Δυναμική των Ρευστών

Transcript

1 Δυναμική των Ρευστών Νεκτάριος Βλαχάκης Τμήμα Φυσικής Πανεπιστημίου Αθηνών Σημειώσεις Πανεπιστήμιο Αθηνών

2 Στη Χαρίκλεια και τον Σοφοκλή Copyright Δυναμική των Ρευστών 017 Νεκτάριος Βλαχάκης Το παρόν έργο αδειοδοτείται υπό τους όρους της άδειας Creative Commons Αναφορά Δημιουργού Μη Εμπορική Χρήση Οχι Παράγωγα Εργα 3.0. Για να δείτε ένα αντίγραφο της άδειας αυτής επισκεφτείτε τον ιστότοπο

3 Περιεχόμενα 1 Εισαγωγή Επανάληψη από Φυσική Ι Βασικές σχέσεις θερμοδυναμικής Κινηματική Ασκήσεις Ιδεατά ρευστά 9.1 Εξίσωση συνέχειας Εξίσωση ορμής Εξίσωση ενέργειας Οριακές συνθήκες Υδροστατική ισορροπία Εξίσωση Bernoulli για στάσιμες ροές Εξισώσεις διατήρησης σε μορφή συνέχειας Διατήρηση ενέργειας Διατήρηση ορμής Στροβιλισμός Κυκλοφορία Θεώρημα Kelvin Δυναμικό ταχύτητας Συνάρτηση ροής δισδιάστατων πεδίων Μιγαδικό δυναμικό Ασκήσεις i

4 ii 3 Μη-ιδεατά ρευστά Δυνάμεις λόγω ιξώδους Εξισώσεις Navier Stokes Διαστατική ανάλυση Εξισώσεις Navier Stokes σε διάφορα συστήματα συντεταγμένων Ενεργειακές απώλειες λόγω ιξώδους Παραδείγματα ασυμπίεστων ρευστών με ιξώδες Αντίσταση Stokes Φαινόμενο Magnus Δύναμη ανύψωσης σε πτερύγια Εξισώσεις συμπιεστών μη-ιδεατών ρευστών Η εξίσωση του στροβιλισμού Ασκήσεις Κύματα αστάθειες Κύματα βαρύτητας Κύματα βαρύτητας απειρόβαθης θάλασσας Κύματα βαρύτητας πεπερασμένου βάθους Διαταραχές στην επιφάνεια μεταξύ δύο ρευστών Αστάθεια Rayleigh Taylor Αστάθεια Kelvin Helmholtz Ηχητικά κύματα Κύματα πεπερασμένου πλάτους Αυτοόμοιες λύσεις κύματα αραίωσης Χωρική αυτοομοιότητα γωνία Prandtl Meyer Ωστικά κύματα Ασκήσεις Τυρβώδεις ροές Γεωφυσικά ρευστά Οι εξισώσεις σε μη-αδρανειακά συστήματα αναφοράς Στοιχεία δυναμικής γεωφυσικών ρευστών Φαινόμενη βαρύτητα Η επίδραση της περιστροφής Η προσέγγιση f-επιπέδου και β-επιπέδου Η επίδραση της στρωμάτωσης Ανάλυση κλίμακας Η κυκλοφορία στα γεωφυσικά ρευστά Γεωστροφική ισορροπία

5 6.3. Στήλες Taylor Στρώματα Ekman Δυναμική μονού-ρηχού στρώματος ρευστού Δυναμικός στροβιλισμός Επιφανειακά κύματα βαρύτητας παρουσία περιστροφής Πλανητικά κύματα Μοντέλα στρωμάτων ελαττωμένης βαρύτητας Γεωστροφική προσαρμογή Μοντέλα στρωμάτων πεπερασμένου βάθους Εσωτερικά κύματα βαρύτητας Ασκήσεις iii

6 176

7 Γεωφυσικά ρευστά 6 Στο κεφάλαιο αυτό θα μελετήσουμε ρευστά μεγάλης κλίμακας στις επιφάνειες περιστρεφόμενων σωμάτων, με χαρακτηριστικά παραδείγματα τον ωκεανό και την ατμόσφαιρα της Γης. Αφού επεκτείνουμε την περιγραφή των ρευστών σε μη-αδρανειακά συστήματα αναφοράς θα αναλύσουμε την δυναμική τους. Θα εξετάσουμε υπό ποιες προϋποθέσεις μπορούμε να απλοποιήσουμε τις εξισώσεις που την περιγράφουν και θα δούμε πως επιδρούν σε αυτή διάφοροι παράγοντες. Οι κυριότεροι από αυτούς είναι η περιστροφή και η στωμάτωση, κάτι που χαρακτηρίζει τα γεωφυσικά ρευστά και τα διαφοροποιεί από τις υπόλοιπες κατηγορίες ρευστών. Επίσης θα μελετήσουμε κυματικές διαταραχές σε αυτό το πλαίσιο. 6.1 Οι εξισώσεις σε μη-αδρανειακά συστήματα αναφοράς Εστω S αδρανειακό σύστημα αναφοράς με αρχή το Ο και καρτεσιανούς άξονες x y z και ένα άλλο S μη-αδρανειακό σύστημα αναφοράς με αρχή το Ο και καρτεσιανούς άξονες xyz. Στη γενική περίπτωση το S κινείται ως προς το S με ταχύτητα u 0 (t), οπότε η θέση r 0 του Ο ως προς το Ο αλλάζει σύμφωνα με την σχέση ṙ 0 = u 0. Ταυτόχρονα περιστρέφεται με γωνιακή ταχύτητα Ω(t) γύρω από κάποιο στιγμιαίο άξονα περιστροφής, οπότε τα μοναδιαία ˆx i είναι συναρτήσεις του χρόνου που αλλάζουν σύμφωνα με τις σχέσεις ˆx i = Ω ˆx i. Η απόδειξη της τελευταίας γίνεται με βάση το παρακάτω δεξιά σχήμα. Εστω τυχόν μοναδιαίο ˆε το οποίο σχηματίζει γωνία θ με την Ω. Καθώς το μοναδιαίο διάνυσμα περιστρέφεται η γωνία θ παραμένει σταθερή και το πέρας του διανύσματος διαγράφει κύκλο ακτίνας sin θ σε επίπεδο κάθετο στην 177

8 178 Γεωφυσικά ρευστά Ω (αφού το μέτρο ˆε παραμένει συνεχώς μονάδα). Η μεταβολή dˆε σε απειροστό χρόνο dt είναι εφαπτόμενη στον κύκλο (έχει τη φορά του ˆφ) και το μέτρο της ισούται με τόξο που βαίνει σε γωνία dφ = Ωdt, επομένως το μέτρο της είναι dˆε = sin θ dφ. Η μεταβολή αυτή γράφεται διανυσματικά dˆε = sin θ Ω dt ˆφ = Ω ˆε dt και άρα ο ρυθμός μεταβολής είναι O z ra Σ r0 y r z ˆε = Ω ˆε. (6.1) O x Ω x Οταν μεταβαίνουμε από το ένα σύστημα στο άλλο κάθε βαθμωτό πεδίο Φ και κάθε διανυσματικό πεδίο A παραμένει ίδιο, εξαρτώμενο από το φυσικό σημείο Σ στο οποίο υπολογίζεται και όχι από τις συντεταγμένες που χρησιμοποιούμε για να το περιγράψουμε. Η μορφή των συναρτήσεων είναι γενικά διαφορετική, αλλά η τιμή τους είναι ίδια σε κάθε συγκεκριμένο σημείο. Το ίδιο συμβαίνει για ποσότητες όπως η κλίση Φ (διανυσματικό μέγεθος), η απόκλιση A (βαθμωτό μέγεθος) και ο στροβιλισμός A (διανυσματικό μέγεθος). Πέρα από την μαθηματική ιδιότητα των βαθμωτών, διανυσματικών και γενικότερα τανυστικών μεγεθών να παραμένουν ίδια κάτω από μετασχηματισμούς μεταφοράς και στροφής, είναι αναμενόμενο να παραμένουν ίδια όταν εκφράζουν μια τοπική ιδιότητα ενός φυσικού συστήματος. Η κλίση εκφράζει πόσο γρήγορα αλλάζει η συνάρτηση όταν κινούμαστε κάθετα στις ισοϋψείς της έχει διεύθυνση κάθετα στις ισοϋψείς, φορά προς μεγαλύτερες τιμές της συνάρτησης και μέτρο Φ = δφ, όπως προκύπτει από την dφ = dr Φ. δr Η απόκλιση σχετίζεται με τη ροή του πεδίου και δείχνει αν σε ένα σημείο γεννώνται ή καταστρέφονται δυναμικές γραμμές η τιμή της σε ένα σημείο ισούται με το πηλίκο της ροής του πεδίου σε μια κλειστή μικρή επιφάνεια γύρω από το σημείο προς τον όγκο που περικλείει η επιφάνεια, όπως προκύπτει από A dτ = A da. Ο στροβιλισμός σχετίζεται με την τοπική περιστροφή του πεδίου το μέτρο του σε κάθε σημείο ισούται με το πηλίκο της κυκλοφορίας του πεδίου σε μια κλειστή μικρή καμπύλη γύρω από το σημείο προς την προβολή κάθετα στο στροβιλισμό της επιφάνειας που περικλείει η y θ Ω dφ (t) ε dε ε(t+dt)

9 6.1 Οι εξισώσεις σε μη-αδρανειακά συστήματα αναφοράς 179 καμπύλη, όπως προκύπτει από A dl = ( A) da = A δa. Ολικές χρονικές παράγωγοι βαθμωτών πεδίων, δηλ. χρονικές παράγωγοι ακολουθώντας την κίνηση του ρευστού, επίσης παραμένουν ίδιες όταν μεταβαίνουμε από το ένα σύστημα στο άλλο. Δεν συμβαίνει όμως το ίδιο για ολικές χρονικές παραγώγους διανυσματικών πεδίων, διότι ενώ ο αδρανειακός παρατηρητής στο S βλέπει τα μοναδιαία ˆx i να περιστρέφονται, ο μη-αδρανειακός παρατηρητής στο S τα βλέπει σταθερά. Γενικά, οι δύο παρατηρητές βλέπουν διαφορετικό ολικό ρυθμό ( ) μεταβολής da για κάθε διανυσματικό πεδίο A. Ο αδρανειακός S βλέπει, όπου ο dt a δείκτης a σημαίνει απόλυτη παράγωγο, η οποία λαμβάνει υπόψη ( την) αλλαγή da των μοναδιαίων ˆx i με το χρόνο. Ο μη-αδρανειακός S βλέπει, όπου dt σ ο δείκτης σ σημαίνει σχετική παράγωγο, θεωρώντας δηλ. τα μοναδιαία ˆx i σταθερά. 3 Γράφοντας το διάνυσμα A = A iˆx i, όπου A i = A i (x, y, z, t) οι συνιστώσες i=1 3 ( ) da του στο S, έχουμε = d 3 3 A iˆx i = Ȧ iˆx i + A i ˆxi. Ο πρώτος όρος dt dt a i=1 i=1 i=1 είναι αυτό που βλέπει ο μη-αδρανειακός παρατηρητής σαν ολική παράγωγο 3 του A, ενώ ο δεύτερος όρος γράφεται A i Ω ˆx i = Ω A, διότι όπως έχουμε i=1 αποδείξει ˆx i = Ω ˆx i. Επομένως οι ολικοί ρυθμοί μεταβολής συνδέονται με τη σχέση ( ) ( ) da da = + Ω A. (6.) dt dt a σ Με άλλα λόγια, για να βρούμε την έκφραση της απόλυτης χρονικής ( ) παραγώγου ενός διανύσματος πρέπει να εφαρμόσουμε τον τελεστή = d dt [( ) ] a d + Ω σε αυτό. Ομοια για τη δεύτερη παράγωγο πρέπει να εφαρμόσουμε δύο φορές τον τελεστή της πρώτης παραγώγου, δηλ. = dt σ ( ) d dt [( ) a [( ) ( ) ] d d + Ω ] = + dt dt Ω d +Ω + Ω Ω, κ.ο.κ. σ dt σ σ Παραγωγίζοντας την σχέση r = r 0 + r που συνδέει τις θέσεις κάποιου σημείου Σ στα δύο συστήματα ( ) αναφοράς βρίσκουμε την σχέση μεταξύ των dr πεδίων ταχυτήτων u a = που βλέπει ο αδρανειακός παρατηρητής και dt a

