντας την επί τοις εκατό διαφορά των δύο τιμών. (1 μονάδα) f f f 100 = % 10

17 Κεφάλαιο 2 Γραφικές παραστάσεις 2.1 Η τεχνική των γραφικών παραστάσεων Κατά την πειραματική διαδικασία πολλές φορές μεταβάλλουμε την τιμή ενός μεγέθους και υπολογίζουμε την αντίστοιχη μεταβολή που προκαλείται σε ένα άλλο. Η παρουσίαση των τιμών των δύο μεγεθών σε πίνακες δεν βοηθάει να καταλάβουμε με μια ματιά τον τρόπο που η μεταβολή του πρώτου επηρεάζει το δεύτερο. Αυτό γίνεται ευκολότερα αν αποτυπώσουμε στο χαρτί τα ζεύγη των τιμών και τα ενώσουμε με μια γραμμή. Αν με x συμβολίσουμε το μέγεθος που μεταβάλλεται ανεξάρτητα και με y αυτό που μεταβάλλεται εξ αιτίας της μεταβολής του πρώτου είναι λογικό να υποθέσουμε ότι υπάρχει μια συναρτησιακή σχέση που συνδέει τις δυο αυτές μεταβολές. Η απεικόνιση αυτής της σχέσης στο χαρτί αποτελεί τη γραφική παράσταση της συνάρτησης y = f(x). Με άλλα λόγια η γραφική παράσταση αποτελεί την οπτική παρουσίαση του τρόπου εξάρτησης του αιτιατού από το αίτιο σε ένα φυσικό φαινόμενο. Οι γραφικές παραστάσεις που θα κάνουμε στις ασκήσεις του εργαστηρίου θα γίνονται πάντοτε σε χιλιοστομετρικό χαρτί με βάση τις παρακάτω οδηγίες 1. Οργάνωση των μετρήσεων Πριν ξεκινήσουμε τη γραφική παράσταση πρέπει να έχουμε ξεκαθαρίσει ποιό από τα μεγέθη θα αποτελεί την ανεξάρτητη και ποιό την εξαρτημένη μεταβλητή. Οι τιμές των μεγεθών θα πρέπει να βρίσκονται σε πίνακα διατεταγμένες ως προς την ανεξάρτητη μεταβλητή από την μικρότερη προς τη μεγαλύτερη τιμή της και όχι ανακατεμένες. 2. Χάραξη των αξόνων Οι άξονες των συντεταγμένων στο επίπεδο του χαρτιού πρέπει να είναι κάθετοι μεταξύ τους. Στον οριζόντιο άξονα μετράμε τις τιμές της ανεξάρτητης 11

18 μεταβλητής και στον κάθετο αυτές της εξαρτημένης. Το σημείο τομής τους πρέπει να βρίσκεται σε τέτοια θέση στο χαρτί που να επιτρέπει την αποτύπωση στο επίπεδο των αξόνων όλων των ζευγών των τιμών. Στα άκρα των αξόνων πρέπει να υπάρχουν τα σύμβολα των μεταβλητών μαζί με τις μονάδες τους. 3. Επιλογή της κλίμακας Μια επιτυχημένη γραφική παράσταση πρέπει να καλύπτει τη μισή τουλάχιστο σελίδα του χιλιοστομετρικού χαρτιού. Η βαθμονόμηση του κάθε άξονα ( η αντιστοίχηση δηλαδή των εκατοστών του χιλιοστομετρικού χαρτιού σε τιμές της μεταβλητής που αντιπροσωπεύει ο συγκεκριμένος άξονας) πρέπει να είναι τέτοια ώστε τα ζεύγη των τιμών να καλύψουν όλο το διαθέσιμο στο χαρτί χώρο. Δεν πρέπει ούτε να στριμωχτούν σε μια μικρή περιοχή του χαρτιού, ούτε φυσικά να πέσουν έξω από το χαρτί. Ετσι αν οι τιμές που έχουμε σε ένα άξονα είναι από x min έως x max και τα διαθέσιμα κουτάκια στον άξονα αυτό είναι N τότε η τιμή που θα δώσουμε στο κάθε κουτάκι είναι x max x min. N Φυσικά αν η προηγούμενη τιμή δεν είναι ακέραια (πράγμα που είναι και το πιο πιθανό!) στρογγυλοποιείται σε ένα από τους αριθμούς 1,2,3,4,5 και τα πολλαπλάσιά ή υποπολλαπλάσιά τους με δυνάμεις του 10 (δηλαδή 10,20,30 40,50, κ.τ.λ ή 0.1,0.2,0.3,0.4,0.5,...). Η αρχή κάθε άξονα δεν είναι ανάγκη να είναι το 0, μπορεί να είναι και η κοντινότερη στον x min υποδιαίρεση της κλίμακας. Σε κάθε άξονα σημειώνονται μόνο οι υποδιαιρέσεις της κλίμακας και όχι οι τιμές των προς αναπαράσταση ζευγών. 4. Χάραξη της καμπύλης Αφού αποτυπώσουμε στο επίπεδο των αξόνων του χαρτιού όλα τα ζεύγη των τιμών η γραφική παράσταση ολοκληρώνεται με τη χάραξη της συνεχούς γραμμής η οποία θα προσεγγίζει καλύτερα τα πειραματικά σημεία. Η καμπύλη πρέπει να είναι όσο το δυνατόν ομαλή (όχι τεθλασμένη) και δεν είναι ανάγκη να περνά ακριβώς από όλα τα σημεία αλλά να τα κατανέμει συμμετρικά ως προς αυτή. 2.2 Άσκηση 2: Η γραφική παράσταση της ευθείας Μεθοδολογία της άσκησης Η ευθεία είναι η απλούστερη καμπύλη. Η μαθηματική σχέση που εκφράζει την εξίσωση της ευθείας είναι η y = ax + β (2.1) 12

