Μηχανική του στερεού σώματος
|
|
- Κασσιέπεια Λιακόπουλος
- 8 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 Κεφάλαιο 1 Μηχανική του στερεού σώματος 1.1 Εισαγωγή 1. Το θεώρημα του Chales Η γενική κίνηση του στερεού σώματος μπορεί να μελετηθεί με τη βοήθεια του παρακάτω θεωρήματος το οποίο δίνουμε χωρίς απόδειξη Θεώρημα: Εστω ένα στερεό σώμα που εκτελεί αυθαίρετη κίνηση και Ο ένα σημείο πάνω σε αυτό. Κάθε χρονική στιγμή η κίνηση του στερεού σώματος μπορεί να γραφτεί ως επαλληλία μιας μεταφορικής κίνησης του Ο και μιας περιστροφικής κίνησης ως προς έναν άξονα που περνάει από το Ο. Σχήμα 1.1: Η γενική στιγμιαία κίνηση στερεού σώματος ανάγεται σε μεταφορικήκίνησητουοκαισεπεριστροφικήκίνησητουσώματοςωςπροςέναν άξοναπουπερνάειαπότοο. Θεωρούμεένανέοσύστημααναφοράς Σ I μεαρχήσυντεταγμένωνστο O όπωςστοσχήμα 1.. Ηθέσητηςαρχήςτωνσυντεταγμένωνστοαρχικό σύστημααναφοράς Σ I είναι R.ΘεωρούμεένασημείοΡτουσώματοςτοοποίο έχειδιάνυσμαθέσης rστο Σκαι r I στο Σ I. 1
2 ΚΕΦ ΑΛΑΙΟ1. ΜΗΧΑΝΙΚ ΗΤΟΥΣΤΕΡΕΟ ΥΣ ΩΜΑΤΟΣ Ηθέση r I του Pστοαδρανειακόσύστημααναφοράς Σ I δίνεταιαπό r I = R + r (1.1 Εφαρμόζονταςτοθεώρημαηταχύτητα v I τουσημείουρθαδίνεταιαπό όπου V = d R dt η μεταφορική ταχύτητα του O. v I = V + ω r (1. Σχήμα1.: Τασυστήματααναφοράς Σ I (x I,y I,z I μεαρχήαξόνων O I (αδρανειακόκαι Σμεαρχήαξόνων O (x,y,z(μηαδρανειακότοοποίοκινείται μαζίμετοσώμα. 1. Τανυστής ροπής αδράνειας Η στροφορμή του στερεού μάζας M υπολογίζεται ολοκληρώνοντας την στροφορμή από κάθε στοιχειώδες κομμάτι dm L = = ( dm r I v I = dm r + R ( V + ω r = ( ( dm r V + dm r ( ω r + R V ( + R ω dm r dm + όπου χρησιμοποιήσαμε την(1.1 και την(1.. Ο παραπάνω τύπος απλοποιείται ανδιαλέξουμετοσημείο O,τηναρχήδηλαδήτωναξόνωντουκινούμενουΣΑ, ναείναιτοκέντρομάζας.σεαυτήτηνπερίπτωση dm r = και L = M R V + dm r ( ω r = M R V + L cm (1.
3 1.. Τανυστής ροπής αδράνειας Η στροφορμή ισούται δηλαδή με το άθροισμα της στροφορμής του κέντρου μάζαςκαιτηςστροφορμής L cm ωςπροςτοκέντρομάζας L cm = dm r ( ω r (1.4 Αναπτύσσοντας το διπλό εξωτερικό γινόμενο η στροφορμή γράφεται σε μορφή πινάκων ως L 1 I 11 I 1 I 1 ω 1 L = I Ω L = I 1 I I ω (1.5 L I 1 I I ω Ο συμμετρικός πίνακας I ονομάζεται τανυστής ροπής αδράνειας και δίνεται από τη σχέση I ij = dm ( r δ ij r i r j (1.6 όπου δ ij τοδέλτατου Kronecker δ ij = { 1για i = j για i j (1.7 Στηνπερίπτωσηπουτοσώμααποτελείταιαπόδιάφορεςδιακριτέςμάζες m a,a = 1,...,nτότετοολοκλήρωμαστησχέση(1.6αντικαθίσταταιμεάθροισμα I ij = n a=1 ( m a (r a δ ij ri a ra j (1.8 Με ανάλογο τρόπο μπορούμε να βρούμε και την έκφραση για την κινητική ενέργεια ενός στερεού σώματος όπου T = 1 M V + 1 Ω I Ω T = T μετ + T περ T περ = 1 (ω 1, ω, ω I 11 I 1 I 1 I 1 I I I 1 I I ω 1 ω ω (1.9 Η κινητική λοιπόν ενέργεια είναι επίσης άθροισμα δύο όρων, ο πρώτος είναι η μεταφορική κινητική ενέργεια του κέντρου μάζας και ο δεύτερος η κινητική ενέργεια περιστροφής ως προς το κέντρο μάζας. Ο τανυστής ροπής αδράνειας μπορεί γραφτεί σε διαγώνια μορφή επιλέγοντας κατάλληλα το ΣΑ. Η διαδικασία αυτή ονομάζεται διαγωνοποίηση και ανάγεται στην επίλυση της πολυωνυμικής εξίσωσης det (I x1 = det I 11 ρ I 1 I 1 I 1 I ρ I I 1 I I ρ = (1.1
4 4 ΚΕΦ ΑΛΑΙΟ1. ΜΗΧΑΝΙΚ ΗΤΟΥΣΤΕΡΕΟ ΥΣ ΩΜΑΤΟΣ ηοποίαπροσδιορίζειτιςιδιοτιμές ρ = I 1,I,I οιοποίεςονομάζονταικύριες ροπές αδράνειας. Υστερα αντικαθιστώντας στην I 11 I i I 1 I 1 a 1 (I I i 1 A = I 1 I I i I a = I 1 I I I i a βρίσκουμε τα ιδιοανύσματα τα οποία αντιστοιχούν στους κύριους άξονες της ροπής αδράνειας. Στο σύστημα αναφοράς των κυρίων αξόνων οι εκφράσεις της στροφορμής και της κινητικής ενέργειας παίρνουν απλούστερη μορφή και συγκεκριμένα L cm = (I 1 ω 1, I ω, I ω (1.11 και T περ = 1 ( I1 ω 1 + I ω + I ω (1.1 Οτανυστήςροπήςαδράνειαςείναιέναςσυμμετρικόςπίνακας I ij = I ji,και κατάσυνέπειααπότα9στοιχείατουμόνοτα6είναιανεξάρτητα. Πρέπεινα σημειώσουμε επίσης ότι ο ορισμός(1.8 του τανυστής ροπής αδράνειας είναι γενικός και ισχύει θεωρώντας ως αρχή οποιοδήποτε σημείο του σώματος και όχι μόνο το κέντρο μάζας Πρόβλημα 1: Ροπή αδράνειας τετράγωνης πλάκας Να υπολογιστεί ο τανυστής ροπής αδράνειας και να βρεθούν οι κύριοι άξονες και οι κύριες ροπές αδράνειας μιας ομογενούς τετράγωνης πλάκας μεπλευράς aκαιμάζας m,θεωρώνταςωςαρχήτωναξόνωντοσημείο O του σχήματος. Τοστερεόείναιομογενέςκαιάρα dm = σdyόπου σ = m/a ηεπιφανειακή πυκνότητα. Εφαρμόζοντας τον ορισμό(1.6 I 11 = dy ( x + y + z x = σ dyy (1.1 καθώς η πλάκα βρίσκεται στο επίπεδο z =. Εκτελώντας τις ολοκληρώσεις a I 11 = σ x y a = σ a a = m a a a = m a (1.14 Ομοίως I 1 = σ = σ x a y dy ( xy = σ a = m a a a x = m a 4 dy y (1.15
5 1.. Τανυστής ροπής αδράνειας 5 Σχήμα1.: Τετράγωνηπλάκακαιοικύριοιάξονεςστοεπίπεδο x y(διακεκομμένες γραμμές. Ο τρίτος κύριος άξονας συμπίπτει με τον άξονα των z. και Επίσης I και και I = σ I 1 = I 1 = σ = m a a a = m a = σ = σ = m a dy ( x + y + z y = σ I = I = σ dy ( x + y + z z = σ dy ( x + σ dy ( xz = (1.16 x dy = σ x a y a (1.17 dy ( y z = (1.18 Ο τανυστής ροπής αδράνειας γράφεται λοιπόν I = m a m a ma 4 4 m a m a dy ( y = I 11 + I = dy ( x + y (1.19 (1.
6 6 ΚΕΦ ΑΛΑΙΟ1. ΜΗΧΑΝΙΚ ΗΤΟΥΣΤΕΡΕΟ ΥΣ ΩΜΑΤΟΣ Οι κύριες ροπές αδράνειας είναι οι ιδιοτιμές του πίνακα I m a ρ m a 4 m a det m a 4 ρ = m a ρ [ (m a ] (m ρ m a 4 a ρ = 16 (ρ m ( (ρ a 7m a m a ρ = 1 1 ρ 1 = m a 1, ρ 7m a = 1, ρ = m a (1.1 Η οποία δίνει κύριες ροπές αδράνειας I 1 = m a 1, I 7m a = 1, I = m a Οι κύριοι άξονες προσδιορίζονται από τα ιδιοανύσματα του πίνακα I. Ετσι για τοιδιοάνυσμαπουαντιστοιχείστηνιδιοτιμή I 1 έχουμε m a I 1 m a m a 4 m a 4 I 1 m a I 1 p q s = m a 4 p m a 4 q = (1. 7m a s = 1 (1. καικατάσυνέπεια s =,p = qκαιτοκανονικοποιημένοιδιοάνυσμαείναι ˆǫ 1 = 1 (1, 1, (1.4 Προχωρώντας ανάλογα για τις άλλες δύο ιδιοτιμές βρίσκουμε ˆǫ = 1 (1, 1, (1.5 ˆǫ = (,, 1 (1.6 Οι κύριοι άξονες συμπίπτουν με τις διευθύνσεις των ιδιοανυσμάτων και οι δύο φαίνονταιστοσχήμαενώοτρίτοςσυμπίπτειμετονάξονατων z.
