Προσεγγιστικοί Αλγόριθμοι
|
|
- Φοίβος Ζαχαρίου
- 7 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 Πολλά NP-πλήρη προβλήματα έχουν μεγάλο πρακτικό ενδιαφέρον.
2 Πολλά NP-πλήρη προβλήματα έχουν μεγάλο πρακτικό ενδιαφέρον. Πως μπορούμε να αντιμετωπίσουμε το γεγονός ότι είναι απίθανη(;) η ανακάλυψη πολυωνυμικών αλγορίθμων για αυτά τα προβλήματα; Αλγόριθμοι εκθετικού χρόνου μπορεί να είναι αποδεκτοί για εισόδους μικρού μεγέθους Είναι πιθανό να υπάρχουν πολυωνυμικοί αλγόριθμοι για σημαντικές ειδικές περιπτώσεις Είναι πιθανό να μπορούμε να βρούμε σχεδόν βέλτιστες λύσεις σε πολυωνυμικό χρόνο
3 Σε πολλές περιπτώσεις μας ικανοποιεί μια προσεγγιστική λύση Ένας προσεγγιστικός αλγόριθμος υπολογίζει σε πολυωνυμικό χρόνο μία λύση η οποία είναι εγγυημένα «κοντά» στη βέλτιστη λύση Λόγος προσέγγισης Έστω τιμή της λύσης του προσεγγιστικού αλγορίθμου για είσοδο τιμή της βέλτιστης λύσης για είσοδο Πρόβλημα μεγιστοποίησης: Ο αλγόριθμος έχει λόγο προσέγγισης αν για κάθε είσοδο μεγέθους ( -προσεγγιστικός αλγόριθμος)
4 Σε πολλές περιπτώσεις μας ικανοποιεί μια προσεγγιστική λύση Ένας προσεγγιστικός αλγόριθμος υπολογίζει σε πολυωνυμικό χρόνο μία λύση η οποία είναι εγγυημένα «κοντά» στη βέλτιστη λύση Λόγος προσέγγισης Έστω τιμή της λύσης του προσεγγιστικού αλγορίθμου για είσοδο τιμή της βέλτιστης λύσης για είσοδο Πρόβλημα ελαχιστοποίησης: Ο αλγόριθμος έχει λόγο προσέγγισης αν για κάθε είσοδο μεγέθους ( -προσεγγιστικός αλγόριθμος)
5 Προσεγγιστικό σύστημα Προσεγγιστικός αλγόριθμος που δέχεται στην είσοδο στιγμιότυπο επιπλέον μια τιμή και Για οποιοδήποτε συγκεκριμένο -προσεγγιστικό αλγόριθμο. το προσεγγιστικό σύστημα αποτελεί Ο χρόνος εκτέλεσης αυξάνει όσο μειώνεται το. Είναι πολυωνυμικός ως προς το μέγεθος του στιγμιότυπου αλλά όχι απαραίτητα ως προς το π.χ. Πλήρως πολυωνυμικό προσεγγιστικό σύστημα Προσεγγιστικό σύστημα στο οποίο ο χρόνος εκτέλεσης είναι πολυωνυμικός τόσο ως προς το μέγεθος του στιγμιότυπου όσο και ως προς το π.χ.
6 Κομβικό κάλυμμα Γράφημα Ένα υποσύνολο κόμβων είναι κομβικό κάλυμμα αν για κάθε ακμή έχουμε ή (ή και τα δύο) Πρόβλημα βελτιστοποίησης : Θέλουμε κομβικό κάλυμμα με το ελάχιστο αριθμό κόμβων
7 Κομβικό κάλυμμα Γράφημα Ένα υποσύνολο κόμβων είναι κομβικό κάλυμμα αν για κάθε ακμή έχουμε ή (ή και τα δύο) Πρόβλημα βελτιστοποίησης : Θέλουμε κομβικό κάλυμμα με το ελάχιστο αριθμό κόμβων Απλός αλγόριθμος Αρχικοποίηση : Όσο επιλέγουμε μια ακμή θέτουμε αφαιρούμε από το κάθε ακμή και
8 Κομβικό κάλυμμα Γράφημα Ένα υποσύνολο κόμβων είναι κομβικό κάλυμμα αν για κάθε ακμή έχουμε ή (ή και τα δύο) Πρόβλημα βελτιστοποίησης : Θέλουμε κομβικό κάλυμμα με το ελάχιστο αριθμό κόμβων Απλός αλγόριθμος Αρχικοποίηση : Όσο επιλέγουμε μια ακμή θέτουμε αφαιρούμε από το κάθε ακμή και
9 Κομβικό κάλυμμα Γράφημα Ένα υποσύνολο κόμβων είναι κομβικό κάλυμμα αν για κάθε ακμή έχουμε ή (ή και τα δύο) Πρόβλημα βελτιστοποίησης : Θέλουμε κομβικό κάλυμμα με το ελάχιστο αριθμό κόμβων Απλός αλγόριθμος Αρχικοποίηση : Όσο επιλέγουμε μια ακμή θέτουμε αφαιρούμε από το κάθε ακμή και
10 Κομβικό κάλυμμα Γράφημα Ένα υποσύνολο κόμβων είναι κομβικό κάλυμμα αν για κάθε ακμή έχουμε ή (ή και τα δύο) Πρόβλημα βελτιστοποίησης : Θέλουμε κομβικό κάλυμμα με το ελάχιστο αριθμό κόμβων Απλός αλγόριθμος Αρχικοποίηση : Όσο επιλέγουμε μια ακμή θέτουμε αφαιρούμε από το κάθε ακμή και
11 Κομβικό κάλυμμα Γράφημα Ένα υποσύνολο κόμβων είναι κομβικό κάλυμμα αν για κάθε ακμή έχουμε ή (ή και τα δύο) Πρόβλημα βελτιστοποίησης : Θέλουμε κομβικό κάλυμμα με το ελάχιστο αριθμό κόμβων Απλός αλγόριθμος Αρχικοποίηση : Όσο επιλέγουμε μια ακμή θέτουμε αφαιρούμε από το κάθε ακμή και
12 Κομβικό κάλυμμα Γράφημα Ένα υποσύνολο κόμβων είναι κομβικό κάλυμμα αν για κάθε ακμή έχουμε ή (ή και τα δύο) Πρόβλημα βελτιστοποίησης : Θέλουμε κομβικό κάλυμμα με το ελάχιστο αριθμό κόμβων Απλός αλγόριθμος Αρχικοποίηση : Όσο επιλέγουμε μια ακμή θέτουμε αφαιρούμε από το κάθε ακμή και
13 Κομβικό κάλυμμα Γράφημα Ένα υποσύνολο κόμβων είναι κομβικό κάλυμμα αν για κάθε ακμή έχουμε ή (ή και τα δύο) Πρόβλημα βελτιστοποίησης : Θέλουμε κομβικό κάλυμμα με το ελάχιστο αριθμό κόμβων Απλός αλγόριθμος Αρχικοποίηση : Όσο επιλέγουμε μια ακμή θέτουμε αφαιρούμε από το κάθε ακμή και
14 Κομβικό κάλυμμα Γράφημα Ένα υποσύνολο κόμβων είναι κομβικό κάλυμμα αν για κάθε ακμή έχουμε ή (ή και τα δύο) Πρόβλημα βελτιστοποίησης : Θέλουμε κομβικό κάλυμμα με το ελάχιστο αριθμό κόμβων Απλός αλγόριθμος Αρχικοποίηση : Όσο επιλέγουμε μια ακμή θέτουμε αφαιρούμε από το κάθε ακμή και
15 Κομβικό κάλυμμα Γράφημα Ένα υποσύνολο κόμβων είναι κομβικό κάλυμμα αν για κάθε ακμή έχουμε ή (ή και τα δύο) Πρόβλημα βελτιστοποίησης : Θέλουμε κομβικό κάλυμμα με το ελάχιστο αριθμό κόμβων βέλτιστη λύση
16 Κομβικό κάλυμμα Ο απλός αλγόριθμος είναι 2-προσεγγιστικός αλγόριθμος πολυωνυμικού χρόνου Έστω το σύνολο των ακμών που επέλεξε ο αλγόριθμος: Το κομβικό κάλυμμα αποτελείται από τους κόμβους που είναι άκρα των ακμών του επομένως Κάθε ακμή του καλύπτεται από έναν τουλάχιστον κόμβο του βέλτιστου καλύμματος. Επιπλέον στο δεν υπάρχουν ακμές με κάποιο κοινό άκρο. Επομένως
17 Το πρόβλημα του περιοδεύοντος πωλητή Ένας πωλητής πρέπει να επισκεφτεί πόλεις και να καταλήξει στην πόλη όπου ξεκίνησε την περιοδεία του, ελαχιστοποιώντας το συνολικό κόστος μετακίνησης Θεσσαλονίκη 13 2 Ιωάννινα Κοζάνη Λάρισα Βόλος Πάτρα 16 Αθήνα 11 Ηράκλειο
18 Το πρόβλημα του περιοδεύοντος πωλητή Πλήρες γράφημα Συνάρτηση κόστους Περιοδεία (κύκλος Hamilton): Κύκλος που επισκέπτεται κάθε κόμβο ακριβώς μια φορά Πρόβλημα βελτιστοποίησης : Θέλουμε μια περιοδεία ελάχιστου συνολικού κόστους Για ένα σύνολο ακμών ορίζουμε το κόστος του ως
19 Το πρόβλημα του περιοδεύοντος πωλητή Πλήρες γράφημα Συνάρτηση κόστους Μπορούμε να βρούμε μια σχεδόν βέλτιστη περιοδεία αν η συνάρτηση κόστους ικανοποιεί την τριγωνική ανισότητα: Τριγωνική ανισότητα: Για κάθε τριάδα κόμβων Η τριγωνική ανισότητα ισχύει σε πολλές πρακτικές εφαρμογές, π.χ. όταν το κόστος αντιστοιχεί στην απόσταση δύο σημείων στο επίπεδο
