Επίπεδα Γραφήματα : Προβλήματα και Υπολογιστική Πολυπλοκότητα

Transcript

1 Αλγόριθμοι πολυωνυμικού χρόνου Ένας αλγόριθμος πολυωνυμικού χρόνου έχει χρόνο εκτέλεσης όπου είναι μία (θετική) σταθερά Κλάση πολυπλοκότητας : περιλαμβάνει τα προβλήματα που επιδέχονται λύση σε πολυωνυμικό χρόνο

2 Κλάση πολυπλοκότητας : περιλαμβάνει τα προβλήματα που επιδέχονται λύση σε πολυωνυμικό χρόνο Υπάρχουν προβλήματα που δεν επιδέχονται λύση σε πολυωνυμικό χρόνο και επομένως δεν ανήκουν στην κλάση Υπάρχει μία κατηγορία σημαντικών προβλημάτων για τα οποία δεν γνωρίζουμε αν επιδέχονται λύση σε πολυωνυμικό χρόνο Υπάρχουν προβλήματα που είναι άλυτα (δεν επιλύονται με κανένα αλγόριθμο π.χ. το HALTING πρόβλημα)

3 Υπάρχει μία κατηγορία σημαντικών προβλημάτων για τα οποία δεν γνωρίζουμε αν επιδέχονται λύση σε πολυωνυμικό χρόνο Ωστόσο, τα προβλήματα αυτά έχουν μία χαρακτηριστική ιδιότητα: Μπορούμε να επαληθεύσουμε μία λύση τους σε πολυωνυμικό χρόνο Αλγόριθμος επαλήθευσης για ένα πρόβλημα : δέχεται στην είσοδο στιγμιότυπο και υποψήφια λύση (πιστοποιητικό) και αποφασίζει εάν η λύνει σωστά το Ο αλγόριθμος επαλήθευσης τρέχει σε πολυωνυμικό χρόνο ως προς το μέγεθος του στιγμιότυπου (Άρα το μέγεθος του πιστοποιητικού είναι πολυωνυμικό ως προς το )

4 Κλάση πολυπλοκότητας : περιλαμβάνει τα προβλήματα που επιδέχονται λύση σε πολυωνυμικό χρόνο Προφανώς. Είναι όμως ; Κλάση πολυπλοκότητας : περιλαμβάνει τα προβλήματα για τα οποία μπορούμε να επαληθεύσουμε μία λύση τους σε πολυωνυμικό χρόνο

5 Αναγωγή πολυωνυμικού χρόνου Το πρόβλημα ανάγεται σε πολυωνυμικό χρόνο στο πρόβλημα όταν υπάρχει αλγόριθμος πολυωνυμικού χρόνου οποιοδήποτε στιγμιότυπο σε στιγμιότυπο που μετασχηματίζει υπάρχει αλγόριθμος πολυωνυμικού χρόνου του σε λύση του που μετατρέπει μία λύση στιγμιότυπο στιγμιότυπο αλγόριθμος για το λύση του δεν υπάρχει λύση του λύση του δεν υπάρχει λύση του

6 Αναγωγή πολυωνυμικού χρόνου Έστω ότι το πρόβλημα ανάγεται σε πολυωνυμικό χρόνο στο πρόβλημα. Συμπέρασμα: «Το πρόβλημα είναι τουλάχιστον τόσο δύσκολο όσο το» στιγμιότυπο στιγμιότυπο αλγόριθμος για το λύση του δεν υπάρχει λύση του λύση του δεν υπάρχει λύση του

7 Κλάση πολυπλοκότητας : περιλαμβάνει τα προβλήματα για τα οποία μπορούμε να επαληθεύσουμε μία λύση τους σε πολυωνυμικό χρόνο -πλήρες πρόβλημα : κάθε πρόβλημα στην κλάση (σε πολυωνυμικό χρόνο) ανάγεται σε αυτό Μερικά γνωστά -πλήρη προβλήματα : μονοπάτι Hamilton, βαρύτατο μονοπάτι, πρόβλημα του σακιδίου, μέγιστη τομή, χρωματισμός γραφήματος,

8 Ένα πρώτο NP-πλήρες πρόβλημα: Ικανοποιησιμότητα Κυκλώματος Λογικοί τελεστές AND OR NOT έξοδος είσοδοι 1 0 σταθερές μεταβλητές

