Γενικά Μαθηματικά Ι. Ενότητα 1: Συναρτήσεις και Γραφικές Παραστάσεις. Λουκάς Βλάχος Τμήμα Φυσικής ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ

Transcript

1 ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ενότητα 1: Συναρτήσεις και Γραφικές Παραστάσεις Λουκάς Βλάχος

2 Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται σε άλλου τύπου άδειας χρήσης, η άδεια χρήσης αναφέρεται ρητώς.

3 Χρηματοδότηση Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό έχει αναπτυχθεί στα πλαίσια του εκπαιδευτικού έργου του διδάσκοντα. Το έργο «Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο» έχει χρηματοδοτήσει μόνο την αναδιαμόρφωση του εκπαιδευτικού υλικού. Το έργο υλοποιείται στο πλαίσιο του Επιχειρησιακού Προγράμματος «Εκπαίδευση και Δια Βίου Μάθηση» και συγχρηματοδοτείται από την Ευρωπαϊκή Ένωση (Ευρωπαϊκό Κοινωνικό Ταμείο) και από εθνικούς πόρους. 3

4 Συναρτήσεις y () Εξαρτημένη Μεταβλητή Ανεξάρτητη Μεταβλητή Κανόνας

5 Συναρτήσεις y () Εξαρτημένη Μεταβλητή Ανεξάρτητη Μεταβλητή Κανόνας Πεδίο Ορισμού: Οι τιμές της ανεξάρτητης μεταβλητής για τις οποίες ορίζεται η συνάρτηση.

6 Πεδίο Ορισμού Παραδείγματα: ( ),

7 Πεδίο Ορισμού Παραδείγματα: ( ), ( ) 1 1, 1 1

8 Πεδίο Ορισμού Παραδείγματα: ( ) 1, 1 1

9 Πεδίο Ορισμού Παραδείγματα: ( ) 1, 1 1 ( ) sin,

10 Πεδίο Ορισμού Παραδείγματα: ( ) 1, 1 1 ( ) sin, k (k 1) k 0,1,...

11 Φυσικοί Περιορισμοί Σε ένα φυσικό πρόβλημα, είναι πιθανό να μην είναι όλες οι τιμές του πεδίου ορισμού μιας συνάρτησης φυσικά αποδεκτές. Παράδειγμα: Πυκνότητα ράβδου στον άξονα : (), 0 (Αρνητική πυκνότητα: φυσικά μη αποδεκτή)

12 Πλειονότιμες Συναρτήσεις Μια συνάρτηση στην οποία κάποια τιμή της ανεξάρτητης μεταβλητής () αντιστοιχεί σε περισσότερες από μια τιμές της εξαρτημένης μεταβλητής (y), λέγεται πλειονότιμη συνάρτηση. Μπορούμε να μετατρέψουμε μια πλειονότιμη συνάρτηση σε μονότιμη, με περιορισμό του πεδίου ορισμού της. 1

13 Γραφικές Παραστάσεις y y

14 Γραφικές Παραστάσεις ( ) y 14

15 Βασικές Συναρτήσεις Πολυώνυμο: ( ) n a 1 a a n 0 1 n i 0 a... i a i 15

16 Βασικές Συναρτήσεις: Πολυώνυμο Πολυώνυμο: ( ) n a 1 a a n 0 1 n i 0 a... Γραμμική Προσέγγιση: i a i ( ) a a 0 1 y m a (Εξίσωση Ευθείας) 16

17 Δύο Ευθείες Αν έχουμε ευθείες: y y m a 1 1 m a τότε αυτές θα είναι: Παράλληλες, εάν Κάθετες, εάν m m 1 m m

18 Πολυώνυμο: Τετραγωνική Συνάρτηση Πολυώνυμο: ( ) n a 1 a a n 0 1 n i 0 a... Τετραγωνική Συνάρτηση: ( ) a a a 0 1 i a i 18

19 Πολυώνυμο: Κυβική Συνάρτηση Πολυώνυμο: ( ) n a 1 a a n 0 1 n i 0 a... Κυβική Συνάρτηση: ( ) a a a a i a i 19

20 Μετατόπιση Γραφικής Παράστασης y ( ) 0

21 Μετατόπιση Γραφικής Παράστασης y - ( ) ( ) ( ) 1

22 Μετατόπιση Γραφικής Παράστασης y - ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

23 Μετατόπιση Γραφικής Παράστασης Στον Άξονα y: y - ( ) ( ) 3

24 Άσκηση Να βρεθεί το πεδίο ορισμού της παρακάτω συνάρτησης: 5 3 ( ) 1 4

25 Αντίστροφες Συναρτήσεις Για να βρούμε την αντίστροφη μιας συνάρτησης π.χ., y 1. Λύνουμε ως προς την ανεξάρτητη μεταβλητή: y y. Αντιστρέφουμε τα σύμβολα της ανεξάρτητης και της εξαρτημένης μεταβλητής: y 5

26 Τριγωνομετρικές Συναρτήσεις Οι τριγωνομετρικές συναρτήσεις (sin(), cos() κλπ) είναι ιδιαίτερα σημαντικές στη Φυσική, διότι περιγράφουν περιοδικά φαινόμενα (ταλαντώσεις). Μελετήστε και σιγουρευτείτε ότι γνωρίζετε καλά τις τριγωνομετρικές ταυτότητες! 6

27 Εκθετικές Συναρτήσεις Οι εκθετικές συναρτήσεις είναι επίσης ιδιαίτερα σημαντικές, καθώς εκφράζουν φαινόμενα φθίνοντα ή εκρηκτικά. 7

28 Σημείωμα Αναφοράς Copyright, Λουκάς Βλάχος.. Έκδοση: 1.0. Θεσσαλονίκη 014. Διαθέσιμο από τη δικτυακή διεύθυνση:

29 Σημείωμα Αδειοδότησης Το παρόν υλικό διατίθεται με τους όρους της άδειας χρήσης Creative Commons Αναφορά - Παρόμοια Διανομή [1] ή μεταγενέστερη, Διεθνής Έκδοση. Εξαιρούνται τα αυτοτελή έργα τρίτων π.χ. φωτογραφίες, διαγράμματα κ.λ.π., τα οποία εμπεριέχονται σε αυτό και τα οποία αναφέρονται μαζί με τους όρους χρήσης τους στο «Σημείωμα Χρήσης Έργων Τρίτων». Ο δικαιούχος μπορεί να παρέχει στον αδειοδόχο ξεχωριστή άδεια να χρησιμοποιεί το έργο για εμπορική χρήση, εφόσον αυτό του ζητηθεί. [1]

30 ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Τέλος ενότητας Επεξεργασία: Νικόλαος Τρυφωνίδης Θεσσαλονίκη, 30/03/015

31 ΣΗΜΕΙΏΜΑΤΑ

32 Διατήρηση Σημειωμάτων Οποιαδήποτε αναπαραγωγή ή διασκευή του υλικού θα πρέπει να συμπεριλαμβάνει: το Σημείωμα Αναφοράς το Σημείωμα Αδειοδότησης τη δήλωση Διατήρησης Σημειωμάτων το Σημείωμα Χρήσης Έργων Τρίτων (εφόσον υπάρχει) μαζί με τους συνοδευόμενους υπερσυνδέσμους.