20 Το πρόβλημα του περιοδεύοντος πωλητή με τριγωνική ανισότητα Κεντρική ιδέα: Το βάρος (κόστος) ενός ελαφρύτατου συνδετικού δένδρου του γραφήματος αποτελεί κάτω φράγμα του κόστους της βέλτιστης περιοδείας Ελαφρύτατο συνδετικό δένδρο Γράφημα Συνάρτηση βάρους (εδώ ) Ζητούμενο: δένδρο a b 7 8 c 7 d 2 i e με ελάχιστο κόστος h 1 g 2 f
21 Το πρόβλημα του περιοδεύοντος πωλητή με τριγωνική ανισότητα Κεντρική ιδέα: Το βάρος (κόστος) ενός ελαφρύτατου συνδετικού δένδρου του γραφήματος αποτελεί κάτω φράγμα του κόστους της βέλτιστης περιοδείας Ελαφρύτατο συνδετικό δένδρο Γράφημα Συνάρτηση βάρους (εδώ ) Ζητούμενο: δένδρο a b 7 8 c 7 d 2 i e με ελάχιστο κόστος h 1 g 2 f Μπορεί να υπολογιστεί σε σχεδόν γραμμικό χρόνο
22 Το πρόβλημα του περιοδεύοντος πωλητή με τριγωνική ανισότητα Κεντρική ιδέα: Το βάρος (κόστος) ενός ελαφρύτατου συνδετικού δένδρου του γραφήματος αποτελεί κάτω φράγμα του κόστους της βέλτιστης περιοδείας Προσεγγιστικός αλγόριθμος 1. Υπολογίζουμε ένα ελαφρύτατο συνδετικό δένδρο του 2. Επιλέγουμε αυθαίρετα ένα κόμβο ως ρίζα και εκτελούμε καθοδική διερεύνηση του με αφετηρία το 3. Επιστρέφουμε την περιοδεία που σχηματίζεται από την διάταξη των κόμβων ως προς τους χρόνους ανακάλυψης της καθοδικής διερεύνησης
23 Το πρόβλημα του περιοδεύοντος πωλητή με τριγωνική ανισότητα Κεντρική ιδέα: Το βάρος (κόστος) ενός ελαφρύτατου συνδετικού δένδρου του γραφήματος αποτελεί κάτω φράγμα του κόστους της βέλτιστης περιοδείας
24 Το πρόβλημα του περιοδεύοντος πωλητή με τριγωνική ανισότητα Κεντρική ιδέα: Το βάρος (κόστος) ενός ελαφρύτατου συνδετικού δένδρου του γραφήματος αποτελεί κάτω φράγμα του κόστους της βέλτιστης περιοδείας
25 Το πρόβλημα του περιοδεύοντος πωλητή με τριγωνική ανισότητα Κεντρική ιδέα: Το βάρος (κόστος) ενός ελαφρύτατου συνδετικού δένδρου του γραφήματος αποτελεί κάτω φράγμα του κόστους της βέλτιστης περιοδείας
26 Το πρόβλημα του περιοδεύοντος πωλητή με τριγωνική ανισότητα Κεντρική ιδέα: Το βάρος (κόστος) ενός ελαφρύτατου συνδετικού δένδρου του γραφήματος αποτελεί κάτω φράγμα του κόστους της βέλτιστης περιοδείας [1,16] [2,7] [3,4] [5,6] [8,15] [9,14] ελαφρύτατο συνδετικό δένδρο διάταξη [10,11] [12,13]
27 Το πρόβλημα του περιοδεύοντος πωλητή με τριγωνική ανισότητα Κεντρική ιδέα: Το βάρος (κόστος) ενός ελαφρύτατου συνδετικού δένδρου του γραφήματος αποτελεί κάτω φράγμα του κόστους της βέλτιστης περιοδείας [1,16] [2,7] [3,4] [5,6] [8,15] [9,14] περιοδεία [10,11] [12,13] διάταξη
28 Το πρόβλημα του περιοδεύοντος πωλητή με τριγωνική ανισότητα Κεντρική ιδέα: Το βάρος (κόστος) ενός ελαφρύτατου συνδετικού δένδρου του γραφήματος αποτελεί κάτω φράγμα του κόστους της βέλτιστης περιοδείας [1,16] [2,7] [3,4] [5,6] [8,15] [9,14] βέλτιστη περιοδεία περιοδεία [10,11] [12,13] διάταξη
29 Το πρόβλημα του περιοδεύοντος πωλητή με τριγωνική ανισότητα Ο αλγόριθμος είναι 2-προσεγγιστικός πολυωνυμικού χρόνου Έστω μια βέλτιστη περιοδεία και μια οποιαδήποτε ακμή της Τότε το είναι συνδετικό δένδρο, άρα βέλτιστη περιοδεία συνδετικό δένδρο ελαφρύτατο συνδετικό δένδρο
30 Το πρόβλημα του περιοδεύοντος πωλητή με τριγωνική ανισότητα Ο αλγόριθμος είναι 2-προσεγγιστικός πολυωνυμικού χρόνου Πλήρης διάνυση του : καταγράφει τη σειρά όλων των επισκέψεων στους κόμβους κατά την καθοδική διερεύνηση Μια πλήρης διάνυση διατρέχει κάθε ακμή του δύο φορές [1,16] [2,7] [3,4] [5,6] [8,15] [9,14] ελαφρύτατο συνδετικό δένδρο [10,11] [12,13] πλήρης διάνυση του :
31 Το πρόβλημα του περιοδεύοντος πωλητή με τριγωνική ανισότητα Ο αλγόριθμος είναι 2-προσεγγιστικός πολυωνυμικού χρόνου Πλήρης διάνυση του : καταγράφει τη σειρά όλων των επισκέψεων στους κόμβους κατά την καθοδική διερεύνηση Μια πλήρης διάνυση διατρέχει κάθε ακμή του δύο φορές Λόγω της τριγωνικής ανισότητας: [1,16] [2,7] [3,4] [5,6] [8,15] [9,14] π.χ. [10,11] [12,13] πλήρης διάνυση του :
32 Το πρόβλημα του περιοδεύοντος πωλητή με τριγωνική ανισότητα Ο αλγόριθμος είναι 2-προσεγγιστικός πολυωνυμικού χρόνου Πλήρης διάνυση του : καταγράφει τη σειρά όλων των επισκέψεων στους κόμβους κατά την καθοδική διερεύνηση Μια πλήρης διάνυση διατρέχει κάθε ακμή του δύο φορές Λόγω της τριγωνικής ανισότητας: [1,16] [2,7] [3,4] [5,6] [8,15] [9,14] ελαφρύτατο συνδετικό δένδρο [10,11] [12,13] πλήρης διάνυση του : περιοδεία
33 Το γενικό πρόβλημα του περιοδεύοντος πωλητή Αν η συνάρτηση κόστους δεν ικανοποιεί την τριγωνική ανισότητα τότε είναι αδύνατο να βρούμε σε πολυωνυμικό χρόνο μια -προσεγγιστική περιοδεία, για οποιαδήποτε σταθερά, εκτός εάν Η ύπαρξη ενός -προσεγγιστικού αλγόριθμου πολυωνυμικού χρόνου συνεπάγεται πολυωνυμικό αλγόριθμο για το παρακάτω NP-πλήρες πρόβλημα Κύκλος Hamilton Μας δίνεται γράφημα : υπάρχει κύκλος που επισκέπτεται κάθε (ενδιάμεσο) κόμβο ακριβώς μία φορά;
34 Το γενικό πρόβλημα του περιοδεύοντος πωλητή Ας υποθέσουμε ότι υπάρχει -προσεγγιστικός αλγόριθμος πολυωνυμικού χρόνου για το γενικό πρόβλημα του περιοδεύοντος πωλητή, όπου ακέραια σταθερά. Μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε τον για να βρούμε σε πολυωνυμικό χρόνο αν υπάρχει κύκλος Hamilton σε ένα γράφημα Έστω το πλήρες γράφημα με σύνολο κόμβων Ορίζουμε τη συνάρτηση κόστους των ακμών του ως Αν το έχει κύκλο Hamilton τότε η βέλτιστη περιοδεία του έχει κόστος Διαφορετικά η περιέχει τουλάχιστον μια ακμή εκτός, άρα
35 Το γενικό πρόβλημα του περιοδεύοντος πωλητή Ας υποθέσουμε ότι υπάρχει -προσεγγιστικός αλγόριθμος πολυωνυμικού χρόνου για το γενικό πρόβλημα του περιοδεύοντος πωλητή, όπου ακέραια σταθερά. Μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε τον για να βρούμε σε πολυωνυμικό χρόνο αν υπάρχει κύκλος Hamilton σε ένα γράφημα Έστω το πλήρες γράφημα με σύνολο κόμβων Έστω η περιοδεία του που επιστρέφει ο. Ισχύει Αν το έχει κύκλο Hamilton τότε Διαφορετικά. Επομένως μπορούμε να αποφασίσουμε σε πολυωνυμικό χρόνο αν το περιέχει κύκλο Hamilton!