19 όπου a είναι η κλίση της ευθείας (δηλαδή η εφαπτομένη της γωνίας που σχηματίζει η ευθεία με τον x άξονα) και β η τεταγμένη της ευθείας, το σημείο δηλαδή στο οποίο τέμνει η ευθεία τον y άξονα. y y=ax+ β A y β Γ θ x B 0 x Σχήμα 2.1: Γραφική παράσταση ευθείας Οι περισσότερες γραφικές παραστάσεις που θα χρειαστεί να κάνουμε στις ασκήσεις του εργαστηρίου θα είναι ευθείες. Από τις παραμέτρους της ευθείας a και β υπολογίζουμε συνήθως διάφορα μεγέθη της άσκησης άρα είναι χρήσιμο να ξέρουμε να βρίσκουμε τις παραμέτρους αυτές όταν έχουμε σχεδιάσει την ευθεία πάνω στο χιλιοστομετρικό χαρτί. Αυτό μπορεί να γίνει με δυο τρόπους Εμπειρικός υπολογισμός Αφού αποτυπώσουμε στο χαρτί όλα τα ζεύγη των πειραματικών τιμών θα παρατηρήσουμε ότι, αν και η σχέση που τα συνδέει είναι γραμμική, αυτά δεν θα πέφτουν ακριβώς πάνω σε μια ευθεία επειδή το πειραματικό σφάλμα στις μετρήσεις αντανακλάται σε μια αβεβαιότητα στη θέση κάθε σημείου πάνω στο χαρτί. Άρα υπάρχουν πάρα πολλές ευθείες που μπορούν να τα προσεγγίσουν. Εκτιμάμε με το μάτι ποιά είναι η καλύτερη (αυτή που κατανέμει πιο συμμετρικά τα σημεία ως προς τον εαυτό της) και τη χαράζουμε. Η τομή της με τον y άξονα είναι η τεταγμένη β ενώ για τον υπολογισμό της κλίσης (εφαπτομένη της γωνίας θ) αρκεί να πάρουμε ένα ορθογώνιο τρίγωνο όπως αυτό που φαίνεται στο σχήμα 2.1, να μετρήσουμε τις κάθετες πλευρές του και να διαιρέσουμε την απέναντι στη γωνία θ κάθετη με την προσκείμενη a = tan θ a = y x = AB BΓ (2.2) Παρατηρούμε ότι η κλίση που υπολογίσαμε με τον παραπάνω τρόπο έχει διαστάσεις (μονάδες δηλαδή), αφού οι ποσότητες που διαιρούμε για τον υπολογισμό της έχουν κι αυτές διαστάσεις, αυτές του κάθε άξονα! Θεωρητικός υπολογισμός 13

20 Από όλες τις δυνατές ευθείες που μπορούν να προσεγγίσουν τα πειραματικά σημεία μία μόνο έχει την ιδιότητα να ελαχιστοποιεί το άθροισμα των τετραγώνων των κατακόρυφων αποκλίσεων των σημείων από αυτή (άρα τα κατανέμει πιο συμμετρικά από όλες τις άλλες). Η ευθεία αυτή λέγεται ευθεία των ελαχίστων τετραγώνων και ο προσδιορισμός της είναι καθαρά αλγεβρικός. Σε ένα πίνακα (όπως στον 2.1 παρακάτω) καταχωρούμε τις τιμές της ανεξάρτητης μεταβλητής x i, της εξαρτημένης y i, τα γινόμενά τους x i y i και τα τετράγωνα x 2 i. Πίνακας 2.1: Ο πίνακας ελαχίστων τετραγώνων x i y i x i y i x 2 i x 1 y 1 x 1 y 1 x 2 1 x 2 y 2 x 2 y 2 x 2 2 x 3 y 3 x 3 y 3 x x N y N x N y N x 2 N xi yi xi y i x 2 i Στην τελευταία γραμμή του πίνακα καταχωρούμε το άθροισμα των στοιχείων κάθε στήλης. Τα αθροίσματα αυτά θα τα χρησιμοποιήσουμε στον υπολογισμό της κλίσης που δίνεται από την εξίσωση (N είναι ο αριθμός των τιμών) ενώ η τεταγμένη υπολογίζεται από τη a = N N i=1 x iy i N i=1 x N i i=1 y i N N i=1 x2 i ( N i=1 x (2.3) i) 2 β = y ax (2.4) όπου x και y οι μέσες τιμές των αντίστοιχων ποσοτήτων και a η κλίση που υπολογίσαμε με την (2.3) παραπάνω. Για να χαράξουμε στο χαρτί την ευθεία που προσδιορίσαμε αλγεβρικά χρειαζόμαστε δυο οποιαδήποτε σημεία της. Το ένα το βρήκαμε ήδη και είναι η τεταγμένη β, η τομή της ευθείας με τον y άξονα. Το δεύτερο μπορεί να είναι η τομή με τον x άξονα (τετμημένη) που υπολογίζεται θέτοντας y = 0 x = β a Αλλά και δυο οποιαδήποτε τιμές x 1, x 2 του x άξονα μαζί με τις τιμές y 1 = ax 1 + β, y 2 = ax 2 + β στον y άξονα μπορούν να δώσουν τα ζητούμενα σημεία στο επίπεδο (x 1, y 1 ), (x 2, y 2 ) για τη χάραξη της ευθείας. 14

21 2.2.2 Πείραμα 1. Οι τιμές του πίνακα 2.2 περιγράφουν ένα μέγεθος που μεταβάλλεται γραμμικά ως προς ένα άλλο. Κάντε τη γραφική απεικόνιση του μεγέθους στη δεύτερη στήλη (f y) ως προς το μέγεθος στην πρώτη στήλη (L 1 x). (4 μονάδες) Πίνακας 2.2: Πίνακας μετρήσεων L 1 (m 1 ) f (Hz) Είναι τα σημεία της γραφικής παράστασης διατεταγμένα σε ευθεία γραμμή όπως θα έπρεπε λόγω της γραμμικής εξάρτησης; Αν ναι φέρετε την ευθεία που τα προσεγγίζει και υπολογίστε την κλίση της (1 μονάδα) a = Τι μονάδα μέτρησης έχει η κλίση που βρήκατε; 3. Αφού συμπληρώσετε τον παρακάτω πίνακα ελαχίστων τετραγώνων Πίνακας 2.3: Πίνακας ελαχίστων τετραγώνων x i y i x i y i x 2 i χρησιμοποιήστε τα αθροίσματα στην τελευταία του γραμμή για να υπολογίσετε τη θεωρητική κλίση (2 μονάδες) a = N N i=1 x iy i N i=1 x N i i=1 y i N N i=1 x2 i ( N i=1 x = i) 2 15

