ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΕΛΟΠΟΝΝΗΣΟΥ
|
|
- Ῥαχήλ Καψής
- 7 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΕΛΟΠΟΝΝΗΣΟΥ ΤΜΗΜΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΤΜΗΜΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι 11 ΟΚΤΩΒΡΙΟΥ 2016
2 ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΕΙΣΑΓΩΓΗ Οικονομικές Συναρτήσεις με μεταβλητούς ρυθμούς μεταβολής. Μορφές μη γραμμικών συναρτήσεων: Πολυωνυμικές, ρητές (πηλίκο δύο πολυωνυμικών συναρτήσεων) και συναρτήσεις δύναμης, όπου ο εκθέτης της ανεξάρτητης μεταβλητής x είναι πραγματικός αριθμός. Εκθετικές με τις αντίστροφες τους λογαριθμικές. Περιοδικές συναρτήσεις.
3 ΤΕΤΡΑΓΩΝΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ I Μορφή: f x = ax 2 + βx + γ, όπου α, β, γ σταθερές και α 0. Χαρακτηριστικά της συνάρτησης: i. Τα στάσιμα σημεία της, τα σημεία στα οποία ο ρυθμός μεταβολής μηδενίζεται. ii. Τα μηδενικά της, οι ρίζες της εξίσωσης f x = 0. Ρίζες: Έστω x 1 και x 2 είναι ρίζες της τετραγωνικής εξίσωσης f x = ax 2 + βx + γ = 0. Τότε αν β 2 4αγ 0 και α 0, οι x 1 και x 2 είναι πραγματικές και x 1 = β β2 4αγ 2α και x 2 = β+ β2 4αγ 2α Έχουμε επίσης: ax 2 + βx + γ = α x x 1 x x 2
4 ΤΕΤΡΑΓΩΝΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ II Αν α > 0, τότε το x = β είναι θέση ελάχιστου σημείου με 2α ελάχιστη τιμή την f β β2 = γ. 2α 4α Αν α < 0, τότε το x = β είναι θέση μέγιστου σημείου με μέγιστη 2α τιμή την f β β2 = γ. 2α 4α Οι τετραγωνικές συναρτήσεις μπορούν να περιγράψουν οικονομικά μεγέθη που μεταβάλλονται (αυξάνονται ή μειώνονται) με φθίνοντα ρυθμό, έως ότου σε κάποιο σημείο ο ρυθμός αυτός ελαχιστοποιείται (μηδενίζεται) και το οικονομικό μέγεθος παίρνει στο μοναδικό αυτό σημείο την μέγιστη ή την ελάχιστη τιμή του. Πέραν του σημείου αυτού η τιμή του οικονομικού μεγέθους αυξάνει η φθίνει με αύξοντα ρυθμό.
5 ΤΕΤΡΑΓΩΝΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ IIΙ Μεγιστοποίηση εσόδων μιας ατελώς ανταγωνιστικής αγοράς. Η συνάρτηση ζήτησης : P = α βq, β > 0. Συνάρτηση ολικών εσόδων: TR = R Q = PxQ = aq βq 2. Η R Q μεγιστοποιείται στο σημείο: Q = α = α με μέγιστη τιμή R 2 β 2β Q = 0 a2 = a2. 4 β 4β Μηδενικά στα σημεία: Q = 0 και Q = α. β Συνάρτηση ολικού κόστους Μεγιστοποίηση εσόδων. Συνάρτηση συνολικού κόστους:tc Q = α 1 Q + a 2 Q 2, α 1 0, a 2 > 0. Συνάρτηση ζήτησης: P = β 1 β 2 Q, β 1 0, β 2 > 0, Q 0. Συνάρτηση ολικών εσόδων: R Q = PxQ = β 1 Q β 2 Q 2. Συνάρτηση ολικών κερδών: π Q = R Q TC Q = β 1 α 1 Q (β 2 α 2 )Q 2 Μεγιστοποιεί τα κέρδη στο σημείο: Q = α 1 β 1 με μέγιστα κέρδη π Q = α 1 β 1 2 β 2 +α 2 4 α 2 +β 2 2
6 ΤΕΤΡΑΓΩΝΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ IV ΠΡΟΣΔΙΟΡΙΣΜΟΣ ΤΕΤΑΤΡΑΦΩΝΙΚΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΑΠΟ ΤΡΙΑ ΣΗΜΕΙΑ Για να προσδιορίσουμε τις παραμέτρους α, β, και γ μιας τετραγωνικής συνάρτησης όταν έχουμε τρία σημεία x 1, y 1, x 2, y 2 και x 3, y 3, επιλύουμε το σύστημα: x 1, y 1 y 1 = γ + βx 1 + αx 1 2 x 2, y 2 y 2 = γ + βx 2 + αx 2 2 x 3, y 3 y 3 = γ + βx 3 + αx 3 2 Από την επίλυση του οποίου παίρνουμε τις τιμές των α, β, και γ. Σύστημα δύο τετραγωνικών συναρτήσεων.
7 ΚΥΒΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Γενική μορφή: f x = ax 3 + βx 2 + γx + δ Ρίζες και στάσιμα: i. Είναι μονοτονικά αύξουσες αλλά αυξάνουν με φθίνοντα ρυθμό στο διάστημα από x = 0 έως το σημείο x 0 = 0, στο σημείο ο ρυθμός μεταβολής ελαχιστοποιείται. Για για τιμές της x > x 0, είναι πάλι μονοτονικά αύξουσες αλλά με αύξοντα ρυθμό. Στη γλώσσα της οικονομικής θεωρίας οι τιμές των συναρτήσεων αυτών ακολουθούν το νόμο των φθινουσών οριακών αποδόσεων στο διάστημα από x = 0 έως το σημείο x 0 = 0, και το νόμο των αυξουσών οριακών αποδόσεων για τιμές της x > x 0. Δηλαδή οι οικονομικές αυτές συναρτήσεις έχουν ένα σημείο καμπής και κανένα στάσιμο. Μια τυπική συνάρτηση είναι η βραχυχρόνια συνάρτηση ολικού κόστους C(Q).
8 ΚΥΒΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΙΙ Ρίζες και στάσιμα 2: ii. Οι συναρτήσεις της κατηγορίας αυτής είναι ίδιες με τις προηγούμενες ως προς το πρόσημο του ρυθμού μεταβολής και το σημείο καμπής. Ο ρυθμός μεταβολής τους όμως παρουσιάζει την αντίθετη ακριβώς συμπεριφορά για τις τιμές της x πριν και μετά το σημείο καμπής x 0. Ειδικότερα, για τιμές της x από 0 έως και x 0, οι συναρτήσεις αυτές αυξάνουν με αύξοντα ρυθμό. Στο σημείο x 0 ο ρυθμός μεταβολής τους μεγιστοποιείται και για τιμές x > x 0, αυξάνουν αλλά με φθίνοντα ρυθμό. Στη γλώσσα της οικονομικής θεωρίας οι τιμές των συναρτήσεων αυτών ακολουθούν το νόμο των αυξουσών οριακών αποδόσεων για τιμές της x στο διάστημα από x = 0 έως και x = x 0 και το νόμο των φθινουσών οριακών αποδόσεων για τιμές της x > x 0. Έτσι οι συναρτήσεις αυτές έχουν ένα σημείο καμπής και ένα στάσιμο σημείο στο οποίο μεγιστοποιούνται. Μια τυπική οικονομική συνάρτηση που ακολουθεί τη συμπεριφορά αυτή είναι η συνάρτηση ολικής παραγωγής ή ολικού προϊόντος Q=f(x), όπου Q είναι η παραγόμενη ποσότητα ενός προϊόντος και x η χρησιμοποιούμενη ποσότητα ενός συντελεστή παραγωγής.
9 ΚΥΒΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΙΙΙ Ρίζες και στάσιμα 3: iii. Οι συναρτήσεις της κατηγορίας αυτής έχουν ένα σημείο, έστω x 1, στο οποίο ελαχιστοποιούνται και ένα σημείο, έστω x 2, στο οποίο μεγιστοποιούνται. Αυτό συνεπάγεται ένα σημείο καμπής x 0, f(x 0 ) μεταξύ των σημείων x 1 και x 2. Και αυτό, γιατί για να περάσουμε από την ελάχιστη στη μέγιστη τιμή, θα πρέπει το γράφημα της συνάρτησης να έχει ένα ενδιάμεσο σημείο, στο οποίο να αλλάζει καμπυλότητα στρέφοντας τα κοίλα από πάνω προς τα κάτω. Μια τυπική τέτοια συνάρτηση είναι των ολικών κερδών π(x).
