Jörg Gayler, Lubov Vassilevskaya
|
|
|
- Ἱππολύτη Αγγελίδου
- 8 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 Differentialrechnung: Aufgaben Jörg Gayler, Lubov Vassilevskaya
2 ii Inhaltsverzeichnis. Erste Ableitung der elementaren Funktionen Ableitungsregeln Einige Regeln Rechenregeln mit Potenzen Rechenregeln mit Wurzeln Rechenregeln mit Logarithmen Trigonometrische Formeln Aufgaben zur Bestimmung von Ableitungen Summenregel Produktregel Quotientenregel Kettenregel Ableitungen von Logarithmusfunktionen Logarithmische Differentiation Ableitungsregeln: Lösungen Summenregel Produktregel Quotientenregel Kettenregel Ableitungen von Logarithmus- und Eponentialfunktionen Logarithmische Differentiation
3 Ableitungsregeln. Erste Ableitung der elementaren Funktionen C = 0 C = const, n = n n n R log a = ln a a > 0, ln = > 0 e = e, a = ln a a sin = cos, cos = sin tan = cos, cot = sin arcsin =, arccos = arctan = +, arccot = + sinh = cosh, cosh = sinh tanh = cosh, coth = sinh arsinh = +, arcosh = artanh =, arcoth =. Ableitungsregeln Faktorregel: y = C f C = const, y = C f Summenregel: y = f + f f n, y = f + f f n Produktregel: y = u v, y = u v + u v Quotientenregel: y = u v, y = u v u v v Kettenregel: y = F u, y = dy d = dy du du d
4 Einige Regeln 3. Einige Regeln 3.. Rechenregeln mit Potenzen a n a m = a n + m, a n b n = a b n, a n a m = an m, a n b n = a b n a 0 =, a n = a n, an = a n a n m = a n m 3.. Rechenregeln mit Wurzeln Wurzeln als Potenzen mit gebrochenen Eponenten a m n = n a m, n a n b = n a b, n n n a b = a b m n n a = m a = m n a 3.3. Rechenregeln mit Logarithmen log a y = log a + log a y log a = log y a log a y log a r = r log a log a = log a
5 Einige Regeln 3.4. Trigonometrische Formeln sin α + cos α = sin α = sin α, cos α = cos α π sin α = cos α, π cos α = sin α sin α = sin π α, cos α = cos π α sin α = sin α cos α, cos α = cos α sin α sin α ± β = sin α cos β ± cos α sin β, cos α ± β = cos α cos β sin α sin β α + β α β α + β α β sin α + sin β = sin cos, sin α sin β = cos sin α + β α β α + β α β cos α + cos β = cos cos, cos α cos β = sin sin sin α sin β = sin α cos β = [ cos α β cos α + β ], cos α cos β = [ sin α β + sin α + β ] [ cos α β + cos α + β ] sin α = cos α, cos α = + cos α sin 3 α = 4 3 sin α sin 3α, cos3 α = cos3α + 3 cos α 4
6 Aufgaben zur Bestimmung von Ableitungen 4. Aufgaben zur Bestimmung von Ableitungen 4.. Summenregel Bestimmen Sie die erste Ableitung folgender Funktionen a, b, c, m, n R: A Beispiel: f = 3 3 = 3 3, f = = = a f = , g = b f = , g = c f = m 5 n, g = a m + n b cm n A Beispiel : Beispiel : f = = = f = = = 5 5 f = 4 3 = /4 /3 = 4 3 = f = = = a f = +, g = , h = b f = + +, g = c f = 3, g = 3 4, h = 3 3 6
7 Aufgaben zur Bestimmung von Ableitungen A3 Beispiel: f = = 3 3 /3 = 3 3 4/3 = 3 4/9 = 3 9 = 7 f = 7 7 = = = a f = b f =, g =, g = 3, h = , h = 3 4 A4 a f = sin + tan + ln, g = 3 sin 7 cos b f = tan cot, g = sinh + 3 cosh A5 Bestimmen Sie die drei ersten Ableitungen folgender Funktionen: a f = e b f = sin + cos c f = ln + e d f = sinh + cosh e f = n A6 4.. Produktregel Folgende Funktionen sind unter Verwendung der Produktregel zu differenzieren: a f = +, g = + b f = + + 3, g = + + c f = +, g = +
8 Aufgaben zur Bestimmung von Ableitungen A7 a f = ln, g = + ln b f = cos, g = cot, h = tan c f = e sin 4.3. Quotientenregel Folgende Funktionen sind unter Verwendung der Quotientenregel zu differenzieren: A8 a f =, g = +, h = 3 5 b f = +, g = +, h = + c f = + +, g =, h = d f =, g = +, h = 3 4 e f =, g = +, h = A9 a f =, g = 3, h = 3 4 b f = c f = + + +, g = 3 + +, h = , g = d f = , g = e f = , g = f f = + +, g =, h =, h = g f = + + +, g = +, h = +
9 Aufgaben zur Bestimmung von Ableitungen 4.4. Kettenregel Folgende Funktionen sind unter Verwendung der Kettenregel zu differenzieren: A0 a f = 6, g = + 5, h = b f = 4 5, g = , h = c f = 4 4, g = 3 3 7, h = A a f = 6, g = , h = ln 4 b f = + 6, g = 3 + 4, h = c f = 3 3, g = , h = 5 3 A f = 4, g = , h = A3 f = +, g = 5 +, h = + 4 A4 f = +, g = 3 7, h = + 4 A5 a f = sin 3, g = sin 4 +, h = sin 4 b f = cos, g = cos3 +, h = cos 3 4 c f = sin, g = sin 3, h = sin d f = cos, g = cos 5, h = cos 5 3 +
10 Aufgaben zur Bestimmung von Ableitungen A6 a f = sin, g = sin 5, h = 5 sin, p = 5 sin 3 b f = cos, g = cos, h = 4 cos, p = 4 cos + 6 c f = d f = sin 5, g =, h = sin 5 cos, g = cos 3, h = sin sin 5 +, p = sin cos sin, p = sin 3 + cos A7 a f = sin 3, g = sin 3, h = sin 3 b f = cos 4, g = cos 4, h = cos 4 c f = sin +, g = sin +, h = d f = cos 3, g = cos 3 7, h = sin 3 + cos 4 + A8 a f = sin sin + π, g = sin sin + π b f = cos cos + π, g = cos cos + π A9 a f = sin cos, g = sin 3 cos + π b f = sin cos, g = sin +, h = sin + c f = sin cos 3, g = sin cos A0 f = e, g = e 3, h = e, p = e + 4 A a f = 3 e, g = e, h = e 3, e p = b f = e, g = + 3 e, h = e, p = 3 e
11 Aufgaben zur Bestimmung von Ableitungen A a f = cos e, g = cos 3 e, h = sin e b f = sin + cos e, g = e sin, h = e sin Ableitungen von Logarithmusfunktionen A3 Regeln: ln u = u u, eu = e u u, a u = a u ln a u Beispiel : f = ln 4 + 3, f = ln ln u = 4 + 3, ln = ln u = u u f 4 = ln = = Beispiel : f = ln + 3 = 3 ln +, f = 3 + a f = ln, g = ln, h = + ln b f = ln 5, g = ln 3, h = ln 3 + c f = + ln +, g = ln, h = ln d f = ln 4 + 4, g = ln, h = ln 3 8 e f = ln + 4, g = ln 5, h = ln A4 Beispiel : Beispiel : f = ln 5 = ln 5 = 5 ln, f = 5 f = ln + = ln + = ln +, f = + a f = ln, g = ln 3, h = ln n b f = ln +, g = ln +, h = ln + + c f = ln + +, g = ln