22 και την τεταγμένη της ευθείας (1 μονάδα) β = y a x = Υπολογίστε την επι τοις εκατό διαφορά των δύο κλίσεων που υπολογίσατε πρακτικά και θεωρητικά (1 μονάδα). a a a 100 = % 5. Σχεδιάστε την ευθεία που προκύπτει από τη μέθοδο των ελαχίστων τετραγώνων. Για το σκοπό αυτό θα χρειαστείτε δύο τυχαία σημεία (όχι πολύ κοντά μεταξύ τους) του x άξονα. Πάρτε για παράδειγμα x 1 = 1.5 που δίνει και x 2 = 2.0 που δίνει y 1 = a x 1 + β = y 2 = a x 2 + β = Αποτυπώστε τα ζεύγη (x 1, y 1 ) και (x 2, y 2 ) στο χαρτί της γραφικής παράστασης που έχετε ήδη κάνει και ενώστε τα με μια ευθεία. (1 μονάδα) Αυτή είναι η θεωρητική ευθεία των ελαχίστων τετραγώνων! Διαφέρει πολύ από αυτή που είχατε σχεδιάσει εμπειρικά προηγουμένως; 16

23 Κεφάλαιο 3 Ηχητικοί σωλήνες 3.1 Εισαγωγή Σε κλειστό και από τις δυο μεριές σωλήνα μπορούμε να δημιουργήσουμε στάσιμα κύματα. Στα άκρα του σωλήνα τα μόρια του αέρα δεν μπορούν να κινηθούν οπότε έχουμε δεσμούς μετατόπισης. Άρα κατά μήκος του σωλήνα σχηματίζεται ακέραιος αριθμός ημιμηκών κύματος. L = n λ 2 n = 1, 2, 3,... (3.1) Αν λύσουμε ως προς τη συχνότητα τη σχέση που συνδέει την ταχύτητα του ήχου με τη συχνότητα και το μήκος κύματος c = λf (3.2) και αντικαταστήσουμε σ αυτή το μήκος κύματος από την (3.1) παίρνουμε f n = n c n = 1, 2, 3,... (3.3) 2L Οι συχνότητες που ορίζονται από την παραπάνω λέγονται συχνότητες συντονισμού ή ιδιοσυχνότητες του κλειστού και από τις δυο μεριές ηχητικού σωλήνα 1 και η ένταση του ηχητικού κύματος είναι μεγαλύτερη σ αυτές. Η συχνότητα f 1 λέγεται θεμελιώδης ενώ οι επόμενες λέγονται ανώτερες αρμονικές. Στάσιμα κύματα μπορούν να δημιουργηθούν και σε ανοικτό από τη μια μεριά σωλήνα. Στο ανοικτό άκρο του σωλήνα τα μόρια του αέρα κινούνται ελεύθερα οπότε έχουμε κοιλία μετατόπισης. Άρα κατά μήκος του σωλήνα σχηματίζεται περιττός αριθμός τετάρτων μηκών κύματος L = (2n 1) λ 4 n = 1, 2, 3,... (3.4) 1 Τις ίδιες ακριβώς συχνότητες έχει και ένας ανοιχτός και από τις δυο μεριές σωλήνας. 17

24 Αν λύσουμε πάλι ως προς τη συχνότητα τη σχέση (3.2) και αντικαταστήσουμε σ αυτή το μήκος κύματος από την (3.4) παίρνουμε f n = (2n 1) c n = 1, 2, 3,... (3.5) 4L που μας δίνει τις συχνότητες συντονισμού του ανοικτού από τη μια μεριά σωλήνα. 3.2 Άσκηση 3:Τρόποι δόνησης κλειστού σωλήνα Μεθοδολογία της άσκησης Θεωρούμε ένα κλειστό και στα δύο άκρα του ηχητικό σωλήνα ο οποίος στο ένα άκρο έχει μεγάφωνο που τροφοδοτείται από μεταβαλλόμενη ηλεκτρική τάση συχνότητας f και παράγει ήχο της ίδιας συχνότητας και στο άλλο άκρο έχει έμβολο που μπορεί να μετακινείται μεταβάλλοντας το μήκος του σωλήνα. Το ηχητικό κύμα που παράγεται από το μεγάφωνο ανακλάται στο έμβολο και το προσπίπτον με το ανακλώμενο κύμα συμβάλουν δίνοντας ένα στάσιμο κύμα. Αν σε κάποιο άκρο του σωλήνα προσαρμόσουμε και ένα μικρόφωνο συνδεδεμένο με παλμογράφο μπορούμε να βλέπουμε για δεδομένο μήκος του σωλήνα σε ποιά συχνότητα το σήμα στον παλμογράφο γίνεται μέγιστο. Η συχνότητα για την οποία συμβαίνει αυτό θα είναι μια από τις συχνότητες συντονισμού, αφού γνωρίζουμε ότι το πλάτος του στάσιμου κύματος γίνεται μέγιστο όταν ο σωλήνας ταλαντώνεται σε μια από αυτές. Εδώ πρέπει να σημειώσουμε ότι τα ηχητικά κύματα θεωρούμενα σαν κύματα μεταβολής πίεσης βρίσκονται σε διαφορά φάσης 90 με τα κύματα μετατόπισης. Άρα οι δεσμοί μετατόπισης αντιστοιχούν σε κοιλίες πίεσης και οι κοιλίες μετατόπισης σε δεσμούς πίεσης. Στο κλειστό άκρο λοιπόν του σωλήνα όπου η μετατόπιση είναι μηδενική (δεσμός μετατόπισης) η πίεση είναι μέγιστη (κοιλία πίεσης). Γι αυτό το μικρόφωνο που είναι ευαίσθητο σε μεταβολές πίεσης τοποθετείται σε κλειστό άκρο. Στο σχήμα 3.1 παρουσιάζονται οι τρεις πρώτοι τρόποι δόνησης ως προς τη μεταβολή της πίεσης, του κλειστού και από τις δυο μεριές σωλήνα. Σημειώστε ότι η μόνη διαφορά με τον ανοιχτό και από τις δυο μεριές σωλήνα είναι η εναλλαγή δεσμών και κοιλιών, δηλαδή στα ανοιχτά άκρα έχουμε πάντα δεσμούς πίεσης. Οι συχνότητες συντονισμού του σωλήνα είναι πολλαπλάσια της θεμελιώδους f n = nf 1 n = 1, 2, 3... όπου f 1 = c 2L 18

