Υπολογισμός με Monte Carlo της ενεργού διατομής παραγωγής δύο μποζονίων Ζ στον ATLAS και όρια στις τριπλές συζεύξεις (TGCs) μποζονίων Ζ

Transcript

1 ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΣΧΟΛΗ ΘΕΤΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Υπολογισμός με Monte Carlo της ενεργού διατομής παραγωγής δύο μποζονίων Ζ στον ATLAS και όρια στις τριπλές συζεύξεις TGCs) μποζονίων Ζ ΜΑΡΑΝΤΗΣ ΑΛΕΞΑΝΔΡΟΣ

2 Τίτλος Πτυχιακής Εργασίας Υπολογισμός με Monte Carlo της ενεργού διατομής παραγωγής δύο μποζονίων Ζ στον ATLAS και όρια στις τριπλές συζεύξεις TGCs) μποζονίων Ζ Μαράντης Αλέξανδρος Α.Ε.Μ Επιβλέπων Καθηγητής Κορδάς Κωνσταντίνος Θα ήθελα να ευχαριστήσω θερμά τον κ.κορδά για τις γνώσεις που μου προσέφερε

3 Περιεχόμενα Περίληψη...1 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Εισαγωγικά στοιχεία 1.1 Η φυσική των στοιχειωδών σωματιδίων Ο επιταχυντής LHC και το πείραμα ATLAS 3 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 Ενεργός διατομή στoν ATLAS 2.1 Σύνολο δεδομένων και Προσομοίωση Monte Carlo Επιλογή Γεγονότων Μέτρηση Ενεργού Διατομής cross section measurement) 8 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 Προβλέψη ενεργού διατομής με τη χρήση MCFM 3.1 Μοντέλο Παρτονίων και Συναρτήσεις Κατανομής Σταθερές σύζευξης Τρέχουσα Σταθερά σύζευξης Υπολογισμός ενεργού διατομής με το MCFM Έλεγχος συμφωνίας διαφορετικών συναρτήσεων κατανομής παρτονίων Μεταβολή της ενεργού διατομής με την ενέργεια...19 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 Ανώμαλες Τριπλές Συζεύξεις 4.1 Εισαγωγή για τις ανώμαλες τριπλές συζεύξεις Συνάρτηση Lagrange Ενεργός Διατομή cross section) Στατιστική ανάλυση Διαδικασία και αποτελέσματα της ανάλυσης...29 ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ...35 ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ...42

4

5 Αριστοτέλειο Πανεπιστήμιο Θεσσαλονίκης Σχολή Θετικών Επιστημών Τμήμα Φυσικής Ονοματεπώνυμο: Αλέξανδρος Μαράντης / Full name: Alexandros Marantis Όνομα πατρός : Λουκάς / Father s name : Loukas Α.Ε.Μ : Τίτλος Πτυχιακής Εργασίας: «Υπολογισμός με Monte Carlo της ενεργού διατομής παραγωγής δύο μποζονίων Ζ στον ATLAS και όρια στις τριπλές συζεύξεις TGCs) μποζονίων Ζ» Title: Measurement of the total ZZ production cross section in the four-lepton channel using Monte Carlo methods and extraction of limits in Triple Gauge Couplings TGCs) Περίληψη Το πρώτο μέρος της εργασίας έχει ως αντικείμενο τη μέτρηση με μέθοδο Monte Carlo ενεργών διατομών παραγωγής ζεύγους μποζονίων Ζ. Χρησιμοποιώντας το πρόγραμμα προσομοίωσης MCFM για τον υπολογισμό τέτοιων γεγονότων, είδαμε πως εξαρτάται η ενεργός διατομή, από διαφορετικά Particle Distribution Functions καθώς και από την ενέργεια στην οποία υπολογίζονται οι σταθερές σύζευξης. Καταλήξαμε στο συμπέρασμα ότι η ενεργός διατομή ελλατώνεται όσο μεγαλύτερη κλίμακα ενέργειας έχουμε. Στο δεύτερο μέρος της εργασίας περιγράφεται η εξαγωγή ορίων των συντελεστών σύζευξης για φαινόμενα τριπλών συζεύξεων μποζονίων Ζ με απλή στατιστική.παρατηρήσαμε ότι τα φαινόμενα TGCs αναμένεται να δώσουν επιπλέον γεγονότα σε σχέση με το Καθιερωμένο Μοντέλο και συγκεκριμένα σε υψηλές ορμές και μάζες.με τη χρήση απλής στατιστικής Poisson) είδαμε ότι τα παρατηρούμενα γεγονότα είναι συμβατά με τις προβλέψεις του Καθιερωμένου Μοντέλου και θέσαμε άνω όρια στην ισχύ των φαινομένων TGCs. Τα όρια που θέσαμε βρίσκονται κοντά στην τιμή 0, που προβλέπει το Καθιερωμένο Μοντέλο. Abstract The first part of this paper has as object the measurement of the cross section of Z boson pair production. By using the generator software MCFM, we saw that the cross section depends on the use of different Particle Distribution Functions as well as the energy scale, in which we calculate the coupling constants. We came to the conclusion that, the cross section is reduced inversely proportional to the energy scale we have. The second part describes the extraction of the limits with simple statistics, of the coefficient couplings in phenomena where we have Triple Gauge Couplings. We observed that TGCs are expected to provide extra events, compared to the Standard Model s predictions, particularly at high momentum and mass.by using simple statistics Poisson distribution) we saw that the observed events are consistent with the predictions of the Standard Model and we set upper limits on the strength of TGCs. The limits we set are close to 0, value which provides the SM

6 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ 1.1 Η φυσική των στοιχειωδών σωματιδίων A careful analysis of the process of observation in atomic physics has shown that the subatomic particles have no meaning as isolated entities, but can only be understood as interconnections between the preparation of an experiment and the subsequent measurement. Erwin Schrodinger Η φυσική των στοιχειωδών σωματιδίων ή αλλιώς, φυσική των υψηλών ενεργειών) ασχολείται κύρια με τη μελέτη των θεμελιακών συστατικών της ύλης και τις μεταξύ τους αλληλεπιδράσεις. Η πειραματική έρευνα σε αυτό το πεδίο της επιστήμης πραγματοποιείται με τεράστιους επιταχυντές σωματιδίων και τα αντίστοιχα ανιχνευτικά τους συστήματα. Οι υψηλές ενέργειες είναι απαραίτητες για δύο λόγους: Πρώτον, για να εξετάσουμε τα θεμελιώδη συστατικά στη μικροσκοπική κλίμακα που τα χαρακτηρίζει, χρειαζόμαστε ακτινοβολία με όσο το δυνατό μικρότερο μήκος κύματος και όσο το δυνατό μεγαλύτερη ενέργεια και δεύτερον, πολλά από τα θεμελιώδη συστατικά έχουν μεγάλες μάζες, οπότε για τη δημιουργία και μελέτη τους απαιτούνται οι αντίστοιχες υψηλές ενέργειες. Η φυσική των στοιχειωδών σωματιδίων, ήρθε στο επίκεντρο περίπου στα μέσα του 20 ου αιώνα αφού πολλοί επιστήμονες συνετέλεσαν με βάση τις έρευνές τους στη δημιουργία του Καθιερωμένου Προτύπου Standard Model). Το Καθιερωμένο Πρότυπο είναι μια σχετικιστική κβαντική θεωρία πεδίου που παρέχει το θεωρητικό υπόβαθρο για τη μελέτη των θεμελιωδών αλληλεπιδράσεων στη φύση που είναι οι ισχυρές πυρηνικές, οι ασθενείς και οι ηλεκτρομαγνητικές δυνάμεις μεταξύ των σωματιδίων. Αυτές, περιγράφονται με τα μποζόνια βαθμίδας gauge bosons) που είναι οι φορείς της εκάστοτε δύναμης δηλαδή για τις ισχυρές πυρηνικές είναι τα γκλουόνια gluons), για τις ασθενείς είναι τα W και Ζ μποζόνια και για τις ηλεκτρομαγνητικές, τα φωτόνια photons). Τα φερμιόνια είναι οι δομικοί λίθοι της ύλης και σύμφωνα με το Καθιερωμένο Πρότυπο είναι έξι κουάρκς και έξι λεπτόνια καθώς και τα αντισωμάτιά τους

7 Σχήμα 1.1 Τα μποζόνια είναι οι φορείς των θεμελιωδών αλληλεπιδράσεων Σχήμα 1.2 Τα φερμιόνια διαχωρίζονται σε λεπτόνια και κουάρκς. Στο σχήμα φαίνονται οι μάζες και το ηλεκτρικό φορτίο που προβλέπονται από το Καθιερωμένο Πρότυπο. 1.2 Ο επιταχυντής LHC και το πείραμα ATLAS Το μεγαλύτερο πείραμα κατανόησης υποατομικών φαινομένων διεξάγεται στη Γενεύη στο CERN και ιδίως μετά την κατασκευή του επιταχυντή LHC, έχουμε τη δυνατότητα να πραγματοποιήσουμε πιο εύστοχα πειράματα για την κατανόηση του Καθιερωμένου Μοντέλου, έτσι ώστε να εξετάσουμε την εγκυρότητά του σε κλίμακες ενέργειας της τάξης - 3 -