36 Κάλυψη συνόλου σύνολο αντικειμένων οικογένεια υποσυνόλων του Το σύνολο καλύπτει το αν Πρόβλημα βελτιστοποίησης : Θέλουμε ένα υποσύνολο ελάχιστου μεγέθους που να καλύπτει το
37 Κάλυψη συνόλου Άπληστος αλγόριθμος 1. αρχικοποίηση: 2. ενόσω 3. επιλέγουμε που μεγιστοποιεί το 4.
38 Κάλυψη συνόλου Άπληστος αλγόριθμος 1. αρχικοποίηση: 2. ενόσω 3. επιλέγουμε που μεγιστοποιεί το 4.
39 Κάλυψη συνόλου Άπληστος αλγόριθμος 1. αρχικοποίηση: 2. ενόσω 3. επιλέγουμε που μεγιστοποιεί το 4.
40 Κάλυψη συνόλου Άπληστος αλγόριθμος 1. αρχικοποίηση: 2. ενόσω 3. επιλέγουμε που μεγιστοποιεί το 4.
41 Κάλυψη συνόλου Άπληστος αλγόριθμος 1. αρχικοποίηση: 2. ενόσω 3. επιλέγουμε που μεγιστοποιεί το 4.
42 Κάλυψη συνόλου Άπληστος αλγόριθμος 1. αρχικοποίηση: 2. ενόσω 3. επιλέγουμε που μεγιστοποιεί το 4. βέλτιστη κάλυψη
43 Κάλυψη συνόλου Ο άπληστος αλγόριθμος είναι όπου -προσεγγιστικός πολυωνυμικού χρόνου, και
44 Κάλυψη συνόλου Ο άπληστος αλγόριθμος είναι όπου -προσεγγιστικός πολυωνυμικού χρόνου, και Έστω το -οστό σύνολο που επιλέγει ο αλγόριθμος Η προσθήκη του έχει κόστος 1 αφού αυξάνει το κατά μια μονάδα στοιχεία του που καλύπτονται για πρώτη φορά Κόστος ανά νέο στοιχείο Επομένως έχουμε
45 Κάλυψη συνόλου Ο άπληστος αλγόριθμος είναι όπου -προσεγγιστικός πολυωνυμικού χρόνου, και Έστω το -οστό σύνολο που επιλέγει ο αλγόριθμος Η προσθήκη του έχει κόστος 1 αφού αυξάνει το κατά μια μονάδα στοιχεία του που καλύπτονται για πρώτη φορά Κόστος ανά νέο στοιχείο Επομένως έχουμε Αποδίδουμε στο βέλτιστο κάλυμμα κόστος
46 Κάλυψη συνόλου Ο άπληστος αλγόριθμος είναι όπου -προσεγγιστικός πολυωνυμικού χρόνου, και Θα δείξουμε ότι για οποιοδήποτε Με δεδομένο το παραπάνω έχουμε
47 Κάλυψη συνόλου Ο άπληστος αλγόριθμος είναι όπου -προσεγγιστικός πολυωνυμικού χρόνου, και Θα δείξουμε ότι για οποιοδήποτε στοιχεία του που δεν έχουν καλυφθεί ακόμα Θέτουμε για και Έστω και, δηλαδή ο αλγόριθμος επιλέγει Ισχύει ακόμα ότι πλήθος στοιχείων που καλύπτονται για πρώτη φορά από το
48 Κάλυψη συνόλου Ο άπληστος αλγόριθμος είναι όπου -προσεγγιστικός πολυωνυμικού χρόνου, και Θα δείξουμε ότι για οποιοδήποτε Επομένως έχουμε
49 Κάλυψη συνόλου Ο άπληστος αλγόριθμος είναι όπου -προσεγγιστικός πολυωνυμικού χρόνου, και Θα δείξουμε ότι για οποιοδήποτε Επομένως έχουμε
50 Ακέραιος Προγραμματισμός Σταθμισμένο κομβικό κάλυμμα Γράφημα Ένα υποσύνολο κόμβων είναι κομβικό κάλυμμα αν για κάθε ακμή έχουμε ή (ή και τα δύο) Βάρη κόμβων : Βάρος καλύμματος : Πρόβλημα βελτιστοποίησης : Θέλουμε κομβικό κάλυμμα με ελάχιστο βάρος Ακέραιο Πρόγραμμα μεταβλητή για κάθε
51 Προσέγγιση μέσω Γραμμικού Προγραμματισμού Μεταβλητή για κάθε : Ακέραιο Πρόγραμμα Γραμμικό Πρόγραμμα χαλάρωση
52 Προσέγγιση μέσω Γραμμικού Προγραμματισμού Μεταβλητή για κάθε : Ακέραιο Πρόγραμμα Γραμμικό Πρόγραμμα χαλάρωση Έστω Έστω το βέλτιστο κάλυμμα με βάρος μια βέλτιστη λύση του γραμμικού προγράμματος με βάρος Τότε
53 Προσέγγιση μέσω Γραμμικού Προγραμματισμού Μεταβλητή για κάθε : Ακέραιο Πρόγραμμα Γραμμικό Πρόγραμμα χαλάρωση Έστω Έστω το βέλτιστο κάλυμμα με βάρος μια βέλτιστη λύση του γραμμικού προγράμματος με βάρος Τότε
54 Προσέγγιση μέσω Γραμμικού Προγραμματισμού Στρογγυλοποίηση λύσης γραμμικού προγράμματος Ακέραιο Πρόγραμμα Γραμμικό Πρόγραμμα χαλάρωση Έστω μια βέλτιστη λύση του γραμμικού προγράμματος με βάρος Στρογγυλοποίηση : Επιλέγουμε στο κομβικό κάλυμμα τους κόμβους με Για κάθε ακμή έχουμε άρα το είναι κομβικό κάλυμμα
55 Προσέγγιση μέσω Γραμμικού Προγραμματισμού Στρογγυλοποίηση λύσης γραμμικού προγράμματος Έστω μια βέλτιστη λύση του γραμμικού προγράμματος με βάρος Στρογγυλοποίηση : Επιλέγουμε στο κομβικό κάλυμμα τους κόμβους με Για κάθε ακμή έχουμε άρα το είναι κομβικό κάλυμμα Επιπλέον
56 Προσεγγιστικό σύστημα για το πρόβλημα του Σακιδίου Το πρόβλημα του Σακιδίου Έχουμε αντικείμενα, όπου το αντικείμενο έχει βάρος και (ακέραια) αξία Ο σκοπός μας είναι να γεμίσουμε με τα αντικείμενα αυτά ένα σακίδιο ώστε η συνολική αξία των αντικειμένων που επιλέξαμε να είναι η μέγιστη δυνατή και το συνολικό βάρος. Μπορούμε να υποθέσουμε για κάθε Δηλαδή θέλουμε και ικανοποιεί που μεγιστοποιεί το
57 Προσεγγιστικό σύστημα για το πρόβλημα του Σακιδίου Δυναμικός Προγραμματισμός Ορίζουμε τα υποπροβλήματα ελάχιστο βάρος υποσυνόλου στοιχείων με αξία Για να λύσουμε το πρόβλημα του σακιδίου υπολογίζουμε όλες τις τιμές για και και επιλέγουμε τη λύση με μέγιστο τέτοιο ώστε Έστω Τότε άρα έχουμε υποπροβλήματα
58 Προσεγγιστικό σύστημα για το πρόβλημα του Σακιδίου Δυναμικός Προγραμματισμός Τα υποπροβλήματα λύνονται μέσω της ακόλουθης αναδρομής Έστω Αν μια βέλτιστη λύση του τότε Αν και τότε Αν και τότε Αν τότε Άρα
59 Προσεγγιστικό σύστημα για το πρόβλημα του Σακιδίου Δυναμικός Προγραμματισμός Αλγόριθμος Αποθηκεύουμε τις βέλτιστες τιμές των υποπροβλημάτων διδιάστατο πίνακα. Ξεκινάμε με για όλα τα σε ένα Χρόνος εκτέλεσης : Δεν είναι πολυωνυμικός!