9 Ένα πρώτο NP-πλήρες πρόβλημα: Ικανοποιησιμότητα Κυκλώματος Λογικοί τελεστές AND OR NOT έξοδος = απόδοση τιμών είσοδοι 1 0 σταθερές μεταβλητές

10 Ένα πρώτο NP-πλήρες πρόβλημα: Ικανοποιησιμότητα Κυκλώματος Λογικοί τελεστές AND OR NOT έξοδος = απόδοση τιμών είσοδοι 1 0 σταθερές μεταβλητές

11 Ένα πρώτο NP-πλήρες πρόβλημα: Ικανοποιησιμότητα Κυκλώματος Λογικοί τελεστές AND OR NOT Ικανοποιησιμότητα Κυκλώματος: Υπάρχει απόδοση τιμών στις μεταβλητές ώστε η έξοδος του κυκλώματος να είναι 1; Θεώρημα Cook-Levin Το πρόβλημα Ικανοποιησιμότητας Κυκλώματος είναι -πλήρες

12 Κλάση πολυπλοκότητας : περιλαμβάνει τα προβλήματα για τα οποία μπορούμε να επαληθεύσουμε μία λύση τους σε πολυωνυμικό χρόνο -πλήρες πρόβλημα : κάθε πρόβλημα στην κλάση (σε πολυωνυμικό χρόνο) ανάγεται σε αυτό Μέθοδος απόδειξης NP-πληρότητας ενός προβλήματος Χ : 1. Δείχνουμε ότι το X ανήκει στην κλάση NP. 2. Δείχνουμε ότι ένα γνωστό NP-πλήρες πρόβλημα Y ανάγεται στο Χ (σε πολυωνυμικό χρόνο).

13 Πως μπορούμε να διαπιστώσουμε αν ένα γνωστό NP-πλήρες γραφοθεωρητικό πρόβλημα Χ παραμένει NP-πλήρες σε επίπεδα γραφήματα; A. Απαλοιφή τομών Θεωρούμε ένα σχέδιο του αρχικού γραφήματος G στο επίπεδο. Αντικαθιστούμε κάθε τομή μεταξύ δύο ακμών στο σχέδιο του G με ένα επίπεδο υπογράφημα, τέτοιο ώστε να μην αλλάζει η λύση του προβλήματος στο G. B. Αναγωγή που διατηρεί την επιπεδότητα Δείχνουμε ότι ένα πρόβλημα Y που είναι NP-πλήρες σε επίπεδα γραφήματα ανάγεται στο X και ότι η αναγωγή διατηρεί την επιπεδότητα.

14 Χρωματισμός Γραφήματος G=(V,E) k-χρωματισμός : Ανάθεση αριθμών (χρωμάτων) στους κόμβους c : V {1,2,,k} έτσι ώστε για κάθε ακμή (u,v) E να ισχύει c(u) c(v).

15 Χρωματισμός Γραφήματος G=(V,E) k-χρωματισμός : Ανάθεση αριθμών (χρωμάτων) στους κόμβους c : V {1,2,,k} έτσι ώστε για κάθε ακμή (u,v) E να ισχύει c(u) c(v)

16 Χρωματισμός Γραφήματος G=(V,E) k-χρωματισμός : Ανάθεση αριθμών (χρωμάτων) στους κόμβους c : V {1,2,,k} έτσι ώστε για κάθε ακμή (u,v) E να ισχύει c(u) c(v). Θεώρημα των 4 χρωμάτων [Appel, Haken και Koch 1977] Κάθε επίπεδο γράφημα έχει χρωματισμό με το πολύ 4 χρώματα. Εκτενής απόδειξη. Είναι εύκολο να δούμε ότι κάθε επίπεδο γράφημα έχει χρωματισμό με το πολύ 6 χρώματα.

