Αλγόριθμοι και πολυπλοκότητα Διαίρει και Κυρίευε

Transcript

1 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ Αλγόριθμοι και πολυπλοκότητα Διαίρει και Κυρίευε Ιωάννης Τόλλης Τμήμα Επιστήμης Υπολογιστών

2 Διαίρει και Κυρίευε Διαίρει και Κυρίευε 1

3 Περιγραφή Διαίρει και Κυρίευε παράδειγμα 5. Ανασκόπηση Merge-sort Αναδρομικές Σχέσεις 5..1 Επαναληπτικές αντικαταστάσεις Αναδρομικά δέντρα Guess-d-test Η κύρια μέθοδος Πολλαπλασιασμός Ακεραίων 5.. Διαίρει και Κυρίευε

4 Διαίρει και Κυρίευε Διαίρει και Κυρίευε είναι ένας γενικός αλγόριθμος σχεδίασης παράδειγμα: Διαίρει : Το σύνολο εισόδου S, χωρίζεται σε δύο ή περισσότερα υποσύνολα S 1, S, Κυρίευε: Επίλυση των επιμέρους προβλημάτων αναδρομικά Συνδύασε: Συνδυασμός των λύσεων S 1,S,, σε μία λύση για το S Το βασικό βήμα για την αναδρομή είναι επιμέρους προβλήματα σταθερούς μεγέθους Η ανάλυση μπορεί να γίνει χρησιμοποιώντας αναδρομικές σχέσεις Διαίρει και Κυρίευε 3

5 Ανασκόπηση Συγχωνευτικής Ταξινόμησης Η συγχωνευτική ταξινόμηση merge sort με μία ακολουθιακή είσοδο S με στοιχεία αποτελείται από τρία βήματα: Διαίρει: Το σύνολο εισόδου S, χωρίζεται σε δύο υποσύνολα S 1 και S με στοιχεία το καθένα Κυρίευε: Τα S 1 και S ταξινομούνται αναδρομικά Συνδύασε: Ταξινόμηση των S 1 και S σε μία ταξινομημένη ακολουθία Agoritm mergesorts, C put sequece S wit eemets, comprtor C Output sequece S sorted ccordig to C S.size > 1 S 1, S prtitios, mergesorts 1, C mergesorts, C S merges 1, S Διαίρει και Κυρίευε 4

6 Ανάλυση Αναδρομικών Σχέσεων Το βήμα κυρίευε της συγχωνευτικής ταξινόμησης αποτελείται από την συγχώνευση δύο ταξινομημένων ακολουθιών,κάθε μία με στοιχεία και η υλοποίηση τους με διπλά συνδεδεμένη λίστα, παίρνει περισσότερο από βήματα, για κάποιο σταθερό. Επιπλέον, η περίπτωση < θα απαιτούσε περισσότερα βήματα. Επομένως, εάν θεωρήσουμε T να υποδηλώνει τον τρέχων χρόνο της συγχωνευτικής ταξινόμησης τότε: T T αν < αν Μπορούμε επομένως να αναλύσουμε τον τρέχων χρόνο της συγχωνευτικής ταξινόμησης από την εύρεση μιας λύσης κλειστής μορφής της παραπάνω εξίσωσης. Δηλαδή, μία λύση που έχει T μόνο στην αριστερή πλευρά 5

7 Επαναληπτική Αντικατάσταση Στην επαναληπτική αντικατάσταση, ή pug-d-cug, τεχνική, εφαρμόζουμε επαναληπτικά την επαναληπτική αντικατάσταση σε αυτό και βλέπουμε αν μπορούμε να βρούμε ένα πρότυπο: T T T T T T i i T i Σημειώστε ότι η περίπτωση, T, εμφανίζεται όταν i. Δηλαδή, i. Έτσι, Έτσι, T είναι O. 6

8 Αναδρομικά δένδρα Σχεδιάστε το αναδρομικό δέντρο για την αναδρομική σχέση και αναζητήστε ένα πρότυπο: < T T dept T s size time i i i Συνολικός χρόνος Τελευταίο επίπεδο συν όλα τα προηγούμενα Διαίρει και Κυρίευε 7

9 Η Μέθοδος της αντικατάστασης Στην μέθοδο της αντικατάστασης guess-d-test, υποθέτουμε μια λύση κλειστής μορφής και έπειτα προσπαθούμε να αποδείξουμε ότι είναι αληθείς με απαγωγή: < T T Υπόθεση: T < c. T T c c c c Λάθος: δεν μπορούμε να κάνουμε την τελευταία αυτή γραμμή να είναι μικρότερη από c Διαίρει και Κυρίευε 8

