Αρµονικοί ταλαντωτές

Transcript

1 Αρµονικοί ταλαντωτές

2 ΦΥΣ Διαλ. 31 Εκκρεµή - Απλό εκκρεµές θ l T mg r F Αυτή η εξίσωση είναι δύσκολο να λυθεί. Δεν µοιάζει µε τη γνωστή εξίσωση Για µικρές γωνίες θ µπορούµε όµως να γράψουµε Εποµένως η διαφορική εξίσωση γίνεται:! = r! " F! = #mglsin$! = I!! Ml d " ", # = Ml dt = #Mglsin"!! d " dt = # g l sin"! " = # g l sin" Άρα η λύση είναι:! ( t) = Acos (" t + #) όπου:! = g l Διαφορική εξίσωση sin! =! "! 3 3! +! 5 5! +! #!! = " g l! Δ.Ε. αρµονικού ταλαντωτή Προσοχή στην ορολογία: To ω δεν είναι η γωνιακή ταχύτητα, αλλά η γωνιακή συχνότητα:! = "# = " $ % $ = "! % $ = " l g Ανεξάρτητο της µάζας

3 ΦΥΣ Διαλ Απλό εκκρεµές Με το νόµο του Newton l-y θ l T ĵ î Η δύναµη του νήµατος Τ στη µάζα m γράφεται:!! = ("T sin# )î + ( T cos# ) ĵ ( ) ĵ Το βάρος είναι:! w =!mg y x Εποµένως στον y-άξονα η συνισταµένη δύναµη είναι: mg! F y = ma y = ("mg + T cos# ) $ "mg + T cos# = m d y dt Αλλά γεωµετρικά: cos! = l " y l! y d y! mg + T = m l l dt Στη x-διεύθυνση:! F x = ma x = T sin" # T sin" = m d x dt # T x l = m d x dt Για µικρές γωνίες εκτροπής θ, η κατακόρυφη κίνηση είναι αµελητέα συγκριτικά µε την οριζόντια και µπορούµε να αγνοήσουµε την d y dt Ακόµα για µικρές γωνίες y << l και εποµένως: cos! = l " y l Η εξίσωση στην y-διεύθυνση γίνεται:!mg + T " # T " mg Στη x-διεύθυνση έχουµε:!mg x l = m d x dt " d x dt # 1 + g l x = Δ.Ε. αρµονικού ταλαντωτή

4 ΦΥΣ Διαλ Εκκρεµή - Φυσικό εκκρεµές θ l CM mg! = "mgl sin# = $ d # dt = I "" # % "" # = " mgl sin# I για µικρό θ: sinθ~θ è!!! = " mgl! I Εποµένως εξίσωση αρµονικού ταλαντωτή. Η λύση γνωστή Η γωνιακή συχνότητα, ω, στην περίπτωση αυτή είναι:! = mgl I ενώ πριν είχαµε βρει µόνο:! = g l Εποµένως η περίοδος είναι διαφορετική µεταξύ απλού και φυσικού. Πόσο? Για ένα µέτρο µήκος εκκρεµούς αλλάζει σε σχέση µε το φυσικό κατά ~% Τα περισσότερα ρολόγια έχουν περίοδο sec.

5 ΦΥΣ Διαλ Ενέργεια εκκρεµούς Θεωρήστε την ενέργεια του εκκρεµούς: lcosθ l θ v b m h=l-lcosθ H δυναµική ενέργεια θεωρώντας σαν επίπεδο µηδενικού δυναµικού (U=) το χαµηλότερο σηµείο: U = mgh = mgl( 1! cos" ) Παίρνοντας και πάλι το ανάπτυγµα Taylor έχουµε: cos! "1# 1!! + 1 4!! 4 +! Εποµένως το δυναµικό γράφεται: U = 1 mgl! H εξίσωση της τροχιάς είναι! ( t) =! max cos ("t + #) Άρα U = 1 mgl! max Κινητική ενέργεια? cos ("t + #) Ποιο το ω?! = g l "! l = g ταχύτητα?! b = l d" dt E!"# = 1 ml $ % max sin ( $t + &) = 1 mgl% max sin ( $t + &) Ολική Ενέργεια: E = U + E!"# $ E = 1 mgl% max

6 ΦΥΣ Διαλ Παράδειγµα Ένα εκκρεµές µήκους 15m ξεκινά µε ταχύτητα υ =3.9m/s, θ=1 ο Ποιο το πλάτος της ταλάντωσης; Λύση θ=1 ο επομένως μικρό E! 1 m" + 1 mgl# = 1 mgl# max $! max = E mgl = " gl +! Απλή αντικατάσταση: ( 3.9) = 9.8! max ( )( 15) + ( 1" /18 ) #! max =.13 #! max =.37$%&'('$

7 Παράδειγµα φυσικού εκκρεµούς Ένα στεφάνι ακτίνας 3cm κρέµεται από ένα καρφί. Ποια η συχνότητα των ταλαντώσεών του καρφί R CM mg Το στεφάνι καθώς ταλαντώνεται γύρω από το καρφί αποτελεί ένα φυσικό εκκρεµές. Ξέρουµε ότι η γωνιακή συχνότητα του φυσικού εκκρεµούς δίνεται από! = Mgd I "#$%&, d = R I!"#$% = I CM + MR & I!"#$% = MR + MR & I!"#$% = MR Οπότε! = MgR MR "! = g R "! = 9.8 #.3 "! = 4.4 f =! " # f =.64Hz