7 1.4. Εξισώσεις του Euler Εξισώσεις του Euler Οπως αναφέραμε, η μελέτη της γενικής κίνησης ενός στερεού σώματος απαιτεί συνήθως την εισαγωγή δύο συστημάτων αναφοράς: Το αδρανειακό σύστημα αναφοράς που είναι το σύστημα αναφοράς(σα ενός ακίνητου παρατηρητή και τοσατωνκυρίωναξόνων(βλσχήμα1..τοδεύτεροείναιχρήσιμογιατίσε αυτό ο πίνακας ροπής αδράνειας είναι διαγώνιος. Δεν πρέπει όμως να ξεχνάμε ότιτοσατωνκυρίωναξόνωνείναιμηαδρανειακόκαθώςκινείταιμαζίμετο σώμα. Ηχρονικήμεταβολήμιαςδιανυσματικήςποσότητας BστοαδρανειακόΣΑ συνδέεταιμεαυτήτουμήαδρανειακόμετησχέση d B dt = d B + ω B dt (1.7 A MA όπουοιδείκτεςακαιμαδηλώνουντοαδρανειακόκαιμήαδρανειακόσα αντίστοιχα. Εφαρμόζοντας την(1.7 για το διάνυσμα της στροφορμής παίρνουμε τ = d L dt = d L + ω L dt (1.8 A KA όπου επιλέξαμε το ΜΑ σύστημα να είναι το σύστημα αναφοράς των κυρίων αξόνων(κα. Στο ΚΑ ο πίνακας ροπής αδράνειας είναι διαγώνιος, για ένα οποιοδήποτεσώμαέχειτρίαστοιχεία(κύριεςροπέςαδράνειας I 1 = I 11,I = I και I = I.Επομένωςηστροφορμήδίνεταιαπό L = L 1 L L = I 1 ω 1 I ω I ω (1.9 Χρησιμοποιώντας τα παραπάνω, αν το άθροισμα των ροπών που ενεργούν στο σώμαέχεισυνιστώσες τ = (τ 1,τ,τ καιηγωνιακήταχύτηταπεριστροφής δίνεταιαπό ω = (ω 1,ω,ω,οιεξισώσειςκίνησηςγράφονταιστηνμορφή τ 1 τ τ = d dt = I 1 ω 1 I ω I ω I 1 ω 1 I ω I ω + + ˆx ŷ ẑ ω 1 ω ω I 1 ω 1 I ω I ω ω ω (I I ω 1 ω (I 1 I ω ω 1 (I I 1 Επομένως οι εξισώσεις κίνησης δίνονται από = I 1 ω 1 + ω ω (I I I ω + ω 1 ω (I 1 I I ω + ω ω 1 (I I 1 (1. I 1 ω 1 + (I I ω ω = τ 1 I ω + (I 1 I ω 1 ω = τ (1.1 I ω + (I I 1 ω ω 1 = τ
8 8 ΚΕΦ ΑΛΑΙΟ1. ΜΗΧΑΝΙΚ ΗΤΟΥΣΤΕΡΕΟ ΥΣ ΩΜΑΤΟΣ που είναι γνωστές ως Εξισώσεις του Euler Πρόβλημα 1: Ροπή σε ορθογώνια πλάκα Ναβρεθείηροπήπουπρέπειναασκήσουμεσεορθογώνιαπλάκαμάζας m καιδιαστάσεων a,bγιαναπεριστραφείγύρωαπότημίαδιαγώνιότηςμε σταθερή γωνιακή ταχύτητα ω. Σχήμα 1.4: Περιστροφή ορθογώνιας πλάκας ως προς τη μία διαγώνιο. Οι κύριοι άξονες της ορθογώνιας πλάκας(για περιστροφές ως προς άξονα που περνάει από το σημείο Ο είναι οι δύο διακεκομμένες γραμμές του σχήματος (x,yκαιοκάθετοςάξονας(zστοεπίπεδοτουσχήματοςστοσημείοο.οι κύριες ροπές αδράνειας της πλάκας είναι αντίστοιχα I 1 = m a 1, I = m b 1, I = m (a + b 1 (1. Το διάνυσμα της γωνιακής ταχύτητας στο ΣΑ των κυρίων αξόνων γράφεται ω = ( ω b ω a a + b, a + b, (1. Εστω τ = (τ 1,τ,τ ηάγνωστηροπή,οιεξισώσειςτου Euler,λαμβάνοντας υπόψινότι ω = δίνουν Η ροπή λοιπόν είναι τ 1 = (I I ω ω = τ = (I 1 I ω 1 ω = τ = (I I 1 ω ω 1 = m (b a abω 1(a + b τ = m (b a abω 1(a + b ẑ (1.4 και παρατηρούμε ότι μηδενίζεται όταν a = b(τετραγωνική πλάκα καθώς σε αυτήν την περίπτωση η γωνιακή ταχύτητα είναι παράλληλη προς κύριο άξονα.
9 1.4. Εξισώσεις του Euler Πρόβλημα : Ελαφριά συμμετρική σβούρα Συμμετρική σβούρα μάζας m κινείται στο οριζόντιο επίπεδο. Υποθέστε ότι τοβάροςτηςσβούραςείναιμικρόκαιότιμπορείνααγνοηθείηεπίδραση της βαρύτητας στη μελέτη της κίνησής της. Να υπολογιστεί η γωνιακή συχνότητα περιστροφής της σβούρας. Σχήμα 1.5: Συμμετρική σβούρα. Με διακεκομμένη γραμμές το σύστημα των κυρίων αξόνων. Θεωρούμε τη συμμετρική σβούρα του Σχήματος 1.5. Λόγω συμμετρίας ο ένας κύριος άξονας αδράνειας συμπίπτει με τον άξονα συμμετρίας της σβούρας (zενώτονρόλοτωνδύοάλλοκύριωναξόνων(x, yμπορούνναπαίξουν οποιοιδήποτε κάθετοι μεταξύ τους άξονες στο κάθετο στον z επίπεδο(βλέπε σχήμα. Εστω I = I 11 = I και I = I οικύριεςροπέςαδράνειαςωςπρος τους κύριους άξονες(x, y και(z αντίστοιχα. Θα εργαστούμε αρχικά στο μη αδρανειακό σύστημα αναφοράς των κυρίων αξόνων. Αγνοώντας τη βαρύτητα οι ροπές μηδενίζονται και οι εξισώσεις του Euler(1.1 παίρνουν την απλή μορφή: I ω 1 + (I I ω ω = (1.5 I ω + (I I ω 1 ω = (1.6 I ω = (1.7 Απότην(1.7συμπεραίνουμεότι ω ==σταθεράκαιοι(1.5,(1.6παίρνουν τη μορφή ω 1 + w ω = (1.8 ω w ω 1 = (1.9 όπου w = I I I ω
10 1 ΚΕΦ ΑΛΑΙΟ1. ΜΗΧΑΝΙΚ ΗΤΟΥΣΤΕΡΕΟ ΥΣ ΩΜΑΤΟΣ Το τελευταίο σύστημα επιλύεται παραγωγίζοντας την πρώτη εξίσωση ως προς τοχρόνοκαιαντικαθιστώνταςτο ω απότηδεύτερη ω 1 + w ω 1 = (1.4 Η(1.4 έχει τη μορφή της διαφορικής εξίσωσης του αρμονικού ταλαντωτή και έχει λύση ω 1 = A sin (w t + φ (1.41 όπου A μια σταθερά. Αντικαθιστώντας στην(1.9 παίρνουμε ω = ω 1 w Η γωνιακή ταχύτητα της σβούρας είναι λοιπόν = A cos (w t + φ (1.4 ω = (A sin (w t + φ,a cos (w t + φ,ω (1.4 Οι συνιστώσες της στροφορμής στο σύστημα αναφοράς των κυρίων αξόνων είναι και κατά συνέπεια Παρατηρούμε ότι L i = I i ω i, i = 1,, (1.44 L = (AI sin (w t + φ,ai cos (w t + φ,i ω (1.45 Σχήμα 1.6: Κίνηση των διανυσμάτων της γωνιακής ταχύτητας και της στροφορμήςστομηαδρανειακό ΣΑτωνκυρίωναξόνων. Εδώ w > δηλαδή I > I. ω 1 + ω = A [ sin (w t + φ + cos (w t + φ ] = A (1.46
11 1.5. Βαριά συμμετρική σβούρα 11 και L 1 + L = A I [ sin (w t + φ + cos (w t + φ ] = A I (1.47 πουσυνεπάγεταιότιοικορυφέςτωνδιανυσμάτων ωκαι Lδιαγράφουνκύκλους, ακτίνων Aκαι AI αντίστοιχα,στοεπίπεδο x y. Επομένως,στοΣΑτων κυρίων αξόνων, η γωνιακή ταχύτητα και η στροφορμή εκτελούν μεταπτωτική κίνησηγύρωαπότονκύριοάξονα zμεσυχνότητα w. Για τον προσδιορισμό της κίνησης στο αδρανειακό σύστημα αναφοράς ξεκινάμε από τις σχέσεις(1.45,(1.4, με τη βοήθεια των οποίων διαπιστώνουμε ότι ω = 1 ( L I + 1 I w ẑ = 1 L I I + w ẑ (1.48 πουσυνεπάγεταιότιταδιανύσματα L, ω,ẑείναισυνεπίπεδα. Επιπλέον,καθώςηστροφορμήδιατηρείται,επιλέγουμετονένααπότουςάξονες(z I του αδρανειακούσακατάμήκοςτηςστροφορμής L L = Lẑ I (1.49 Σεαυτότοσύστημααναφοράςτα ẑκαι ωεκτελούνμεταπτωτικήκίνησηγύρω από τον άξονα z(διεύθυνση της στροφορμής. Η γωνιακή συχνότητα περιστροφήςθασυμπίπτειμετηγωνιακήσυχνότηταπεριστροφήςτουκύριουάξονα ẑ I, οποίος είναι ακίνητος στο μη αδρανειακό ΣΑ και χρησιμοποιώντας την(1.7 dẑ dt = ω ẑ = ( 1 I L w ẑ ẑ = L I ẑi ẑ (1.5 Η τελευταία σχέση συμπίπτει με την έκφραση για την περιστροφή του διανύσματος ẑ με γωνιακή συχνότητα μέτρου w = L I (1.51 γύρωαπότονάξονα z I. Κατάσυνέπεια,στοαδρανειακόσύστημααναφοράς ηδιεύθυνσητηςστροφορμήςπαραμένεισταθερήκατάμήκοςτουάξονα z I και τα διάνυσμα της γωνιακής συχνότητας εκτελεί μεταπτωτική κίνηση γύρω από τονάξοναμεγωνιακήσυχνότητα w = L/I. Μετηνίδιασυχνότηταεκτελεί μετάπτωσηγύρωαπότονάξονα z I τομοναδιαίοδιάνυσμα ẑ. 1.5 Βαριά συμμετρική σβούρα Συμμετρική σβούρα μάζας m κινείται στο οριζόντιο επίπεδο. Το κέντρο βάρουςτηςαπέχειαπόσταση lαπότοσημείοεπαφήςτηςσβούραςμετο έδαφος. Να βρεθούν οι εξισώσεις κίνησης της σβούρας και να επιλυθούν (iστηνπερίπτωσηπουηγωνία Euler θείναισταθερή( θ = (iiστην περίπτωσημικρώνμεταβολώνγωνιών θ, φ 1.
