x k Ax k Bu k y k Cx k Du k «άνυσµα καταστάσεων» «άνυσµα εισόδων»

Transcript

1 ΠΕΡΙΓΡΑΦΗ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΙΑΚΡΙΤΟΥ ΧΡΟΝΟΥ ΣΤΟΝ ΧΩΡΟ ΤΩΝ ΚΑΤΑΣΤΑΣΕΩΝ Μία άλλη περιγραφή συστηµάτων διακριτού χρόνου είναι η περιγραφή µέσω των εξισώσεων του «χώρου των καταστάσεων» (state space represetatios) όπου οι εξισώσεις διαφορών που περιγράφουν την χρονική εξέλιξη του συστήµατος σε διακριτό χρόνο k έχουν την µορφή: ( + ) = + x k Ax k Bu k όπου = + y k Cx k Du k A, B, C, D m p p m x k u k x x = x u u = um m «άνυσµα καταστάσεων» «άνυσµα εισόδων»

2 y k y y = yp p «άνυσµα εξόδων» Παράδειγµα Θεωρείστε ένα σύστηµα διακριτού χρόνου του οποίου η σχέση εισόδου εξόδου περιγράφεται από την γραµµική εξίσωση διαφορών µε σταθερούς συντελεστές ( ) ( ) y k + a y k + a y k = b u k (.) Ορίζουµε µεταβλητές x ( k ), x «καταστάσεις» µέσω των εξισώσεων : k τις οποίες ονοµάζουµε x k = y k (.) x k = y k (.) : Η (.) λόγω της (.) δίνει την = y( k ) x k+ = x k (.3) και η (.) λόγω της (.) δίνει την ( + ) = y = a y( k ) a ( k ) + x k y bu k = a x k a x k + bu k (.4)

3 (Παρένθεση. Λαµβάνοντας υπ όψιν µας ότι ή εξίσωση διαφορών που περιγράφει την µοναδιαία χρονική καθυστέρηση (Uit time delay) είναι η yk= xk (.5) η παλµική απόκριση της µοναδιαίας χρονικής καθυστέρησης είναι η = ( k ) hk Στο πεδίο του µετασχηµατισµού Z. Αν Z { } είναι ο µετασχηµατισµός Z του σήµατος µετασχηµατισµού Z και για x( ) ( ) = + ( ) Z { x k } z x = από την (.5) έχουµε ότι X z x k x k z = = k= k x k, από την ιδιότητα του Y( z) = Z{ y } = Z { x( k } ) = z X( z) Και άρα η συνάρτηση µεταφοράς της µοναδιαίας χρονικής καθυστέρησης είναι = = ( ) H z z h t k Έτσι ώστε η µοναδιαία χρονική καθυστέρηση να περιγράφεται από το διάγραµµα ροής στο σχήµα: 3

4 u( k ) z u( k ) Τέλος της παρένθεσης. Από τα παραπάνω προκύπτει ότι το διάγραµµα ροής που περιγράφει τις (.3) και (.4) είναι το y u b + + x ( k+ ) x = x( k+ ) z z x ( k ) a a Γράφοντας τις (.3) - (.4) ( + ) = ( + ) = + x k x k (.3) x k a x k a x k bu k (.4) υπό µορφή πινάκων έχουµε 4

5 ( ) x k + x k = u k x k a a + x k b + Η (.4) επίσης είναι x ( k + ) = y = a x a x + bu( k) η οποία υπό µορφή πινάκων γράφεται x y = [ a a] + b u k x [ ] Άρα οι πίνακες των εξισώσεων του χώρου των καταστάσεων για το συγκεκριµένο σύστηµα είναι οι A=, B=, C = a a, D= b [ ] [ ] a a b Γενικά Αν θεωρήσουµε την γραµµική εξίσωση διαφορών µε σταθερούς συντελεστές (ΓΕ ΣΣ) τάξης : ( m yk+ ayk bxk i i i ) (.6) ή 5