10 180 Γεωφυσικά ρευστά ( ) dr u σ = που βλέπει ο μη-αδρανειακός: dt ( ) σ dr u Ω r, δηλ. dt σ ( ) dr dt a = ( ) dr0 + dt a ( ) dr = dt a u a = u σ + u 0 + Ω r. (6.3) Ο πρώτος όρος του δεξιού μέλους είναι το πεδίο ταχύτητας στο μη-αδρανειακό σύστημα αναφοράς, ο δεύτερος είναι η ταχύτητα της αρχής του συστήματος Ο ως προς το Ο (η οποία είναι συνάρτηση του χρόνου και μόνο), ενώ ο τρίτος όρος οφείλεται στην περιστροφή των μοναδιαίων του συστήματος S (με την Ω να είναι συνάρτηση του χρόνου και μόνο). Παρότι τα πεδία ταχυτήτων στα δύο συστήματα είναι διαφορετικά, έχουν ίδια απόκλιση, u a = u σ, διότι η απόκλιση της διαφοράς τους είναι μηδενική: (u 0 + Ω r) = 0 (το μέρος u 0 δεν εξαρτάται από τη θέση αλλά μόνο από το χρόνο, ενώ η απόκλιση του Ω r είναι μηδενική, καθότι η i συνιστώσα του δεν εξαρτάται από το x i ). Αυτό ήταν αναμενόμενο, αφού όπως δείξαμε στο κεφάλαιο 3.1 η απόκλιση της ταχύτητας σχετίζεται με τον 3 σχετικό ρυθμό μεταβολής του όγκου S ii κάτι που αποτελεί τοπική ιδιότητα i=1 του ρευστού. Επίσης, ο τανυστής τάσεων που σχετίζεται με το ιξώδες και εξαρτάται από χωρικές παραγώγους του πεδίου της ταχύτητας, παραμένει ίδιος στα δύο συστήματα. Ο λόγος είναι ότι η σχετική ταχύτητα μεταξύ γειτονικών σημείων που απέχουν δr a = δr στα δύο συστήματα συνδέεται μέσω της δu a = δ(u σ + u 0 + Ω r) = δu σ + Ω δr, αφού τα u 0 και Ω είναι συναρτήσεις μόνο του χρόνου. Επομένως η αλλαγή συστήματος εισάγει μόνο μια περιστροφή η οποία δεν αλλάζει τις σχετικές αποστάσεις και άρα δεν επηρεάζει τις δυνάμεις ιξώδους. (Αυτό φαίνεται και με άμεση αντικατάσταση των ταχυτήτων στην σχέση (3.7) ή στον τανυστή S ο οποίος επίσης παραμένει ίδιος.) Το ότι η αλλαγή συντεταγμένων προσθέτει μια περιστροφή φαίνεται και από τη διαφορά στο στροβιλισμό: (u σ + u 0 + Ω r) = ζ σ + Ω χρησιμοποιώντας την ταυτότητα (Ω r) = (r )Ω (Ω )r + Ω( r) r( Ω) με χωρικά σταθερό Ω και (Ω )r = Ω, r = 3, επομένως ζ a = ζ σ + Ω. (6.4) Η διαφορά στην γωνιακή ταχύτητα της τοπικής περιστροφής που είναι το μισό του στροβιλισμού είναι πράγματι Ω. Τέλος πρέπει να βρούμε τη σχέση μεταξύ των επιταχύνσεων στα δύο συστήματα αναφοράς. Παραγωγίζοντας την σχέση που προέκυψε για τις

11 6.1 Οι εξισώσεις σε μη-αδρανειακά συστήματα αναφοράς 181 ( ) ( ) ( ) dua duσ du0 ταχύτητες u a = u σ + u 0 + Ω r βρίσκουμε = + + dt dt dt ( ) ( ) ( ) a a a dω dr duσ r + Ω = + Ω u σ + a 0 + dt dt dt Ω r + Ω [( ) a ] a σ dr + Ω r, δηλ. dt σ ( ) duσ = dt σ ( ) dua a 0 Ω u σ Ω (Ω r) dt Ω r. (6.5) a Συνεπώς στην εξίσωση ορμής θα πρέπει ( να) εξισώσουμε την επιτάχυνση στο duσ μη-αδρανειακό σύστημα αναφοράς με το άθροισμα όχι μόνο των dt σ ( ) dua πραγματικών δυνάμεων ανά μάζα (που ισούται με και στο οποίο dt a εκτός των εξωτερικών δυνάμεων ανά μάζα f/ρ συμπεριλαμβάνεται η συνεισφορά πίεσης και ιξώδους), αλλά και μια σειρά υποθετικών επιταχύνσεων (δυνάμεων ανά μάζα). Η πρώτη από αυτές είναι ο όρος a 0 που οφείλεται στη μεταφορική επιτάχυνση του συστήματος S. Η δεύτερη είναι η επιτάχυνση Coriolis Ω u σ η οποία υπάρχει όταν υπάρχει ταχύτητα u σ και είναι κάθετη στο επίπεδο που σχηματίζουν τα Ω και u σ. Σαν κάθετη στην ταχύτητα δεν αλλάζει το μέτρο της, αλλά μόνο τη διεύθυνσή της. Η τρίτη είναι η φυγόκεντρος επιτάχυνση Ω (Ω r). Αναλύοντας το διάνυσμα θέσης σε r παράλληλα στην Ω και r κάθετα στην Ω και χρησιμοποιώντας την ταυτότητα A (B C) = (A C)B (A B)C, η φυγόκεντρος επιτάχυνση γράφεται Ω (Ω r ) = Ω r, κάτι που δείχνει ότι έχει φορά από τον άξονα περιστροφής προς τα έξω, εξ ου και το όνομά της. Μια άλλη γραφή της είναι Φ φ με δυναμικό Φ φ = Ω r. Η τέταρτη επιτάχυνση Ω r υπάρχει μόνο όταν η γωνιακή ταχύτητα Ω εξαρτάται από το χρόνο. Χρησιμοποιώντας όλα τα παραπάνω μπορούμε να γράψουμε τις εξισώσεις που περιγράφουν την δυναμική των ρευστών σε μη-αδρανειακά συστήματα αναφοράς. Στα επόμενα θα διώξουμε το δείκτη σ για συντομία οι ποσότητες θα είναι πάντα (εκτός αν δηλώνεται αντίθετα) αυτές που βλέπει ο μη-αδρανειακός παρατηρητής και θα θεωρούνται συναρτήσεις της θέσης r ως προς το Ο και του χρόνου.

12 18 Γεωφυσικά ρευστά Η διατήρηση μάζας έχει την συνήθη μορφή της σχέσης συνέχειας dρ dt + ρ u = 0, (6.6) με την ολική παράγωγο ακολουθώντας την κίνηση του ρευστού να έχει την συνήθη μορφή d dt = + u, οπότε προκύπτει και η μορφή t ρ t Η εξίσωση της ορμής έχει την μορφή + (ρu) = 0. (6.7) du dt = P ρ Φ g a 0 Ω u Ω (Ω r) Ω r + g ν, (6.8) όπου Φ g είναι το δυναμικό των συντηρητικών δυνάμεων που ασκούνται στο ρευστό και η τελευταία δύναμη ανά μάζα g ν συμπεριλαμβάνει τυχόν μησυντηρητικές δυνάμεις και τους όρους του ιξώδους 1 ρ. Κατά τα γνωστά μπορούμε να γράψουμε την επιτάχυνση σαν u t +(u )u = ( ) u u t + +ζ u κι έτσι βρίσκουμε μια εναλλακτική μορφή της εξίσωσης ορμής ( u u t + + Φ g Ω r ) +(ζ + Ω) u = P ρ a 0 Ω r+g ν. (6.9) Μια ισοδύναμη μορφή είναι η μορφή διατήρησης. Πολλαπλασιάζοντας την εξίσωση (6.8) με την πυκνότητα και γράφοντας τον όρο ρ du (ρu) σαν + dt t (ρu u) (χρησιμοποιώντας την εξίσωση συνέχειας) καταλήγουμε στην συνήθη μορφή t (ρu) + = f total, (6.10) όπου = ρu u + P I και η συνολική δύναμη ανά όγκο f total περιλαμβάνει τις εξωτερικές πυκνότητες δυνάμεων όγκου και όλες τις υποθετικές, δηλ. f total = ρ Φ g ρa 0 ρω u ρω (Ω r) ρ Ω r. Η εξίσωση ενέργειας έχει τη συνήθη μορφή του πρώτου νόμου της θερμοδυναμικής (3.51) de dt + P d ( ) 1 = ρq + : S. (6.11) dt ρ ρ

13 6.1 Οι εξισώσεις σε μη-αδρανειακά συστήματα αναφοράς 183 όπου q η ενέργεια που προστίθεται (αλγεβρικά) ανά μονάδα μάζας και ανά μονάδα χρόνου λόγω π.χ. θερμικής αγωγιμότητας και ο όρος : S εκφράζει την θέρμανση λόγω ιξώδους. Πολλαπλασιάζοντας την εξίσωση (6.11) με την πυκνότητα και γράφοντας τον όρο ρ de (ρe) σαν + (ρeu) και τον όρο P ρ d ( ) 1 σαν P u dt t dt ρ (χρησιμοποιώντας και τις δύο φορές την εξίσωση συνέχειας) καταλήγουμε στην μορφή διατήρησης της πυκνότητας εσωτερικής ενέργειας t (ρe) + (ρeu) + P u = ρq + : S. (6.1) Αν ο όρος ρq οφείλεται σε θερμική αγωγιμότητα γράφεται ρq = (κ T ), όπου T η θερμοκρασία. Συνδυάζοντας την παραπάνω εξίσωση με την προβολή της εξίσωσης ορμής πάνω στην ταχύτητα μπορούμε να γράψουμε την εξίσωση διατήρησης ολικής ενέργειας. Συγκεκριμένα, πολλαπλασιάζοντας την εξίσωση (6.9) με ρu και αθροίζοντας κατά μέλη την εξίσωση (6.1) καταλήγουμε στην μορφή t (ρε) + (ρεu + P u u κ T ) = [ Φg = ρ t u a 0 (u + Ω r) ( Ω r ) ], (6.13) όπου ε = u + e + Φ g Ω r η ενέργεια ανά μάζα συμπεριλαμβάνοντας την μακροσκοπική κινητική, την εσωτερική λόγω θερμικών κινήσεων, την δυναμική ενέργεια των συντηρητικών εξωτερικών δυνάμεων και την δυναμική ενέργεια της φυγόκεντρου. Η εξίσωση για τον στροβιλισμό ζ = u προκύπτει παίρνοντας τον στροβιλισμό της εξίσωσης ορμής. Μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε την μορφή (6.9), ο στροβιλισμός της οποίας δίνει ζ ( ) P t + (ζ a u) = ρ ( Ω r ) + g ν, όπου ζ a = ζ +Ω. Η ποσότητα αυτή είναι ο «απόλυτος» στροβιλισμός, δηλ. ο στροβιλισμός στο αδρανειακό σύστημα αναφοράς, καθότι όπως έχουμε ήδη δείξει ισχύει (u + u 0 + Ω r) = ζ + Ω. Χρησιμοποιώντας τις ταυτότητες (A B) = (B )A (A )B + A( B) B( A) και (ψa) = ψ A + ( ψ) A προκύπτει ζ a t = (u ζ ρ P a) + + g ρ ν, (6.14) η οποία μπορεί να γραφεί και σαν ρ d ( ) ζa = (ζ a ) u + dt ρ ρ P ρ + g ν. (6.15)

14 184 Γεωφυσικά ρευστά Για βαροτροπικές ροές στις οποίες η πυκνότητα είναι συνάρτηση της πίεσης και αν επιπλέον το ιξώδες είναι αμελητέο, η εξίσωση του στροβιλισμού γράφεται ζ a = (u ζ a ) και όπως στην περίπτωση ιδεατού ρευστού σε t αδρανειακό σύστημα αναφοράς, συνεπάγεται το θεώρημα Kelvin: Η ροή του απόλυτου στροβιλισμού ζ a σε οποιαδήποτε επιφάνεια που κινείται μαζί με το ρευστό παραμένει σταθερή, δηλ. Φ = ζ a da = σταθερό. Γράφοντας την ροή αυτή σαν Φ = ζ da + Ω da = u dr + Ω a προκύπτει η διατύπωση του θεωρήματος χρησιμοποιώντας την κυκλοφορία: Η κυκλοφορία σε μια καμπύλη που κινείται μαζί με το ρευστό αλλάζει σύμφωνα με την Γ + Ω a = Φ = σταθερό, όπου a η επιφάνεια που περικλείει η καμπύλη σε κάθε στιγμή. (η σταθερά Φ είναι ίση με την κυκλοφορία της απόλυτης ταχύτητας). 6. Στοιχεία δυναμικής γεωφυσικών ρευστών Για να περιγράψουμε την κίνηση γεωφυσικών ρευστών κοντά σε ένα Ω y (North) z (Up) τόπο της Γης Ο είναι προτιμότερο να χρησιμοποιήσουμε σύστημα x (East) αναφοράς το οποίο έχει αρχή το Ο O και περιστρέφεται μαζί με τη Γη. Εστω επιλέγουμε καρτεσιανό σύστημα αναφοράς με άξονα z πά- λ φ νω στην κατακόρυφο του τόπου και φορά προς τα πάνω. Το επίπεδο xy είναι ο ορίζοντας του τόπου και επιλέγουμε τον άξονα x προς την ανατολή και τον άξονα y προς βορρά, όπως στο σχήμα. Η γωνιακή ταχύτητα περιστροφής της Γης είναι σταθερή και έχει μέτρο Ω = π 1 μέρα = rad/s. Το σύστημα Οxyz είναι μη-αδρανειακό αφενός γιατί οι άξονές του περιστρέφονται με την γωνιακή ταχύτητα Ω, αφετέρου γιατί η αρχή του συστήματος Ο εκτελεί επιταχυνόμενη κίνηση. Συγκεκριμένα εκτελεί ομαλή κυκλική κίνηση σε κύκλο με κέντρο το σημείο Κ του άξονα περιστροφής της Γης. με γωνιακή ταχύτητα Ω και ακτίνα K O = R cos ϕ, όπου R = 6400 km η ακτίνα της Γης και ϕ το γεωγραφικό πλάτος του τόπου Ο. Η επιτάχυνση του Ο ως προς ένα αδρανειακό παρατηρητή είναι η κεντρομόλος a 0 = Ω K O. meridian prime