17 Χρωματισμός Γραφήματος G=(V,E) Είναι εύκολο να δείξουμε ότι κάθε επίπεδο γράφημα έχει χρωματισμό με το πολύ 6 χρώματα. Διατάσσουμε τους κόμβους του G σε αύξουσα σειρά ως προς τον βαθμό τους (αριθμό ακμών που προσπίπτουν σε κάθε κόμβο). δ (4) γ (4) α (2) β (3) ζ (4) ε (4) η (5) διάταξη : α, β, γ, δ, ε, ζ, η

18 Χρωματισμός Γραφήματος G=(V,E) Είναι εύκολο να δείξουμε ότι κάθε επίπεδο γράφημα έχει χρωματισμό με το πολύ 6 χρώματα. Διατάσσουμε τους κόμβους του G σε αύξουσα σειρά ως προς τον βαθμό τους (αριθμό ακμών που προσπίπτουν σε κάθε κόμβο). Κατευθύνουμε κάθε ακμή προς τον κόμβο με τη μεγαλύτερη θέση στη διάταξη. δ (4) γ (4) α (2) β (3) ε (4) η (5) ζ (4) Επεξεργαζόμαστε τους κόμβους σε αντίστροφη σειρά ως προς τη παραπάνω διάταξη. Σε κάθε κόμβο v δίνουμε το μικρότερο χρώμα που δεν χρησιμοποιείται από τους κόμβους προς τους οποίους υπάρχει κατευθυνόμενη ακμή από τον v διάταξη : α, β, γ, δ, ε, ζ, η

19 Χρωματισμός Γραφήματος G=(V,E) Είναι εύκολο να δείξουμε ότι κάθε επίπεδο γράφημα έχει χρωματισμό με το πολύ 6 χρώματα. Διατάσσουμε τους κόμβους του G σε αύξουσα σειρά ως προς τον βαθμό τους (αριθμό ακμών που προσπίπτουν σε κάθε κόμβο). Κατευθύνουμε κάθε ακμή προς τον κόμβο με τη μεγαλύτερη θέση στη διάταξη διάταξη : α, β, γ, δ, ε, ζ, η 1 Επεξεργαζόμαστε τους κόμβους σε αντίστροφη σειρά ως προς τη παραπάνω διάταξη. Σε κάθε κόμβο v δίνουμε το μικρότερο χρώμα που δεν χρησιμοποιείται από τους κόμβους προς τους οποίους υπάρχει κατευθυνόμενη ακμή από τον v

20 Χρωματισμός Γραφήματος G=(V,E) Είναι εύκολο να δείξουμε ότι κάθε επίπεδο γράφημα έχει χρωματισμό με το πολύ 6 χρώματα. Διατάσσουμε τους κόμβους του G σε αύξουσα σειρά ως προς τον βαθμό τους (αριθμό ακμών που προσπίπτουν σε κάθε κόμβο). Κατευθύνουμε κάθε ακμή προς τον κόμβο με τη μεγαλύτερη θέση στη διάταξη. Επεξεργαζόμαστε τους κόμβους σε αντίστροφη σειρά ως προς τη παραπάνω διάταξη. Σε κάθε κόμβο v δίνουμε το μικρότερο χρώμα που δεν χρησιμοποιείται από τους κόμβους προς τους οποίους υπάρχει κατευθυνόμενη ακμή από τον v Λόγω της διάταξης, κάθε κόμβος v έχει το πολύ 5 εξερχόμενες (κατευθυνόμενες) ακμές (γιατί;). Άρα αρκούν 6 χρώματα. Η παραπάνω μέθοδος βρίσκει ένα χρωματισμό με το πολύ 6 χρώματα σε γραμμικό χρόνο. Μια παραλλαγή της χρησιμοποιεί 5 χρώματα.

21 Χρωματισμός Γραφήματος G=(V,E) Για τον χρωματισμό επίπεδου γραφήματος με k χρώματα έχουμε : k = 2 : Υπολογίζεται σε γραμμικό χρόνο αν υπάρχει (όπως και σε γενικά γραφήματα). k = 4 : Υπάρχει πάντα χρωματισμός με 4 χρώματα. k = 3 : NP-πλήρες πρόβλημα!

22 Χρωματισμός Γραφήματος G=(V,E) Ο έλεγχος αν ένα γράφημα έχει 3-χρωματισμό είναι NP-πλήρες πρόβλημα. Θα δείξουμε ότι παραμένει NP-πλήρες και σε επίπεδα γραφήματα. Χρησιμοποιούμε την μέθοδο απόδειξης με «απαλοιφή τομών». Αντικαθιστούμε κάθε τομή δύο ακμών με ένα επίπεδο γράφημα Γ το οποίο διατηρεί τους χρωματισμούς με 3 χρώματα (αν υπάρχουν). α β α β Γ