6 ( ) ( )... yk+ ayk + ayk + + ayk = + ( ) + ( ) ( ) bx k bx k bx k b x k m m (.7) Τότε αν D είναι ο τελεστής µοναδιαίας καθυστέρησης: Dx k = x( k ) = = ( ) = ( ) D x k DDx k Dx k x k = ( ) Dxk xk η (.7) γράφεται ή yk adyk adyk adyk m bx k bdx k bdx k b D x k... m + ad + ad ad y k m b+ bd + bd + + bmd x k = = (.8) (.9) Εισάγοντας την νέα µεταβλητή ισοδύναµη µε τις ΓΕ ΣΣ: β η παραπάνω ΓΕ ΣΣ είναι 6

7 ( ad ad... ad ) β x = (.) m β yk= b+ bd+ bd+ + bd k (.)... (διότι απαλείφοντας από τις (.) και (.) την µεταβλητή β παίρνουµε την (.9)) Οι (.) (.) γράφονται a ( k ) a ( k ) a ( k ) x β + β + β β = (.) β β β β yk= b k+ b k + b k bm k m(.3) Ορίζουµε µεταβλητές τις οποίες ονοµάζουµε «καταστάσεις» µέσω των x : = β ( k ) x ( k ): = β k ( ) = β k + x x β ( k ) = β ( k ) = Οι οποίες, λόγω των παραπάνω και την (.) δίνουν τις ΓΕ ΣΣ : ( + ) : = β ( k + ) = ( k + ) = β ( k + ) = x x k x k x k 3 m 7

8 ( + ) = β ( k + ) = β ( k ) = ( k + ) = β = aβ( k ) aβ( k )... aβ( k ) + x = a x a x... a x ( k ) + x x k x k x Οι παραπάνω υπό µορφή πινάκων γράφονται ( + ) ( + ) x k + x k x k x k = + x k x k x k x k + a a a a x k Επίσης η ΓΕ ΣΣ = β + β( ) + β( ) + + β( ) yk b k b k b k... bm k m Γράφεται = β + β( ) + β( ) β( ) yk b k b k b k b k m... = b ax k ax k ax k + x k + bx k + x k b x b m m+ m 8

9 = ab x k ab x k ab x k + b x k + bx k + b x k + + b x k m m+ ( b ab ) x ( b ab ) x ( bm amb) x m+ a b x... a b x + b x = m+ m και υπό µορφή πίνακα ως x x y k = a b a b b a b b ab + b x k m+ x x Παράδειγµα Θεωρήστε την γραµµική εξίσωση διαφορών µε σταθερούς συντελεστές (ΓΕ ΣΣ) 3 ης τάξης: [ ] + ( ) + ( ) + ( 3) = + ( ) + ( ) yk ayk ayk ayk bxk bxk bxk 3 Η οποία µέσω του τελεστή µοναδιαίας καθυστέρησης D γράφεται = + + yk adyk adyk adyk bxk bdxk bdxk ή ad + ad + ad 3 y k = b+ bd + bd x k 9

10 x 3 Εισάγοντας την νέα µεταβλητή ισοδύναµη µε τις ΓΕ ΣΣ: β η παραπάνω ΓΕ ΣΣ είναι ( + ad 3 + ad + ad 3 ) β = x = ( + + ) β yk b bd bd k Οι παραπάνω γράφονται και ως a ( k ) a ( k ) a ( k 3) x β + β + β + β = (.4) 3 β β( ) β yk= b k+ b k + b k (.5) x k x k x k µέσω των Ορίζουµε «καταστάσεις»,, 3 x : = β ( k 3) x : = β ( k ) x ( k ): = β ( k ) 3 Οι οποίες, λόγω της (.4) δίνουν τις 3 ΓΕ ΣΣ πρώτης τάξης: x( k + ) : = β ( k 3+ ) = β ( k ) = x x( k + ) : = β( k + ) = β( k ) = x3 ( k + ) = β ( k + ) = β = aβ( k ) aβ( k ) a3β( k 3) + x( k ) = a x a x a x ( k ) + x( k ) 3 3 Οι οποίες µε την βοήθεια πινάκων γράφονται ως