12 1 ΚΕΦ ΑΛΑΙΟ1. ΜΗΧΑΝΙΚ ΗΤΟΥΣΤΕΡΕΟ ΥΣ ΩΜΑΤΟΣ Σχήμα 1.7: Μεταπτωτική κίνηση του διανύσματος της γωνιακής συχνότητας ω και του μοναδιαίου διανύσματος ẑ γύρω από το διάνυσμα της στροφορμής στο αδρανειακό ΣΑ. Εισάγοντας τις γωνίες του Euler η γωνιακή ταχύτητα παίρνει τη μορφή ( ω = φsin ψ sin θ + θ cos ψ, φ cos ψ sin θ θ sin ψ, φ cos θ + ψ (1.5 Λόγωσυμμετρίαςθεωρούμετιςκύριεςροπέςαδράνειας I 1 = I = Iκαι I ως προςτουςάξονες x,yκαι z αντίστοιχα.ηκινητικήενέργειαγράφεται και η δυναμική ενέργεια είναι T = 1 ω L = I ( ω 1 + ω I + ω = = I ( θ + φ sin θ + I ( φcos θ + ψ (1.5 Η συνάρτηση Langrange δίνεται από L = T V = I ( θ + φ sin θ + I V = m g l cos θ (1.54 Οι εξισώσεις κίνησης δίνονται από ( d L dt ψ L ψ = d ( ψ + dt φ cos θ = ( φcos θ + ψ m g l cos θ (1.55 ψ + φ cos θ =σταθερά = ω (1.56 ( d L dt φ L φ = d ( I dt φ sin θ + I ω cos θ = I φsin θ + I ω cos θ =σταθερά = B ( d L dt θ L θ = I θ = I φ sin θ cos θ I ω φsin θ + m g lsin θ (1.57
13 1.5. Βαριά συμμετρική σβούρα 1 Συνοψίζοντας οι εξισώσεις κίνησης παίρνουν τη μορφή ψ + φ cos θ = ω (1.58 I φsin θ + I ω cos θ = B (1.59 I θ = (I φ cos θ I ω φ + m g l sin θ (1.6 Σταθερή γωνία θ Στηνπερίπτωση θ = ητελευταίαεξίσωσηπαίρνειτημορφή Ηοποίαέχειωςλύσεις φ I ω I cos θ φ + m g l I cos θ = (1.61 φ = I ω I cos θ ( 1 ± 1 και η άκρη της σβούρας διαγράφει κύκλο ( φ(t = I ω I cos θ 1 ± 1 4mglI cos θ I ω 4mglI cos θ I ω (1.6 t + φ (1.6 Μικρέςμεταβολέςγωνιών θ, φ 1 Σε αυτήν την περίπτωση μπορούμε να αγνοήσουμε τον τετραγωνικό όρο στην εξίσωση(1.59 ( I θ = m g l I ω φ sin θ (1.64 Παραγωζίζοντας την(1.58 ως προς τον χρόνο παίρνουμε I φ sin θ + I φ θ cos θ I ω sin θ θ = (1.65 καιαγνοώνταςτονόρο φ θέχουμε I φsin θ I ω θ = (1.66 Παραγωγίζοντας την τελευταία εξίσωση και αγνοώντας όρους ανώτερης τάξης έχουμε όπου ω n = I ω I I d φ dt sin θ I ω θ = d φ dt + I ω I ( I ω φ m g l d φ dt + ω n ( φ ωs (1.67 και ω s = m g l I ω.ηγενικήλύσητηςτελευταίαςεξίσωσηςείναι φ = ω s + C cos (ω n t + β (1.68
14 14 ΚΕΦ ΑΛΑΙΟ1. ΜΗΧΑΝΙΚ ΗΤΟΥΣΤΕΡΕΟ ΥΣ ΩΜΑΤΟΣ όπου Cκαι βσταθερές. Ολοκληρώνονταςάλλημιαφοράωςπροςτοχρόνο παίρνουμε φ(t = ω s t + C ω n sin(ω n t + β + φ (1.69 όπου φ μιανέασταθερά.εισάγονταςτηλύσηστην(1.66 θ = I sin θ I ω φ = C sin θ sin (ωn t + β (1.7 Ανκάνουμετηνυπόθεσηότιηγωνία θδεναλλάζειπολύμπορούμεναθέσουμε sin θ = sin θ καιναλύσουμετηντελευταίαεξίσωση θ(t = D + C sin θ ω n cos (ω n t + β (1.71 Παρατηρούμε ότι σε αυτήν την περίπτωση η άκρη της σβούρας διαγράφει κύκλο οοποίοςόμωςδιαταράσσεταιμεσυχνότητα ω n απόμιακίνησημπρος πίσω. Η κίνηση αυτή είναι γνωστή ως κλόνιση(nutation.
Κίνηση στερεών σωμάτων - περιστροφική
Κίνηση στερεών σωμάτων - περιστροφική ΦΥΣ 211 - Διαλ.29 1 q Ενδιαφέρουσα κίνηση: Ø Αρκετά περίπλοκη Ø Δεν καταλήγει σε κίνηση ενός βαθµού ελευθερίας q Τι είναι το στερεό σώµα: Ø Συλλογή υλικών σηµείων
Διαβάστε περισσότεραΦΥΣΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ. Η ενέργεια ταλάντωσης ενός κυλιόμενου κυλίνδρου
A A N A B P Y A 9 5 ΦΥΣΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ Η ενέργεια ταλάντωσης ενός κυλιόμενου κυλίνδρου Στερεό σώμα με κυλινδρική συμμετρία (κύλινδρος, σφαίρα, σφαιρικό κέλυφος, κυκλική στεφάνη κλπ) μπορεί να
Διαβάστε περισσότεραΣφαίρα σε ράγες: Η συνάρτηση Lagrange. Ν. Παναγιωτίδης
Η Εξίσωση Euler-Lagrange Σφαίρα σε ράγες: Η συνάρτηση Lagrange Ν. Παναγιωτίδης Έστω σύστημα δυο συγκλινόντων ραγών σε σχήμα Χ που πάνω τους κυλίεται σφαίρα ακτίνας. Θεωρούμε σύστημα συντεταγμένων με οριζόντιους
Διαβάστε περισσότεραΘεωρητική μηχανική ΙΙ
ΟΣΑ ΓΡΑΦΟΝΤΑΙ ΕΔΩ ΝΑ ΤΑ ΔΙΑΒΑΖΕΤΕ ΜΕ ΣΚΕΠΤΙΚΟ ΒΛΕΜΜΑ. ΜΠΟΡΕΙ ΝΑ ΠΕΡΙΕΧΟΥΝ ΛΑΘΗ. Θεωρητική μηχανική ΙΙ Να δειχθεί ότι αν L x, L y αποτελούν ολοκληρώματα της κίνησης τότε και η L z αποτελεί ολοκλήρωμα της
Διαβάστε περισσότεραΣφαίρα σε ράγες: Η συνάρτηση Lagrange. Ν. Παναγιωτίδης
Σφαίρα σε ράγες: Η συνάρτηση Lagrange Ν. Παναγιωτίδης Έστω σύστημα δυο συγκλινόντων ραγών σε σχήμα Χ που πάνω τους κυλίεται σφαίρα ακτίνας. Θεωρούμε σύστημα συντεταγμένων με οριζόντιους τους άξονες και.
Διαβάστε περισσότεραΓΡΑΠΤΗ ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΗ ΦΥΣΙΚΗ
ΑΤΕΙ ΠΕΙΡΑΙΑ/ ΣΤΕΦ 19//013 ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΙΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΓΡΑΠΤΗ ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΗ ΦΥΣΙΚΗ ΕΞΕΤΑΣΤΗΣ: ΒΑΡΣΑΜΗΣ ΧΡΗΣΤΟΣ ΔΙΑΡΚΕΙΑ ΩΡΕΣ ΑΣΚΗΣΗ 1 υ (m/s) Σώμα μάζας m = 1Kg κινείται σε ευθύγραμμη τροχιά
Διαβάστε περισσότεραΘεωρητική μηχανική ΙΙ
ΟΣΑ ΓΡΑΦΟΝΤΑΙ ΕΔΩ ΝΑ ΤΑ ΔΙΑΒΑΖΕΤΕ ΜΕ ΣΚΕΠΤΙΚΟ ΒΛΕΜΜΑ. ΜΠΟΡΕΙ ΝΑ ΠΕΡΙΕΧΟΥΝ ΛΑΘΗ. Θεωρητική μηχανική ΙΙ Να δειχθεί ότι αν L x, L y αποτελούν ολοκληρώματα της κίνησης τότε και η L z αποτελεί ολοκλήρωμα της
Διαβάστε περισσότεραΑΤΕΙ ΠΕΙΡΑΙΑ/ ΣΤΕΦ 3/2/2016 ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΓΡΑΠΤΗ ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΗ ΦΥΣΙΚΗ
ΑΤΕΙ ΠΕΙΡΑΙΑ/ ΣΤΕΦ 3/2/2016 ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΓΡΑΠΤΗ ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΗ ΦΥΣΙΚΗ ΕΞΕΤΑΣΤΗΣ: ΒΑΡΣΑΜΗΣ ΧΡΗΣΤΟΣ ΔΙΑΡΚΕΙΑ 2 ΩΡΕΣ ΑΣΚΗΣΗ 1 Σώμα μάζας m 0.25 Kg κινείται στο επίπεδο xy, με τις εξισώσεις κίνησης
Διαβάστε περισσότεραΦυσική Θετικών Σπουδών Γ τάξη Ενιαίου Λυκείου 2 0 Κεφάλαιο
Φυσική Θετικών Σπουδών Γ τάξη Ενιαίου Λυκείου 0 Κεφάλαιο Περιέχει: Αναλυτική Θεωρία Ερωτήσεις Θεωρίας Ερωτήσεις Πολλαπλής Επιλογής Ερωτήσεις Σωστού - λάθους Ασκήσεις ΘΕΩΡΙΑ 4- ΕΙΣΑΓΩΓΗ Στην μέχρι τώρα
Διαβάστε περισσότερα( ) ( ) ( )! r a. Στροφορμή στερεού. ω i. ω j. ω l. ε ijk. ω! e i. ω j ek = I il. ! ω. l = m a. = m a. r i a r j. ra 2 δ ij. I ij. ! l. l i.