15 6. Στοιχεία δυναμικής γεωφυσικών ρευστών 185 Να σημειωθεί ότι η μεταφορική κίνηση της Γης γύρω από τον Ηλιο, για την π οποία η γωνιακή ταχύτητα είναι Ω, έχει ασήμαντη επίδραση στις 1 έτος χρονικές κλίμακες που μας ενδιαφέρει να μελετήσουμε τα γεωφυσικά ρευστά και θα την αγνοήσουμε. Ο αδρανειακός παρατηρητής που αναφέραμε βλέπει τη Γη να περιστρέφεται με το κέντρο της πρακτικά ακίνητο. Για την περιγραφή του ρευστού λοιπόν, το οποίο έχει πυκνότητα ρ, πίεση P και ταχύτητα u = uˆx + vŷ + wẑ, όλα συναρτήσεις των x, y, z και t, πρέπει να χρησιμοποιηθούν οι εξισώσεις του προηγούμενου κεφαλαίου. Η κυριότερη εξίσωση είναι αυτή της ορμής, στην οποία πρέπει να συμπεριληφθούν οι διάφορες υποθετικές δυνάμεις ανά μάζα, η a 0 = Ω K O λόγω της επιτάχυνσης της αρχής του συστήματος συντεταγμένων Ο, η φυγόκεντρος Ω r και η Coriolis Ω u. K K φ g y Ω x O g Μια πρώτη διατύπωση της εξίσωσης ορμής για τα γεωφυσικά ρευστά, την οποία θα απλοποιήσουμε στη συνέχεια, είναι u t + (u )u = P ρ + g + Ω (K O + r ) Ω u + g ν, (6.16) όπου g είναι η θεωρούμενη ομογενής ένταση του πεδίου βαρύτητας και η τελευταία δύναμη ανά μάζα g ν συμπεριλαμβάνει τυχόν άλλες δυνάμεις ανά μάζα και τους όρους του ιξώδους Φαινόμενη βαρύτητα Για τις αποστάσεις που μας ενδιαφέρουν η ένταση του Γήινου βαρυτικού πεδίου θεωρείται ομογενής με φορά «προς τα κάτω» και μέτρο g = 9.8 m/s. Ο όρος a 0 = Ω K O έχει μέτρο Ω R cos ϕ και φορά από τον άξονα περιστροφής προς τα έξω όπως και η φυγόκεντρος Ω r. Το άθροισμά τους μπορούμε να το πούμε συνολική φυγόκεντρο επιτάχυνση (θα ήταν ακριβώς η φυγόκεντρος σε ένα σύστημα με αρχή το κέντρο της Γης και άξονες που θα περιστρέφονταν μαζί της). Για τη Γη είναι Ω R = , οπότε ο όρος a 0 είναι πολύ μικρότερος g του βάρους (ο όρος Ω r είναι ακόμα μικρότερος αφού r R ). Είναι όμως ένας μόνιμος όρος ο οποίος αλλάζει ελαφρά το «βάρος». Το φαινόμενο g eff z φ φ

16 186 Γεωφυσικά ρευστά βάρος, η δύναμη αντίδρασης δηλ. που δείχνει μια ζυγαριά όταν ένα σώμα βρίσκεται ακίνητο πάνω της, δεν είναι g, αλλά g eff = g + g, όπου ο όρος g είναι ακριβώς η ολική φυγόκεντρος, βλέπε το προηγούμενο σχήμα. Η σχετική διαφορά μεταξύ g eff και g είναι της τάξης του Ω R = , όπως και η g γωνιακή διαφορά μεταξύ των διανυσμάτων ( ϕ) που φαίνεται στο σχήμα. Αυτό που ορίζουμε σαν κατακόρυφο σε ένα τόπο και επιλέξαμε σαν άξονα z είναι η διεύθυνση της φαινόμενης βαρύτητας g eff. Ο ορίζοντας και η επιφάνεια στατικής θάλασσας δεν είναι κάθετη στο g αλλά στο g eff. Γράφοντας τις επιταχύνσεις σαν κλίσεις δυναμικών g = Φ g και g = a 0 = Ω K O = ( Ω K O ) μπορούμε να πούμε ότι για στατική θάλασσα όπου P ρ + g + Ω (K O) = 0 η πίεση είναι σταθερή σε κάθε ισοδυναμική του ολικού δυναμικού Φ total = Φ g Ω K O. Η επιφάνεια της θάλασσας είναι μια από αυτές τις ισοδυναμικές. Στη μικρή διόρθωση του φαινόμενου βάρους λόγω της φυγόκεντρου οφείλεται το ότι το σχήμα της Γης δεν είναι απόλυτα σφαιρικό, αλλά πεπλατυσμένο στον ισημερινό. Η επιφάνειά της είναι ισοδυναμική του Φ total ισοδύναμα η ολική δύναμη Φ total είναι κάθετη στην επιφάνεια. Κάθε σώμα που είναι ακίνητο ως προς τη Γη πάνω στην πεπλατυσμένη επιφάνειά της, η οποία είναι ισοδυναμική επιφάνεια του ολικού δυναμικού Φ total θα παραμείνει ακίνητο αν δεν του ασκηθούν άλλες δυνάμεις. Το ίδιο συμβαίνει για ένα σώμα που επιπλέει, ακίνητο ως προς τη Γη, πάνω στην επιφάνεια της θάλασσας. Ακόμα και σε ένα πλανήτη στον οποίο ο λόγος Ω R/g δεν είναι τόσο μικρός όσο στη Γη, τα παραπάνω παραμένουν αληθή. Συνεπώς, για την μελέτη γεωφυσικών ρευστών γύρω από ένα τόπο αρκεί να θεωρούμε τους όρους g, a 0 και Ω (Ω r) = Ω r ότι αποτελούν την φαινόμενη βαρύτητα g eff, η οποία για τις διαστάσεις που μας ενδιαφέρουν είναι ομογενής και στη διεύθυνση ẑ. Διώχνοντας για συντομία το δείκτη eff θα γράφουμε από εδώ και στο εξής το άθροισμά τους gẑ. 6.. Η επίδραση της περιστροφής Η Coriolis επιτάχυνση είναι ο μόνος παραμένων όρος στην εξίσωση της ορμής που εξαρτάται από την Ω. Μέσω αυτής και μόνο η περιστροφή επιδρά στη δυναμική των γεωφυσικών ρευστών. Λόγω της απόκλισης του άξονα z από την διεύθυνση ΚΟ η γωνία μεταξύ του Ω και της διεύθυνσης ŷ προς βορρά είναι ϕ + ϕ, δηλ. η διανυσματι-

17 6. Στοιχεία δυναμικής γεωφυσικών ρευστών 187 κή γραφή της γωνιακής ταχύτητας περιστροφής της Γης στο σύστημα Οxyz είναι Ω = Ω sin(ϕ + ϕ)ẑ + Ω cos(ϕ + ϕ)ŷ. Αφού όμως ϕ ϕ πρακτικά το σχήμα της Γης είναι σφαιρικό και μπορούμε να χρησιμοποιούμε την απλούστερη Ω = Ω sin ϕẑ + Ω cos ϕŷ. Η επιτάχυνση Coroiolis προκύπτει να είναι Ω u = (fv f w)ˆx fuŷ + f uẑ, όπου f = Ω sin ϕ και f = Ω cos ϕ. Στα γεωφυσικά ρευστά οι κυρίαρχες συνιστώσες της ταχύτητας είναι οι οριζόντιες η κατακόρυφη ταχύτητα είναι πολύ μικρότερη. Είναι δηλ. w u, v οπότε στην ˆx συνιστώσα της επιτάχυνσης Coroiolis μπορούμε να αγνοήσουμε τον όρο f w. (Εξαίρεση αποτελεί μια ροή στον ισημερινό όπου f = 0 και f = Ω, οπότε ο όρος f w δεν είναι αμελητέος σε σχέση με τον fv πρέπει να συγκριθεί με άλλους όρους για να κριθεί αν θα μείνει στην εξίσωση.) Επίσης η ẑ συνιστώσα της επιτάχυνσης Coroiolis μπορεί να αγνοηθεί γιατί είναι πολύ μικρότερη της βαρυτικής επιτάχυνσης που δρα σε αυτόν τον άξονα (ο όρος f u θα ήταν συγκρίσιμος με το g αν είχαμε ταχύτητες στη διεύθυνση ανατολής δύσης της τάξης των g/ω = m/s). Ετσι η απλοποιημένη έκφραση της Coriolis που θα χρησιμοποιούμε από εδώ και στο εξής είναι a c = Ω u = fvˆx fuŷ = fẑ u. Συγκρίνοντας διαστατικά την επιτάχυνση Coriolis με τον όρο αδράνειας u στην εξίσωση ορμής μπορούμε να καταλάβουμε πότε είναι σημαντική η επίδραση της περιστροφής σε ένα ρευστό. Αν οι οριζόντιες κινήσεις χαρακτηρίζονται από ταχύτητες U και χωρικές κλίμακες L, οπότε και οι χαρακτηριστικοί χρόνοι τους είναι T = L u, ο λόγος U a c U /L fu επονομαζόμενο αριθμό Rossby Ro = U είναι ίσος με τον. (Ισοδύναμα, μπορούμε να συγκρίνουμε την χρονική κλίμακα των ροών με την χρονική κλίμακα της Coriolis που fl είναι η περίοδος περιστροφής της Γης μέσω του λόγου π/ω L/U = πu LΩ.) Το αν θα συμπεριλάβουμε τον εκάστοτε όρο σε μια εξίσωση είναι βέβαια συνάρτηση της ακρίβειας με την οποία θέλουμε ένα αποτέλεσμα με τελικό σκοπό την σύγκριση με την παρατήρηση ή το πείραμα, αλλά μπορούμε να θέσουμε ένα τυπικό όριο και να πούμε ότι αν ο αριθμός Ro είναι μικρότερος από 0.1 πρέπει να συμπεριλάβουμε την επίδραση της περιστροφής μέσω της δύναμης Coriolis. Σε αντίθετη περίπτωση η περιστροφή της Γης δεν επηρεάζει την δυναμική των ρευστών και το σύστημα Οxyz είναι πρακτικά αδρανειακό. Σε ροές όπως νερού από μια βρύση με U 1 m/s, L 5 cm και Ro 10 5, στο άδειασμα μιας μπανιέρας σε 1 λεπτό με L 1 m και Ro 100, στη ροή αέρα γύρω από φτερό αεροπλάνου με U 100 m/s, L 5 m και Ro 10 5, σε ανεμοστρόβιλο με U 150 km/h, L 100 m και Ro 3000, η περιστροφή της Γης ασφαλώς δεν παίζει ρόλο. Σε γεωφυσικά ρευστά όμως που

18 188 Γεωφυσικά ρευστά χαρακτηρίζονται από μικρές ταχύτητες και μεγάλες χωρικές κλίμακες οι τυπικοί χρόνοι μπορεί να γίνουν συγκρίσιμοι με την περίοδο περιστροφής της Γης, π.χ σε τροπικό κυκλώνα με U 10 m/s, L 1000 km και Ro 0.1, ή σε δίνες του ρεύματος του κόλπου του Μεξικού (Gulf Stream) με U 0.1 m/s, L 100 km και Ro Αν αγνοήσουμε τις δυνάμεις ιξώδους έχουμε λοιπόν τις ακόλουθες τρεις περιπτώσεις: Αν Ro 1 αγνοούμε την Coriolis και έχουμε ισορροπία κυρίως μεταξύ αδράνειας και πίεσης. Αν Ro 1 αγνοούμε την αδράνεια και έχουμε ισορροπία κυρίως μεταξύ Coriolis και πίεσης. Τότε έχουμε τις επονομαζόμενες γεωστροφικές ροές που θα αναλύσουμε διεξοδικά σε επόμενα κεφάλαια. Αν Ro 1 πρέπει να κρατήσουμε και τους τρεις όρους (αδράνεια, Coriolis και πίεση). Στην υποπερίπτωση που η κλίση πίεσης μπορεί να αγνοηθεί έχουμε ισορροπία κυρίως μεταξύ αδράνειας και Coriolis. Τότε έχουμε τις αδρανειακές κινήσεις που θα σχολιάσουμε και παρακάτω. Η ποσότητα f = Ω ẑ = Ω = Ω sin ϕ καλείται συχνότητα Coriolis και η αντίστοιχη χρονική κλίμακα π/f τοπική αρδανειακή περίοδος. Ο λόγος είναι ότι αν δεν υπάρχουν οριζόντιες κλίσεις της πίεσης και το ιξώδες είναι αμελητέο, στην εξίσωση ορμής μένει μόνο ο όρος της αδράνειας και η Coriolis. Τότε οι μικρές οριζόντιες κινήσεις γύρω από την στατική ισορροπία που περιγράφονται από u = fẑ u είναι κυκλικές με αυτήν την περίοδο (στην κατακόρυφη κατεύθυνση έχουμε υδροστατική ισορροπία). Οι κινήσεις αυτές λέγονται αδρανειακές ταλαντώσεις. (Είναι όμοιες με τις κινήσεις φορτίων σε μαγνητικά πεδία αφού είναι προφανής η αναλογία της εξίσωσης ορμής με την m u = qu B.) Αν περιγράφαμε τις αδρανειακές κινήσεις σε αδρανειακό σύστημα αναφοράς όπου δεν υπάρχουν υποθετικές δυνάμεις, θα αφαιρούσαμε αθώα την δύναμη Coriolis που είναι υποθετική και θα καταλήγαμε στο λάθος συμπέρασμα ότι η κίνηση είναι ισοταχής. Η προσεκτική μελέτη όμως δείχνει ότι πρέπει να αφαιρέσουμε και την φυγόκεντρο η οποία εξουδετερώνει ένα μέρος του βάρους, οπότε θα εμφανιστεί μια συνιστώσα του βάρους πάνω στην επιφάνεια z = σταθερό στην οποία θα οφείλονται οι μεταβολές ταχύτητας των αδρανειακών κινήσεων. Είναι σημαντικό δηλ. στην μελέτη στο αδρανειακό σύστημα αναφοράς να λάβουμε προσεκτικά υπόψη την απόκλιση της επιφάνειας από την σφαιρικότητα, όσο μικρή και αν είναι αυτή. Αυτός είναι ένας από τους λόγους γιατί είναι προτιμότερο να μελετάμε τα γεωφυσικά ρευστά στο μη-αδρανειακό σύστημα αναφοράς που περιστρέφεται με τη Γη. Τα παραπάνω θα φανούν καλύτερα μέσω του παραδείγματος 6.1. Περιγράφοντας την δυναμική στο μη-αδρανειακό σύστημα αναφοράς δεν χρειάζεται να ασχολούμαστε με τις αποκλίσεις της επιφάνειας από την σφαι-

