L = T V = 1 2 (ṙ2 + r 2 φ2 + ż 2 ) U (3)

Μέγεθος: px

Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "L = T V = 1 2 (ṙ2 + r 2 φ2 + ż 2 ) U (3)"

Καίσαρ Φιλιππίδης
7 χρόνια πριν
Προβολές:

1 ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΙΚΗ ΑΣΤΡΟΔΥΝΑΜΙΚΗ 3): Κινήσεις αστέρων σε αστρικά συστήματα Βασικές έννοιες Θεωρούμε αστρικό σύστημα π.χ. γαλαξία ή αστρικό σμήνος) αποτελούμενο από μεγάλο αριθμό αστέρων της τάξης των ). Το σύστημα αυτό μπορεί να περιγραφεί ως ένα συνεχές μέσο, που ονομάζεται βαρυτικό ρευστό. Είναι δυνατό να αποδειχθεί ότι η κίνηση ενός απειροστού όγκου του ρευστού fluid element) είναι δυναμικά ισοδύναμη με την κίνηση ενός γενικευμένου δοκιμαστικού σωματιδίου, που υπόκειται σε δυνάμεις, τόσο βαρυτικής όσο και θερμικής φύσεως. Θα θεωρήσουμε αδρανειακό σύστημα αναφοράς και θα χρησιμοποιήσουμε κυλινδρικές συντεταγμένες r, φ, z) για την περιγραφή της κίνησης. Θεωρώντας μόνο βαρυτικές δυνάμεις, η πυκνότητα μάζας του ρευστού, ρ, θα είναι μια συνεχής συνάρτηση των συντεταγμένων. Το βαρυτικό δυναμικό, U, συνδέεται με την πυκνότητα του βαρυτικού ρευστού, μέσω της εξίσωσης Poisson 2 U = 4πG ρ 1) όπου G η παγκόσμια σταθερά της βαρύτητας. Οι παράγωγοι του δυναμικού U δίνουν τις συνιστώσες της βαρυτικής επιτάχυνσης. Αστροδυναμική Στην παράγραφο αυτή θα περιγράψουμε τη διαδικασία μελέτης της δυναμικής συμπεριφοράς ενός δοκιμαστικού σωματιδίου αστέρας) που κινείται εντός του βαρυτικού ρευστού, υπό την επίδραση των βαρυτικών δυνάμεων. Η κινητική ενέργεια ανά μονάδα μάζας ενός δοκιμαστικού σωματιδίου, σε κυλινδρικές συντεταγμένες, παίρνει τη μορφή T = 1 2 ṙ2 + r 2 φ2 + ż 2 ) 2) και η συνάρτηση Lagrange, που περιγράφει την κίνησή του, παίρνει τη μορφή L = T V = 1 2 ṙ2 + r 2 φ2 + ż 2 ) U 3) Οι γενικευμένες ορμές του σωματιδίου δίνονται από τις παραγώγους της L ως προς τις γενικευμένες ταχύτητες 1