23 Χρωματισμός Γραφήματος G=(V,E) Ο έλεγχος αν ένα γράφημα έχει 3-χρωματισμό είναι NP-πλήρες πρόβλημα. Θα δείξουμε ότι παραμένει NP-πλήρες και σε επίπεδα γραφήματα. Χρησιμοποιούμε την μέθοδο απόδειξης με «απαλοιφή τομών». Αντικαθιστούμε κάθε τομή δύο ακμών με ένα επίπεδο γράφημα Γ το οποίο διατηρεί τους χρωματισμούς με 3 χρώματα (αν υπάρχουν). Ιδιότητα Σε κάθε 3-χρωματισμό του Γ ισχύει c(α)=c(α ) και c(β)=c(β ). Επιπλέον υπάρχει 3-χρωματισμός με c(α)=c(β) και 3-χρωματισμός με c(α) c(β). β β α α α α β β

24 Χρωματισμός Γραφήματος G=(V,E) Ο έλεγχος αν ένα γράφημα έχει 3-χρωματισμό είναι NP-πλήρες πρόβλημα. Θα δείξουμε ότι παραμένει NP-πλήρες και σε επίπεδα γραφήματα. Χρησιμοποιούμε την μέθοδο απόδειξης με «απαλοιφή τομών». Αντικαθιστούμε κάθε τομή δύο ακμών με ένα επίπεδο γράφημα Γ το οποίο διατηρεί τους χρωματισμούς με 3 χρώματα (αν υπάρχουν). Παράδειγμα α β α α β γ δ ε β γ δ ε

25 Χρωματισμός Γραφήματος G=(V,E) Ο έλεγχος αν ένα γράφημα έχει 3-χρωματισμό είναι NP-πλήρες πρόβλημα. Θα δείξουμε ότι παραμένει NP-πλήρες και σε επίπεδα γραφήματα. Θεωρούμε ότι έχουμε ένα σχέδιο του G στο επίπεδο με πολυωνυμικό αριθμό τομών. Επεξεργαζόμαστε τις τομές σε αύξουσα σειρά ως προς τις x- συντεταγμένες και αντικαθιστούμε κάθε τομή με το επίπεδο γράφημα Γ. Έτσι λαμβάνουμε ένα επίπεδο γράφημα G το οποίο έχει 3-χρωματισμό αν και μόνο αν το G έχει 3-χρωματισμό. Η παραπάνω διαδικασία αποτελεί μια αναγωγή πολυωνυμικού χρόνου του 3- χρωματισμού γενικού γραφήματος σε 3-χρωματισμό επίπεδου γραφήματος.

26 Ικανοποιησιμότητα (satisfiability) Λογικές μεταβλητές Φόρμουλα (συνάρτηση με λογικούς τελεστές, π.χ. ) Υπάρχει ανάθεση τιμών των μεταβλητών έτσι ώστε ; Μπορούμε να υποθέσουμε ότι η F είναι σε Κανονική Συζευκτική Μορφή : Είναι σύζευξη προτάσεων Κάθε πρόταση είναι διάζευξη κατηγορημάτων (δηλαδή μεταβλητών ή αρνήσεων τους), π.χ.

27 Ικανοποιησιμότητα (satisfiability) Λογικές μεταβλητές Φόρμουλα (συνάρτηση με λογικούς τελεστές, π.χ. ) Υπάρχει ανάθεση τιμών των μεταβλητών έτσι ώστε ;

28 Ικανοποιησιμότητα (satisfiability) Λογικές μεταβλητές Φόρμουλα (συνάρτηση με λογικούς τελεστές, π.χ. ) Υπάρχει ανάθεση τιμών των μεταβλητών έτσι ώστε ; Μπορούμε να υποθέσουμε ότι η F είναι σε Κανονική Συζευκτική Μορφή : Είναι σύζευξη προτάσεων Κάθε πρόταση είναι διάζευξη κατηγορημάτων (δηλαδή μεταβλητών ή αρνήσεων τους), π.χ. k-sat : Κάθε πρόταση έχει k κατηγορήματα.

29 Ικανοποιησιμότητα (satisfiability) Το πρόβλημα 3-SAT είναι NP-πλήρες (άρα και το γενικό πρόβλημα Ικανοποιησιμότητας είναι NP-πλήρες). Για το 2-SAT υπάρχει αλγόριθμος γραμμικού χρόνου.