19 6. Στοιχεία δυναμικής γεωφυσικών ρευστών 189 ρικότητα και αν αυτές είναι μικρές, όπως στη Γη, μπορούμε να θεωρούμε την επιφάνεια σφαιρική. Παράδειγμα 6.1: Εστω η επιφάνεια της Γης ήταν λεία και αξισυμμετρική. Με μόνο δεδομένο την γραμμική ταχύτητα περιστροφής στον ισημερινό ΩR e = 466 m/s θα βρούμε με πόση ταχύτητα πρέπει να πετάξουμε ένα σώμα από το βόρειο πόλο για να φτάσει στο νότιο πόλο. Θα μελετήσουμε γενικά το πρόβλημα, αρχικά στο μη-αδρανειακό σύστημα με αρχή το κέντρο της Γης, άξονα z τον άξονα περιστροφής και άξονες xy που περιστρέφονται με τη Γη. Χρησιμοποιώντας κυλινδρικές συντεταγμένες (z, ϖ, λ) όπου ϖ η απόσταση από τον άξονα και λ η αζιμουθιακή γωνία και αν το σχήμα της Γήινης επιφάνειας είναι z = z(ϖ), η ταχύτητα γράφεται u = żẑ + ϖ ˆϖ + ϖ λˆλ με ż = z ϖ (συμβολίζοντας με z την παράγωγο dz dϖ ). Η εξίσωση κίνησης είναι u = Ωẑ u+g eff +N/m. Η προβολή στην διεύθυνση κάθετα στην επιφάνεια, στη διεύθυνση που βρίσκονται η g eff και η αντίδραση N, δεν μας ενδιαφέρει (θα μας έδιδε το N που απαιτείται να δώσει την κατάλληλη κεντρομόλο επιτάχυνση ώστε το σώμα να ακολουθεί την επιφάνεια της Γης). Η συνιστώσα στην αζιμουθιακή κατεύθυνση ˆλ 1 d είναι ϖ dt (ϖ λ) = Ω ϖ και δίνει το ολοκλήρωμα ϖ ( λ+ω) = σταθερό (το ολοκλήρωμα αυτό αντιστοιχεί στο ολοκλήρωμα της z στροφορμής στο αδρανειακό σύστημα αναφοράς με κέντρο το κέντρο της Γης). Αφού αρχικά το σώμα βρίσκεται στον βόρειο πόλο όπου ϖ = 0 η τιμή του ολοκληρώματος είναι μηδενική και σε κάθε επόμενο χρόνο δίνει λ = Ω λ = Ωt. Η προβολή της εξίσωσης κίνησης πάνω στην ταχύτητα δίνει ολοκλήρωμα ενέργειας u = σταθερό (αναμενόμενο αφού η Coriolis σαν κάθετη στην ταχύτητα δεν αλλάζει την ενέργεια και το ίδιο συμβαίνει για τους όρους g eff, N που είναι κάθετοι στην επιφάνεια της Γης). Αν η αρχική ταχύτητα είναι v 0 τότε το ολοκλήρωμα αυτό γράφεται (1 + z ) ϖ + ϖ Ω = v0. Η εξίσωση αυτή δίνει την σχέση ακτίνας χρόνου για δεδομένο σχήμα z(ϖ), z K fv g eff N/m fu ϖ

20 190 Γεωφυσικά ρευστά 1 + z αφού γράφεται dt = ± dϖ (μαζί με την λ = Ωt καθορίζουν v0 ϖ Ω πλήρως την κίνηση). Ακόμα κι αν δεν γνωρίζουμε όμως το ακριβές σχήμα μπορούμε μέσω αυτής να κατανοήσουμε την τροχιά και να βρούμε τα όριά της. Γράφοντάς την σαν (1 + z ) ϖ = v0 ϖ Ω συμπεραίνουμε ότι καθώς το σώμα απομακρύνεται από τον άξονα περιστροφής η ακτινική ταχύτητά του ϖ μειώνεται και ανάλογα με την τιμή της v 0 έχουμε τα ακόλουθα σενάρια: Αν v 0 < ΩR e τότε το σώμα φτάνει μέχρι κυλινδρική ακτίνα v 0 /Ω και γυρίζει πίσω στον βόρειο πόλο. Ο χρόνος μέχρι να επιστρέψει είναι T ϖ = v0 /Ω 0 dϖ v0/ω ϖ = z v0 ϖ Ω dϖ. Είναι T ϖ v0 /Ω 0 dϖ v 0 ϖ Ω = π και στον χρόνο αυτό η αζιμουθιακή γωνία μεταβάλλεται κατά λ = Ω ΩT ϖ π. Για μικρές αρχικές ταχύτητες η τροχιά περιορίζεται σε περιοχή κοντά στον πόλο και ισχύει συνεχώς z 0 δηλ. η επιφάνεια της Γης μπορεί να θεωρηθεί επίπεδη. Στην περίπτωση αυτή η ϖ = v0 ϖ Ω είναι εξίσωση αρμονικού ταλαντωτή και δίνει ϖ = v 0 Ω sin(ωt). Είναι x = ϖ cos λ = v 0 Ω sin(ωt), y = ϖ sin λ = v 0 Ω + v 0 cos(ωt), δηλ. η κίνηση είναι ομαλή κυκλική με Ω γωνιακή ταχύτητα Ω. Αυτές είναι οι αδρανειακές κινήσεις που αναφέρθηκαν και πριν. (Η παραπάνω λύση ισχύει για t π/ω ώστε να είναι ϖ 0. Στο χρόνο t = π/ω όμως το σώμα γυρνά στην αφετηρία και η κίνηση επαναλαμβάνεται. Η περίοδος των αδρανειακών ταλαντώσεων όπως έχει ήδη αναφερθεί είναι π/f = π/ω.) Για μεγαλύτερες ταχύτητες η καμπύλωση της επιφάνειας της Γης (ισοδύναμα η αλλαγή της συνιστώσας του Ω κάθετα στην επιφάνεια, δηλ. η αλλαγή της παραμέτρου f = Ω ) τροποποιεί την τροχιά. Οπως βρήκαμε είναι T ϖ > π/ω και όταν το σώμα ξαναγυρνά στην αφετηρία έχει διανύσει γωνία λ > π, οπότε η κίνηση δεν είναι ακριβώς περιοδική. Μπορεί να θεωρηθεί προσεγγιστικά κυκλική με το κέντρο του κύκλου να ολισθαίνει κινούμενο κυκλικά γύρω από τον πόλο με γωνιακή ταχύτητα λ π ẑ. T ϖ Αν v 0 > ΩR e τότε το τετράγωνο της πολοοιεδούς ταχύτητας u ϖ + u z = (1 + z ) ϖ + ϖ Ω = v0 μειώνεται όσο αυξάνεται η απόσταση από τον άξονα, αλλά δεν μηδενίζεται ποτέ. Άρα σε αυτή την περίπτωση το σώμα θα φτάσει στον ισημερινό (εκεί ϖ = 0 διότι η κλίση z απειρίζεται) και θα περάσει στο νότιο ημισφαίριο. Εκεί το μέτρο της πολοειδούς ταχύτητας αυξάνει και γίνεται πάλι v 0 όταν το σώμα φτάνει στο νότιο πόλο. Στην οριακή περίπτωση v 0 = ΩR e το σώμα θα πλησιάζει επ άπειρον

21 6. Στοιχεία δυναμικής γεωφυσικών ρευστών 191 τον ισημερινό (γιατί όσο πλησιάζει τόσο ελαττώνεται η πολοειδής ταχύτητα ασυμπτωτικά θα καταλήξει να κινείται κυκλικά πάνω στον ισημερινό με γωνιακή ταχύτητα Ω, δηλ. θα είναι ακίνητο ως προς αδρανειακό παρατηρητή). Η απάντηση στο πρόβλημα λοιπόν είναι ότι πρέπει το σώμα να έχει αρχική ταχύτητα τουλάχιστον ΩR e για να φτάσει στο νότιο πόλο. Ας μελετήσουμε το πρόβλημα και στο αδρανειακό σύστημα αναφοράς με αρχή στο κέντρο της Γης, άξονα z τον άξονα περιστροφής και σταθερούς άξονες xy. Στο σύστημα αυτό η εξίσωση κίνησης είναι u a = g+n/m όπου g η πραγματική επιτάχυνση βαρύτητας, η οποία έχει συνιστώσα πάνω στην επιφάνεια με φορά προς τον άξονα περιστροφής και δρα σαν δύναμη επαναφοράς. Επομένως η αρχική ταχύτητα πρέπει να είναι αρκούντως μεγάλη για να περάσει το σώμα τον λόφο δυναμικού με μέγιστο στον ισημερινό (μετά θα «κατεβαίνει» προς το νότιο πόλο). Αν πετάξουμε αρχικά το σώμα με ταχύτητα v 0ˆx (χωρίς βλάβη της γενικότητας) Π N/m z προφανώς η κίνηση θα γίνεται στο επίπεδο xz και g η ταχύτητα θα είναι u a = ẋˆx + żẑ με ż = z ẋ, όπου x K z = z(x) το σχήμα της Γης I I και z = dz/dx. Υπάρχει προφανώς ολοκλήρωμα ενέργειας u a/+φ g = σταθερό, αλλά το δυναμικό της βαρύτητας δεν είναι γνωστό. Το κλειδί για την λύση είναι να σκεφτούμε ότι η επιφάνεια της Γης έχει διαμορφωθεί από το βάρος και την φυγόκεντρο και είναι ισοδυναμική του ολικού δυναμικού Φ total = Φ g + Φ φ με Φ φ = Ω x. Άρα το ολοκλήρωμα ενέργειας, αντικαθιστώντας Φ g = Φ total + Ω x, δίνει u a + Ω x = σταθερό, ή (1 + z )ẋ + Ω x = σταθερό. Φτάσαμε σε ίδια εξίσωση με αυτή που είχαμε στο περιστρεφόμενο σύστημα αναφοράς (απλά έχουμε x αντί ϖ) η μελέτη από εδώ και στο εξής συνεχίζεται όπως πριν. (Θα μπορούσαμε να σκεφτούμε και με βάση τις δυνάμεις. Η συνιστώσες του βάρους g και της φυγόκεντρου Ω xˆx πάνω στην επιφάνεια πρέπει να αλληλοαναιρούνται. Επομένως η συνιστώσα του βάρους πάνω στην επιφάνεια

22 19 Γεωφυσικά ρευστά είναι ίση με την συνιστώσα της Ω xˆx πάνω στην επιφάνεια. Πολλαπλασιάζοντας με την ταχύτητα την εξίσωση κίνησης καταλήγουμε στο ολοκλήρωμα ενέργειας u a u a = Ω xˆx u a d ( ) u a = Ω xẋ u a dt + Ω x = σταθερό.) Υποθέτοντας ότι η επιτάχυνση βαρύτητας έχει φορά προς το κέντρο της Γης, ισοδύναμα το Φ g είναι συνάρτηση της ακτίνας, θα μπορούσαμε να εκτιμήσουμε την διαφορά ακτίνας στον ισημερινό από τους πόλους. Εστω Π ο πόλος όπου η ακτίνα είναι R p, Ι σημείο του ισημερινού όπου η ακτίνα είναι R e > R p και Ι το σημείο του ισημερινού σε ακτίνα R p. Το ολικό δυναμικό είναι ίδιο στα σημεία Π και Ι, άρα Φ gπ + 0 = Φ gi Ω Re. Ομως λόγω της υπόθεσης ότι το βαρυτικό δυναμικό είναι σταθερό σε κάθε ακτίνα ισχύει Φ gπ = Φ gi και άρα Φ gi Φ gi = Ω Re. Θεωρώντας σταθερό το g στο ευθύγραμμο τμήμα ΙΙ η διαφορά δυναμικού είναι g R και καταλήγουμε στην εκτίμηση R = Ω R e Προκύπτει για τη Γη R 10 km. R e g Αν αυτό ήταν ακριβές, η απάντηση στο πρόβλημα θα ήταν ότι η αρχική κινητική ενέργεια ανά μάζα πρέπει να είναι μεγαλύτερη της διαφοράς δυναμικού, δηλ. mv 0 > mg R. Η πραγματική διαφορά ακτίνων είναι R = 1 km, που σημαίνει ότι η υπόθεση ότι η επιτάχυνση βαρύτητας έχει φορά προς το κέντρο δεν είναι ακριβής (παρότι είναι αρκετή για τάξης μεγέθους υπολογισμό). Παράδειγμα 6.: Ο Ascher Shapiro ασχολήθηκε με την Coriolis κάνοντας πειράματα σε κυλινδρική δεξαμενή γεμάτη νερό που αδειάζει μέσω μιας μικρής οπής στο κέντρο του πυθμένα της. Παρότι η επίδραση της Coriolis είναι πολύ μικρή και συνήθως σε κλίμακες εργαστηρίου επικαλύπτεται από άλλους παράγοντες, όπως την μικρή αρχική στροφορμή του ρευστού, τις ατέλειες των δοχείων ή διαταραχές που δημιουργούν κύματα, όπως κίνηση του αέρα, ανομοιογένειες θερμοκρασίας, ο Shapiro κατάφερε να μειώσει αυτούς τους παράγοντες σε βαθμό που αναγνώρισε την επίδραση της Coriolis. Μπορείτε να δείτε το σχετικό video "Vorticity, Part 1" και τις σχετικές "Film Notes" από την ιστοσελίδα (στο video μιλάει ο Shapiro και περιγράφει το πείραμα από το χρόνο 19:49 και μετά). Αν R η ακτίνα της δεξαμενής, h(t) το ύψος του νερού με h 0 την αρχική του τιμή και r d η ακτίνα της οπής, η κατάλληλη περιγραφή της ροής στο πολοειδές (κατακόρυφο) επίπεδο ϖz, σε κυλινδρικές ακτίνες μεγαλύτερες της r d, αγνοώντας το ιξώδες και την δύναμη Coriolis στο επίπεδο αυτό, είναι

