E ολ =K max =U max. q=q max cos(ω 0 t+φ 0 ) q= ω 0 q max sin (ω 0 t+φ 0 ) K max. q max. ω 2 2. =1/2k ισοδ

Μέγεθος: px

Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "E ολ =K max =U max. q=q max cos(ω 0 t+φ 0 ) q= ω 0 q max sin (ω 0 t+φ 0 ) K max. q max. ω 2 2. =1/2k ισοδ"

Θεοφάνης Αλεβίζος
6 χρόνια πριν
Προβολές:

1 Στο προηγούμενο κείμενο είδαμε πως από την εξίσωση της ενέργειας του μηχανικου συστηματος, χρησιμοποιωντας de/dt =0, φτάνουμε στην εξισωση της ταλάντωσης. Σε πολλες περιπτώσεις ο τροπος αυτος ειναι πιο βολικος απο την δυναμικη προσεγγηση γιατι η διαδικασία κατασκευης της εξίσωσης αυτής, αφενός είναι πιο εύκολη, αφετέρου η διαφορική εξίσωση που προκύπτει είναι πρώτου βαθμού ως προς τον χρόνο, ενώ οι εξισώσεις του εύτωνα ειναι δεύτερου βαθμού. Επιπλέον δε με τον τρόπο αυτό αποδεικνύουμε ότι η κίνηση του μηχανικού συστήματος θα είναι αρμονική ταλάντωση. Αν όμως μας ενδιαφέρει μόνο ο προσδιορισμός της συχνότητας τότε ειναι πιο βολικό να χρισιμοποιησουμε μια απλοποίηση της μεθοδου αυτης. Θα την ελεγα μεθοδο της σύγκρισης των ενεργειών. Εν προκειμένω κάνουμε apriori την υποθεση οτι το σύστημα εκτελεί απλή αρμονική ταλαντωση. Δεδομένου ότι η συνολική ενέργεια παραμένει σταθερή, η μέγιστη κινητική ενέργεια πρέπει να είναι ίση με τη μέγιστη δυναμική ενέργεια. Δηλαδή όπου : Κ= η κινητική ενέργεια, U = η δυναμική ενεργεια E ολ =K =U Τωρα αν το σύστημα εκτελεί αρμονική ταλάντωση q=q cos(ω 0 t+φ 0 ) q= ω 0 q sin (ω 0 t+φ 0 ) και q =ω 0 q οπότε, K =1/m ισοδ ω 0 q & U =1/k ισοδ q και αφού K =U προκύπτει ότι : ω 0 = k ισοδ /m ισοδ Με τη σύγκριση των ima των ενέργειων είναι πάντα ευκολότερος ο προσδιορισμός της συχνότητας (ω), αν τα πλατη (amplitudes) ταλαντωσεων των διάφορετικων σημείων του συστήματος συνδέονται με κάποια συγκεκριμένη σχεση, ώστε από το πλάτος ταλάντωσης ενός και μόνο σημείου να είναι εφικτός ο υπολογισμός του πλάτους ταλάντωσης όλων των υπολοίπων. α δουμε ομως πως δουλευει η μεθοδος αυτη στην πραξη. Παράδειγμα 0.α υπολογιστεί η ιδιοσυχνότητα του απλού εκκρεμούς. Θα εξετασουμε πολύ μικρές ταλαντώσεις, δηλ. θ << 1rad. Σ'αυτές της περιπτώσεις

2 sinθ ~ θ Για συντεταγμενη επιλεγουμε την γωνια.θεωρουμε οτι το εκκρεμες εκτελη αρμονικη ταλαντωση s= Acos(ω 0 t+φ 0 ). Η μεγιστη τιμη της δυναμηκις ενεργιας ειναι U =mgh=mgl 1 cosθ m =mglsin θ m / για μικρες γονιες Επομενος sin θ m θ m / U = mglθ m Η μεγιστη κινητηκη ενεργια ειναι K = mv = m A ω 0 K = m l ω 0 θ m και επεδη Α=lθ m Χρισιμοπιοντας το U =K για την ιδιοσυχνοτητα βρισκουμε ω 0 = g l.πλυφοριακα εδω k ισοδ =mgl και m ισοδ = ml =Ι ροπη αδρανιας Παράδειγμα 1. Στο παρακάτω σχήμα βλέπουμε μια συσκευή καταγραφής των κατακόρυφων δονήσεων των θεμελίων μηχανών. Το βαρίδι Q εχει μάζα m, που καθέται κάθετα πάνω σε ελατήριο σταθεράς c 1. Οι κινήσεις του Q μεταδίδονται στην ακίδα ΑΟΒ η οποία περιστρέφεται γύρω απο τον όριζόντιο άξονα Ο και είναι συνδεδεμένος με άλλο ελατήριο, σταθεράς c, στο σημειο Β. Η ακίδα εχει ροπή αδράνειας I ως προς τον άξονα περιστροφής O (ΑΟ=a, OB=b). Θεωρώντας ότι η μάζα των δυο ελατηρίων ειναι αμελητέα και ότι το σύστημα εκτελεί αρμονική ταλάντωση, να βρεθει η συχνοτητα του.