10 Η μέθοδος της αντικατάστασης, Τμήμα Ανάκληση την αναδρομικής σχέσης: T T Υπόθεση #: T < c. T T c c c < c c c c >. Έτσι, T είναι O. Γενικά, η χρήση αυτής την μεθόδου, απαιτεί να έχετε μια καλή υπόθεση και να είστε καλοί στις αποδείξεις επαγωγής. Διαίρει και Κυρίευε 9

11 Διαίρει και Κυρίευε 10 Κύρια Μέθοδος Αρκετές διαίρει και κυρίευε αναδρομικές σχέσεις έχουν την μορφή: Το κύριο θεώρημα: < d f T d c T 1. for some provided, is te, is 3. is te, is. is te, is 1. 1 < Θ Ω Θ Θ Θ δ δ ε ε f f f T f T f T O f k k

12 Κύρια Μέθοδος, Παράδειγμα 1 Ημορφή: Το κύριο θεώρημα: provided Παράδειγμα: T f is O c T f is Θ f is Ω ε ε f δf f, te T is Θ k for some δ < 1. < d d, te T is Θ, te T is Θ f, T 4T k 1 Λύση:, έτσι η περίπτωση 1 λέει T είναι O. Διαίρει και Κυρίευε 11

13 Κύρια Μέθοδος, Παράδειγμα Ημορφή: Το κύριο θεώρημα : provided Παράδειγμα: T f is O c T f is Θ f is Ω ε ε f δf f, te T is Θ k for some δ < 1. < d d, te T is Θ, te T is Θ f, T T k 1 Λύση: 1, έτσι η περίπτωση λέει T είναι O. Διαίρει και Κυρίευε 1

14 Κύρια Μέθοδος, Παράδειγμα 3 Ημορφή: Το κύριο θεώρημα : provided Παράδειγμα: T f is O c T f is Θ f is Ω ε ε f δf f, te T is Θ T T 3 k for some δ < 1. < d d, te T is Θ, te T is Θ f, k 1 Λύση: 0, έτσι η περίπτωση 3 λέει T είναι O. Διαίρει και Κυρίευε 13

15 Κύρια Μέθοδος, Παράδειγμα 4 Ημορφή: Το κύριο θεώρημα: provided Παράδειγμα: T f is O c T f is Θ f is Ω ε ε f δf f, te T is Θ k for some δ < 1. < d d, te T is Θ, te T is Θ f, T 8T Λύση: 3, έτσι η περίπτωση 1 λέει T είναι O 3. k 1 Διαίρει και Κυρίευε 14

16 Κύρια Μέθοδος, Παράδειγμα 5 Ημορφή: Το κύριο θεώρημα: provided Παράδειγμα: T f is O c T f is Θ f is Ω ε ε f δf f, te T is Θ k for some δ < 1. < d d, te T is Θ, te T is Θ f, T 9T 3 Λύση:, έτσι η περίπτωση 3 λέει T είναι O 3. 3 k 1 Διαίρει και Κυρίευε 15

17 Κύρια Μέθοδος, Παράδειγμα 6 Ημορφή: Το κύριο θεώρημα: provided Παράδειγμα: T f is O c T f is Θ f is Ω ε ε f δf f, te T is Θ k for some δ < 1. < d d, te T is Θ, te T is Θ f, T T 1 Λύση: 0, έτσι η περίπτωση λέει T είναι O. k 1 διαδική αναζήτηση Διαίρει και Κυρίευε 16

18 Κύρια Μέθοδος, Παράδειγμα 7 Ημορφή: Το κύριο θεώρημα: provided Παράδειγμα: T f is O c T f is Θ f is Ω ε ε f δf f, te T is Θ k for some δ < 1. < d d, te T is Θ, te T is Θ f, T T Λύση: 1, έτσι η περίπτωση 1 λέει T είναι O. k 1 κατασκευή ep Διαίρει και Κυρίευε 17

19 18 Επαναληπτική Απόδειξη τουκύριουθεωρήματος Χρησιμοποιώντας την επαναληπτική αντικατάσταση, ελέγχουμε αν μπορούμε να βρούμε ένα πρότυπο: Διακρίνουμε τρεις περιπτώσεις, όπως: Ο πρώτος όρος είναι κυρίαρχος Κάθε μέρος του αθροίσματος είναι εξίσου κυρίαρχο Το άθροισμα είναι μια γεωμετρική σειρά i i i i i i f T f T f f f T f f T f T f T T