23 6. Στοιχεία δυναμικής γεωφυσικών ρευστών 193 u p = ḣ ( R ) h ϖ ϖ ˆϖ + ḣ zẑ. Το παραπάνω πολοειδές πεδίο είναι αστρό- h βιλο και αντιστοιχεί σε συνάρτηση ροής Ψ = ḣ h z ( ϖ R ) και δυναμικό Φ = ḣ (R ln ϖ 1 ) h ϖ + z, το οποίο ικανοποιεί την εξίσωση Laplace. Ικανοποιεί επίσης τις οριακές συνθήκες u = 0 τόσο στον πυθμένα z = 0 όσο και στην κυλινδρική επιφάνεια της δεξαμενής ϖ = R. Το ύψος h(t) σε κάθε χρόνο καθορίζεται μέσω της παροχής: πrd gh = ( πr ( ḣ) h = h 0 1 t ), όπου t 0 = R h0 ο χρόνος που αδειάζει η t 0 rd g δεξαμενή. (Η ταχύτητα εξόδου του νερού από την οπή είναι gh, αφού η πίεση στην οπή είναι η ατμοσφαιρική, όση και στην ελεύθερη επιφάνεια της δεξαμενής.) Η έστω και πολύ αμυδρή αζιμουθιακή συνιστώσα της επιτάχυνσης Coriolis fẑ u = fu ϖ ˆφ θα δημιουργήσει μια μικρή αζιμουθιακή ταχύτητα u φ, η οποία μπορεί να βρεθεί από την αντίστοιχη συνιστώσα της εξίσωσης ορμής. Ευκολότερα μπορεί να βρεθεί μέσω του θεωρήματος Kelvin. Εστω μια στήλη του νερού που αρχικά έχει οριζόντια διατομή δa και ύψος h 0. Καθώς περνά ο χρόνος η στήλη μετατοπίζεται σε μικρότερες ακτίνες μέσα στην δεξαμενή, το ύψος της γίνεται μικρότερο h(t) και η διατομή της αυξάνεται σε h 0 δa ώστε ο όγκος της να μείνει ίδιος (θεωρώντας το νερό ασυμπίεστο h(t) ρευστό). Σύμφωνα με το θεώρημα Kelvin η ροή του απόλυτου στροβιλισμού h 0 ζ a = ζ + Ω παραμένει σταθερή, δηλ. (ζ + Ω) δa ẑ = σταθερό, ή h(t) ισοδύναμα ζ z + f = σταθερό. (Αυτή η ποσότητα λέγεται δυναμικός στροβιλισμός και η διατήρησή της θα εξεταστεί αναλυτικά στο κεφάλαιο 6.3.5). h Αρχικά είναι ζ z = 0 οπότε το παραπάνω ολοκλήρωμα γράφεται ζ z + f = ) h f ζ z = f (1 hh0. h 0 Η έκφραση του κατακόρυφου στροβιλισμού είναι ζ z = ẑ ( u) = 1 (ϖu φ ) ϖ ϖ, οπότε 1 ) (ϖu φ ) (1 ϖ ϖ = f hh0 C(z, t) u φ = ϖ fϖ ) (1 hh0. Η σταθερά προσδιορίζεται από την συνθήκη u φ ϖ=r = 0, αφού στην ακτίνα αυτή η επιτάχυνση Coriolis είναι μηδενική και άρα δεν δημιουργείται περιστροφή. Ετσι καταλήγουμε στην λύση u φ = f ( ) ) R (1 ϖ ϖ hh0.

24 194 Γεωφυσικά ρευστά Συνήθως σε παρόμοια πειράματα ρίχνουμε χρώματα μέσα στο ρευστό για να διαπιστώσουμε την κίνηση. Για να συγκρίνουμε θεωρία πείραμα πρέπει να βρούμε τις τροχιές που αντιστοιχούν στο πεδίο ταχύτητας που προέκυψε, το οποίο γράφεται u = z 1 ( ) R t 0 tẑ t 0 t ϖ ϖ ˆϖ+ ft ( 1 t ) ( R ) t 0 t 0 ϖ ϖ ˆφ. Λύνοντας τις διαφορικές εξισώσεις ż = u z, ϖ = u ϖ και ϖ φ = u φ με αρχικές ( συνθήκες z 0, ϖ 0, φ 0, προκύπτουν z = z 0 1 t ) A, ϖ = R 1 t 0 (1 t/t 0 ) t και φ = φ 0 + ft 0A t A t 0 A ln (1 + A)t 0 t, όπου A = 1 ϖ 0 1 R. (1 A)t 0 Οι παραπάνω ισχύουν μέχρι την κεντρική περιοχή πάνω από την οπή, δηλ. μέχρι ακτίνες r d. Το κάτω αριστερά σχήμα δείχνει στο χρόνο 30 λεπτά τις θέσεις των σωματίων που ξεκίνησαν από τους άξονες. Παρότι μικρές, οι μετατοπίσεις λόγω της περιστροφικής ταχύτητας είναι εμφανείς. Το δεξιά σχήμα δείχνει τις ταχύτητες συναρτήσει της κυλινδρικής ακτίνας σε διάφορους χρόνους. y(m) t=30 u(m/s) u z (t=5 ) u z (t=0 ) u z (t=30 ) u ϖ (t=5 ) u ϖ (t=0 ) u ϖ (t=30 ) u φ (t=5 ) u φ (t=0 ) u φ (t=30 ) x(m) Μια εκτίμηση για τον αριθμό Reynolds Re = UL ν ϖ(m) προκύπτει αν θέσουμε τυπική ακτινική ταχύτητα U R/t 0, οπότε Re = ν h 0 /g. Ο συντελεστής κινηματικού ιξώδους του νερού σε θερμοκρασία δωματίου είναι ν 10 6 m /s και ο αριθμός Reynolds προκύπτει μεγαλύτερος του 100, άρα το ιξώδες δεν είναι σημαντικό. Επίσης ο αριθμός Rossby για την ακτινική κίνηση του ρευστού είναι Ro = U fl 1 1 επομένως η Coriolis δεν επηρεάζει την κίνηση στο πολοειδές ft 0 επίπεδο. r d

25 6. Στοιχεία δυναμικής γεωφυσικών ρευστών Η προσέγγιση f-επιπέδου και β-επιπέδου Για να περιγράψουμε ροές πολύ μεγάλης κλίμακας κοντά στην επιφάνεια της Γης δεν είναι βολικές οι καρτεσιανές συντεταγμένες xyz που έχουμε ορίσει, γιατί το επίπεδο xy είναι απλά εφαπτόμενο στη Γη στον τόπο Ο αλλά δεν ακολουθεί την επιφάνεια. Μπορούμε αντί των ˆx, ŷ, ẑ να χρησιμοποιήσουμε τα μοναδιαία που ακολουθούν την κίνηση ˆλ (πάνω στον κάθε παράλληλο και σε κάθε σημείο προς την ανατολή), ˆϕ (πάνω στον κάθε μεσημβρινό και σε κάθε σημείο προς το βορρά), ˆr β (αντίθετα του g σε κάθε σημείο). Αυτά αντιστοιχούν στις σφαιρικές συντεταγμένες λ, ϕ, r β σε σύστημα με κέντρο το κέντρο της Γης, άξονα ẑ β = ẑ πάνω στον άξονα περιστροφής και άξονες x β y β που περιστρέφονται μαζί της, δηλ. ˆλ = sin λˆx β +cos λŷ β, ˆϕ = sin ϕ cos λˆx β sin ϕ sin λŷ β + cos ϕẑ β, ˆr β = cos ϕ cos λˆx β +cos ϕ sin λŷ β +sin ϕẑ β. Μπορούμε να επιλέξουμε τον άξονα x β να περνά από τον πρώτο μεσημβρινό (που περνάει από το Greenwich). Τα μοναδιαία του καρτεσιανού συστήματος Οxyz αντιστοιχούν στα μοναδιαία των σφαιρικών συντεταγμένων υπολογισμένα στον τόπο Ο, ο οποίος έχει γεωγραφικό πλάτος ϕ 0 και γεωγραφικό μήκος λ 0, δηλ. είναι ˆx = ˆλ 0 = sin λ 0ˆx β + cos λ 0 ŷ β, ŷ = ˆϕ 0 = sin ϕ 0 cos λ 0ˆx β sin ϕ 0 sin λ 0 ŷ β + cos ϕ 0 ẑ β, ẑ = ˆr β0 = cos ϕ 0 cos λ 0ˆx β + cos ϕ 0 sin λ 0 ŷ β + sin ϕ 0 ẑ β. Η θέση κάθε σημείου στο σύστημα αυτό είναι r β = r βˆr β. Ισχύει r β = r 0 + r με r 0 = R ˆr β0 και r = xˆλ 0 + y ˆϕ 0 + zˆr β0, οπότε, θεωρώντας τη Γη σφαιρική, προκύπτουν οι σχέσεις x = (r β r 0 ) ˆλ 0 = r β cos ϕ sin(λ λ 0 ), y = (r β r 0 ) ˆϕ 0 = r β [cos ϕ 0 sin ϕ sin ϕ 0 cos ϕ cos(λ λ 0 )], z = (r β r 0 ) ˆr β0 = r β [sin ϕ 0 sin ϕ + cos ϕ 0 cos ϕ cos(λ λ 0 )] R. Η ταχύτητα είναι u = uˆλ + v ˆϕ + wˆr β με τις συνιστώσες να γράφονται κατά Lagrange u = r β cos ϕ λ, v = r β ϕ, w = ṙ β. Ομοια η επιτάχυνση είναι a = a λˆλ+aϕ ˆϕ+a rˆr β με τις συνιστώσες να γράφονται κατά Lagrange (a = u) a λ = r β λ cos ϕ + ṙβ λ cos ϕ rβ ϕ λ sin ϕ, a ϕ = r β ϕ + ṙ β ϕ r λ β sin ϕ cos ϕ, a r = r β r β ϕ r λ β cos ϕ, και κατά Euler (a = u + (u )u) t a λ = u t + u u r β cos ϕ λ + v u r β ϕ + w u + uw vu sin ϕ r β r β r β cos ϕ, a ϕ = v t + u v r β cos ϕ λ + v v r β ϕ + w v + vw + u sin ϕ r β r β r β cos ϕ, a r = w t + u w r β cos ϕ λ + v w r β ϕ + w w u + v. r β r β Η επιτάχυνση Coriolis σε αυτό το σύστημα γράφεται a c = Ω u =

26 196 Γεωφυσικά ρευστά (fv f w)ˆλ fu ˆϕ+f uˆr β, όπου οι παράμετροι f = Ω sin ϕ και f = Ω cos ϕ είναι συναρτήσεις της θέσης. Οπως έχουμε πει το σημαντικό μέρος της το οποίο κρατάμε στη μελέτη γεωφυσικών ρευστών είναι a c = Ω u, όπου Ω η προβολή της Ω κάθετα στη Γη σε κάθε σημείο, δηλ. a c = fvˆλ fu ˆϕ. Οι συνιστώσες της εξίσωσης ορμής a = (1/ρ) P + g + a c + g ν είναι du dt + uw vu tan ϕ = 1 1 P r β r β ρ r β cos ϕ λ + fv + g ν ˆλ, (6.17) dv dt + vw + u tan ϕ = 1 1 P r β r β ρ r β ϕ fu + g ν ˆϕ, (6.18) dw dt u + v = 1 P g + g ν ˆr β, r β ρ r β (6.19) όπου d dt = t + u r β cos ϕ λ + v r β ϕ + w. r β Η εξίσωση συνέχειας γράφεται 1 dρ ρ dt + 1 r β cos ϕ u λ + 1 u r β ϕ + w v tan ϕ r β r β + w r β = 0. (6.0) Μπορούμε να απλοποιήσουμε τις παραπάνω εκφράσεις αναπτύσσοντάς τις ως προς λ λ 0, ϕ ϕ 0, r β R R και να κρατήσουμε όρους κατάλληλης τάξης για την ακρίβεια που θέλουμε. Ορίζοντας X = R cos ϕ 0 (λ λ 0 ), Y = R (ϕ ϕ 0 ), Z = r β R και κρατώντας μέχρι πρώτης τάξης όρους καταλήγουμε στην εξίσωση συνέχειας 1 dρ ρ dt + ( 1 + Y tan ϕ 0 Z R ) u X + και στις συνιστώσες της εξίσωσης ορμής du dt + uw vu tan ϕ 0 = 1 ( R ρ dv dt + vw + u tan ϕ 0 R ( 1 + Y tan ϕ 0 Z = 1 ρ 1 Z R ) u Y + w Z = 0, (6.1) R ( dw dt u + v ) P X + fv + g ν ˆλ, (6.) 1 Z R ) P Y fu + g ν ˆϕ, (6.3) R όπου d dt = ( t + u 1 + Y tan ϕ ) 0 Z R X + v ) (φ 0 + YR συχνότητα Coriolis είναι f = Ω sin = 1 P ρ Z g + g ν ˆr β,(6.4) ( 1 Z ) R Y + w Z και η = Ω sin φ 0 + Ω cos φ 0 Y R.