12 Aufgaben zur Bestimmung von Ableitungen A5 Beispiel : f = ln = ln + 3 f = 3 = + 3 Beispiel : f = ln 3 = 3 ln = 9 3 ln 9 = 3 = ln [3 3 + ] = ln ln + 3 = 3 f = 3 [ln 3 + ln 3 + ] [ 3 + ] = a f = ln, g = ln + + +, h = ln + 4 b f = ln, g = ln , h = ln c f = ln, g = ln, h = ln A6 a f = ln cos, g = ln sin, h = ln tan b f = ln cos 3, g = ln sin 5, h = ln tan c f = ln cos, g = ln sin 3, h = ln tan + 4 d f = ln cos 3, g = ln sin 3, h = ln tan + 4 A7 a f = ln cos, g = ln + sin, h = ln tan b f = ln 3 cos, g = ln 4 + sin, h = ln 3 tan A8 a f = ln, g = 3 ln, h = + ln A9 f = + ln ln, g = ln, h = lnsin
13 Logarithmische Differentiation 5. Logarithmische Differentiation Bei manchen Differentiationsaufgaben ist es sinnvoll, die Funktionsgleichung y = f vor dem Differenzieren zu logarithmieren. Das bietet sich immer dann an, wenn sich die Funktionsgleichung durch Anwendung der Logarithmengesetze wesentlich vereinfachen lässt. A30 Benutzen Sie die Methode der logarithmischen Differentiation, um die Produktregel für die Funktion f = u v und die Quotientenregel für die Funktion f = u /v zu beweisen. A3 A3 A33 A34 Bestimmen Sie die Ableitungen folgender Funktionen durch Logarithmische Differentiation Beispiel : a y = 5, y = 3 4, y = 7 3 b y = e, y = e e c y = e, y = e a y = e, y = 4 3 e b y = +, y = + 7 c y = e a y = + 4, b y =, c y = y = +, ln y = ln ln + = + = y y = + = y = y = + = = + =
14 Logarithmische Differentiation Beispiel : + y = = + + ln y = + 3 ln = ln ln ln + = + = 3 ln + + ln ln + ln y = y y = y = y = + = Aufgabe: a y = +, b y = +, c y = , d y = + A35 a y = sin 3, b y = 3 cos, c y = tan e
15 Ableitungsregeln: Lösungen 6. Ableitungsregeln: Lösungen 6.. Summenregel L a f = , f = 3 6 g = , g = b f = , f = g = = + 3, g = c f = m 5 n, f = m m 5 n n g = a m + n b cm n, g = a m m + n b n + c n m m n L a f = +, f = + g = = 3/ + 4/3 + 8/3, g = 3 / / /3 = h = = /3 + /5, h = 3 / /5 = b f = / + / + 3/, f = 3 g = = /3 + 3/5 + 5/6, g = 3 4/ /5 5 6 /6 = c f = g = h = 3 = /6, f = 6 7/6 = 3 4 = /, g = / 3 3 =, h 6 = 6 6
16 Ableitungsregeln: Lösungen L3 a f = g = = 3/4, f = 3 4 /4 = = /3, g = 3 /3 = 3 3 h = 3 4 = /3, h = 3 /3 = b f = g = h = 3 3 = 7/8, f = 7 8 /8 = = 5/8, g = 5 8 7/8 = = 7/8, h = 7 8 /8 = L4 a f = sin + tan + ln, f = cos + + tan + g = 3 sin 7 cos, g = 3 cos + 7 sin b f = tan cot, f = sin cos g = sinh + 3 cosh, g = cosh + 3 sinh L5 a f = 4 + 3/ + e, f = e f = e, f = 4 b f = sin + cos, f = cos sin f = sin cos, f = cos + sin 3 + e 8 3/ c f = ln + e, f = + e f = + e, f = 3 + e d f = sinh + cosh, f = f = f = sinh + cosh e f = n , f = n n n n
17 Ableitungsregeln: Lösungen 6.. Produktregel L6 a f = +, f = g = + =, g = b f = + + 3, f = g = + + = + = 4, g = 4 3 c f = + =, f = g = +, g = + L7 a f = ln, f = ln + g = + ln, g = ln + + b f = cos, f = cos sin g = cot, g = cot + cot = cot cot h = tan, h = tan + + tan, c f = e sin, f = e sin e cos
18 Ableitungsregeln: Lösungen L Quotientenregel a f =, g = +, h = 3 5, f = g = h = b f = +, f = g = +, h = +, g = h = c f = +, f = g = +, h = + 3 4, d f = g = h = g = h = , f = + +, g = + 3 4, h = e f = = + = + g = + = + = +,, f = g = 4 h = = = h = 7,
19 Ableitungsregeln: Lösungen L9 a f =, f = 3 = 3 g = 3, g = 3 4 = 3 4 h = 3 4, h = 3 4 = 3 4 = g Die Ableitungen f, g und h kann man auch mit Hilfe der Summenregel bestimmen, indem man die Funktionen f, g und h entsprechend darstellt: f =, g = 3, h = 3 = g b f = g = +, f = , g = h = , h = c f = + + g = = = h = = +, + + = +, = = + 3 3, f = g = 4 h = 3 d f = = 3 9 = = 3 + 3, f = g = g = + = + + = + + = + e f = = + 3 = +, g = = 3 =, f = g = +
20 Ableitungsregeln: Lösungen f f = +, f = + + g =, g = h =, h = / + = 3/ g f = + + +, f = g = +, g = + h =, h 3 = + + 3/ 6.4. Kettenregel L0 a f = 6, f = 6 5 g = + 5, g = h = 4 3 4, h = b f = 4 5, f = g = , g = h = 4 3 3, h = = c f = g = h = h = 3 4 4, f = = , g = = 4 3 3, =
21 Ableitungsregeln: Lösungen L a f = 6, f = 6 5 g = , g = 3 / /3 + 3 h = ln 4, h = 4 + /3 + ln 3 = /3 b f = + 6, f = + 6 g = 3 + 4, g = h = 3 3 3, h = 3 3 /3 c f = 3 3, f = 3 3 g = , g = 3 h = 5 3, h = / /3 L f = g = h = 4, f 3 = , g = , h = L3 f = +, f = + g = 5 +, g = 5 + 4/5 + h = + 4 =, h = 3/
22 Ableitungsregeln: Lösungen L4 f = +, f = = g = h = + 3 7, g = 4, h = = /3 + 4 L5 a f = sin 3, f = 3 cos 3 g = sin 4 +, g = 4 cos 4 + h = sin 4, h = cos 4 b f = cos = cos, f = sin g = cos3 +, g = 3 sin 3 + h = cos 3 4, h = 4 3 sin 3 4 c f = sin, f = cos g = sin 3, g = 3 cos 3 3 h = sin 3 + 4, h = 3 cos d f = cos, f = sin g = cos 5, g = 5 sin 5 5 h = cos 5 3 +, h = 3 5 sin
23 Ableitungsregeln: Lösungen L6 a f = sin, f = cos sin g = sin 5, g = 5 cos 5 sin 5 h = 5 sin, h = 5 p = 5 sin 3, p = 5 cos sin 4/5 = 5 b f = cos, f = sin cos g = cos, g = h = 4 cos, h = 4 p = 4 cos + 6, p = c f = g = h = p = d f = g = h = p = sin 5, cos 5 sin 4 cos 3 sin 3 4/5 = 5 sin cos sin cos 3/4 = 4 f = 5 cos5 sin 5 sin 5, g = 5 sin sin 5 +, h = sin 4 cos 3 sin + 6 cos + 6 3/4 = cos 5 sin 5 3/ = 5 cos sin 5 + sin, p = cos sin cos, f = cos 3, g = 3 cos sin 3 +, h = sin cos sin 3 cos 3 3/ = 3 sin sin 3 + cos 3 5 sin 4 3 cos 5 sin sin cos 5 + sin 5 + sin 3 cos 3 3 sin cos cos cos 3 + sin 3 + sin cos, p = cos cos + sin sin cos
24 Ableitungsregeln: Lösungen L7 a f = sin 3, f = 3 cos 3 g = sin 3, g = 3 cos sin h = sin 3, h = 6 cos sin b f = cos 4, f = 4 3 sin 4 g = cos 4, g = 4 sin cos 3 h = cos 4, h = 8 sin cos 3 c f = sin +, f = sin + cos + + g = sin +, g = cos sin + h = sin 3 +, h = 3 sin cos sin 3 + d f = cos 3, f = 3 sin 3 cos 3 3 g = cos 3 7, g = 3 sin 3 cos 3 7 h = cos 4 +, h = cos3 sin cos 4 + L8 a f = sin sin + π = sin, f = 4 sin cos = sin4 g = sin sin + π = sin sin, g = cos sin sin cos b f = cos cos + π = cos sin = sin, f = cos = sin cos g = cos cos + π = cos sin, g = sin sin cos cos