3 Λυση: Εδω ως συντεταγμενη επιλέγουμε την κατακορυφη μετατοπιση y του βαριδιου Q. Αν ẏ η μέγιστη ταχύτητα της ταλάντωσης του Q, τότε η αντίστοιχη γωνιακή ταχύτητα της ακίδας ΑΟΒ θα ειναι ẏ /a. Η κινητική ενέργεια του συστήματος στην κατακόρυφη θέση ισορροπίας του θα ειναι : K =m ẏ + I a = (m+ I a ) ẏ ẏ Επεδή στης αρμονικές ταλαντώσεις ισχύει ẏ =ω 0 y οπότε K = m I a ω 0 y Όταν η ακίδα βρίσκεται στην ακραία της θεση, η οπoία προσδιορίζεται απο την μετατόπιση y του Q, τότε στο ελατηριο c θα ενεργεί δυναμη c y ( b a ) και η μεγιστη δυναμικη ενέργεια του συστήματος θα ειναι : =. U = 1 c 1 y + 1 c ( b a ) y = (c 1 +c ( b ) a ) y Χρησιμοποιώντας τη σχέση U =K και επιλύοντας ως προς την ιδιοσυχνοτητα, βρισκουμε ω 0 = b (c 1 +c a ) (m+ I a ) = k ισοδ / m ισοδ Παράδειγμα 3. α υπολογιστεί η ιδιοσυχνότητα βαριδιού μαζας m που είναι κρεμασμένο πανω σε ελατηριο σταθεράς κ και μαζας m ελτ συγκρισιμη με τη μάζα του βαριδιού. Λυση Αφού το βάρος του ελατηρίου ειναι συγκρισιμο με το βαρος του βαριδιού, τότε η συχνοτητα δεν μπορεί να προσδιοριστεί απο την σχέση ω =k/m, η οποία ισχύει μόνο αν η μάζα του ελατηρίου είναι αμελητέα. Μια ακριβέστερη τιμή μπορούμε να πάρουμε αν χρησιμοποιήσουμε την μεθοδο σύγκρισης των ima των ενέργειων (αρχή διατήρησης της ενεργειας). Έστω ότι το βαρίδι εκτελεί μικρές αρμονικές ταλαντώσεις με συχνότητα ω και πλατος Α. Τότε κάθε σπείρα του ελατηρίου η οποία, σε κατασταση ηρεμίας, ευρίσκετο σε απόσταση y από την ανάρτηση θα εκτελεί ταλάντωση πλάτους α : a= y L A, (.1) οπου L το μηκος του ελατηρίου σε κατασταση ηρεμίας. Αν ο αριθμος των σπειρών του ελατηρίου, τότε το πλατος ταλαντωσης της ν-οστής σπείρας, συμφωνα με τη (.1) θα είναι :

4 a ν = ν N A (.) Η κινητική ενέργεια του ελατηρίου όταν το βαρίδι διέρχεται απο την θέση ισορροπιας θα είναι Κ ελτ. = 1 m ν V ν, Αντικαθιστώντας τα V ν, και m ν, αντίστοιχα με : V ν, =ωa ν και m ν =m ελτ /, προκύπτει : Κ ελτ. = 1 ( m ελτ N ω а ν ) αντικαθιστώντας στη σχέση αυτή, το α ν όπως αυτό προέκυψε από την (.), Κ ελτ. = m ελτ N ω Α N ν = (m ελτ ω Α ) N 3 (N ( N +1)(N+1)) 6 (.3) (για τον υπολογισμό του ν Αν το >>1 τότε βλέπε κατωτέρω Σημείωμα). Κ ελτ. 1 m ελτ 3 ω A (.4) Η συνολική κινητική ενέργεια, βαριδιού και ελατηρίου, θα είναι : K = 1 ma ω + 1 m ελτ 3 A ω = 1 (m+ m ελτ 3 ) A ω (.5) Η δυναμική ενέργεια την στιγμή της μέγιστης επιμήκυνσης του ελατηρίου θα είναι : U = 1 ka (.6) Εφαρμόζοντας τη σχέση U =K, δεδομένων των (.5) και (.6) : 1 ka = 1 (m+ m ελτ 3 ) Α ω και επιλύοντας ως προς ω : ω = k (m+ m ελτ 3 ) Έτσι, για να προσδιοριστεί με μεγαλύτερη ακριβεια η περιόδος ταλάντωσης του βαριδιού θα πρέπει να προστεθεί άλλο 1/3 της μάζας του ελατηρίου. Είναι σαφές ότι αν η μάζα του ελατηρίου είναι πολύ μικρή σε σύγκριση με τη μάζα του βαριδιού, η διευκρίνιση αυτή δεν θα οδηγήσει σε διαφορετικό αποτέλεσμα. Τέλος, άν ο αριθμός των σπειρών του ελατηρίου είναι μικρος, τότε για τον καθορισμό της συχνότητας ταλάντωσης πρέπει να λαμβάνεται υπόψη η σχέση (.3) αντί της (.4)

ν ν Συμείωμα : Υπολογισμός αθροίσματος Για το υπολογισμο του αθροισματος τηλεσκοπιου και την ταυτοτητα : (ν+1) 3 ν 3 =3ν +3ν+1 στη σχέση (.3), χρησιμοποιουμε την μεθοδο του S 1 =1 3, S = 3.