25 n=1 n=2 n=3 Σχήμα 3.1: Μεταβολή της πίεσης στους τρόπους δόνησης κλειστού-κλειστού σωλήνα Μετρώντας λοιπόν τις συχνότητες συντονισμού για δεδομένο μήκος σωλήνα μπορούμε να διαπιστώσουμε τη σχέση τους με τη θεμελιώδη που προβλέπει η θεωρία. Η εξάρτηση των συχνοτήτων συντονισμού από το μήκος του σωλήνα υποδηλώνει πως η γραφική παράσταση μιας οποιασδήποτε συχνότητας συντονισμού (f n y) συναρτήσει του αντιστρόφου μήκους του σωλήνα ( 1 x) θα είναι ευθεία με κλίση L a n = n c 2 Μεταβάλλοντας λοιπόν το μήκος του σωλήνα με τη μετακίνηση του εμβόλου και μετρώντας κάθε φορά κάποια συχνότητα συντονισμού μπορούμε με μια απλή γραφική παράσταση να διαπιστώσουμε τη γραμμική εξάρτηση της συγκεκριμένης συχνότητας από το μήκος και να υπολογίσουμε την ταχύτητα του ήχου μέσα στο σωλήνα Συνιστώσες της πειραματικής διάταξης Για την πραγματοποίηση της άσκησης απαιτούνται τα εξής 1. Ενας κλειστός ηχητικός σωλήνας με έμβολο. 2. Γεννήτρια συχνοτήτων. 3. Παλμογράφος. 4. Μεγάφωνο προσαρμοσμένο στο άκρο του σωλήνα. 19

26 5. Μικρόφωνο με ειδικό ενισχυτή συνδεμένο με τον παλμογράφο Πείραμα 1. Να υπολογίσετε τις τιμές που δίνει η θεωρία για την θεμελιώδη συχνότητα συντονισμού f 1 = c 2L για όλα τα μήκη L του σωλήνα που έχετε στον πίνακα των μετρήσεων και να τις καταγράψετε στη δεύτερη στήλη του πίνακα. (Πάρτε c = 340 m/s και μην κρατήσετε δεκαδικά ψηφία) (1 μονάδα) 2. Υπολογίστε το αντίστροφο κάθε μήκους του σωλήνα και καταγράψτε το στην τρίτη στήλη του πίνακα των μετρήσεων (κρατήστε ένα μόνο δεκαδικό ψηφίο). 3. Να θέσετε σε λειτουργία τη γεννήτρια συχνοτήτων, τον παλμογράφο και τον ενισχυτή του μικροφώνου. Βεβαιωθείτε ότι ο σωλήνας είναι κλειστός στο άκρο όπου βρίσκεται το μεγάφωνο. Ρυθμίσετε τη γεννήτρια να παράγει ημιτονοειδή μορφή κύματος και τον παλμογράφο στην υποδιαίρεση 10 mv/div για την τάση και 1 ms/div για τον χρόνο. 4. Θέσετε το έμβολο σε απόσταση 62.5 cm από το άκρο του σωλήνα με το μεγάφωνο. Ρυθμίστε τη συχνότητα στη γεννήτρια κοντά στη θεωρητική τιμή της θεμελιώδους συχνότητας. Αυξομειώστε αργά τη συχνότητα μέχρι να παρατηρήσετε στον παλμογράφο (αλλά και να ακούσετε) τον πρώτο συντονισμό. Καταγράψτε τη συχνότητα στην οποία συμβαίνει στην τέταρτη στήλη του πίνακα των μετρήσεων. Πίνακας 3.1: Πίνακας μετρήσεων L (m) f 1 (Hz) 1 L (m 1 ) f 1 (Hz) f 2 (Hz) f 3 (Hz) f 2 f 1 f 3 f 1 5. Συνεχίστε να αυξάνετε την συχνότητα του παραγόμενου από τη γεννήτρια ήχου μέχρι να παρατηρήσετε τον επόμενο συντονισμό. Αυτό συμβαίνει περίπου στο διπλάσιο της θεμελιώδους συχνότητας που μετρήσατε. Καταγράψτε τη δεύτερη αυτή αρμονική στην πέμπτη στήλη του πίνακα των μετρήσεων. 20

27 6. Συνεχίστε να αυξάνετε τη συχνότητα μέχρι να παρατηρήσετε και την τρίτη αρμονική που θα καταγράψετε στην έκτη στήλη του πίνακα. (Αυτή είναι τριπλάσια περίπου από τη θεμελιώδη που μετρήσατε) 7. Επαληθεύεται η σχέση μεταξύ των αρμονικών που προβλέπει η θεωρία; Για να το διαπιστώσετε συμπληρώστε τις δυο τελευταίες στήλες του πίνακα με τα πηλίκα των συχνοτήτων που μετρήσατε. Κρατήστε στα πηλίκα ένα μόνο δεκαδικό ψηφίο. 8. Επαναλάβετε την παραπάνω διαδικασία (από το βήμα 4 και κάτω) και για τα υπόλοιπα μήκη του σωλήνα που υποδεικνύονται στην πρώτη στήλη του πίνακα μετρήσεων (2 μονάδες). Οταν τελειώσετε με τις μετρήσεις κλείστε τη γεννήτρια συχνοτήτων, τον παλμογράφο και τον ενισχυτή του μικροφώνου. 9. Σύμφωνα με τη θεωρία η σχέση μιας οποιαδήποτε συχνότητας συντονισμού με το αντίστροφο μήκος του σωλήνα είναι γραμμική. Με τη μέθοδο των ελαχίστων τετραγώνων (που αναπτύσεται στην Άσκηση 2) να υπολογίσετε την κλίση για μια από τις συχνότητες του πίνακα των μετρήσεων που θα σας υποδείξει ο καθηγητής σας. Πάρτε δηλάδή για y i f n και για x i 1 και L συμπληρώστε τον παρακάτω πίνακα ελαχίστων τετραγώνων χωρίς να κάνετε στρογυλλοποιήσεις. (3 μονάδες). Πίνακας 3.2: Πίνακας ελαχίστων τετραγώνων x i y i x i y i x 2 i 10. Υπολογίστε την κλίση της ευθείας των ελαχίστων τετραγώνων (δείτε την άσκηση 2 για τον τύπο της) (2 μονάδες) a n = Από την κλίση της ευθείας που βρήκατε στο προηγούμενο βήμα να υπολογίσετε την ταχύτητα του ήχου στον αέρα (1 μονάδα) c = m/sec 12. Η ταχύτητα του ήχου στον αέρα σε θερμοκρασία δωματίου (20 C) είναι 340 m/sec. Υπολογίστε την επι τοις εκατό διαφορά της τιμής που βρήκατε στο προηγούμενο βήμα με την τιμή αυτή (1 μονάδα). 21