25 Ableitungsregeln: Lösungen L9 a f = sin cos, f = sin cos sin 3 = sin cos sin g = sin 3 cos + π = sin 3 cos, g = 6 sin3 cos cos3 + sin 3 sin = sin3 sin sin3 6 cos cos3 b f = sin cos, f = cos g = sin +, g = + cos + h = sin +, h = cos + c f = sin cos 3, f = cos cos 3 3 sin sin 3 g = sin cos, g = cos sin = cos L0 f = e, g = e 3, h = e, f = e g = e 3 h = e = e p = e + 4, p = + 3 e + 4 L a f = 3 e, f = e 3 + g = e, g = e + h = e 3, p = e, h = e 3 3 e 4 p = e b f = e, f = e g = + 3 e, = e 3 4 e = e g = e h = e, h = e + p = 3 e, p = 3 e
26 Ableitungsregeln: Lösungen L a f = cos e, f = e cos sin g = cos 3 e, g = e cos 3 3 sin 3 h = sin e, h = e cos + sin b f = sin + cos e, f = e 3 cos sin g = e sin, g = cos e sin h = e sin, h = cos e sin Ableitungen von Logarithmus- und Eponentialfunktionen L3 a f = ln, f = + ln g = ln, g = + ln = + ln h = + ln, h = ln b f = ln 5, f = g = ln 3, g = ln 3 + h = ln 3 +, h = ln c f = + ln +, f = + ln + = [ + ln + ] g = ln, g = ln + + h = ln, h = ln + = [ln + ] d f = ln 4 + 4, f = = g = ln, g = 4 ln + 4 h = ln 3 8, h = ln = ln e f = ln + 4, f = + 4 g = ln 5, g = 5 h = ln + 3 3, h = + 3
27 Ableitungsregeln: Lösungen L4 a f = ln = ln, f = g = ln 3 = 3 ln, h = ln n = n ln, g = 3 h = n b f = ln +, f = + g = ln +, g = + h = ln + +, h = c f = ln + +, f = = g = ln, g = +
28 Ableitungsregeln: Lösungen L5 a f = ln, f = g = ln, g = h = ln = ln = ln 4 + h = = ln ln = ln b f = ln = + ln = ln ln + + f = = + + g = ln 3 + +, g = h = ln 5 4, h = 5 c f = ln, f = + g =, g = h =, h = =
29 Ableitungsregeln: Lösungen L6 a f = ln cos, f = sin cos, g = ln sin, h = ln tan, g = cos sin, h = + tan tan b f = ln cos 3, f 3 sin 3 = cos 3, g = ln sin 5, g = h = ln tan, = sin cos cos 5 sin 5, h = + tan tan = sin cos c f = ln cos, f = sin cos, g = ln sin 3, g = cos 3 3 sin 3, h = ln tan + 4, h = + 4 cos + 4 sin + 4 sin 3 d f = ln cos 3, f = 3 cos 3, g = ln h = ln sin 3, g = tan + 4, h = 3 cos 3 3 sin 3, + 4 cos + 4 sin + 4.
30 Logarithmische Differentiation L7 a f = ln cos = ln cos, f = sin cos, g = ln + sin = ln + sin, g = + cos + sin h = ln tan = ln tan, h = sin cos b f = ln 3 cos = 3 ln cos, f = sin 3 cos, g = ln 4 + sin = 4 ln + sin, g = + cos 4 + sin tan tan = 3 h = ln 3 tan = 3 ln tan, h = 3 = cos 3 sin cos = 3 sin cos = 3 sin. tan cos = L8 a f = ln, f = ln ln g = 3, g = 3 ln ln + h =, h = ln 3 ln + ln + ln L9 f = ln + ln, f + + ln = g = ln, g = + ln h = lnsin, h = cos sin = cot L30 7. Logarithmische Differentiation f f = u v, ln f = ln u + ln v, f u f = f u + v u = u v v u + v = u v + v u v = u u + v v f = u v, ln f = ln u ln v, f f u f = f u v = u u v v u v = u v v uv v = u u v v = u v v u v
31 Logarithmische Differentiation L3 a y = 5, y = 5 ln 5, y = 3 4, y = ln 3 y = 7 3, y = ln 7 b y = e, ln y = e ln, y = e e + ln y = e e, ln y = ln + e, y = e e + e c y = e, ln y = ln e = ln y y =, y = e y = e, y = e = e L3 a y = e, ln y = ln, y = e y = 4 3 e, ln y = ln ln, y = 4 3 e 3 b y = +, ln y = ln + = ln + y = + ln y = + 7, ln y = ln + 7 = ln + 7 y = + 7 ln c y = e 3 4, ln y = ln e 3 4 = + 3 ln + ln 4 ln y y = , y = e
32 Logarithmische Differentiation L33 a y = + 4 y, ln y = ln + 4 ln +, y = y = = b y =, ln y = ln, y = ln y y = ln c y =, ln y = ln = ln = ln y y = ln +, y = ln + = ln + L34 a y = +, ln y = ln ln +, y y = + y = + = + + b y = +, ln y = ln + ln, y y = + y = = c y =, ln y = ln + ln ln + 3 ln y y = , y = d y =, ln y = ln + ln, y y = + y = + + = +
33 Logarithmische Differentiation L35 a y = sin 3, ln y = 3 ln sin y y = 3 ln sin + 3 cos sin, y = sin 3 3 ln sin + 3 cos sin b y = 3 cos, ln y = ln 3 + ln + ln cos y = 3 cos + ln cos tan = 3 cos + ln cos tan c y = tan e, ln y = ln tan y y = cos tan, y = tan e cos tan = e cos tan
cos(2α) τ xy sin(2α) (7) cos(2(α π/2)) τ xy sin(2(α π/2)) cos(2α) + τ xy sin(2α) (8) (1 + ν) cos(2α) + τ xy (1 + ν) sin(2α) (9)
Festigkeitslehre Lösung zu Aufgabe 11b Grundsätzliches und Vorüberlegungen: Hookesches Gesetz für den zweidimensionalen Spannungszustand: ε = 1 ( ν (1 ε = 1 ( ν ( Die beiden Messwerte ε = ε 1 und ε = ε
ΣΧΟΛΗ ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ- ΦΥΛΛΑΔΙΟ 1(ΑΝΑΛΥΣΗ)
ΣΧΟΛΗ ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ- ΦΥΛΛΑΔΙΟ (ΑΝΑΛΥΣΗ) Ι. Οι τριγωνομετρικές συναρτήσεις και οι αντίστροφές τους. Η συνάρτηση = sin. Η συνάρτηση sin : -, [,], = sin είναι, αφού (sin ) = cos >, για κάθε -,. Άρα
3 Lösungen zu Kapitel 3
3 Lösungen zu Kapitel 3 31 Lösungen der Aufgaben zu Abschnitt 31 311 Lösung Die Abbildung D : { R 4 R 4 R 4 R 4 R, a 1, a 2, a 3, a 4 ) D( a 1, a 2, a 3, a 4 ) definiere eine Determinantenform (auf R 4
Review Exercises for Chapter 7
8 Chapter 7 Integration Techniques, L Hôpital s Rule, and Improper Integrals 8. For n, I d b For n >, I n n u n, du n n d, dv (a) d b 6 b 6 (b) (c) n d 5 d b n n b n n n d, v d 6 5 5 6 d 5 5 b d 6. b 6
Griechisches Staatszertifikat - Deutsch
ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΕΘΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ ΚΡΑΤΙΚΟ ΠΙΣΤΟΠΟΙΗΤΙΚΟ ΓΛΩΣΣΟΜΑΘΕΙΑΣ Griechisches Ministerium für Bildung und Religion Griechisches Staatszertifikat - Deutsch Niveau A1 & A2 Entspricht dem Gemeinsamen
Basic Formulas. 8. sin(x) = cos(x π 2 ) 9. sin 2 (x) =1 cos 2 (x) 10. sin(2x) = 2 sin(x)cos(x) 11. cos(2x) =2cos 2 (x) tan(x) = 1 cos(2x)
Bsic Formuls. n d =. d b = 3. b d =. sin d = 5. cos d = 6. tn d = n n ln b ln b b cos sin ln cos 7. udv= uv vdu. sin( = cos( π 9. sin ( = cos ( 0. sin( = sin(cos(. cos( =cos (. tn( = cos( sin( 3. sin(b
Wenn ihr nicht werdet wie die Kinder...