10 ΓΕΝΙΚΑ ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ Γενική μορφή. Η συνάρτηση f, f x = a n x n + a n 1 x n a 1 x + a 0, x, όπου α 0, α 1,, α n σταθερές και α n 0 ονομάζεται πολυώνυμο n-οστού βαθμού με συντελεστές α 0, α 1,, α n. Θεμελιώδες θεώρημα της άλγεβρας: Κάθε πολυώνυμο f(x), n-οστού βαθμού, με ρητούς, πραγματικούς n μιγαδικούς συντελεστές έχει τουλάχιστον μια ρίζα. Κάθε πολυωνυμική εξίσωση μιας μεταβλητής n-οστού βαθμού, μπορεί να εκφραστεί ως γινόμενο n γραμμικών παραγόντων. Για οποιαδήποτε δύο πολυώνυμα P(x) και Q(x), τέτοια ώστε ο βαθμός του P(x) δεν είναι μικρότερος του βαθμού του Q(x) υπάρχει ένα και μόνο ένα ζεύγος πολυωνύμων g(x) και Q(x) που ικανοποιούν την ταυτότητα P x = g x Q x + R(x) όπου ο βαθμός του R(x) είναι μικρότερος του Q(x). Ο Ρ(x) είναι διαιρετέος, Q(x) είναι διαιρέτης και g(x) είναι το πηλίκο και R(x) είναι το υπόλοιπο. Εάν διαιρέσουμε με Q(x) 0, παίρνουμε: P(x) Q(x) = g x + R(x) Q(x). Η διαίρεση των πολυωνύμων ακολουθεί τον ίδιο κανόνα διαίρεσης αριθμών. Αν R(x)=0, τότε λέμε ότι η Q(x) είναι ένας παράγων του Ρ(x), ή ότι το P(x) είναι διαιρέσιμο για Q(x). Σε αυτή την περίπτωση έχουμε: P x = g x Q(x) ή P(x) Q x = g(x).
11 ΕΚΘΕΤΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΕΙΣΑΓΩΓΗ Οικογένεια μη γραμμικών συναρτήσεων που έχουν την ανεξάρτητη μεταβλητή ως εκθέτη μιας σταθεράς b που ονομάζεται βάση. Έχουν τη γενική μορφή: f x = Ab t, όπου Α και b 1 θετικές σταθερές (1) Από την (1) και την ιδιότητα b α b β = b a+b προκύπτει: f t + 1 = Ab t+1 = Abb t = bab t = bf t (2) Δηλαδή η τιμή της f στον χρόνο t+1 ισούται προς το την τιμή της f στον χρόνο t πολλαπλασιασμένη επί τη βάση b. Εναλλακτικά η βάση b είναι ο παράγοντας με τον οποίο η f(t) μεταβάλλεται όταν η t αυξηθεί κατά μια μονάδα.
12 ΕΚΘΕΤΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΙΙ Από τον συνδυασμό των ανωτέρω προκύπτουν τα εξής: Αν b > 1, τότε η αντίστοιχη οικονομική συνάρτηση είναι γνησίως αύξουσα, ονομάζεται συνάρτηση μεγέθυνσης και σύμφωνα με την (2) η b ονομάζεται και παράγων μεγέθυνσης. Παραδείγματα τέτοιων συναρτήσεων είναι η συνάρτηση ανατοκισμού και η συνάρτηση πληθυσμού μεταξύ άλλων. Αν b βρίσκεται μεταξύ 0 και 1, τότε η αντίστοιχη οικονομική συνάρτηση είναι γνησίως φθίνουσα, ονομάζεται παράγων φθίσης. Παραδείγματα τέτοιων συναρτήσεων είναι γενικά οι συναρτήσεις απαξίωσης διάφορων οικονομικών μεγεθών, όπως απόσβεσης περιουσιακών στοιχείων, κλπ. Γενικά, οι εκθετικές συναρτήσεις μπορούν να εκφράσουν οικονομικά μεγέθη, οι τιμές των οποίων μεταβάλλονται συνήθως με το χρόνο και που αυξάνουν λη φθίνουν με ένα σταθερό παράγοντα για κάθε μονάδα χρόνου.
13 ΑΣΥΝΕΧΗΣ ΑΝΑΤΟΚΙΣΜΟΣ Συνάρτηση ανατοκισμού: A t = f x = A 1 + r t, t = 1, 2, 3, με βάση b=1+r. Επίσης με βάση την (2) έχουμε: f t + 1 = 1 + r f(t) Παρούσα αξία: A = A t 1+r t Α: η παρούσα αξία του A t, το ποσό το οποίο θα καταθέσουμε στην αρχή του πρώτου έτους για να εισπράξουμε το ποσό A t στο τέλος των t χρόνων. Προεξόφληση μελλοντικών αποδοχών. 1 (1 + r): ρυθμός ή παράγοντας προεξόφλησης Γενίκευση του ανατοκισμού: A t = A 1 + r n nt = A 1 + r n Όπου A t είναι το τελικό ποσό, ενός αρχικού ποσού Α με ετήσιο επιτόκιο r, όταν αυτό ανατοκίζεται n φορές το χρόνο για t χρόνια. n t
14 ΑΠΟΣΒΕΣΗ ΠΑΓΙΩΝ ΠΕΡΙΟΥΣΙΑΚΩΝ ΣΤΟΙΧΕΙΩΝ ΜΕΓΕΘΥΝΣΗ ΠΛΗΘΥΣΜΟΥ Η εναπομένουσα αξία του πάγιου περιουσιακού στοιχείου: A t = A 0 1 r t Η συνάρτηση που διέπει τη συμπεριφορά μεγέθυνσης διαφόρων ειδών πληθυσμών από βακτήρια έως ανθρώπων είναι η ακόλουθη: P t = f t = P r t
15 ΦΥΣΙΚΕΣ ΕΚΘΕΤΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Γενική μορφή: f x = e rt. Συνεχής ανατοκισμός: V = f t = Ae rt. Προεξόφληση: A = V = e rt Ve rt, όπου V είναι η μελλοντική αξία μιας αρχικής ή παρούσας αξίας Α. Αν μια οικονομική μεταβλητή με αρχική τιμή Α μεταβάλλεται σε σχέση με το χρόνο με ένα σταθερό ρυθμό r, τότε στο τέλος της t περιόδου θα γίνει: f x = f x = Aert, αν η f ειναι αυξουσα Ae rt, αν η f ειναι φθινουσα Δηλαδή με r > 0 είναι μια συνάρτηση μεγέθυνσης και με r < 0 είναι μια συνάρτηση φθίσης. Πραγματικό επιτόκιο: r 0 = 1 + r n 1, r0 : το πραγματικό επιτόκιο. n Οικονομική ερμηνεία του e (1): είναι η αξία ενός ευρώ στο τέλος ενός έτους όταν το ετήσιο επιτόκιο ανατοκισμού είναι 100% και ο αριθμός των περιόδων ανατοκισμού αυξάνει χωρίς όριο (τείνει στο άπειρο). Οικονομική ερμηνεία του e (2): αν καταθέσουμε στην τράπεζα ένα ευρώ με ετήσιο επιτόκιο r=α και συνεχή ανατοκισμό, τότε στο τέλος των t= β ετών θα πάρουμε ποσό ίσο με e.
16 ΛΟΓΑΡΙΘΜΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Λογάριθμος: 1. Αν y > 0, b > o και b 1 τότε η εξίσωση b x = y έχει μοναδική λύση στο R. 2. Αν y > 0 και b R + -{1} τότε το μοναδικό πραγματικό αριθμό x στον οποίο θα πρέπει να υψώσουμε τον b για να πάρουμε τον y, δηλαδή ο x ικανοποιεί την εξίσωση b x = y, ονομάζουμε λογάριθμο του y με βάση τον b και τον συμβολίζουμε με x = log b y. Έχουμε δηλαδή b x = y x = log b y. 3. Θεμελιώδης λογαριθμική ταυτότητα: b log b y = y και x = log b b x b log b x = x και x = log b b x log a b log b x = log a x
17 ΦΥΣΙΚΕΣ ΛΟΓΑΡΙΘΜΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Έχουν βάση το e και συμβολίζεται με ln. Έχουμε την ισοδυναμία: e y = a y = log e a = ln a. Με αντικατάσταση της y = ln a στην e y = a, παίρνουμε: e lna = a, a > 0, και α x = e lna x, a > 0. Πιο γενικά ισχύει: e y = f x y = ln f(x). Με αντικατάσταση της y = ln f(x) στην e x = f x, παίρνουμε: e ln f(x) = f x, f(x) > 0 Και αντίστροφα: ln e a = a, a > 0, ln e ax = a x, a x > 0 και ln e f(x) = f x, f(x) > 0 Κάθε συνάρτηση f(x) > 0, εκθετική ή μη, συνεχούς ή ασυνεχούς μεταβλητής μπορεί να αναχθεί σε μια φυσική εκθετική συνάρτηση της μορφής e ln f(x).
