Χρονικά Συστήματα και Σχέσεις Ισοδυναμίας

Transcript

1 Χρονικά Συστήματα και Σχέσεις Ισοδυναμίας Στην ενότητα αυτή θα μελετηθούν τα εξής θέματα: Σχέσεις ισοδυναμίας time bisimultion untime bisimultion wek time bisimultion region grphs ΕΠΛ 664 Ανάλυση και Επαλήθευση Συστημάτων 13-1

2 Time Bisimultion Μία σχέση S PP όπου Ρ οι καταστάσεις ενός χρονικού συστήματος μεταβάσεων ονομάζεται χρονική δυπροσομοίωση αν για κάθε (s,t)s, κάθε α Act και μια χρονική καθυστέρηση s s' t t' 1. Αν τότε υπάρχει t τέτοιο ώστε και (t, s ) S 2. Αν s s' τότε υπάρχει t τέτοιο ώστε t t' και (t, s ) S 3. Αν t t' τότε υπάρχει s τέτοιο ώστε s s' και (t, s ) S 4. Αν t t' τότε υπάρχει s τέτοιο ώστε s s' και (t, s ) S Συμβολίζουμε το γεγονός ότι δύο καταστάσεις είναι χρονικά ισοδύναμες ως s t. ΕΠΛ 664 Ανάλυση και Επαλήθευση Συστημάτων 13-2

3 Παράδειγμα 1 Τα πιο κάτω αυτόματα είναι χρονικά ισοδύναμα αφού τα χρονικά συστήματα που τους αντιστοιχούν συνδέονται από μια σχέση χρονικής δυπροσομοίωσης. Μια σχέση χρονικής δυπροσομοίωσης που συνδέει τα αυτόματα είναι η: R = {((A,[x = ]),(A,[x = ])) Rel 0 } {((Β,[x = +1]),(Β,[x = ])) Rel 0 } {((C,[x = ]),(C,[x = ])), Rel 0 } ΕΠΛ 664 Ανάλυση και Επαλήθευση Συστημάτων 13-3

4 Παράδειγμα 2 Τα πιο κάτω αυτόματα δεν είναι ισοδύναμα. ΕΠΛ 664 Ανάλυση και Επαλήθευση Συστημάτων 13-4

5 Untime Bisimultion Μία σχέση S PP όπου Ρ οι καταστάσεις ενός χρονικού συστήματος μεταβάσεων ονομάζεται μη-χρονική δυπροσομοίωση αν για κάθε (s,t)s, τότε για κάθε α Act και μια χρονική καθυστέρηση s s' t t' 1. Αν τότε υπάρχει t τέτοιο ώστε και (t, s ) S 2. Αν s s' τότε υπάρχουν t και τέτοια ώστε t t' και (t, s ) S 3. Αν t t' τότε υπάρχει s τέτοιο ώστε s s' και (t, s ) S ' 4. Αν t t' τότε υπάρχουν s και τέτοια ώστε s s' και (t, s ) S Συμβολίζουμε το γεγονός ότι δύο καταστάσεις είναι μη-χρονικά ισοδύναμες ως s u t. Δύο χρονικά ισοδύναμα συστήματα είναι και μη-χρονικά ισοδύναμα. ΕΠΛ 664 Ανάλυση και Επαλήθευση Συστημάτων 13-5

6 Παράδειγμα 3 Τα συστήματα είναι μη-χρονικά ισοδύναμα και όχι χρονικά ισοδύναμα. Μια σχέση μη-χρονικής δυπροσομοίωσης που συνδέει τα αυτόματα είναι η: {((A,[x = ]),(A,[x = ])) 01, 0 2} {((A,[x = ]),(A,[x = ])) >1, >2} {((B,[x = ]),(B,[x = ])), Rel 0 } ΕΠΛ 664 Ανάλυση και Επαλήθευση Συστημάτων 13-6

7 Ασθενής Χρονική Δυπροσομοίωση Ορίζουμε την πιο κάτω σχέση μεταβάσεων που απορροφά τις εσωτερικές ενέργειες: s s s t t t iff iff iff s... t s s 0 i1 s' t' n 1 i t n t ΕΠΛ 664 Ανάλυση και Επαλήθευση Συστημάτων 13-7

8 Wek Time Bisimultion Μία σχέση S PP όπου Ρ οι καταστάσεις ενός χρονικού συστήματος μεταβάσεων ονομάζεται χρονική ασθενής δυπροσομοίωση αν για κάθε (s,t)s, τότε για κάθε α Act και μια χρονική καθυστέρηση s s' t t' 1. Αν τότε υπάρχει t τέτοιο ώστε και (t, s ) S ' 2. Αν s s' τότε υπάρχει t τέτοιο ώστε t t ' και (t, s ) S 3. Αν τότε υπάρχει s τέτοιο ώστε s t t' s' και (t, s ) S 4. Αν t t' τότε υπάρχει s τέτοιο ώστε s s' και (t, s ) S Συμβολίζουμε το γεγονός ότι δύο καταστάσεις είναι χρονικά ασθενώς ισοδύναμες ως s t. ΕΠΛ 664 Ανάλυση και Επαλήθευση Συστημάτων 13-8