Στροφορμή στερεού q Η στροφορµή του στερεού γράφεται σαν: q Αλλά ο τανυστής αδράνειας έχει οριστεί σαν: q H γωνιακή ταχύτητα δίνεται από: ω = 2 l = m a ra ω ω ra ω e a ΦΥΣ 211 - Διαλ.31 1 r a I j = m a
Διαβάστε περισσότεραΚΕΦΑΛΑΙΟ 9 ΠΕΡΙΣΤΡΟΦΗ ΣΤΕΡΕΩΝ ΣΩΜΑΤΩΝ 18/11/2011 ΚΕΦ. 9
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9 ΠΕΡΙΣΤΡΟΦΗ ΣΤΕΡΕΩΝ ΣΩΜΑΤΩΝ 18/11/011 ΚΕΦ. 9 1 ΓΩΝΙΑΚΗ ΚΙΝΗΣΗ: ΟΡΙΣΜΟΙ Περιστροφική κινηματική: περιγράφει την περιστροφική κίνηση. Στερεό Σώμα: Ιδανικό μοντέλο σώματος που έχει τελείως ορισμένα
Διαβάστε περισσότεραΜΗΧΑΝΙΣΜΟΙ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟ ΜΗΧΑΝΩΝ
ΜΗΧΑΝΙΣΜΟΙ & ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟ ΜΗΧΑΝΩΝ - Β. - Copyright ΕΜΠ - Σχολή Μηχανολόγων Μηχανικών - Εργαστήριο Δυναμικής και Κατασκευών - 06. Με επιφύλαξη παντός δικαιώµατος. All rights reserved. Απαγορεύεται
Διαβάστε περισσότεραΤμήμα Φυσικής Πανεπιστημίου Κύπρου Χειμερινό Εξάμηνο 2016/2017 ΦΥΣ102 Φυσική για Χημικούς Διδάσκων: Μάριος Κώστα. ΔΙΑΛΕΞΗ 09 Ροπή Αδρανείας Στροφορμή
Τμήμα Φυσικής Πανεπιστημίου Κύπρου Χειμερινό Εξάμηνο 2016/2017 ΦΥΣ102 Φυσική για Χημικούς Διδάσκων: Μάριος Κώστα ΔΙΑΛΕΞΗ 09 Ροπή Αδρανείας Στροφορμή ΦΥΣ102 1 Υπολογισμός Ροπών Αδράνειας Η Ροπή αδράνειας
Διαβάστε περισσότερα1 f. d F D x m a D x m D x dt. 2 t. Όλες οι αποδείξεις στην Φυσική Κατεύθυνσης Γ Λυκείου. Αποδείξεις. d t dt dt dt. 1. Απόδειξη της σχέσης.
Αποδείξεις. Απόδειξη της σχέσης N t T N t T. Απόδειξη της σχέσης t t T T 3. Απόδειξη της σχέσης t Ικανή και αναγκαία συνθήκη για την Α.Α.Τ. είναι : d F D ma D m D Η εξίσωση αυτή είναι μια Ομογενής Διαφορική
Διαβάστε περισσότερα1. Μετάπτωση Larmor (γενικά)
. Μετάπτωση Larmor (γενικά) Τι είναι η μετάπτωση; Μετάπτωση είναι η αλλαγή της διεύθυνσης του άξονα περιστροφής ενός περιστρεφόμενου αντικειμένου. Αν ο άξονας περιστροφής ενός αντικειμένου περιστρέφεται
Διαβάστε περισσότεραΚΙΝΗΜΑΤΙΚΗ ΤΩΝ ΡΕΥΣΤΩΝ
ΚΙΝΗΜΑΤΙΚΗ ΤΩΝ ΡΕΥΣΤΩΝ ΕΙΣΑΓΩΓΗ Σκοπός της κινηματικής είναι η περιγραφή της κίνησης του ρευστού Τα αίτια που δημιούργησαν την κίνηση και η αναζήτηση των δυνάμεων που την διατηρούν είναι αντικείμενο της
Διαβάστε περισσότερα2 Η ΠΡΟΟΔΟΣ. Ενδεικτικές λύσεις κάποιων προβλημάτων. Τα νούμερα στις ασκήσεις είναι ΤΥΧΑΙΑ και ΟΧΙ αυτά της εξέταση
2 Η ΠΡΟΟΔΟΣ Ενδεικτικές λύσεις κάποιων προβλημάτων Τα νούμερα στις ασκήσεις είναι ΤΥΧΑΙΑ και ΟΧΙ αυτά της εξέταση Ένας τροχός εκκινεί από την ηρεμία και επιταχύνει με γωνιακή ταχύτητα που δίνεται από την,
Διαβάστε περισσότεραΚεφάλαιο M11. Στροφορµή
Κεφάλαιο M11 Στροφορµή Στροφορµή Η στροφορµή παίζει σηµαντικό ρόλο στη δυναµική των περιστροφών. Αρχή διατήρησης της στροφορµής Η αρχή αυτή είναι ανάλογη µε την αρχή διατήρησης της ορµής. Σύµφωνα µε την
Διαβάστε περισσότεραwebsite:
Αριστοτέλειο Πανεπιστήμιο Θεσσαλονίκης Τμήμα Φυσικής Μηχανική Ρευστών Μαάιτα Τζαμάλ-Οδυσσέας 31 Μαρτίου 2019 1 Δυνάμεις μάζας και επαφής Δυνάμεις μάζας ή δυνάμεις όγκου ονομάζονται οι δυνάμεις που είναι
Διαβάστε περισσότεραΜΑΘΗΜΑ / ΤΑΞΗ: ΦΥΣΙΚΗ ΚΑΤΑΥΕΘΥΝΣΗΣ / Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΕΙΡΑ: ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Α (ΘΕΡΙΝΑ) ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: 09/03/2014
ΜΑΘΗΜΑ / ΤΑΞΗ: ΦΥΣΙΚΗ ΚΑΤΑΥΕΘΥΝΣΗΣ / Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΕΙΡΑ: ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Α (ΘΕΡΙΝΑ) ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: 09/03/04 ΘΕΜΑ Α Οδηγία: Στις ερωτήσεις Α Α4 να γράψετε στο τετράδιο σας τον αριθμό της ερώτησης και δίπλα το γράμμα
Διαβάστε περισσότεραΜηχανικό Στερεό. Μια εργασία για την Επανάληψη
Μηχανικό Στερεό. Μια εργασία για την Επανάληψη Απλές προτάσεις Για τον έλεγχο της κατανόησης και εφαρμογής των εννοιών Δογραματζάκης Γιάννης 9/5/2013 Απλές προτάσεις για τον έλεγχο της κατανόησης και εφαρμογής
Διαβάστε περισσότεραΦΥΣΙΚΗ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ
ΦΥΣΙΚΗ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 3 ο ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Α Στις ημιτελείς προτάσεις 1-4 να γράψετε στο τετράδιό σας τον αριθμό της πρότασης και δίπλα το γράμμα που αντιστοιχεί στη φράση,
Διαβάστε περισσότεραΚεφάλαιο 6β. Περιστροφή στερεού σώματος γύρω από σταθερό άξονα
Κεφάλαιο 6β Περιστροφή στερεού σώματος γύρω από σταθερό άξονα Ροπή Ροπή ( ) είναι η τάση που έχει μια δύναμη να περιστρέψει ένα σώμα γύρω από κάποιον άξονα. d είναι η κάθετη απόσταση του άξονα περιστροφής
Διαβάστε περισσότεραΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΙΙ
ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΤΜΗΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ ΤΟΜΕΑΣ ΑΣΤΡΟΝΟΜΙΑΣ ΑΣΤΡΟΦΥΣΙΚΗΣ ΚΑΙ ΜΗΧΑΝΙΚΗΣ ΣΠΟΥΔ ΑΣΤΗΡΙΟ ΜΗΧΑΝΙΚΗΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΑΝΑΛΥΤΙΚΗΣ ΔΥΝΑΜΙΚΗΣ Μεθοδολογία Κλεομένης Γ. Τσιγάνης Λέκτορας ΑΠΘ Πρόχειρες
Διαβάστε περισσότεραv = r r + r θ θ = ur + ωutθ r = r cos θi + r sin θj v = u 1 + ω 2 t 2
ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΦΥΣΙΚΉΣ Ι ΤΜΗΜΑ ΧΗΜΕΙΑΣ, 9 ΙΑΝΟΥΑΡΙΟΥ 019 ΚΏΣΤΑΣ ΒΕΛΛΙΔΗΣ, cvellid@phys.uoa.r, 10 77 6895 ΘΕΜΑ 1: Σώµα κινείται µε σταθερή ταχύτητα u κατά µήκος οριζόντιας ράβδου που περιστρέφεται
Διαβάστε περισσότεραΦΥΕ14-5 η Εργασία Παράδοση
ΦΥΕ4-5 η Εργασία Παράδοση.5.9 Πρόβληµα. Συµπαγής οµογενής κύλινδρος µάζας τυλιγµένος µε λεπτό νήµα αφήνεται να κυλίσει από την κορυφή κεκλιµένου επιπέδου µήκους l και γωνίας φ (ϐλέπε σχήµα). Το ένα άκρο
Διαβάστε περισσότεραΚεφάλαιο 10 Περιστροφική Κίνηση. Copyright 2009 Pearson Education, Inc.
Κεφάλαιο 10 Περιστροφική Κίνηση Περιεχόμενα Κεφαλαίου 10 Γωνιακές Ποσότητες Διανυσματικός Χαρακτήρας των Γωνιακών Ποσοτήτων Σταθερή γωνιακή Επιτάχυνση Ροπή Δυναμική της Περιστροφικής Κίνησης, Ροπή και
Διαβάστε περισσότεραΑΤΕΙ ΠΕΙΡΑΙΑ/ ΣΤΕΦ 3//7/2013 ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΙΑΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΓΡΑΠΤΗΣ ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΗ ΦΥΣΙΚΗ
ΑΤΕΙ ΠΕΙΡΑΙΑ/ ΣΤΕΦ 3//7/013 ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΙΑΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΓΡΑΠΤΗΣ ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΗ ΦΥΣΙΚΗ ΕΞΕΤΑΣΤΗΣ: ΒΑΡΣΑΜΗΣ ΧΡΗΣΤΟΣ ΔΙΑΡΚΕΙΑ ΩΡΕΣ ΑΣΚΗΣΗ 1 Σώμα μάζας m=0.1 Kg κινείται σε οριζόντιο δάπεδο ευθύγραμμα με την
Διαβάστε περισσότεραΓια τις παραπάνω ροπές αδράνειας ισχύει: α. β. γ. δ. Μονάδες 5
ΜΑΘΗΜΑ / ΤΑΞΗ : ΦΥΣΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ / Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΕΙΡΑ: ΘΕΡΙΝΑ Α (ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ) ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: 01-03-2015 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΟΣ: ΑΡΧΩΝ M-ΑΓΙΑΝΝΙΩΤΑΚΗ ΑΝ.-ΠΟΥΛΗ Κ. ΘΕΜΑ Α Οδηγία: Να γράψετε στο τετράδιό σας
Διαβάστε περισσότεραΠΡΟΩΘΗΣΗ ΠΥΡΑΥΛΩΝ. Η προώθηση των πυραύλων στηρίζεται στην αρχή διατήρησης της ορμής.