18 ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΕΣ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΦΥΣΙΚΩΝ ΚΑΙ ΕΚΘΕΤΙΚΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ Οικονομικές συναρτήσεις απεριόριστης μεγέθυνσης. Έχουν τη γενική μορφή y = f t = Ae rt, αν είναι συναρτήσεις οικονομικής μεγέθυνσης και y = f t = Ae rt, αν είναι συναρτήσεις οικονομικής φθίσης (αποσβέσεις, απαξιώσεις παγίων περιουσιακών στοιχείων, κλπ.). Τυπικό παράδειγμα μεταξύ άλλων η μεγέθυνση πληθυσμών. Αν P(t) ο πληθυσμός μιας πόλης το χρόνο t και P 0 ο αρχικός πληθυσμός, τότε η υπόθεση ότι ο πληθυσμός αυξάνει συνεχώς με σταθερό ρυθμό r, εκφράζεται με τη συνάρτηση εκθετικής μεγέθυνσης: P t = P 0 e rt. Γενικά ο χρόνος t που απαιτείται, ώστε ένα αρχικό ποσό P 0 να πολλαπλασιαστεί επί k όταν αυτό αυξάνει εκθετικά με σταθερό ετήσιο ρυθμό r ικανοποιεί την εξίσωση: kp 0 = P 0 e rt k = e rt ln k ln k = rt και t = r
19 ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΕΣ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΦΥΣΙΚΩΝ ΚΑΙ ΕΚΘΕΤΙΚΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ II Οικονομικές συναρτήσεις περιορισμένης μεγέθυνσης Τρία είδη συναρτήσεων: i. Οικονομικές συναρτήσεις οι τιμές των οποίων αυξάνουν αρχικά γρήγορα και στη συνέχεια προσεγγίζουν ασυμπτωτικά ένα ανώτατο όριο b με φθίνοντα ρυθμό. Έχουν τη γενική μορφή y = f x = b ae rt με a, b και r > 0 Τέμνει τον άξονα των y στο σημείο b-a. Έχει οριζόντια ασύμπτωτη y=b (r > 0). Δεν έχει κατώτατο όριο.
20 ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΕΣ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΦΥΣΙΚΩΝ ΚΑΙ ΕΚΘΕΤΙΚΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ II Οικονομικές συναρτήσεις περιορισμένης μεγέθυνσης (2) ii. Οικονομικές συναρτήσεις των οποίων οι τιμές φθίνουν αρχικά γρήγορα και στη συνέχεια προσεγγίζουν ασυμπτωτικά ένα κατώτατο όριο b με φθίνοντα ρυθμό. Έχουν τη γενική μορφή: y = f x = b ae rt με a < 0 και b, r > 0 Τέμνει τον άξονα των y στο σημείο b+a. Έχει οριζόντια ασύμπτωτη y=b (r > 0). Δεν έχει κατώτατο όριο. Οι συναρτήσεις αυτές ονομάζονται και συναρτήσεις ή καμπύλης μάθησης.
21 Οικονομικές συναρτήσεις περιορισμένης μεγέθυνσης (3) iii. ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΕΣ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΦΥΣΙΚΩΝ ΚΑΙ ΕΚΘΕΤΙΚΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ II Οικονομικές συναρτήσεις των οποίων οι τιμές αυξάνουν μονοτονικά με αυξανόμενο ρυθμό έως ένα σημείο t = t, στο οποίο ο ρυθμός αύξησης μεγιστοποιείται. Πέραν του σημείου αυτού οι τιμές εξακολουθούν να αυξάνονται αλλά με φθίνοντα ρυθμό προσεγγίζοντας ασυμπτωτικά ένα ανώτατο όριο b. Δηλαδή οι συναρτήσεις αυτές έχουν το t ως θέση σημείου καμπής. Έχουν γενική μορφή: y = f t = b 1+ae rt. Τέμνει τον άξονα των y στο σημείο f 0 = b 1+a. Έχει ασύμπτωτες με ανώτατο όριο y=b και κατώτατο όριο το 0. ln a ln a Έχει μόνο ένα σημείο καμπής t = με τιμή f = b. r r 2 Ονομάζονται και λογιστικές συναρτήσεις ή λογιστικές καμπύλες ή συναρτήσεις κορεσμού.
22 ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ Ή ΚΑΜΠΥΛΗ GOMPENTZ Είναι μια παραλλαγή της λογιστικής συνάρτησης. Έχει τη γενική μορφή: G t = ba Rt, όπου b, a > 0 και 0 < R < 1. Τέμνει τον άξονα των y στο σημείο 0, G 0 = bα. Έχει ασύμπτωτες y=b και y= 0. Έχει ένα μόνο σημείο καμπής: t = ln ln a Ανάλογα με τις τιμές της a, διακρίνουμε δύο τύπους: R Τύπος Α: 0 < α < 1 α Τύπος Β: 1 e a < 1 Οι συναρτήσεις Gompertz πέρα από τις εφαρμογές σε προβλήματα μάθησης και πιο γενικά σε προβλήματα ανθρώπινης εξέλιξης που έχουν βρει ενδιαφέρουσες οικονομικές εφαρμογές, ως συναρτήσεις παραγωγής εσόδων και εθνικού εισοδήματος μεταξύ άλλων..
Μαθηματικά Διοικητικών & Οικονομικών Επιστημών
Μαθηματικά Διοικητικών & Οικονομικών Επιστημών Ενότητα 4: Εκθετικές και λογαριθμικές συναρτήσεις (Θεωρία) Μπεληγιάννης Γρηγόριος Σχολή Οργάνωσης και Διοίκησης Επιχειρήσεων Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων
Διαβάστε περισσότεραΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΕΛΟΠΟΝΝΗΣΟΥ
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΕΛΟΠΟΝΝΗΣΟΥ ΤΜΗΜΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΤΜΗΜΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι 22Νοεμβρίου 2015 ΑΥΞΟΥΣΕΣ ΦΘΙΝΟΥΣΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Αν μια συνάρτηση f ορίζεται σε ένα διάστημα
Διαβάστε περισσότεραΜαθηματικά Διοικητικών & Οικονομικών Επιστημών
Μαθηματικά Διοικητικών & Οικονομικών Επιστημών Ενότητα 3: Μη γραμμικές συναρτήσεις (Θεωρία) Μπεληγιάννης Γρηγόριος Σχολή Οργάνωσης και Διοίκησης Επιχειρήσεων Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Αγροτικών Προϊόντων
Διαβάστε περισσότεραΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΕΛΟΠΟΝΝΗΣΟΥ
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΕΛΟΠΟΝΝΗΣΟΥ ΤΜΗΜΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΤΜΗΜΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι 4 ΟΚΤΩΒΡΙΟΥ 2016 ΓΡΑΜΜΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΕΙΣΑΓΩΓΗ Ι Κεντρική έννοια το μέτρο ή ρυθμός μεταβολής:
Διαβάστε περισσότεραΕυχαριστίες... 16 Δύο λόγια από την συγγραφέα... 17
Περιεχόμενα Ευχαριστίες... 16 Δύο λόγια από την συγγραφέα... 17 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1. Το σύνολο των πραγματικών αριθμών... 19 1.1 Σύνολα αριθμών... 19 1.2 Αλγεβρική δομή του R... 20 1.2.1 Ιδιότητες πρόσθεσης...
Διαβάστε περισσότεραΟ μαθητής που έχει μελετήσει το κεφάλαιο αυτό θα πρέπει:
Ο μαθητής που έχει μελετήσει το κεφάλαιο αυτό θα πρέπει: Να αναγνωρίζει πότε μια αλγεβρική παράσταση της πραγματικής μεταβλητής x, είναι πολυώνυμο και να διακρίνει τα στοιχεία του: όροι, συντελεστές, σταθερός
Διαβάστε περισσότεραΜαθηματικά. Ενότητα 2: Διαφορικός Λογισμός. Σαριαννίδης Νικόλαος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Κοζάνη)
Μαθηματικά Ενότητα 2: Διαφορικός Λογισμός Σαριαννίδης Νικόλαος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Κοζάνη) Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό
Διαβάστε περισσότερα2ογελ ΣΥΚΕΩΝ 2ογελ ΣΥΚΕΩΝ ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Β Λυκει(ου ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ
ογελ ΣΥΚΕΩΝ ογελ ΣΥΚΕΩΝ ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Β Λυκει(ου ο ΓΕΛ ΣΥΚΕΩΝ ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ογελ ΣΥΚΕΩΝ ογελ ΣΥΚΕΩΝ ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ -4 ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Επιμέλεια: ΧΑΛΑΤΖΙΑΝ ΠΑΥΛΟΣ
Διαβάστε περισσότερα9 Πολυώνυμα Διαίρεση πολυωνύμων
4ο Κεφάλαιο 9 Πολυώνυμα Διαίρεση πολυωνύμων Α ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Ορισμοί Μονώνυμο του x ονομάζουμε κάθε παράσταση της μορφής ν αx όπου α R, * ν N και x μια μεταβλητή που μπορεί να πάρει οποιαδήποτε
Διαβάστε περισσότεραΜεθοδική Επανα λήψή. Επιμέλεια Κων/νος Παπασταματίου. Θεωρία - Λεξιλόγιο Βασικές Μεθοδολογίες. Φροντιστήριο Μ.Ε. «ΑΙΧΜΗ» Κ.