30 Αλγόριθμος γραμμικού χρόνου για το 2-SAT Έχει προτάσεις της μορφής όπου και κατηγορήματα. Παρατήρηση : συνεπαγωγή αν η p είναι αληθής τότε και η q είναι αληθής

31 Αλγόριθμος γραμμικού χρόνου για το 2-SAT Κατασκευάζουμε από την F ένα κατευθυνόμενο γράφημα G(F) ως εξής Έχουμε ένα κόμβο για κάθε κατηγόρημα κατηγόρημα. και ένα κόμβο για κάθε Για κάθε πρόταση και. εισάγουμε τις κατευθυνόμενες ακμές Παράδειγμα

32 Αλγόριθμος γραμμικού χρόνου για το 2-SAT Κατασκευάζουμε από την F ένα κατευθυνόμενο γράφημα G(F) ως εξής Έχουμε ένα κόμβο για κάθε κατηγόρημα κατηγόρημα. και ένα κόμβο για κάθε Για κάθε πρόταση και. εισάγουμε τις κατευθυνόμενες ακμές Παράδειγμα

33 Αλγόριθμος γραμμικού χρόνου για το 2-SAT Κατασκευάζουμε από την F ένα κατευθυνόμενο γράφημα G(F) ως εξής Έχουμε ένα κόμβο για κάθε κατηγόρημα κατηγόρημα. και ένα κόμβο για κάθε Για κάθε πρόταση και. εισάγουμε τις κατευθυνόμενες ακμές Βρίσκουμε τις συνεκτικές συνιστώσες του G(F). Η F δεν είναι ικανοποιήσιμη αν και μόνο υπάρχουν κατηγορήματα και τα οποία ανήκουν στην ίδια συνεκτική συνιστώσα. (Γιατί;)

34 Επίπεδο 3-SAT Έστω F μια φόρμουλα του 3-SAT με n μεταβλητές και m προτάσεις. Κατασκευάζουμε από την F ένα γράφημα G(F) ως εξής Έχουμε ένα κόμβο για κάθε κατηγόρημα κατηγόρημα. Επίσης έχουμε τις ακμές. και ένα κόμβο για κάθε Έχουμε ένα κόμβο για κάθε πρόταση. Αν το κατηγόρημα εμφανίζεται στην πρόταση τότε έχουμε την ακμή. Τέλος, εισαγάγουμε τον κύκλο. F ϵ Επίπεδο 3-SAT αν το G(F) είναι επίπεδο.

35 Επίπεδο 3-SAT Παράδειγμα Μπορούμε να αποδείξουμε με την μέθοδο «απαλοιφής τομών» ότι το Επίπεδο 3-SAT είναι NP-πλήρες.

36 Ανεξάρτητο Σύνολο Έστω γράφημα Ένα σύνολο κόμβων υπάρχουν κόμβοι στο κάποια ακμή είναι ανεξάρτητο αν δεν που να συνδέονται με Μας δίνεται το και ένας ακέραιος. Θέλουμε να απαντήσουμε εάν το έχει ανεξάρτητο σύνολο κόμβων μεγέθους Θα δείξουμε ότι είναι NP-πλήρες ακόμα και για επίπεδα γραφήματα.

37 Ανεξάρτητο Σύνολο Δίνουμε πρώτα μια αναγωγή πολυωνυμικού χρόνου από το 3-SAT Έστω F μια φόρμουλα του 3-SAT με n μεταβλητές και m προτάσεις. Κατασκευάζουμε από την F ένα γράφημα G (F) ως εξής Για κάθε πρόταση ένα κατηγόρημα της. έχουμε ένα τρίγωνο όπου κάθε κόμβος αντιστοιχεί σε Συνδέουμε με μια ακμή κάθε κόμβο που αντιστοιχεί στη μεταβλητή με κάθε κόμβο που αντιστοιχεί στην άρνηση της. (Επομένως οι κόμβοι του κατηγορήματος και οι κόμβοι του κατηγορήματος σχηματίζουν ένα πλήρες διμερές γράφημα.)

38 Ανεξάρτητο Σύνολο Παράδειγμα Ιδιότητα : Η φόρμουλα F είναι ικανοποιήσιμη αν και μόνο εάν το γράφημα G (F) έχει ανεξάρτητο σύνολο μεγέθους m.

39 Ανεξάρτητο Σύνολο Παράδειγμα Ιδιότητα : Η φόρμουλα F είναι ικανοποιήσιμη αν και μόνο εάν το γράφημα G (F) έχει ανεξάρτητο σύνολο μεγέθους m.