60 Προσεγγιστικό σύστημα για το πρόβλημα του Σακιδίου Για να κάνουμε το χρόνο εκτέλεσης πολυωνυμικό (θυσιάζοντας την ακρίβεια της λύσης) στρογγυλοποιούμε τις αξίες ως προς μια παράμετρο Θέτουμε και Οι είναι πολλαπλάσιες του και Επιπλέον έστω τιμή βέλτιστης λύσης του προβλήματος του Σακιδίου με αξίες τιμή βέλτιστης λύσης του προβλήματος του Σακιδίου με αξίες Τότε
61 Προσεγγιστικό σύστημα για το πρόβλημα του Σακιδίου Για να κάνουμε το χρόνο εκτέλεσης πολυωνυμικό (θυσιάζοντας την ακρίβεια της λύσης) στρογγυλοποιούμε τις αξίες ως προς μια παράμετρο Θέτουμε και Οι είναι πολλαπλάσιες του και Επιπλέον έστω τιμή βέλτιστης λύσης του προβλήματος του Σακιδίου με αξίες τιμή βέλτιστης λύσης του προβλήματος του Σακιδίου με αξίες Τότε Άρα για να βρούμε μια προσεγγιστική λύση, λύνουμε το πρόβλημα του Σακιδίου με αξίες. Έστω ότι επιστρέφει το σύνολο στοιχείων. Ισχύει ότι. Θα δείξουμε ότι, όπου οποιοδήποτε σύνολο τέτοιο ώστε
62 Προσεγγιστικό σύστημα για το πρόβλημα του Σακιδίου Άρα για να βρούμε μια προσεγγιστική λύση, λύνουμε το πρόβλημα του Σακιδίου με αξίες. Έστω ότι επιστρέφει το σύνολο στοιχείων. Ισχύει ότι. Θα δείξουμε ότι, όπου οποιοδήποτε σύνολο τέτοιο ώστε Έχουμε Επιπλέον Έστω. Τότε Για απλότητα υποθέτουμε ότι το είναι ακέραιος, οπότε Επίσης
63 Προσεγγιστικό σύστημα για το πρόβλημα του Σακιδίου Άρα για να βρούμε μια προσεγγιστική λύση, λύνουμε το πρόβλημα του Σακιδίου με αξίες. Έστω ότι επιστρέφει το σύνολο στοιχείων. Ισχύει ότι. Θα δείξουμε ότι, όπου οποιοδήποτε σύνολο τέτοιο ώστε Έχουμε Επιπλέον και Άρα
64 Προσεγγιστικό σύστημα για το πρόβλημα του Σακιδίου Άρα για να βρούμε μια προσεγγιστική λύση, λύνουμε το πρόβλημα του Σακιδίου με αξίες. Έστω ότι επιστρέφει το σύνολο στοιχείων. Ισχύει ότι. Θα δείξουμε ότι, όπου οποιοδήποτε σύνολο τέτοιο ώστε Χρόνος εκτέλεσης = αφού
Προσεγγιστικοί Αλγόριθμοι
Πολλά NP-πλήρη προβλήματα έχουν μεγάλο πρακτικό ενδιαφέρον. http://xkcd.com/287/ Πολλά NP-πλήρη προβλήματα έχουν μεγάλο πρακτικό ενδιαφέρον. Πως μπορούμε να αντιμετωπίσουμε το γεγονός ότι είναι απίθανη(;)
Διαβάστε περισσότεραγια NP-Δύσκολα Προβλήματα
Προσεγγιστικοί Αλγόριθμοι για NP-Δύσκολα Προβλήματα Διδάσκοντες: Σ. Ζάχος, Δ. Φωτάκης Επιμέλεια διαφανειών: Δ. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο
Διαβάστε περισσότεραΓραμμικός Προγραμματισμός
Μια εταιρεία παράγει κέικ δύο κατηγοριών, απλά και πολυτελείας: Ένα απλό κέικ αποδίδει κέρδος 1 ευρώ. Ένα κέικ πολυτελείας αποδίδει κέρδος 6 ευρώ. Η καθημερινή ζήτηση του απλού κέικ είναι 200. Η καθημερινή
Διαβάστε περισσότεραΠροσεγγιστικοί Αλγόριθμοι για NP- ύσκολα Προβλήματα
Προσεγγιστικοί Αλγόριθμοι για NP- ύσκολα Προβλήματα ημήτρης Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Αντιμετώπιση NP- υσκολίας Αν P NP, όχι αλγόριθμος
Διαβάστε περισσότεραΠροσεγγιστικοί Αλγόριθμοι για NP- ύσκολα Προβλήματα
Προσεγγιστικοί Αλγόριθμοι για NP- ύσκολα Προβλήματα ιδάσκοντες: Σ. Ζάχος,. Φωτάκης Επιμέλεια διαφανειών:. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Άδεια
Διαβάστε περισσότεραΠολυπλοκότητα. Παράμετροι της αποδοτικότητας ενός αλγόριθμου: Χρόνος εκτέλεσης. Απαιτούμενοι πόροι, π.χ. μνήμη, εύρος ζώνης. Προσπάθεια υλοποίησης
Παράμετροι της αποδοτικότητας ενός αλγόριθμου: Χρόνος εκτέλεσης Απαιτούμενοι πόροι, π.χ. μνήμη, εύρος ζώνης Προσπάθεια υλοποίησης Παράμετροι της αποδοτικότητας ενός αλγόριθμου: Χρόνος εκτέλεσης Απαιτούμενοι
Διαβάστε περισσότεραΑλγόριθμοι Προσέγγισης για NP-Δύσκολα Προβλήματα
Αλγόριθμοι Προσέγγισης για NP-Δύσκολα Προβλήματα Διδάσκοντες: E. Ζάχος, Α. Παγουρτζής Δ. Φωτάκης Επιμέλεια διαφανειών: Δ. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο
Διαβάστε περισσότεραΔυναμικός Προγραμματισμός
Δυναμικός Προγραμματισμός Επιμέλεια διαφανειών: Δ. Φωτάκης Τροποποιήσεις: Α. Παγουρτζής Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Διωνυμικοί Συντελεστές Διωνυμικοί
Διαβάστε περισσότεραNP-πληρότητα. Λεωνίδας Παληός Τμήμα Μηχανικών Η/Υ και Πληροφορικής Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων
NP-πληρότητα Λεωνίδας Παληός Τμήμα Μηχανικών Η/Υ και Πληροφορικής Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων Πολυωνυμικός μετασχηματισμός Ένας πολυωνυμικός μετασχηματισμός από την L 1 Σ 1 * στην L 2 Σ 2 * είναι μια συνάρτηση
Διαβάστε περισσότεραΕιδικά θέματα Αλγορίθμων και Δομών Δεδομένων (ΠΛΕ073) Απαντήσεις 1 ου Σετ Ασκήσεων
Ειδικά θέματα Αλγορίθμων και Δομών Δεδομένων (ΠΛΕ073) Απαντήσεις 1 ου Σετ Ασκήσεων Άσκηση 1 α) Η δομή σταθμισμένης ένωσης με συμπίεση διαδρομής μπορεί να τροποποιηθεί πολύ εύκολα ώστε να υποστηρίζει τις
Διαβάστε περισσότεραυναμικός Προγραμματισμός
υναμικός Προγραμματισμός ιδάσκοντες: Σ. Ζάχος,. Φωτάκης Επιμέλεια διαφανειών:. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο ιωνυμικοί Συντελεστές ιωνυμικοί
Διαβάστε περισσότεραΔυναμικός Προγραμματισμός
Δυναμικός Προγραμματισμός Επιμέλεια διαφανειών: Δ. Φωτάκης Τροποποιήσεις /προσθήκες: Α. Παγουρτζής Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Διωνυμικοί Συντελεστές
Διαβάστε περισσότεραΔυναμικός Προγραμματισμός
Τρίγωνο του Pascal Δυναμικός Προγραμματισμός Διωνυμικοί συντελεστές Διδάσκοντες: Σ. Ζάχος, Δ. Φωτάκης Επιμέλεια διαφανειών: Δ. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο
Διαβάστε περισσότεραΠροσεγγιστικοί Αλγόριθμοι βασισμένοι σε Γραμμικό Προγραμματισμό
Προσεγγιστικοί Αλγόριθμοι βασισμένοι σε Γραμμικό Προγραμματισμό ημήτρης Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Προσεγγιστικοί Αλγόριθμοι Απόδοση χειρότερης
Διαβάστε περισσότεραΚατανεμημένα Συστήματα Ι
Κατανεμημένα Συστήματα Ι Παναγιώτα Παναγοπούλου 11η Διάλεξη 12 Ιανουαρίου 2017 1 Ανεξάρτητο σύνολο Δοθέντος ενός μη κατευθυνόμενου γραφήματος G = (V, E), ένα ανεξάρτητο σύνολο (independent set) είναι ένα
Διαβάστε περισσότεραυναμικός Προγραμματισμός
υναμικός Προγραμματισμός ημήτρης Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο ιακριτό Πρόβλημα Σακιδίου ίνονται n αντικείμενα και σακίδιο μεγέθους Β. Αντικείμενο
Διαβάστε περισσότεραυναμικός Προγραμματισμός
υναμικός Προγραμματισμός ιδάσκοντες: Σ. Ζάχος,. Φωτάκης Επιμέλεια διαφανειών:. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο ιωνυμικοί Συντελεστές ιωνυμικοί
Διαβάστε περισσότεραΚεφάλαιο 11 Ένωση Ξένων Συνόλων
Κεφάλαιο 11 Ένωση Ξένων Συνόλων Περιεχόμενα 11.1 Εισαγωγή... 227 11.2 Εφαρμογή στο Πρόβλημα της Συνεκτικότητας... 228 11.3 Δομή Ξένων Συνόλων με Συνδεδεμένες Λίστες... 229 11.4 Δομή Ξένων Συνόλων με Ανοδικά
Διαβάστε περισσότεραΠΛΕ075: Προηγμένη Σχεδίαση Αλγορίθμων και Δομών Δεδομένων. Λουκάς Γεωργιάδης
ΠΛΕ075: Προηγμένη Σχεδίαση Αλγορίθμων και Δομών Δεδομένων Λουκάς Γεωργιάδης loukas@cs.uoi.gr www.cs.uoi.gr/~loukas Βασικές έννοιες και εφαρμογές Αλγόριθμος: Μέθοδος για την επίλυση ενός προβλήματος Δομή
Διαβάστε περισσότεραmax 17x x 2 υπό 10x 1 + 7x 2 40 x 1 + x 2 5 x 1, x 2 0.
Υπολογιστικές Μέθοδοι στη Θεωρία Αποφάσεων Ενότητα 11 Επίλυση στον Ακέραιο Προγραμματισμό Αντώνης Οικονόμου Τμήμα Μαθηματικών Πανεπιστήμιο Αθηνών Προπτυχιακό πρόγραμμα σπουδών 6 Μαΐου 2016 Η μέθοδος κλάδος-φράγμα
Διαβάστε περισσότεραΚεφάλαιο 8. NP και Υπολογιστική Δυσεπιλυσιμότητα. Χρησιμοποιήθηκε υλικό από τις αγγλικές διαφάνειες του Kevin Wayne.
