( ) = inf { (, Ρ) : Ρ διαµέριση του [, ]}

Transcript

1 7 ΙΙΙ Ολοκληρωτικός Λογισµός πολλών µεταβλητών Βασικές έννοιες στη µια µεταβλητή Έστω f :[ ] φραγµένη συνάρτηση ( Ρ = { t = < < t = } είναι διαµέριση του [ ] 0 ( Ρ ) = Μ ( ) όπου sup f ( t) : t [ t t] U f t t { } < ) Αν θέτοµε Μ = = το άνω όπου άθροισµα της f ως προς Ρ και ( Ρ ) = ( ) { ( ) [ ]} L f m t t m = if f t : t t t = το κάτω άθροισµα της f ως προς Ρ Αποδεικνύονται εύκολα οι ακόλουθες ιδιότητες: L f U f ) ( Ρ) ( Ρ ) για κάθε διαµέριση Ρ του [ ] ) Αν Ρ Q ( η Q είναι λεπτότερη της Ρ ) τότε L( f ) L( f Q) U ( f Q) U ( f Ρ ) 3) Για κάθε ζεύγος Ρ Q διαµερίσεων του [ ] ισχύει L( f Ρ) U ( f Q) Ρ και (Για την απόδειξη θεωρούµε την Ρ Q και χρησιµοποιούµε την ()) Έπεται sup L f : διαµέριση του if U f Ρ : Ρ διαµέριση του { ( Ρ) Ρ [ ]} { ( ) [ ]} Οι αριθµοί ( ) = sup { ( Ρ) : Ρ διαµέριση του [ ]} f x dx L f ( ) = if { ( Ρ) : Ρ διαµέριση του [ ]} f x dx U f ονοµάζονται κάτω και άνω ολοκλήρωµα της f Προφανώς ( ) ( ) f x dx f x dx Η f λέγεται ότι είναι ολοκληρώσιµη κατά iem στο [ ] αν και µόνο αν : ( ) = ( ) f x dx f x dx Η κοινή τιµή του άνω και κάτω ολοκληρώµατος ονοµάζεται ολοκλήρωµα iem της f στο [ ] και συµβολίζεται µε f ( ) f ( x) dx = ( ) = ( ) f x dx f x dx Έστω f :[ ] φραγµένη συνάρτηση και { t t } x dx δηλαδή ότι: Ρ = 0 = < < = διαµέριση του [ ] τότε κάθε άθροισµα της µορφής f ( x )( t t ) όπου x [ t ] t = είναι τυχούσα επιλογή ενδιάµεσων σηµείων σχετικά µε την διαµέριση Ρ

2 7 ονοµάζεται ένα άθροισµα iem ως προς Ρ και συνήθως συµβολίζεται µε S( f Ρ ) ή S ( f Ρ ( x )) αν θέλουµε να δώσουµε έµφαση στην επιλογή ενδιάµεσων σηµείων ( x ) Παρατηρούµε ότι αν Ρ είναι διαµέριση του [ ] τότε ισχύει L( f Ρ) S( f Ρ) U ( f Ρ ) για κάθε άθροισµα iem S ( f Ρ ) Ο αριθµός δ ( Ρ ) = mx { t t : } ονοµάζεται λεπτότητα της διαµέρισης Ρ Οι ολοκληρώσιµες συναρτήσεις χαρακτηρίζονται µε τον ακόλουθο τρόπο 6 Θεώρηµα Έστω f :[ ] φραγµένη συνάρτηση τα ακόλουθα είναι ισοδύναµα: (ι) Η f είναι ολοκληρώσιµη (ιι) Για κάθε 0 (ιιι) Υπάρχει του [ ] ε > υπάρχει διαµέριση Ρ του [ ] ώστε ( Ρ) ( ) U f L f Ρ ε Ι ώστε για κάθε ε > 0 υπάρχει δ > 0 τέτοιο ώστε αν Ρ διαµέριση δ δ S f Ρ Ι ε µε ( Ρ) τότε ( ) για κάθε άθροισµα iem S ( f Ρ ) ( Τότε f ( ) Ι = x dx ) Σηµειώνουµε ότι ο ισχυρισµός (ιι) του θεωρήµατος ονοµάζεται κριτήριο του iem Με την βοήθεια της οµοιόµορφης συνέχειας και του κριτηρίου iem αποδεικνύεται επίσης το ακόλουθο θεµελιώδες 6 Θεώρηµα Αν η f :[ ] είναι συνεχής τότε είναι ολοκληρώσιµη κατά iem Παρατηρούµε ότι το ίδιο αποτέλεσµα µπορεί να αποδειχθεί ( µε λίγο περισσότερη προσπάθεια ) και για µια φραγµένη συνάρτηση µε πεπερασµένο πλήθος ασυνεχειών Οι βασικές ιδιότητες του ολοκληρώµατος iem περιγράφονται στην f g : φραγµένες συναρτήσεις Τότε ισχύουν 63 Πρόταση Έστω [ ] τα ακόλουθα: (ι) Αν οι f g είναι ολοκληρώσιµες τότε και η λ f + µ g είναι ολοκληρώσιµη και f g x dx f x dx g x dx για κάθε λ µ ισχύει ( λ + µ )( ) = λ ( ) + µ ( ) (ιι) Αν η f είναι ολοκληρώσιµη τότε και η f είναι ολοκληρώσιµη και ισχύει η θεµελιώδης ανισότητα ( ) ( ) (ιιι) Αν c και f [ ] f x dx f x dx < < τότε η f είναι ολοκληρώσιµη στο [ ] αν και µόνο αν οι f [ c ] c είναι ολοκληρώσιµες Ισχύει τότε c ( ) = ( ) + ( ) f x dx f x dx f x dx c

