Ενεργιακη προσεγγιση και υπολογισμο της συχνοτητας ταλαντωσης. q 2

Transcript

1 Ενεργιακη προσεγγιση και υπολογισμο της συχνοτητας ταλαντωσης Στο σχολειο μελετανε κυριως συστηματα με ενα βαθμο ελευθεριας.δηλαδη συστηματα στα οποια η στιγμαια θεση τους με μοναδικο τροπο προσδιοριζεται απο μια και μονο συντεταγμενη εστω q - λεγεται και γενικευμενη γιατι μπορει να ειναι η γωνια,ή η διανιμομενη αποσταση πανω στην τροχια του κ.τ.λ. Π.χ. Η κινηση ενος υλικου σημειου πανω στην περιφερεια ενος κυκλου παρολο που φαινεταιοτι περιγραφεται απο της δυο μεταβλητες Χ,Υ,επειδη υπαρχει ο κινηματικος δεσμος Χ + Υ =R τοτε η ανεξαρτητη μεταβλητη ειναι μονο μια.για μια τετοια μεταβλητη μπορουμε να παρουμε το μηκος s του τοξου του κυκλου με αρχη π.χ. το σημειο με συντεταγμενες (0,R). Η πρωτη παραγωγος της γενικευμενης συντεταγμενης ως προς του χρονο ονομαζεται γενικευμενη ταχυτητα. Μελετανε και κυριως την δυναμικη προσεγγιση,δηλαδη την συσταση των εξισώσεων κίνησης (δεύτερο νόμο του Νεύτωνα) σε μορφη, η οπoια να αντίστοιχη στην εξίσωση της αρμονικής ταλάντωσης q=ω 0 q οπου ω 0 =m/k η ιδιοσυχνοτητα του απλου αρμονικου ταλαντωτη. Αυτη ειναι η πιο βασικη παραμετρος καθε παλλομενου συστηματος η οποια δεν εξαρταται απο της αρχικες συνθηκες αλλα εξ ολοκληρου προσδιοριζεται απο τα χαρακτηριστικα του(m,k). Ας υποθεσουμε τωρα οτι το μηχανικο συστημα ειναι τετοιο ωστε η κινητικη και δυναμικη του ενεργια εκφραζονται απο τους τυπους K =1/m ισοδ q και U =1/k ισοδ q τοτε η συνολική ενέργεια ειναι και το συστημα εκτελει αρμονικη ταλαντωση E ολ = K + U = 1/m ισοδ q + 1/k ισοδ q q=q max cos(ω 0 t+φ 0 ), με κυκλικη συχνοτητα ω 0 =(k ισοδ /m ισοδ ) οπου ο συντελεστης m ισοδ στην εκφραση για την κινητικη ενεργεια ονομαζεται ισοδυναμη μαζα του συστηματος,ενω k ισοδ,στην δυναμικη ενεργεια - ισοδυναμη σταθερα.πράγματι, δεδομένου ότι η μηχανική ενέργεια διατηρείται σταθερη ο παράγωγος της ως προς το χρόνο είναι μηδέν Ė (t)=m ισοδ q q+k ισοδ q q=0 Επειδη q δεν ειναι 0,μπορουμε να διαιρεσουμε με m ισοδ q και φτανουμε και παλι στην εξισωση του απλου αρμονικου ταλαντωτη q+k ισοδ /m ισοδ q=0 Αυτη ειναι η ουσια της Ενεργιακης μεθοδου Η αντιστοιχια της ενεργειας του συστηματος με την ενεργεια ενος απλου ταλαντωτη με μαζα m και σταθερα k. Θα μας χρειαστουν και μερικες τριγονομετρικες ταυτοτιτες (1-cosα)=sin α (1+cosα)=cos α Να σημεωσουμε και τους προσεγγιστικους τυπους που συνηθως χρησιμοποιουνται στης μικρες ταλαντωσεις α << 1rad sin α α.γεωμετρικα αυτο σημαινει οτι το μηκος της χορδης ειναι σχεδον ισο με το μηκος του

2 τοξο στο οποιο βαινει. cosα 1 1 α Να δουμε ομως πως δουλευει η μεθοδος αυτη στην πραξη.αρχιζοντας απο τα κλασικα. Παράδειγμα 1.Να υπολογιστει η ιδιοσυχνοτητα του απλου εκκρεμες Θα εξετασοουμε μικρες ταλαντωσεις οταν η μεγιστη γονια θ ειναι << 1rad, Σ'αυτες της περιπτωσεις sinθ ~ θ και το τοξο s και η χορδη α οπως ειπαμε πρακτικα ταυτιζονται.για συντεταγμενη θα επιλεξουμε την μετατοπιση s του σφαιριδιου πανω στο τοξο του κυκλου απο την θεση ισοροπιας. Τοτε η κινητικη ενεργεια του εκκρεμες ειναι K = 1 m ṡ,δηλαδη m ισοδ = m Η δυναμικη ενεργεια U =mgh=mg (1 cosθ) = mgsin θ θ mg = mg s οπου χρησμοπιησαμε οτι s=.θ.επομενως k ισοδ =mg/ και για την κυκλικη συχνοτητα ταλαντωσεων εχουμε ω= k ισοδ g m ισοδ=.