Μεθοδική Επανα λήψή Θεωρία - Λεξιλόγιο Βασικές Μεθοδολογίες Φροντιστήριο Μ.Ε. «ΑΙΧΜΗ» Κ. Καρτάλη 8 Βόλος Τηλ. 4 598 Επιμέλεια Κων/νος Παπασταματίου Περιεχόμενα Συνοπτική Θεωρία με Ερωτήσεις Απαντήσεις...
Διαβάστε περισσότεραΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΕΛΟΠΟΝΝΗΣΟΥ
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΕΛΟΠΟΝΝΗΣΟΥ ΤΜΗΜΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΤΜΗΜΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι 8 ΝΟΕΜΒΡΙΟΥ 2016 ΜΕΣΟΣ ΡΥΘΜΟΣ ΜΕΤΑΒΟΛΗΣ Έστω η συνάρτηση συνολικής ζήτησης: p = D(q) = 50 2q
Διαβάστε περισσότεραΓραμμική Άλγεβρα και Μαθηματικός Λογισμός για Οικονομικά και Επιχειρησιακά Προβλήματα
Γραμμική Άλγεβρα και Μαθηματικός Λογισμός για Οικονομικά και Επιχειρησιακά Προβλήματα Ενότητα: Διαφορικός Λογισμός Ανδριανός Ε Τσεκρέκος Τμήμα Λογιστικής & Χρηματοοικονομικής Σελίδα 1 Σκοποί ενότητας 4
Διαβάστε περισσότεραΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ-ΑΚΡΟΤΑΤΑ-ΣΥΜΜΕΤΡΙΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ
ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ 4_095. Δίνονται οι ευθείες ε 1: λx + y = 1 και ε : x + λy = λ α) Να βρείτε για ποιες τιμές του λ οι δύο ευθείες τέμνονται και να γράψετε τις συντεταγμένες του κοινού τους σημείου συναρτήσει
Διαβάστε περισσότερα1ο Κεφάλαιο: Συστήματα
ο Κεφάλαιο: Συστήματα Γραμμικά συστήματα i. Ποια εξίσωση λέγεται γραμμική; ii. Πως μεταβάλλεται η ευθεία y, 0 ή 0 για τις διάφορες τιμές των α,β,γ; iii. Τι ονομάζεται λύση μιας γραμμικής εξίσωσης; iv.
Διαβάστε περισσότερα4.3. ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΚΑΙ ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ
4.3. ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΚΑΙ ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ Αν η εξίσωση α ν x ν +α ν-1 x ν-1 +... +α 1 x+α 0 = 0 με α ν,α ν-1,...,α 1,α 0 Ζ : έχει ρίζα τον ακέραιο αριθμό ρ, τότε το ρ διαιρεί το α 0. έχει ρίζα το κλάσμα,
Διαβάστε περισσότεραβ) Αν επιπλέον το υπόλοιπο της διαίρεσης είναι υ(x) = - 3x + 5, τότε να βρείτε το Δ(x). (Απ. α) 5 ος β) Δ(x) = x 5 5x 4 + 6x 3 + 4x 2 11x + 5)
ΠΑΝΤΕΛΗΣ ΤΡΙΜΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ ΑΛΓΕΒΡΑ B Λυκείου Γενικής Παιδείας Κ Ε Φ Α Λ Α Ι Ο 4ο - Φ Υ Λ Λ Ο Νο 2 Δ Ι Α Ι Ρ Ε Σ Η ΠΟΛΥΩΝΥΜΩΝ ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 1. Ένα πολυώνυμο Δ(x),
Διαβάστε περισσότεραΚεφάλαιο 3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ. 3.1 Η έννοια της παραγώγου. y = f(x) f(x 0 ), = f(x 0 + x) f(x 0 )
Κεφάλαιο 3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ 3.1 Η έννοια της παραγώγου Εστω y = f(x) µία συνάρτηση, που συνδέει τις µεταβλητές ποσότητες x και y. Ενα ερώτηµα που µπορεί να προκύψει καθώς µελετούµε τις δύο αυτές ποσοτήτες είναι
Διαβάστε περισσότεραΕπιχειρησιακά Μαθηματικά (1)
Τηλ:10.93.4.450 ΠΟΣΟΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ ΔΕΟ 13 ΤΟΜΟΣ Α Επιχειρησιακά Μαθηματικά (1) ΑΘΗΝΑ ΟΚΤΩΒΡΙΟΣ 01 Τηλ:10.93.4.450 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Ο Συνάρτηση μιας πραγματικής μεταβλητής Ορισμός : Συνάρτηση f μιας πραγματικής
Διαβάστε περισσότερακαι να σχολιαστεί το αποτέλεσμα. ΤΕΛΟΣ
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ Ι 7 Διάρκεια εξέτασης: ώρες Μέρος Α. (4 μονάδες) (α). Μια συνάρτηση () έχει το γράφημα του παραπλεύρως σχήματος. Να γίνουν τα γραφήματα των συναρτήσεων () οριακής τιμής:
Διαβάστε περισσότεραΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Β ΜΕΡΟΣ
ΤΕΙ ΠΕΛΟΠΟΝΝΗΣΟΥ ΤΜΗΜΑ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΤΡΟΦΙΜΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Περιληπτικές Σημειώσεις-Ασκήσεις Β ΜΕΡΟΣ ΦΩΤΟΥΛΑ ΑΡΓΥΡΟΠΟΥΛΟΥ KAΘ. ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΤΜΗΜΑΤΟΣ ΔΕΟ Msc. Θεωρητικά Μαθηματικά ΚΑΛΑΜΑΤΑ 2016 0 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ
Διαβάστε περισσότεραΓ. Ν. Π Α Π Α Δ Α Κ Η Σ Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Ο Σ ( M S C ) ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ: Σπουδές στις Φυσικές Επιστήμες
Γ. Ν. Π Α Π Α Δ Α Κ Η Σ Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Ο Σ ( M S C ) ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ: Σπουδές στις Φυσικές Επιστήμες ΘΕΜΑΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ: ΦΥΕ10 (Γενικά Μαθηματικά Ι) ΠΕΡΙΕΧΕΙ ΤΙΣ
Διαβάστε περισσότερα4.1. Πολυώνυμα. Η έννοια του πολυωνύμου
4.1 Πολυώνυμα Η έννοια του πολυωνύμου ΟΡΙΣΜΟΙ 1. Μονώνυμο του x ονομάζουμε κάθε παράσταση της μορφής αx ν, όπου α R, ν N (σταθερές) και x R (μεταβλητή).. Πολυώνυμο του x ονομάζουμε κάθε παράσταση της μορφής:
Διαβάστε περισσότεραΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟ ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ Α - Β ΛΥΚΕΙΟΥ 1. ΣΥΝΟΛΑ ΑΡΙΘΜΩΝ
1. ΣΥΝΟΛΑ ΑΡΙΘΜΩΝ 1. Φυσικοί αριθμοί : Ν = {0,1,,3,4,...}. Ακέραιοι αριθμοί : Ζ = {...-4,-3,-,-1,0,1,,3,4,...} 3. Ρητοί αριθμοί : Q = { ì í, μ Ζ, ν Ζ* } Σημ. Το σύνολο Q των ρητών αριθμών ταυτίζεται με
Διαβάστε περισσότεραK. Μυλωνάκης Αλγεβρα B Λυκείου
ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ Ονομάζουμε μονώνυμο του x κάθε πραγματικό αριθμό ή κάθε παράσταση της μορφής αx ν, όπου α είναι πραγμ. αριθμός και ν ένας θετικός ακέραιος. Π.χ. οι παραστάσεις 2χ 4, -3χ 2, 7 είναι μονώνυμα του
Διαβάστε περισσότερα4.1. Πολυώνυμα. Η έννοια του πολυωνύμου
4.1 Πολυώνυμα Η έννοια του πολυωνύμου ΟΡΙΣΜΟΙ 1. Μονώνυμο του x ονομάζουμε κάθε παράσταση της μορφής αx ν, όπου α R, ν N (σταθερές) και x R (μεταβλητή). 2. Πολυώνυμο του x ονομάζουμε κάθε παράσταση της
Διαβάστε περισσότεραΟΙΚΟΝΟΜΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ
ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι. Δημόπουλος Τμήμα Διοίκησης Μονάδων Υγείας και Πρόνοιας -ΤΕΙ Καλαμάτας ΚΑΠΟΙΟΙ ΒΑΣΙΚΟΙ ΣΥΜΒΟΛΙΣΜΟΙ ΚΑΙ ΕΝΝΟΙΕΣ Ν = {1,2,3,...} το σύνολο των φυσικών αριθμών Ζ = {0, ±1, ±2, ±3,..
Διαβάστε περισσότεραIV.13 ΔΙΑΦΟΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 1 ης ΤΑΞΕΩΣ
IV.3 ΔΙΑΦΟΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ης ΤΑΞΕΩΣ.Γενική λύση.χωριζόμενων μεταβλητών 3.Ρυθμοί 4.Γραμμικές 5.Γραμμική αυτόνομη 6.Bernoulli αυτόνομη 7.Aσυμπτωτικές ιδιότητες 8.Αυτόνομες 9.Σταθερές τιμές.διάγραμμα ροής.ασυμπτωτική
Διαβάστε περισσότεραΠεριεχόμενα. Κεφάλαιο 3 Οι ιδιότητες των αριθμών Αριθμητικά σύνολα Ιδιότητες Περισσότερες ιδιότητες...