27 6. Στοιχεία δυναμικής γεωφυσικών ρευστών 197 Ουσιαστικά επιστρέψαμε σε εξισώσεις παρόμοιες με αυτές που είχαμε στο καρτεσιανό σύστημα Οxyz. Τώρα όμως το επίπεδο xy ακολουθεί την επιφάνεια της Γης και οι νέες συντεταγμένες X = R cos ϕ 0 (λ λ 0 ), Y = R (ϕ ϕ 0 ), Z = r β R δεν είναι ακριβώς ίδιες με τις x, y, z. Αναπτύσσοντας τις γνωστές σχέσεις των x, y, z με τα λ, ϕ, r β μέχρι δεύτερη τάξη προκύπτουν οι σχέσεις x = X XY tan ϕ 0 R z = Z X + Y. Επίσης οι ταχύτητες R + XZ, y = Y + X tan ϕ 0 + Y Z, R R R Ẋ, Ẏ, Ż είναι λίγο διαφορετικές από τις u, v, w. Χρησιμοποιώντας ( την έκφραση d/dt που δίνεται παραπάνω βρίσκουμε Ẋ = u 1 + Y tan ϕ ) ) 0 Z, Ẏ = v (1 ZR, Ż = w. R Αν στις παραπάνω αγνοήσουμε την καμπυλότητα της Γης, δηλ. όρους ανάλογους του 1/R (κάτι που είναι λογικό γιατί αν U είναι η κλίμακα ταχύτητας του ρευστού στην εξίσωση ορμής οι όροι αυτοί είναι κατά U = ΩR U 1 μικρότεροι από τον όρο της Coriolis) και θεωρήσουμε την συχνότητα Coriolis σταθερή και ίση με την τιμή της στον τόπο Ο, δηλ. θέσουμε 466 m/s f = f 0 = Ω sin ϕ 0, τότε ακολουθούμε την επονομαζόμενη προσέγγιση f- επιπέδου. (Οι εξισώσεις είναι ίδιες με αυτές στο καρτεσιανό σύστημα Οxyz.) Για μελέτες γεωφυσικών ρευστών σε μεγάλες κλίμακες είναι σημαντική όχι μόνο η επίδραση της περιστροφής, αλλά και οι μεταβολές της σε σχέση με το γεωγραφικό πλάτος. Μπορούμε να κρατήσουμε και την πρώτη διόρθωση στην συχνότητα Coriolis, δηλ. να θέσουμε f = Ω sin φ 0 + Ω cos ϕ 0 R Y, ή, f = f 0 + β 0 Y, όπου η παράμετρος β σε κάθε πλάτος είναι β = Ω cos ϕ R β 0 η τιμή της στον τόπο Ο. Για τη Γη είναι β = cos φ m 1 s 1. Θέτοντας f = f 0 + β 0 Y ακολουθούμε την επονομαζόμενη προσέγγιση β-επιπέδου. Από εδώ και στο εξής, όποτε χρησιμοποιούμε την προσέγγιση f ή β- επιπέδου θα αντικαθιστούμε τα X, Y, Z με x, y, z για απλούστευση. και 6..4 Η επίδραση της στρωμάτωσης Σε ένα στρωματωμένο ρευστό, δηλ. με μεταβολές πυκνότητας με το ύψος, η βαρύτητα προσπαθεί να κατατάξει τις διάφορες πυκνότητες τοποθετώντας τις μεγαλύτερες χαμηλότερα. Σε αυτό γενικά αντιτίθενται οι κινήσεις του ρευστού και η διαμάχη αυτή είναι σημαντικό στοιχείο στην δυναμική των ρευστών.

28 198 Γεωφυσικά ρευστά Οι σχετικές μεταβολές πυκνότητας στα γεωφυσικά ρευστά, τόσο στον ωκεανό όσο και στην ατμόσφαιρα, είναι συνήθως πολύ μικρές στις κλίμακες που μας ενδιαφέρουν. Δηλ. η πυκνότητα είναι περίπου σταθερή ρ 0 και οι μεταβολές της είναι ρ ρ 0, κάτι που καλείται προσέγγιση Boussinesq. Η διατήρηση μάζας στην εξίσωση συνέχειας μπορεί να αντικατασταθεί από την διατήρηση όγκου, δηλ. ισχύει u = 0. Οπως θα δούμε παρακάτω οι έστω και μικρές αλλαγές στην πυκνότητα επηρεάζουν την δυναμική, οπότε η προσέγγιση Boussinesq δεν σημαίνει ότι το ρευστό είναι αυστηρά ασυμπίεστο. Γενικά, αν απλοποιήσουμε την εξίσωση συνέχειας θεωρώντας την πυκνότητα σταθερή, αποκλείουμε τα ηχητικά κύματα. Γι αυτό η προσέγγιση πρέπει να χρησιμοποιείται μόνο όταν οι χρονικές κλίμακες που μας ενδιαφέρουν είναι πολύ μεγαλύτερες από την περίοδο των ηχητικών κυμάτων. Επίσης οι ταχύτητες του ρευστού πρέπει να είναι κατά πολύ μικρότερες από την ταχύτητα του ήχου. Αυτό φαίνεται αν γράψουμε την εξίσωση συνέχειας σαν u = d ln ρ και συνδέσουμε τις μεταβολές πυκνότητας με μεταβολές πίεσης μέσω συντελεστή συμπιεστότητας P = 1 ρ ή ισοδύναμα με dt βρ 0 την ταχύτητα του ήχου P = c ρ. Οι μεταβολές της πίεσης με τη σειρά τους συνδέονται με την ταχύτητα του ρευστού μέσω της εξίσωσης ορμής, U ρ 0 L/U P L, ή, P ρ 0U. Ετσι προκύπτει ρ P ρ 0 ρ 0 c U και ο c u λόγος d ln ρ/dt U/L (U /c )/T c. Οι μεταβολές πυκνότητας λοιπόν που U δημιουργούν οι κινήσεις του ρευστού είναι μικρές και ο όρος d ln ρ/dt στην εξίσωση συνέχειας μπορεί να αγνοηθεί αν οι ταχύτητες είναι υποηχητικές. Επίσης, σε περιπτώσεις που ισχύει υδροστατική ισορροπία η προσέγγιση Boussinesq δεν μπορεί να εφαρμοστεί σε κατακόρυφες χωρικές κλίμακες στις οποίες οι μεταβολές της πίεσης συνεπάγονται σημαντικές μεταβολές πυκνότητας. Σε μια τέτοια περίπτωση είναι P ρ 0 g z και αυτές οι μεταβολές πίεσης δημιουργούν μεταβολές πυκνότητας ρ P/c g z. Επομένως η πυκνότητα δεν μπορεί να θεωρηθεί σταθερή σε κατακόρυφες χωρικές κλίμακες συγκρίσιμες ή μεγαλύτερες από την κλίμακα ύψους υδροστατικής ισορροπίας H c /g. Σε περίπτωση υγρών όπως π.χ. στον ωκεανό, η πυκνότητα δεν εξαρτάται από την πίεση, αλλά κυρίως από την θερμοκρασία (ελαττώνεται σε υψηλότερες θερμοκρασίες λόγω θερμικής διαστολής) και την αλατότητα (πιο αλμυρό νερό έχει μεγαλύτερη πυκνότητα). Για να μην δημιουργούνται μεγάλες μεταβολές πυκνότητας και να ισχύει η προσέγγιση Boussinesq πρέπει οι μεταβολές θερμοκρασίας και αλατότητας να είναι αρκούντως μικρές. Το πόσο μικρές ρ 0 ρ 0 c

29 6. Στοιχεία δυναμικής γεωφυσικών ρευστών 199 καθορίζεται από τις τιμές του συντελεστή θερμικής διαστολής α = d ln ρ dt και του συντελεστή συμπίεσης λόγω αλατότητας β = d ln ρ όπου S η αλατότητα. Πρέπει να ισχύουν T 1 a και S 1. Τυπικές τιμές για ds β το θαλασσινό νερό είναι a = 10 4 K 1 και β = 10 3, S 35 γραμμάρια αλατιού ανά κιλό νερού. Αν η πυκνότητα είναι αυστηρά σταθερή τότε η βαρύτητα δεν επηρεάζει την δυναμική, αφού αρκεί ένας όρος στην πίεση ( ρ 0 Φ g ) για να την εξουδετερώσει. Ακόμα όμως και μικρές μεταβολές της πυκνότητας μπορούν να είναι σημαντικές αφού συνεπάγονται δυνάμεις ανά όγκο ρ g που οφείλονται στη συνισταμένη άνωσης και βαρύτητας. Αυτές μπορούν να γραφούν ρ 0 g όπου g = g ρ είναι η «ελαττωμένη βαρύτητα». ρ 0 Μια πρώτη εφαρμογή της στρωμάτωσης συναντήσαμε ήδη στα κύματα βαρύτητας και γενικότερα στις διαταραχές μεταξύ δύο ρευστών σε επαφή που μελετήσαμε στο κεφάλαιο 4. Τα δύο ρευστά σε αυτές τις περιπτώσεις είναι ασυμπίεστα, αλλά με διαφορετική πυκνότητα. Παρότι στο εσωτερικό κάθε στατικού ρευστού η βαρύτητα απλά τροποποιεί την πίεση, στην επιφάνεια επαφής όπου η πυκνότητα αλλάζει κατά ρ ρ 1 η στρωμάτωση επηρεάζει σημαντικά την δυναμική. Σε ένα ρευστό με κλίμακα ύψους H και διαταραχές στην πυκνότητα ρ, τυπικές διαταραχές της στρωμάτωσης αποτελούν μετακινήσεις ρευστού πυκνότητας ρ 0 + ρ που κατεβαίνει κατά H και ανταλλάζει θέση με ρευστό πυκνότητας ρ 0 που ανεβαίνει κατά H. Το άθροισμα των μεταβολών δυναμικής ενέργειας ανά όγκο είναι ρ gh. Η ενεργειακή αυτή πυκνότητα μπορεί να μεταβάλει ισόποσα την πίεση και μέσω οριζόντιων κλίσεων της πίεσης να μεταφερθεί στις οριζόντιες κινήσεις που χαρακτηρίζονται από πυκνότητα ενέργειας ρ 0 U. Και το αντίστροφο είναι βέβαια δυνατό, δηλ. να μεταφερθεί ενέργεια από τις οριζόντιες κινήσεις στην βαρυτική δυναμική ενέργεια ανεβάζοντας πυκνότερα μέρη και κατεβάζοντας αραιότερα. Το αν λοιπόν η στρωμάτωση είναι σημαντική καθορίζεται από τον λόγο αυτών των ενεργειακών πυκνοτήτων, που ονομάζεται αριθμός Richardson ρ gh ρ0 U Ri =. Ισοδύναμα, από τον αριθμό Froude F r = ρ 0 U ρ gh. Σε ένα συνεχές ρευστό όπου η πυκνότητα αλλάζει με το ύψος σε χωρική κλίμακα H η οποία καθορίζεται από την υδροστατική ισορροπία (H c /g) ο αριθμός Froude συνήθως γράφεται μέσω της συχνότητας Brunt-Väisälä N το τετράγωνο της οποίας ορίζεται σαν N = g ρ 0 dρ dz (στο παράδειγμα 6.3 θα

30 00 Γεωφυσικά ρευστά δούμε την φυσική της σημασία). Αντικαθιστώντας ρ N ρ 0 H ο αριθμός g Froude γράφεται F r = U NH. Σε περιπτώσεις όπου F r 1 η στρωμάτωση είναι σημαντική με την έννοια ότι η βαρύτητα προβάλει σημαντική αντίσταση στις κατακόρυφες ανταλλαγές βαρύτερων με ελαφρύτερα μέρη του ρευστού που προσπαθεί να επιβάλει το πεδίο ταχύτητας και συνοδεύονται με μεταβολή της βαρυτικής δυναμικής ενέργειας. Αν F r 1 το πεδίο ταχύτητας κυριαρχεί η δυναμική ενέργεια αλλάζει σε κόστος ασήμαντου μέρους της κινητικής ενέργειας. Αν F r 1 τότε δεν υπάρχει αρκετή κινητική ενέργεια για να μεταβάλλει την δυναμική ενέργεια και υπάρχει κατακόρυφη μόνιμη στρωμάτωση (αν υπάρχουν διαφορετικές πυκνότητες τότε το ελαφρύτερο ρευστό είναι πάνω από βαρύτερο και δεν υπάρχει διαθέσιμη ενέργεια για να αλλάξει αυτή η κατακόρυφη κατανομή πυκνοτήτων). Π.χ. σε θαλάσσιο ρεύμα (ρ 0 = 108 kg/m 3, g = 9.8 m/s ) με U = 0.1 m/s και μεταβολές πυκνότητας ρ = 1 kg/m 3 σε βάθος H = 100 m είναι F r = 0.1. Μια ενδιαφέρουσα περίπτωση για τα γεωφυσικά ρευστά εμφανίζεται όταν η στρωμάτωση και η περιστροφή έχουν σημαντική και ίση επίδραση στην δυναμική, δηλ. όταν F r = 1 και Ro = 1. Συνδυάζοντας τις σχέσεις ρ 0U ρ gh 1 U και 1 προκύπτει ότι ο συνδυασμός περιστροφής και βαρύτητας σε ένα ΩL ρευστό με δεδομένη σχετική μεταβολή πυκνότητας ρ/ρ 0 σε κλίμακα ύψους ρ H δημιουργεί ροές με ταχύτητες της τάξης U gh σε οριζόντια κλίμακα L 1 ρ 0 ρ gh. Ω ρ 0 Θέτοντας χαρακτηριστικές τιμές για την ατμόσφαιρα ρ 0 = 1. kg/m 3, ρ = 0.03 kg/m 3, H = 5 km προκύπτουν U 35 m/s και L 500 km. Ομοια για τον ωκεανό με ρ 0 = 108 kg/m 3, ρ = kg/m 3, H = 1 km προκύπτουν U 4 m/s και L 60 km. Στην προσέγγιση Boussinesq μπορούμε να γράψουμε μια απλοποιημένη μορφή της εξίσωσης ορμής. Η πυκνότητα που προκύπτει από την υδροστατική ισορροπία μπορεί να είναι συνάρτηση του ύψους, που όμως αλλάζει αργά στις κλίμακες που μας ενδιαφέρουν γύρω από μια τυπική τιμή ρ 0. Η πυκνότητα βαρυτικής δύναμης γράφεται ρg = ρ 0 g + ρ g = ρ 0 Φ g + ρ 0 g, όπου g = ρ ρ 0 g. Ο πρώτος όρος γράφεται (ρ 0 Φ g ) και απορροφάται στην πίεση, οπότε το άθροισμα των πυκνοτήτων δύναμης πίεσης και βαρύτητας γράφεται