3 73 Παρατηρήσεις ) Έστω f :[ ] ολοκληρώσιµη ( πχ συνεχής) συνάρτηση Έπεται τότε από τον ισχυρισµό (ιιι) του χαρακτηρισµού των iem ολοκληρώσιµων συναρτήσεων ( θεώρηµα 6 ) ότι: Αν ( Ρ ) είναι ακολουθία διαµερίσεων του [ ] µε δ ( Ρ) 0 ( ) ( ) lim S f Ρ = f x dx για κάθε ακολουθία αθροισµάτων iem + ( ) S f Ρ Ιδιαίτερα έπεται ότι: lim + = ( ) + Αντιστρόφως: Αν η f :[ ] ακολουθία διαµερίσεων του [ ] και ακολουθία αθροισµάτων iem ( Ρ ) f f x dx ( γιατί;) είναι φραγµένη συνάρτηση ( ) Ι ώστε lim S ( f ) + τότε Ρ είναι Ρ = Ι για κάθε S f τότε αποδεικνύεται πάλι µε τον ισχυρισµό (ιιι) του θεωρήµατος 6 ότι η f είναι ολοκληρώσιµη και βέβαια ( ) Ι = f x dx ) Ακόµη είναι χρήσιµο να υπενθυµίσουµε ότι αν f g :[ ] είναι ολοκληρώσιµες τότε και η f g είναι ολοκληρώσιµη Ολοκλήρωση συναρτήσεων πολλών µεταβλητών 64 Ορισµός Με τον όρο διάστατο ορθογώνιο στον θα εννοούµε ένα καρτεσιανό γινόµενο της µορφής = Ι Ι Ι όπου Ι Ι διαστήµατα του οποιουδήποτε είδους ( ανοικτά κλειστά ηµιανοικτά φραγµένα ή µη φραγµένα κτλ) Αν όλα τα διαστήµατα Ι Ι είναι ανοικτά ( αντίστοιχα κλειστά ) στο θα ονοµάζουµε το ορθογώνιο ανοικτό ( αντίστοιχα κλειστό) Αν όλα τα διαστήµατα Ι Ι είναι φραγµένα ορίζουµε ως διάστατο όγκο η µέτρο του τον αριθµό µ ( ) = µ ( Ι ) µ ( Ι ) όπου για ένα φραγµένο διάστηµα Ι ο αριθµός µ ( Ι ) είναι το µήκος του Έτσι αν τα άκρα του Ι είναι οι αριθµοί και µε µ Ι = πχ αν Ι = ( 0] τότε ( ) 0 < τότε ( ) µ Ι = = Έχοντας ως οδηγό τις ιδέες από τον Ολοκληρωτικό Λογισµό της µιας µεταβλητής µπορούµε να επεκτείνουµε την έννοια του ολοκληρώµατος στις πολλές µεταβλητές ίνουµε τον ορισµό του ολοκληρώµατος iem για λόγους απλότητας στην περίπτωση των δύο µεταβλητών Η επέκταση του ορισµού στην περίπτωση των τριών ή περισσοτέρων µεταβλητών µπορεί να γίνει εύκολα από τον αναγνώστη Έστω [ ] [ ] = κλειστό ορθογώνιο του Ευκλειδείου επιπέδου Αν Ρ = { t = < < t = } και Θεωρούµε µια φραγµένη συνάρτηση f : 0