Περιεχόμενα Πρόλογος 5 Κεφάλαιο Βασικές αριθμητικές πράξεις 5 Τέσσερις πράξεις 5 Σύστημα πραγματικών αριθμών 5 Γραφική αναπαράσταση πραγματικών αριθμών 6 Οι ιδιότητες της πρόσθεσης και του πολλαπλασιασμού
Διαβάστε περισσότερα,, δηλαδή στο σημείο αυτό παρουσιάζει τη μέγιστη τιμή της αν α < 0 2α 4α και την ελάχιστη τιμή της αν α > 0. β Στο διάστημα,
Γενικής Παιδείας 1.4 Εφαρμογές των παραγώγων Το κριτήριο της πρώτης παραγώγου Στην Άλγεβρα της Α Λυκείου μελετήσαμε τη συνάρτηση f(x) = αx + βx + γ, α 0 και είδαμε ότι η γραφική της παράσταση είναι μία
Διαβάστε περισσότεραΠεριεχόμενα. Κεφάλαιο 3 Οι ιδιότητες των αριθμών... 37 3.1 Αριθμητικά σύνολα... 37 3.2 Ιδιότητες... 37 3.3 Περισσότερες ιδιότητες...
Περιεχόμενα Πρόλογος... 5 Κεφάλαιο Βασικές αριθμητικές πράξεις... 5. Τέσσερις πράξεις... 5. Σύστημα πραγματικών αριθμών... 5. Γραφική αναπαράσταση πραγματικών αριθμών... 6.4 Οι ιδιότητες της πρόσθεσης
Διαβάστε περισσότεραΜΑΘΗΜΑ ΤEΤΑΡΤΟ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΓΙΑ ΟΙΚΟΝΟΜΟΛΟΓΟΥΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ( ΙΑΦΟΡΙΚΟ-ΜΕΛΕΤΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΣ- ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΣΤΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΑ)
ΜΑΘΗΜΑ ΤEΤΑΡΤΟ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΓΙΑ ΟΙΚΟΝΟΜΟΛΟΓΟΥΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ( ΙΑΦΟΡΙΚΟ-ΜΕΛΕΤΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΣ- ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΣΤΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΑ) A. Κανόνας de L Hospital (Συνέχεια από το προηγούµενο µάθηµα) Παράδειγµα 1. Να βρεθεί το
Διαβάστε περισσότεραΠολυωνυμική εξίσωση βαθμού ν ονομάζεται κάθε εξίσωση της μορφής α ν x ν +α ν-1 x ν α 1 x+α 0 =0,με α 0,α 1,...
3 0 ΛΥΚΕΙΟ ΚΕΡΑΤΣΙΝΙΟΥ Λ. ΒΟΥΛΓΑΡΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΠΟΥ ΑΝΑΓΟΝΤΑΙ ΣΕ ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ Πολυωνυμική εξίσωση βαθμού ν ονομάζεται κάθε εξίσωση της μορφής α ν x ν +α ν-1 x ν-1 +...+α
Διαβάστε περισσότεραΓραμμική Αλγεβρα ΙΙ Διάλεξη 1 Εισαγωγή Χρήστος Κουρουνιώτης Πανεπισ τήμιο Κρήτης 19/2/2014 Χ.Κουρουνιώτης (Παν.Κρήτης) Διάλεξη 1 19/2/ / 13
Γραμμική Άλγεβρα ΙΙ Διάλεξη 1 Εισαγωγή Χρήστος Κουρουνιώτης Πανεπιστήμιο Κρήτης 19/2/2014 Χ.Κουρουνιώτης (Παν.Κρήτης) Διάλεξη 1 19/2/2014 1 / 13 Εισαγωγή Τι έχουμε μάθει; Στο πρώτο μάθημα Γραμμικής Άλγεβρας
Διαβάστε περισσότεραΔΑΜΙΑΝΟΣ ΓΙΑΝΝΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ ΦΥΛΛΟ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ 1
ΘΕΜΑ Α ΦΥΛΛΟ 1 Α1. Να αποδείξετε ότι το υπόλοιπο υ της διαίρεσης ενός πολυωνύμου P(x) με το x - ρ είναι ίσο με την τιμή του πολυωνύμου για x = ρ. Είναι δηλαδή υ = P(ρ). Α. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις
Διαβάστε περισσότεραII. Συναρτήσεις. math-gr
II Συναρτήσεις Παντελής Μπουμπούλης, MSc, PhD σελ blogspotcom, bouboulismyschgr ΜΕΡΟΣ 1 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Α Βασικές Έννοιες Ορισμός: Έστω Α ένα υποσύνολο του συνόλου των πραγματικών αριθμών R Ονομάζουμε πραγματική
Διαβάστε περισσότεραΗ Θεωρία στα Μαθηματικά κατεύθυνσης της Γ Λυκείου
Η Θεωρία στα Μαθηματικά κατεύθυνσης της Γ Λυκείου wwwaskisopolisgr έκδοση 5-6 wwwaskisopolisgr ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ 5 Τι ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση; Έστω Α ένα υποσύνολο του Ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση
Διαβάστε περισσότεραdy df(x) y= f(x) y = f (x), = dx dx θ x m= 1
I. ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ-ΚΛΙΣΗ d df() = f() = f (), = d d.κλίση ευθείας.μεταολές 3.(Οριακός) ρυθμός μεταολής ή παράγωγος 4.Παράγωγοι ασικών συναρτήσεων 5. Κανόνες παραγώγισης 6.Αλυσωτή παράγωγος 7.Μονοτονία 8.Στάσιμα
Διαβάστε περισσότεραΠολυωνυμικές εξισώσεις και ανισώσεις Εξισώσεις και ανισώσεις που ανάγονται σε πολυωνυμικές
0 Πολυωνυμικές εξισώσεις και ανισώσεις Εξισώσεις και ανισώσεις που ανάγονται σε πολυωνυμικές Α. ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Για να λύσουμε μια πολυωνυμική εξίσωση P(x) 0 (ή μια πολυωνυμική ανίσωση P(x)
Διαβάστε περισσότεραΒελτιστοποίηση συναρτήσεων
Βελτιστοποίηση συναρτήσεων Παράγωγοι εκθετικών λογαριθμικών συναρτήσεων Ποσοστιαίος ρυθμός μεταβολής Παράγωγοι ανώτερης τάξης Εύρεση μεγίστων-ελαχίστων Οικονομικές συναρτήσεις Παράγωγοι εκθετικών λογαριθμικών
Διαβάστε περισσότεραΕ π ι μ έ λ ε ι α Κ Ο Λ Λ Α Σ Α Ν Τ Ω Ν Η Σ
Ε π ι μ έ λ ε ι α Κ Ο Λ Λ Α Σ Α Ν Τ Ω Ν Η Σ 1 Συναρτήσεις Όταν αναφερόμαστε σε μια συνάρτηση, ουσιαστικά αναφερόμαστε σε μια σχέση ή εξάρτηση. Στα μαθηματικά που θα μας απασχολήσουν, με απλά λόγια, η σχέση
Διαβάστε περισσότεραqwφιertyuiopasdfghjklzxερυυξnmηq σwωψerβνtyuςiopasdρfghjklzxcvbn mqwertyuiopasdfghjklzxcvbnφγιmλι qπςπζαwωeτrtνyuτioρνμpκaλsdfghςj
qwφιertyuiopasdfghjklzxερυυξnmηq σwωψerβνtyuςiopasdρfghjklzxcvbn mqwertyuiopasdfghjklzxcvbnφγιmλι qπςπζαwωeτrtνyuτioρνμpκaλsdfghςj ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ klzxcvλοπbnαmqwertyuiopasdfghjklz ΤΕΛΙΚΗ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ xcvbnmσγqwφertyuioσδφpγρaηsόρ
Διαβάστε περισσότεραΣημειώσεις Μαθηματικών 2
Σημειώσεις Μαθηματικών 2 Συναρτήσεις - 3 Ραφαήλ Φάνης Μαθηματικός 1 Κεφάλαιο 3 Συνέχεια Συναρτήσεων 3.1 Όρισμός Συνεχούς Συνάρτησης Ορισμός Μια συνάρτηση f ονομάζεται συνεχής στο x 0 Df αν υπάρχει το πραγματικός
Διαβάστε περισσότεραΓενικά Μαθηματικά (Φυλλάδιο 1 ο )
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΑΚΑ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ Γενικά Μαθηματικά (Φυλλάδιο 1 ο ) Επιμέλεια Φυλλαδίου : Δρ. Σ. Σκλάβος Περιλαμβάνει: ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΜΙΑΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΠΑΡΑΓΩΓΙΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΜΙΑΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ
Διαβάστε περισσότεραΠαντελής Μπουμπούλης, M.Sc., Ph.D. σελ. 2 math-gr.blogspot.com, bouboulis.mysch.gr
VI Ολοκληρώματα Παντελής Μπουμπούλης, MSc, PhD σελ mth-grlogspotcom, ououlismyschgr ΜΕΡΟΣ Αρχική Συνάρτηση Ορισμός Έστω f μια συνάρτηση ορισμένη σε ένα διάστημα Δ Αρχική συνάρτηση ή παράγουσα της στο Δ
Διαβάστε περισσότεραΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 Ο ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ - ΑΣΚΗΣΕΙΣ
ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ - ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ 10 ΕΠΑΝΑΛΗΨΕΙΣ ΑΠΟ ΠΡΟΗΓΟΥΜΕΝΕΣ ΤΑΞΕΙΣ α ) Ταυτότητες 1. (a-β)(a+β)=a - b. (a ± b ) = a ± ab + b 3 3 3 3. (a ± b ) = a ± 3a b + 3ab
Διαβάστε περισσότεραΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ. Το 1ο Θέμα στις πανελλαδικές εξετάσεις
Επιμέλεια Καραγιάννης Β. Ιωάννης Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικών ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ Το ο Θέμα στις πανελλαδικές εξετάσεις Ερωτήσεις+Απαντήσεις