Wenn ihr nicht werdet wie die Kinder... . Der Memoriam-Garten Schön, dass ich mir keine Sorgen machen muss! Mit dem Memoriam-Garten bieten Ihnen Friedhofsgärtner, Steinmetze
Geometrische Methoden zur Analyse dynamischer Systeme
Geometrische Methoden zur Analyse dynamischer Systeme Markus Schöberl markus.schoeberl@jku.at Institut für Regelungstechnik und Prozessautomatisierung Johannes Kepler Universität Linz KV Ausgewählte Kapitel
MATERIALIEN ZUR VORBEREITUNG AUF DIE KLAUSUR INFORMATIK II FÜR VERKEHRSINGENIEURWESEN ANTEIL VON PROF. VOGLER IM WINTERSEMESTER 2011/12
Fakultät Informatik Institut für Angewandte Informatik, Professur Technische Informationssysteme MATERIALIEN ZUR VORBEREITUNG AUF DIE KLAUSUR INFORMATIK II FÜR VERKEHRSINGENIEURWESEN ANTEIL VON PROF. VOGLER
Formulario di Trigonometria
Formulario di Trigonometria Indice degli argomenti Formule fondamentali Valori noti delle funzioni trigonometriche Simmetrie delle funzioni trigonometriche Relazioni tra funzioni goniometriche elementari
ἀξιόω! στερέω! ψεύδομαι! συγγιγνώσκω!
Assimilation νλ λλ νμ μμ νβ/νπ/νφ μβ/μπ/μφ νγ/νκ/νχ γγ/γκ/γχ attisches Futur bei Verben auf -ίζω: -ιῶ, -ιεῖς, -ιεῖ usw. Dehnungsaugment: ὠ- ὀ- ἠ- ἀ-/ἐ- Zur Vorbereitung die Stammveränderungs- und Grundformkarten
Hauptseminar Mathematische Logik Pcf Theorie (S2A2) Das Galvin-Hajnal Theorem
Hauptseminar Mathematische Logik Pcf Theorie (S2A2) Das Galvin-Hajnal Theorem Jonas Fiege 21 Juli 2009 1 Theorem 1 (Galvin-Hajnal [1975]) Sei ℵ α eine singuläre, starke Limes-Kardinalzahl mit überabzählbarer
Klausur Strömungsmechanik II Dichte des Fluids ρ F. Viskosität des Fluids η F. Sinkgeschwindigkeit v s. Erdbeschleunigung g
Name, Matr-Nr, Unterschrift) Klausur Strömungsmechanik II 3 8 Aufgabe a) Einflussgrößen: Partikeldurchmesser d P Partikeldichte ρ P Dichte des Fluids ρ F Viskosität des Fluids η F Sinkgeschwindigkeit v
Intersection Types. Matthias Putz. Sommersemester 2011
Intersection TU-München Sommersemester 2011 Themen Zusammenfassung Anwendungsbeispiel 1: chars Programmiersprache C: signed und unsigned chars Wertebereiche: signed char: [ 128, +127] unsigned char: [0,
Formelsammlung zur sphärischen Trigonometrie
Formelsammlung zur sphärischen Trigonometrie A. Goniometrie A.1. Additionstheoreme für α β für α = β (α ± β) =α cos β ± cos α β ( α) =α cos α cos (α ± β) =cosα cos β β = cos α tan α ± tan β tan (α ± β)
1 Σύντομη επανάληψη βασικών εννοιών
Σύντομη επανάληψη βασικών εννοιών Μερικές χρήσιμες ταυτότητες + r + r 2 + + r n = rn r r + 2 + 3 + + n = 2 n(n + ) 2 + 2 2 + 3 2 + n 2 = n(n + )(2n + ) 6 Ανισότητα Cauchy Schwarz ( n ) 2 ( n x i y i i=
Griechisches Staatszertifikat - Deutsch
ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΕΘΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ ΚΡΑΤΙΚΟ ΠΙΣΤΟΠΟΙΗΤΙΚΟ ΓΛΩΣΣΟΜΑΘΕΙΑΣ Griechisches Ministerium für Bildung und Religion Griechisches Staatszertifikat - Deutsch Niveau A1 & A2 Entspricht dem Gemeinsamen
Niveau A1 & A2 PHASE 3 ΚΡΑΤΙΚΟ ΠΙΣΤΟΠΟΙΗΤΙΚΟ ΓΛΩΣΣΟΜΑΘΕΙΑΣ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙ ΕΙΑΣ, ΙΑ ΒΙΟΥ ΜΑΘΗΣΗΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ
ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙ ΕΙΑΣ, ΙΑ ΒΙΟΥ ΜΑΘΗΣΗΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ ΚΡΑΤΙΚΟ ΠΙΣΤΟΠΟΙΗΤΙΚΟ ΓΛΩΣΣΟΜΑΘΕΙΑΣ Griechisches Ministerium für Bildung, Lebenslanges Lernen und Religionsangelegenheiten Griechisches Staatszertifikat
Rotationen und Translationen
Astrophysikalisches Institut Neunhof Mitteilung sd97211, Januar 2010 1 Rotationen und Translationen Eigentliche Drehungen, Spiegelungen, und Translationen von Kartesischen Koordinaten-Systemen und Kugelkoordinaten-Systemen
ΜΑΣ002: Μαθηματικά ΙΙ ΑΣΚΗΣΕΙΣ (για εξάσκηση)
ΜΑΣ: Μαθηματικά ΙΙ ΑΣΚΗΣΕΙΣ (για εξάσκηση) ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ:. Να υπολογιστούν τα ολοκληρώματα: 5 d d csc cot d (β) Απάντησεις: C (β) ln C C. Να υπολογιστούν τα ορισμένα ολοκληρώματα: d csc( ) C C d d (β) /5
Griechisches Staatszertifikat - Deutsch
ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΕΘΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ ΚΡΑΤΙΚΟ ΠΙΣΤΟΠΟΙΗΤΙΚΟ ΓΛΩΣΣΟΜΑΘΕΙΑΣ Griechisches Ministerium für Bildung und Religion Griechisches Staatszertifikat - Deutsch Niveau A1 & A2 Entspricht dem Gemeinsamen
Technisches Handbuch. Pergola Top Star 120X70. metaform Bescha ungssysteme
02 Technisches Handbuch Pergola Top Star 120X70 Exklusiv von Metaform ΑVΕΕ entworfen, ist es die Innova on bei der professionellen Bescha ung, denn das wegweisende Hebesystem erlaubt es Ihnen, sie an jeder
ΤΡΟΠΟΣ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΠΑΡΕΜΒΟΛΗ (INTERPOL ATION)
. 1 (INTERPOLATION) A a 1x1 [ ] Sin[ A] [ Sin[ a]], Cos[ A] [ Cos[ a]], Tan[ A] [ Tan[ a]], Cot[ A] [ Cot[ a]]. a x + yi x, y R Sin[ a] Cosh[ y] Sin[ x] + Cos[ x] Sinh[ y] i Cos[ a] Cos[ x] Cosh[ y] Sin[
DEUTSCHE SCHULE ATHEN ΓΕΡΜΑΝΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΑΘΗΝΩΝ
Herzlich Willkommen zu unserem Elternabend Übergang aus dem Kindergarten in die Vorschule Καλωσορίσατε στη συνάντηση γονέων με θέμα τη μετάβαση από τον παιδικό σταθμό στο νηπιαγωγείο 1 Übergang vom Kindergarten
Παράγωγος Συνάρτησης. Ορισμός Παραγώγου σε ένα σημείο. ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ σε ένα σημείο ξ είναι το όριο (αν υπάρχει!) f (ξ) = lim.
