ΣΧΟΛΗ ΚΟΙΝΩΝΙΚΩΝ ΚΑΙ ΑΝΘΡΩΠΙΣΤΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΤΕΕΑΠΗ- ΜΔΕ. Τίτλος εργασίας:

Transcript

1 ΣΧΟΛΗ ΚΟΙΝΩΝΙΚΩΝ ΚΑΙ ΑΝΘΡΩΠΙΣΤΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΤΕΕΑΠΗ- ΜΔΕ Τίτλος εργασίας: Ο βαθμός κατανόησης των ισοδύναμων κλασμάτων από τους μαθητές των Γ και ΣΤ τάξεων του δημοτικού σχολείου Ον/μο φοιτήτριας: Βασιλική Κουρκούτα Α.Μ.: 409 Επιβλέπων καθηγητής: Κωνσταντίνος Ζαχάρος Πάτρα, Σεπτέμβριος 2016 Σελίδα 1

2 Σελίδα 2

3 Περιεχόμενα Εισαγωγή Πρώτο κεφάλαιο - Θεωρητικό πλαίσιο Οι ρητοί αριθμοί Το κλάσμα και ο ρητός αριθμός στη διδακτική των μαθηματικών Η σπουδαιότητα και ο ρόλος των ρητών αριθμών Διδασκαλία κλάσματος και ρεαλιστικά μαθηματικά Η έννοια της ισοδιαμέρισης Έρευνες για τα κλάσματα Τα κλάσματα στο δημοτικό Δεύτερο κεφάλαιο - Μέθοδος έρευνας 2.1 Στόχος και ερευνητικά ερωτήματα Υποκείμενα Εργαλείο Τρίτο κεφάλαιο Εκπόνηση έρευνας κι αποδελτίωση ερωτηματολογίου 3.1 Αποδελτίωση του ερωτηματολογίου που δόθηκε στην Γ τάξη Αποδελτίωση του ερωτηματολογίου που δόθηκε στην ΣΤ τάξη Τέταρτο κεφάλαιο Σύγκριση αποτελεσμάτων Γ και ΣΤ τάξεων Πέμπτο κεφάλαιο Συμπεράσματα Συζήτηση Ξενόγλωσση Βιβλιογραφία Ελληνόγλωσση Βιβλιογραφία Σελίδα 3

4 Εισαγωγή Σύμφωνα με τον Ρώσο ψυχολόγο L. Vygotsky (1978), η πνευματική ανάπτυξη των παιδιών είναι περισσότερο στόχος και λειτουργία των ανθρώπινων κοινοτήτων, παρά ατόμων σε μεμονωμένα πλαίσια. «H ανθρώπινη νοητική λειτουργία προέρχεται από διαπροσωπικές δραστηριότητες (inter-individual activities) και σταδιακά μετατρέπεται σε ενδονοητικές διαδικασίες (intra-mental processes)», σύμφωνα με τον θεωρητικό. Η διατύπωση αυτής της άποψης παραπέμπει στην αρχή ότι μέσω της κοινωνικής αλληλεπίδρασης των μικρών παιδιών με μεγαλύτερα παιδιά ή ενήλικες, τα μικρότερα αυτά παιδιά χρησιμοποιούν τη μαθηματική σκέψη με σκοπό την επίλυση ενός μαθηματικού προβλήματος σε πρώτη φάση, ως κοινωνική δραστηριότητα (διαπροσωπική σχέση). Μέσα από την πορεία της ανάπτυξής τους, τα παιδιά, εσωτερικοποιούν τη μαθηματική σκέψη, αλλά παράλληλα και την διαδικασία επίλυσης ενός μαθηματικού προβλήματος με σκοπό την ανάπτυξη της ατομικής και νοητικής τους δραστηριότητας (ενδονοητική διαδικασία). Στην προαναφερθείσα μελέτη του με τίτλο Mind and Society: The development of higher psychological processes (1978), ο Vygotsky συμπεραίνει ότι: «Τη στιγμή που το παιδί για πρώτη φορά οικειοποιείται μια καινούργια γι αυτό σημασία ή ορολογία που είναι φορέας μιας επιστημονικής έννοιας, ο σχηματισμός της δεν έχει ολοκληρωθεί αλλά έχει μόλις αρχίζει.» Σύμφωνα με τον Piaget (2000) «Είναι μεγάλο λάθος να θεωρούμε ότι το παιδί κατακτά τη γνώση των αριθμών και άλλες