Διαβάστε περισσότερα- ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 6: ΜΗ ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΟ ΟΡΙΟ ΣΤΟ
ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 6: ΜΗ ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΟ ΟΡΙΟ ΣΤΟ R - ΟΡΙΟ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΣΤΟ ΑΠΕΙΡΟ - ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΟ ΟΡΙΟ ΑΚΟΛΟΥΘΙΑΣ [Κεφ..6: Μη Πεπερασμένο Όριο στο R - Κεφ..7: Όρια Συνάρτησης
Διαβάστε περισσότεραΤεστ Θεωρίας Στα Μαθηματικά Προσανατολισμού Γ Λυκείου
Τεστ Θεωρίας Στα Μαθηματικά Προσανατολισμού Γ Λυκείου Επιμέλεια Κων/νος Παπασταματίου Μαθηματικός Φροντιστήριο Μ.Ε. "ΑΙΧΜΗ" Κ. Καρτάλη 28 Βόλος τηλ. 242 32598 Φροντιστήριο Μ. Ε. «ΑΙΧΜΗ» Μαθηματικά Προσανατολισμού
Διαβάστε περισσότεραΚΕΦΑΛΑΙΟ 1ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 2: ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ - ΑΚΡΟΤΑΤΑ
ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ : ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ - ΑΚΡΟΤΑΤΑ Μονοτονία Συνάρτησης Έστω οι συναρτήσεις f, g, h, των οποίων οι γραφικές παραστάσεις φαίνονται στα επόμενα σχήματα («Σχήμα», «Σχήμα», «Σχήμα
Διαβάστε περισσότεραΜΙΓΑ ΙΚΟΙ. 3. Για κάθε z 1, z 2 C ισχύει z1 + z2 = z1 + z2. 4. Για κάθε z C ισχύει z z 2 z. 5. Για κάθε µιγαδικό z ισχύει: 6.
ΜΙΓΑ ΙΚΟΙ 1 Για κάθε z 1, z 2 C ισχύει z1 z2 z1 z2 1 2 Για κάθε z 1, z 2 C ισχύει z1 z2 z1 z2 3 Για κάθε z 1, z 2 C ισχύει z1 + z2 = z1 + z2 4 Για κάθε z C ισχύει z z 2 z 5 Για κάθε µιγαδικό z ισχύει:
Διαβάστε περισσότεραΠες το με μία γραφική παράσταση
Πες το με μία γραφική παράσταση Μαθηματικά Κατεύθυνσης Γ Λυκείου www askisopolisgr ΓΡΑΦΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ Να γράψετε και να σχεδιάσετε γραφικές παραστάσεις (ορισμένες σε διάστημα ή σε ένωση διαστημάτων):
Διαβάστε περισσότεραΜΕΡΟΣ 1 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ. f : A R και στη συνέχεια δίνουμε τον τύπο της συνάρτησης, π.χ.
Συναρτήσεις σελ ΜΕΡΟΣ 1 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Α Βασικές Έννοιες Ορισμός: Έστω Α ένα υποσύνολο του συνόλου των πραγματικών αριθμών R Ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση με πεδίο ορισμού το Α μια διαδικασία (κανόνα),
Διαβάστε περισσότεραΓια να εκφράσουμε τη διαδικασία αυτή, γράφουμε: :
Η θεωρία στα μαθηματικά προσανατολισμού Γ υκείου Τι λέμε συνάρτηση με πεδίο ορισμού το σύνολο ; Έστω ένα υποσύνολο του Ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση με πεδίο ορισμού το μία διαδικασία (κανόνα), με την
Διαβάστε περισσότεραA2. ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ-ΚΛΙΣΗ-ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ
A. ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ-ΚΛΙΣΗ-ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ d df() = f() = f (), = d d.κλίση ευθείας.μεταβολές 3.(Οριακός) ρυθµός µεταβολής ή παράγωγος 4.Παράγωγοι βασικών συναρτήσεων 5. Κανόνες παραγώγισης 6.Αλυσωτή παράγωγος 7.Μονοτονία
Διαβάστε περισσότερα2018 Φάση 2 ιαγωνίσµατα Επανάληψης ΑΛΓΕΒΡΑ. Β' Γενικού Λυκείου. Γενικής Παιδείας. Σάββατο 21 Απριλίου 2018 ιάρκεια Εξέτασης:3 ώρες ΘΕΜΑΤΑ
ΘΕΜΑ A ΑΛΓΕΒΡΑ Β' Γενικού Λυκείου Γενικής Παιδείας Σάββατο 1 Απριλίου 018 ιάρκεια Εξέτασης: ώρες ΘΕΜΑΤΑ Α1. Στο επόμενο σχήμα βλέπετε τον τριγωνομετρικό κύκλο, τους άξονες ημιτόνων, συνημιτόνων, εφαπτομένων,
Διαβάστε περισσότερα1. Δίνεται η γραφική παράσταση της συνάρτησης f(x)= 3 x με x R.
1. Δίνεται η γραφική παράσταση της συνάρτησης f(x)= 3 x με x R. α) Στο ίδιο σύστημα να χαράξετε τις γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων: g(x) = 3 x + 1 και h(x) = 3 x 1, μετατοπίζοντας κατάλληλα τη γραφική
Διαβάστε περισσότεραΑΡΧΕΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑΣ. και το Κόστος
ΑΡΧΕΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Κεφάλαιο 3 ο : Η Παραγωγή της Επιχείρησης και το Κόστος ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: ΝΙΚΟΣ Χ. ΤΖΟΥΜΑΚΑΣ ΟΙΚΟΝΟΜΟΛΟΓΟΣ Ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής 1. Το συνολικό προϊόν παίρνει την μέγιστη τιμή
Διαβάστε περισσότεραΚεφάλαιο 2ο: ΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ 2ο ΜΕΡΟΣ
Κεφάλαιο ο: ΙΑΦΟΡΙΚΟ ΟΓΙΜΟ ο ΜΕΡΟ Ερωτήσεις του τύπου «ωστό - άθος» 1. * Αν η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιµη στο R και f (α) f (β), α, β R, α < β, τότε ισχύει f () για κάθε (α, β).. * Αν η συνάρτηση f
Διαβάστε περισσότερα, να αποδείξετε ότι και η συνάρτηση f+g είναι παραγωγίσιμη στο x. και ισχύει. Μονάδες 9 Α2. Έστω μια συνάρτηση f με πεδίο ορισμού το Α και [, ]
ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΕΚΠ. ΕΤΟΥΣ 6-7 ΜΑΘΗΜΑ / ΤΑΞΗ : ΣΕΙΡΑ: ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΟΣ: Μαθηματικά Προσανατολισμού Γ' Λυκείου Θέμα Α Α. Αν οι συναρτήσεις, g είναι παραγωγίσιμες στο, να αποδείξετε ότι και
Διαβάστε περισσότεραΑ Λ Γ Ε Β Ρ Α Β Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ο ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ-ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ
Α Λ Γ Ε Β Ρ Α Β Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ο ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ-ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ Συνοπτική Θεωρία Ασκήσεις της Τράπεζας Θεμάτων Ερωτήσεις Σωστού-Λάθους Διαγωνίσματα Επιμέλεια: Συντακτική ομάδα mathp.gr Συντονισμός
Διαβάστε περισσότεραΜαθηµατικά Θετικής και Τεχνολογικής Κατεύθυνσης ΚΕΦΑΛΑΙΟ. 1 ο :Μιγαδικοί Αριθµοί
ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο :Μιγαδικοί Αριθµοί. Ποιο σύνολο ονοµάζεται σύνολο των µιγαδικών αριθµών ;. Tι ονοµάζεται µιγαδικός αριθµός; Ποιο είναι το πραγµατικό και ποιο το φανταστικό του µέρος ; 3. Tι ονοµάζεται εικόνα
Διαβάστε περισσότεραI.3 ΔΕΥΤΕΡΗ ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ-ΚΥΡΤΟΤΗΤΑ
I.3 ΔΕΥΤΕΡΗ ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ-ΚΥΡΤΟΤΗΤΑ.Δεύτερη παράγωγος.κυρτή 3.Κοίλη 4.Ιδιότητες κυρτών/κοίλων συναρτήσεων 5.Σημεία καμπής 6.Παραβολική προσέγγιση(επέκταση) ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ 7.Δεύτερη πλεγμένη παραγώγιση 8.Χαρακτηρισμός
Διαβάστε περισσότερα1.8 ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ
ΟΡΙΟ ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ 73 8 ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ρισμός της συνέχειας Έστω οι συναρτήσεις g h παρακάτω σχήματα των οποίων οι γραφικές παραστάσεις δίνονται στα C h 6 l ( C l g( C g l l (a Παρατηρούμε ότι:
Διαβάστε περισσότεραΘεώρημα Βolzano. Κατηγορία 1 η. 11.1 Δίνεται η συνάρτηση:
Κατηγορία η Θεώρημα Βolzano Τρόπος αντιμετώπισης:. Όταν μας ζητούν να εξετάσουμε αν ισχύει το θεώρημα Bolzano για μια συνάρτηση f σε ένα διάστημα [, ] τότε: Εξετάζουμε την συνέχεια της f στο [, ] (αν η
Διαβάστε περισσότεραΜη πεπερασµένα όρια και όριο στο άπειρο
Μη πεπερασµένα όρια και όριο στο άπειρο Λυγάτσικας Ζήνων Πρότυπο Πειρµαµατικό Γενικό Λύκειο Βαρβακείου Σχολής 9 εκεµβρίου 203 Μη Πεπερασµένο Οριο Συναρτησεων στο x 0. Το Μη-πεπερασµένο Το Απειρο Ορισµός.