Κεφάλαιο 8 NP και Υπολογιστική Δυσεπιλυσιμότητα Χρησιμοποιήθηκε υλικό από τις αγγλικές διαφάνειες του Kevin Wayne. 1 πρόβλημα αναζήτησης (search problem) Ένα πρόβλημα αναζήτησης είναι ένα πρόβλημα στο
Διαβάστε περισσότεραΠροσεγγιστικοί Αλγόριθμοι βασισμένοι σε Γραμμικό Προγραμματισμό
Προσεγγιστικοί Αλγόριθμοι βασισμένοι σε Γραμμικό Προγραμματισμό ημήτρης Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Γενική Προσέγγιση ιατυπώνουμε το πρόβλημα
Διαβάστε περισσότεραΠροσεγγιστικοί Αλγόριθμοι βασισμένοι σε Γραμμικό Προγραμματισμό
Προσεγγιστικοί Αλγόριθμοι βασισμένοι σε Γραμμικό Προγραμματισμό ημήτρης Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Αντιμετώπιση NP- υσκολίας Αν P NP, όχι
Διαβάστε περισσότεραΚεφάλαιο 5ο: Ακέραιος προγραμματισμός
Κεφάλαιο 5ο: Ακέραιος προγραμματισμός 5.1 Εισαγωγή Ο ακέραιος προγραμματισμός ασχολείται με προβλήματα γραμμικού προγραμματισμού στα οποία μερικές ή όλες οι μεταβλητές είναι ακέραιες. Ένα γενικό πρόβλημα
Διαβάστε περισσότεραΕλαφρύτατες διαδρομές
Ελαφρύτατες διαδρομές Ελαφρύτατες διαδρομές Κατευθυνόμενο γράφημα Συνάρτηση βάρους Ελαφρύτατη διαδρομή από το u στο v : διαδρομή με και ελάχιστο βάρος s 3 t 7 x 5 3 y z Βάρος ελαφρύτατης διαδρομής εάν
Διαβάστε περισσότεραΔομές Δεδομένων και Αλγόριθμοι
Δομές Δεδομένων και Αλγόριθμοι Χρήστος Γκόγκος ΤΕΙ Ηπείρου Χειμερινό Εξάμηνο 2014-2015 Παρουσίαση 9 P vs NP 1 / 13 Δυσκολία επίλυσης υπολογιστικών προβλημάτων Κάποια προβλήματα είναι εύκολα να λυθούν με
Διαβάστε περισσότεραΠροσεγγιστικοί Αλγόριθμοι βασισμένοι σε Γραμμικό Προγραμματισμό
Προσεγγιστικοί Αλγόριθμοι βασισμένοι σε Γραμμικό Προγραμματισμό ημήτρης Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Γενική Προσέγγιση ιατυπώνουμε το πρόβλημα
Διαβάστε περισσότεραΑλγόριθμοι και πολυπλοκότητα Δυναμικός Προγραμματισμός
ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ Αλγόριθμοι και πολυπλοκότητα Δυναμικός Προγραμματισμός Ιωάννης Τόλλης Τμήμα Επιστήμης Υπολογιστών Δυναμικός Προγραμματισμός Δυναμικός Προγραμματισμός 1 Περίληψη
Διαβάστε περισσότεραΔιαχείριση Εφοδιαστικής Αλυσίδας ΙΙ
Διαχείριση Εφοδιαστικής Αλυσίδας ΙΙ 1 η Διάλεξη: Αναδρομή στον Μαθηματικό Προγραμματισμό 2019, Πολυτεχνική Σχολή Εργαστήριο Συστημάτων Σχεδιασμού, Παραγωγής και Λειτουργιών Περιεχόμενα 1. Γραμμικός Προγραμματισμός
Διαβάστε περισσότερα4η Γραπτή Ασκηση Αλγόριθμοι και Πολυπλοκότητα CoReLab ΣΗΜΜΥ 3/2/2019 CoReLab (ΣΗΜΜΥ) 4η Γραπτή Ασκηση 3/2/ / 37
4η Γραπτή Άσκηση Αλγόριθμοι και Πολυπλοκότητα CoReLab ΣΗΜΜΥ 3/2/2019 CoReLab (ΣΗΜΜΥ) 4η Γραπτή Άσκηση 3/2/2019 1 / 37 Άσκηση 1 Πρέπει να βρούμε όλες τις καλές προτάσεις φίλων για τον i ανάμεσα σε όλους
Διαβάστε περισσότεραΕπίπεδα Γραφήματα : Προβλήματα και Υπολογιστική Πολυπλοκότητα
Αλγόριθμοι πολυωνυμικού χρόνου Ένας αλγόριθμος πολυωνυμικού χρόνου έχει χρόνο εκτέλεσης όπου είναι μία (θετική) σταθερά Κλάση πολυπλοκότητας : περιλαμβάνει τα προβλήματα που επιδέχονται λύση σε πολυωνυμικό
Διαβάστε περισσότεραΔιαίρει και Βασίλευε. πρόβλημα μεγέθους Ν. διάσπαση. πρόβλημα μεγέθους k. πρόβλημα μεγέθους Ν-k
Διαίρει και Βασίλευε πρόβλημα μεγέθους Ν διάσπαση πρόβλημα μεγέθους k πρόβλημα μεγέθους Ν-k Διαίρει και Βασίλευε πρόβλημα μεγέθους Ν διάσπαση επιλύουμε αναδρομικά τα υποπροβλήματα πρόβλημα μεγέθους k πρόβλημα
Διαβάστε περισσότεραΑλγοριθμικές Τεχνικές
Αλγοριθμικές Τεχνικές Παύλος Εφραιμίδης, Λέκτορας http://pericles.ee.duth.gr Αλγοριθμικές Τεχνικές 1 Τεχνικές Σχεδιασμού Αλγορίθμων Ορισμένες γενικές αρχές για τον σχεδιασμό αλγορίθμων είναι: Διαίρει και
Διαβάστε περισσότεραΑξιολόγηση Ευριστικών Αλγορίθµων
Προσεγγιστικοί Αλγόριθµοι Πολλές ϕορές η εύρεση της ϐέλτιστων λύσεων προβληµάτων ακέραιου γραµµικού προγραµµατισµού είναι µια χρονοβόρα διαδικασία (εκθετική πολυπλοκότητα) Προσεγγιστικοί Αλγόριθµοι Πολλές
Διαβάστε περισσότεραHY118-Διακριτά Μαθηματικά. Θεωρία γράφων/ γραφήματα. Τι έχουμε δει μέχρι τώρα. Ισομορφισμός γράφων: Μία σχέση ισοδυναμίας μεταξύ γράφων.
HY118-Διακριτά Μαθηματικά Θεωρία γράφων/ γραφήματα Τρίτη, 15/05/2018 Αντώνης Α. Αργυρός e-mail: argyros@csd.uoc.gr 16-May-18 1 1 16-May-18 2 2 Τι έχουμε δει μέχρι τώρα Κατευθυνόμενοι μη κατευθυνόμενοι
Διαβάστε περισσότεραΚεφάλαιο 8. NP και Υπολογιστική Δυσεπιλυσιμότητα. Παύλος Εφραιμίδης V1.1,
Κεφάλαιο 8 NP και Υπολογιστική Δυσεπιλυσιμότητα Παύλος Εφραιμίδης V1.1, 2015-01-19 Χρησιμοποιήθηκε υλικό από τις αγγλικές διαφάνειες του Kevin Wayne. 1 πρόβλημα αναζήτησης (search problem) Ένα πρόβλημα
Διαβάστε περισσότεραΔιωνυµικοί Συντελεστές. Αλγόριθµοι & Πολυπλοκότητα (Χειµώνας 2011) Δυναµικός Προγραµµατισµός 1
Διωνυµικοί Συντελεστές Αλγόριθµοι & Πολυπλοκότητα (Χειµώνας 2011) Δυναµικός Προγραµµατισµός 1 Διωνυµικοί Συντελεστές Διωνυµικοί συντελεστές Αλγόριθµοι & Πολυπλοκότητα (Χειµώνας 2011) Δυναµικός Προγραµµατισµός
Διαβάστε περισσότεραΑλγοριθμικές Τεχνικές. Brute Force. Διαίρει και Βασίλευε. Παράδειγμα MergeSort. Παράδειγμα. Τεχνικές Σχεδιασμού Αλγορίθμων
Τεχνικές Σχεδιασμού Αλγορίθμων Αλγοριθμικές Τεχνικές Παύλος Εφραιμίδης, Λέκτορας http://pericles.ee.duth.gr Ορισμένες γενικές αρχές για τον σχεδιασμό αλγορίθμων είναι: Διαίρει και Βασίλευε (Divide and
Διαβάστε περισσότεραΚλάσεις Πολυπλοκότητας
Κλάσεις Πολυπλοκότητας Παύλος Εφραιμίδης pefraimi ee.duth.gr Κλάσεις Πολυπλοκότητας 1 Οι κλάσεις πολυπλοκότητας P και NP P: Polynomial ΗκλάσηP περιλαμβάνει όλα τα υπολογιστικά προβλήματα που μπορούν
Διαβάστε περισσότεραHY118-Διακριτά Μαθηματικά. Θεωρία γράφων / γραφήματα. Τι έχουμε δει μέχρι τώρα. Υπογράφημα. 24 -Γράφοι
HY118-Διακριτά Μαθηματικά Θεωρία γράφων / γραφήματα Πέμπτη, 11/05/2017 Αντώνης Α. Αργυρός e-mail: argyros@csd.uoc.gr 11-May-17 1 1 11-May-17 2 2 Τι έχουμε δει μέχρι τώρα Κατευθυνόμενοι μη κατευθυνόμενοι