ΠΡΟΩΘΗΣΗ ΠΥΡΑΥΛΩΝ Η προώθηση των πυραύλων στηρίζεται στην αρχή διατήρησης της ορμής. Ο πύραυλος καίει τα καύσιμα που αρχικά βρίσκονται μέσα του και εκτοξεύει τα καυσαέρια προς τα πίσω. Τα καυσαέρια δέχονται
Διαβάστε περισσότεραΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 4 ΚΕΦΑΛΑΙΟ
ΠΡΟΒΛΗΜΑ 1 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 4 ΚΕΦΑΛΑΙΟ Η λεπτή, ομογενής ράβδος ΟΑ του σχήματος έχει μήκος, μάζα και μπορεί να περιστρέφεται σε κατακόρυφο επίπεδο γύρω από οριζόντιο ακλόνητο άξονα (άρθρωση) που διέρχεται
Διαβάστε περισσότεραΑΣΚΗΣΕΙΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΥ ΜΑΖΑΣ ΘΕΣΗΣ ΚΕΝΤΡΟΥ ΜΑΖΑΣ ΡΟΠΗΣ ΑΔΡΑΝΕΙΑΣ ΣΩΜΑΤΩΝ
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΥ ΜΑΖΑΣ ΘΕΣΗΣ ΚΕΝΤΡΟΥ ΜΑΖΑΣ ΡΟΠΗΣ ΑΔΡΑΝΕΙΑΣ ΣΩΜΑΤΩΝ ΓΕΝΙΚΕΣ ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ Α. Υπολογισμός της θέσης του κέντρου μάζας συστημάτων που αποτελούνται από απλά διακριτά μέρη. Τα απλά διακριτά
Διαβάστε περισσότεραΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΙΙ
ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΤΜΗΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ ΤΟΜΕΑΣ ΑΣΤΡΟΝΟΜΙΑΣ ΑΣΤΡΟΦΥΣΙΚΗΣ ΚΑΙ ΜΗΧΑΝΙΚΗΣ ΣΠΟΥΔΑΣΤΗΡΙΟ ΜΗΧΑΝΙΚΗΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΑΝΑΛΥΤΙΚΗΣ ΔΥΝΑΜΙΚΗΣ ( Μεθοδολογία- Παραδείγματα ) Κλεομένης Γ. Τσιγάνης
Διαβάστε περισσότεραΈνα εκκρεμές σε επιταχυνόμενο αμαξίδιο
Ένα εκκρεμές σε επιταχυνόμενο αμαξίδιο Το πρόβλημά μας είναι να προσδιορίσουμε την περίοδο των ταλαντώσεων του εκκρεμούς στο πρόβλημα που απεικονίζεται στο παραπάνω σχήμα υπό την προϋπόθεση ότι η δύναμη
Διαβάστε περισσότεραΚεφάλαιο 6α. Περιστροφή στερεού σώματος γύρω από σταθερό άξονα
Κεφάλαιο 6α Περιστροφή στερεού σώματος γύρω από σταθερό άξονα Στερεό (ή άκαμπτο) σώμα Τα μοντέλα ανάλυσης που παρουσιάσαμε μέχρι τώρα δεν μπορούν να χρησιμοποιηθούν για την ανάλυση όλων των κινήσεων. Μπορούμε
Διαβάστε περισσότεραΦΥΣ. 211 Τελική Εξέταση 10-Μάη-2014
ΦΥΣ. 211 Τελική Εξέταση 10-Μάη-2014 Πριν ξεκινήσετε συµπληρώστε τα στοιχεία σας (ονοµατεπώνυµο, αριθµό ταυτότητας) στο πάνω µέρος της σελίδας αυτής. Για τις λύσεις των ασκήσεων θα πρέπει να χρησιµοποιήσετε
Διαβάστε περισσότερα( )U 1 ( θ )U 3 ( ) = U 3. ( ) όπου U j περιγράφει περιστροφή ως προς! e j. Γωνίες Euler. ω i. ω = ϕ ( ) = ei = U ij ej j
Γωνίες Euler ΦΥΣ 11 - Διαλ.3 1 q Όλοι σχεδόν οι υπολογισµοί που έχουµε κάνει για την κίνηση ενός στερεού στο σύστηµα συντεταγµένων του στερεού σώµατος Ø Για παράδειγµα η γωνιακή ταχύτητα είναι: ω = i ω
Διαβάστε περισσότεραΕσωτερικές Αλληλεπιδράσεις Νο 3.
Το θέμα του 05, (επαναληπτικές) Εσωτερικές λληλεπιδράσεις Νο 3. Δύο ράβδοι είναι συνδεδεμένες στο άκρο τους και σχηματίζουν σταθερή γωνία 60 ο μεταξύ τους, όπως φαίνεται στο Σχήμα. Οι ράβδοι είναι διαφορετικές
Διαβάστε περισσότεραΘΕΜΑ Α Στις ερωτήσεις Α1 Α5 να γράψετε στο τετράδιο σας τον αριθμό της ερώτησης και δίπλα το γράμμα που αντιστοιχεί στη σωστή απάντηση.
Γ ΤΑΞΗ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΕΠΑΛ (ΟΜΑΔΑ Β ) ΚΥΡΙΑΚΗ 24/04/2016 - ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΦΥΣΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ (ΑΠΟΦΟΙΤΟΙ) ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙΔΩΝ: ΔΕΚΑΠΕΝΤΕ (15) ΘΕΜΑ Α Στις ερωτήσεις Α1 Α5 να γράψετε στο τετράδιο σας
Διαβάστε περισσότεραΦΥΣ. 211 Τελική Εξέταση 10-Μάη-2014
ΦΥΣ. 211 Τελική Εξέταση 10-Μάη-2014 Πριν ξεκινήσετε συµπληρώστε τα στοιχεία σας (ονοµατεπώνυµο, αριθµό ταυτότητας) στο πάνω µέρος της σελίδας αυτής. Για τις λύσεις των ασκήσεων θα πρέπει να χρησιµοποιήσετε
Διαβάστε περισσότεραΑ. Ροπή δύναµης ως προς άξονα περιστροφής
Μηχανική στερεού σώµατος, Ροπή ΡΟΠΗ ΔΥΝΑΜΗΣ Α. Ροπή δύναµης ως προς άξονα περιστροφής Έστω ένα στερεό που δέχεται στο άκρο F Α δύναµη F όπως στο σχήµα. Στο Ο διέρχεται άξονας περιστροφής κάθετος στο στερεό
Διαβάστε περισσότεραΦΥΣΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΤΕΡΕΟ ΣΩΜΑ. Ταυτόχρονη διατήρηση της ορμής και της στροφορμής σε κρούση
N B P Y T ΦΥΣΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΤΕΡΕΟ ΣΩΜΑ 9 5 Ταυτόχρονη διατήρηση της ορμής και της στροφορμής σε κρούση - y y h + O x Ω + O V x υ a Σχήμα : Το σύστημα με τους δύο παρατηρητές του φαινομένου
Διαβάστε περισσότεραΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΟΥ ΕΤΟΥΣ ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΗ ΦΥΣΙΚΗ Διδάσκοντες: Βαρσάμης Χρήστος, Φωτόπουλος Παναγιώτης
ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΟΥ ΕΤΟΥΣ 218-219 ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΗ ΦΥΣΙΚΗ Διδάσκοντες: Βαρσάμης Χρήστος, Φωτόπουλος Παναγιώτης ΘΕΜΑ 1 Διάρκεια εξέτασης 2 ώρες Υλικό σημείο κινείται ευθύγραμμα πάνω στον άξονα x με ταχύτητα,
Διαβάστε περισσότεραΡΟΠΗ ΑΔΡΑΝΕΙΑΣ (ΠΕΡΙΣΤΡΟΦΙΚΗ ΑΔΡΑΝΕΙΑ )
ΡΟΠΗ ΑΔΡΑΝΕΙΑΣ (ΠΕΡΙΣΤΡΟΦΙΚΗ ΑΔΡΑΝΕΙΑ ) Η περιστροφική αδράνεια ενός σώματος είναι το μέτρο της αντίστασης του στη μεταβολής της περιστροφικής του κατάστασης, αντίστοιχο της μάζας στην περίπτωση της μεταφορικής
Διαβάστε περισσότεραΕΝΟΤΗΤΑ 1: ΚΙΝΗΣΗ ΣΤΕΡΕΟΥ ΣΩΜΑΤΟΣ ΛΥΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ο : ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΣΤΕΡΕΟΥ ΣΩΜΑΤΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ : ΚΙΝΗΣΗ ΣΤΕΡΕΟΥ ΣΩΜΑΤΟΣ ΛΥΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β Ερώτηση. Tο γιο-γιο του σχήματος έχει ακτίνα R και αρχικά είναι ακίνητο. Την t=0 αφήνουμε ελεύθερο το δίσκο
Διαβάστε περισσότεραΜΑΘΗΜΑ / ΤΑΞΗ: ΦΥΣΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ / Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΕΙΡΑ: Α (ΘΕΡΙΝΑ) ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: 09/03/2014
ΜΑΘΗΜΑ / ΤΑΞΗ: ΦΥΣΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ / Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΕΙΡΑ: Α (ΘΕΡΙΝΑ) ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: 09/03/014 ΘΕΜΑ Α Οδηγία: Στις ερωτήσεις Α1 Α4 να γράψετε στο τετράδιο σας τον αριθμό της ερώτησης και δίπλα το γράμμα που αντιστοιχεί
Διαβάστε περισσότεραΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ Ι Σεπτέμβριος 2012
ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ Ι Σεπτέμβριος ΘΕΜΑ α) Υλικό σημείο μάζας κινείται στον άξονα Ο υπό την επίδραση του δυναμικού V=V() Αν για t=t βρίσκεται στη θέση = με ενέργεια Ε δείξτε ότι η κίνησή του δίνεται από
Διαβάστε περισσότεραΤο ελαστικο κωνικο εκκρεμε ς
Το ελαστικο κωνικο εκκρεμε ς 1. Εξισώσεις Euler -Lagrange x 0 φ θ z F l 0 y r m B Το ελαστικό κωνικό εκκρεμές αποτελείται από ένα ελατήριο με σταθερά επαναφοράς k, το οποίο αναρτάται από ένα σταθερό σημείο,
Διαβάστε περισσότεραΓια τις παραπάνω ροπές αδράνειας ισχύει: α. β. γ. δ. Μονάδες 5
ΜΑΘΗΜΑ / ΤΑΞΗ : ΦΥΣΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ / Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΕΙΡΑ: ΘΕΡΙΝΑ-A ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: 01-03-2015 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΟΣ: ΑΡΧΩΝ M-ΑΓΙΑΝΝΙΩΤΑΚΗ ΑΝ.-ΠΟΥΛΗ Κ. ΘΕΜΑ Α Οδηγία: Να γράψετε στο τετράδιό σας τον αριθμό καθεμιάς
Διαβάστε περισσότεραΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΦΥΣΙΚΗΣ 2019
ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΦΥΣΙΚΗΣ 019 Κινηματική ΑΣΚΗΣΗ Κ.1 Η επιτάχυνση ενός σώματος που κινείται ευθύγραμμα δίνεται από τη σχέση a = (4 t ) m s. Υπολογίστε την ταχύτητα και το διάστημα που διανύει το σώμα
Διαβάστε περισσότεραwebsite:
Αριστοτέλειο Πανεπιστήμιο Θεσσαλονίκης Τμήμα Φυσικής Μηχανική Ρευστών Μαάιτα Τζαμάλ-Οδυσσέας 3 Μαρτίου 2019 1 Τανυστής Παραμόρφωσης Συνοδεύον σύστημα ονομάζεται το σύστημα συντεταγμένων ξ i το οποίο μεταβάλλεται
Διαβάστε περισσότεραA! Κινηµατική άποψη. Σχήµα 1 Σχήµα 2
A Κινηµατική άποψη Θεωρούµε στερεό σώµα σε τυχαία κίνηση, η οποία εξέταζεται από ένα αδρα νειακό σύστηµα αναφοράς ΟXYZ. Εφοδιάζουµε το σώµα µε κινητό σύστηµα συντεταγµένων xyz ακλόνητα συνδεδεµένο µε αυτό,
Διαβάστε περισσότεραΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ. ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ Ι Σεπτέµβριος 2004
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ Ι Σεπτέµβριος 2004 Τµήµα Π. Ιωάννου & Θ. Αποστολάτου Θέµα 1 (25 µονάδες) Ένα εκκρεµές µήκους l κρέµεται έτσι ώστε η σηµειακή µάζα να βρίσκεται ακριβώς
Διαβάστε περισσότεραΑΤΕΙ ΠΕΙΡΑΙΑ/ ΣΤΕΦ 16/2/2012 ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΙΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ A ΓΡΑΠΤΗ ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΗ ΦΥΣΙΚΗ Ι
ΑΤΕΙ ΠΕΙΡΑΙΑ/ ΣΤΕΦ 6//0 ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΙΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ A ΓΡΑΠΤΗ ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΗ ΦΥΣΙΚΗ Ι ΕΞΕΤΑΣΤΗΣ: ΒΑΡΣΑΜΗΣ ΧΡΗΣΤΟΣ ΔΙΑΡΚΕΙΑ ΩΡΕΣ ΑΣΚΗΣΗ Σωματίδιο μάζας m = Kg κινείται ευθύγραμμα και ομαλά στον
Διαβάστε περισσότεραΈνας δακτύλιος με μια μπίλια
Ένας δακτύλιος με μια μπίλια Θεωρούμε ένα κατακόρυφο δακτύλιο ακτίνας R και μάζας m στο εσωτερικό του οποίου έχει προσκολληθεί σφαιρίδιο αμελητέων διαστάσεων μάζας m. O δακτύλιος μπορεί να κυλίεται χωρίς
Διαβάστε περισσότεραΥΝΑΜΙΚΗ ΤΗΣ ΠΕΡΙΣΤΡΟΦΙΚΗΣ ΚΙΝΗΣΗΣ 18/11/2011 ΚΕΦ. 10
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 10 ΥΝΑΜΙΚΗ ΤΗΣ ΠΕΡΙΣΤΡΟΦΙΚΗΣ ΚΙΝΗΣΗΣ 1 ΕΞΩΤΕΡΙΚΟ ΓΙΝΟΜΕΝΟ (ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ) Μέτρο εξωτερικού γινομένου 2 C A B C ABsin διανυσμάτων A και B Ιδιότητες εξωτερικού γινομένου A B B A εν είναι αντιμεταθετικό.
Διαβάστε περισσότεραΚεφάλαιο 11 Στροφορμή
Κεφάλαιο 11 Στροφορμή Περιεχόμενα Κεφαλαίου 11 Στροφορμή Περιστροφή Αντικειμένων πέριξ σταθερού άξονα Το Εξωτερικό γινόμενο-η ροπή ως διάνυσμα Στροφορμή Σωματιδίου Στροφορμή και Ροπή για Σύστημα Σωματιδίων
Διαβάστε περισσότεραΕΝΩΣΗ ΚΥΠΡΙΩΝ ΦΥΣΙΚΩΝ
ΕΝΩΣΗ ΚΥΠΡΙΩΝ ΦΥΣΙΚΩΝ 5 Η ΠΑΓΚΥΠΡΙΑ ΟΛΥΜΠΙΑ Α ΦΥΣΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ (Πρώτη Φάση) Κυριακή, 6 Ιανουαρίου, Προτεινόμενες Λύσεις Πρόβλημα - ( μονάδες) Ένα όχημα, μαζί με ένα κανόνι που είναι ακλόνητο πάνω σε αυτό,
Διαβάστε περισσότεραΠΕΙΡΑΜΑ 9. Γυροσκόπιο και οι νόμοι του
ΠΕΙΡΑΜΑ 9 Γυροσκόπιο και οι νόμοι του Σκοπός του πειράματος Σκοπός του πειράματος είναι ο καθορισμός της ροπής αδράνειας του δίσκου του γυροσκοπίου, Ιp, μέσω της μέτρησης του χρόνου (α) πτώσης διαφόρων
Διαβάστε περισσότεραΜΑΘΗΜΑ / ΤΑΞΗ : ΦΥΣΙΚΗ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ Β ΛΥΚΕΙΟΥ (ΠΡΟΕΤΟΙΜΑΣΙΑ) ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: 19/03/2017 (ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ) ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΟΣ: ΑΡΧΩΝ ΜΑΡΚΟΣ
ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΕΚΠ ΕΤΟΥΣ 206-207 ΜΑΘΗΜΑ / ΤΑΞΗ : ΦΥΣΙΚΗ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ Β ΛΥΚΕΙΟΥ (ΠΡΟΕΤΟΙΜΑΣΙΑ) ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: 9/03/207 (ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ) ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΟΣ: ΑΡΧΩΝ ΜΑΡΚΟΣ ΘΕΜΑ Α Οδηγία: Να γράψετε στο τετράδιό
Διαβάστε περισσότεραΜηχανική Πετρωμάτων Τάσεις
Μηχανική Πετρωμάτων Τάσεις Δρ Παντελής Λιόλιος Σχολή Μηχανικών Ορυκτών Πόρων Πολυτεχνείο Κρήτης http://minelabmredtucgr Τελευταία ενημέρωση: 28 Φεβρουαρίου 2017 Δρ Παντελής Λιόλιος (ΠΚ) Τάσεις 28 Φεβρουαρίου
Διαβάστε περισσότεραΤα θέματα συνεχίζονται στην πίσω σελίδα
ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΤΕ ΚΑΙ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΤΟΠΟΓΡΑΦΙΑΣ ΚΑΙ ΓΕΩΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΤΕ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΤΕ ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΗ ΙΑΝΟΥΑΡΙΟΥ ΑΚΑΔ. ΕΤΟΣ 16-17 Διδάσκων : Χ. Βοζίκης Τ. Ε. Ι. ΚΕΝΤΡΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ
Διαβάστε περισσότεραΘΕΜΑ Α Στις ερωτήσεις Α1 Α5 να γράψετε στο τετράδιο σας τον αριθμό της ερώτησης και δίπλα το γράμμα που αντιστοιχεί στη σωστή απάντηση.
Γ ΤΑΞΗ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΕΠΑΛ (ΟΜΑΔΑ Β ) ΚΥΡΙΑΚΗ 24/04/2016 - ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΦΥΣΙΚΗ Ο.Π. ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙΔΩΝ: ΔΕΚΑΕΞΙ (16) ΘΕΜΑ Α Στις ερωτήσεις Α1 Α5 να γράψετε στο τετράδιο σας τον
Διαβάστε περισσότερα( ) { } ( ) ( ( ) 2. ( )! r! e j ( ) Κίνηση στερεών σωμάτων. ω 2 2 ra. ω j. ω i. ω = ! ω! r a. 1 2 m a T = T = 1 2 i, j. I ij. r j. d 3! rρ. r! e!