31 6. Στοιχεία δυναμικής γεωφυσικών ρευστών 01 P + ρ 0 g με P = P + ρ 0 Φ g = P + ρ 0 gz. Οπουδήποτε αλλού υπάρχει πυκνότητα στην εξίσωση ορμής μπορεί να αντικατασταθεί με ρ 0. Ετσι γράφουμε την εξίσωση ορμής du dt = P + g + a c + g ν. ρ 0 Το σύστημα κλείνει μέσω της εξίσωσης d(ρ 0 + ρ) = 0 η οποία εκφράζει dt το γεγονός ότι η πυκνότητα σε κάθε μέρος του ρευστού παραμένει σταθερή (γενικά όμως είναι διαφορετική σε διαφορετικά μέρη του ρευστού). Αυτή η εξίσωση μπορεί να ιδωθεί και σαν εξίσωση ενέργειας όταν δεν είναι σημαντικές οι ροές θερμότητας λόγω ιξώδους και θερμικής αγωγιμότητας, οπότε η θερμοκρασία είναι σταθερή. Η πυκνότητα είναι πρακτικά συνάρτηση της θερμοκρασίας επομένως η σταθερότητα της θερμοκρασίας σημαίνει σταθερότητα και της πυκνότητας. Αυτό συμβαίνει στον ωκεανό όπου η πυκνότητα αλλάζει μέσω θερμικής διαστολής (υπάρχει και εξάρτηση από την αλατότητα της οποίας η διάχυση μπορεί να αλλάζει την πυκνότητα μιας υδάτινης μάζας καθώς κινείται, αλλά αυτό μπορεί να αγνοηθεί στην προσέγγιση Boussinesq). Συμβαίνει και στην ατμόσφαιρα όπου οι αέριες μάζες υπόκεινται σε αδιαβατικές μεταβολές στις οποίες P ρ γ ρ T 1/(γ 1). Στην τελευταία περίπτωση συνεπάγεται και σταθερότητα της πίεσης που δεν μπορεί να ισχύει στις κλίμακες της υδροστατικής ισορροπίας. Οπως όμως έχουμε ήδη πει η προσέγγιση Boussinesq δεν μπορεί ούτως ή άλλως να εφαρμοστεί σε κατακόρυφες κλίμακες της τάξης του H c /g k B T/mg (για τυπικές τιμές στην ατμόσφαιρα H 10 km). Συνοψίζοντας, οι εξισώσεις που περιγράφουν την δυναμική στην προσέγγιση Boussinesq είναι η διατήρηση μάζας u = 0, η εξίσωση ορμής du dt = P + g + a c + g ν και η εξίσωση ενέργειας d(ρ 0 + ρ) = 0. ρ 0 dt Παράδειγμα 6.3: Εστω ένα ασυμπίεστο ρευστό σε υδροστατική ισορροπία μέσα σε ομογενές πεδίο βαρύτητας g = gẑ. Υπάρχει στρωμάτωση, δηλ. η πυκνότητα του ρευστού είναι μια δεδομένη, φθίνουσα συνάρτηση του ύψους ρ(z). Θέλουμε να μελετήσουμε την ευστάθεια των κατακόρυφων μετακινήσεων. Εστω ένα μέρος του ρευστού ανεβαίνει λίγο από τη θέση z στην θέση z + ξ. Παρότι στη νέα θέση η πίεση είναι διαφορετική (είναι μικρότερη κατά ρgξ όπως προκύπτει από την εξίσωση υδροστατικής ισορροπίας dp dz = ρg) η πυκνότητα δεν αλλάζει λόγω της υπόθεσης της ασυμπιεστότητας. Αν τ ο όγκος του ρευστού που μετατοπίστηκε η δύναμη που δέχεται στη νέα θέση είναι η συνισταμένη του βάρους του ρ(z)τg και της άνωσης ρ(z + ξ)τg (ίση κατά μέτρο με το βάρος του ρευστού που εκτοπίστηκε). Άρα η εξίσωση κίνησής του είναι ρ(z)τ ξ = ρ(z)τg + ρ(z + ξ)τg = dρ dz ξτg, ή, ξ + N ξ = 0 με

32 0 Γεωφυσικά ρευστά N = g dρ ρ dz. Το ρευστό είναι ευσταθές σε τέτοιες μετακινήσεις αν N > 0, το οποίο ισχύει αν είναι στρωματωμένο με τα βαρύτερα μέρη κάτω και τα ελαφρύτερα πάνω, όπως αναμέναμε. Προκύπτει ταλαντωτική κίνηση με συχνότητα N = g dρ, η οποία λέγεται συχνότητα στρωμάτωσης, ή συχνότητα ρ dz Brunt-Väisälä Ανάλυση κλίμακας Αρκετές φορές στα προηγούμενα κεφάλαια έχουν αναφερθεί διάφοροι αδιάστατοι αριθμοί και έχει σχολιαστεί το πως χαρακτηρίζουν ένα ρευστό επίσης στο κεφάλαιο 3..1 αναφέρθηκε η χρησιμότητα της διαστατικής ανάλυσης. Είναι γενικά πολύ σημαντικό να αναγνωρίσουμε σε κάθε φαινόμενο τους κυρίαρχους μηχανισμούς και να ξεχωρίσουμε τους αντίστοιχους όρους στις εξισώσεις που περιγράφουν την δυναμική του ρευστού, εκτιμώντας την σχετική τους σημασία μέσω διαστατικής ανάλυσης. Αυτό είναι συνήθως δυνατό, αφού οι πλήρεις εξισώσεις περιγράφουν πληθώρα φαινομένων και προφανώς δεν συμμετέχουν εξίσου όλες οι διαδικασίες που περιγράφουν οι διάφοροι ό- ροι. Με αυτόν τον τρόπο μπορούμε να απλοποιήσουμε το πρόβλημα και να καταλάβουμε τα γενικά χαρακτηριστικά του ρευστού χωρίς να λύσουμε τις πλήρεις εξισώσεις (κάτι που είναι εξαιρετικά δύσκολο λόγω της πολυπλοκότητάς τους) αρκετές φορές χωρίς να λύσουμε ούτε τις απλοποιημένες. Καταρχήν πρέπει να καταλάβουμε ποια είναι η κλίμακα των ποσοτήτων που περιγράφουν το ρευστό, μήκους, χρόνου, ταχύτητας σε κάθε κατεύθυνση, κ.λ.π. και μετά να εκτιμήσουμε τους όρους των εξισώσεων. Μπορούμε να ορίσουμε αδιάστατες ποσότητες διαιρώντας όρους της ίδιας εξίσωσης, πολλοί από τους οποίους έχουν ιδιαίτερη φυσική σημασία και χαρακτηρίζουν ένα ρευστό. Εκτιμώντας ποιοι όροι είναι αμελητέοι απλοποιούμε τις εξισώσεις και στη συνέχεια προσπαθούμε να τις λύσουμε για το εκάστοτε συγκεκριμένο πρόβλημα. Αν αυτό παραμένει δύσκολο (όπως συμβαίνει συνήθως) μπορούμε να ψάξουμε για απλές λύσεις ισορροπίας και να τις διαταράξουμε ψάχνοντας για κυματικές λύσεις (ή αστάθειες). Αυτό είναι σημαντικό και απαραίτητο βήμα ακόμα και αν τελικά λύσουμε το πρόβλημα αριθμητικά (κάτι που έχει τις δικές του δυσκολίες). Τα γεωφυσικά ρευστά χαρακτηρίζονται από οριζόντια χωρική κλίμακα L και ταχύτητα U, ίδια σε γενικές γραμμές στις δύο κατευθύνσεις ανατολήςδύσης και βορρά-νότου. Λέγοντας κλίμακα δεν εννοούμε την έκταση αλλά την

33 6. Στοιχεία δυναμικής γεωφυσικών ρευστών 03 χωρική απόσταση στην οποία αλλάζει σημαντικά το ρευστό, με άλλα λόγια την απόσταση μέσω της οποίας εκτιμούμε την παράγωγο x 1 L, y 1 L. Η κατακόρυφη χωρική κλίμακα H είναι πολύ μικρότερη, δηλ. H L. Τυπικές τιμές για τον ωκεανό είναι L 10 km, H 100 m, U 0.1 m/s και για την ατμόσφαιρα L 100 km, H 1 km, U 10 m/s. Η κατακόρυφη ταχύτητα είναι W, πολύ μικρότερη της U όπως θα δείξουμε ότι στα αμέσως επόμενα ότι προκύπτει από την εξίσωση συνέχειας. Οι τρεις όροι της εξίσωσης συνέχειας u x + v y + w = 0 (στην προσέγγιση z Boussinesq η οποία έχει αιτιολογηθεί επίσης διαστατικά στο κεφάλαιο 6..4) είναι τάξης U/L, U/L, W/H και δείχνουν το βαθμό σύγκλισης ή απόκλισης των γραμμών ροής σε κάθε κατεύθυνση. Ο τελευταίος (W/H) δεν μπορεί να είναι ο κυρίαρχος, γιατί αν αυτό συνέβαινε θα σήμαινε ότι w 0, δηλ. z σταθερό w, το οποίο δεν μπορεί να ισχύει γιατί κάποιος πρέπει να τροφοδοτεί με μάζα τις κατακόρυφες κινήσεις και αυτός δεν μπορεί να είναι άλλος από τις οριζόντιες κινήσεις. Επομένως στην εξίσωση συνέχειας έχουμε είτε συγκρίσιμους όρους W/H U/L που σημαίνει τρισδιάστατη ροή, ή δισδιάστατη σε κατακόρυφο επίπεδο, είτε τους δύο όρους με τις οριζόντιες ταχύτητες να κυριαρχούν (και να αλληλοαναιρούνται), δηλ. U/L W/H, οπότε η ροή είναι δισδιάσταση στο οριζόντιο επίπεδο. Σε κάθε περίπτωση, λόγω της H L είναι W U. Οι χρονικές κλίμακες που οφείλονται σε αλλαγή θέσης (αυτές που αντιστοιχούν στον όρο u μέσα στην ολική χρονική παράγωγο d/dt) είναι T = L/U για τις οριζόντιες κινήσεις και T V = H/W για τις κατακόρυφες. Σε ροές όπου W/H U/L είναι T V T, αλλά σε δισδιάστατες οριζόντιες όπου W/H U/L είναι T V T. Γενικά υπάρχει και χρονική κλίμακα T t της άμεσης χρονοεξάρτησης που τυχόν υπάρχει (όρος / t μέσα στην ολική χρονική παράγωγο d/dt). Αυτή είναι σημαντική π.χ. στην περίπτωση κυμάτων και αντιστοιχεί στην περίοδο του κύματος που δεν είναι ίση με L/U, αλλά με το λόγο μήκους κύματος με την ταχύτητα φάσης. Η εξίσωση ορμής (στην προσέγγιση Boussinesq και με τις απλοποιήσεις σχετικά με την φαινόμενη βαρύτητα, την καμπυλότητα της Γης, την απλοποίηση της Coriolis, που έγιναν επίσης συγκρίνοντας διαστατικά τους όρους) έχει συνιστώσα στην διεύθυνση ανατολής-δύσης u t + u u x + v u y + w u z = 1 ρ 0 P x + fv + A u x + A u y + A V u z,

34 04 Γεωφυσικά ρευστά με τους διάφορους όρους να είναι αντίστοιχα τάξης U U T t L U L UW H P ρ 0 L fu A U L A U L A V U H. Υπάρχει μεγάλο πλήθος πηλίκων που μπορούν να οριστούν και ανάλογα με την τιμή τους να απλοποιήσουμε την εξίσωση. Π.χ. ο λόγος του μη γραμμικού ου-3ου όρου με τον όρο του ενεργού ιξώδους ορίζει τον αριθμό Reynolds Re = LU, ο οποίος είναι συνήθως πολύ μεγάλος A στα γεωφυσικά ρευστά και γι αυτό το ιξώδες μπορεί να αγνοηθεί. Το ίδιο συμπέρασμα προκύπτει ελέγχοντας την τιμή του λόγου του τελευταίου όρου του ιξώδους με την Coriolis ο οποίος λέγεται αριθμός Ekman Ek = A V fh και είναι συνήθως πολύ μικρός. Εξαίρεση αποτελούν ροές κοντά σε σταθερές οριζόντιες επιφάνειες όπου η κατακόρυφη κλίμακα μήκους είναι πολύ μικρότερη και το ιξώδες έχει σημαντικό ρόλο. Ο λόγος του μη γραμμικού ου-3ου όρου με τον όρο Coriolis ορίζει τον αριθμό Rossby Ro = U, ο οποίος δείχνει την επίδραση της περιστροφής όπως fl έχουμε ήδη πει. Για μικρούς Ro ο κυρίαρχος όρος είναι η Coriolis και εξουδετερώνεται από τον όρο πίεσης, επομένως P ρ 0 LfU. Ακόμα και για Ro 1 η προηγούμενη ισχύει (τότε έχουν ίση συνεισφορά και οι τρεις ό- ροι, πίεση, αδράνεια και Coriolis με εξαίρεση τις αδρανειακές κινήσεις όπου η πίεση είναι αμελητέα). Η διαφορά πίεσης αυτή είναι συνήθως πολύ μικρότερη της διαφοράς πίεσης που απαιτεί η υδροστατική ισορροπία αφού ο λόγος ρ 0LfU ρ 0 gh Ω R L Ro είναι συνήθως πολύ μικρός (στην προσέγγιση Boussinesq P είναι η πίεση αφού αφαιρεθεί το μέρος που εξασφαλίζει g HR την υδροστατική ισορροπία, επίσης η βαρύτητα έχει αντικατασταθεί από την ελαττωμένη βαρύτητα g ). Ομοια μπορούμε να σκεφτούμε για την συνιστώσα της εξίσωσης ορμής στην διεύθυνση βορρά-νότου v t + u v x + v v y + w v z = 1 P ρ 0 y fu + v A x + v A y + A v V z, με τους διάφορους όρους να είναι ίδιας τάξης με τους αντίστοιχους της ˆx συνιστώσας. Η κατακόρυφη συνιστώσα της εξίσωσης ορμής είναι αρκετά διαφορετική, w t + u w x + v w y + w w z = 1 ρ 0 P z g + A w x + A w y + A V w z,