28 3.3 Άσκηση 6: Καμπύλη συντονισμού ηχητικού σωλήνα Μεθοδολογία της άσκησης Οταν σ ένα ηχητικό σωλήνα ορισμένου μήκους μεταβάλλουμε τη συχνότητα των ηχητικών κυμάτων που διαδίδονται σ αυτόν υπάρχουν ορισμένες τιμές (οι χαρακτηριστικές συχνότητες του σωλήνα) στις οποίες το πλάτος του στάσιμου ηχητικού κύματος μέσα στο σωλήνα γίνεται μέγιστο. Το φαινόμενο αυτό ονομάζεται συντονισμός. Αν απεικονίσουμε το πλάτος πίεσης στο κλειστό άκρο του σωλήνα (στο οποίο η πίεση έχει κοιλία) συναρτήσει της συχνότητας η καμπύλη που θα πάρουμε έχει τη μορφή που φαίνεται στο παρακάτω σχήμα 3.2. Α Α o Αo 2 f f ο f Σχήμα 3.2: Η μορφή της καμπύλης συντονισμού Η συχνότητα f 0 στην οποία το πλάτος παίρνει τη μέγιστή του τιμή είναι η συχνότητα συντονισμού, ενώ η περιοχή συχνοτήτων f για τις οποίες το πλάτος παίρνει το μισό της μέγιστης τιμής του λέγεται εύρος του συντονισμού Συνιστώσες της πειραματικής διάταξης Για την πραγματοποίηση της άσκησης απαιτούνται τα εξής 1. Ενας ηχητικός σωλήνας ανοικτός στό ένα άκρο. 2. Γεννήτρια συχνοτήτων. 3. Παλμογράφος. 22

29 4. Μεγάφωνο προσαρμοσμένο στο ανοιχτό άκρο του σωλήνα. 5. Μικρόφωνο συνδεμένο με τον παλμογράφο Πείραμα 1. Μετρήστε το μήκος του σωλήνα από το ανοικτό του άκρο μέχρι την πλευρική τρύπα L = m 2. Να θέσετε σε λειτουργία τη γεννήτρια συχνοτήτων, τον παλμογράφο και το μικρόφωνο. Ο παλμογράφος να είναι στην υποδιαίρεση 0.5 V/div για την τάση και 1 ms/div για τον χρόνο. Βάλτε την άκρη του μικροφώνου στην πλευρική τρύπα του σωλήνα. (Το έμβολο πρέπει να είναι αμέσως μετά από αυτή.) Πίνακας 3.3: Πίνανας μετρήσεων f (Hz) A (cm) f (Hz) A (cm) Να μεταβάλλετε τη συχνότητα της γεννήτριας σύμφωνα με τις τιμές του πίνακα των μετρήσεων και για κάθε συχνότητα να μετράτε το πλάτος A (σε cm) του σήματος στην οθόνη του παλμογράφου από πάνω κορυφή σε κάτω κορυφή (peak to peak) του ημιτονοειδούς σήματος. Τα αποτελέσματα των μετρήσεων να καταχωρούνται στον πίνακα μετρήσεων. (2 μονάδες) 4. Να κάνετε τη γραφική παράσταση του πλάτους συναρτήσει της συχνότητας. Αυτή είναι η καμπύλη συντονισμού του ηχητικού σωλήνα (η μορφή της φαίνεται στο σχήμα 3.2) (3 μονάδες) 5. Από το μέγιστο της καμπύλης συντονισμού να προσδιορίσετε τη συχνότητα συντονισμού. (1 μονάδα) f 0 = Hz 23

30 6. Ο σωλήνας της άσκησης είναι ανοιχτός στο ένα άκρο οπότε οι συχνότητες συντονισμού του δίνονται από την f n = (2n 1) c 4L n = 1, 2, 3... Λύστε την παραπάνω σχέση ως προς n για να βρείτε σε ποιά αρμονική του σωλήνα σύμφωνα με τη θεωρία αντιστοιχεί η συχνότητα που βρήκατε; Βάλτε f n = f 0 και πάρτε την ταχύτητα του ήχου ίση με 340 m/s (2 μονάδες) 7. Από την καμπύλη συντονισμού να προσδιορίσετε το εύρος του συντονισμού, την περιοχή συχνοτήτων δηλαδή για τις οποίες το πλάτος της καμπύλης πέφτει στο μισό της μέγιστης τιμής (2 μονάδες) f = Hz 3.4 Άσκηση 7:Τρόποι δόνησης ανοιχτού σωλήνα Μεθοδολογία της άσκησης Θεωρούμε ένα ηχητικό σωλήνα ο οποίος στο ανοικτό άκρο του έχει μεγάφωνο που τροφοδοτείται από μεταβαλλόμενη ηλεκτρική τάση συχνότητας f και παράγει ήχο της ίδιας συχνότητας και στο άλλο άκρο είναι κλειστός. Το ηχητικό κύμα που παράγεται από το μεγάφωνο ανακλάται στο κλειστό άκρο και το προσπίπτον με το ανακλώμενο κύμα συμβάλουν δίνοντας ένα στάσιμο κύμα. Αν στο κλειστό άκρο προσαρμόσουμε και ένα μικρόφωνο συνδεδεμένο με παλμογράφο μπορούμε να βλέπουμε για δεδομένο μήκος του σωλήνα σε ποιά συχνότητα το σήμα στον παλμογράφο γίνεται μέγιστο. Η συχνότητα για την οποία συμβαίνει αυτό θα είναι μια από τις συχνότητες συντονισμού, αφού γνωρίζουμε ότι το πλάτος του στάσιμου κύματος γίνεται μέγιστο όταν ο σωλήνας ταλαντώνεται σε μια από αυτές. Εδώ πρέπει να σημειώσουμε ότι τα ηχητικά κύματα θεωρούμενα σαν κύματα μεταβολής πίεσης βρίσκονται σε διαφορά φάσης 90 με τα κύματα μετατόπισης. Άρα οι δεσμοί μετατόπισης αντιστοιχούν σε κοιλίες πίεσης και οι κοιλίες μετατόπισης σε δεσμούς πίεσης. Στο κλειστό άκρο λοιπόν του σωλήνα όπου η μετατόπιση είναι μηδενική (δεσμός μετατόπισης) η πίεση είναι μέγιστη (κοιλία πίεσης). Γι αυτό το μικρόφωνο που είναι ευαίσθητο σε μεταβολές πίεσης τοποθετείται σε κλειστό άκρο. Στο σχήμα 3.3 παρουσιάζονται οι τρεις πρώτοι τρόποι δόνησης ως προς τη μεταβολή της πίεσης, του κλειστού από τη μια μόνο μεριά σωλήνα. Στο ανοικτό άκρο του σωλήνα έχουμε δεσμό πίεσης. 24