Διαβάστε περισσότεραΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 13. A παραπλεύρως σχήματος. Να βρεθούν τα πρόσημα των μερικών
Μέρος Α ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 3. (4 μονάδες) (α). Να δοθεί το γράφημα μιας συνάρτησης f() f () της οποίας η παράγωγος έχει το γράφημα του παραπλεύρως σχήματος, και αρχική τιμή f() =. (β). Οι μεταβλητές {,} συνδέονται
Διαβάστε περισσότερα2.1 Πολυώνυμα. 1. Ποιες από τις παρακάτω παραστάσεις είναι πολυώνυμα; 3 2 ii. x iii. 3 iv. vi.
.1 Πολυώνυμα 1. Ποιες από τις παρακάτω παραστάσεις είναι πολυώνυμα; i. 1 x + x ii. x + 7 x iii. 5 x + 7x x iv. 1 x + x v. 1 4 4 x + x + 4x vi. 1 x + 5x. Ποιες από τις παρακάτω παραστάσεις είναι πολυώνυμα
Διαβάστε περισσότερα4.2. ΔΙΑΙΡΕΣΗ ΠΟΛΥΩΝΥΜΩΝ
4.. Η ταυτότητα της διαίρεσης A. Όπως στους ακέραιους αριθμούς, έτσι και στα πολυώνυμα ισχύει η ταυτότητα της διαίρεσης. Πιο συγκεκριμένα ισχύει ότι: Για κάθε ζεύγος πολυωνύμων Δ(x) και δ(x), με δ(x) 0
Διαβάστε περισσότεραΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ
ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Ε.1 I. 1. α 2 = 9 α = 3 ψ p: α 2 = 9, q: α = 3 Σύνολο αλήθειας της p: Α = {-3,3}, Σύνολο αλήθειας της q: B = {3} A B 2. α 2 = α α = 1 ψ p: α 2 = α, q: α = 1 Σύνολο
Διαβάστε περισσότεραΕΡΩΤΗΣΕΙΣ Σ-Λ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΕΣΠΕΡΙΝΟY. 0, τότε είναι και παραγωγίσιμη στο σημείο αυτό.
ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ Σ-Λ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΕΣΠΕΡΙΝΟY Αν μια συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη σ ένα σημείο, τότε είναι και συνεχής στο σημείο αυτό Αν μια συνάρτηση f είναι συνεχής σ ένα
Διαβάστε περισσότεραΕξεταστέα ύλη μαθηματικών Α Λυκείου 2017
Εξεταστέα ύλη μαθηματικών Α Λυκείου 2017 Α Λυκείου Γεωμετρία Κεφάλαιο 3 3.1 Είδη και στοιχεία τριγώνων 3.2 1 ο Κριτήριο ισότητας τριγώνων (εκτός της απόδειξης του θεωρήματος) 3.3 2 ο Κριτήριο ισότητας
Διαβάστε περισσότεραAf(x) = και Mf(x) = f (x) x
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ Ι. Λύσεις 9 Διάρκεια εξέτασης: ώρες και 5' (4 μονάδες) (α). Η συνάρτηση f() έχει το παραπλεύρως γράφημα με πλάγια ασύμπτωτο. Να δοθούν, στο ίδιο σύστημα συντεταγμένων,
Διαβάστε περισσότεραI.3 ΔΕΥΤΕΡΗ ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ-ΚΥΡΤΟΤΗΤΑ
I.3 ΔΕΥΤΕΡΗ ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ-ΚΥΡΤΟΤΗΤΑ.Δεύτερη παράγωγος.παραβολική προσέγγιση ή επέκταση 3.Κυρτή 4.Κοίλη 5.Ιδιότητες κυρτών/κοίλων συναρτήσεων 6.Σημεία καμπής ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ 7.Δεύτερη πλεγμένη παραγώγιση 8.Χαρακτηρισμός
Διαβάστε περισσότεραΕρωτήσεις πολλαπλής επιλογής
Ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής. * Έστω µια συνάρτηση f για την οποία ισχύουν οι υποθέσεις του θεωρήµατος του Rolle στο διάστηµα [α, β]. Τότε θα υπάρχει ξ (α, β), ώστε η εφαπτοµένη της C f στο (ξ, f (ξ))
Διαβάστε περισσότεραII.6 ΙΣΟΣΤΑΘΜΙΚΕΣ. 1. Γραφήματα-Επιφάνειες: z= 2. Γραμμική προσέγγιση-εφαπτόμενο επίπεδο. 3. Ισοσταθμικές: f(x, y) = c
II.6 ΙΣΟΣΤΑΘΜΙΚΕΣ.Γραφήματα-Επιφάνειες.Γραμμική προσέγγιση-εφαπτόμενο επίπεδο 3.Ισοσταθμικές 4.Κλίση ισοσταθμικών 5.Διανυσματική ή Ιακωβιανή παράγωγος 6.Ιδιότητες των ισοσταθμικών 7.κυρτότητα των ισοσταθμικών
Διαβάστε περισσότεραΔηλαδή η ρητή συνάρτηση είναι πηλίκο δύο ακέραιων πολυωνύμων. Επομένως, το ζητούμενο ολοκλήρωμα είναι της μορφής
D ολοκλήρωση ρητών συναρτήσεων Το θέμα μας στην ενότητα αυτή είναι η ολοκλήρωση ρητών συναρτήσεων. Ας θυμηθούμε πρώτα ποιες συναρτήσεις ονομάζονται ρητές. Ορισμός: Μία συνάρτηση ονομάζεται ρητή όταν μπορεί
Διαβάστε περισσότεραΔιάλεξη 5: Συνέχεια συναρτήσεων και όρια στο άπειρο
Διάλεξη 5: Συνέχεια συναρτήσεων και όρια στο άπειρο Ακριβής ορισμός του πλευρικού ορίου Έστω ότι το πεδίο ορισμού της f x περιέχει ένα διάστημα d, c στα αριστερά του c. Η f x έχει αριστερό όριο L στο c
Διαβάστε περισσότεραΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ
ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΕΡΓΑΣΙΑ 4 η Ημερομηνία Αποστολής στον Φοιτητή: 5 Φεβρουαρίου 008 Ημερομηνία παράδοσης της Εργασίας: 4 Μαρτίου 008
Διαβάστε περισσότεραΘέματα ενδοσχολικών εξετάσεων Άλγεβρας Β Λυκείου Σχ. έτος , Ν. Δωδεκανήσου ΘΕΜΑΤΑ ΕΝΔΟΣΧΟΛΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΤΑΞΗ: Β ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ
ΘΕΜΑΤΑ ΕΝΔΟΣΧΟΛΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΤΑΞΗ: Β ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ: 2013-2014 Επιμέλεια: Καραγιάννης Ιωάννης Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικών Μαθηματικός Περιηγητής 1 ΠΡΟΛΟΓΟΣ Η συλλογή των θεμάτων
Διαβάστε περισσότεραΘεωρία. έχει το γράφηµα του παραπλεύρως σχήµατος.
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ I ιαγώνισµα 6 ιάρκεια εξέτασης: ώρες Θεωρία. (4 µονάδες) α) Να γίνει το γράφηµα µιας συνεχούς συνάρτησης f() της οποίας η παράγωγος f () έχει το γράφηµα του παραπλεύρως
Διαβάστε περισσότεραΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 12., στο ίδιο σύστημα
Μέρος Α ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 1 1. (4 μονάδες) α). Η συνάρτηση () έχει το παραπλεύρως γράφημα. () Να βρεθούν τα γραφήματα της μέσης τιμής: A() = () / και του οριακού ρυθμού: M() = (), στο ίδιο σύστημα συντεταγμένων.