3 Παράδειγμα Φυσικο εκκρεμές - είναι ένα στερεο σώμα, το οποίο περιστρεφετε γύρω από ένα σταθερό οριζόντιο άξονα. Το σημείο τομής του αξονα με το κατακόρυφο επίπεδο που διέρχεται από το κέντρο μάζας του εκκρεμούς (C), και ονομάζεται σημείο ανάρτησης του εκκρεμούς (A)(Βλ. Σχήμα). Λυση: Η θέση του σώματος οπωσδηποτε στιγμή μπορεί να προσδιοριστει από την γωνία κλίσης του από θ τη θέση ισορροπίας του.εδω επιλεγουμε Η γωνία θ να παίζει το ρόλο της γενικευμένη συντεταγμένη.για την κινητική ενέργεια του εκκρεμούς εχουμε K = Iω = I θ,επομενος m ισοδ = I οπου I -ροπή αδράνειας του εκκρεμούς ως πρως τον άξονα Α Η Δυναμική ενέργεια είναι U = mgh, όπου h - το ύψος της ανύψωσης του κέντρου μάζας C απο την χαμηλότερη θέση του.εστω a η απόσταση μεταξύ του κέντρου μάζα C και το σημείο ανάρτησης Α. Οπως και στο απλο εκκρεμες εχουμε U =mgh=mga(1 cosθ) = mga sin θ θ mga,επομενος k ισοδ = mga και για την συχνοτητα εχουμε ω= mga I βλεπουμε οτι στην περιπτωση του απλου εκρεμες а=,ι= m και αντικαθιστοντας στο παραπανω τυπο καταληγουμε στο τυπου του απλου εκκρεμες.

4 Παράδειγμα 3 Στερεο σώμα περιστροφής με ακτίνα a και ροπη αδράνειας I (ως προς το γεωμετρικό άξονα) και μάζα m κυλά χωρίς να γλιστρά στην εσωτερική επιφάνεια ενός κυλίνδρου ακτίνας R, εκτελοντας μικρές ταλαντώσεις γύρω από τη θέση ισορροπίας (βλ Εικ). Να Βρείτε την συχνοτητα τους. Λύση. Λαμβάνοντας υπόψη την κίνηση του σώματος σαν περιστροφή γιρω απο το στιγμιαίο άξονα του με γωνιακή ταχύτητα ω, μπορουμε να γράψουμε για την ταχύτητα του κέντρου του V = ω.a Η ιδια ταχυτητα μπορει να εκφραστεί και ως V = (R -a) dθ/dt Εξισώνοντας τις δύο εκφράσεις, θα βρούμε. ω= R a θ a Η κινητική ενέργεια του σωματος ειναι το αφρισμα των ενεργιων περιστροφηκης και μεταφορικις κηνησης.αρα K = 1 I ω + 1 m(r a) θ = = 1 (m+ I a )( R a) θ επομενος m ισοδ = (m+ I /a )(R a) Η Δυναμική ενέργεια είναι U =mg(r a)(1 cosθ ) 1 mg (R a)θ,αρα k ισοδ = mg(r-a) --> για συμπαγη κυλινδρο Ι=1/(ma ) ω = g (1+ I ma )(R a) ω g g = = 3 ( R a ) 3 (R a) για συμπαγη σφαιρα I=/5ma ω = 5 7 g R a

5 Παράδειγμα 4.Μέσα σε ακινητο σφαιρικού κύπελλο με ακτίνα R κινηται μια λεπτή ομοιογενής ράβδος μήκους <R,και μαζας m ετσι ώστε να παραμένει σε ένα κατακόρυφο επίπεδο που διέρχεται από το κέντρο της σφαίρας (βλ. Εικ.). Αν παραμέλησουμε την τριβή, η ράβδος εκτελεί ταλαντώσεις χωρίς απόσβεση. Καθορίστε τη συχνότητα τους. Λυση: Για την Κινητική ενέργεια της ράβδου μπορούμε να γράψουμε K= 1 mv + 1 Iω όπου v - ταχύτητα του κέντρου μάζας, Ι - ροπή αδρανείας ως προς τον άξονα που διέρχεται από το κέντρο μάζας.δεδομένου ότι, v=ωr, r= (R 4 ),ω= α, I = m 1 K= 1 m α ( R 1 6 ) m ισοδ = m( R 6 ) Η δυναμική ενέργεια ορίζεται από το ύψος του κέντρου βάρους πάνω από τη θέση ισορροπίας: U =mgr (1 cosα) Αν λάβουμε υπόψη τις μικρές ταλαντώσεις :α<<1 --> cosα 1 1 α U 1 mgα = 1 mgα (R 4 ) k ισοδ = mg R 4 g R αρα ω 4 = R 6