4 74 Ρ = { x = < < x = } είναι διαµερίσεις των διαστηµάτων [ ] και [ ] m 0 αντίστοιχα το καρτεσιανό γινόµενο Ρ = Ρ Ρ ονοµάζεται διαµέριση του ορθογωνίου Είναι σαφές ότι η Ρ υποδιαιρεί το σε m το πλήθος ορθογώνια τα οποία είναι τα = [ t t] [ xλ xλ] λ m Θέτουµε U ( f Ρ ) = Μ µ ( λ ) όπου λ m { ( ) ( ) } Μ = f x y x y m sup : λ λ Επίσης θέτοµε L( f Ρ ) = m µ ( λ ) { ( ) ( ) } Οι ποσότητες U ( f Ρ ) και ( ) λ m m = if f x y : x y m λ λ λ όπου L f Ρ ονοµάζονται άνω και κάτω αθροίσµατα της f ως προς Ρ και έχουν ιδιότητες ανάλογες µε αυτές στην περίπτωση της µιας µεταβλητής Έτσι έχουµε: L f Ρ U f Ρ για κάθε διαµέριση Ρ του ( προφανές) ) ( ) ( ) ) Αν Ρ Q L( f Ρ) L( f Q) και U ( f Q) U ( f Ρ ) 3) L( f ) U ( f Q) Ρ για κάθε ζεύγος διαµερίσεων Ρ και Q του Σηµειώνουµε ότι αν Ρ = Ρ Ρ Q = Q Q τότε: Ρ Q Ρ Q και Ρ Q Επίσης Ρ Q σηµαίνει ότι κάθε κλειστό υποορθογώνιο της Q περιέχεται σε κάποιο κλειστό υποορθογώνιο της Ρ Οι αριθµοί f ( x = sup { L( f Ρ) : Ρ διαµέριση του } και ( ) = if { ( Ρ) : Ρ διαµέριση του } f x y dxdy U f ονοµάζονται κάτω και άνω ολοκλήρωµα της f Προφανώς f ( x dxdy f ( ) x y dxdy Αν οι αριθµοί αυτοί είναι ίσοι µεταξύ τους λέµε ότι η f είναι iem ολοκληρώσιµη και θέτοµε ( ) ( ) f x y dxdy = f x y dxdy = f ( x dxdy Έστω = [ ] [ ] κλειστό ορθογώνιο του όπου Ρ = { t = < < t = } και { x x } φραγµένη συνάρτηση 0 και Ρ = Ρ Ρ διαµέριση του Ρ = 0 = < < m = και f : Κάθε άθροισµα της µορφής f ( z λ ) µ ( λ ) όπου [ ] [ λ = t t xλ xλ] λ m και z λ λ m είναι επιλογή ενδιαµέσων σηµείων των ορθογωνίων της διαµέρισης Ρ = Ρ Ρ ονοµάζεται ένα άθροισµα iem σε σχέση

5 µε την Ρ και συµβολίζεται µε ( ) ( ) S f Ρ ή S f Ρ ( z ) διαµέριση του τότε ισχύει L( f ) S( f ) U ( f ) iem S ( f Ρ ) Αξίζει να σηµειωθεί ότι το διπλό ολοκλήρωµα f ( ) 75 Παρατηρούµε ότι αν Ρ Ρ Ρ Ρ για κάθε άθροισµα x y dxdy ερµηνεύεται και ως όγκος Αυτό φαίνεται καλύτερα αν υποθέσουµε ότι f ( x 0 για κάθε ( ) x y Σηµείωση Αν Ρ = Ρ Ρ είναι διαµέριση του ορθογωνίου τότε ( µε τους παραπάνω συµβολισµούς ) ο αριθµός δ ( ) ( ) ονοµάζεται λεπτότητα της διαµέρισης Ρ όπου dim( ) δηλαδή το µήκος της διαγωνίου ) του υποορθογωνίου { dim λ m} Ρ = mx : είναι η διάµετρος ( Όλα τα βασικά αποτελέσµατα του Λογισµού ολοκλήρωσης στην µια µεταβλητή ισχύουν και αποδεικνύονται µε τις προφανείς τροποποιήσεις στην απόδειξή τους ( η οποία αφήνεται ως άσκηση ) και για διπλά ή πολλαπλά ολοκληρώµατα 65 Θεώρηµα Έστω f : φραγµένη συνάρτηση Τα ακόλουθα είναι ισοδύναµα: (ι) Η f είναι ολοκληρώσιµη (ιι) Κριτήριο iem: Για κάθε ε > 0 υπάρχει διαµέριση Ρ του ώστε U f Ρ L f Ρ < ε ( ) ( ) (ιιι) Υπάρχει δ δ Ι ώστε για κάθε ε > 0 υπάρχει δ > 0 : αν Ρ διαµέριση του και S f ε S f Ρ ( Τότε ( Ρ) τότε ( Ρ) Ι για κάθε άθροισµα iem ( ) f ( x dxdy Ι = ) 66 Θεώρηµα Αν η f : είναι συνεχής ( ή φραγµένη µε πεπερασµένο πλήθος ασυνεχειών ) τότε είναι ολοκληρώσιµη