2 p r = ṙ p φ = r 2 φ 4) p z = ż και η συνάρτηση Hamilton του συστήματος έχει τη μορφή H = 1 2 p2 r + p2 φ r 2 + p2 z) + U = E 5) Η εξίσωση αυτή εκφράζει το ολοκλήρωμα της ενέργειας και η αριθμητική τιμή της είναι σταθερή κατά μήκος της ροής τροχιάς) και ίση με E. Οι παραπάνω εξισώσεις δεν εξαρτώνται από τη μορφή του U. Τα περισσότερα αστροφυσικά συστήματα παρουσιάζουν κάποιας μορφής συμμετρία. Ειδικότερα, οι γαλαξίες παρουσιάζουν συνήθως αξονική και κατοπτρική συμμετρία. Αυτό σημαίνει ότι τόσο η πυκνότητα όσο και το βαρυτικό δυναμικό είναι συναρτήσεις της μορφής fr, z 2 ). Στην περίπτωση αυτή, η συνάρτηση Hamilton είναι ανεξάρτητη της αζιμουθιακής γωνίας φ και η συζηγής ορμή της είναι επίσης ολοκλήρωμα της κίνησης p φ = r 2 φ = Lz 6) που δεν είναι άλλο από το μέτρο της προβολής του διανύσματος της στροφορμής στον άξονα Oz. Στην περίπτωση κυκλικής τροχιάς, η κυκλική συχνότητα ω = dφ/dt του σωματιδίου, η περίοδος και το μέτρο της γραμμικής ταχύτητας της κίνησης κυκλική ταχύτητα) δίνονται από τις σχέσεις Εξισώσεις Κίνησης ω = L z r 2 2π r2 P = 7) L z v c = L z r Με τη χρήση της σχέσης 6) αντικαθιστούμε την p φ στη σχέση 5), καταλήγοντας έτσι σε ένα σύστημα δύο βαθμών ελευθερίας, ισοδύναμο με το αρχικό. Η συνάρτηση Hamilton του ισοδύναμου διδιάστατου προβλήματος έχει τη μορφή H = 1 2 p2 r + p 2 z) + r, z 2 ) = E 8) 2

3 όπου = L2 z 2r 2 + U το υποθετικό δυναμικό effective potential) της ισοδύναμης περιγραφής. Οι εξισώσεις κίνησης του δοκιμαστικού σωματιδίου είναι Κυκλικές Τροχιές ṗ r = r ṗ z = z = r = L2 z r 3 U r = z = U z 9) Τα σημεία ισορροπίας του συστήματος αντιστοιχούν σε κυκλικές τροχιές αστέρων και δίνονται από τη λύση του συστήματος r = 0 = z Λόγω συμμετρίας η δεύτερη από τις παραπάνω εξισώσεις επιδέχεται τη λύση z = 0, η οποία συνεπάγεται ισημερινές τροχιές. Αν δεν επιδέχεται λύσεις της μορφής z 0, τότε τα πιθανά σημεία ισορροπίας του συστήματος r = 0) αντιστοιχούν σε ισημερινές κυκλικές τροχιές των αστέρων. Φυσικά, για να υπάρχουν αυτές οι τροχιές, θα πρέπει, σύμφωνα με τη εξίσωση 9), να ισχύει η σχέση L 2 z r 3 U r = 0 10) που εκφράζει τη συνθήκη ισορροπίας ανάμεσα στην φυγόκεντρο δύναμη και τη βαρυτική δύναμη. Η παραπάνω σχέση χρησιμεύει στον υπολογισμό της τιμής της L z για κυκλική ισημερινή τροχιά, ακτίνας r = r c. Αντίστοιχα, η ενέργεια της τροχιάς υπολογίζεται από τη σχέση 8), θέτοντας επίσης v 2 = ṙ 2 + ż 2 = 0. Ορια της Κίνησης Η κίνηση είναι δυνατή εφόσον v 2 0. Ετσι, τα όρια της κίνησης υπολογίζονται από τη λύση της ανίσωσης E r, z) 0 11) Η εξίσωση E r, z) = 0 ορίζει τις οριακές καμπύλες μηδενικής ταχύτητας Zero Velocity Curves, ZVC). Στο ισημερινό επίπεδο z = 0), η παραπάνω 3