11 x k + x k x k + = x k + x k + x3 k a3 a a x3 k Η εξίσωση (.5) γράφεται = β + β( ) + β( ) yk b k b k b k ( ) ( ) ( 3) = b aβ k aβ k a3β k + x k + bβ( k ) + bβ( k ) β β 3β β β( = ( b ba) β( k ) + ( b ba) β( k ) ba3β( k 3) + bx = ( b b a ) x + ( b b a ) b a ( k ) + b x ( k ) = ba k ba k ba k 3 + bx k + b k + b k 3 k x k x Και υπό µορφή πίνακα 3 x y = ba 3 ( b ba ) ( b ba ) x k + [ b] x x 3 (σχεδιάστε το διάγραµµα ροής του παραπάνω συστήµατος) Λύση των εξισώσεων του χώρου των καταστάσεων Αρχικά ξεκινάµε µε την λύση της οµογενούς ( + ) = Ax x k Έστω x( k ) το άνυσµα κατάστασης την αρχική χρονική στιγµή k. )

12 Αν ( + ) = Ax ( + ) = ( + ) = = ( + ) = ( + ) = = 3 x k x k Ax k AAx k A x k x k Ax k AA x k A x k ( + ) = x k A x k k + = k = k k k k = x k A x k Και για k = Λύση της k = A x x k ( + ) = + x k Ax k Bu k Για k = k

13 ( + ) = + ( + ) = ( + ) + ( + ) = + + ( + ) = A x + ABu + Bu( k + ) ( + 3) = ( + ) + ( + ) = + + ( + + Bu( k + ) 3 = A x( k ) + A Bu( k ) + ABu( k + ) + Bu( k + ) x k Ax k Bu k x k Ax k Bu k A Ax k Bu k Bu k x k Ax k Bu k A A x k ABu k Bu k k + k + i () x k + = A x k + A Bu i Για k + =k και αν k = k k = + k k k k i () x k A x k A Bu i k k k i x k A x A Bu i = + Από την (.6) ή έξοδος είναι = + y k Cx k Du k k = + + k k i () k k C A x k A Bu i Du k k k i () k k CA x k CA Bu i Du k = + + k (.6) (.7) ) 3

14 Για k = k k k i = + + y k CA x CA Bu i Du k (.8) Αν το άνυσµα της αρχικής κατάστασης x είναι η µηδενική κατάσταση και η είσοδος x = u είναι ο µοναδιαίος παλµός k =, k =, k =, k η έξοδος (εξ ορισµού) ταυτίζεται µε την µοναδιαία παλµική απόκριση hk του συστήµατος Άρα k hk CA B i D k k i = + h = D k k i = + h k CA B i D k k ( ) ( ) ( ) = k CA B CA B CAB k CB k k = CA B = CA k B δηλαδή = k =,,... hk CAB k 4

15 = k< hk Λύση της x( k ) Ax Bu + = + µέσω του µετασχηµατισµού Ζ Ξεκινάµε πρώτα από την ιδιότητα του µετασχηµατισµού Z. Αν k Z { x k } X z x k z Τότε Απόδειξη της (.7). = = k = ( + ) = Z{ x k } zx z zx (.9) k ( k ) k+= k k = k = () () () Z{ x k + } = x k + z = x k z = x z + x z + x 3 z +... = z x z + x z + x z = z x z x z x z x z x 3 z... = z x z + x z k = zx = zx z k Θεωρώντας τον µετασχηµατισµό Z της έχουµε: ( + ) = + x k Ax k Bu k 5

