Γενικά Μαθηματικά Ι. Ενότητα 17: Αριθμητική Ολοκλήρωση, Υπολογισμός Μήκους Καμπύλης Λουκάς Βλάχος Τμήμα Φυσικής ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ

Transcript

1 ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ενότητα 7: Αριθμητική Ολοκλήρωση, Υπολογισμός Μήκους Καμπύλης Λουκάς Βλάχος

2 Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται σε άλλου τύπου άδειας χρήσης, η άδεια χρήσης αναφέρεται ρητώς.

3 Χρηματοδότηση Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό έχει αναπτυχθεί στα πλαίσια του εκπαιδευτικού έργου του διδάσκοντα. Το έργο «Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο» έχει χρηματοδοτήσει μόνο την αναδιαμόρφωση του εκπαιδευτικού υλικού. Το έργο υλοποιείται στο πλαίσιο του Επιχειρησιακού Προγράμματος «Εκπαίδευση και Δια Βίου Μάθηση» και συγχρηματοδοτείται από την Ευρωπαϊκή Ένωση (Ευρωπαϊκό Κοινωνικό Ταμείο) και από εθνικούς πόρους. 3

4 Ορισμένα Ολοκληρώματα Θυμίζουμε, από το προηγούμενο μάθημα: F ( ) ( t) dt a 4

5 Ορισμένα Ολοκληρώματα Θυμίζουμε, από το προηγούμενο μάθημα: F ( ) ( t) dt a df( ) d 5

6 Ορισμένα Ολοκληρώματα Θυμίζουμε, από το προηγούμενο μάθημα: F ( ) ( t) dt a df( ) d b a ( t) dt F( b) F( a) 6

7 Γενικευμένα Ολοκληρώματα Θυμίζουμε, επίσης, για ολοκλήρωση συνάρτησης στο άπειρο: l F ( ) ( t) dt lim ( t) dt a l a 7

8 Γενικευμένα Ολοκληρώματα Θυμίζουμε, επίσης, για ολοκλήρωση συνάρτησης στο άπειρο: l F ( ) ( t) dt lim ( t) dt a l a F( ) ( t) dt lim l a ( t) dt lim l a ( t) dt 8

9 Γενικευμένα Ολοκληρώματα Τέλος, για σημεία όπου η συνάρτηση που ολοκληρώνουμε δεν ορίζεται: F( ) 0 ( ) d lim a a 0 ( t) dt 9

10 Αριθμητική Ολοκλήρωση Αναλυτικά, υπολογίζουμε το παρακάτω ολοκλήρωμα: 0 d

11 Αριθμητική Ολοκλήρωση Αριθμητικά, υπολογίζουμε το ίδιο ολοκλήρωμα: η προσέγγιση ( σημείο): 0 d 4

12 Αριθμητική Ολοκλήρωση Αριθμητικά, υπολογίζουμε το ίδιο ολοκλήρωμα: η προσέγγιση ( σημείο): 0 d 4 η προσέγγιση (3 σημεία): 0 d

13 Αριθμητική Ολοκλήρωση Αριθμητικά, υπολογίζουμε το ίδιο ολοκλήρωμα: η προσέγγιση ( σημείο): 0 d 4 η προσέγγιση (3 σημεία): 0 d

14 Αριθμητική Ολοκλήρωση Δοκιμάζουμε τώρα να προσεγγίσουμε το ολοκλήρωμα χωρίζοντας το σε τέσσερα κομμάτια: 3 η προσέγγιση (5 σημεία): 0 d

15 Αλγόριθμος Αριθμητικής Ολοκλήρωσης Συνάρτηση ολοκλήρωσης: () Μήκος διαστήματος: b a N 5

16 Αλγόριθμος Αριθμητικής Ολοκλήρωσης Συνάρτηση ολοκλήρωσης: () Μήκος διαστήματος: b a N 6

17 Αλγόριθμος Αριθμητικής Ολοκλήρωσης Συνάρτηση ολοκλήρωσης: () Μήκος διαστήματος: b a N Υπολογίζουμε τη συνάρτηση () στο μέσο των N διαστημάτων Δ 7

18 Αλγόριθμος Αριθμητικής Ολοκλήρωσης Συνάρτηση ολοκλήρωσης: () Μήκος διαστήματος: b a N Υπολογίζουμε τη συνάρτηση () στο μέσο των N διαστημάτων Δ Αθροίζουμε τα παραπάνω, πολλαπλασιάζοντας επί το μήκος Δ, και υπολογίζουμε αριθμητικά το ολοκλήρωμα. 8

19 Υπολογισμός Μήκους Καμπύλης y Έστω μια καμπύλη ) ( 9

20 Υπολογισμός Μήκους Καμπύλης y Έστω μια καμπύλη ) ( Το στοιχειώδες μήκος επάνω στην καμπύλη είναι: ds d dy ds d dy 0