31 n=1 n=2 n=3 Σχήμα 3.3: Μεταβολή της πίεσης στους τρόπους δόνησης ανοικτού-κλειστού σωλήνα Οι συχνότητες συντονισμού του σωλήνα είναι περιττά πολλαπλάσια της θεμελιώδους f n = (2n 1)f 1 n = 1, 2, 3... όπου f 1 = c 4L Μετρώντας λοιπόν τις συχνότητες συντονισμού μπορούμε να διαπιστώσουμε τη σχέση τους με τη θεμελιώδη που προβλέπει η θεωρία. Η εξάρτηση των συχνοτήτων συντονισμού από το μήκος του σωλήνα υποδηλώνει πως η γραφική παράσταση ο- ποιασδήποτε συχνότητας (f n y) συναρτήσει του αντιστρόφου μήκους του σωλήνα ( 1 x) θα είναι ευθεία με κλίση L a n = (2n 1) c 4 Μεταβάλλοντας λοιπόν το μήκος του σωλήνα με τη μετακίνηση του εμβόλου και μετρώντας κάθε φορά κάποια συχνότητα συντονισμού μπορούμε με μια απλή γραφική παράσταση να διαπιστώσουμε τη γραμμική εξάρτηση της συγκεκριμένης συχνότητας από το μήκος και να υπολογίσουμε την ταχύτητα του ήχου μέσα στο σωλήνα Συνιστώσες της πειραματικής διάταξης Για την πραγματοποίηση της άσκησης απαιτούνται τα εξής 25

32 1. Ενας ηχητικός σωλήνας ανοικτός στο ένα άκρο. 2. Γεννήτρια συχνοτήτων. 3. Παλμογράφος. 4. Μεγάφωνο προσαρμοσμένο στο ανοιχτό άκρο του σωλήνα. 5. Μικρόφωνο με ειδικό ενισχυτή συνδεμένο με τον παλμογράφο Πείραμα Πίνακας 3.4: Πίνακας μετρήσεων L (m) f 1 (Hz) 1 L (m 1 ) f 1 (Hz) f 2 (Hz) f 3 (Hz) f 2 f 1 f 3 f 1 1. Να υπολογίσετε τις τιμές που δίνει η θεωρία για την θεμελιώδη συχνότητα συντονισμού f 1 = c 4L για όλα τα μήκη L του σωλήνα που έχετε στον πίνακα των μετρήσεων και να τις καταγράψετε στη δεύτερη στήλη του πίνακα. (Πάρτε c = 340 m/s και μην κρατήσετε δεκαδικά ψηφία) (1 μονάδα) 2. Υπολογίστε το αντίστροφο κάθε μήκους του σωλήνα και καταγράψτε το στην τρίτη στήλη του πίνακα των μετρήσεων (κρατήστε ένα μόνο δεκαδικό ψηφίο). 3. Να θέσετε σε λειτουργία τη γεννήτρια συχνοτήτων, τον παλμογράφο και τον ενισχυτή του μικροφώνου. Βεβαιωθείτε ότι ο σωλήνας είναι ανοικτός (περίπου 1 cm) στο άκρο όπου βρίσκεται το μεγάφωνο. Ρυθμίσετε τη γεννήτρια να παράγει ημιτονοειδή μορφή κύματος και τον παλμογράφο στην υποδιαίρεση 10 mv/div για την τάση και 1 ms/div για το χρόνο. 4. Θέσετε το έμβολο σε απόσταση 45.5 cm από το ανοιχτό άκρο του σωλήνα και φέρτε το μικρόφωνο ακριβώς δίπλα στο έμβολο. Ρυθμίστε τη συχνότητα στη γεννήτρια κοντά στη θεωρητική τιμή της θεμελιώδους συχνότητας. Αυξομειώστε αργά τη συχνότητα μέχρι να παρατηρήσετε στον παλμογράφο 26

33 (αλλά και να ακούσετε) τον πρώτο συντονισμό. Καταγράψτε τη συχνότητα στην οποία συμβαίνει στην τέταρτη στήλη του πίνακα των μετρήσεων. 5. Συνεχίστε να αυξάνετε αργά την συχνότητα του παραγόμενου από τη γεννήτρια ήχου μέχρι να παρατηρήσετε τον επόμενο συντονισμό. Αυτό συμβαίνει περίπου στο τριπλάσιο της θεμελιώδους συχνότητας που μετρήσατε. Καταγράψτε τη δεύτερη αυτή αρμονική στην πέμπτη στήλη του πίνακα των μετρήσεων. 6. Συνεχίστε να αυξάνετε τη συχνότητα μέχρι να παρατηρήσετε και την τρίτη αρμονική που θα καταγράψετε στην έκτη στήλη του πίνακα. (Αυτή είναι πενταπλάσια περίπου από τη θεμελιώδη που μετρήσατε) 7. Επαληθεύεται η σχέση μεταξύ των αρμονικών που προβλέπει η θεωρία; Για να το διαπιστώσετε συμπληρώστε τις δυο τελευταίες στήλες του πίνακα με τα πηλίκα των συχνοτήτων που μετρήσατε. Κρατήστε στα πηλίκα ένα μόνο δεκαδικό ψηφίο. 8. Επαναλάβετε την παραπάνω διαδικασία (από το βήμα 4 και κάτω) και για τα υπόλοιπα μήκη του σωλήνα που υποδεικνύονται στην πρώτη στήλη του πίνακα μετρήσεων (2 μονάδες). Οταν τελειώσετε με τις μετρήσεις κλείστε τη γεννήτρια συχνοτήτων, τον παλμογράφο και τον ενισχυτή του μικροφώνου. 9. Σύμφωνα με τη θεωρία η σχέση μιας οποιαδήποτε συχνότητας συντονισμού με το αντίστροφο μήκος του σωλήνα είναι γραμμική. Με τη μέθοδο των ελαχίστων τετραγώνων (που αναπτύσεται στην Άσκηση 2) να υπολογίσετε την κλίση για μια από τις συχνότητες του πίνακα των μετρήσεων που θα σας υποδείξει ο καθηγητής σας. Πάρτε δηλάδή για y i f n και για x i 1 και L συμπληρώστε τον παρακάτω πίνακα ελαχίστων τετραγώνων χωρίς να κάνετε στρογυλλοποιήσεις. (3 μονάδες) Πίνακας 3.5: Πίνακας ελαχίστων τετραγώνων x i y i x i y i x 2 i 27