8 ΦΥΣ Διαλ Φθίνουσες ταλαντώσεις q Οι περισσότερες ταλαντώσεις στη φύση εξασθενούν (φθίνουν) γιατί χάνεται ενέργεια. q Φανταστείτε ένα σύστημα κάτω από μια δύναμη αντίστασης της μορφής F =!b" #!b!x Αυτή η δύναμη δρα επιπλέον της δύναμης επαναφοράς του ελατηρίου q Κοιτάμε τέτοιες δυνάμεις επειδή: Ø Είναι λογικό να χουμε τέτοια συμπεριφορά δύναμης Ø Μπορούμε να λύσουμε ακριβώς την εξίσωση για x(t) F = ma! "Kx " b!x = m!!x!!!x + #!x + $ x = (1) όπου! " b m και! " # m φυσική συχνότητα συστήματος q Μαντεύουμε μια λύση της μορφής x(t) = Ae at και αντικαθιστούμε: (1)! a Ae at + " aae at + # Ae at =! a + " a + # =! a =!" ± "! # Τρεις περιπτώσεις ανάλογα με την τιμή της διακρίνουσας

9 ΦΥΣ Διαλ Φθίνουσες ταλαντώσεις Μικρή απόσβεση (γ<ω ) Ορίζουμε! " # $ % επομένως a! "# ± i$!" t +i# Έχουμε έτσι δύο λύσεις: x(t) = Ae και!" t!i# x(t) = Ae Ø Από τη στιγμή που η εξίσωση είναι γραμμική ως προς x το άθροισμα των παραπάνω λύσεων θα είναι επίσης λύση. Ø Μια και λέμε ότι κάνουμε φυσική, η εξίσωση θέσης, x(t), πρέπει να ναι πραγματική και όχι μιγαδική. Άρα οι λύσεις πρέπει να ναι συζυγείς μιγαδικοί: x(t) = Ce!" t i #t +$ e ( ) + e (!i(#t +$ ) ) = De!" t cos #t + $ ( ) A = B! " Ce i#t H x(t) μοιάζει με μια συνημιτονοειδή συνάρτηση ταλάντωσης μέσα σε μια e -γt εκθετικά φθίνουσα συνάρτηση H συχνότητα ταλάντωσης είναι:! " # $ % = K m $ & b ) ' ( m* + παράδειγμα Tα D και φ της x(t) καθορίζονται από τις αρχικές συνθήκες

10 ΦΥΣ Διαλ Φθίνουσες ταλαντώσεις Μεγάλη απόσβεση (γ>ω ) Ορίζουμε! " # $ % επομένως a! "# ± $ Η γενική λύση στην περίπτωση αυτή είναι και προφανώς πραγματική. x(t) =!e "(# +$) t "(# "$)t + %e Αρνητικό εκθετικό Δεν υπάρχει κίνηση ταλάντωσης στην περίπτωση αυτή. x(t) μοιάζει όπως τα παρακάτω σχήματα x x t ή t "(# "$)t Σημειώστε ότι! + " >! # " $ για μεγάλα t, x(t) μοιάζει με x(t)! Be αφού ο πρώτος όρος Για μεγάλα γ,! " # "(# +$) t x(t) =!e είναι ακόμα πιο μικρός είναι πολύ μικρό και το x πηγαίνει στο αργά γιατί! " # =! "! 1 " $! %! "! 1 " $ & ' (! ) * + = $! = μικρό

11 Φθίνουσες ταλαντώσεις Κριτική απόσβεση (γ=ω ) q Στην περίπτωση αυτή, a =!" ±, και επομένως έχουμε μόνο μια λύση της Δ.Ε Ø Είναι η περίπτωση που η στρατηγική του να δοκιμάζουμε μια εκθετική λύση για την επίλυση Δ.Ε. δεν δουλεύει. q Μια άλλη λύση βγαίνει τελικά ότι είναι της μορφής q Προσθέτοντάς την στην προηγούμενη γενική λύση έχουμε: O όρος e!"t ( ) = Ae!" t + Bte!" t # x( t) = e!" t ( A + Bt) x t x( t) = Bte!" t υπερισχύει του όρου Βt και για μεγάλα t το x κατά e!"t ΦΥΣ Διαλ q Η κριτική απόσβεση επαναφέρει το x στο μηδέν γρηγορότερα απ όλες τις διεργασίες απόσβεσης. Ø Για πολύ μεγάλα γ, η μεγάλη απόσβεση πηγαίνει στο x= πολύ αργά (καμπύλη c) Ø Για πολύ μικρά γ, η μικρή απόσβεση πηγαίνει στο x= πολύ αργά (καμπύλη α) t Ø Για γ=ω, κριτική απόσβεση πηγαίνει στο x= γρηγορότερα (καμπύλη b)