Διαβάστε περισσότεραΑΣΚΗΣΗ [5 μονάδες (6+6+6+7)] www.onlineclassroom.gr Δίνεται η ακόλουθη συνάρτηση των οριακών εσόδων MR μιας μονοπωλιακής επιχείρησης: MR() = 100 + 16 όπου είναι η ποσότητα παραγωγής του προϊόντος. Επίσης,
Διαβάστε περισσότεραΜαθηματικά. Ενότητα 1: Βασικές Γνώσεις Άλγεβρας. Σαριαννίδης Νικόλαος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Κοζάνη)
Μαθηματικά Ενότητα 1: Βασικές Γνώσεις Άλγεβρας Σαριαννίδης Νικόλαος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Κοζάνη) Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό
Διαβάστε περισσότεραΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΘΕΜΑΤΩΝ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣΗΣ ΝΟ 2 Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕ.Λ. 18 ΜΑΙΟΥ 2018 ΘΕΜΑ Α. η f ικανοποιεί τις υποθέσεις του θεωρήματος μέσης.
ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΘΕΜΑΤΩΝ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣΗΣ ΝΟ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕ.Λ. 8 ΜΑΙΟΥ 8 ΘΕΜΑ Α Α. Εστω μια συνάρτηση f και x ένα σημείο του πεδίου ορισμού της. Θα λέμε ότι η f είναι συνεχής στο x, όταν Α. lim f ( x) f
Διαβάστε περισσότεραΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ I 22 Διάρκεια εξέτασης: 2 ώρες και 15' 1 (4 μονάδες)
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ I Διάρκεια εξέτασης: ώρες και 15' 1 (4 μονάδες) f() α) Να βρεθούν γραφικά τα σημεία ισοελαστικότητας, αν υπάρχουν, της συνάρτησης f() που έχει το γράφημα του παραπλεύρως
Διαβάστε περισσότεραΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ (ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΤΙΜΗ,ΠΡΑΞΕΙΣ,ΙΣΟΤΗΤΑ) P( x) ( 4) x ( 8) x ( 5 6) x 16 είναι το μηδενικό πολυώνυμο.
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ (ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΤΙΜΗ,ΠΡΑΞΕΙΣ,ΙΣΟΤΗΤΑ) 1. Δίνονται τα πολυώνυμα: P ( x) x x, Q( x) x x 1. Να βρεθούν: a) P( x) Q( x) ) P( x) Q( x) ) P( x) Q( x). Να βρεθεί η τιμή του λ R για την οποία
Διαβάστε περισσότεραΕΝΟΤΗΤΑ ΔΕΟ 13 ΕΡΓΑΣΙΑ 2 Η
ΕΝΟΤΗΤΑ ΔΕΟ 1 ΕΡΓΑΣΙΑ Η 8 9 Η λύση της εργασίας είναι ενδεικτική και ο υποψήφιος θα πρέπει να βασιστεί σε αυτή και να επιφέρει τις δικές του αλλαγές. Ενημερωθείτε για τις προσφορές πακέτου για όλες τις
Διαβάστε περισσότεραΣυναρτήσεις Όρια Συνέχεια
Κωνσταντίνος Παπασταματίου Μαθηματικά Γ Λυκείου Κατεύθυνσης Συναρτήσεις Όρια Συνέχεια Συνοπτική Θεωρία Μεθοδολογίες Λυμένα Παραδείγματα Επιμέλεια: Μαθηματικός Φροντιστήριο Μ.Ε. «ΑΙΧΜΗ» Κ. Καρτάλη 8 (με
Διαβάστε περισσότεραΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ
ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ 1 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ 1. Τι καλούμε μονώνυμο, τι πολυώνυμο, τι όροι,τι συντελεστές
Διαβάστε περισσότεραΔιάλεξη 4 - Σημειώσεις
Διάλεξη 4 - Σημειώσεις Απροσδιόριστες μορφές και ο κανόνας l'hôpital Έστω ότι ζητούμε το όριο () της συνάρτησης () = () () η οποία δίνεται ως το πηλίκο δύο συναρτήσεων (), (). Τότε, () () () = () = ()
Διαβάστε περισσότερα20 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ - ΟΡΙΣΜΟΙ
ΕΚΔΣΕΙΣ ΚΕΛΑΦΑ 19 Μιγαδικός αριθμός λέγεται η έκφραση α + i, με α, ΙR. Φανταστικός αριθμός λέγεται η έκφραση i, με ΙR. Αν z = α + i, α, ΙR, το α λέγεται πραγματικό μέρος του z. Αν z = α + i, α, ΙR, το
Διαβάστε περισσότερα1 of 79 ΘΕΜΑ 2. Δίνεται η συνάρτηση f(x) = x 2 4x + 5, x R
1 of 79 Δίνεται η συνάρτηση f(x) = x 2 4x + 5, x R α) Να αποδείξετε ότι η f γράφεται στη μορφή f(x) = (x- 2) 2 + 1. (Μονάδες 12) β) Στο σύστημα συντεταγμένων που ακολουθεί, να παραστήσετε γραφικά τη συνάρτηση
Διαβάστε περισσότεραΤΕΣΤ Α2 ΟΜΑΔΑ Ι. παράγωγος είναι αρνητική: f (x) = 1 2x, f
ΤΕΣΤ Α ΟΜΑΔΑ Ι Θεωρούμε την συνάρτηση: f() = pln(+ ) για, με p>. Να διερευνηθεί αν είναι κυρτή η κοίλη. Να βρεθούν οι τιμές της παραμέτρου p για τις οποίες η μέγιστη τιμή της βρίσκεται στο =.. Η συνάρτηση
Διαβάστε περισσότεραΗ θεωρία στα Μαθηματικά Προσανατολισμού: Θετικών Σπουδών και Σπουδών Οικονομίας -Πληροφορικής. Ορισμοί Ιδιότητες - Προτάσεις Θεωρήματα Αποδείξεις
Η θεωρία στα Μαθηματικά Προσανατολισμού: Θετικών Σπουδών Σπουδών Οικονομίας -Πληροφορικής Ορισμοί Ιδιότητες - Προτάσεις Θεωρήματα Αποδείξεις Επιμέλεια: Μπάμπης Στεργίου / Παπαμικρούλης Δημήτρης (αποκλειστικά
Διαβάστε περισσότεραI.1 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ-ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ: {f(x), y= f(x), y= y(x), F(x, y) = c}
I. ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ-ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ: {f(), = f(), = (), F(, ) = c}.μηδενικά.μονοτονίες 3.Ασυνέχειες 4.Θετικές δυνάμεις 5.Αρνητικές δυνάμεις 6.Εκθετική 7.Λογαριθμική 8.Αλλαγή βάσης 9.Πολυωνυμικές.Ρητές.Σύνθεση.Πλεγμένες
Διαβάστε περισσότεραΣχόλια στα όρια. Γενικά
Σχόλια στα όρια. Γενικά Η αναζήτηση του ορίου έχει νόημα όταν η συνάρτηση ορίζεται κοντά στο x, δηλαδή σε διάστημα (α,x ) (x,β) ή φυσικά σε (α,β) με x (α,β) και όχι κατ ανάγκη στο ίδιο το x. Για παράδειγμα
Διαβάστε περισσότεραΕΦΑΡΜΟΓΕΣ Α.ΛΥΣΕΙΣ ΟΜΑ Α Ι
ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ Α.ΛΥΣΕΙΣ ΟΜΑ Α Ι α) Η ποσότητα ζήτησης ενός αγαθού εξαρτάται από την µοναδιαία τιµή του P και από το εισόδηµα Y, σύµφωνα µε την σχέση: = P Y. Αν η τιµή αυξηθεί κατά %, να εκτιµηθεί πόσο πρέπει
Διαβάστε περισσότερα). Πράγματι, στο διάστημα [ x, x 1 2 ικανοποιεί τις προϋποθέσεις του Θ.Μ.Τ. Επομένως, υπάρχει ξ x 1,
ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΕΠΑΛ (ΟΜΑΔΑ Β ) ΔΕΥΤΕΡΑ 8 MAΪΟΥ 0 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Α A Αποδεικνύουμε το θεώρημα στην περίπτωση που
Διαβάστε περισσότερα(f,g) f(x,y,v, w) = xy v= 0 x (v,y) = = = = = 3. g(x,y,v,w) = x+ 2y w= 0. (x,y) g g 1 2. Λύση 2. Με πλεγμένη παραγώγιση ως προς v, με σταθερό w :
ΤΕΣΤ Β.λύσεις ΟΜΑΔΑ Ι Οι εξισώσεις: {=, + = w} ορίζουν πλεγμένα τα {,} ως συναρτήσεις των {,w}. Να βρεθεί η μερική παράγωγος του ως προς. Λύση. Με τους τύπους πλεγμένης παραγώγισης: (,g) (,,, w) = = (,)
Διαβάστε περισσότερα