6 76 67 Πρόταση Έστω f g : ορθογώνιο [ ] [ ] = τότε ισχύουν: φραγµένες συναρτήσεις στο κλειστό (ι) Αν οι f g είναι ολοκληρώσιµες τότε και η λ f + µ g είναι ολοκληρώσιµη και ισχύει ( λ f + µ g) dxdy = λ fdxdy + µ gdxdy για κάθε λ µ (ιι) Αν η f είναι ολοκληρώσιµη τότε και η f είναι ολοκληρώσιµη και ( ) ( ) f x y dxdy f x y dxdy (ιιι) Αν = είναι διαµέριση του σε κλειστά υποορθογώνια τότε η (φραγµένη) συνάρτηση f : είναι ολοκληρώσιµη στο αν και µόνο αν είναι ολοκληρώσιµη στο καθένα από τα Ισχύει τότε f ( x dxdy = f ( x dxdy + + f ( x dxdy ( Εννοείται ότι τα εσωτερικά it ( ) των είναι ανά δύο ξένα σύνολα) Παρατηρήσεις )Έστω f : ακολουθία διαµερίσεων του µε ( ) 0 ολοκληρώσιµη συνάρτηση και ( Ρ ) δ Ρ τότε lim ( ) ( ) S f Ρ = f x y dxdy για κάθε ακολουθία αθροισµάτων iem S( f Ρ) Αντιστρόφως: Αν η f : είναι φραγµένη συνάρτηση ( ) ακολουθία διαµερίσεων του και Ι ώστε lim S ( f ) αθροισµάτων iem ( ) f ( x dxdy = Ι Ρ είναι Ρ = Ι για κάθε ακολουθία S f Ρ τότε η f είναι ολοκληρώσιµη και )Αν οι f g : είναι ολοκληρώσιµες τότε και η f g είναι ολοκληρώσιµη Έπεται από την προηγούµενη παρατήρηση το ακόλουθο αποτέλεσµα: 68 Πρόταση Έστω : [ ] [ ] πχ f συνεχής) τότε: f = ολοκληρώσιµη συνάρτηση ( ( )( ) () lim f + + λ = f ( x dxdy m m m λ m ( z m λ λ = + + m λ ) ( )( ) () lim f + + λ = f ( x dxdy λ z λ λ = + + λ ) (

7 77 Σηµείωση Οι παραπάνω ορισµοί καθώς και τα αποτελέσµατα διατυπώνονται και αποδεικνύονται µε τις προφανείς τροποποιήσεις για κάθε διάσταση δηλαδή για µια φραγµένη συνάρτηση f : όπου το κλειστό ορθογώνιο [ ] [ ] του Ευκλειδείου χώρου Ρ = Ρ Ρ του ( όπου Έτσι θεωρούµε διαµερίσεις Ρ i διαµέριση του [ i i] υποορθογώνια και κατόπιν τα άνω και κάτω αθροίσµατα ( ) καθώς και τα αθροίσµατα iem S( ) i ) σε κλειστά U f Ρ και ( ) L f Ρ f Ρ κτλ Ο λόγος για τον οποίο περιοριστήκαµε στην διάσταση = είναι αφενός γιατί στο επίπεδο xy οι έννοιες είναι γεωµετρικά πιο οικείες και ξεκάθαρες και αφετέρου για να αποφύγουµε τις τεχνικές δυσκολίες µε την εµφάνιση πολλών δεικτών Καθόσον αφορά την ορολογία και το συµβολισµό παρατηρούµε τα ακόλουθα: Για το ολοκλήρωµα ονοµάζεται πολλαπλό ολοκλήρωµα Όταν = ή = 3 χρησιµοποιούνται οι όροι διπλό και τριπλό ολοκλήρωµα Ένα fdx f x dx ή πολλαπλό ολοκλήρωµα συµβολίζεται συνήθως µε ( ) ( ) ( ) f x x d x x Επίσης χρησιµοποιείται ο συµβολισµός ( ) ( ) ( ) f x x d x x χρησιµοποιούµε τους συµβολισµούς: f x y dxdy f x αντί του Ειδικότερα για τα διπλά και τριπλά ολοκληρώµατα ( ) και f ( ) x y z dxdydz Παραδείγµατα: )Έστω κλειστό ορθογώνιο στον και f : µια συνάρτηση µε σταθερή τιµή έστω c Πρέπει να είναι σαφές ότι από τον ορισµό του διπλού ολοκληρώµατος έχουµε: cdxdy = c µ ( ) αν Γενικότερα cd ( x x ) = c µ ( ) = c ( ) ( ) [ ] [ ] = κλειστό ορθογώνιο του ) Έστω : π η πρώτη προβολή δηλαδή π ( x = x για κάθε ( x Το γράφηµα της ( γραµµικής ) συνάρτησης π είναι το επίπεδο z = x το οποίο συµβολίζουµε µε Ε Ζητούµε να υπολογίσουµε το διπλό ολοκλήρωµα xdxdy στο κλειστό ορθογώνιο [ ] [ ] = του πρώτου τεταρτηµόριου του xy επιπέδου