Διαβάστε περισσότεραΓέφυρες σε Δίκτυα. Μας δίνεται ένα δίκτυο (κατευθυνόμενο γράφημα) αφετηριακός κόμβος. Γέφυρα του (με αφετηρία τον ) :
Μας δίνεται ένα δίκτυο (κατευθυνόμενο γράφημα) αφετηριακός κόμβος και Γέφυρα του (με αφετηρία τον ) : Ακμή που περιέχεται σε κάθε μονοπάτι από το στο s a b c d e f g h i j k l Μας δίνεται ένα δίκτυο (κατευθυνόμενο
Διαβάστε περισσότεραΑλγόριθµοι Προσέγγισης για NP- ύσκολα Προβλήµατα
Αλγόριθµοι Προσέγγισης για NP- ύσκολα Προβλήµατα Παύλος Σπυράκης Πανεπιστήµιο Πατρών Τοµέας Θεµελιώσεων και Εφαρµογών της Επιστήµης των Υπολογιστών Ερευνητικό Ακαδηµαϊκό Ινστιτούτο Τεχνολογίας Υπολογιστών
Διαβάστε περισσότεραΜέγιστη ροή. Κατευθυνόμενο γράφημα. Συνάρτηση χωρητικότητας. αφετηρίακός κόμβος. τερματικός κόμβος. Ροή δικτύου. με τις ακόλουθες ιδιότητες
Κατευθυνόμενο γράφημα Συνάρτηση χωρητικότητας 12 16 2 Ροή δικτύου Συνάρτηση αφετηρίακός κόμβος 13 1 με τις ακόλουθες ιδιότητες 4 14 9 7 4 τερματικός κόμβος Περιορισμός χωρητικότητας: Αντισυμμετρία: Διατήρηση
Διαβάστε περισσότεραΠροσεγγιστικοί Αλγόριθμοι βασισμένοι σε Γραμμικό Προγραμματισμό
Προσεγγιστικοί Αλγόριθμοι βασισμένοι σε Γραμμικό Προγραμματισμό ημήτρης Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Αντιμετώπιση NP- υσκολίας Αν P NP, όχι
Διαβάστε περισσότεραΠροσεγγιστικοί Αλγόριθμοι
Κεφάλαιο 12 Προσεγγιστικοί Αλγόριθμοι 12.1 Προβλήματα Βελτιστοποίησης Σε ένα πρόβλημα βελτιστοποίησης σε κάθε στιγμιότυπο του προβλήματος αντιστοιχούν κάποιες εφικτές (feasible) -δηλαδή επιτρεπτές- λύσεις,
Διαβάστε περισσότεραΔομές Δεδομένων & Αλγόριθμοι
Θέματα Απόδοσης Αλγορίθμων 1 Η Ανάγκη για Δομές Δεδομένων Οι δομές δεδομένων οργανώνουν τα δεδομένα πιο αποδοτικά προγράμματα Πιο ισχυροί υπολογιστές πιο σύνθετες εφαρμογές Οι πιο σύνθετες εφαρμογές απαιτούν
Διαβάστε περισσότεραChapter 7, 8 : Time, Space Complexity
CSC 314: Switching Theory Chapter 7, 8 : Time, Space Complexity 12 December 2008 1 1 Υπολογίσιμα και Εφικτά Υπολογίσιμα Προβλήματα Είδαμε ότι 1. Οτιδήποτεμπορούμεναπεριγράψουμεμεένααλγόριθμο μπορεί να
Διαβάστε περισσότεραΜέγιστη ροή. Κατευθυνόμενο γράφημα. Συνάρτηση χωρητικότητας. αφετηρίακός κόμβος. τερματικός κόμβος. Ροή δικτύου. με τις ακόλουθες ιδιότητες
Κατευθυνόμενο γράφημα Συνάρτηση χωρητικότητας 2 6 20 Ροή δικτύου Συνάρτηση αφετηρίακός κόμβος 0 με τις ακόλουθες ιδιότητες 9 7 τερματικός κόμβος Περιορισμός χωρητικότητας: Αντισυμμετρία: Διατήρηση ροής:
Διαβάστε περισσότεραΤομές Γραφήματος. Γράφημα (μη κατευθυνόμενο) Συνάρτηση βάρους ακμών. Τομή : Διαμέριση του συνόλου των κόμβων σε δύο μη κενά σύνολα
Τομές Γραφήματος Γράφημα (μη κατευθυνόμενο) Συνάρτηση βάρους ακμών Τομή : Διαμέριση του συνόλου των κόμβων σε δύο μη κενά σύνολα και 12 26 20 10 9 7 17 14 4 Τομές Γραφήματος Γράφημα (μη κατευθυνόμενο)
Διαβάστε περισσότεραd k 10 k + d k 1 10 k d d = k i=0 d i 10 i.
Διακριτά Μαθηματικά ΙΙ Χρήστος Νομικός Τμήμα Μηχανικών Η/Υ και Πληροφορικής Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων 2018 Χρήστος Νομικός ( Τμήμα Μηχανικών Η/Υ Διακριτά και Πληροφορικής Μαθηματικά Πανεπιστήμιο ΙΙ Ιωαννίνων
Διαβάστε περισσότεραΘεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα
Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα Κλάσεις P, NP NP-πληρότητα 15 Απριλίου 2008 Δρ. Παπαδοπούλου Βίκη 1 Υπολογίσιμα και Εφικτά Υπολογίσιμα Προβλήματα Είδαμε ότι 1. Οτιδήποτε μπορούμε να περιγράψουμε με
Διαβάστε περισσότεραHY118-Διακριτά Μαθηματικά
HY118-Διακριτά Μαθηματικά Πέμπτη, 11/05/2017 Αντώνης Α. Αργυρός e-mail: argyros@csd.uoc.gr 11-May-17 1 1 Θεωρία γράφων / γραφήματα 11-May-17 2 2 Τι έχουμε δει μέχρι τώρα Κατευθυνόμενοι μη κατευθυνόμενοι
Διαβάστε περισσότεραΑκέραιος Γραμμικός Προγραμματισμός
Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής ΤΕ 2017-2018 Ακέραιος Γραμμικός Προγραμματισμός Γκόγκος Χρήστος ΤΕΙ Ηπείρου Επιχειρησιακή Έρευνα τελευταία ενημέρωση: 12/01/2017 1 Ακέραιος Γραμμικός Προγραμματισμός Όταν για
Διαβάστε περισσότεραILP-Feasibility conp
Διάλεξη 19: 23.12.2014 Θεωρία Γραμμικού Προγραμματισμού Γραφέας: Χαρίλαος Τζόβας Διδάσκων: Σταύρος Κολλιόπουλος 19.1 Θεωρία Πολυπλοκότητας και προβλήματα απόφασης Για να μιλήσουμε για προβλήματα και τον
Διαβάστε περισσότεραmax c 1 x 1 + c 2 x c n x n υπό a 11 x 1 + a 12 x a 1n x n b 1 a 21 x 1 + a 22 x a 2n x n b 2 a m1 x 1 + a m2 x a mn x n b m
Υπολογιστικές Μέθοδοι στη Θεωρία Αποφάσεων Ενότητα 10 Εισαγωγή στον Ακέραιο Προγραμματισμό Αντώνης Οικονόμου Τμήμα Μαθηματικών Πανεπιστήμιο Αθηνών Προπτυχιακό πρόγραμμα σπουδών 29 Φεβρουαρίου 2016 Προβλήματα
Διαβάστε περισσότεραΑκέραιος Γραμμικός Προγραμματισμός
Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής ΤΕ 2016-2017 Ακέραιος Γραμμικός Προγραμματισμός Γκόγκος Χρήστος ΤΕΙ Ηπείρου Επιχειρησιακή Έρευνα τελευταία ενημέρωση: 12/01/2017 1 Ακέραιος Γραμμικός Προγραμματισμός Όταν για
Διαβάστε περισσότεραΑκέραιος Γραμμικός Προγραμματισμός
Τμήμα Πληροφορικής & Τηλεπικοινωνιών Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων 2018-2019 Ακέραιος Γραμμικός Προγραμματισμός Γκόγκος Χρήστος- Γεωργία Φουτσιτζή Επιχειρησιακή Έρευνα τελευταία ενημέρωση: 12/01/2017 1 Ακέραιος
Διαβάστε περισσότεραΣυνδετικότητα γραφήματος (graph connectivity)
Συνδετικότητα γραφήματος (graph connectivity) Συνδετικότητα γραφήματος (graph connectivity) Υπάρχει μονοπάτι μεταξύ α και β; α Παραδείγματα: υπολογιστές ενός δικτύου ιστοσελίδες ισοδύναμες μεταβλητές ενός
Διαβάστε περισσότεραviii 20 Δένδρα van Emde Boas 543
Περιεχόμενα Πρόλογος xi I Θεμελιώδεις έννοιες Εισαγωγή 3 1 Ο ρόλος των αλγορίθμων στις υπολογιστικές διαδικασίες 5 1.1 Αλγόριθμοι 5 1.2 Οι αλγόριθμοι σαν τεχνολογία 12 2 Προκαταρκτικές έννοιες και παρατηρήσεις
Διαβάστε περισσότεραΑναδρομικός αλγόριθμος