Παράγωγος Συνάρτησης Ορισμός Παραγώγου σε ένα σημείο ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ σε ένα σημείο ξ είναι το όριο (αν υπάρχει!) f (ξ) x ξ g(x, ξ), g(x, ξ) f(x) f(ξ) x ξ Ορισμός Cauchy: ɛ > 0 δ(ɛ, ξ) > 0 x x ξ
Übungen zu Teilchenphysik 2 SS 2008. Fierz Identität. Handout. Datum: 27. 5. 2008. von Christoph Saulder
Übungen zu Teilchenphysik 2 SS 2008 Fierz Identität Handout Datum: 27. 5. 2008 von Christoph Saulder 2 Inhaltsverzeichnis Einleitung 5 2 Herleitung der Matrixelemente 7 2. Ansatz...............................
DEUTSCHE SCHULE ATHEN ΓΕΡΜΑΝΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΑΘΗΝΩΝ
Herzlich Willkommen zu unserem Elternabend Übergang aus dem Elternhaus in den Kindergarten Καλωσορίσατε στη συνάντηση γονέων με θέμα τη μετάβαση από το οικογενειακό περιβάλλον στο προνηπιακό τμήμα 1 Überblick
4.4 Kreiszylinderschale und Kugelschale
Flächentrgwerke - WS 05/06 4.4 Kreiszylinderschle und Kugelschle 4.4. Kreiszylinderschle 4.4.. Biegetheorie 4.4.. embrntheorie 4.4..3 Behältertheorie und Rndstörprobleme 4.4. Kugelschle 4.4.. Biegetheorie
Το σύστημα των αξιών της ελληνικής κοινωνίας μέσα στα σχολικά εγχειρίδια της Λογοτεχνίας του Δημοτικού Σχολείου
ΔΗΜΟΚΡΙΤΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΡΑΚΗΣ ΠΑΙΔΑΓΩΓΙΚΟ ΤΜΗΜΑ ΔΗΜΟΤΙΚΗΣ ΕΚΠ/ΣΗΣ ΔΙΔΑΣΚΑΛΕΙΟ «ΘΕΟΔΩΡΟΣ ΚΑΣΤΑΝΟΣ» Το σύστημα των αξιών της ελληνικής κοινωνίας μέσα στα σχολικά εγχειρίδια της Λογοτεχνίας του Δημοτικού
Γιάνναρος Μιχάλης. 9x 2 t 2 7dx 3) 1 x 3. x 4 1 x 2 dx. 10x. x 2 x dx. 1 + x 2. cos 2 xdx. 1) tan xdx 2) cot xdx 3) cos 3 xdx.
ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ ΑΟΡΙΣΤΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ Ασκηση. Να υπολογισθούν τα ολοκληρώματα: ( ) 6e ) ( + ) ) 3) ( + ) 3 + + ( 5) 3 5 ) + 3 6) + 3 ( + ) Ασκηση. Να υπολογισθούν τα ολοκληρώματα: ) cos sin ) cos ( 3) cos sin
Εκπαιδευτικός Οµιλος ΒΙΤΑΛΗ
Παράγωγος - ιαφόριση ρ. Κωνσταντίνος Κυρίτσης Μακράς Στοάς 7 & Εθνικής Αντιστάσεως Πειραιάς 185 31 05 Μαρτίου 2009 Περίληψη Οι παρούσες σηµειώσεις αποτελούν µια σύνοψη της ϑεωρίας των πα- ϱαγώγων πραγµατικών
ΟΔΟΘ ΔΘΖΗΣΘΟΣ Θ,28-32
ΟΔΟΘ ΔΘΖΗΣΘΟΣ Θ,28-32 Πξώηε Αλάγλωζε Δξκελεία [... ] ρ ξ ε ω 1 δ ε ζ ε π α λ η α π π ζ ε ζ ζ α η 2 1 ΘΔΚΗΠ, ΓΗΘΖ, ΑΛΑΓΘΖ, ΚΝΗΟΑ / ΣΟΖ, ΣΟΔΩΛ: νλνκαηα ηνπ ΡΝ ΑΡΝΛ! Ρν Απξνζσπν Martin Heidegger, Απν Ρν Σι
Strukturgleichungsmodellierung
Strukturgleichungsmodellierung FoV Methodenlehre FSU-Jena Dipl.-Psych. Norman Rose Strukturgleichungsmodelle mit latenten Variablen Forschungsorientierte Vertiefung - Methodenlehre Dipl.-Psych. Norman
Ρ Η Μ Α Τ Ι Κ Η Δ Ι Α Κ Ο Ι Ν Ω Σ Η
Αρ. Φακέλου.: Ku 622.00/3 (Παρακαλούμε να αναφέρεται στην απάντηση) Αριθμός Ρημ. Διακ: 22/14 2 αντίγραφα Συνημμένα: -2- ΑΝΤΙΓΡΑΦΟ Ρ Η Μ Α Τ Ι Κ Η Δ Ι Α Κ Ο Ι Ν Ω Σ Η Η Πρεσβεία της Ομοσπονδιακής Δημοκρατίας
ΚΡΑΤΙΚΟ ΠΙΣΤΟΠΟΙΗΤΙΚΟ ΓΛΩΣΣΟΜΑΘΕΙΑΣ HÖRVERSTEHEN. Mai 2012
ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΔΙΑ ΒΙΟΥ ΜΑΘΗΣΗΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ ΚΡΑΤΙΚΟ ΠΙΣΤΟΠΟΙΗΤΙΚΟ ΓΛΩΣΣΟΜΑΘΕΙΑΣ Griechisches Ministerium für Bildung, Lebenslanges Lernen und Religionsangelegenheiten Griechisches Staatszertifikat
Γενικά Μαθηματικά Ι. Ενότητα 14: Ολοκλήρωση Κατά Παράγοντες, Ολοκλήρωση Ρητών Συναρτήσεων Λουκάς Βλάχος Τμήμα Φυσικής
ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ενότητα 1: Ολοκλήρωση Κατά Παράγοντες, Ολοκλήρωση Ρητών Συναρτήσεων Λουκάς Βλάχος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται
Aufgabe 1 Dreierkette Legt mit den Bild- und Wortkarten eine Dreierkette. Τρεις στη σειρά. Σχηματίστε τριάδες με εικόνες και λέξεις που ταιριάζουν.
Station Luft Aufgabe 1 Dreierkette Legt mit den Bild- und Wortkarten eine Dreierkette. Τρεις στ σειρά. Σχματίστε τριάδες με εικόνες και λέξεις που ταιριάζουν. der Sturm die Windkraftanlage θύελλα οι ανεμογε
A1 A2 B2 C1. www.dielupe.gr. Ολοκληρωμένες προτάσεις για αποτελεσματική διδασκαλία για όλες τις ηλικίες και όλα τα επίπεδα
A1 A2 www.dielupe.gr Εκδόσεις για τη Γερμανική Γλώσσα B2 C1 Ολοκληρωμένες προτάσεις για αποτελεσματική διδασκαλία για όλες τις ηλικίες και όλα τα επίπεδα Αναλυτική παρουσίαση των βιβλίων στην ιστοσελίδα
Griechisches Staatszertifikat - Deutsch
ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΕΘΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ ΚΡΑΤΙΚΟ ΠΙΣΤΟΠΟΙΗΤΙΚΟ ΓΛΩΣΣΟΜΑΘΕΙΑΣ Griechisches Ministerium für Bildung und Religion Griechisches Staatszertifikat - Deutsch Niveau A1 & A2 Entspricht dem Gemeinsamen
1 Elementary Functions
Elementary Functions. Power of Binomials. Power series.0 + q =+q + qq + +! qq...q + + =! q If q is neither a natural number nor zero, the series converges absolutely for < and diverges for >. For =, the
Griechische und römische Rechtsgeschichte
ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Griechische und römische Rechtsgeschichte Ενότητα 5: die Spartanische Verfassung Παπακωνσταντίνου Καλλιόπη Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό
Μαθηματική Ανάλυση Ι
Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής & Τηλεπικοινωνιών Μαθηματική Ανάλυση Ι Ενότητα 6: Παράγωγοι Επίκ. Καθηγητής Θ. Ζυγκιρίδης e-mail: tzygiridis@uowm.gr Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών Άδειες
Εμπορική αλληλογραφία Ηλεκτρονική Αλληλογραφία
- Εισαγωγή Sehr geehrter Herr Präsident, Sehr geehrter Herr Präsident, Εξαιρετικά επίσημη επιστολή, ο παραλήπτης έχει ένα ειδικό τίτλο ο οποίος πρέπει να χρησιμοποιηθεί αντί του ονόματος του Sehr geehrter
Auswandern Studieren Studieren - Universität Griechisch Θα ήθελα να εγγραφώ σε πανεπιστήμιο. Angeben, dass man sich einschreiben will Japanisch Θα ήθε
- Universität Θα ήθελα να εγγραφώ σε πανεπιστήμιο. Angeben, dass man sich einschreiben will Θα ήθελα να γραφτώ για. Angeben, dass man sich für einen anmelden möchte ένα προπτυχιακό ένα μεταπτυχιακό ένα
z k z + n N f(z n ) + K z n = z n 1 2N
Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Εφαρμοσμένα Μαθηματικά 6..5 Λύσεις Σειράς Ασκήσεων Άσκηση (α) Έστω z το όριο της ακολουθίας z n, δηλ. για κάθε ɛ > υπάρχει N(ɛ) ώστε z n z < ɛ για n > N. Για n > N(ɛ), είναι z n
Fragen, ob Gebühren anfallen, wenn man in einem bestimmten Land Geld abhebt
- Allgemeines Μπορώ να κάνω ανάληψη στην [χώρα] χωρίς να πληρώσω προμήθεια; Kann ich in [Land] gebührenfrei Geld abheben? Fragen, ob Gebühren anfallen, wenn man in einem bestimmten Land Geld abhebt Πόσα
Απειροστικός Λογισμός Ι, χειμερινό εξάμηνο Λύσεις δεύτερου φυλλαδίου ασκήσεων.