8 των TeV. O LHC είναι ο μεγαλύτερος κυκλικός επιταχυντής, με την υψηλότερη ενέργεια, και βρίσκεται στα σύνορα της Ελβετίας και της Γαλλίας κοντά στη Γενεύη. Έχει σχεδιαστεί για να λειτουργεί σε ενέργεια στο κέντρο μάζας και με μέγιστη φωτεινότητα με την επιτάχυνση δύο δεσμών πρωτονίων στην ενέργεια των 7 ΤeV η κάθε μία. Οι δέσμες πρωτονίων είναι προγραμματισμένες να συγκρούονται σε τέσσερα διαφορετικά σημεία σε όλη την περιφέρεια του δακτυλίου, όπου είναι εγκατεστημένα τέσσερα μεγάλα πειράματα, ATLAS, CMS, LHC-b και ALICE. Κάθε ανιχνευτής μελετά συγκεκριμένα φαινόμενα. Ο ανιχνευτής ATLAS έχει ως βασικό σκοπό την ανίχνευση υψηλής μάζας σωματιδίων που κατά τη διάσπασή τους εκπέμπουν μιόνια, ηλεκτρόνια και νετρίνο, τα οποία δε μπορούν να παραχθούν σε χαμηλές ενέργειες. Σχήμα 1.3 Ο ανιχνευτής ATLAS και τα διάφορα μέρη που τον αποτελούν Όπως βλέπουμε στο σχήμα 1.3 ο ανιχνευτής ATLAS είναι ένα κυλινδρικό δοχείο το οποίο αποτελείται από διάφορα μέρη. Τα σωματίδια που παράγονται σε κάθε σύγκρουση, αλληλεπιδρούν διαφορετικά με το κάθε μέρος του ανιχνευτή μας σχήμα 1.4). Εσωτερικός ανιχνευτής Είναι το ενδότερο μέρος του ATLAS και αποτελείται από τρεις υποανιχνευτές όπου όλοι αποσκοπούν στη ανίχνευση φορτισμένων σωματιδίων. Τα ουδέτερα σωματίδια περνάνε από αυτό το κομμάτι χωρίς να ανιχνευτούν. Όλα τα φορτισμένα σωματίδια αλληλεπιδρούν με τον ανιχνευτή αλλά τον διαπερνούν χωρίς θεωρητικά να αλλοιωθεί η κατεύθυνση ή η ενέργειά τους

9 Θερμιδόμετρο καλορίμετρο) Όταν ένα σωματίδιο φορτισμένο ή μη) μπει στο θερμιδόμετρο συγκρούεται με το πυκνό υλικό του ανιχνευτή. Η σύγκρουση αυτή προκαλεί την εμφάνιση μιας σειράς άλλων σωματιδίων και σχεδόν όλη η ενέργεια του αρχικού σωματιδίου απορροφάται από το θερμιδόμετρο. Λόγω αυτού του γεγονότος το θερμιδόμετρο είναι τοποθετημένο μετά τον εσωτερκό ανιχνευτή, ώστε να καταγράφεται η τροχιά του σωματιδίου πριν αυτό απορροφηθεί. Τα θερμιδόμετρα μετρούν ενέργεια και έχουν δυο διαφορετικά μέρη: Ηλεκτρομαγνητικό θερμιδόμετρο: μετρά τη συνολική ενέργεια των φωτονίων. και των Αδρονικό θερμιδόμετρο: μετράει την ολική ενέργεια των αδρονίων Ανιχνευτές μιονίων Είναι το εξωτερικό στρώμα του ανιχνευτή. Τα μιόνια είναι τα μόνα φορτισμένα σωματίδια που διαπερνούν το θερμιδόμετρο αδρονίων σχεδόν ανεπηρέαστα και φτάνουν στον ανιχνευτή μιονίων. Οι τροχιές τους είναι οι μόνες που καταγράφονται στους φλοιούς του ανιχνευτή μιονίων. Μαγνήτες Ο ανιχνευτής ATLAS βρίσκεται μέσα σε ισχυρότατο μαγνητικό πεδίο το οποίο καμπυλώνει τις τροχιές των φορτισμένων σωματιδίων. Τα πεδία δημιουργούνται από τεσσάρων ειδών μαγνήτες, τρεις τοροειδούς μορφής και ένας σωληνοειδούς μορφής. Τα θετικά και αρνητικά φορτισμένα σωματίδια στρέφονται προς αντίθετες κατευθύνσεις από το ίδιο μαγνητικό πεδίο. Σχήμα 1.4 Τα ίχνη που αφήνουν διάφορα σωματίδια στον ανιχνευτή μας

10 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΕΝΕΡΓΟΣ ΔΙΑΤΟΜΗ ΣΤΟΝ ATLAS 2.1 Εισαγωγή Η παραγωγή ζευγών μποζονίων Ζ στον Μεγάλο Επιταχυντή Αδρονίων, παρουσιάζει μεγάλο ενδιαφέρον, δεδομένου ότι αποτελεί μια μοναδική ευκαιρία να ελεγχθούν οι προβλέψεις της ηλεκτρασθενούς δύναμης του Καθιερωμένου Μοντέλου σε κλίμακα μερικών TeV. Στο Καθιερωμένο Μοντέλο, η παραγωγή ΖΖ προέρχεται από εξαύλωση quarkantiquark t-channel), με μια μικρή συμβολή ~5.9%) από σύντηξη γκλουονίων. Το σχήμα δείχνει τα διαγράμματα Feynman για παραγωγή ζεύγους ΖΖ από αρχικές καταστάσεις. Οι ΖΖΖ και ΖΖγ συζεύξεις είναι μηδενικές, έτσι δεν υπάρχει συμβολή από εξαυλώσεις quark-antiquark s-channel) στο tree level. Σε επίπεδο one loop η συνεισφορά είναι Ο ). Κάποια μοντέλα πέρα από το Καθιερωμένο Μοντέλο, προβλέπουν τιμές των ουδέτερων τριπλών συζεύξεων μποζονίων ntgcs) σε τιμές της τάξης των. Η παρουσία μη μηδενικών συζεύξεων ntgcs συνεπάγεται αύξηση της ενεργού διατομής παραγωγής ζεύγους ΖΖ ειδικά όταν έχουμε υψηλή αναλοίωτη μάζα και εγκάρσια ορμή. περισσότερα για τις ntgcs στο κεφάλαιο 4) Σχήμα 2.1.1: Διαγράμματα Feynman παραγωγής ΖΖ μέσω quark-antiquark σε συγκρουστήρες αδρονίων. Το διάγραμμα καναλιού s, c) περιέχει τις συζεύξεις ΖΖΖ ΖΖγ), οι οποίες είναι μηδενικές στο Καθιερωμένο Μοντέλο

11 Πρόσφατα οι ATLAS και CMS μέτρησαν την παραγωγή ΖΖ σε συγκρούσεις πρωτονίωνπρωτονίων στα 7 TeV. Υπάρχουν επίσης αποτελέσματα από τα πειράματα των ATLAS και CMS στα 8 ΤeV. Η παραγωγή ΖΖ έχει μελετηθεί προηγουμένως σε συγκρούσεις στον LEP και πρωτονίων-αντιπρωτονίων στο Tevatron. Ωστόσο, δεν έχουν παρατηρηθεί αποκλίσεις από τις προβλέψεις του Καθιερωμένου Μοντέλου για την ενεργό διατομή, επιτρέποντας να τεθούν όρια στις μη-μηδενικές ανώμαλες συζεύξεις ntgcs. Η ενεργός διατομή παραγωγής στον LHC για ενέργεια, στο σύστημα κέντρου μάζας, 7 TeV προβλέπεται να είναι περίπου 5 φορές μεγαλύτερη 5.5 φορές για τα 8 TeV) από αυτή στο Tevatron.Η ενεργός διατομή παραγωγής ΖΖ βρέθηκε «συνεπής» στις προβλέψεις του Καθιερωμένου Μοντέλου. Στην παρούσα εργασία, παρουσιάζουμε την μέτρηση της fiducial και ολικής ενεργού διατομής παραγωγής ΖΖ από σύγκρουση πρωτονιού-πρωτονίου με ενέργεια στο σύστημα κέντρου μάζας. Ο όρος fiducial ενεργός διατομή, χρησιμοποιείται για την ενεργό διατομή η οποία μετράται εντός του χώρου φάσεων που ταιριάζει στην πειραματική αποδοχή, περιορίζοντας με αυτό τον τρόπο τα εξαρτώμενα από τη θεωρία συστηματικά λάθη της μέτρησης. Η μέτρηση χρησιμοποιεί δείγμα δεδομένων που αντιστοιχεί σε ολοκληρωμένη φωτεινότητα των 20.3±0.6 τα οποία συλλέχθηκαν από τον ανιχνευτή του ATLAS κατά το Η ενεργός διατομή για παραγωγή ΖΖ on-shell,η οποία απαιτεί την υπάρξη δυο Ζ μποζονίων μάζας μεταξύ 66 και 116 GeV, προβλέπεται at next-to-leading order στο QCD NLO), χρησιμοποιώντας την CT10 NLO εξίσωση πυκνότητας παρτονίων parton density function) PDF) ότι είναι. Τα υποψήφια γεγονότα ΖΖ ανακατασκευάζονται στο κανάλι διάσπασης, όπου l είναι ηλεκτρόνιο ή μιόνιο. Παρόλο που αυτό το κανάλι αποτελεί μόνο το ~0.45% της συνολικής on-shell ενεργού διατομής, η πειραματική «υπογραφή» των τεσσάρων, υψηλής εγκάρσιας ορμής, απομονωμένων λεπτονίων είναι ξεκάθαρη. Το βασικό υπόβαθρο που παρατηρείται οφείλεται σε Z+ jets, από άλλες διμποζονικές WW/WZ) τελικές καταστάσεις καθώς και γεγονότα top quarks όπου η διάσπαση ακολουθείται από μια λεπτονική του W και μια ημιλεπτονική του b-quark. Ένας fiducial χώρος φάσεων, ο οποίος θα είναι κοινός για τα τρία κανάλια διάσπασης ορίζεται με την προϋπόθεση τα τέσσερα λεπτόνια να είναι εντός του εύρους της pseudorapidity, να έχουν εγκάρσια ορμή p T ) μεγαλύτερη από 7 GeV και η μάζα των δύο ζευγών λεπτονίων να είναι μεταξύ Gev. Η fiducial ενεργός διατομή λαμβάνεται από την ανακατασκευή των γεγονότων, με τη βοήθεια ενός διορθωτικού παράγοντα. Οι παράγοντες διόρθωσης είναι διαφορετικοί για τα τρία κανάλια διάσπασης κάτι το οποίο αντανακλά όχι μόνο τις διαφορετικές αποδοτικότητες, αλλά και την ελαφρώς διαφορετική επιλογή γεγονότων μεταξύ των τριών καναλιών. Η ολική ενεργός διατομή παραγωγής ΖΖ λαμβάνεται από τη fiducial χρησιμοποιώντας το branch-ratio της και έναν διορθωτικό παράγοντα για την κινηματική και γεωμετρική αποδοχή, ο οποίος υπολογίζεται με χρήση της NLO πρόβλεψης του καθιερωμένου μοντέλου. Στον υπολογισμό των αναλλοίωτων μαζών των ζευγών λεπτονίων, τα φωτόνια εντός του λεπτονίου περιλαμβάνονται στην τετραορμή του λεπτονίου