34 10. Υπολογίστε την κλίση της ευθείας των ελαχίστων τετραγώνων (δείτε την άσκηση 2 για τον τύπο της) (2 μονάδες) a n = Από την κλίση της ευθείας που βρήκατε στο προηγούμενο βήμα να υπολογίσετε την ταχύτητα του ήχου στον αέρα (1 μονάδα) c = m/sec 12. Η ταχύτητα του ήχου στον αέρα σε θερμοκρασία δωματίου (20 C) είναι 340 m/sec. Υπολογίστε την επι τοις εκατό διαφορά της τιμής που βρήκατε στο προηγούμενο βήμα με την τιμή αυτή (1 μονάδα). 28

35 Κεφάλαιο 4 Χορδές 4.1 Εισαγωγή Σε τεντωμένη χορδή στερεωμένη και στα δυο της άκρα μπορούμε να δημιουργήσουμε στάσιμα κύματα. Τα άκρα της χορδής δεν μπορούν να κινηθούν οπότε εκεί έχουμε δεσμούς μετατόπισης. Άρα στο μήκος της χορδής σχηματίζεται ακέραιος αριθμός ημιμηκών κύματος. L = n λ n = 1, 2, 3,... (4.1) 2 Στο σχήμα 4.1 παρουσιάζονται οι τρεις πρώτοι τρόποι δόνησης της χορδής λ/2 n=1 λ/2 n=2 λ/2 n=3 Σχήμα 4.1: Τρόποι δόνησης χορδής Αν λύσουμε ως προς τη συχνότητα τη σχέση που συνδέει την ταχύτητα του 29

36 ήχου με τη συχνότητα και το μήκος κύματος c = λf (4.2) αντικαταστήσουμε σ αυτή το μήκος κύματος από την (4.1) και χρησιμοποιήσουμε και το γεγονός πως η ταχύτητα του ήχου σε τεντωμένη με τάση F χορδή και με γραμμική πυκνότητα μάζας 1 µ είναι F c = (4.3) µ παίρνουμε f n = n F 2L µ n = 1, 2, 3,... (4.4) Οι συχνότητες που ορίζονται από την παραπάνω λέγονται συχνότητες συντονισμού ή ιδιοσυχνότητες της χορδής και η χορδή ταλαντώνεται με μεγαλύτερο πλάτος σ αυτές. Η συχνότητα f 1 λέγεται θεμελιώδης γιατί όλες οι άλλες είναι πολλαπλάσιά της. 4.2 Άσκηση 4:Τρόποι ταλάντωσης χορδής Ι Μεθοδολογία της άσκησης Θεωρούμε μια μεταλλική χορδή σταθερού μήκους στερεωμένη και στα δυο της άκρα η οποία μπορεί να ταλαντώνεται με τη βοήθεια των δονήσεων που προκαλούνται από ένα οδηγό τοποθετημένο κοντά στο ένα άκρο της. Στο άλλο άκρο της χορδής μπορούμε να κρεμάμε βάρη μεταβάλλοντας έτσι την τάση στην οποία αυτή είναι τεντωμένη. όπου Οι συχνότητες συντονισμού τής χορδής είναι πολλαπλάσια της θεμελιώδους f n = nf 1 n = 1, 2, 3... f 1 = 1 F 2L µ Μετρώντας λοιπόν τις συχνότητες συντονισμού για δεδομένη τάση χορδής μπορούμε να διαπιστώσουμε τη σχέση τους με τη θεμελιώδη που προβλέπει η θεωρία. 1 Για χορδή μήκους L και μάζας m η γραμμική πυκνότητα είναι µ = m L 30

37 Η εξάρτηση των συχνοτήτων συντονισμού από την τάση της χορδής υποδηλώνει πως η γραφική παράσταση μιας οποιασδήποτε συχνότητας (f n y) συναρτήσει της τετραγωνικής ρίζας της τάσης της χορδής ( F x) θα είναι ευθεία με κλίση a n = n 2L µ Μεταβάλλοντας λοιπόν την τάση της χορδής και μετρώντας κάθε φορά κάποια συχνότητα συντονισμού μπορούμε με μια απλή γραφική παράσταση να διαπιστώσουμε τη γραμμική εξάρτηση της συγκεκριμένης συχνότητας από την τετραγωνική ρίζα της τάσης και να υπολογίσουμε τη γραμμική πυκνότητα μάζας της χορδής Συνιστώσες της πειραματικής διάταξης Για την πραγματοποίηση της άσκησης απαιτούνται τα εξής 1. Μεταλλική χορδή. 2. Η βάση του σονόμετρου με δυο στηρίγματα και με μηχανισμό ανάρτησης μαζών στο ένα της άκρο. 3. Ενας οδηγός κι ένας ανιχνευτής κυμάτων. 4. Γεννήτρια συχνοτήτων συνδεδεμένη με τον οδηγό κυμάτων. 5. Παλμογράφος συνδεμένος με τον ανιχνευτή κυμάτων. 6. Διάφορες μάζες με τη βάση ανάρτησής τους Πείραμα 1. Τοποθετήστε τα στηρίγματα 60 cm το ένα από το άλλο και σημειώστε το μήκος της χορδής L = 0.6 m Τοποθετήστε τον οδηγό κυμάτων 5 cm μακριά από το αριστερό στήριγμα και τον ανιχνευτή στη μέση της χορδής. 2. Η θεμελιώδης συχνότητα συντονισμού της χορδής εξαρτάται από την τάση στην οποία είναι τεντωμένη η χορδή και από την πυκνότητά της και σύμφωνα με τη θεωρία δίνεται από την f 1 = 1 F 2L µ 31