Απειροστικός Λογισμός Ι, χειμερινό εξάμηνο 08-9. Λύσεις δεύτερου φυλλαδίου ασκήσεων.. Βρείτε τα arccos και arcsin των 0, ±, ±, ±, ±. Λύση: Στο διάστημα [ π, π ] είναι (κατά αύξουσα διάταξη των γωνιών και
Mission Berlin. Deutsch lernen und unterrichten Arbeitsmaterialien. Mission Berlin 26 Πειράµατα µε τον χρόνο
26 Πειράµατα µε τον χρόνο Επιστρέφοντας στο παρόν η Άννα προσπαθεί να µπλοκάρει τη µηχανή του χρόνου, αλλά δεν έχει τον κωδικό. Η γυναίκα µε τα κόκκινα εµφανίζεται. Θα χαλάσει η «αρχηγός» τα σχέδια της
Auswandern Dokumente Dokumente - Allgemeines Griechisch Koreanisch Dokumente - Persönliche Informationen
- Allgemeines Πού μπορώ να βρω τη φόρμα για ; Fragen wo man ein Formular findet Πότε εκδόθηκε το [έγγραφο] σας; Fragen wann ein Dokument ausgestellt wurde Πού εκδόθηκε το [έγγραφο] σας; Fragen wo ein Dokument
Μαθηματική Ανάλυση Ι
Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής & Τηλεπικοινωνιών Μαθηματική Ανάλυση Ι Ενότητα 4: Συναρτήσεις Επίκ. Καθηγητής Θ. Ζυγκιρίδης e-mail: tzygiridis@uowm.gr Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών Άδειες
Präpositionen ΠΡΟΣ (Ερώτηση με wohin?) nach προς (χώρα χωρίς άρθρο, πόλη, ήπειρο) προς (τοπικό επίρρημα)
Präpositionen ΠΡΟΣ (Ερώτηση με wohin?) nach προς (χώρα χωρίς άρθρο, πόλη, ήπειρο) Im Sommer fahre ich nach Deutschland, nach Berlin προς (τοπικό επίρρημα) Ich gehe nach oben zu (zum, zur) προς (πρόσωπο,
FLASHBACK: Der Mechanismus ist nicht komplett, verstehst du? Es fehlt ein Teil. Seit neunzehnhunderteinundsechzig.
12 Εκκλησιαστική µουσική Στην Άννα µένουν ακόµα 65 λεπτά. Στην εκκλησία ανακαλύπτει ότι το µουσικό κουτί είναι κοµµάτι που λείπει από το αρµόνιο. Η γυναίκα στα κόκκινα εµφανίζεται και ζητά από την Άννα
Kulturgeschichte II. Thematische Einheit Nr.9: Das geeinte Deutschland
ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Thematische Einheit Nr.9: Das geeinte Deutschland Prof. Dr. Eleni Georgopoulou und Prof. Dr. Ioannis Pagkalos Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό
Nr. 544-12/17 Auslosung Klub-Cup 2018 1/8 Final Anlässlich des Freundschaftswettkampfes BL-BS hat unsere Glücksfee Paula Graber folgende Paarungen für den Achtelfinal des Klub-Cup 2018 gezogen
*1 +3*1 - +3*1. - Ideen zu einer reinen Phänomenologie und Phänomenologischen Philosophie. Zweites Buch., Husserliana
+3*1 + +3+- + +3*1, +3*+/+3*, +3*1 / 0 +3*1 +3*1 - +3*1 + Ideen zu einer reinen Phänomenologie und Phänomenologischen Philosophie. Erstes Buch., Husserliana Bd III., +3/*, +/* I-II +32. +/*, Ding und Raum
English PDFsharp is a.net library for creating and processing PDF documents 'on the fly'. The library is completely written in C# and based
English PDFsharp is a.net library for creating and processing PDF documents 'on the fly'. The library is completely written in C# and based exclusively on safe, managed code. PDFsharp offers two powerful
English PDFsharp is a.net library for creating and processing PDF documents 'on the fly'. The library is completely written in C# and based
English PDFsharp is a.net library for creating and processing PDF documents 'on the fly'. The library is completely written in C# and based exclusively on safe, managed code. PDFsharp offers two powerful
Ανώτερα Μαθηματικά ΙI
Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Αθήνας Ανώτερα Μαθηματικά ΙI Ενότητα 4: Συναρτήσεις Πολλών Μεταβλητών Μέρος Ι Αθανάσιος Μπράτσος Τμήμα Ναυπηγών Μηχανικών ΤΕ Το περιεχόμενο του
5 Παράγωγος συνάρτησης
5 Παράγωγος συνάρτησης Ας ϑεωρήσουµε µια συνάρτηση f µε πεδίο ορισµού το [a, b]. Για κάθε 0 [a, b] ορίζουµε µια νέα συνάρτηση µε τύπο µε πεδίο ορισµού D(Π 0 ) = D(f ) { 0 }. Την συνάρτηση Π 0 Π 0 () =
Γενικά Μαθηματικά Ι. Ενότητα 13: Ακτίνα Σύγκλισης, Αριθμητική Ολοκλήρωση, Ολοκλήρωση Κατά Παράγοντες. Λουκάς Βλάχος Τμήμα Φυσικής
ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ενότητα 3: Ακτίνα Σύγκλισης, Αριθμητική Ολοκλήρωση, Ολοκλήρωση Κατά Παράγοντες Λουκάς Βλάχος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό
B.A.-Eingangstest Neugriechisch (Niveau TELC B1) MUSTERTEST Seite 1 von 6
B.A.-Eingangstest Neugriechisch (Niveau TELC B1) MUSTERTEST Seite 1 von 6 Name, Vorname:... Teil 1: Hörverstehen * Hören Sie den Text und beantworten Sie kurz (mit 1-2 Wörtern) die Fragen in der folgenden
= df. f (n) (x) = dn f dx n
Παράγωγος Συνάρτησης Ορισμός Παραγώγου σε ένα σημείο ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ σε ένα σημείο ξ είναι το όριο (αν υπάρχει!) Ορισμός Cauchy: f (ξ) = lim x ξ g(x, ξ), g(x, ξ) = f(x) f(ξ) x ξ ɛ > 0 δ(ɛ, ξ) > 0
Auswandern Dokumente. Dokumente - Allgemeines. Fragen wo man ein Formular findet. Fragen wann ein Dokument ausgestellt wurde
- Allgemeines Πού μπορώ να βρω τη φόρμα για ; Fragen wo man ein Formular findet Πότε εκδόθηκε το [έγγραφο] σας; Fragen wann ein Dokument ausgestellt wurde Πού εκδόθηκε το [έγγραφο] σας; Fragen wo ein Dokument