12 2.2 Σύνολο δεδομένων και Προσομοίωση Monte Carlo Τα γεγονότα συλλέγονται χρησιμοποιώντας single-leptons ως triggers με κατώφλια για την εγκάρσια ορμή από 20 έως 22 GeV στην περίπτωση ηλεκτρονίων και 18 Gev για μιόνια. Η αποδοχή του σήματος καθορίζεται από μια λεπτομερή προσομοίωση Monte Carlo. H leading order LO) γεννήτρια SHERPA v με εξίσωση πυκνότητας παρτονίων PDF) CTEQ6.6 χρησιμοποιείται για να μοντελοποιήσει γεγονότα, όπου l είναι ηλεκτρόνια, μιόνια ή ταυ λεπτόνια. Η προσομοίωση SHERPA περιλαμβάνει τους όρους παρεμβολής μεταξύ των διαγραμμάτων Ζ και γ*. Το κατώφλι μάζας του ανταλλασσόμενου Ζ/γ μποζονίου ορίζεται στα 7 GeV. Οταν επεξεργαζόμαστε τον αναμενόμενο αριθμό των γεγονότων σήματος, οι προβλέψεις για το LO από το SHERPA, κανονικοποιούνται στον υπολογισμό του NLO από το MCFM, χρησιμοποιώντας το MSTW2008 NLO PDF. Ο παράγοντας κανονικοποίησης, υπολογισμένος εντός του χώρου φάσεων της fiducial ενεργού διατομής μας, είναι, όπου η στατιστική αβεβαιότητα 2.2%) αντικατοπτρίζει τη στατιστική του δείγματος από το SHERPA και η συστηματική αβεβαιότητα 1.8%), την αβεβαιότητα της εξίσωσης πυκνότητας παρτονίων PDF) καθώς και της κλίμακας του κλάσματος της NLO ενεργού διατομής στην περιοχή της fiducial. Ο υπολογισμός του NLO του MCFΜ περιλαμβάνει τη συνεισφορά 6% από σύντηξη γκλουονίων. Η απόδοση ανακατασκευής για τα γεγονότα σύντηξης γκλουονίων, έχει ελεγχθεί από προσομοιωμένα γεγονότα που έχουν παραχθεί στη γεννήτρια gg2zz του HERWIG και Jimmy for hadronization and multiple parton scattering. Αυτή η απόδοση είναι σύμφωνη με την απόδοση της εξαΰλωσης που προέρχεται απο τις προσομοιώσεις από το SHERPA. Η συνεισφορά από διαδικασίες υποβάθρου εκτιμάται από τα δεδομένα και επικυρώνεται μέσω των προβλέψεων από τις προσομοιώσεις Monte Carlo. MC@NLO χρησιμοποιείται για να μοντελοποιήσει τις διαδικασίες δυο μποζονίων και γεγονότα με top quarks. 2.3 Επιλογή Γεγονότων Τα γεγονότα σήματος χαρακτηρίζονται από τέσσερα απομονωμένα ηλεκτρόνια ή μιόνια με υψηλή εγκάρσια ορμή. Τα μιόνια αναγνωρίζονται από τις τροχιές τους track segments) οι οποίες ανακατασκευάζονται στο μιονικό φασματόμετρο και ταιριάζουν με τις ανακατασκευασμένες τροχιές από τον εσωτερικό ανιχνευτή. Απαιτείται να έχουν και. Η ορμή τους υπολογίζεται στατιστικά συνδυάζοντας τις πληροφορίες από τα δύο υποσυστήματα και διορθώνοντας την ενεργειακή απώλεια από το θερμιδόμετρο. Για να αποφύγουμε να μετρήσουμε μιόνια που προέρχονται από διασπάσεις βαρέων quarks, απαιτείται οι τροχιές τους να βρίσκονται μέσα σε κώνο για τον οποίο ισχύει. Τουλάχιστον ένα από τα τέσσερα μιόνια απαιτείται να έχει ορμή μεγαλύτερη από 20 GeV και να ικανοποιεί και τα παραπάνω κριτήρια απομόνωσης. Τα ηλεκτρόνια ανακατασκευάζονται χρησιμοποιώντας τα ενεργειακά αποθέματα στα ηλεκτρομαγνητικά θερμιδόμετρα ταιριασμένα σε τροχιές στον εσωτερικό ανιχνευτή. Τα - 8 -

13 υποψήφια ηλεκτρόνια απαιτείται να έχουν και. Πρέπει να είναι απομονωμένα χρησιμοποιώντας τα ίδια κριτήρια με τα μιόνια. Τα γεγονότα απαιτείται να έχουν ακριβώς τέσσερα λεπτόνια επιλεγμένα βάση των παραπάνω κριτηρίων και έχοντας περάσει ένα μιονικό ή ηλεκτρονικό trigger. Ίδιας γεύσης και αντίθετου φορτίου λεπτονικά ζεύγη συνδυάζονται για να σχηματίσουν υποψήφια Ζ. Ένα γεγονός πρέπει να περιέχει δύο τέτοια ζευγάρια. Για να διακρίνουμε την μητέρα των συνδυασμένων λεπτονίων, συνδυάζουμε τη μάζα τους και δεχόμαστε αυτά που δίνουν τη μικρότερη τιμή στη σχέση. Για τα ηλεκτρόνια, η εγκάρσια ορμή πρέπει να είναι μεγαλύτερη από 7 Gev και το pseudorapidity μικρότερο από Αντίστοιχα για τα μιόνια, η εγκάρσια ορμή μεγαλύτερη από 7 GeV και το pseudorapidity μικρότερο από 2.5. Στη συνέχεια, πρέπει να παρατηρούμε ακριβώς 4 λεπτόνια σε κάθε γεγονός και τουλάχιστον ένα από αυτά πρέπει να έχει ορμή μεγαλύτερη από 25GeV προκαλώντας έτσι τον trigger. Επίσης, πρέπει να παρατηρούμε δύο ζευγάρια λεπτονίων με αντίθετο φορτίο και ίδια γεύση στο κάθε ζευγάρι με μάζα μεταξύ 66 και 116 GeV OOSF = Opposite Sign Same Flavor). Οι τροχιές των τεσσάρων λεπτονίων, πρέπει να είναι διακριτές, δηλαδή πρέπει Τέλος πρέπει να διακρίνουμε κατά πόσο τα λεπτόνια που παρατηρούμε προέρχονται από το ίδιο μποζόνιο. Αυτό το πετυχαίνουμε παίρνοντας τη μικρότερη τιμή στην παρακάτω σχέση που εξαρτάται από τις μάζες των λεπτονίων : Σχήμα 2.3.1: Αναλλοίωτη μάζα του υποψήφιου leading Ζ subleading Z. Το κόκκινο κουτί ορίζει την περιοχή η οποία προκύπτει από τα fiducial cuts για τις μάζες των υποψήφιων Ζ. Οι διακεκομένες μπλε γραμμές ορίζουν τις περιοχές όπου οι μάζες ενός από τα ζεύγη λεπτονίων είναι μέσα στα όρια GeV - 9 -