μαθηματικές έννοιες μόνο από τη διδασκαλία. Αντίθετα, κατά ένα μεγάλο βαθμό τις αναπτύσσει μόνο του, ανεξάρτητα και αυθόρμητα». Ο σχηματισμός εννοιών διαφέρει ανάλογα με το στάδιο ανάπτυξης που βρίσκεται το παιδί. Ο J. Piaget στη γενετική του θεωρία χωρίζει την ανάπτυξη της γνώσης στην νεαρή ηλικία σε δύο στάδια: α) στην προεννοιολογική περίοδο και β) στη διαισθητική περίοδο. Κατά την πρώτη περίοδο το παιδί χρησιμοποιεί «προέννοιες», ένα ενδιάμεσο στάδιο, δηλαδή, ανάμεσα στην εικόνα και την έννοια καθεαυτή. Η διαισθητική περίοδος οδηγεί σταδιακά στις λογικές ενέργειες και σκέψεις του παιδιού. Κατά την περίοδο αυτή μάλιστα, το παιδί αρχίζει να κατανοεί και να σχηματίζει μαθηματικές έννοιες. Στη συνέχεια, το παιδί μέσω της διδασκαλίας αρχίζει να κατακτά τις μαθηματικές έννοιες και να οδηγείται στην επίλυση μαθηματικών προβλημάτων, από την ηλικία των 6 ετών και εξής (Piaget, 2000). Τα στάδια νοητικής ανάπτυξης στη θεωρία του Piaget δε διαχωρίζονται από ακριβή όρια, αν και οι μεταβατικές καταστάσεις ανάμεσά τους γίνονται βαθμιαία. Οι τρόποι σκέψης επίσης ενός παιδιού ποικίλουν μέσα στις διάφορες καταστάσεις εμπειρίας. Επιπλέον, όταν έχουμε να κάνουμε με μεγάλες ομάδες παιδιών, θα υπάρχουν παιδιά διαφόρων σταδίων μέσα στην ίδια ομάδα (Ρίτσμοντ, 1970). Επιπλέον, πολλοί ερευνητές συμφωνούν ότι τα παιδιά πηγαίνουν στο σχολείο διαθέτοντας ήδη μία σειρά από αυτοσχέδιες στρατηγικές λύσεων μαθηματικών προβλημάτων (Carpenter & Moser,1982 Steffe & Cobb 1988). H μετάβαση από τις αυθόρμητες γνώσεις των παιδιών στις τυποποιημένες μαθηματικές γνώσεις αποτελεί το σημαντικότερο ίσως στάδιο της διαδικασίας Σελίδα 4

5 μάθησης των μαθηματικών. Οι γνώσεις που αποκτιούνται χωρίς να είναι συνδεδεμένες στα πλαίσια μιας συνολικής δομής ξεχνιούνται πολύ γρήγορα από τα παιδιά. Η μαθηματική γνώση πρέπει να αναδεικνύεται μέσα από κατάλληλες διδακτικές δραστηριότητες και προβλήματα για το κάθε μαθηματικό αντικείμενο που θα διδαχτεί, ξεχωριστά, ώστε το παιδί να μπορεί να κατακτήσει πολύπλευρα κάθε μαθηματική έννοια. Στην παρούσα εργασία θα μελετήσουμε το βαθμό κατανόησης της έννοιας των ισοδύναμων κλασμάτων σε μαθητές της Γ Δημοτικού μετά από την εισαγωγή τους και την πρώτη τους επαφή με τα κλάσματα και της Στ δημοτικού, που είναι η τελευταία τάξη της πρωτοβάθμιας εκπαίδευσης και οι μαθητές ετοιμάζονται για την μετάβασή τους στο Γυμνάσιο, μια βαθμίδα εκπαίδευσης όπου τα κλάσματα είναι μεγάλης, ουσιαστικής και καθοριστικής σημασίας για την πρόοδο των μαθητών και τη μαθηματική τους ανάπτυξη. Ο βαθμός κατανόησης θα εξεταστεί εφόσον οι μαθητές διδαχθούν τα αντίστοιχα κεφάλαια στα Μαθηματικά της τάξης τους. Με λίγα λόγια, θα διερευνήσουμε