16 ή ( + ) = = + ( Z{ x k } zx z zx AX z BU z ) zx ( z) AX ( z) = zx + BU ( z) ( zi A) X ( z) = zx + BU ( z) X z = z zi A x + zi A BU z (.) Συγκρίνοντας την (.) µε την (.7): k k k i x k = A x + A Bu i (.7) έχουµε Z Z { z zi A } = A { k } = k k i ( zi A) BU ( z) A Bu( i) Θεωρώντας τον µετασχηµατισµό Z της έχουµε: όπου y = Cx + Du Y( z) = CX( z) + DU( z) (.) = k, = Y z y k z U z u k z k= k= k 6

17 Συνδυάζοντας τις (.)(.) = ( ) + ( ) + Y z C z zi A x zi A BU z DU z ( ) + ( ) + = Cz zi A x C zi A B D U z Αν x = = ( ) + Y s C zi A B D U z Άρα η συνάρτηση µεταφοράς G( z) : U( z) Y( z) είναι Παράδειγµα Με (.) του συστήµατος G z = C zi A B+ D (.3) A =, B=, C = a a, D a a [ ] = [ b ] b z zi A = z = a a a z+ a z z+ a = = + z + za+ a ( zi A) a z a a z 7

18 [ ] ( a a z) = + z + za+ a z + za+ a z + za+ a ` a z b z + za+ a z + za+ a z+ a G z = C zi A B+ D= a a + b + b 8

19 ΕΛΕΓΞΙΜΟΤΗΤΑ (Cotrollability) Θεωρείστε το σύστηµα του χώρου των καταστάσεων ( ) x k + = Ax k + Bu k (.4) y = Cx + Du (.5) όπου A, B, C, D m p p m x k u k y k x x = x u u = um m y y = yp p «άνυσµα καταστάσεων» «άνυσµα εισόδων» «άνυσµα εξόδων» 9

20 Ορισµός. Το σύστηµα (.4) ονοµάζεται ελέγξιµο (cotrollable) αν και µόνο αν, για κάθε αρχική κατάσταση x υπάρχει είσοδος u, k =,,..., N τέτοια ώστε, σε χρόνο N, να µεταφέρει την αρχική κατάσταση x σε κάθε τελική κατάσταση x( N). Από την λύση (.6) της εξίσωσης καταστάσεων: για k = και k = N έχουµε k = + k k k k i () x k A x k A Bu i ή N N k i ( = + ) x N A x A Bu i N N k i ( = x N A x A Bu i ) (.6) Έστω ότι : N X N = x N A x Τότε η (.6) γράφεται

21 N N i = X N A Bu i όπου N ( )... ( ) ( ) u u() = N A Bu A Bu ABu N Bu N = = u( N ) u( N ) N N A B A B AB B SU S: = A B A B AB B N N mn () u u U : = u( N ) u( N ) mn (.7) Θεώρηµα Το σύστηµα (.4) είναι ελέγξιµο αν και µόνο αν ο mnπίνακας «ελεγξιµότητας»: S: = A B A B AB B N N mn

22 έχει βαθµίδα. (Ισοδύναµα οι γραµµές του είναι γραµµικά ανεξάρτητες ή τουλάχιστον µία υπό-ορίζουσα του S είναι διάφορη του µηδενός) Αποδειξη. Η (.7) είναι X ( N) = SU (.8) N Έστω ότι m = (δηλαδή το σύστηµα έχει µια είσοδο) τότε S. Αν raks = και επιλέξουµε τον αριθµό των βηµάτων N µέσα στον οποίο επιθυµούµε να γίνει η µετάβαση από την αρχική κατάσταση x στην τελική κατάσταση x( N )) να είναι ίσος µε, αν δηλαδή επιλέξουµε N = τότε S και η raks = συνεπάγεται το ότι ο S υπάρχει και άρα η είσοδος u, k =,,..., N πού επιτελεί την µεταφορά από την αρχική κατάσταση x στην τελική κατάσταση x( N) δίνεται από την λύση της (.8) () u u = = = x u( N ) u( N ) N U S X N S x N A