14 2.4 Μέτρηση Ενεργού Διατομής cross section measurement) Για ένα δεδομένο κανάλι, ορίζουμε την fiducial ενεργό διατομή: Όπου τα και είναι ο αριθμός των παρατηρούμενων γεγονότων και γεγονότων υποβάθρου αντίστοιχα για το συγκεκριμένο κανάλι, η φωτεινότητα και ο παράγοντας ανοικοδόμησης. Το branching ratio για ένα Ζ να διασπαστεί σε και για ένα Ζ να διασπαστεί σε περιλαμβάνεται στον ορισμό της fiducial ενεργού διατομής. Το branching ratio για είναι ανά κανάλι. Το άθροισμα όλων των πιθανών συνδυασμών eeee, μμμμ και eeμμ) δίνει το συνδυασμένο branching ratio ). Για τον συνδυασμό των ευρημάτων από κάθε κανάλι σε μία μοναδική fiducial ενεργό διατομή, ακολουθούμε μια βασική προσέγγιση, χρησιμοποιώντας το άθροισμα όλων των καναλιών: i) των παρατηρούμενων γεγονότων, ii) των γεγονότων υποβάθρου και iii) τις διορθώσεις απόδοσης του ανιχνευτή παράγοντας ανοικοδόμησης). Αυτή η μέθοδος δίνει τη μεγαλύτερη βαρύτητα στο κανάλι με τη μεγαλύτερη στατιστική. Η ενεργός διατομή για όλο τον χώρο φάσεων ολική ενεργός διατομή) ορίζεται ως: Όπου το είναι ο παράγοντας αποδοχής, ο οποίος δίνει το ποσοστό των που βρίσκεται μέσα στον fiducial χώρο. Ο αριθμός των αναμενόμενων και παρατηρούμενων γεγονότων μετά την εφαρμογή των κριτηρίων επιλογής φαίνονται στον πίνακα 2.4.1, μαζί με τον παράγοντα ανοικοδόμησης ποσοστό των γεγονότων που γεννήθηκαν στον fiducial χώρο και καταφέραμε να ανακατασκευάσουμε και να μετρήσουμε) Μετρήσαμε 305 υποψήφια γεγονότα, τα οποία ικανοποιούν τα κριτήριά μας, με αναμενόμενο υπόβαθρο

15 Πίνακας 2.4.1: Σύνοψη των παρατηρούμενων και αναμενόμενων γεγονότων, συνεισφορά του υποβάθρου και παράγοντας ανοικοδόμησης για όλα τα κανάλια τεσσάρων λεπτονίων, μετά την εφαρμογή των κριτηρίων επιλογής. Το αναμενόμενο σήμα προέρχεται από Monte Carlo. Το πρώτο σφάλμα είναι στατιστικό και το δεύτερο συστηματικό. Τα σχήματα δείχνουν τις κατανομές της αναλοίωτης μάζας για τα leading και subleading ζεύγη λεπτονίων μετά την εφαρμογή των κριτηρίων επιλογής, καθώς και τις κατανομές της εγκάρσιας ορμής των ζευγών λεπτονίων και του συστήματος των τεσσάρων λεπτονίων, όπως επίσης και την αναλλοίωτη μάζα για το σύστημα αυτό. Το τελικό αποτέλεσμα για την fiducial ενεργό διατομή, η οποία αντιστοιχεί στον χώρο φάσεων που ορίζεται από τους περιορισμούς που θέσαμε, προκύπτει: Όπου αντιστοιχεί στο άθροισμα των, και τελικών καταστάσεων. Το αποτέλεσμα είναι σύμφωνο με την πρόβλεψη του Καθιερωμένου Προτύπου υπολογισμένου με MCFM, όπου τα σφάλματα αντιστοιχούν στις αβεβαιότητες των PDFs και των scales, όπως θα περιγραφούν και παρακάτω. Οι fiducial ενεργές διατομές για κάθε κανάλι διάσπασης φαίνονται στον πίνακα Πίνακας 2.4.2: Fiducial ενεργός διατομή ανά κανάλι. Οι μετρούμενες τιμές συγκρίνονται με τις θεωρητικές προβλέψεις από το MCFM

16 Η ολική ενεργός διατομή καθορίζεται επεκτείνοντας την fiducial σε όλο τον χώρο φάσεων, με διορθώσεις που αφορούν το branching ratio και τα κριτήρια επιλογής. Η μετρούμενη τιμή της ολικής ενεργού διατομής είναι: Το αποτέλεσμα αυτό είναι σύμφωνο με το Καθιερωμένο Πρότυπο των υπολογισμένο στο MCFM με τη χρήση του CT10 PDF. Το σχήμα δείχνει τις μετρήσεις της ολικής ενεργού διατομής παραγωγής ΖΖ ως συνάρτηση της ολικής ενέργειας στο κέντρο μάζας ) από αποτελέσματα πειραμάτων που πραγματοποιήθηκαν στον ATLAS και τον CMS του LHC καθώς και από τον CDF και DO του Tevatron, μαζί με τις θεωρητικές τους προβλέψεις. Σχήμα 2.4.1: Σύγκριση των πειραματικών μετρήσεων και θεωρητικών προβλέψεων για την ολική ενεργό διατομή παραγωγής ΖΖ συναρτήσει της ολικής ενέργειας στο κέντρο μάζας. Η κόκκινη γραμμή αναφέρεται σε pp συγκρούσεις LHC) ενώ η μπλε σε συγκρούσεις Tevatron)

17 Σχήμα 2.4.2: Κινηματικές κατανομές για τα υποψήφια ΖΖ σε όλα τα κανάλια τεσσάρων λεπτονίων. Όλα τα κριτήρια επιλογής έχουν εφαρμοστεί, εκτός από τα cuts για τη μάζα του ζεύγους λεπτονίων

18 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 Προβλε ψη ενεργού διατομη ς με τη χρη ση MCFM 3.1 Μοντέλο Παρτονίων και Συναρτήσεις Κατανομής Το μοντέλο των παρτονίων, δόθηκε από τον Feynman το 1969: Στο εσωτερικό του πρωτονίου, υπάρχουν ελεύθερα, φορτισμένα και χωρίς δομή σωματίδια που ονομάζονται παρτόνια, με τα οποία αλληλεπιδρά το δυνητικό φωτόνιο στη βαθιά ανελαστική σκέδαση. Σε κάθε παρτόνιο αντιστοιχεί ένα κλάσμα της ολικής ορμής και ενέργειας του πρωτονίου. Η συνεισφορά του i παρτονίου στις συναρτήσεις δομής του p, είναι: ) και ) Το κάθε παρτόνιο λαμβάνει τμήμα του ολικού x του p με κάποια πιθανότητα. Αν ολοκληρώσουμε ως προς όλες τις δυνατές τιμές του x και αθροίσουμε για κάθε παρτόνιο, προκύπτουν οι σχέσεις: και Και καταλήγουμε στη σχέση Callan Gross η οποία επαληθεύεται πειραματικά για παρτόνια με spin ½. Οι συναρτήσεις κατανομής παρτονίων Parton Distribution Functions) είναι ζωτικής σημασίας για τις προβλέψεις που κάνουμε μέσω του Καθιερωμένου Προτύπου, αλλά και πέρα από αυτό, στους επιταχυντές αδρονίων. Η συνάρτηση πυκνότητας αδρονίων δίνει την πιθανότητα να μεταφέρει ένα παρτόνιο quarks και gluons) ποσοστό x της ορμής ενός αδρονίου, με Q την ενεργειακή κλίμακα energy scale) της ισχυρής αλληλεπίδρασης. Οι πιθανότητες αυτές καθορίζονται από πειράματα σκέδασης παρτονίων σε μικρές αποστάσεις. Σχήμα 3.1.1: Διάγραμα ουδέτερης και φορτισμένης βαθιάς ανελαστικής σκέδασης. Χ είναι η τελική αδρονική κατάσταση

19 Σχήμα 3.1.2: Συνάρτηση κατανομής παρτονίων MSTW2008. Η κάθε γραμμή δείχνει την κατανομή της ορμής του πρωτονίου στα quarks και τα gluons. 3.2 Σταθερά σύζευξης Στις ασθενείς αλληλεπιδράσεις συμμετέχουν τόσο τα κουάρκ όσο και τα λεπτόνια. Σε αναλογία με τον ηλεκτρομαγνητισμό, λέμε ότι φέρουν «ασθενές» φορτίο. Η αλληλεπίδραση αυτή, είναι τόσο ασθενική, ώστε συνήθως επισκιάζεται από τις πολύ ισχυρότερες ηλεκτρομαγνητικές και ισχυρές αλληλεπιδράσεις και παρατηρείται όταν οι αλληλεπιδράσεις αυτές δεν ενεργούν εξαιτίας κάποιων νόμων διατήρησης. Άρα οι παρατηρήσιμες ασθενείς αλληλεπιδράσεις περιλαμβάνουν είτε νετρίνα, είτε quarks με μεταβολή γεύσεων. Στις ασθενείς αλληλεπιδράσεις, μεσολαβούν τα βαριά μποζόνια και, σε αναλογία με την ανταλλαγή φωτονίων που πραγματοποιείται στις ηλεκτρομαγνητικές αλληλεπιδράσεις. Η αλληλεπίδραση δύο σωματιδίων μέσω ανταλλαγής μποζονίου δίνεται από τη σχέση: Όπου η ισχύς σύζευξης του σωματιδίου με στατικό δυναμικό U, q η μεταφορά τετραορμής με. Μπορούμε να αντικαταστήσουμε τις συζεύξεις των W και Ζ με τα quarks και τα λεπτόνια με ένα μόνο αριθμό, g οπότε, έχουμε:

20 Για το πλάτος είναι ανεξάρτητο του που σημαίνει ότι η αντίστοιχη ασθενής αλληλεπίδραση είναι σημειακή. Στην ηλεκτρασθενή θεωρία των Glashow, Salam και Weinberg προτάθηκε η ισότητα της σταθεράς σύζευξης g των και με τα λεπτόνια και τα quarks, με την αντίστοιχη σταθερά των φωτονίων, δηλαδή g = e, γεγονός που αντιστοιχούσε στην ενοποίηση της ασθενούς αλληλεπίδρασης με την ηλεκτρομαγνητική. 3.3 Τρέχουσα Σταθερά σύζευξης Κάθε κόμβος σε διαγράμματα Feynman για την QED, εισάγει και έναν παράγοντα 1/137 και το μικρό μέγεθος αυτού του αριθμού σημαίνει πως στην ανάλυση μας αρκεί να συμπεριλάβουμε τα διαγράμματα Feynman με μικρό αριθμό κόμβων. Πειραματικά, η αντίστοιχη σταθερά σύζευξης της ισχυρής δύναμης, a s είναι μεγαλύτερη από 1 και το μεγάλο μέγεθος αυτού του αριθμού βασάνιζε τη σωματιδιακή φυσική για χρόνια. Διότι, αντί να συνεισφέρουν ολοένα και λιγότερο τα διαγράμματα, συνεισφέρουν ολοένα και περισσότερο, και η διαδικασία που εισήγαγε ο Feynman, η οποία λειτουργούσε τόσο καλά στην QED, στην QCD καθίσταται άχρηστη. Συγκεκριμένα, για τη σταθερά σύζευξης της ισχυρής αλληλεπίδρασης, παρατηρείται πως μολονότι είναι μεγάλη στις σχετικά μεγάλες αποστάσεις που χαρακτηρίζουν την πυρηνική φυσική, γίνεται αρκετά μικρή σε πολύ μικρές αποστάσεις μικρότερες από το μέγεθος ενός πρωτονίου). Αυτό το φαινόμενο είναι γνωστό ως ασυμπτωτική ελευθερία. Πρακτικά σημαίνει πως στο εσωτερικό ενός πρωτονίου ή ενός πιονίου, τα quarks δεν αλληλεπιδρούν πολύ. Ακριβώς αυτή η συμπεριφορά παρατηρήθηκε στα πειράματα βαθιάς ανελαστικής σκέδασης. Η τρέχουσα σταθερά σύζευξης, εκφράζει την τιμή της α σε κάποια τιμή του ως προς εκείνη σε κάποιο άλλο αποφεύγοντας παρεμπιπτόντως γυμνές συζεύξεις για ). Η σχέση μπορεί να προσεγγιστεί από: ) Οπότε η μεταβολή στην τιμή α, μεταξύ της διαδικασίας με τυπική μεταφορά ορμής αυτής με εξαρτάται λογαριθμικά από το λόγο. και

21 Σχήμα : Εξάρτηση των σταθερών σύζευξης από την ενέργεια. Η κόκκινη γραμμή αναπαριστά την ηλεκτρασθένη αλληλεπίδραση, η μπλε την ηλεκτρομαγνητική και η πράσινη την ισχυρή. 3.4 Υπολογισμός ενεργού διατομής με το MCFM Για την περίπτωση του Atlas, έχουμε τη σύγκρουση δύο πρωτονίων με συγκεκριμένη ενέργεια που καθορίζεται από τη μεταβλητή s. Όπως ειπώθηκε και παραπάνω, λόγω της κίνησής τους, τα πρωτόνια, έχουν συγκεκριμένη ορμή, η οποία μετά τη σύγκρουση διαμοιράζεται στα «συστατικά» του κάθε πρωτονίου quarks, gluons). Επίσης, όπως είδαμε, οι «σταθερές» σύζευξης, εξαρτώνται από τη διαθέσιμη ενέργεια για κάθε διαδικασία. Εδώ, θα υπολογίσουμε ενεργές διατομές παραγωγής ζευγών μποζονίων χρησιμοποιώντας δύο συναρτήσεις κατανομής παρτονίων, αλλάζοντας κάθε φορά την ενεργειακή κλίμακα των συζεύξεων. Με αυτόν τον τρόπο θα μελετήσουμε τις διαφορές που προκαλεί στις ενεργές διατομές η χρήση της εκάστοτε συνάρτησης PDF) καθώς και την επίδραση που έχει σε αυτές η αλλαγή των «σταθερών σύζευξης Έλεγχος συμφωνίας διαφορετικών συναρτήσεων κατανομής παρτονίων Γενικότερα στο ATLAS παίρνουμε διαφορετική τιμή σε κάθε γεγονός, ανάλογα με την ενέργεια σύγκρουσης των παρτονίων. Θα υπολογίσουμε, για δυο διαφορετικά PDFs και μεταβάλλοντας την ενεργειακή κλίμακα σύζευξης, το κατά πόσο διαφέρουν οι ενεργές διατομές για κάθε PDF. Με αυτό τον τρόπο ελέγχουμε την επίδραση που έχει η χρήση διαφορετικής συνάρτησης κατανομής των παρτονίων στις προβλέψεις που κάνουμε για την παραγωγή ζευγών μποζονίων. Μεταβάλλουμε την ενεργειακή κλίμακα energy scale) χρησιμοποιώντας ως σταθερά τη μάζα του μποζονίου Ζ = 91.2 GeV. Έχουμε συνηθίσει να δίνουμε τα couplings σε τιμή

22 M Ζ = 91.2 GeV. Έτσι, η ενεργειακή κλίμακα μπορεί να χαρακτηριστεί ως δυναμική dynamic energy scale) όπου η μάζα του ζεύγους μποζονίων ΖΖ Εκτελώντας τους υπολογισμούς με τη χρήση δυο διαφορετικών PDFs για τις ενεργές διατομές, παίρνουμε τους παρακάτω πίνακες: MSTW, dynamic scale = k * m3456) CT10.0, dynamic scale = k * m3456) Υπολογίζουμε τη διαφορά των ενεργών διατομών για κάθε περίπτωση PDF. ) ) Όπου σ η ενεργός διατομή και er η αβεβαιότητα. Φτιάχνουμε τον παρακάτω πίνακα με το ποσοστό % των διαφορών που παρουσιάζουν τα PDFs : Escale Total % Fiducial % ± ± ± ± ± ±

23 Παρατηρούμε ότι η διαφορά μεταξύ των δυο PDFs σε κάθε περίπτωση dynamic scale παραμένει η ίδια μέσα στα όρια της αβεβαιότητας. Δηλαδή μπορούμε να πούμε ότι οι δυο συναρτήσεις κατανομής παρτονίων, συμπεριφέρονται ανάλογα, στη μεταβολή του dynamic scale και το γεγονός αυτό είναι πολύ σημαντικό στη μελέτη των ενεργών διατομών. Κάνοντας προβλέψεις λοιπόν, στο πείραμά μας, αρκεί να χρησιμοποιούμε ένα συγκεκριμένο PDF για την εξαγωγή των αποτελεσμάτων μας Μεταβολή της ενεργού διατομής με την ενέργεια Συμπεράναμε ότι αρκεί η χρήση ενός PDF για τον υπολογισμό των ενεργών διατομών παραγωγής ζευγών μποζονίων. Στη συνέχεια, με τη χρήση του PDF MSTW, θέτουμε διάφορες τιμές στην ενεργειακή κλίμακα σύζευξης των σωματιδίων και παρατηρούμε πως μεταβάλλεται η ενεργός διατομή. Σε αυτή την περίπτωση, η ενεργειακή κλίμακα είναι αυθαίρετη και δεν είναι πολλαπλάσιο της μάζας των μποζονίων Ζ, όπως συνέβαινε στην προηγούμενη περίπτωση. Για αυτόν το λόγο, μπορούμε να χαρακτηρίσουμε την ενεργειακή κλίμακα, ως καθορισμένη fixed energy scale). Τα αποτελέσματα παρουσιάζονται στον παρακάτω πίνακα: Escale ± ± ± ± ± ± ± ± ± ± ± ± ± ± ± ± ± ± ± ± ± ± ± ± Πίνακας : QCD fixed scale Running of the cross section with the scale

24 QCD fixed scale - running of the cross section with the scale Σχήμα a) QCD fixed scale -running of the total cross section with the scale and b) QCD fixed scale -running of the fiducial cross section with the scale Παρατηρούμε ότι η ενεργός διατομή μειώνεται με την αύξηση της ενεργειακής κλίμακας σύζευξης των σωματιδίων. Αυτό ήταν αναμενόμενο, αν λάβουμε υπόψην μας την συμπεριφορά των συντελεστών σύζευξης, με την αύξηση της ενέργειας σχ ) Η σταθερά σύζευξης της ηλεκτρασθενούς αλληλεπίδρασης, μειώνεται με την αύξηση της ενέργειας