κατά πόσο οι μαθητές της Γ και της Στ δημοτικού έχουν εσωτερικεύσει την έννοια και τις ιδιότητες των ισοδύναμων κλασμάτων μετά από τη διδασκαλία τους, αλλά και κατά πόσο εξελίχθηκε η γνώση τους από τη Γ έως τη Στ τάξη γύρω από αυτά. Στο πρώτο κεφάλαιο της μελέτης μας επιδιώκουμε να δώσουμε τον ορισμό των ρητών αριθμών, των ισοδύναμων κλασμάτων και να τονίσουμε τον ιδιαίτερο ρόλο που αποτελεί το μαθηματικό αυτό αντικείμενο στη διδακτική των Μαθηματικών. Η σπουδαιότητα της έννοιας των ρητών αριθμών μπορεί να φανεί και από τα πρώτα κιόλας στάδια διδασκαλίας τους. Στη συνέχεια, παρουσιάζεται η έννοια της «ισοδιαμέρισης», καθοριστικής σημασίας για την κατανόηση των ισοδύναμων κλασμάτων, ενώ σημαντικό ρόλο στην ενότητα αυτή αποτελεί η βιβλιογραφική ανασκόπηση ερευνών που έχουν διεξαχθεί σχετικά με τα ισοδύναμα κλάσματα και τις δυσκολίες κατανόησής τους από τους μαθητές. Τέλος, καταγράφουμε τις ενότητες του σχολικού βιβλίου, όπου ο μαθητής διδάσκεται τα κλάσματα, στην Γ και Στ τάξη του Δημοτικού, αντίστοιχα. Στο δεύτερο κεφάλαιο της εργασίας, στόχος μας είναι ν αναλυθεί λεπτομερώς η μέθοδος με την οποία θα διεξάγουμε την έρευνά μας. Το δείγμα της έρευνας αποτελούν 40 μαθητές, 20 από κάθε τάξη. Ακολούθως, (Τρίτο κεφάλαιο) θα απομαγνητοφωνηθεί το περιεχόμενο των συνεντεύξεων στους μαθητές και θα παρουσιαστούν τα αποτελέσματα με τη βοήθεια πινάκων και αριθμητικών - στατιστικών δεδομένων. Στο τέταρτο κεφάλαιο θα γίνει μια σύγκριση αποτελεσμάτων των δύο τάξεων, Γ και Στ, και στο τελευταίο κεφάλαιο θα αποτυπωθούν τα πορίσματα της έρευνάς μας με τη μορφή συμπεράσματος. Σελίδα 5

6 Κεφάλαιο πρώτο 1.1 Οι ρητοί αριθμοί Ρητοί λέγονται οι αριθμοί που μπορούν να γραφούν με τη μορφή κλάσματος. Το σύνολο των ρητών αριθμών είναι το σύνολο των αριθμών που μπορούν να γραφούν σε μορφή κλάσματος με ακέραιους όρους και παρονομαστή διάφορο του μηδενός. Οι ρητοί αριθμοί ανήκουν στις πιο σύνθετες και σημαντικές μαθηματικές έννοιες που συναντούν τα παιδιά στην πρωτοβάθμια εκπαίδευση. Έρευνες έχουν δείξει ότι οι μικροί μαθητές παρουσιάζουν δυσκολία στη μάθηση και στη χρήση των ρητών αριθμών. Σύμφωνα με τον Behr (Behr et. al, 1983), η μάθηση των ρητών αριθμών αποτελεί ένα μεγάλο εμπόδιο για την μαθηματική ανάπτυξη των μαθητών και ενώ πολυάριθμες έρευνες έχουν ασχοληθεί με την κατασκευή της γνώσης των ρητών αριθμών, δεν υπάρχει απόλυτη συμφωνία για τον τρόπο που θα διευκολυνθεί η εκμάθησή τους. Οι Vοsniadοu et. al (2008) αναφέρουν τα εξής: «Οι ρητοί αριθμοί δεν βασίζονται στην αρίθμηση και είναι πυκνοί (κανένας ρητός δεν έχει ένα μοναδικό επόμενο ή προηγούμενο αριθμό ενώ υπάρχουν άπειροι ρητοί ανάμεσα σε οποιουσδήποτε δύο ρητούς), δεν