23 Και η µετάβαση από την αρχική κατάσταση x κατάσταση x( N) = x από N = βήµατα. στην τελική µπορεί να γίνει σε όχι περισσότερα Αν m > τότε και άρα S: = A B A B AB B N N mn S τ mn τ, SS και τ τ raks = rakss = SS υπάρχει Σε αυτή την περίπτωση ( m > ) η (.8) περιγράφει ένα γραµµικό σύστηµα εξισώσεων µε Nm αγνώστους: ( ) m, ( ) m,..., ( ) m, ( ) u u u N u N όπως στο σχήµα: m S Nm U X Nm Έστω ότι υπάρχει πίνακας S τέτοιος ώστε Nm 3

24 SS S = S (.9) Ένας τέτοιος πίνακας (αν υπάρχει) ονοµάζεται ψευδόαντίστροφος του S. Για την λύση ενός γραµµικού συστήµατος γραµµικών εξισώσεων µε Nm αγνώστους και < Nm έχουµε το Θεώρηµα (*) Το σύστηµα εξισώσεων SU = X = X ( U ) (.3) µε Nm αγνώστους m, m,..., m m u u u N, u N Nm έχει λύση U αν και µόνο αν, για κάποιο ψευδό-αντίστροφο του S ισχύει ή σχέση SS X = X (.3) S Αν η (.3) ισχύει τότε µία λύση της (.3) είναι η U = S X (.3) και η γενική λύση είναι η ( Nm ) = + (.33) U S X I S S Z όπου Nm Z αυθαίρετο άνυσµα. Απόδειξη. Αν υπάρχει πίνακας S τέτοιος ώστε Nm 4

25 SS S = S τότε υπάρχει και µόνο αν Nm U το οποίο να ικανοποιεί την (.3) αν SU = SS SU = SS X = X (.3) (.34) Προφανώς αν η (.34) ικανοποιείτε τότε µία λύση δίνεται από την (.3). Αντικαθιστώντας την (.33) στην (.3) έχουµε = + = + SU S S X I Nm S S Z SS X SZ SS SZ = + = = SS X SZ SZ SS X X = (τέλος της απόδειξης του θεωρήµατος (*)) Γυρνώντας στο θεώρηµα της ελεγξιµότητας και στην περίπτωση που m > η συνεπάγεται την τ τ raks = rakss = SS υπάρχει τ τ SS SS = I (.35) Και άρα αν raks =, ένας ψευδό αντίστροφος του S είναι ο τ τ S S SS = (.36) Από το Θεώρηµα (*) η (.36) σηµαίνει ότι το σύστηµα εξισώσεων SU = X = X ( U ) (.37) 5

26 µε τους Nm αγνώστους m, m,..., m m u u u N, u N έχει λύση U () u u = u( N ) u( N ) και άρα η είσοδος u, k =,,..., N πού επιτελεί την µεταφορά από την αρχική κατάσταση x x( N) δίνεται από την λύση της (.3) στην τελική κατάσταση ( ) τ τ τ τ Nm Nm = + = + Z U S X I S S Z S SS X I S SS S (.38) Είναι προφανές ότι και στην περίπτωση αυτή ( m > ) µπορούµε να επιλέξουµε τον αριθµό των βηµάτων N µέσα στον οποίο επιθυµούµε να γίνει η µετάβαση από την αρχική κατάσταση x στην τελική κατάσταση x( N) ) να είναι ίσος µε, δηλαδή να επιλέξουµε N = Άρα raks = συνεπάγεται και το ότι η µετάβαση από την αρχική κατάσταση x στην τελική κατάσταση x( N) = x µπορεί να γίνει σε όχι περισσότερα από N = βήµατα. 6

27 7