38 Η γραμμική πυκνότητα μάζας που δίνει ο κατασκευαστής για τη χορδή των 14 που έχετε στη διάταξή σας είναι µ = 4.4 g/m και πρέπει να τη μετατρέψετε σε kg/m για να τη χρησιμοποιήσετε. Η τάση της χορδής εξαρτάται από τη μάζα m που κρεμάμε στο άκρο της και δίνεται από τον τύπο F = N ε mg όπου N ε ο αριθμός της εγκοπής στην οποία στερεώνουμε το βάρος (αρχίζουμε να μετράμε από την πιό κοντινή στη χορδή εγκοπή) και g = 10 m/s 2. Για κάθε μάζα της δεύτερης στήλης του πίνακα των μετρήσεων να υπολογίσετε την τάση της χορδής και από αυτή τη θεωρητική τιμή της θεμελιώδους συχνότητας που θα καταγράψετε στην τρίτη στήλη του πίνακα και την τετραγωνική ρίζα της τάσης που θα καταγράψετε στην τέταρτη στήλη του πίνακα και τις δυο χωρίς δεκαδικά ψηφία. (1 μονάδα) 3. Να θέσετε σε λειτουργία τη γεννήτρια συχνοτήτων και τον παλμογράφο. Ρυθμίσετε την πηγή να παράγει ημιτονοειδή μορφή κύματος και τον παλμογράφο στην υποδιαίρεση 5 mv/div για την τάση και 2 ms/div για το χρόνο. 4. Κρεμάστε μάζα 900 g στην πιο εσωτερική εγκοπή του μηχανισμού ανάρτησης. Ρυθμίστε τη συχνότητα στη γεννήτρια κοντά στη θεωρητική τιμή της θεμελιώδους συχνότητας. Αυξομειώστε αργά τη συχνότητα μέχρι να παρατηρήσετε στον παλμογράφο τον πρώτο συντονισμό. Καταγράψτε τη συχνότητα στην οποία συμβαίνει στην πέμτη στήλη του πίνακα των μετρήσεων (χωρίς δεκαδικά ψηφία). Πίνακας 4.1: Πίνακας μετρήσεων N ε m (kg) f 1 (Hz) F ( N) f1 (Hz) f 2 (Hz) f 3 (Hz) f 2 f 1 f 3 f 1 5. Για να παρατηρήσετε τον δεύτερο συντονισμό τοποθετήσετε τον ανιχνευτή στο μισό της απόστασης του μέσου της χορδής από το άκρο 2 (γιατί;) και συνεχίστε να αυξάνετε την συχνότητα του παραγόμενου από τη γεννήτρια ήχου μέχρι να παρατηρήσετε τον επόμενο συντονισμό. Αυτός συμβαίνει στο διπλάσιο περίπου της θεμελιώδους συχνότητας που μετρήσατε. Καταγράψτε τη δεύτερη αυτή αρμονική στην έκτη στήλη του πίνακα των μετρήσεων. 2 Μη μετακινείτε τον ανιχνευτή προς τη μεριά του οδηγού αλλά προς την άλλη κατεύθυνση 32

39 6. Επαναφέρετε τον ανιχνευτή στο μέσο της χορδής και συνεχίστε να αυξάνετε τη συχνότητα μέχρι να παρατηρήσετε και την τρίτη αρμονική που θα καταγράψετε στην έβδομη στήλη του πίνακα. (Αυτή είναι τριπλάσια περίπου από τη θεμελιώδη που μετρήσατε) 7. Επαληθεύεται η σχέση μεταξύ των αρμονικών που προβλέπει η θεωρία; Για να το διαπιστώσετε συμπληρώστε τις δυο τελευταίες στήλες του πίνακα με τα πηλίκα των συχνοτήτων που μετρήσατε. Κρατήστε στα πηλίκα ένα μόνο δεκαδικό ψηφίο. 8. Επαναλάβετε την παραπάνω διαδικασία (από το βήμα 4 και κάτω) και για τις υπόλοιπες μάζες και εγκοπές που υποδεικνύονται στις δυο πρώτες στήλες του πίνακα μετρήσεων (2 μονάδες). Οταν τελειώσετε με τις μετρήσεις κλείστε τη γεννήτρια συχνοτήτων και τον παλμογράφο. 9. Να κάνετε τη γραφική παράσταση μιας από τις συχνότητες του πίνακα των μετρήσεων που θα σας υποδείξει ο καθηγητής σας συναρτήσει της τετραγωνικής ρίζας της τάσης της χορδής (3 μονάδες). 10. Να υπολογίσετε την κλίση της ευθείας της γραφικής παράστασης του προηγούμενου βήματος (1 μονάδα) a n = Από την κλίση της ευθείας που βρήκατε στο προηγούμενο βήμα να υπολογίσετε τη γραμμική πυκνότητα μάζας της χορδής (2 μονάδες) µ = kg/m 12. Να συγκρίνετε την τιμή της γραμμικής πυκνότητας μάζας που βρήκατε με αυτή που δίνει ο κατασκευαστής υπολογίζοντας την επί τοις εκατό διαφορά των δυο τιμών. (1 μονάδα) 4.3 Άσκηση 8:Τρόποι ταλάντωσης χορδής ΙΙ Μεθοδολογία της άσκησης Θεωρούμε μια μεταλλική χορδή τεντωμένη σε σταθερή τάση και στερεωμένη και στα δυο της άκρα η οποία μπορεί να ταλαντώνεται με τη βοήθεια των δονήσεων που προκαλούνται από ένα οδηγό τοποθετημένο κοντά στο ένα άκρο της. Τα στηρίγματα στα άκρα της χορδής μπορούν να μετακινούνται μεταβάλλοντας έτσι το μήκος της. 33

40 όπου Οι συχνότητες συντονισμού τής χορδής είναι πολλαπλάσια της θεμελιώδους f n = nf 1 n = 1, 2, 3... f 1 = 1 F 2L µ Μετρώντας λοιπόν τις συχνότητες συντονισμού για δεδομένο μήκος χορδής μπορούμε να διαπιστώσουμε τη σχέση τους με τη θεμελιώδη που προβλέπει η θεωρία. Η εξάρτηση των συχνοτήτων συντονισμού από το αντίστροφο μήκος της χορδής υποδηλώνει πως η γραφική παράσταση οποιασδήποτε συχνότητας (f n y) συναρτήσει του αντιστρόφου μήκους ( 1 x) της χορδής θα είναι ευθεία με κλίση L a n = n F 2 µ Μεταβάλλοντας λοιπόν το μήκος της χορδής και μετρώντας κάθε φορά κάποια συχνότητα συντονισμού μπορούμε με μια απλή γραφική παράσταση να διαπιστώσουμε τη γραμμική εξάρτηση της συγκεκριμένης συχνότητας από το αντίστροφο μήκος και να υπολογίσουμε τη γραμμική πυκνότητα μάζας της χορδής Συνιστώσες της πειραματικής διάταξης Για την πραγματοποίηση της άσκησης απαιτούνται τα εξής 1. Μεταλλική χορδή. 2. Η βάση του σονόμετρου με δυο στηρίγματα και με μηχανισμό ανάρτησης μαζών στο ένα της άκρο. 3. Ενας οδηγός κι ένας ανιχνευτής κυμάτων. 4. Γεννήτρια συχνοτήτων συνδεδεμένη με τον οδηγό κυμάτων. 5. Παλμογράφος συνδεμένος με τον ανιχνευτή κυμάτων. 6. Διάφορες μάζες με τη βάση ανάρτησής τους Πείραμα 1. Κρεμάστε μάζα 1 kg στην δεύτερη εγκοπή από τη χορδή. Η μάζα αυτή δίνει τάση F = 20 N 34