9 Παράδειγμα 4 Τα πιο κάτω αυτόματα είναι χρονικά ασθενώς ισοδύναμα. Μια σχέση ασθενούς χρονικής δυπροσομοίωσης που συνδέει τα αυτόματα είναι η: {((A,[x = ]),(A,[x = ])) Rel 0 } {((Β,[x = +1]),(Α,[x = ])) Rel 0 } {((C,[x = ]),(Β,[x = ])), Rel 0 } ΕΠΛ 664 Ανάλυση και Επαλήθευση Συστημάτων 13-9

10 Αυτοματοποιημένη Ανάλυση Ακόμα και τα πιο απλά χρονικά συστήματα που έχουμε μελετήσει (χρονικά αυτόματα, διεργασίες της TCCS) διαθέτουν μη πεπερασμένο αριθμό καταστάσεων. Πως μπορεί να επιτευχθεί η χρονική τους ανάλυση; (αυτοματοποιημένος έλεγχος ισοδυναμιών ή μοντελοέλεγχος) Χρησιμοποιώντας την έννοια των γράφων περιοχών (region grphs). H βασική ιδέα των γράφων αυτών είναι η ομαδοποίηση «ισοδύναμων» καταστάσεων των ρολογιών σε ένα πεπερασμένο αριθμό κλάσεων: Έστω v και v δύο συναρτήσεις ρολογιών. Ορίζουμε τη σχέση ισοδυναμίας έτσι ώστε Αν v v τότε (l, v) u (l, v ) για κάθε κατάσταση αυτομάτου l H έχει πεπερασμένο αριθμό κλάσεων ισοδυναμίας. ΕΠΛ 664 Ανάλυση και Επαλήθευση Συστημάτων 13-10

11 Παράδειγμα ΕΠΛ 664 Ανάλυση και Επαλήθευση Συστημάτων 13-11

12 Βασικές Έννοιες Έστω Rel. Τότε Γράφουμε γιατοακέραιοτμήματου, και frc() για - Παράδειγμα: = 2, frc( ) = Έστω χρονικό αυτόματο Α και ρολόι αυτού x. Γράφουμε c x για τη μεγαλύτερη σταθερά με την οποία συγκρίνεται το ρολόι x στο αυτόματο. ΕΠΛ 664 Ανάλυση και Επαλήθευση Συστημάτων 13-12

13 Ισοδυναμία ρολογιών (περιοχές) Δύο συναρτήσεις ρολογιών v και v είναι ισοδύναμες, v v, αν 1. Για κάθε ρολόι x τέτοιο ώστε v(x) c x ή v (x) c x έχουμε ότι v(x) = v(x) 2. Για κάθε ρολόι x τέτοιο ώστε v(x) c x έχουμε ότι frc(v(x)) = 0 αν και μόνο αν frc(v (x)) = 0 3. Για κάθε ζεύγος ρολογιών x τέτοιο ώστε v(x) c x ή v(y) c x έχουμε ότι frc(v(x)) frc(v(y)) αν και μόνο αν frc(v (x)) frc(v (y)) ΕΠΛ 664 Ανάλυση και Επαλήθευση Συστημάτων 13-13

14 Περιοχές Μια περιοχή ΕΠΛ 664 Ανάλυση και Επαλήθευση Συστημάτων 13-14

15 Περιοχή Έστω συνάρτηση ρολογιών v. Γράφουμε [v] γιατοσύνολοόλωντων καταστάσεων που είναι ισοδύναμες με την v: [v] = {v v v} Ορισμός: Περιοχή είναι μια κλάση ισοδυναμίας της [v]. Θεώρημα: Για οποιαδήποτε κατάσταση l και συναρτήσεις μεταβλητών v και v που προέρχονται από την ίδια περιοχή (v v ) έχουμε ότι: (l, v) u (l, v) ΕΠΛ 664 Ανάλυση και Επαλήθευση Συστημάτων 13-15

16 Γράφος Περιοχών Ένας γράφος περιοχών είναι ένα σύστημα μεταβάσεων του οποίου οι καταστάσεις έχουν τη μορφή (l, [v]) και (l, [v]) rg (l, [v ]) αν και μόνο αν (l, v) rg (l, v ) για κάποια ενέργεια (l, [v]) rg (l, [v ]) n (l, v) rg (l, v ) για κάποια χρονική καθυστέρηση Ο γράφος περιοχών οποιουδήποτε αυτομάτου έχει πεπερασμένο μέγεθος. ΕΠΛ 664 Ανάλυση και Επαλήθευση Συστημάτων 13-16

17 Εφαρμογή των Περιοχών Γράφων Πλεονεκτήματα: Μπορούν να χρησιμοποιηθούν για έλεγχο χρονικής δυπροσομοίωσης και χρονικής ασθενούς δυπροσομοίωσης. Όπως επίσης και για μοντελοέλεγχο. Μειονεκτήματα: Τομέγεθοςτουςείναιμεγάλο Εκθετικό ως προς τον αριθμό των ρολογιών και της τιμής c x για το κάθε ένα από αυτά. ΕΠΛ 664 Ανάλυση και Επαλήθευση Συστημάτων 13-17