Αναδρομικός αλγόριθμος Ένας αναδρομικός αλγόριθμος επιλύει ένα πρόβλημα για κάποιες τιμές δεδομένων λύνοντας το ίδιο πρόβλημα για άλλες (σχετιζόμενες) τιμές δεδομένων Είναι απαραίτητο βέβαια να λύνεται
Διαβάστε περισσότεραΣΥΝΕΚΤΙΚΟΤΗΤΑ ΓΡΑΦΗΜΑΤΩΝ
Συνεκτικότητα Γραφημάτων 123 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ΣΥΝΕΚΤΙΚΟΤΗΤΑ ΓΡΑΦΗΜΑΤΩΝ 4.1 Τοπική και Ολική Συνεκτικότητα Γραφημάτων 4.2 Συνεκτικότητα Μη-κατευθυνόμενων Γραφημάτων 4.3 Συνεκτικότητα Κατευθυνόμενων Γραφημάτων
Διαβάστε περισσότεραΠληροφοριακά Συστήματα Διοίκησης. Επισκόπηση μοντέλων λήψης αποφάσεων Τεχνικές Μαθηματικού Προγραμματισμού
Πληροφοριακά Συστήματα Διοίκησης Επισκόπηση μοντέλων λήψης αποφάσεων Τεχνικές Μαθηματικού Προγραμματισμού Σημασία μοντέλου Το μοντέλο δημιουργεί μια λογική δομή μέσω της οποίας αποκτούμε μια χρήσιμη άποψη
Διαβάστε περισσότεραΑΛΓΟΡΙΘΜΟΙ. Ενότητα 12: Αντιμετώπιση Περιορισμών Αλγοριθμικής Ισχύος
ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΙ Ενότητα 12: Αντιμετώπιση Περιορισμών Αλγοριθμικής Ισχύος Ιωάννης Μανωλόπουλος, Καθηγητής Αναστάσιος Γούναρης, Επίκουρος Καθηγητής
Διαβάστε περισσότεραΔιάλεξη 17: Συμφωνία με Βυζαντινά Σφάλματα. ΕΠΛ 432: Κατανεμημένοι Αλγόριθμοι
Διάλεξη 17: Συμφωνία με Βυζαντινά Σφάλματα ΕΠΛ 432: Κατανεμημένοι Αλγόριθμοι Βυζαντινά Σφάλματα Τι θα δούμε σήμερα Κάτω Φράγμα για Αλγόριθμους Συμφωνίας με Βυζαντινά Σφάλματα: n > 3f Αλγόριθμος Συμφωνίας
Διαβάστε περισσότερα4η Γραπτή Ασκηση Αλγόριθμοι και Πολυπλοκότητα CoReLab ΣΗΜΜΥ 7 Φεβρουαρίου 2017 CoReLab (ΣΗΜΜΥ) 4η Γραπτή Ασκηση 7 Φεβρουαρίου / 38
4η Γραπτή Άσκηση Αλγόριθμοι και Πολυπλοκότητα CoReLab ΣΗΜΜΥ 7 Φεβρουαρίου 2017 CoReLab (ΣΗΜΜΥ) 4η Γραπτή Άσκηση 7 Φεβρουαρίου 2017 1 / 38 Άσκηση 1 Πρέπει να βρούμε όλες τις καλές προτάσεις φίλων για τον
Διαβάστε περισσότεραΚεφάλαιο 8. NP και Υπολογιστική Δυσεπιλυσιµότητα. Χρησιµοποιήθηκε υλικό από τις αγγλικές διαφάνειες του Kevin Wayne.
Κεφάλαιο 8 NP και Υπολογιστική Δυσεπιλυσιµότητα Χρησιµοποιήθηκε υλικό από τις αγγλικές διαφάνειες του Kevin Wayne. 1 πρόβληµα αναζήτησης (search problem) Ένα πρόβληµα αναζήτησης είναι ένα πρόβληµα στο
Διαβάστε περισσότεραΚατώτερα φράγματα Κατώτερο φράγμα: εκτίμηση της ελάχιστης εργασίας που απαιτείται για την επίλυση ενός προβλήματος. Παραδείγματα: Αριθμός συγκρίσεων π
Περιορισμοί Αλγοριθμικής Ισχύος Κατηγοριοποίηση πολυπλοκοτήτων Κατώτερα φράγματα Κατώτερο φράγμα: εκτίμηση της ελάχιστης εργασίας που απαιτείται για την επίλυση ενός προβλήματος. Παραδείγματα: Αριθμός
Διαβάστε περισσότεραHY380 Αλγόριθμοι και πολυπλοκότητα Hard Problems
HY380 Αλγόριθμοι και πολυπλοκότητα Hard Problems Ημερομηνία Παράδοσης: 0/1/017 την ώρα του μαθήματος ή με email: mkarabin@csd.uoc.gr Γενικές Οδηγίες α) Επιτρέπεται η αναζήτηση στο Internet και στην βιβλιοθήκη
Διαβάστε περισσότεραHY118- ιακριτά Μαθηµατικά. Θεωρία γράφων / γραφήµατα. Τι έχουµε δει µέχρι τώρα. Υπογράφηµα Γράφοι
HY118- ιακριτά Μαθηµατικά Θεωρία γράφων / γραφήµατα Πέµπτη, 19/05/2016 Αντώνης Α. Αργυρός e-mail: argyros@csd.uoc.gr 5/22/2016 1 1 5/22/2016 2 2 Τι έχουµε δει µέχρι τώρα Κατευθυνόµενοι µη κατευθυνόµενοι
Διαβάστε περισσότεραΧρήστος Ι. Σχοινάς Αν. Καθηγητής ΔΠΘ. Συμπληρωματικές σημειώσεις για το μάθημα: «Επιχειρησιακή Έρευνα ΙΙ»
Χρήστος Ι. Σχοινάς Αν. Καθηγητής ΔΠΘ Συμπληρωματικές σημειώσεις για το μάθημα: «Επιχειρησιακή Έρευνα ΙΙ» 2 ΔΥΝΑΜΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ Προβλήματα ελάχιστης συνεκτικότητας δικτύου Το πρόβλημα της ελάχιστης
Διαβάστε περισσότεραέντρα ιδάσκοντες:. Φωτάκης,. Σούλιου Επιμέλεια διαφανειών:. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο
έντρα ιδάσκοντες:. Φωτάκης,. Σούλιου Επιμέλεια διαφανειών:. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο έντρα έντρο: πρότυπο ιεραρχικής δομής. Αναπαράσταση
Διαβάστε περισσότεραΔΥΣΚΟΛΙΑ ΣΤΗΝ ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΙΜΟΤΗΤΑ
ΔΥΣΚΟΛΙΑ ΣΤΗΝ ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΙΜΟΤΗΤΑ Επιμέλεια : Γεωργίου Κωστής Παρουσίαση στα πλαίσια του μαθήματος: Δίκτυα και πολυπλοκότητα Φεβρουάριος 004 μπλ Κίνητρα για τη μελέτη της μη προσεγγισιμότητας Ο πληρέστερος
Διαβάστε περισσότεραιδάσκοντες: Φ. Αφράτη,. Φωτάκης,. Σούλιου Επιμέλεια διαφανειών:. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών
έντρα ιδάσκοντες: Φ. Αφράτη,. Φωτάκης,. Σούλιου Επιμέλεια διαφανειών:. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο έντρα έντρο: πρότυπο ιεραρχικής δομής.
Διαβάστε περισσότεραΔιερεύνηση γραφήματος
Διερεύνηση γραφήματος Διερεύνηση γραφήματος Ένας αλγόριθμος διερεύνησης γραφήματος επισκέπτεται τους κόμβους του γραφήματος με μια καθορισμένη στρατηγική, π.χ. κατά εύρος ή κατά βάθος. Καθοδική διερεύνηση
Διαβάστε περισσότεραΘεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα
Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα Κεφάλαιο 14. Χρονική Πολυπλοκότητα 17, 20, 24 Απριλίου 2007 Δρ. Παπαδοπούλου Βίκη 1 Υπολογίσιμα και Εφικτά Υπολογίσιμα Προβλήματα Είδαμε ότι 1. Οτιδήποτε μπορούμε να
Διαβάστε περισσότεραΘΕΩΡΙΑ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΩΝ ΚΑΙ ΑΥΤΟΜΑΤΩΝ
ΘΕΩΡΙΑ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΩΝ ΚΑΙ ΑΥΤΟΜΑΤΩΝ Ενότητα 13: Πολυωνυμική αναγωγή Ρεφανίδης Ιωάννης Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες,
Διαβάστε περισσότεραΑκέραιος Γραµµικός Προγραµµατισµός
Μέγιστο Ανεξάρτητο Σύνολο Μέγιστο Ανεξάρτητο Σύνολο Εφαρµογές : Παράλληλη εκτέλεση εργασιών Χρονοπρογραµµατισµός (scheduling) Ανάθεση πόρων (resource allocation) Πρόβληµα k-ϐασιλισσών Τηλεπικοινωνίες Μέγιστο
Διαβάστε περισσότεραΚεφάλαιο 6. Μέθοδοι επίλυσης προβλημάτων ακέραιου προγραμματισμού
Κεφάλαιο 6 Μέθοδοι επίλυσης προβλημάτων ακέραιου προγραμματισμού 1 Γραφική επίλυση Η γραφική μέθοδος επίλυσης μπορεί να χρησιμοποιηθεί μόνο για πολύ μικρά προβλήματα με δύο ή το πολύ τρεις μεταβλητές απόφασης.