4 σχέση δίνει τα σημεία μηδενικής ταχύτητας. Αν η συνάρτηση r, z = 0) έχει απόλυτο μέγιστο = V max σε κάποια θέση r 0 > 0 όπου d /dr = 0) τότε, για ενέργειες μεγαλύτερες από την ενέργεια διαφυγής E esc = V max η κίνηση είναι μη περατωμένη και το σωματίδιο διαφεύγει στο άπειρο. Στη διδιάστατη περίπτωση, η ενέργεια διαφυγής αντιστοιχεί στα σαγματικά σημεία της συνάρτησης r, z). Ευστάθεια Κυκλικών Τροχιών Εστω κυκλική ισημερινή τροχιά ακτίνας r = r c. Θεωρούμε μικρές, αυθαίρετες, διαταραχές ξ = r r c και η = z 0 γύρω από την εν λόγω κυκλική τροχιά. Θέτουμε r = r c + ξ και z = η στις εξισώσεις κίνησης και στη συνέχεια τις γραμμικοποιούμε ως προς ξ και η. Η λύση του γραμμικού συστήματος διαφορικών εξισώσεων καθορίζει αν η κίνηση στη γειτονιά της κυκλικής τροχιάς είναι περατωμένη ή όχι), δηλαδή, αν η κυκλική τροχιά είναι γραμμικά ευσταθής ή όχι). Συνήθως, αντί της γραμμικοποίησης των εξισώσεων κίνησης προχωρούμε στο ανάπτυγμα Taylor του γενικευμένου δυναμικού, μέχρι όρους 2ης τάξης ως προς τις μικρές ποσότητες ξ και η. Η νέα συνάρτηση Hamilton έχει τη μορφή H 2 = 1 2 p2 ξ + p 2 η) + A 2 ξ2 + B 2 η ) όπου p ξ = ξ = ṙ, p η = η = ż και ο δείκτης της H δηλώνει την τάξη του αναπτύγματος Taylor ως προς ξ και η. Οι συντελεστές A και B δίνονται από τις παρακάτω εκφράσεις A = B = 2 ) r 2 2 ) z 2 r c,0 r c,0 13) για r = r c και z = 0. Η κυκλική τροχιά αναφοράς είναι γραμμικά ευσταθής εάν A > 0 και B > 0. Τότε, η κίνηση στη γειτονιά της κυκλικής τροχιάς είναι περατωμένη και δίνεται από την σύνθεση δύο ανεξάρτητων αρμονικών ταλαντώσεων, με συχνότητες Ω ξ = A Ω η = B 14) 4

5 Οι συχνότητες αυτές ονομάζονται, αντίστοιχα, επικυκλική και κατακόρυφη συχνότητα. Μη γραμμικά φαινόμενα Υπολογίζοντας τους όρους 3ης τάξης, ως προς τα ξ και η, στο ανάπτυγμα του γενικευμένου δυναμικού,, παίρνουμε τη συνάρτηση Hamilton που περιγράφει τη μη γραμμική κίνηση στη γειτονιά μιας ισημερινής κυκλικής τροχιάς H 3 = 1 2 p2 ξ + p 2 η) + A 2 ξ2 + B 2 η2 + c 1 ξ η 2 + c 2 ξ ) Σημειώνουμε ότι οι παράγωγοι περιττής τάξης του ως προς z μηδενίζονται για z = 0, λόγω συμμετρίας. Οι συντελεστές c 1 και c 2 δίνονται από τις σχέσεις 3 ) c 1 = 1 6 c 2 = 1 6 r z 2 3 ) r 3 r c,0 r c,0 16) Αυτές οι μη γραμμικές διαταραχές της συνάρτησης Hamilton είναι δυνατό να οδηγήσουν στην εμφάνιση χαοτικών κινήσεων, ειδικά στην γειτονιά των συντονισμών χαμηλής τάξης π.χ. 1 : 1, 1 : 2, κ.λ.π.). Η μελέτη της μη γραμμικής κίνησης γίνεται με αριθμητική ολοκλήρωση των εξισώσεων κίνησης. 5

Σχετικά έγγραφα

ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΙΙ

ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΙΙ ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΤΜΗΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ ΤΟΜΕΑΣ ΑΣΤΡΟΝΟΜΙΑΣ ΑΣΤΡΟΦΥΣΙΚΗΣ ΚΑΙ ΜΗΧΑΝΙΚΗΣ ΣΠΟΥΔ ΑΣΤΗΡΙΟ ΜΗΧΑΝΙΚΗΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΑΝΑΛΥΤΙΚΗΣ ΔΥΝΑΜΙΚΗΣ Μεθοδολογία Κλεομένης Γ. Τσιγάνης Λέκτορας ΑΠΘ Πρόχειρες