υποστηρίζονται από τις στρατηγικές διάταξης των φυσικών αριθμών (το 1/4 είναι μεγαλύτερο από το 1/5), ενώ ο αριθμός με τα περισσότερα ψηφία δεν είναι απαραίτητα ο μεγαλύτερος. Οι τέσσερις πράξεις μπορούν είτε να μεγαλώνουν είτε να μικραίνουν τους αριθμούς». Οι μικροί μαθητές παρουσιάζουν δυσκολία στο χειρισμό και την κατανόηση ρητών αριθμών και σχετικές έρευνες δείχνουν έλλειψη εννοιολογικής κατανόησης, θέτοντας σε αμφισβήτηση τις υπάρχουσες μεθόδους διδασκαλίας των συμβολικών αναπαραστάσεων των ρητών αριθμών (Moss & Case, 1999). 1.2 Το κλάσμα και ο ρητός αριθμός στη διδακτική των μαθηματικών Σύμφωνα με τον Smith (1995), οι έννοιες «κλάσμα» και «ρητός αριθμός» έχουν τόσο στενή σχέση που πολλές φορές εναλλάσσονται με αποτέλεσμα να δημιουργείται σύγχυση. Επειδή η λέξη «κλάσμα» έχει πολλές χρήσεις και μέσα σε μια σχολική αίθουσα αλλά και έξω από αυτή, πολλές φορές οι μαθητές συναντούν δυσκολία στην κατανόησή της. Όταν, για παράδειγμα, ένα καταχρηστικό 1 κλάσμα όπως το 5/3 αναφέρεται σε ποσότητα μεγαλύτερης της μονάδας, οι μαθητές μπερδεύονται, αφού γνωρίζουν από την καθημερινή τους εμπειρία ότι η λέξη «κλάσμα» είναι ένα μικρό κομμάτι ή το μικρότερο μέρος ενός μεγαλύτερου όλου. Η χρήση της λέξης «κλάσμα» στην καθημερινότητα και στα μαθηματικά είναι αρκετά περίπλοκη. Μερικοί τη χρησιμοποιούν όταν αναφέρονται στη σύγκριση μέρους όλου και άλλοι όταν αναφέρονται σε οποιοδήποτε αριθμό που έχει τη μορφή α/β. Πολλές φορές οι λέξεις «κλάσμα» και «ρητός αριθμός» χρησιμοποιούνται εναλλακτικά (Smith, 1995 Lamon, 2007). 1 Καταχρηστικό λέγεται το κλάσμα του οποίου ο αριθμητής είναι μεγαλύτερος από τον παρονομαστή. Τα καταχρηστικά κλάσματα είναι μεγαλύτερα της μονάδας. Σελίδα 6

7 Οι Ni και Zhou (2005) ισχυρίζονται ότι ενώ οι όροι «κλάσμα» και «ρητός αριθμός» είναι στενά συνδεδεμένοι δεν πρέπει να εναλλάσσονται. Στα μαθηματικά, ο όρος «κλάσμα» αντιπροσωπεύει ο,τιδήποτε έχει τη συμβολική μορφή α/β, μορφή που παραπέμπει και στην μέρος όλου υποκατασκευή των ρητών αριθμών, η οποία είναι και η πιο προσιτή στους μαθητές. Η μέρος όλου υποκατασκευή θεωρείται η βάση για τις υπόλοιπες υποκατασκευές των ρητών αριθμών και οι πράξεις των κλασμάτων όπως η ισοδυναμία, η πρόσθεση, η αφαίρεση, ο πολλαπλασιασμός και η διαίρεση βοηθούν στη διαμόρφωση του συμβολικού υπολογισμού των ρητών αριθμών. Επομένως, τα κλάσματα αποτελούν μέρος κομμάτι των ρητών αριθμών, αφού παριστάνουν τη σημαντική υποκατασκευή μέρος όλου των ρητών αριθμών και αφού χρησιμοποιούνται για τους υπολογισμούς των ρητών αριθμών (Lamon, 1999). Σύμφωνα με τη Lamon (2007) οι όροι «κλάσμα» και «ρητός αριθμός» δεν είναι συνώνυμοι και μάλιστα τα κλάσματα αποτελούν υποσύνολο των ρητών αριθμών. Όπως η ίδια υποστηρίζει είναι μεγάλης σημασίας οι μαθητές να κατανοήσουν όλο το σύνολο των ρητών αριθμών καθώς επίσης ότι: όλοι οι ρητοί αριθμοί μπορούν τα γραφτούν σε κλασματική μορφή ότι όλοι οι αριθμοί που είναι γραμμένοι σε κλασματική μορφή δεν είναι απαραίτητα ρητοί (π.