Διαβάστε περισσότεραΤυχαιοκρατικοί Αλγόριθμοι
Πιθανότητες και Αλγόριθμοι Ανάλυση μέσης περίπτωσης Μελέτα τη συμπεριφορά ενός αλγορίθμου σε μια «μέση» είσοδο (ως προς κάποια κατανομή) Τυχαιοκρατικός αλγόριθμος Λαμβάνει τυχαίες αποφάσεις καθώς επεξεργάζεται
Διαβάστε περισσότεραΑκέραιος Γραµµικός Προγραµµατισµός
Μέγιστο Ανεξάρτητο Σύνολο Μέγιστο Ανεξάρτητο Σύνολο Εφαρµογές : Παράλληλη εκτέλεση εργασιών Χρονοπρογραµµατισµός (scheduling) Ανάθεση πόρων (resource allocation) Πρόβληµα k-ϐασιλισσών Τηλεπικοινωνίες Μέγιστο
Διαβάστε περισσότεραΔιακριτά Μαθηματικά ΙΙ Χρήστος Νομικός Τμήμα Μηχανικών Η/Υ και Πληροφορικής Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων 2018 Χρήστος Νομικός ( Τμήμα Μηχανικών Η/Υ Διακριτά
Διακριτά Μαθηματικά ΙΙ Χρήστος Νομικός Τμήμα Μηχανικών Η/Υ και Πληροφορικής Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων 2018 Χρήστος Νομικός ( Τμήμα Μηχανικών Η/Υ Διακριτά και Πληροφορικής Μαθηματικά Πανεπιστήμιο ΙΙ Ιωαννίνων
Διαβάστε περισσότεραΔυναμική Διατήρηση Γραμμικής Διάταξης
Διατηρεί μια γραμμική διάταξη δυναμικά μεταβαλλόμενης συλλογής στοιχείων. Υποστηρίζει τις λειτουργίες: Εισαγωγή νέου στοιχείου y αμέσως μετά από το στοιχείο x. x y Διαγραφή στοιχείου y. y Έλεγχος της σειράς
Διαβάστε περισσότεραΚεφάλαιο 1. Πέντε Αντιπροσωπευτικά Προβλήματα. Έκδοση 1.4, 30/10/2014. Χρησιμοποιήθηκε υλικό από τις αγγλικές διαφάνειες του Kevin Wayne.
Κεφάλαιο 1 Πέντε Αντιπροσωπευτικά Προβλήματα Έκδοση 1.4, 30/10/2014 Χρησιμοποιήθηκε υλικό από τις αγγλικές διαφάνειες του Kevin Wayne. 1 1.2 Πέντε Αντιπροσωπευτικά Προβλήματα 1. Χρονοπρογραμματισμός Διαστημάτων
Διαβάστε περισσότεραΣυντομότερες Διαδρομές
Συντομότερες Διαδρομές Επιμέλεια διαφανειών: Δ. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Συντομότερη Διαδρομή Κατευθυνόμενο G(V, E, w) με μήκη Μήκος διαδρομής
Διαβάστε περισσότεραΘεμελιώδη Θέματα Επιστήμης Υπολογιστών
Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Θεμελιώδη Θέματα Επιστήμης Υπολογιστών Μετασχηματισμοί Υπολογιστικών Προβλημάτων Αναγωγές και Πληρότητα Προσαρμογή από
Διαβάστε περισσότεραΑπειροστικός Λογισμός Ι, χειμερινό εξάμηνο Λύσεις έκτου φυλλαδίου ασκήσεων.
Απειροστικός Λογισμός Ι, χειμερινό εξάμηνο 208-9. Λύσεις έκτου φυλλαδίου ασκήσεων.. Παρατηρήστε ότι ο πρώτος κανόνας αλλαγής μεταβλητής εφαρμόζεται μόνο στα εφτά πρώτα όρια ενώ ο δεύτερος κανόνας εφαρμόζεται
Διαβάστε περισσότεραΘεωρία Αποφάσεων και Βελτιστοποίηση
Θεωρία Αποφάσεων και Βελτιστοποίηση http://www.di.uoa.gr/ telelis/opt.html Ορέστης Τελέλης telelis@di.uoa.gr Τµήµα Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών Πανεπιστήµιο Αθηνών Θεωρία Αποφάσεων και Βελτιστοποίηση
Διαβάστε περισσότεραΑλγόριθµοι και Πολυπλοκότητα
Αλγόριθµοι και Πολυπλοκότητα Ν. Μ. Μισυρλής Τµήµα Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών, Πανεπιστήµιο Αθηνών Καθηγητής: Ν. Μ. Μισυρλής () Αλγόριθµοι και Πολυπλοκότητα 30 Απριλίου 2015 1 / 48 Εύρεση Ελάχιστου
Διαβάστε περισσότεραΕΠΛ 211: Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητας. Διάλεξη 2: Μαθηματικό Υπόβαθρο
ΕΠΛ 211: Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητας Διάλεξη 2: Μαθηματικό Υπόβαθρο Τι θα κάνουμε σήμερα Συναρτήσεις & Σχέσεις (0.2.3) Γράφοι (Γραφήματα) (0.2.4) Λέξεις και Γλώσσες (0.2.5) Αποδείξεις (0.3) 1
Διαβάστε περισσότεραΥπολογιστικό Πρόβληµα
Υπολογιστικό Πρόβληµα Μετασχηµατισµός δεδοµένων εισόδου σε δεδοµένα εξόδου. Δοµή δεδοµένων εισόδου (έγκυρο στιγµιότυπο). Δοµή και ιδιότητες δεδοµένων εξόδου (απάντηση ή λύση). Τυπικά: διµελής σχέση στις
Διαβάστε περισσότεραOutline. 6 Edit Distance
Αλγόριθμοι και Πολυπλοκότητα Άπληστοι Αλγόριθμοι και Δυναμικός Προγραμματισμός Ασκήσεις CoReLab ΣΗΜΜΥ - Ε.Μ.Π. 16 Νοεμβρίου 216 (CoReLab - NTUA) Αλγόριθμοι - Ασκήσεις 16 Νοεμβρίου 216 1 / 52 Outline 1
Διαβάστε περισσότεραΥπολογιστική Πολυπλοκότητα
Υπολογιστική Πολυπλοκότητα ημήτρης Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Υπολογιστική Πολυπλοκότητα Γιατί κάποια (επιλύσιμα) προβλήματα είναι δύσκολο
Διαβάστε περισσότεραΘεωρία Γραφημάτων 6η Διάλεξη
Θεωρία Γραφημάτων 6η Διάλεξη Α. Συμβώνης Εθνικο Μετσοβειο Πολυτεχνειο Σχολη Εφαρμοσμενων Μαθηματικων και Φυσικων Επιστημων Τομεασ Μαθηματικων Φεβρουάριος 2016 Α. Συμβώνης (ΕΜΠ) Θεωρία Γραφημάτων 6η Διάλεξη
Διαβάστε περισσότεραΔυναμικός προγραμματισμός για δέντρα
ΘΕ5 Ιδιότητες Δέντρων και Αναδρομή για Δέντρα Δυναμικός προγραμματισμός για δέντρα Έστω ότι, για k=1,..., m, το γράφημα Γ k = (V k, E k ) είναι δέντρο. Έστω w V 1... V m, z k V k, για k=1,..., m. Συμβολίζουμε
Διαβάστε περισσότεραΜη γράφετε στο πίσω μέρος της σελίδας
Εισαγωγή στο Σχεδιασμό & την Ανάλυση Αλγορίθμων Εξέταση Φεβρουαρίου 2016 Σελ. 1 από 7 Στη σελίδα αυτή γράψτε μόνο τα στοιχεία σας. Γράψτε τις απαντήσεις σας στις επόμενες σελίδες, κάτω από τις αντίστοιχες
Διαβάστε περισσότεραΤο Πρόβλημα του Περιοδεύοντος Πωλητή - The Travelling Salesman Problem
Το Πρόβλημα του Περιοδεύοντος Πωλητή - The Travelling Salesman Problem Έλενα Ρόκου Μεταδιδακτορική Ερευνήτρια ΕΜΠ Κηρυττόπουλος Κωνσταντίνος Επ. Καθηγητής ΕΜΠ Άδεια Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται
Διαβάστε περισσότεραΑΚΕΡΑΙΟΣ ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ
ΑΚΕΡΑΙΟΣ ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ Ολοκληρωμένη μαθηματική τεχνική βελτιστοποίησης Ευρύτατο φάσμα εφαρμογών Εισαγωγή ακέραιων/λογικών/βοηθητικών μεταβλητών Δυνατότητα γραμμικοποίησης με 0-1 μεταβλητές
Διαβάστε περισσότεραΑλγόριθμοι και πολυπλοκότητα Η Άπληστη Μέθοδος
ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ Αλγόριθμοι και πολυπλοκότητα Η Άπληστη Μέθοδος Ιωάννης Τόλλης Τμήμα Επιστήμης Υπολογιστών Η Άπληστη Μέθοδος Η Άπληστη Μέθοδος 1 Κύρια Σημεία και Διάβασμα Η Άπληστη
Διαβάστε περισσότεραΠανεπιστήμιο Δυτικής Μακεδονίας. Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής & Τηλεπικοινωνιών. Διακριτά Μαθηματικά. Ενότητα 2: Γραφήματα
Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής & Τηλεπικοινωνιών Διακριτά Μαθηματικά Ενότητα 2: Γραφήματα Αν. Καθηγητής Κ. Στεργίου e-mail: kstergiou@uowm.gr Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών Άδειες Χρήσης
Διαβάστε περισσότεραΠίνακες Διασποράς. Χρησιμοποιούμε ένα πίνακα διασποράς T και μια συνάρτηση διασποράς h. Ένα στοιχείο με κλειδί k αποθηκεύεται στη θέση
Πίνακες Διασποράς Χρησιμοποιούμε ένα πίνακα διασποράς T και μια συνάρτηση διασποράς h Ένα στοιχείο με κλειδί k αποθηκεύεται στη θέση κλειδί k T 0 1 2 3 4 5 6 7 U : χώρος πιθανών κλειδιών Τ : πίνακας μεγέθους
Διαβάστε περισσότερα