8 78 µε χρήση µόνο του ορισµού του ολοκληρώµατος z E O x y Είναι βέβαια σαφές ότι το ολοκλήρωµα αυτό είναι ο όγκος του στερεού κάτω από το γράφηµα της π ( δηλαδή το επίπεδο Ε ) και πάνω από το ορθογώνιο = Ο όγκος αυτός υπολογίζεται εύκολα γεωµετρικά έτσι [ ] [ ] βρίσκουµε ( ) ( ) ( ) ( ) + + V = µ = Θα υπολογίσουµε αυτό τον όγκο δηλαδή το διπλό ολοκλήρωµα χρησιµοποιώντας τον ορισµό του ολοκληρώµατος ε > επιλέγουµε ώστε ( ) ( ) xdxdy Έστω 0 ε Θεωρούµε την διαµέριση Ρ = Ρ Ρ του = [ ] [ ] όπου Ρ = { t0 = < t < < t = } Ρ = { x0 = < < x = } και t = + x = + = 0 Συνεπώς = [ t t] [ xλ xλ] και ( ) ( ) µ ( ) = Παρατηρούµε ότι U ( f Ρ) L( f Ρ ) = ( Μ m ) µ ( λ ) = ( t t ) µ ( λ ) = λ ( ) ( ) ( ) λ ( ) ( ) = ( ) ( ) λ = 3 ε Έπεται από το κριτήριο του iem ότι η π είναι ολοκληρώσιµη

9 79 Στην συνέχεια θα υπολογίσουµε το ολοκλήρωµα της π στο Παρατηρούµε ότι αν για µια φραγµένη πραγµατική συνάρτηση f ορισµένη στο κλειστό ορθογώνιο του ( ή του ( ) ( ) f ( x) dx ) υπάρχει ακολουθία διαµερίσεων Ρ του ώστε U f Ρ L f Ρ 0 τότε η f είναι ολοκληρώσιµη στο και αν Ι = τότε lim U ( f ) lim L( f ) Ρ = Ρ = Ι Η παρατήρηση αυτή έπεται εύκολα από τον ορισµό του ολοκληρώµατος και το κριτήριο iem ( ες επίσης την παρατήρηση καθώς και την πρόταση 68 ) Είναι σαφές ότι τα παραπάνω βρίσκουν εφαρµογή στην π αν για τον θετικό ακέραιο ορίσουµε ως Ρ την διαµέριση Ρ Ρ του που ορίσαµε προηγουµένως Έτσι είναι αρκετό να υπολογίσουµε το όριο: ( )( ) lim U ( f Ρ ) = lim t µ ( λ ) = lim t = ( )( ) ( )( ) lim t = lim t λ () Το άθροισµα t = + = + = ( + ) ( + ) + ( ) = + = () ( άθροισµα των πρώτων όρων αριθµητικής προόδου) Αντικαθιστώντας στο όριο () το άθροισµα () βρίσκουµε ( )( ) ( ) + + lim = ( )( ) Σηµείωση Το στερεό τον όγκο του οποίου υπολογίσαµε είναι ένα ορθό πρίσµα µε βάση τραπέζιο ( το επίπεδο του οποίου είναι παράλληλο µε το zx επίπεδο) µε βάσεις µήκους και ύψος άρα το εµβαδόν του τραπεζίου είναι Ε = ( ) ( ) + Το ύψος του πρίσµατος ισούται µε συνεπώς ο όγκος του είναι V = E ( ) = ( ) ( ) = ( )( ) ( ) +