35 6. Στοιχεία δυναμικής γεωφυσικών ρευστών 05 με τους διάφορους όρους να είναι αντίστοιχα τάξης W T t UW L UW L W H P ρ 0 H g ρ ρ 0 A W L A W L A V W H. Ο όρος αδράνειας W /H είναι μικρότερος ή το πολύ συγκρίσιμος του UW/L, όπως προκύπτει χρησιμοποιώντας τα συμπεράσματα της μελέτης της εξίσωσης συνέχειας (ο λόγος τους είναι T/T V ). Ο όρος UW/L με τη σειρά του είναι πολύ μικρότερος του όρου της πίεσης σε περιπτώσεις Ro 1 στις οποίες όπως είδαμε πριν P ρ 0 LfU και ο λόγος P/(ρ 0H) LfU/H UW/L UW/L = L U 1 H W Ro είναι πολύ μεγάλος. Επομένως οι σημαντικοί όροι στην εξίσωση ορμής στην κατακόρυφη κατεύθυνση είναι αυτοί της πίεσης και της βαρύτητας, δηλ. εκφράζει την υδροστατική ισορροπία, τροποποιημένη από την στρωμάτωση. Για την διατήρηση ενέργειας (6.11) το αριστερό μέλος είναι τάξης C pt L/U. Ο όρος θερμικής αγωγιμότητας είναι τάξης κt/l και το πηλίκο του με το ρ αριστερό μέλος ν T UL, όπου ν T = κ ο αντίστοιχος συντελεστής διάχυσης. ρc p Συνήθως ν T UL και άρα μπορούμε να αγνοούμε τον όρο θερμικής αγωγιμότητας στην εξίσωση ενέργειας. Ομοια ο όρος του ιξώδους έχει αμελητέα συνεισφορά για μεγάλους αριθμούς Reynolds και υποηχητικές ροές, αφού ο λόγος του με το αριστερό μέλος είναι τάξης C pt/(l/u) LU c A(U/L) A U. Ετσι η εξίσωση ενέργειας συνεπάγεται την διατήρηση θερμοκρασίας και κατά συνέπεια την διατήρηση της πυκνότητας, όπως αιτιολογήθηκε στο τέλος του κεφαλαίου Παράδειγμα 6.4: Εστω άνεμος πνέει οριζόντια με ταχύτητα U ˆx προς ένα βουνό οριζόντιας κλίμακας L και ύψους z. Το ρευστό είναι στρωματωμένο με κλίμακα ύψους H (δηλ. η πυκνότητα αλλάζει σημαντικά σε ύψος H το οποίο ισούται με την κλίμακα υδροστατικής ισορροπίας c /g). Θέλουμε να εκτιμήσουμε για ποιες ταχύτητες το πέρασμα από το βουνό δεν θα διαταράξει σημαντικά τον άνεμο στην κατακόρυφη κατεύθυνση, αλλά κυρίως στην οριζόντια (θα περάσει κυρίως από το πλάι του βουνού και όχι από πάνω). Η χρονική κλίμακα είναι T = L/U. Στο χρόνο αυτό κάποιο μέρος του ανέμου θα περάσει πάνω από το βουνό αποκτώντας κατακόρυφη ταχύτητα W = z/t = U z/l και θα προκαλέσει αλλαγές στην πυκνότητα της τάξης dρ ρ = dz z = ρ 0N z. Οι αλλαγές στην πυκνότητα συνοδεύονται από g

36 06 Γεωφυσικά ρευστά αλλαγές στην πίεση, P = c ρ = gh ρ = Hρ 0 N z. Οι αλλαγές στην πίεση θα ασκήσουν και οριζόντιες δυνάμεις και θα επηρεάσουν την ταχύτητα. Διαστατικά η εξίσωση ορμής δίνει U L = 1 P ρ 0 L, ή, U = HN z. Για να καταλάβουμε αν θα επηρεαστεί όλο το ύψος του ανέμου θα πρέπει να εξετάσουμε αν ο άνεμος περάσει κυρίως πάνω από το βουνό ή αποκλίνει οριζόντια και θα επιλέξει να περάσει κυρίως από το πλάι του βουνού (όπως π.χ. ένας θαλάσσιο ρεύμα παρακάμπτει ένα νησί που τυχόν θα βρει μπροστά του). Αυτό γίνεται συγκρίνοντας τις χρονικές κλίμακες T V = H/W για τις ανοδικές κινήσεις και T = L/U για τις πλάγιες, ή ισοδύναμα τους όρους της εξίσωσης συνέχειας W/H και U/L που δείχνουν τα μέρη της απόκλισης του πεδίου ταχύτητας του ρευστού κατακόρυφα και οριζόντια, αντίστοιχα. Συνδυάζοντας τις σχέσεις L = UT, z = W T, U = HN z, που προαναφέρθηκαν βρίσκουμε T = W/H T V U/L = z H = U H N = F r. Άρα αν F r < 1 U < HN είναι T < T V, δηλ. οι οριζόντιες κινήσεις ολοκληρώνουν πιο γρήγορα τον πέρασμα γύρω από το βουνό, είναι δηλ. αυτές που κυριαρχούν. Ισοδύναμα, η απόκλιση της οριζόντιας ταχύτητας κυριαρχεί έναντι της κατακόρυφης, δηλ. έχουμε τον όρο u να εξουδετερώνεται από x τον v w και τον όρο να είναι αμελητέος. y z Στην περίπτωση αυτή η ταχύτητα δεν είναι ικανή να αλλάξει την στρωμάτωση και να δώσει την αύξηση βαρυτικής ενέργειας που θα απαιτούσε το πέρασμα του ανέμου πάνω από το βουνό. Στην αντίθετη περίπτωση F r > 1 είναι T V < T, δηλ. κυριαρχούν οι κατακόρυφες κινήσεις. Ισοδύναμα, ο όρος u στην εξίσωση συνέχειας εξου- x δετερώνεται από τον w z και όχι από τον v y. 6.3 Η κυκλοφορία στα γεωφυσικά ρευστά Στο κεφάλαιο αυτό θα εξετάσουμε διάφορες καταστάσεις γεωφυσικών ρευστών. Σε κάθε περίπτωση θα προσπαθήσουμε να κατανοήσουμε την δυναμική τους μέσω των εξισώσεων που την περιγράφουν, αφού τις απλοποιήσουμε κατάλληλα κρατώντας τους σημαντικότερους όρους και μόνο.

37 6.3 Η κυκλοφορία στα γεωφυσικά ρευστά Γεωστροφική ισορροπία Υποθέσεις Γεωστροφία καλείται η ισορροπία μεταξύ Coriolis και κλίσης πίεσης αυτοί είναι οι μόνοι σημαντικοί όροι στην εξίσωση ορμής. Μας ενδιαφέρουν δηλ. ροές με Ro = U 1 (οπότε είναι αμελητέοι οι όροι αδράνειας και στην κατακόρυφη κατεύθυνση υπάρχει ισορροπία μεταξύ κλίσης πίεσης και fl βαρύτητας) και Ek = A V 1 (οπότε είναι αμελητέοι οι όροι ιξώδους). Θα ακολουθήσουμε την προσέγγιση Boussinesq για την διατήρηση μάζας, θεωρώντας fh μάλιστα την πυκνότητα σταθερή παντού (δηλ. δεν έχουμε επίδραση από στρωμάτωση οπότε ικανοποιείται αυτόματα η εξίσωση ενέργειας). Επίσης θα εργασθούμε στην προσέγγιση f-επιπέδου (θα θεωρήσουμε δηλ. αμελητέα μεταβολή της συχνότητας f και αμελητέα την καμπυλότητα της Γης). Εξισώσεις Διατήρηση μάζας εξίσωση ορμής u x + v y + w z = 0, (6.5) 0 = 1 P ρ 0 x 0 = 1 P ρ 0 y + fv, (6.6) fu, (6.7) 0 = 1 ρ 0 P z g. (6.8) (Η τελευταία θα μπορούσε να γραφεί και σαν 0 = 1 P ρ g ακολουθώντας την προσέγγιση Boussinesq, με ρ = 0 αφού δεν υπάρχει στρωμάτωση.) ρ 0 z ρ 0 Η (6.8) δίνει P = P (x, y, t) ρ 0 gz. (6.9) Αντικαθιστώντας στις (6.6), (6.7) έχουμε v = 1 fρ 0 P x, u = 1 fρ 0 P y. Αντικαθιστώντας τις δύο τελευταίες στην (6.5) προκύπτει w z = 0. Επομένως και οι τρεις συνιστώσες της ταχύτητας είναι ανεξάρτητες του ύψους z. Εδώ θα θεωρήσουμε την απλούστερη περίπτωση w = 0 (όπως άλλωστε προκύπτει και από την οριακή συνθήκη στον πυθμένα της ροής, είτε είναι στον

38 08 Γεωφυσικά ρευστά ωκεανό είτε στην ατμόσφαιρα, αν θεωρήσουμε ότι η ροή που περιγράφουμε επεκτείνεται μέχρι τον πυθμένα), αλλά η λύση είναι ίδια αν η w είναι μια οποιαδήποτε συνάρτηση ανεξάρτητη του ύψους. Εχουμε λοιπόν ένα δισδιάστατο οριζόντιο πεδίο το οποίο μπορεί να γραφεί u = 1 fρ 0 P ẑ. (6.30) (Το πεδίο μπορεί να είναι και χρονοεξαρτώμενο, αλλά αρκούντως αργά, με χρονική κλίμακα T t 1/f, ώστε η λύση να είναι συνεπής με την υπόθεσή μας να αγνοήσουμε τους όρους u/ t στην εξίσωση της ορμής.) Συγκρίνοντας την λύση με την έκφραση u = Ψ ẑ βλέπουμε ότι η συνάρτηση ροής είναι Ψ = P (x, y, t) και άρα το ρευστό κινείται πάνω στις fρ 0 ισοβαρείς (καμπύλες σταθερής πίεσης) σε κάθε οριζόντιο επίπεδο. Σημειώστε ότι η πίεση εξαρτάται και από το ύψος, αλλά σε κάθε επίπεδο z = σταθερό το σχήμα των ισοβαρών είναι P (x, y, t) = σταθερό (παρότι η τιμή της ολικής πίεσης σε κάθε μια τέτοια ισοβαρή εξαρτάται από το ύψος). P Η ταχύτητα έχει μέτρο, μεγαλύτερο σε περιοχές που η πίεση αλλάζει fρ 0 έντονα. Αν L P / P η κλίμακα μήκους της ροής, η οποία καθορίζεται από την πίεση, το μέτρο της ταχύτητας είναι τάξης U P fρ 0 L. Για να είναι σωστή η υπόθεση μικρών αριθμών Ro θα πρέπει να ισχύει U fl L f P /ρ 0. Επίσης πρέπει να ισχύει ρ 0U U 1, δηλ. το πεδίο ταχύτητας απλά P fl ακολουθεί τις ισοβαρείς χωρίς να έχει αρκετή ενέργεια για να τροποποιήσει την κατανομή πίεσης. Η φορά κίνησης πάνω στις ισοβαρείς είναι τέτοια ώστε όταν f > 0 (βόρειο ημισφαίριο) η περιοχή μεγάλης πίεσης (προς τα εκεί που δείχνει το P ) να είναι δεξιά. Το αντίθετο συμβαίνει βέβαια στο νότιο ημισφαίριο. Υπάρχει κεντρομόλος επιτάχυνση με την καμπυλότητα και το κέντρο καμπυλότητας να είναι αυτά των ισοβαρών. Η επιτάχυνση πρέπει να είναι βέβαια πολύ μικρότερη της Coriolis ώστε η λύση να είναι συνεπής με την υπόθεσή μας Ro 1. Οπως θα δούμε παρακάτω αυτό θέτει ένα όριο στην καμπυλότητα των ισοβαρών προκειμένου να θεωρείται η ροή γεωστροφική. Παρακάτω βλέπετε ένα παράδειγμα χάρτη ανέμου από την ιστοσελίδα (φαίνεται ο άνεμος και με χρώμα η πίεση). Μπορείτε να παρατηρήσετε π.χ. στον ατλαντικό πόσο έντονος είναι ο άνεμος εκεί όπου η πίεση μεταβάλλεται γρήγορα, ότι ο άνεμος κινείται πάνω στις

39 6.3 Η κυκλοφορία στα γεωφυσικά ρευστά 09 ισοβαρείς και έχει τα βαρομετρικά υψηλά δεξιά ή τα βαρομετρικά χαμηλά αριστερά. Άνεμοι βαθμίδας και κυκλοστροφικοί άνεμοι Στην γεωστροφική ισορροπία αγνοούμε τους όρους αδράνειας στην εξίσωση ορμής, δηλ. την επιτάχυνση du/dt. Αν σκεφτούμε ότι η du/dt αναλύεται σε επιτρόχια uˆε και κεντρομόλο u ˆn, υπάρχουν δύο χωρικές κλίμακες γενικά R που αντιστοιχούν στην μεταβολή της ταχύτητας. Η μια αντιστοιχεί στην αλλαγή του μέτρου και η άλλη στην αλλαγή της διεύθυνσης (και ισούται με την ακτίνα καμπυλότητας R). Η συνθήκη Ro 1 σημαίνει ότι R U/f κάτι που θέτει ένα άνω όριο στην καμπυλότητα των ισοβαρών ώστε να μπορούμε να μιλάμε για γεωστροφία. Αν η καμπυλότητα είναι αρκούντως μεγάλη (δηλ. η ακτίνα καμπυλότητας είναι αρκούντως μικρή) τότε πρέπει να κρατήσουμε και τον όρο u /R στην εξίσωση ορμής. Οι ροές πάνω στις ισοβαρείς στην περίπτωση αυτή καλούνται άνεμοι βαθμίδας και ικανοποιούν την εξίσωση ορμής u H R ˆn = 1 ρ 0 P fẑ u H. Και οι τρεις αυτοί όροι έχουν διεύθυνση κάθετα στην οριζόντια ροή. Γύρω από ένα βαρομετρικό υψηλό η δύναμη πίεσης έχει φορά προς τα έ- ξω (δηλ. είναι P = P ˆn), οπότε η Coriolis έχει φορά προς το κέντρο καμπυλότητας ώστε η συνισταμένη της με την δύναμη πίεσης να έχει φορά προς το κέντρο και να ισούται με την κεντρομόλο επιτάχυνση. Ισχύει δηλ. u H R = fu H P u H = fr ) ρ 0 ± ( fr R P με αντικυκλωνική ρ 0 φορά κίνησης και για τις δύο δυνατές λύσεις (η ροή έχει το βαρομετρικό υψη-