25 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 Ανώμαλες Τριπλε ς Σύζεύ ξεις 4.1 Εισαγωγικά Η παραγωγή ζευγών μποζονίων στον LHC μας δίνει τη δυνατότητα να ελέγξουμε τις προβλέψεις της ηλεκτρασθενούς θεωρίας του Καθιερωμένου Μοντέλου, αλλά επίσης αποτελεί και υπόβαθρο της έρευνας για το μποζόνιο Higgs στο κανάλι. Συγκεκριμένα η παραγωγή ΖΖ μπορεί να λάβει χώρα μέσω των καναλιών t και u, ενώ για το κανάλι s οι συζεύξεις ΖΖΖ και ΖΖγ ουδέτερες τριπλές συζεύξεις μποζονίων ntgcs) είναι απούσες από τις προβλέψεις του SM. Παρόλα αυτά κάποια μοντέλα πέρα από το Καθιερωμένο Μοντέλο, προβλέπουν τιμές των ουδέτερων τριπλών συζεύξεων μποζονίων ntgcs) σε τιμές της τάξης των. Η παρουσία μη μηδενικών συζεύξεων ntgcs συνεπάγεται αύξηση της ενεργού διατομής παραγωγής ζεύγους ΖΖ ειδικά όταν έχουμε υψηλή αναλλοίωτη μάζα και εγκάρσια ορμή. Σχήμα Εξάρτηση της ενεργού διατομής από το p T και κατ επέκταση από το Σε υψηλές τιμές p T το SM δεν προβλέπει πολλά γεγονότα, ενώ αν υπάρχουν atgcs θα έχουμε συνεισφορά γεγονότων. Aποτέλεσμα: απόκλιση τηε ενεργού διατομής από τις προβλέψεις του SM Οι ανώμαλες τριπλές συζεύξεις, μπορούν να παραμετροποιηθούν με τη χρήση τεσσάρων μεταβλητών. Οι δυο από αυτές παραβιάζουν τη CP CP-violating) και οι άλλες δυο τη διατηρούν CP-conserving) όπου V = Z, γ). Οι μεταβλητές αυτές στο SM είναι

26 μηδέν. Βάσει της Lagrangian του συστήματος, όσο αυξάνεται η ενέργεια, θα αυξάνεται και η ενεργός διατομή ανεξέλεγκτα, παραβιάζοντας τη unitarity. Για την αποφυγή του απειρισμού της ενεργού διατομής, εισάγουμε έναν παράγοντα ο οποίος όσο αυξάνεται η ενέργεια, θα μειώνει τη σταθερά σύζευξης. Αυτός ο παράγοντας ονομάζεται παράγοντας «μορφής» form-factor Λ) Σχήμα Ανώμαλες τριπλές συζεύξεις, όπως προβλέπονται από το Καθιερωμένο Μοντέλο. Παρατηρούμε ότι οι ΖΖΖ και ΖΖγ δεν προβλέπονται. Σχήμα Ουδέτερα TGC αποκλείονται από το SM. Τα φαινόμενα TGCs αυξάνονται ανάλογα με το ή. Η ενεργός διατομή επηρεάζεται κυρίως, σε περιοχές του χώρου φάσεων που συνδέονται με υψηλό υψηλό P, E ή περιοχές T T μεγάλης μάζας

27 4.2 Συνάρτηση Lagrange Οι ανώμαλες τριπλές συζεύξεις θεωρητικά επιτρέπονται για «on shell» Z μποζόνια δηλαδή από ένα δυνητικό Ζ μποζόνιο ή ένα δυνητικό φωτόνιο γ. Είναι δυνατή η παραγωγή δύο Ζ μποζονίων με βάση το αναλλοίωτο του Lorentz και το αναλλοίωτο της ηλεκτρομαγνητικής βαθμίδας electromagnetic gauge invariance). Η γενική μορφή της συνάρτησης όπου θα παρατηρηθεί το γεγονός vertex function) γράφεται: [ ) ] Όπου Μ Ζ είναι η μάζα του μποζονίου Ζ και e το φορτίο του ηλεκτρονίου. Η συνάρτηση Lagrange η οποία παράγει την παραπάνω συνάρτηση vertex function) είναι: [ ) ) ) ] Όπου και και τανυστής Levi-Civita Οι παραπάνω εξισώσεις 3) είναι αναλλοίωτες κάτω από τους σχηματισμούς Lorentz. Ο παράγοντας είναι συνέπεια της συμμετρίας Bose για την σύζευξη ΖΖΖ και αντίστοιχα για τη σύζευξη ΖΖγ λόγω του ηλεκτρομαγνητικού αναλλοίωτου βαθμίδος electromagnetic gauge invariance). Οι όροι είναι συναρτήσεις των και είναι αδιάστατες. Για το καθιερωμένο μοντέλο έχουμε ότι. Συγκεκριμένα έχουμε ότι για όλες τις συζεύξεις το C είναι περιττό. Η αναλλοιώτητα του CP οδηγεί στην απαγόρευση του συντελεστή και η διατήρηση της Parity υπαγορεύει την κατάργηση του συντελεστή. Λόγω του ότι οι συντελεστές έχουν περιττό CP, οι συνεισφορές στην ελικότητα που αναλογούν σε αυτές τις συζεύξεις, δε συνεισφέρουν στους όρους του Καθιερωμένου Μοντέλου. ZZZ, ZZγ, ΖγΖ, Ζγγ vertex couplings

28 4.3 Ενεργός Διατομή Όσον αφορά την ενεργό διατομή του φαινομένου, είναι προφανές ότι θα αυξηθεί με την ύπαρξη των TGCs άρα και κατ επέκταση ο αριθμός των γεγονότων που αναμένεται να παραχθούν κυρίως σε περιοχές με υψηλή εγκάρσια ορμή και αναλοίωτη μάζα) Η αύξηση της ενεργούς διατομής παραγωγής ΖΖ γίνεται κατά έναν παράγοντα στο κέντρο μάζας. Η unitarity του πίνακα S S matrix) περιορίζει τη σύζευξη ΖΖV σε σχέση με τις αρχές του Καθιερωμένου Μοντέλου σε ασυμπτωτικά υψηλές ενέργειες. Αυτό συνεπάγεται ότι οι συζεύξεις πρέπει να έχουν μια εξάρτηση ορμής η οποία θα διαβεβαιώνει ότι οι συντελεστές θα μηδενιστούν για ορμές μεγαλύτερες του Μ Ζ. Για να αποφύγουμε τέτοια μη φυσικά αποτελέσματα που θα παραβίαζαν την unitarity του πίνακα, θα πρέπει να λάβουμε υπόψη την εξάρτηση από τον παράγοντα. Τότε ο συντελεστής συζεύξεως θα γίνει ως παράγοντας μορφής form factor): ) Όπου είναι η κλίμακα του παράγοντα μορφής form factor) η οποία σχετίζεται με την κλίμακα της νέας μας φυσικής, όπου στην προκειμένη περίπτωση σχετίζεται με την παραγωγή των συζεύξεων ZZV. Συγκεκριμένα υπάρχουν δυο περιπτώσεις προυποθέσεις για την ύπαρξη νέας φυσικής. Η πρώτη υπαγορεύει ότι πρέπει Λ =, δηλαδή πρέπει να έχουμε πολύ υψηλές ενέργειες κάτι που είναι αδύνατο. Στη δεύτερη περίπτωση, είναι εφικτό, να υπάρχει νέα φυσική σε κάποιο κομμάτι του χώρου των φάσεων π.χ για Λ = 3 TeV. Σύμφωνα με τα παραπάνω και βάσει της ύπαρξης τεσσάρων ανώμαλων συζεύξεων ενεργός διατομή γράφεται ως εξής: ) η ολική

29 Όπου είναι οι συντελεστές που αναγράφονται στο Καθιερωμένο Μοντέλο. Οι συντελεστές αυτοί καθορίζονται εξ ολοκλήρου από την κινηματική των συμμετέχοντων σωματιδίων και έτσι παραμένουν αμετάβλητοι κάτω από την ύπαρξη TGC. Συνεπώς είναι περιττός ο επιπλέον υπολογισμός τους. Παρατηρούμε ότι υπάρχουν είκοσιπεντε συντελεστές που λόγω συμμετριών ) ανάγονται σε δεκαπέντε ανεξάρτητες. Για να περιγράψουμε τη διαδικασία με πιο απλοικό τρόπο, θεωρούμε ότι υπάρχει μια μόνο σταθερά σύζευξης. Σε αυτή την περίπτωση υπάρχουν τρεις συντελεστές για να προσδιοριστούν και κατά συνέπεια η εξίσωση της ενεργού διατομής γράφεται: Χρησιμοποιώντας τρεις διαφορετικές τιμές του f η ενεργός διατομή μπορεί να παρασταθεί με τη μορφή πίνακα: ) [ ] ) Όπου ο πίνακας Α είναι αντιστρέψιμος. Σε αυτή την περίπτωση οι συντελεστές είναι επιλεγμένοι έτσι ώστε οι τρεις εξισώσεις του παραπάνω πίνακα να είναι ανεξάρτητες. Βλέπουμε λοιπόν ότι αν λάβουμε υπόψη όλες τις συζεύξεις ταυτόχρονα, συνολικά έχουμε έναν πίνακα και οι ποσότητες και είναι 15-διάστατα διανύσματα. Όσον αφορά την παρατήρησή μας, στην πραγματικότητα δε μετράμε την ενεργό διατομή αλλά τον αριθμό των γεγονότων ή αλλιώς τη συγκομιδή yield) που στην ουσία προκύπτει από το γινόμενο της ενεργού διατομής με την φωτεινότητα luminosity). Μια διαφορετική έκφραση για τη συγκομιδή είναι. Κατά συνέπεια η σχέση της ολικής ενεργούς διατομής παίρνει τη μορφή:

30 Κατά τη μελέτη των φαινομένων TGCs, για να απλοποιήσουμε τις παραπάνω σχέσεις που μας δίνουν την ενεργό διατομή και τη συγκομιδή, θεωρούμε πως όλοι οι συντελεστές είναι μηδέν εκτός από έναν, δηλαδή. Η εξάρτηση της συγκομιδής από τους συντελεστές σύζευξης φαίνεται παρακάτω. Παρατηρούμε ότι είναι παραβολικής μορφής, όπως αναμενόταν μετά την απλοποίηση της συνάρτησης, αφού πλέον εξαρτάται από έναν τετραγωνικό όρο. Σχήμα Εξάρτηση της συνάρτησης Yield από τους συντελεστές σύζευξης για τη σύζευξη ΖγΖ στα 7TeV με. Όλα τα υπόλοιπα couplings έχουν οριστεί στις SM τιμές τους

31 4.4 Στατιστική ανάλυση Η κατανομή Poisson Η στατιστική ανάλυση των δεδομένων μας, είναι απαραίτητη για να ξεκαθαρίσουμε κατά πόσο είναι εφικτές οι συνθήκες ύπαρξης φαινομένων TGC. Χρησιμοποιώντας την κατανομή Poisson μπορούμε να υπολογίσουμε την πιθανότητα εμφάνισης αυτών των φαινομένων και κατ επέκταση να εξάγουμε τα όρια των συντελεστών σύζευξης. Η κατανομή Poisson εκφράζει την πιθανότητα να κάνω πείραμα και να μετρήσω n γεγονότα, όταν κατά μέσο όρο περιμένω να παραχθούν μ γεγονότα. Δίνεται από τη σχέση: Όπου μ ο μέσος όρος των γεγονότων που περιμένω Ν exp ) και n ο αριθμός των παρατηρούμενων γεγονότων Ν obs ) Η πιθανότητα εμφάνισης ενός γεγονότος σε υποδιαστήματα μικρότερων του k δίνεται από τη σχέση: ενώ για πιθανότητα γεγονότων μεγαλύτερων από k, έχουμε: Για τη μελέτη του προβλήματός μας, αντιστοιχούμε τις πιθανότητες αυτές σε ισοδύναμη κατανομή Gaussian, οι οποίες εκφράζονται με σ τυπική απόκλιση) και την απόσταση χ από τη μέση τιμή μ α/2 α/2-27 -

32 α δ 1σ 2σ 3σ 4σ 5σ 6σ Συνήθως όταν παρατηρώ n γεγονότα, ρωτάω 2 ερωτήσεις: 1. Μπορώ να τα εξηγήσω με το SM? Για να πώ «όχι» πρέπει να είναι πολύ απίθανο να τα εξηγήσω! Πόσο απίθανο? όση πιθανότητα αντιστοιχεί όταν πάω 5σ μακριά από τη μέση τιμή μιας Gaussian : Συνήθως το SM είναι ΟΚ Μπορώ να χρησιμοποιήσω τα γεγονότα που παρατήρησα για να πω κάτι για άλλα μοντέλα, με νέα φυσική? Μπορώ! Αν το νέο μοντέλο κάνει πρόβλεψη για μ γεγόνοτα, κοιτάω να δω αν εξηγει ή όχι τα παρατηρούμενα n γεγονότα. Για να αποκλείσω το μοντέλο αρκεί η πιθανότητα να είναι < 5% bias!) Στη μελέτη των πιθανοτήτων διακρίνουμε τρεις περιπτώσεις:. Σε αυτή την περίπτωση τα γεγονότα μπορούν να εξηγηθούν με διακύμανση του Καθιερωμένου Μοντέλου, δηλαδή είναι εντός των προβλέψεων., η πιθανότητα να δω γεγονότα, όταν περιμένω κατά μέσο όρο είναι μικρότερη από έχουμε ενδείξεις για νέα φυσική. Σε αυτή την περίπτωση μπορούμε να πούμε ότι, η πιθανότητα να δω γεγονότα, όταν περιμένω κατά μέσο όρο είναι μικρότερη από έχουμε νέα φυσική observation of new physics). Σε αυτή την περίπτωση μπορούμε να πούμε ότι Στην περίπτωση όπου η πιθανότητα είναι μεταξύ του 3σ και 5σ, μπορούμε να θέσουμε άνω όρια στν τιμή της ισχύος των συντελεστών σύζευξης. Αν υπάρχουν TGCs με κάποια τιμή, τότε για την τιμή αυτή, έχουμε μια εκτίμηση για τον αναμενόμενο αριθμό γεγονότων λόγω Καθιερωμένου Μοντέλου και TGCs. Βρίσκουμε λοιπόν, την πιθανότητα να κάνουμε το πείραμα και να παρατηρήσουμε γεγονότα ή λιγότερα. Αν αυτή η πιθανότητα είναι 5% τότε λέμε ότι είμαστε 95% σίγουροι ότι το δεν είναι μεγαλύτερο από την τιμή που δοκιμάσαμε. Με αυτή τη διαδικασία θέτουμε άνω όρια στους συντελεστές σύζευξης TGC

33 Σχήμα Παρατηρούμε n γεγονότα περισσότερα από αυτά που περιμένουμε. Η πιθανότητα να δούμε γεγονότα n ή παραπάνω, δίνεται από τη σκιαγραφημένη ουρά της Poisson. Σχήμα 4.42 Αντίστοιχα για n γεγονότα λιγότερα από τα αναμενόμενα. Η πιθανότητα να δούμε γεγονότα n ή λιγότερα δίνεται: 4.4 Διαδικασία και αποτελέσματα της ανάλυσης Για την εξαγωγή των ορίων των φαινομένων τριπλών συζεύξεων μποζονίων, χρησιμοποιήσαμε τα δεδομένα από το πείραμα του ATLAS κατά την περίοδο όπου είχαμε ενέργεια και ολοκληρωμένη φωτεινότητα. Ο αριθμός των αναμενόμενων γεγονότων ανά bin ενέργειας καθώς και για όλο το εύρος ενέργειας) φαίνεται στον πίνακα Επίσης, οι συντελεστές συγκομιδής yield coefficients) για και δίνονται στους πίνακες και αντίστοιχα. Χρησιμοποιώντας τα δεδομένα μας, δημιουργούμε έναν αλγόριθμο, ο οποίος θα μας δίνει την πιθανότητα εμφάνισης των συνδυασμένων γεγονότων αναμενόμενα γεγονότα SM+TGCs) ως συνάρτηση της τιμής του yield coefficient. Όπως είπαμε παραπάνω, μπορούμε να αποκλείσουμε ένα μοντέλο, ελέγχοντας την πιθανότητα εμφάνισης αυτών που προβλέπει. Στη συγκεκριμένη περίπτωση, λοιπόν, για πιθανότητα εμφάνισης 5% και κάτω, τα γεγονότα που αναμένουμε από το μοντέλο μας, αποκλείεται να εμφανιστούν και άρα, το μοντέλο δεν ανταποκρίνεται στην πραγματικότητα. Με αυτόν τον τρόπο, θέτουμε τα όρια ισχύος του μοντέλου, που προβλέπει atgcs, μέσω των τιμών των yield coefficients

34 Πίνακας Παρατηρούμενα και αναμενόμενα γεγονότα ανά bin ενέργειας. Βλέπουμε ότι συνολικά το SM προβλέπει λιγότερα γεγονότα από αυτά που παρατηρούνται, κάτι το οποίο συνετέλεσε στη θεώρηση ότι υπάρχει και «κάτι» άλλο νέα φυσική) Πίνακας Συντελεστές συγκομιδής yield coefficients) με και για

35 Πίνακας Συντελεστές συγκομιδής yield coefficients) με και για Στον παρακάτω πίνακα, φαίνεται η διαδικασία υπολογισμού των ορίων της παραμέτρου. Η διαδικασία μέσω του αλγορίθμου που έχουμε αναπτύξει είναι αρκετά αυτοματοποιημένη και έτσι αποφεύγουμε τις πολλές πράξεις και την επίπονη δουλειά. Για να αποφύγουμε τους περιττούς πίνακες, παρουσιάζεται μόνο η εξαγωγή ορίων του για την εξαγωγή ορίων για τις άλλες παραμέτρους, είναι πανομοιότυπη. καθώς η διαδικασία Πίνακας Παράδειγμα εξαγωγής ορίων του Λ = 3, n = 3) για όλο το εύρος ενέργειας όλα τα bins 0-inf). Τα παρατηρούμενα γεγονότα είναι 305. Τα αναμενόμενα, Για πιθανότητα μικρότερη του 5% το μοντέλο μας αποκλείεται. Θέτουμε τα άνω όρια για τιμή του f που δίνει πιθανότητα εμφάνισης των αναμενόμενων γεγονότων από 5% και πάνω