χ. ο αριθμός π/2 δεν είναι ρητός) κάθε κλάσμα δεν αντιστοιχεί σε ένα διαφορετικό ρητό αριθμό (π.χ. τα κλάσματα 1/2, 2/4, 4/8 περιγράφουν τον ίδιο ρητό αριθμό) και ότι ένας μοναδικός ρητός αριθμός αποτελεί βάση για τα ισοδύναμα κλάσματα οι ρητοί αριθμοί μπορούν να γραφτούν σε κλασματική μορφή αλλά και σε άλλες μορφές (π.χ. δεκαδική μορφή) οι δεκαδικοί αριθμοί με πεπερασμένο πλήθος δεκαδικών, οι δεκαδικοί περιοδικοί αριθμοί και τα ποσοστά είναι ρητοί αριθμοί. Οι μη πεπερασμένοι και μη περιοδικοί αριθμοί δεν είναι ρητοί. 1.3 Η σπουδαιότητα και ο ρόλος των ρητών αριθμών Η αναγκαιότητα ποσοτικοποίησης και αριθμητικής έκφρασης των σχέσεων μεταξύ ενός «μέρους» και του «όλου» ενός μεγέθους επιβάλλει την εισαγωγή της έννοιας του κλάσματος, τη γενίκευσή της και την επέκταση της έννοιας του ακέραιου αριθμού με την προσθήκη της έννοιας του ρητού αριθμού. εξής: Η σπουδαιότητα της έννοιας των ρητών αριθμών μπορεί να φανεί και από τα Από μια πρακτική άποψη, η ικανότητα κάποιου να χειρίζεται επιτυχημένα αυτές τις έννοιες βελτιώνει σε μεγάλο βαθμό την ικανότητά του να κατανοεί και να χειρίζεται καταστάσεις και προβλήματα της πραγματικότητας. Σελίδα 7

8 Από μια ψυχολογική άποψη, οι ρητοί αριθμοί παρέχουν ένα πλούσιο πεδίο μέσα στο οποίο τα παιδιά μπορούν να αναπτύξουν και να επεκτείνουν τις νοητικές δομές. Από μια μαθηματική άποψη η κατανόηση των ρητών αριθμών παρέχουν το θεμέλιο πάνω στο οποίο μπορούν αργότερα να βασιστούν οι αρχικές αλγεβρικές πράξεις (Behr et al., 1983). Σύμφωνα με την Κολέζα (2000) οι ρητοί αριθμοί διακρίνονται σε πέντε υποκατασκευές ή σχήματα: Η υποκατασκευή μέρος - όλου, η οποία συνήθως εκφράζεται ως κλάσμα, θεωρείται το θεμέλιο για τη γνώση των ρητών αριθμών και βασική για τις άλλες υποκατασκευές (Behr et al., 1983) όπου οι μαθητές πρέπει να είναι ικανοί να χωρίσουν μια συνεχή ποσότητα ή ένα σύνολο διακριτών αντικειμένων σε γκρουπ που είναι ίσα σε μέγεθος. Για παράδειγμα, 3/5 σαν μέρος ενός όλου ερμηνεύεται ως τρία από τα πέντε ίσου μεγέθους κομμάτια. Οι Post και Cramer (1987) ανέφεραν ότι οι μαθητές έχουν την τάση να νομίζουν ότι το 1/4 είναι μεγαλύτερο από το 1/3 γιατί το ίδιο όλο χωρίστηκε σε περισσότερα κομμάτια (τέσσερα). Η ερμηνεία του μέρους όλου είναι εκείνη που συναντούν οι μαθητές στο σχολείο «όταν αντιμετωπίζουν την έννοια των ρητών αριθμών και συνήθως είναι και η μοναδική που χρησιμοποιούν οι