21 Υπολογισμός Μήκους Καμπύλης y Έστω μια καμπύλη ) ( Το στοιχειώδες μήκος επάνω στην καμπύλη είναι: ds d dy ds d dy Υπολογίζουμε το μήκος ως εξής: L b a ds b a d dy b a dy d d

22 Υπολογισμός Μήκους Καμπύλης: Εφαρμογή Δοκιμάζουμε την παραπάνω μέθοδο στον κύκλο (για το πρώτο τεταρτημόριο): y y Παραγωγίζουμε ως προς : y y

23 Υπολογισμός Μήκους Καμπύλης: Εφαρμογή Δοκιμάζουμε την παραπάνω μέθοδο στον κύκλο (για το πρώτο τεταρτημόριο): y y Παραγωγίζουμε ως προς : y y Άρα το μήκος του κύκλου είναι: L 4 0 d 4 4 arcsin 0 3

24 Υπολογισμός Μήκους Παραμετρικής Καμπύλης Αν η καμπύλη είναι ορισμένη παραμετρικά: y t yt 4

25 Υπολογισμός Μήκους Παραμετρικής Καμπύλης Αν η καμπύλη είναι ορισμένη παραμετρικά: y t yt Υπολογίζουμε το μήκος της καμπύλης ως εξής: L t t d dt dy dt dt 5

26 Υπολογισμός Μήκους Παραμετρικής Καμπύλης: Εφαρμογή Ολοκληρώνουμε την παραμετρική μορφή του κύκλου: cos t y sin t 6

27 L Υπολογισμός Μήκους Παραμετρικής Καμπύλης: Εφαρμογή Ολοκληρώνουμε την παραμετρική μορφή του κύκλου: d dt dy dt cos t y sin t dt 0 a 0 0 a t a t sin cos dt sin t cos t dt a dt a 0 7

28 Υπολογισμός Μήκους Καμπύλης Σε Πολικές Συντεταγμένες Αν έχουμε μια καμπύλη της μορφής r r Χρησιμοποιούμε τις σχέσεις μετασχηματισμού και έχουμε: y r r cos sin 8

29 Υπολογισμός Μήκους Καμπύλης Σε Πολικές Συντεταγμένες Αν έχουμε μια καμπύλη της μορφής r r Χρησιμοποιούμε τις σχέσεις μετασχηματισμού και έχουμε: y r r cos sin L r dr d d r dr d d 9

30 Επιφάνεια Μεταξύ Δύο Καμπυλών ( ), g( Έστω δύο καμπύλες ) Η επιφάνεια μεταξύ των δύο καμπυλών είναι: b A ( ) g( ) a d 30

31 Επιφάνεια Μεταξύ Δύο Καμπυλών: Εφαρμογή Έστω δύο καμπύλες ( ) sin, 0 g( ) cos 3

32 Επιφάνεια Μεταξύ Δύο Καμπυλών: Εφαρμογή Έστω δύο καμπύλες ( ) sin, 0 g( ) cos Το εμβαδό της επιφάνειας που περικλείουν οι δύο καμπύλες είναι 4 0 E 0 ( ) g( ) d g( ) ( ) d ( ) g( ) 4 d 3

33 Σημείωμα Αναφοράς Copyright, Λουκάς Βλάχος.. Έκδοση:.0. Θεσσαλονίκη 04. Διαθέσιμο από τη δικτυακή διεύθυνση:

34 Σημείωμα Αδειοδότησης Το παρόν υλικό διατίθεται με τους όρους της άδειας χρήσης Creative Commons Αναφορά - Παρόμοια Διανομή [] ή μεταγενέστερη, Διεθνής Έκδοση. Εξαιρούνται τα αυτοτελή έργα τρίτων π.χ. φωτογραφίες, διαγράμματα κ.λ.π., τα οποία εμπεριέχονται σε αυτό και τα οποία αναφέρονται μαζί με τους όρους χρήσης τους στο «Σημείωμα Χρήσης Έργων Τρίτων». Ο δικαιούχος μπορεί να παρέχει στον αδειοδόχο ξεχωριστή άδεια να χρησιμοποιεί το έργο για εμπορική χρήση, εφόσον αυτό του ζητηθεί. []

35 ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Τέλος ενότητας Επεξεργασία: Νικόλαος Τρυφωνίδης Θεσσαλονίκη, 05

36 ΣΗΜΕΙΏΜΑΤΑ

37 Διατήρηση Σημειωμάτων Οποιαδήποτε αναπαραγωγή ή διασκευή του υλικού θα πρέπει να συμπεριλαμβάνει: το Σημείωμα Αναφοράς το Σημείωμα Αδειοδότησης τη δήλωση Διατήρησης Σημειωμάτων το Σημείωμα Χρήσης Έργων Τρίτων (εφόσον υπάρχει) μαζί με τους συνοδευόμενους υπερσυνδέσμους.