Κίνηση στερεών σωμάτων ΦΥΣ 11 - Διαλ.30 1 q Κίνηση στερεού σώµατος: Ø Υπολογισµός της κινητικής ενέργειας Ø Θεωρήσαµε ότι ένα σώµα διακριτής ή συνεχούς κατανοµής µάζας q Η κινητική ενέργεια δίνεται από
Διαβάστε περισσότεραΤΕΛΟΣ 1ΗΣ ΑΠΟ 4 ΣΕΛΙ ΕΣ
ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΤΕΚΝΩΝ ΕΛΛΗΝΩΝ ΤΟΥ ΕΞΩΤΕΡΙΚΟΥ ΚΑΙ ΤΕΚΝΩΝ ΕΛΛΗΝΩΝ ΥΠΑΛΛΗΛΩΝ ΣΤΟ ΕΞΩΤΕΡΙΚΟ ΠΕΜΠΤΗ 12 ΣΕΠΤΕΜΒΡΙΟΥ 2013 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ: ΦΥΣΙΚΗ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙΔΩΝ:
Διαβάστε περισσότεραΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΟΥ ΕΤΟΥΣ ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΗ ΦΥΣΙΚΗ, 8 Μαρτίου 2019 Διδάσκοντες: Βαρσάμης Χρήστος, Φωτόπουλος Παναγιώτης
ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΟΥ ΕΤΟΥΣ 218-219 ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΗ ΦΥΣΙΚΗ, 8 Μαρτίου 219 Διδάσκοντες: Βαρσάμης Χρήστος, Φωτόπουλος Παναγιώτης ΘΕΜΑ 1 Διάρκεια εξέτασης 2 ώρες Υλικό σημείο κινείται ευθύγραμμα πάνω στον άξονα
Διαβάστε περισσότεραΔιαγώνισμα Μηχανική Στερεού Σώματος
Διαγώνισμα Μηχανική Στερεού Σώματος Θέμα Α Στις ημιτελείς προτάσεις Α1-Α4 να γράψετε στο τετράδιό σας τον αριθμό της πρότασης και δίπλα το γράμμα που αντιστοιχεί στη φράση η οποία τη συμπληρώνει σωστά
Διαβάστε περισσότερα3. ΥΝΑΜΙΚΗ ΡΟΜΠΟΤΙΚΩΝ ΒΡΑΧΙΟΝΩΝ
3. ΥΝΑΜΙΚΗ ΡΟΜΠΟΤΙΚΩΝ ΒΡΑΧΙΟΝΩΝ Η δυναµική ασχολείται µε την εξαγωγή και τη µελέτη του δυναµικού µοντέλου ενός ροµποτικού βραχίονα. Το δυναµικό µοντέλο συνίσταται στις διαφορικές εξισώσεις που περιγράφουν
Διαβάστε περισσότεραm i r i z i Αν είναι x, y, z τα µοναδιαία διανύσµατα των τριών αξόνων, τότε τα διανύσµατα ω r και r i µπορούν αντίστοιχα να γραφούν: r r x i y i ω x
ΓΕΝΙΚΗ ΚΙΝΗΣΗ ΣΤΕΡΕΟΥ ΣΤΡΟΦΟΡΜΗ, ΤΑΝΥΣΤΗΣ Α ΡΑΝΕΙΑΣ, ΚΥΡΙΟΙ ΑΞΟΝΕΣ ΚΙΝΗΤΙΚΗ ΕΝΕΡΓΕΙΑ Έστ ότι το στερεό του σχήµατος στρέφεται µε γνιακή ταχύτητα (,, γύρ από άξονα που διέρχεται από σταθερό σηµείο Ο. Αν
Διαβάστε περισσότεραΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 (ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΣΤΕΡΕΟΥ ΣΩΜΑΤΟΣ) ΚΥΡΙΑΚΗ 15 ΜΑΡΤΙΟΥ 2015 ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙΔΩΝ 5
ΑΡΧΗ 1 ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 (ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΣΤΕΡΕΟΥ ΣΩΜΑΤΟΣ) ΚΥΡΙΑΚΗ 15 ΜΑΡΤΙΟΥ 2015 ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙΔΩΝ 5 ΘΕΜΑ Α Να γράψετε στο τετράδιό σας τον
Διαβάστε περισσότεραΣΕΙΡΑ: 3 Κύματα: αρμονικό έως στάσιμο, Στερεό: κινηματική έως διατήρηση στροφορμής
ΜΑΘΗΜΑ /ΤΑΞΗ: Φυσική Κατεύθυνσης Γ Λυκείου ΟΝΟΜΑΤΕΠΩΝΥMΟ: ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: 16/03/014 ΣΕΙΡΑ: 3 ΕΞΕΤΑΣΤΕΑ ΥΛΗ: Κύματα: αρμονικό έως στάσιμο, Στερεό: κινηματική έως διατήρηση στροφορμής ΘΕΜΑ Α Να γράψετε στο τετράδιό
Διαβάστε περισσότεραΣωματίδιο μάζας m κινείται στο οριζόντιο επίπεδο xy σε κυκλική τροχιά με σταθερή γωνιακή ταχύτητα ω. Τι συμπεραίνετε για τη στροφορμή του;
Άσκηση Σωματίδιο μάζας m κινείται στο οριζόντιο επίπεδο xy σε κυκλική τροχιά με σταθερή γωνιακή ταχύτητα ω. Τι συμπεραίνετε για τη στροφορμή του; Απάντηση Έστω R n η ακτίνα του κύκλου. Αφού η κίνηση είναι
Διαβάστε περισσότεραΡοπή αδράνειας. q Ας δούµε την ροπή αδράνειας ενός στερεού περιστροφέα: I = m(2r) 2 = 4mr 2
ΦΥΣ 131 - Διαλ.22 1 Ροπή αδράνειας q Ας δούµε την ροπή αδράνειας ενός στερεού περιστροφέα: m (α) m (β) m r r 2r 2 2 I =! m i r i = 2mr 2 1 I = m(2r) 2 = 4mr 2 Ø Είναι δυσκολότερο να προκαλέσεις περιστροφή
Διαβάστε περισσότεραΕΝΟΤΗΤΑ 5: ΚΙΝΗΤΙΚΗ ΕΝΕΡΓΕΙΑ ΚΑΙ ΕΡΓΟ ΔΥΝΑΜΗΣ ΣΤΗ ΣΤΡΟΦΙΚΗ ΚΙΝΗΣΗ ΛΥΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 Ο : ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΣΤΕΡΕΟΥ ΣΩΜΑΤΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 5: ΚΙΝΗΤΙΚΗ ΕΝΕΡΓΕΙΑ ΚΑΙ ΕΡΓΟ ΔΥΝΑΜΗΣ ΣΤΗ ΣΤΡΟΦΙΚΗ ΚΙΝΗΣΗ ΛΥΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ Ερώτηση. ΘΕΜΑ Β Ένα ομογενές σώμα με κανονικό γεωμετρικό σχήμα κυλίεται, χωρίς να
Διαβάστε περισσότεραΣτροφορµή. υο παρατηρήσεις: 1) Η στροφορµή ενός υλικού σηµείου, που υπολογίζουµε µε βάση τα προηγούµενα, αναφέρεται. σε µια ορισµένη χρονική στιγµή.
Στροφορµή Έστω ένα υλικό σηµείο που κινείται µε ταχύτητα υ και έστω ένα σηµείο Ο. Ορίζουµε στροφορµή του υλικού σηµείου ως προς το Ο, το εξωτερικό γινόµενο: L= r p= m r υ Όπου r η απόσταση του υλικού σηµείου
Διαβάστε περισσότεραΚεφάλαιο 10 Περιστροφική Κίνηση. Copyright 2009 Pearson Education, Inc.
Κεφάλαιο 10 Περιστροφική Κίνηση Περιεχόµενα Κεφαλαίου 10 Γωνιακές Ποσότητες Διανυσµατικός Χαρακτήρας των Γωνιακών Ποσοτήτων Σταθερή γωνιακή Επιτάχυνση Ροπή Δυναµική της Περιστροφικής Κίνησης, Ροπή και
Διαβάστε περισσότεραΤμήμα Φυσικής Πανεπιστημίου Κύπρου Χειμερινό Εξάμηνο 2016/2017 ΦΥΣ102 Φυσική για Χημικούς Διδάσκων: Μάριος Κώστα. ΔΙΑΛΕΞΗ 03 Νόμοι κίνησης του Νεύτωνα
Τμήμα Φυσικής Πανεπιστημίου Κύπρου Χειμερινό Εξάμηνο 2016/2017 ΦΥΣ102 Φυσική για Χημικούς Διδάσκων: Μάριος Κώστα ΔΙΑΛΕΞΗ 03 Νόμοι κίνησης του Νεύτωνα ΦΥΣ102 1 Δύναμη είναι: Η αιτία που προκαλεί μεταβολή
Διαβάστε περισσότεραΦΥΣΙΚΗ Ι. ΤΜΗΜΑ Α Ευστάθιος Στυλιάρης ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟN ΑΘΗΝΩΝ,, ΠΕΡΙΣΤΡΟΦΗ ΣΤΕΡΕΟΥ ΣΩΜΑΤΟΣ. ΚΥΛΙΣΗ, ΡΟΠΗ και ΣΤΡΟΦΟΡΜΗ
ΠΕΡΙΣΤΡΟΦΗ ΣΤΕΡΕΟΥ ΣΩΜΑΤΟΣ Γωνιακή Μετατόπιση & Ταχύτητα Περιστροφική Κινητική Ενέργεια & Ροπή Αδράνειας Υπολογισμός Ροπής Αδράνειας Στερεών Σωμάτων Θεώρημα Παραλλήλων Αξόνων (Steine) ΚΥΛΙΣΗ, ΡΟΠΗ και
Διαβάστε περισσότεραΦΥΣΙΚΗ Ο.Π. ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ
Κανάρη 36, Δάφνη Τηλ 0 973934 & 0 9769376 ΘΕΜΑ Α ΦΥΣΙΚΗ ΟΠ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ Ι Οδηγία: Στις ερωτήσεις -4 να γράψετε στο τετράδιό σας τον αριθμό της ερώτησης και δίπλα το γράμμα που αντιστοιχεί στη σωστή
Διαβάστε περισσότεραΔιαγώνισμα Γ Λυκείου Θετικού προσανατολισμού. Διαγώνισμα Μηχανική Στερεού Σώματος. Τετάρτη 12 Απριλίου Θέμα 1ο
Διαγώνισμα Μηχανική Στερεού Σώματος Τετάρτη 12 Απριλίου 2017 Θέμα 1ο Στις παρακάτω προτάσεις 1.1 1.4 να επιλέξτε την σωστή απάντηση (4 5 = 20 μονάδες ) 1.1. Η γωνιακή επιτάχυνση ενός ομογενούς δίσκου που
Διαβάστε περισσότεραdv 2 dx v2 m z Β Ο Γ
Μηχανική Ι Εργασία #2 Χειμερινό εξάμηνο 218-219 Ν Βλαχάκης 1 Στην άσκηση 4 της εργασίας #1 αρχικά για t = είναι φ = και η ταχύτητα του σώματος είναι v με φορά κάθετη στο νήμα ώστε αυτό να τυλίγεται στον
Διαβάστε περισσότεραΑΤΕΙ ΠΕΙΡΑΙΑ/ ΣΤΕΦ 23/9/2015 ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΓΡΑΠΤΗ ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΗ ΦΥΣΙΚΗ
ΑΤΕΙ ΠΕΙΡΑΙΑ/ ΣΤΕΦ /9/015 ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΓΡΑΠΤΗ ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΗ ΦΥΣΙΚΗ ΕΞΕΤΑΣΤΗΣ: ΒΑΡΣΑΜΗΣ ΧΡΗΣΤΟΣ ΔΙΑΡΚΕΙΑ ΩΡΕΣ ΑΣΚΗΣΗ 1 Σώμα κινείται σε ευθύγραμμη οριζόντια τροχιά με την ταχύτητά του σε συνάρτηση
Διαβάστε περισσότερατο άκρο Β έχει γραμμική ταχύτητα μέτρου.
