λ + ω 0 2 = 0, Lösung: λ 1,2

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1 SDOFs Der lineare Einassenschwinger Bewegungsgleichung!!x + c!x + k x = f () = p()...krafanregung!!x g ()...Weganregung!!x + ζω!x + ω x = f (), ω = k, ζ = c k... Lehr'sches Däpfungsaß AB : x( = ) = x,!x( = ) =!x v Gesalösung: x() = x h () + x p () Freie Schwingung x h ()... Lösung der hoogenen Schwingungsgleichung!!x h + ζω!x h + ω x h = Ansaz: x h () = Ce λ charakerisische Gleichung λ + ζω λ + ω =, Lösung: λ, = ζ ± ζ ω

2 SDOFs Viskos gedäpfe Schwingung ζ < : λ, = ζ ± i ζ ω λ,... konjugier koplex x h () = C e λ + C e λ = e ζ ω ( C + C )cosω D + i( C C )sinω D ω D ω ' =ω ζ rad s... Eigenkreisfrequenz, ω D ω für kleine Däpfung ( ζ << ) f = ω D π Hz... lineare Eigenfrequenz, T = f s... Schwingungsdauer, Periode x h () uss reell sein ( C + C ) uss reell und ( C C ) uss iaginär sein; C,C üssen konjugier koplex sein: C = A ib, C = A + ib x h () = e ζ ω ( Acosω D + Bsinω D ) Uforung: A = acosε, B = asinε x h () = ae ζ ω ( cosε cosω D + sinε sinω D ) = ae ζ ω cos( ω D ε ) i a = A + B, cosε = A oder sinε = B a a!x h () = ζ ω e ζ ω ( Acosω D + Bsinω D ) + ω D e ζ ω ( Asinω D + Bcosω D ) ( ) + ζ ( Asinω D Bcosω D ) = ω e ζ ω ζ Acosω D + Bsinω D = ae ζ ω ω ζ cos ω D ε ( ) + ζ sin( ω D ε )

3 SDOFs 3 Zeilich haronisch erzwungene Schwingungen f () = f cosν; f = p...krafanregung ν a...weganregung In diese (inhoogenen) Fall uss der hoogenen Lösung x h () eine Parikulärlösung x p () überlager werden, welche die folgende Differenialgleichung erfüll:!!x p + ζω!x p + ω x p = f cosν ν Erregerkreisfrequenz Lösungsansaz: x p () = C cosν + Dsinν ( ω ν ) C + ζω ν D cosν + ζω νc + ω ( ν ) D sinν = f cosν Koeffizienenvergleich lineares (inhoogenes) Gleichungssyse für C und D : ( ω ν )C + ζω ν D = f C = ζω νc + ( ω ν ) D = ( ω ν ) Δ f, D = ζω ν f Δ Δ = ( ω ν ) + ( ζω ν )... Koeffizienendeerinane x p () = C cosν + Dsinν = Δ f ( ω ν )cosν + ( ζω ν )sinν Uforung: x p () = C cosν + Dsinν = a p cos ν ϕ a p F = C + D = Δ ( ) f, cosϕ = C a p = ( ω ν ) Δ oder sinϕ = D a p = ζω ν Δ

4 SDOFs 4 Dynaische Vergrößerungsfunkion (Apliudenfrequenzgang) Krafanregung: f () = p cosν χ p V p = a ( Kraf) p = a (ν / ω ) + ζ (ν / ω ), a = a p ( Kraf) (ν = ) = ω p = p k [Ziegler, 998] Resonanz: (ν / ω ) = ζ : ax χ p = ζ ζ ζ Weganregung: f () = d ( d a cosν )!# "# $ = ν a cosν x g χ a V a = a (Weg) p = a (ω / ν) + ζ (ω / ν) ν = χ p ω Resonanz: (ν / ω ) = ζ : ax χ a = ζ ζ ζ

5 SDOFs 5 Phasenfrequenzgang: anϕ = D C = ζ (ν / ω ) ϕ = arcan ζ (ν / ω ) (ν / ω ) (ν / ω ) [Ziegler, 998] Für alle ζ -Were gil: ϕ ( ν / ω = ) = π /

6 SDOFs 6 Gesalösung: x() = e ζ ω ( Acosω D + Bsinω D ) + C cosν + Dsinν x() = e ζ ω ( Acosω D + Bsinω D ) + C cosν + Dsinν = ae ζ ω cos( ω D ε ) + a p cos( ν ϕ) ( ) ( ) + ζ ( Asinω D Bcosω D )!x() = ω e ζ ω ζ Acosω D + Bsinω D +ν C sinν + Dcosν = ae ζ ω ω ζ cos ω D ε ( ) + ζ sin( ω D ε ) νa p sin( ν ϕ) Die Inegraionskonsanen A und B bzw. a und ε üssen aus den Anfangsbedingungen x( = ) = x,!x( = ) =!x berechne werden: x = A+ C A = x Δ!x = ω ζ A ζ B +ν D B =!x + ω D f ( ν ) ω ζ x ζ Δ f ( +ν ) ω bzw. a = A + B, cosε = A a oder sinε = B a Spezialfall: UNGEDÄMPFTE Schwingung ( ζ = ) ω D = ω, Δ = ( ω ν ) A = x f ( ω ν ), B =!x, C = f ω ( ω ν ), D = ( ) x() = ( Acosω + Bsinω ) + C cosν = acos( ω ε ) + a p cosν, a p = C