Auswandern Dokumente. Dokumente - Allgemeines. Dokumente - Persönliche Informationen. Fragen wo man ein Formular findet
- Allgemeines Πού μπορώ να βρω τη φόρμα για ; Fragen wo man ein Formular findet Πότε εκδόθηκε το [έγγραφο] σας; Fragen wann ein Dokument ausgestellt wurde Πού εκδόθηκε το [έγγραφο] σας; Fragen wo ein Dokument
Griechisches Staatszertifikat - Deutsch
ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΕΘΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΙΑ ΒΙΟΥ ΜΑΘΗΣΗΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ ΚΡΑΤΙΚΟ ΠΙΣΤΟΠΟΙΗΤΙΚΟ ΓΛΩΣΣΟΜΑΘΕΙΑΣ Griechisches Ministerium für Bildung, Lebenslanges Lernen und Religionsangelegenheiten Griechisches Staatszertifikat
Mission Berlin. Deutsch lernen und unterrichten Arbeitsmaterialien. Mission Berlin 17 Οδοφράγµατα
17 Οδοφράγµατα 50 λεπτά ακόµα: Ο παίκτης αποφασίζει να τα παίξει όλα για όλα και να εµπιστευθεί την ταµία. Το ράδιο µεταδίδει ότι οι Ανατολικογερµανοί στρατιώτες στήνουν οδοφράγµατα. Αυτό είναι το γεγονός
Preisliste AB JUNI 2019
Preisliste AB JUNI 2019 LOVE STORIES Pakete (3H) STATT 690 JETZT 650 - Einmalige Aufnahmepauschale - Brautpaar Shooting inkl. 10 bearbeiteten Bildern digital & mit Abzug bis 15x20cm - Reportage der Trauung
Ι ΤΕΛΕΣΤΕΣ, ΤΑΥΤΟΤΗΤΕΣ, ΠΑΡΑΓΩΓΟΙ, ΣΕΙΡΕΣ, ΙΑΦΟΡΟΙ ΤΥΠΟΙ
Ι ΤΕΛΕΣΤΕΣ, ΤΑΥΤΟΤΗΤΕΣ, ΠΑΡΑΓΩΓΟΙ, ΣΕΙΡΕΣ, ΙΑΦΟΡΟΙ ΤΥΠΟΙ TΑ TΡΙΑ ΣΥΝΗΘΗ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ O P(,, ) O φ φ φ P(, φ, ) P(,, φ) O φ (α) (β) (γ) (α) Κατεσιαό σύστηµα συτεταγµέω,,. (σχήµα (α)) (β) Σύστηµα
Griechische und roemische Rechtsgeschichte
ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Griechische und roemische Rechtsgeschichte Ενότητα 4: Griechische Rechtsgeschichte Παπακωνσταντίνου Καλλιόπη Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό
Mission Berlin. Deutsch lernen und unterrichten Arbeitsmaterialien. Mission Berlin 24 Το ρολόι χτυπάει
24 Το ρολόι χτυπάει Η Άννα βρίσκει πάλι τη µεταλλική θήκη που είχε κρύψει το 1961, αλλά δεν µπορεί να την ανοίξει, επειδή έχει σκουριάσει. Όταν τελικά τα καταφέρνει, βρίσκει µέσα ένα παλιό κλειδί. Το κλειδί
Γενικά Μαθηματικά Ι. Ενότητα 16: Ολοκλήρωση Τριγωνομετρικών Συναρτήσεων, Γενικευμένα Ολοκληρώματα Λουκάς Βλάχος Τμήμα Φυσικής
ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ενότητα 16: Ολοκλήρωση Τριγωνομετρικών Συναρτήσεων, Γενικευμένα Ολοκληρώματα Λουκάς Βλάχος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται
18. Normale Endomorphismen
18. Normale Endomorphismen 18.1. Die adjungierte lineare Abbildung Seien V, W K-Vektorräume mit Skalarprodukt, V,, W Lemma: Sei φ Hom(V, W ). Falls Ψ Hom(W, V ) mit der Eigenschaft so ist Ψ hierdurch eindeutig
Auswandern Wohnen. Wohnen - Mieten. Θα ήθελα να ενοικιάσω ένα. Äußern dass man etwas mieten möchte. δωμάτιο Art der Unterbringung
- Mieten Griechisch Θα ήθελα να ενοικιάσω ένα. Äußern dass man etwas mieten möchte Koreanisch δωμάτιο διαμέρισμα γκαρσονιέρα / στούντιο διαμέρισμα μονοκατοικία ημι-ανεξάρτητο σπίτι σπίτι σε σειρά κατοικιών
Griechische und römische Rechtsgeschichte
ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Griechische und römische Rechtsgeschichte Ενότητα 10: Beispiele von Institutionen des Römischen privatrechts Παπακωνσταντίνου Καλλιόπη
Logik und Beweisbarkeit
Logik und Beweisbarkeit Kap. I - Aussagenlogik (Sommer 2017) Martin Mundhenk Univ. Jena, Institut für Informatik 19. April 2017 Vorlesung Logik und Beweisbarkeit (Sommer 2017) 1. Aussagenlogik 2. Arithmetik
Ανώτερα Μαθηματικά Ι. Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα. Ενότητα 9: Παράγωγος Συνάρτησης Μέρος Ι. Αθανάσιος Μπράτσος. Τμήμα Ναυπηγών Μηχανικών ΤΕ
Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Αθήνας Ανώτερα Μαθηματικά Ι Ενότητα 9: Παράγωγος Συνάρτησης Μέρος Ι Αθανάσιος Μπράτσος Τμήμα Ναυπηγών Μηχανικών ΤΕ Το περιεχόμενο του μαθήματος
2x 2 + x + 1 (x + 3)(x 1) 2 dx, 2x (x + 1) dx. b x 1 + x dx x x 2 1, 6u 5 u 3 + u 2 du = 6u 3 u + 1 du. = u du.
Ασκήσεις για το µάθηµα «Ανάλυση Ι και Εφαρµογές» Κεφάλαιο 8: Τεχνικές ολοκλήρωσης Α Οµάδα. Υπολογίστε τα ακόλουθα ολοκληρώµατα : + + d, + + ( + 3)( ) d, 3 + 3 + 3 + + + d. Υπόδειξη. (α) Γράφουµε + + d
EL Ενωµένη στην πολυµορφία EL A7-0109/298. Τροπολογία. Renate Sommer εξ ονόµατος της Οµάδας PPE
9.6.2010 A7-0109/298 298 Άρθρο 33 παράγραφος 1 (1) Εκτός από τις µορφές έκφρασης που αναφέρονται στο άρθρο 31 παράγραφοι 2 και 3, η διατροφική δήλωση µπορεί να παρέχεται και µε άλλες µορφές έκφρασης, εφόσον
Das Präpositionalobjekt Εμπρόθετο αντικείμενο
Πολλά ριματα ςυντάςςονται με εμπρόκετο αντικείμενο. Η πρόκεςθ κακορίηει τθν πτώςθ του ουςιαςτικοφ. Das Präpositionalobjekt Εμπρόθετο αντικείμενο Το εμπρόθετο αντικείμενο αφορά πρόςωπο warten auf + Akk.