6 Παράδειγμα 5.Μια ράβδος (μήκους = 40 sm και μαζα Μ ) την λυγιζουμε σε σχημα ημικυκλειο και με αβαρεις ακτίνες την συνδέουμε με ένα οριζόντιο άξονα που διέρχεται από το κέντρο του κύκλου. Βρείτε την κυκλική συχνότητα των μικρών ταλαντώσεων γύρω από τη θέση ισορροπίας του ημικυκλιoυ, αν ο άξονας περιστροφής του είναι κάθετος το επίπεδο του ημικυκλιoυ. g = 9,8 m/s Οπως στο απλο εκκρεμες για παραμετρο που προσδιοριζει την θεση του συστηματος θα επιλεξουμε s -την μετατοπιση των σημειων του ραβδου πανω στον τοξο του ημικυκλιου.(βλ το Σχημα).Τοτε η κινητικη ενεργια ειναι 1 M ṡ,δηλαδη η ισοδυναμη μαζα ειναι ισα με την μαζα της ραβδου. Για τον υπολογισμο της Δυναμικης ενεργιας κανονικα πρεπει να βρουμε τις συντεταγμενες του κεντρου βαρους.αλλα αν χρησιμοπιοισουμε την συμμετρια του συστηματος και κανουμε της εξης σκεψης : Στην περιστροφη του ραβδου σε μικρη γωνια α=s/r(r η ακτινα του ημικυκλιου) το μεγαλυτερο μερος του θα περιελθει στον εαυτο του.επομενος για το υπολογισμο της δυναμικης ενεργειας μπορουμε να θεωρησουμε οτι ενα μικρο κομματακι με μηκος s και μαζας s.m/ εχει μεταφερθει απο την μια ακρη στην αλλη (φαινεται στο σχημα).αρα το κεντρο του κοματιου εχει ανεβει σε υψος s και αρα η αλλαγη της δυναμικης ενεργειας της ραβδου θα ειναι U = Ms gs= Mg s (Εδω εχουμε θεωρησει την δυναμικη ενεργια στην θεση ισοροπιας οτι ειναι 0.Παντοτε στης ταλαντωσεις η δυναμικη ενεργεια στην θεση ισορροπιας θεωρειται μηδενικη) επομενως k ισοδ = Mg/. ω= k ισοδ g m ισοδ= = 7 sec -1 Παράδειγμα 6.Παρομοια με την προηγουμενη μονο αυτη την φορα εχουμε τοποθετησει στην μεση της ραβδου βαρος με μαζα m.ο ραβδος εχει μαζα Μ. Λυση: Χρησιμοποιοντας το παραδειγμα του απλου εκκρεμους και την προηγουμενη ασκηση. U =mgr (1 cosa)+ Ms gs mg R s + Mg s, R=/π U = (πm+m) g s Η κινητικη ενεργεια Κ=(m+M ) ṡ

7 ω= k ισοδ πm+m m ισοδ= m+m Παράδειγμα 6.Μακρυς σωλήνας λυγισμένος σε ορθή γωνία ειναι τοποθετημενος έτσι ώστε ένα από τα γόνατά του, να κοιτάζει προς τα επάνω. Στον κάθετο γόνατο τοποθετουμε ενα σχοινί μήκους = 90 cm, έτσι ώστε η μια του ακρη να φτάνει στο σημειο κάμψης και το αφήνουμε να γλιστρισει. Μετά από ποιο χρονικό διάστημα (σε χιλιοστά του δευτερολέπτου), το σχοινιθα εχει γλιστρισει ολοκληρο στο οριζόντιο μερος του σωλινα? Να παραβλευθει η τριβή. g = 10 m/s, ο αριθμός π = g Λυση:Παρολου που σ'αυτη την περιπτωση ταλαντωσεις δεν δημιουργουνται ο χρονος μπορει να υπολογιστει χαρι στο οτι η εξισωση κινησης του σωματος αυτο ειναι ολοιδια με την εξισωση για τις αρμονικες ταλαντωσεις. Πραγματι εστω την στιγμη t το μηκος του σχοινιου το οποιο εχει απομενει στον καθετο σωληνα ειναι y (βλ.εικονα),τοτε y/ -> το υψος του κεντρο βαρος αυτου του κοματιου και my/ -> η μαζα του μερος του σχοινιου που εχει απομεινει στον καθετο σωληνα.επομενως για την ενεργια του συστηματος θα εχουμε Е= 1 m ẏ + my g y = 1 m ẏ + mg Αυτη η εκφραση ειναι ιδια με την εκφραση για την ενεργεια του απλου εκκρεμους με ω= g,και επειδη η αρχικη ταχητυτα του σχοινη ειναι 0,αρα η κινηση του ανω ακρου του σκοινιουθα ειναι ιδια με την κινηση του απλου εκκρεμους απο το σημειου της μεγιστης αποκλισης προς την θεση ισορροπιας του: y=cosωt (t=0,y 0 =).Αρα χρονος που θα χριαστει για να φτασει το ανω ακρο μεχρι το σημειο y=0 θα ειναι y, t= T 4 = π g =475 ms