20 Διαίρει και Κυρίευε 19 Πολλαπλασιασμός Ακεραίων Αλγόριθμος: Πολλαπλασιασμός δύο -it ακεραίων και. Βήμα διαίρεσης: Χωρίζει το και σε υψηλή και χαμηλή τάξη its. Εμείς έπειτα μπορούμε να ορίσουμε το * από τον πολλαπλασιασμό των τμημάτων και την πρόσθεση τους: Έτσι, T 4T, που συνεπάγεται T έιναι O. Αλλά αυτός δεν είναι καλύτερος από τον αλγόριθμο που θα μάθετε στο μάθημα. * *

21 Διαίρει και Κυρίευε 0 Ένας ταχύτερος αλγόριθμος πολλαπλασιασμού ακεραίων Αλγόριθμος: Πολλαπλασιασμός δύο -it ακεραίων και. Βήμα διαίρεσης: Χωρίζει το και σε υψηλή και χαμηλή τάξη its. Παρατηρούμε ότι υπάρχει ένας διαφορετικός τρόπος να πολλαπλασιαστούν τα μέρη: Έτσι, T 3T, που υπονοεί T είναι O 3, από το κύριο θεώρημα Έτσι, T είναι O ] [ ] [ *

22 Τέλος Ενότητας

23 Χρηματοδότηση Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό έχει αναπτυχθεί στα πλαίσια του εκπαιδευτικού έργου του διδάσκοντα. Το έργο «Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο Πανεπιστήμιο Κρήτης» έχει χρηματοδοτήσει μόνο τη αναδιαμόρφωση του εκπαιδευτικού υλικού. Το έργο υλοποιείται στο πλαίσιο του Επιχειρησιακού Προγράμματος «Εκπαίδευση και Δια Βίου Μάθηση» και συγχρηματοδοτείται από την Ευρωπαϊκή Ένωση Ευρωπαϊκό Κοινωνικό Ταμείο και από εθνικούς πόρους.

24 Σημειώματα

25 Σημείωμα αδειοδότησης Το παρόν υλικό διατίθεται με τους όρους της άδειας χρήσης Cretive Commos Αναφορά, Μη Εμπορική Χρήση, Όχι Παράγωγο Έργο 4.0 [1] ή μεταγενέστερη, Διεθνής Έκδοση. Εξαιρούνται τα αυτοτελή έργα τρίτων π.χ. φωτογραφίες, διαγράμματα κ.λ.π., τα οποία εμπεριέχονται σε αυτό και τα οποία αναφέρονται μαζί με τους όρους χρήσης τους στο «Σημείωμα Χρήσης Έργων Τρίτων». [1] ttp:cretivecommos.orgicesesy-c-d4.0 Ως Μη Εμπορική ορίζεται η χρήση: που δεν περιλαμβάνει άμεσο ή έμμεσο οικονομικό όφελος από την χρήση του έργου, για το διανομέα του έργου και αδειοδόχο που δεν περιλαμβάνει οικονομική συναλλαγή ως προϋπόθεση για τη χρήση ή πρόσβαση στο έργο που δεν προσπορίζει στο διανομέα του έργου και αδειοδόχο έμμεσο οικονομικό όφελος π.χ. διαφημίσεις από την προβολή του έργου σε διαδικτυακό τόπο Ο δικαιούχος μπορεί να παρέχει στον αδειοδόχο ξεχωριστή άδεια να χρησιμοποιεί το έργο για εμπορική χρήση, εφόσον αυτό του ζητηθεί.

26 Σημείωμα Αναφοράς Copyrigt Πανεπιστήμιο Κρήτης, Ιωάννης Τόλλης 015. «Αλγόριθμοι και πολυπλοκότητα. Διαίρει και Κυρίευε». Έκδοση: 1.0. Ηράκλειο 015. Διαθέσιμο από τη δικτυακή διεύθυνση: ttps:opecourses.uoc.grcoursescourseview.pp?id368

27 Διατήρηση Σημειωμάτων Οποιαδήποτε αναπαραγωγή ή διασκευή του υλικού θα πρέπει να συμπεριλαμβάνει: το Σημείωμα Αναφοράς το Σημείωμα Αδειοδότησης τη δήλωση Διατήρησης Σημειωμάτων το Σημείωμα Χρήσης Έργων Τρίτων εφόσον υπάρχει μαζί με τους συνοδευόμενους υπερσυνδέσμους.