5 ν ν Συμείωμα : Υπολογισμός αθροίσματος Για το υπολογισμο του αθροισματος τηλεσκοπιου και την ταυτοτητα : (ν+1) 3 ν 3 =3ν +3ν+1 στη σχέση (.3), χρησιμοποιουμε την μεθοδο του S 1 =1 3, S = 3..., S ν =ν 3, S ν+1 =(ν+1) 3..., S N 1 =(N 1) 3, S N =N 3 S S 1 = S 3 S = S ν+1 S ν =3ν +3ν+1 S N +1 S N =3N +3.N+1 Αθροίζοντας κατά μέρη όλες τις εξισωσεις, τα ενδιάμεσα μέλη απαλείφονται (γι' αυτο και λέγεται μέθοδος του τηλεσκοπίου) καταλήγοντας στη σχέση : ν= S N +1 S 1 =( N +1) =3( ν= ν )+3( ν)+ Αντικαθιστώντας στην παραπανω εξισωση ν= ( +1) ν= μετά από απλές πράξεις φτάνουμε στο αποτέλεσμα : ν= ν = (N ( N +1)(N+1)) 6 Παράδειγμα 4. α προσδιοριστεί η συχνότητα των μικρών διαμηκων ταλαντώσεων του σώματος μαζας m στο παρακάτω σχήμα. Οι σταθερες των ελατηριων ειναι k 1 και k. Η τριβη και οι μαζες των ελατηριων να θεωρηθούν αμελητέες. Λυση Εδω επιλεγουμε ως συντεταγμενη την καρτεσιανή οριζόντια X. Εστω ότι το σύστημα εκτελεί αρμονική ταλάντωση με συχνότητα ω και πλατος x. Επομένως ẋ =ωx. Κατά συνέπεια η κινητική του ενέργεια στη θέση ισορροπίας θα ειναι : K = 1 m ẋ = 1 m ω x Επειδή η παραμόρφωση των ελατηρίων είναι ιδια, η δυναμική ενεργεια στις ακραίες θεσεις θα είναι U = 1 k x 1 Εφαρμόζοντας τη σχέση U =K, βρίσκουμε ότι : + 1 k x = 1 (k +k )x 1 ω = (k 1+k ) m

6 Παράδειγμα 5. Το ανάποδο εκκρεμές, (βλέπε σχήμα παρακάτω) αποτελείται από ένα σφαιρίδιο μαζας m, τοποθετημένο στο άκρο μιας απόλητα άκαμπτης ράβδου μήκους l και συγκρατείται σε κατακόρυφη θεση από ελατήριο σταθεράς k που συνδέεται στο σημείο Β της ράβδου (ΟΒ=α). Αν θεωρήσουμε τη μάζα του ελατηρίου και τη μάζα της ράβδου ως αμελετέες, να προσδιοριστεί η συχνότητα των αρμονικών ταλάντωσεων και η συνθήκη ισορροπίας του. Λυση Εστω ότι η γωνια φ είναι το πλατος της αρμονικής ταλάντωσης του εκκρεμούς. Τοτε η επιμήκυνση του ελατηρίου στην ακραία του θεση θα ειναι aφ, ενώ το σφαιριδιο μάζας m θα έχει κατέβει από τη θέση ισορροπίας του κατά απόσταση h=l (1-cosφ ) 1/(lφ ). Επομενως η μέγιστη δυναμική ενέργεια του συστήματος θα είναι : U 1 ka φ 1 mglφ Στην κατακόρυφη θέση το εκκρεμές έχει γωνιακη ταχύτητα Ω = ω 0 φ. Επομένως η μέγιστη κινητική ενέργεια του συστήματος θα είναι : Κ =(1/) I Ω όπου : Ι = ml, η ροπη αδράνειας του σφαιριδίου ως προς το σημειο Ο, και άρα Κ = 1 m l ω 0 φ Εφαρμόζοντας τη σχέση U =K, βρίσκουμε ότι : ω = k a mgl ml ενώ, προκειμένου το σύστημα να ισορροπεί θα πρέπει : k a >mgl

Σχετικά έγγραφα

Ομαλή Κυκλική Κίνηση 1. Γίνεται με σταθερή ακτίνα (Το διάνυσμα θέσης έχει σταθερό μέτρο και περιστρέφεται γύρω από σταθερό σημείο.

Ομαλή Κυκλική Κίνηση 1. Γίνεται με σταθερή ακτίνα (Το διάνυσμα θέσης έχει σταθερό μέτρο και περιστρέφεται γύρω από σταθερό σημείο. 1 3 υ υ 1 1. Το μέτρο της ταχύτητας του υλικού σημείου είναι σταθερό.