36 Ακολουθώντας την παραπάνω διαδικασία, εξάγουμε τα όρια των τεσσάρων παραμέτρων μας, τα οποία φαίνονται στους πίνακες που ακολουθούν: 8TeV, L b Λ TeV n Πίνακας Όρια για. Το γαλάζιο χρώμα μας δείχνει τα βέλτιστα όρια. Παρατηρούμε ότι είναι στο bin ενέργειας μάζας) από 600-inf GeV. 8TeV, L b Λ Πίνακας Όρια για. Το γαλάζιο χρώμα μας δείχνει τα βέλτιστα όρια. Παρατηρούμε ότι είναι στο bin ενέργειας μάζας) από 600-inf GeV. Τα όρια που παίρνουμε από τον ATLAS με διαφορετική ανάλυση και όχι με τη χρήση απλής στατιστικής Poisson φαίνονται στους παρακάτω πίνακες για ενέργειες 7TeV και 8TeV. Παρατηρούμε ότι, τα όριά μας, είναι πολύ κοντά στα όρια αυτά και έτσι, μπορούμε να συμπεράνουμε ότι στη συγκεκριμένη περίπτωση αρκεί η χρήση απλής στατιστικής

37 7TeV, L b 8TeV, L b Πίνακας a) Όρια για και b) για. Παρατηρούμε ότι όσο αυξάνεται η ενέργεια, τόσο μεγαλύτερη ακρίβεια έχουμε στην εξαγωγή των ορίων. Συγκρίνουμε τα όρια αυτά με τα όρια που έχουμε εξάγει με τη χρήση απλής στατιστικής. Παρατηρούμε συμφωνία. Πίνακας Όρια atgc όπως προκύπτουν από τον ATLAS μαύρο) και τον CMS κόκκινο)

38 Πίνακας Όρια atgc για διάφορα πειράματα. Παρατηρούμε ότι όσο αυξάνεται η φωτεινότητα, έχουμε μεγαλύτερη ευαισθησία. Τελικά, παρατηρούμε ότι τα atgcs αναμένεται να δώσουν πολλά γεγονότα σε σχέση με το Καθιερωμένο Μοντέλο, ιδιαίτερα σε μεγάλη ορμή και μάζα. Με τη χρήση απλής στατιστικής της Poisson είδαμε ότι τα παρατηρούμενα γεγονότα είναι συμβατά με το Καθιερωμένο Μοντέλο και θέσαμε άνω όρια στην ισχύ των atgcs

39 ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ Ακολουθεί παράδειγμα του αλγορίθμου που χρησιμοποιήθηκε για την εξαγωγή των ορίων των φαινομένων τριπλών συζεύξεων μποζονίων. void TGCformfactor) { // bin=1,2,3,4 gia ta 4 bins tns Mzz ) for float f=0; f<0.05; f+=0.001) { cout << " " << endl; cout << " TRY TGC parameter f4g = " << f << " " << endl; proba 1, yieldf) ); } } return; //this calculates the mean number of expected events: Nexp float yieldfloat tgcparam) { //////////////////////////////////////////////////// Mzz //////////////////////////////////////////////////////////// /////////////////////////////// // Λ=3TeV, n=3, sqrt_s = 8TeV, L=20 fb^-1 //// //////////////////////////////////////// //////////////////// bin4 = GeV /// bin5 = GeV /// bin6 = 1000-inf //////////////////////////////////////// // We have 6 Bins: we'll work with the upper 3 bins Mzz > GeV) 8 tev, L=3, n=3 double Y4[15]={3.28, , , , , , , , , , , , , , 12564}; double Y5[15]={0.82, , , , , , , , , , , , , , }; double Y6[15]={0.33, , , , , , , , , , , , , , }; double Y56[15]; double Y456[15]; double Y[15]; for int i=0; i<15; i++ ) { // 1. normalize the first element in ech bin to the Nevents expected from the SM // Y4[i] = 3.28/ )*Y4[i]; //cout << i << ". "<< Y4[i] << endl; //Y5[i] = 0.82/ )*Y5[i]; //cout << i << ". "<< Y5[i] << endl; //Y6[i] = 0.33/ )*Y6[i]; // cout << i << ". "<< Y6[i] << endl; // 2. combine bins: Y56[i] = Y5[i] + Y6[i]; // last 2 bins Y456[i] = Y4[i] + Y5[i] + Y6[i]; // last 3 bins // cout << i << ". "<< Y56[i] << endl; // cout << i << ". "<< Y456[i] << endl; // 3. Now: choose which bins) to use: <==== //Y[i] = Y456[i]; // Y[i] = Y56[i]; Y[i] = Y4[i]; // Y[i] = Y5[i]; // Y[i] = Y6[i]; }

40 float f4g=tgcparam; float f4z=0; float f5g=0; float f5z=0; // Number of events expected contribution from SM is the first term; the rest is // because of anomalous TGCs). eq. 20, page 42, suport note for 7 tev 1fb^-1 float Nevents = Y[0] + Y[1] * f4g + Y[2]*f4Z + Y[3]*f5g + Y[4]*f5Z + Y[5]*f4g*f4g + Y[6]*f4Z*f4Z + Y[7]*f4g*f5g + Y[8]*f4g*f5Z + Y[9]*f4Z*f4Z + Y[10]*f4Z*f5g +Y[11]*f4Z*f5Z + Y[12]*f5g*f5g + Y[13]*f5g*f5Z + Y[14]*f5Z*f5Z; cout<< " Nevents expected: from SM: " << Y[0] << " ; from SM+TGCs: " << Nevents <<endl; } return Nevents; // this calculates the one-sided probability that the Nobs events can be explained by the mean expectation Nexp. // Returns the low side probability float probaint Nobs, float Nexp) { float problow = 1; float probhigh = 1; // Nobs; // number of observed events in our experiment // Nexp; // number of expected events from the SM // cout << "Probability to observe exactely " << Nobs << " events, when on average I expect " << Nexp << " : " << TMath::PoissonNobs, Nexp) <<endl; // find the probability to do the experiment and observe Nobs events or more = the cummulative probability): Float_t cumprob =0; // cummulative probability = a8roistikn pi8avotnta apo Nobs = 0 ews kai n- 1). for int i= 0 ; i < Nobs ; i++ ){ cumprob += TMath::Poissoni,Nexp); } // Prob to see anything = 1 //Prob to see >= n : cumporb; // prob to see <n : 1 - cumprob; problow = cumprob+tmath::poissonnobs, Nexp); probhigh = 1-cumProb); // cout << "Probality to do an experiment and observe " << Nobs << " events or less, when on average I expect " << Nexp << " : " << problow << endl; // cout << "Probality to do an experiment and observe " << Nobs << " events or more, when on average I expect " << Nexp << " : " << probhigh << endl; float relevantprob = 1; // = problow n' probhigh avaloga av Nobs > Nexp n' Nobs < Nexp if Nobs > Nexp ) { relevantprob = probhigh; cout << " ====> Probality to do an experiment and observe " << Nobs << " events or more, when on average I expect " << Nexp << " : " << probhigh; } else { relevantprob = problow;

41 cout << "===> Probality to do an experiment and observe " << Nobs << " events or less, when on average I expect " << Nexp << " : " << problow; } if relevantprob < 0.05) cout << " ===> EXCLUDED!!! " << endl << endl ; } return problow; Ακολουθεί παράδειγμα του input file για τον γεννήτορα γεγονότων MCFM '6.5' [file version number] [Flags to specify the mode in which MCFM is run].false. [evtgen].true. [creatent].false. [skipnt].false. [dswhisto].true. [writetop].true. [writedat].true. [writegnu].true. [writeroot].false. [writepwg] [General options to specify the process and execution] 81 [nproc] 'tota' [part 'lord','real' or 'virt','tota'] 'CT10_40scale' ['runstring'] 8000d0 [sqrts in GeV] +1 [ih1 =1 for proton and -1 for antiproton] +1 [ih2 =1 for proton and -1 for antiproton] 126d0 [hmass] 40d0 [scale:qcd scale choice]

42 40d0 [facscale:qcd fac_scale choice] 'no' [dynamicscale].false. [zerowidth].false. [removebr] 10 [itmx1, number of iterations for pre-conditioning] [ncall1] 10 [itmx2, number of iterations for final run] [ncall2] 1089 [ij].false. [dryrun].true. [Qflag].true. [Gflag] [Heavy quark masses] 173.2d0 [top mass] 4.75d0 [bottom mass] 1.5d0 [charm mass] [Pdf selection] 'CT10.00' [pdlabel] 4 [NGROUP, see PDFLIB] 46 [NSET - see PDFLIB] CT10.LHgrid [LHAPDF group] -1 [LHAPDF set] [Jet definition and event cuts] 66d0 [m34min] 116d0 [m34max] 66d0 [m56min] 116d0 [m56max].true. [inclusive] 'ankt' [algorithm]