40 Ανεξάρτητο Σύνολο Η προηγούμενη αναγωγή μπορεί να μη δώσει επίπεδο G (F). Θα δείξουμε όμως ότι μια παραλλαγή της δίνει επίπεδο G (F) με την προϋπόθεση ότι F ϵ Επίπεδο 3-SAT. Αντικαθιστούμε το πλήρες διμερές γράφημα που αντιστοιχεί σε κάθε μεταβλητή (και την άρνηση της ) με ένα επίπεδο διμερές γράφημα που έχει δύο επιπλέον κόμβους και. Συνδέουμε με τον τους κόμβους και με τον τους κόμβους. Έστω G (F) το γράφημα που προκύπτει. Ιδιότητα : Η φόρμουλα F είναι ικανοποιήσιμη εάν και μόνο εάν το G (F) έχει ανεξάρτητο σύνολο μεγέθους m+n.

41 Ανεξάρτητο Σύνολο Παρατήρηση : Το G (F) είναι επίπεδο γιατί προκύπτει από το G(F) (που είναι επίπεδο αφού F ϵ Επίπεδο 3-SAT) με μετασχηματισμούς που διατηρούν την επιπεδότητα. Εισαγάγουμε ένα κόμβο σε κάθε ακμή που συνδέει μια πρόταση με ένα κατηγόρημα. Αλλάζουμε τα ονόματα των κόμβων.

42 Ανεξάρτητο Σύνολο Παρατήρηση : Το G (F) είναι επίπεδο γιατί προκύπτει από το G(F) (που είναι επίπεδο αφού F ϵ Επίπεδο 3-SAT) με μετασχηματισμούς που διατηρούν την επιπεδότητα. Εισαγάγουμε ένα κόμβο σε κάθε ακμή που συνδέει μια πρόταση με ένα κατηγόρημα. Αλλάζουμε τα ονόματα των κόμβων.

43 Ανεξάρτητο Σύνολο Παρατήρηση : Το G (F) είναι επίπεδο γιατί προκύπτει από το G(F) (που είναι επίπεδο αφού F ϵ Επίπεδο 3-SAT) με μετασχηματισμούς που διατηρούν την επιπεδότητα. Συνδέουμε σε τρίγωνο τα κατηγορήματα κάθε πρότασης.

44 Ανεξάρτητο Σύνολο Παρατήρηση : Το G (F) είναι επίπεδο γιατί προκύπτει από το G(F) (που είναι επίπεδο αφού F ϵ Επίπεδο 3-SAT) με μετασχηματισμούς που διατηρούν την επιπεδότητα. Συνδέουμε σε τρίγωνο τα κατηγορήματα κάθε πρότασης.

45 Διαγράφουμε τους κόμβους που αντιστοιχούν στις προτάσεις μαζί με τις ακμές που προσπίπτουν σε αυτούς. Επίπεδα Γραφήματα : Προβλήματα και Υπολογιστική Ανεξάρτητο Σύνολο Παρατήρηση : Το G (F) είναι επίπεδο γιατί προκύπτει από το G(F) (που είναι επίπεδο αφού F ϵ Επίπεδο 3-SAT) με μετασχηματισμούς που διατηρούν την επιπεδότητα.

46 Διαγράφουμε τους κόμβους που αντιστοιχούν στις προτάσεις μαζί με τις ακμές που προσπίπτουν σε αυτούς. Επίπεδα Γραφήματα : Προβλήματα και Υπολογιστική Ανεξάρτητο Σύνολο Παρατήρηση : Το G (F) είναι επίπεδο γιατί προκύπτει από το G(F) (που είναι επίπεδο αφού F ϵ Επίπεδο 3-SAT) με μετασχηματισμούς που διατηρούν την επιπεδότητα.

47 Διαγράφουμε τους κόμβους που αντιστοιχούν στις προτάσεις μαζί με τις ακμές που προσπίπτουν σε αυτούς. Επίπεδα Γραφήματα : Προβλήματα και Υπολογιστική Ανεξάρτητο Σύνολο Παρατήρηση : Το G (F) είναι επίπεδο γιατί προκύπτει από το G(F) (που είναι επίπεδο αφού F ϵ Επίπεδο 3-SAT) με μετασχηματισμούς που διατηρούν την επιπεδότητα.