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ο : ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΣΤΕΡΕΟΥ ΣΩΜΑΤΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 1: ΚΙΝΗΣΗ ΣΤΕΡΕΟΥ ΣΩΜΑΤΟΣ 1. Μια ράβδος ΑΒ περιστρέφεται με σταθερή γωνιακή ταχύτητα γύρω από έναν σταθερό οριζόντιο άξονα που περνάει από ένα σημείο πάνω
Διαβάστε περισσότεραΦΥΣΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΣΤΕΡΕΟΥ 2013
ΦΥΣΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΣΤΕΡΕΟΥ 03 ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Α Α. c Α. d Α3. c Α4. c Α5. Σ, Λ, Σ, Σ, Λ ΘΕΜΑ Β Β. Σωστή απάντηση είναι η (γ). Γνωρίζουμε (σχολικό βιβλίο, σελ. 3) ότι ένα
Διαβάστε περισσότεραΚΛΑΣΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΔΥΝΑΜΙΚΗ ΤΩΝ ΣΤΕΡΩΝ ΣΩΜΑΤΩΝ
ΚΛΑΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Γ ΔΥΝΑΜΙΚΗ ΤΩΝ ΤΕΡΩΝ ΩΜΑΤΩΝ Τα στερεά σώματα χαρακτηρίζονται από το ότι τα συστατικά τους στοιχεία διατηρούν σταθερές τις μεταξύ τους αποστάσεις κατά τις κινήσεις τους στο χώρο
Διαβάστε περισσότεραΔυναμική Μηχανών I. Διάλεξη 3. Χειμερινό Εξάμηνο 2013 Τμήμα Μηχανολόγων Μηχ., ΕΜΠ
Δυναμική Μηχανών I Διάλεξη 3 Χειμερινό Εξάμηνο 2013 Τμήμα Μηχανολόγων Μηχ., ΕΜΠ Περιεχόμενα: Διακριτή Μοντελοποίηση Μηχανικών Συστημάτων Επανάληψη: Διακριτά στοιχεία μηχανικών δυναμικών συστημάτων Δυναμικά
Διαβάστε περισσότεραΜΑΘΗΜΑ / ΤΑΞΗ : ΦΥΣΙΚΗ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ Β ΛΥΚΕΙΟΥ (ΠΡΟΕΤΟΙΜΑΣΙΑ) ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: 19/03/2017 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΟΣ: ΑΡΧΩΝ ΜΑΡΚΟΣ
ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΕΚΠ ΕΤΟΥΣ 2016-2017 ΜΑΘΗΜΑ / ΤΑΞΗ : ΦΥΣΙΚΗ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ Β ΛΥΚΕΙΟΥ (ΠΡΟΕΤΟΙΜΑΣΙΑ) ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: 19/03/2017 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΟΣ: ΑΡΧΩΝ ΜΑΡΚΟΣ ΘΕΜΑ Α Οδηγία: Να γράψετε στο τετράδιό σας τον
Διαβάστε περισσότεραΜηχανική Στερεού Ασκήσεις Εμπέδωσης
Μηχανική Στερεού Ασκήσεις Εμπέδωσης Όπου χρειάζεται, θεωρείστε δεδομένο ότι g = 10m/s 2. 1. Μία ράβδος ΟΑ, μήκους L = 0,5m, περιστρέφεται γύρω από σταθερό άξονα που περνάει από το ένα άκρο της Ο, με σταθερή
Διαβάστε περισσότεραΚΕΦΑΛΑΙΟ 5: ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΠΟΛΛΩΝ ΣΩΜΑΤΩΝ
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5: ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΠΟΛΛΩΝ ΣΩΜΑΤΩΝ Στο κεφάλαιο αυτό θα ασχοληθούµε αρχικά µε ένα µεµονωµένο σύστηµα δύο σωµάτων στα οποία ασκούνται µόνο οι µεταξύ τους κεντρικές δυνάµεις, επιτρέποντας ωστόσο και την
Διαβάστε περισσότεραΤμήμα Φυσικής Πανεπιστημίου Κύπρου Χειμερινό Εξάμηνο 2016/2017 ΦΥΣ102 Φυσική για Χημικούς Διδάσκων: Μάριος Κώστα
Τμήμα Φυσικής Πανεπιστημίου Κύπρου Χειμερινό Εξάμηνο 2016/2017 ΦΥΣ102 Φυσική για Χημικούς Διδάσκων: Μάριος Κώστα ΔΙΑΛΕΞΗ 08 Δυναμική περιστροφικής κίνησης Ροπή Ροπή Αδρανείας ΦΥΣ102 1 Περιστροφική κίνηση
Διαβάστε περισσότεραΑΣΚΗΣΗ 5.1 Το διάνυσμα θέσης ενός σώματος μάζας m=0,5kgr δίνεται από τη σχέση: 3 j οπότε το μέτρο της ταχύτητας θα είναι:
ΑΣΚΗΣΗ. Το διάνυσμα θέσης ενός σώματος μάζας =,k δίνεται από τη σχέση: 6. α Βρείτε την θέση και το μέτρο της ταχύτητας του κινητού την χρονική στιγμή. β Τι είδους κίνηση κάνει το κινητό σε κάθε άξονα;
Διαβάστε περισσότεραΕρωτήσεις. 2. Η ροπή αδράνειας μιας σφαίρας μάζας Μ και ακτίνας R ως προς άξονα που διέρχεται
- Μηχανική στερεού σώματος Ερωτήσεις 1. Στερεό στρέφεται γύρω από σταθερό άξονα. Η γωνιακή ταχύτητα του στερεού μεταβάλλεται με το χρόνο όπως στο διπλανό διάγραμμα ω -. Να χαρακτηρίσετε τις παρακάτω προτάσεις
Διαβάστε περισσότεραΑσκήσεις κέντρου μάζας και ροπής αδράνειας. αν φανταστούμε ότι το χωρίζουμε το στερεό σώμα σε μικρά κομμάτια, μόρια, μάζας m i και θέσης r i
Κέντρο μάζας Ασκήσεις κέντρου μάζας και ροπής αδράνειας Η θέση κέντρου μάζας ορίζεται ως r r i i αν φανταστούμε ότι το χωρίζουμε το στερεό σώμα σε μικρά κομμάτια, μόρια, μάζας i και θέσης r i. Συμβολίζουμε
Διαβάστε περισσότερα[1kgm 2, 5m/s, 3,2cm, 8rad/s][1kgm 2, 5m/s, 3,2cm, 8rad/s]
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ο : ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΣΤΕΡΕΟΥ ΣΩΜΑΤΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 5: ΚΙΝΗΤΙΚΗ ΕΝΕΡΓΕΙΑ ΚΑΙ ΕΡΓΟ ΔΥΝΑΜΗΣ ΣΤΗ ΣΤΡΟΦΙΚΗ ΚΙΝΗΣΗ 34. Μία κατακόρυφη ράβδος μάζας μήκους, μπορεί να περιστρέφεται στο κατακόρυφο επίπεδο γύρω από
Διαβάστε περισσότεραΦΥΕ 14 5η ΕΡΓΑΣΙΑ Παράδοση ( Οι ασκήσεις είναι βαθμολογικά ισοδύναμες) Άσκηση 1 : Aσκηση 2 :
ΦΥΕ 14 5 η ΕΡΓΑΣΙΑ Παράδοση 19-5-8 ( Οι ασκήσεις είναι βαθμολογικά ισοδύναμες) Άσκηση 1 : Συμπαγής κύλινδρος μάζας Μ συνδεδεμένος σε ελατήριο σταθεράς k = 3. N / και αμελητέας μάζας, κυλίεται, χωρίς να
Διαβάστε περισσότεραΔιαγώνισμα Φυσικής Κατεύθυνσης Γ Λυκείου
Διαγώνισμα Φυσικής Κατεύθυνσης Γ Λυκείου Ζήτημα 1 ον 1.. Ένα σημειακό αντικείμενο εκτελεί απλή αρμονική ταλάντωση. Τις χρονικές στιγμές που το μέτρο της ταχύτητας του αντικειμένου είναι μέγιστο, το μέτρο
Διαβάστε περισσότεραEΡΓΑΣΙΑ 5 η Καταληκτική ηµεροµηνία παράδοσης: 20 Ιουλίου 2003
1 EΡΓΑΣΙΑ 5 η Καταληκτική ηµεροµηνία παράδοσης: 20 Ιουλίου 2003 1. Από την ίδια γραµµή αφετηρίας(από το ίδιο ύψος) ενός κεκλιµένου επιπέδου αφήστε να κυλήσουν, ταυτόχρονα προς τα κάτω, δύο κυλίνδροι της
Διαβάστε περισσότεραΦΥΣΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΣΤΕΡΕΟΥ 2013
ΦΥΣΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΣΤΕΡΕΟΥ 2013 ΘΕΜΑ Α Να γράψετε στο τετράδιό σας τον αριθμό καθεμιάς από τις παρακάτω ερωτήσεις Α1- Α4 και δίπλα το γράμμα που αντιστοιχεί στη σωστή
Διαβάστε περισσότεραΓενική Φυσική. Ενότητα 7: Δυναμική Άκαμπτου Σώματος. Γεώργιος Βούλγαρης Σχολή Θετικών Επιστημών Τμήμα Μαθηματικών
Γενική Φυσική Γεώργιος Βούλγαρης Σχολή Θετικών Επιστημών Τμήμα Μαθηματικών Περιστροφή Άκαμπτου Σώματος 1) ) 1. Κάθε σημείο Περιστρέφεται με την ίδια Γωνιακή Ταχύτητα.. Κάθε σημείο Περιστρέφεται με την
Διαβάστε περισσότεραΥπολογισμός ροπής αδράνειας. Για συνεχή κατανομή μάζας έχουμε:
Υπολογισμός ροπής αδράνειας Για συνεχή κατανομή μάζας έχουμε: I = r dm Υπολογισμός ροπής αδράνειας Θεώρημα παράλληλων αξόνων Icm I p Ροπή αδράνειας ως προς άξονα που περνά από το κέντρο μάζας Ροπή αδράνειας
Διαβάστε περισσότερα