1. Βρες το σωστό αντικείμενο και συμπλήρωσε το σε αιτιατική. 2. Μπορείς να το πεις κι αλλιώς. Χρησιμοποίησε τα ρήματα schmecken και gefallen
Name: Datum: Klasse: Note: 1. Βρες το σωστό αντικείμενο και συμπλήρωσε το σε αιτιατική eine Torte, eine Limonade, die Blumen, der Arzt, die Tür, der Schulbus a) Peter ist krank. Seine Mutter ruft an. b)
Η προβληματική της Protention στη φαινομενολογία του χρόνου του Husserl
Πανεπιστήμιο Πατρών Σχολή Ανθρωπιστικών και Κοινωνικών Επιστημών Τμήμα Φιλοσοφίας Πρόγραμμα Μεταπτυχιακών Σπουδών Η προβληματική της Protention στη φαινομενολογία του χρόνου του Husserl Διπλωματική Εργασία
ΕΡΓΑΖΟΜΕΝΩΝ Bildung älterer Arbeitnehmer
ΚΑΤΑΡΤΙΣΗ ΩΡΙΜΩΝ ΕΡΓΑΖΟΜΕΝΩΝ Bildung älterer Arbeitnehmer Kassandra Teliopoulos IEKEP 06/03/06 ΜΕΡΙΚΑ ΣΗΜΕΙΑ ΚΛΕΙΔΙΑ Einige Gedankenansätze!Στις περισσότερες χώρες μέλη της Ε.Ε. μεγάλης ηλικίας εργαζόμενοι
Griechische und römische Rechtsgeschichte
ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Griechische und römische Rechtsgeschichte Ενότητα 6: Athen Παπακωνσταντίνου Καλλιόπη Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται
Klausur Strömungslehre
...... Name, Matr.-Nr, Unterschrift Klausur Strömungslehre. 3.. Aufgabe a G F A G WV B + V L g G G W + V L g g B V L G g W B L p R T W p a + Wg + h R T W m L L V L m L G pa + Wg + h g W B R T W b G F A
Εμπορική αλληλογραφία Ηλεκτρονική Αλληλογραφία
- Εισαγωγή ελληνικά Αξιότιμε κύριε Πρόεδρε, γερμανικά Sehr geehrter Herr Präsident, Εξαιρετικά επίσημη επιστολή, ο παραλήπτης έχει ένα ειδικό τίτλο ο οποίος πρέπει να χρησιμοποιηθεί αντί του ονόματος του
PASSANT A: Ja, guten Tag. Ich suche den Alexanderplatz. Können Sie mir helfen?
03 Για την οδό Kantstraße Η Άννα ξεκινά για την Kantstraße, αλλά καθυστερεί, επειδή πρέπει να ρωτήσει πώς πάνε µέχρι εκεί. Χάνει κι άλλο χρόνο, όταν εµφανίζονται πάλι οι µοτοσικλετιστές µε τα µαύρα κράνη
Μιγαδικός λογισμός και ολοκληρωτικοί Μετασχηματισμοί
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Μιγαδικός λογισμός και ολοκληρωτικοί Μετασχηματισμοί ΣΤΟΙΧΕΙΩΔΕΙΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Διδάσκων : Επίκ. Καθ. Κολάσης Χαράλαμπος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό
Ο ΜΥΘΟΣ ΤΗΣ ΛΟΡΕΛΑΪ DIE LORELEY FABEL
Ο ΜΥΘΟΣ ΤΗΣ ΛΟΡΕΛΑΪ DIE LORELEY FABEL Η Λορελάϊ, είναι η Γοργόνα του Μεγαλέξανδρου στη γερμανική της έκδοση Ή μια Σειρήνα απ την Οδύσσεια που απομακρύνθηκε απ τις συντρόφισσές της και βρέθηκε στον Ρήνο.
Κεφάλαιο 8 Το αόριστο ολοκλήρωµα
Κεφάλαιο 8 Το αόριστο ολοκλήρωµα 8 Θεµελίωση έννοιας αορίστου ολοκληρώµατος Στο 7 0 Κεφάλαιο ορίσαµε την έννοια της αντιπαραγώγου µιας συνάρτησης f σ ένα κλειστό και φραγµένο διάστηµα Γενικότερα Ορισµός
Lebenslauf, Dr. Lambis Tassakos
Lebenslauf, Dr. Lambis Tassakos 1959 Geboren in Athen 1963 1965 Deutschland-Aufenthalt (Bielefeld) Deutscher Kindergarten, erste private Griechische Grundschule in Deutschland 1966 1976 Griechenlandaufenthalt
Τίτλος Μαθήματος: Μαθηματική Ανάλυση Ενότητα Β. Διαφορικός Λογισμός
Τίτλος Μαθήματος: Μαθηματική Ανάλυση Ενότητα Β. Διαφορικός Λογισμός Κεφάλαιο Β.08: Υπερβολικές Συναρτήσεις Όνομα Καθηγητή: Γεώργιος Ν. Μπροδήμας Τμήμα Φυσικής Γεώργιος Νικ. Μπροδήμας Κεφάλαιο Β.08: Υπερβολικές
ΛΟΓΙΣΜΟΣ Συναρτήσεων µιας Μεταβλητής
Σηµειωσεις: ΛΟΓΙΣΜΟΣ Συναρτήσεων µιας Μεταβλητής Θ. Κεχαγιάς Σεπτέµβρης 9 v..85 Περιεχόµενα Προλογος Εισαγωγη Βασικες Συναρτησεις. Θεωρια..................................... Λυµενα Προβληµατα.............................
1. Kapitel I Deskriptive Statistik
V L ÖSUNGEN 1. Kapitel I Deskriptive Statistik = + + = = = = = + = = = + = = = = = = = = + + + + = = + + + + = = = = = + + + + + + + = B. Auer, H. Rottmann, Statistik und Ökonometrie für Wirtschaftswissenschaftler,
G L (x) =Ax + B, G R (x) =A x + B οπότε από τις συνοριακές συνθήκες έχουμε
1 ÈÖ Ð Ñ Για να είναι εφαρμόσιμη η μέθοδος της συνάρτησης Green, θαπρέπειηομογενής εξίσωση Ly =+ Ο.Σ.Σ. να έχει ως μοναδική λύση τη μηδενική. α) Η ομογενής εξίσωση y =έχει λύση y = A + B, από τις δεδομένες
% APPM$1235$Final$Exam$$Fall$2016$
Name Section APPM$1235$Final$Exam$$Fall$2016$ Page Score December13,2016 ATTHETOPOFTHEPAGEpleasewriteyournameandyoursectionnumber.The followingitemsarenotpermittedtobeusedduringthisexam:textbooks,class
Mission Berlin. Deutsch lernen und unterrichten Arbeitsmaterialien. Mission Berlin 13 Βοήθεια εκ Θεού
13 Βοήθεια εκ Θεού Η εκκλησία φαίνεται πως είναι το σωστό µέρος για να πάρει κανείς πληροφορίες. Ο πάστορας εξηγεί στην Άννα τη µελωδία και της λέει ότι είναι το κλειδί για µια µηχανή του χρόνου. Αλλά
Γενικά Μαθηματικά Ι. Ενότητα 2: Τριγωνομετρικές, Εκθετικές και Σύνθετες Συναρτήσεις. Λουκάς Βλάχος Τμήμα Φυσικής ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ
ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ενότητα 2: Τριγωνομετρικές, Εκθετικές και Σύνθετες Συναρτήσεις Λουκάς Βλάχος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες
Πανεπιστήµιο Κρήτης - Τµήµα Επιστήµης Υπολογιστών. Απειροστικός Λογισµός Ι. ιδάσκων : Α. Μουχτάρης. Απειροστικός Λογισµός Ι - 3η Σειρά Ασκήσεων
Πανεπιστήµιο Κρήτης - Τµήµα Επιστήµης Υπολογιστών Απειροστικός Λογισµός Ι ιδάσκων : Α. Μουχτάρης Απειροστικός Λογισµός Ι - η Σειρά Ασκήσεων Ασκηση.. Ανάπτυξη σε µερικά κλάσµατα Αφου ο ϐαθµός του αριθµητή
Weihnachtsbrief aus Kindergarten und Vorschule Χριστουγεννιάτικο γράμμα από το προνηπιακό/νηπιακό τμήμα
Weihnachtsbrief aus Kindergarten und Vorschule Χριστουγεννιάτικο γράμμα από το προνηπιακό/νηπιακό τμήμα 13.12.2016 Liebe Eltern des Kindergartens und der Vorschule, Die Weihnachtszeit ist eingeläutet.
Kapitel 6 Schweißverbindungen
Kapitel 6 Schweißverbindungen Alle Angaben beziehen sich auf die 19. Auflage Roloff/Matek Maschinenelemente mit Tabellenbuch und die 15. Auflage Roloff/Matek Aufgabensammlung. Das Aufgabenbuch kann man