7 SDOFs 7 Resonanz für Null-AB: ν = ω : A =, B = ζ ζ f k, C =, D = p ζ ω = ζ f k i Δ = ( ζω ) x() = e ζ ω ζ ζ f k sinω D + ζ f k sinω = ζ f k sinω e ζ ω sinω ζ D ζ << : x() = ζ f k sinω e ζ ω Ungedäpfe Schwingung: ζ = : A = C = ( ω ν ) f, B = D = ν ω : li x() = f ν ω li ν ω ( cosν cosω ) ( ω ν ) = f sin li ν ω ( ω +ν ) ( sin ω ν ) ω ν ( ) = f sinω = f ω ω k sinω

8 SDOFs 8 Schwebung für ζ = und Null-AB: x() = f ( cosν cosω ) f = ( ( ω ν ) ( ω ν ) sin ω ν )!#### "#### $ A() sin ω +ν ( )

9 SDOFs 9 Phasenebene Übergang von der Differenialgleichung. Ordnung auf ein Syse von Differenialgleichungen. Ordnung. Ubenennung: x = ξ,!x =! ξ = ξ!ξ = ξ!ξ =!!x = ζω!x ω x + f () = ζω ξ ω ξ + f () Marixschreibweise:!ξ!ξ = ω ζω ξ ξ + f (), "! ξ = A " ξ + " b!ξ! = dξ ξ = ω ξ dξ ζ + ω ξ + F() ξ Die Phasenkurve schneide die ξ -Achse ier uner 9!, da gil: dξ dξ ξ = =. Isoklinenfeld der freien Schwingung: dξ h dξ h = ω ξ ζ + ω h ξ h = cons. [Ziegler, 998] Haronisch erzwungene Schwingung (Krafanregung): x p = ξ p = a p cos( ν ϕ),!x p = ξ p = νa p sin( ν ϕ) ξ p + ξ p ν = a p (Ellipsengleichung)

10 SDOFs Allgeein periodische Anregung f () = f ( + nt p ) f () f () T p T p Fourierreihe: f () = a + a n cosν n + b n sinν n ν n = nν = n π n= n= T p a n = T p T p / T p / f ()( cosν n )d, n =,,,... b n = T p T p / T p / f ()( sinν n )d, n =,,... Übergang auf koplexe Schreibweise: cosν n = eiν n + e iν n ( ), sinν n = i eiν n + e iν n ( ) f () = c n e iν n, c n = n= T p / T p T p / f () e iν n d

11 SDOFs Allgeein nichperiodische Anregung Ipulsanwor und Duhael sches Falungsinegral:... τ Dirac sche Delafunkion: δ ( τ ) =... = τ δ ( τ ) d = g(τ )δ ( τ ) dτ = g( τ )δ (τ ) dτ = g() Idealer Soß zu Zeipunk = : Soßanregung f () =δ (), Soßdauer Δ, differenieller (Dirac-) Ipuls: dj = δ ()d Schwingungsanwor (= Ipulsanwor) für : x() = h() f () h() δ () h!! + ζω! h + ω h = δ (), AB : h() =, h()! =?? li ε ε ε h!! + ζω! ( h + ω h) d = li ε ε ε δ() d!h(+ ) "#$! ε h( ) "#$ + ζω h(+) h( ) "%%# %% $ + li ω h() d = &%% '%%( ε ε Kraf Zei "%% #%% $ "%%% #%%% $ Ipuls Diensionsangaben (werden i folg.weggelassen)

12 SDOFs h() erfüll soi das folgende Anfangswerproble:!! h + ζω! h + ω h = AB : h() =,! h() = Lösung für ζ < : h() = ω D e ζω sinω D Vergleiche S. 6: A! h() =, B! " h() ω D = ω D Soß zu eine allgeeinen Zeipunk = τ Dirac-Ipuls: dj = δ ( τ )dτ < τ bzw. ( τ ) < : x() = τ bzw. ( τ ) : x() = h( τ ) = e ζω ( τ ) Weg sinω ω D ( τ ), Diension : D Ipuls f () h( τ ) f () δ ( τ ) τ ' = ( τ ) τ dτ τ f (τ ) Allgeeine Anregungsfunkion für : f () Allgeeiner (differenieller) Ipuls zu Zeipunk = τ : dj = f (τ )dτ dx P () = h( τ ) f (τ ) dτ : x P () = h() f () = h( τ ) f (τ ) dτ Duhael sches Falungsinegral Gesalösung: ( Probe für f ()=δ () : h() δ () = h( τ )δ (τ )dτ = h() ) x() = e ζω x cosω D +!x + x ζ ω sinω ω D D + ω D f (τ )e ζω ( τ ) sinω D ( τ )dτ

13 SDOFs 3 Fourierransforaion: Voraussezung: f () d < f () = li T p n= c n e iν n = li T p n= T p / T p T p / f () e iν n d e iν n li T p f () = = ν T p π = Δν = dν π π, ν n ν, n= f () π e iν de iν dν!## "## $ F(iν) F(iν) = F { f ()} = f () e iν d f () = F - F(iν) { } = π F(iν)e iν dν Zeiliche Differeniaion: d k d k f () e iν d = (iν ) k F(iν) Lösung i Frequenzbereich: X (iν) = H(iν)F(iν) Zusaenhang zwischen Überragungsfunkion und Ipulsanwor: Anregung f () = δ() Schwingungsanwor x() = h() Fourierransforaion: F h() { } = H(iν) F { δ() }!# " $# = H(iν) H(iν) = F { h() } = h() e iν d h() = F - H(iν) { } = π H(iν)e iν dν

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α + ω 0 2 = 0, Lösung: α 1,2 SDOFs Der lineare Einmassenschwinger Bewegungsgleichung m x + c x + k x = f () = p()...krafanregung m x g ()...Weganregung x + ζω x + ω x = f () m, ω = k m, ζ = c mk... Lehr'sches Dämpfungsmaß AB : x(