εκπαιδευτικοί στη διδασκαλία στο δημοτικό». Συνήθως οι μαθητές διδάσκονται τα κλάσματα ως μέρος όλου μέσα από διαδικασίες χωρισμού κύκλων ή ορθογωνίων σε ίσα μέρη και αργότερα περνούν σε συμβολικές αναπαραστάσεις. Μέτρηση, όπου ο ρητός αριθμός α/β προκύπτει από την επανάληψη του μοναδιαίου κλάσματος 1/β για τον καθορισμό μιας απόστασης. Η αριθμογραμμή είναι ένα κοινό μοντέλο το οποίο χρησιμοποιείται για τη συμβολική αναπαράσταση, επάνω στην οποία θέτουμε αυθαίρετα το σημείο μηδέν και η οποία είναι χωρισμένη σε μοναδιαία τμήματα, καθένα από τα οποία είναι μοιρασμένα σε β κομμάτια. Σε αυτό το σχήμα το κλάσμα 1/β λειτουργεί ως μονάδα μέτρησης διατηρώντας την απόλυτη αξία του, ανεξαρτήτως της θέσης του πάνω στην αριθμογραμμή. Για τον καθορισμό του μήκους πρέπει το 1/β να χρησιμοποιηθεί επαναληπτικά, ξεκινώντας από το μηδέν. Αυτή είναι μια δύσκολη διαδικασία για τους μικρούς μαθητές, μια και δε σχετίζεται με την καθημερινή εμπειρία και τα βιώματά τους. Στην υποκατασκευή πηλίκο και στην αναπαράσταση α/β το α αναπαριστά την ποσότητα ή τα στοιχεία που θα κατανεμηθούν ισομερώς, ενώ το β τον αριθμό των μερών της διαμέρισης. Επιπλέον, τα α και β αναπαριστούν διαφορετικούς χώρους μετρήσεων (measure spaces), (π.χ. πίτσες παιδιά). Δηλαδή, ο διαιρετέος α δεν αναπαριστά τα μέρη ενός όλου, αλλά την ποσότητα ή τα στοιχεία που θα κατανεμηθούν ισομερώς, ενώ ο διαιρέτης β τον αριθμό των ίσων μερών που θα μοιραστεί κάθε στοιχείο. Για παράδειγμα, αν ζητηθεί από τους μαθητές να μοιράσουν 3 πίτσες σε 4 παιδιά, οι μαθητές πρέπει να κατανοήσουν ότι οι πίτσες θα Σελίδα 8

9 μοιραστούν σε τέταρτα η κάθε μία και το κάθε παιδί θα πάρει 3 κομμάτια. Επίσης δεν υπάρχει ο περιορισμός α<β. Οι δραστηριότητες που συνήθως χρησιμοποιούνται για να βοηθήσουν τους μαθητές να κατασκευάσουν αυτή την έννοια των ρητών περιλαμβάνουν προβλήματα «δίκαιης μοιρασιάς» συνεχών ποσοτήτων, όπως για παράδειγμα πίτσες. Λόγος, ο οποίος ορίζεται ως «μια διατύπωση της αριθμητικής σχέσης μεταξύ δύο ποσοτήτων (Hart, 1988) και «είναι περισσότερο σωστό να χρησιμοποιείται ως ένας συγκριτικός δείκτης παρά ως ένας αριθμός (Behr et al, 1983). Τελεστής, όπου οι ρητοί αριθμοί θεωρούνται ως συναρτήσεις που εφαρμόζονται σε αριθμούς, αντικείμενα ή σύνολα. Η ολοκληρωμένη κατανόηση των ρητών αριθμών απαιτεί όχι μόνο την κατανόηση κάθε επιμέρους νοητικού σχήματος από τα παραπάνω αλλά και το πώς αυτά αλληλεπιδρούν μεταξύ τους. 1.4 Διδασκαλία κλάσματος και ρεαλιστικά μαθηματικά Σύμφωνα με τη ρεαλιστική προσέγγιση των μαθηματικών, τα ίδια τα φαινόμενα μέσω των οποίων αποκτούν περιεχόμενο οι μαθηματικές έννοιες, πρέπει να αποτελέσουν τη βάση στήριξης μιας διδακτικής διαδικασίας που θα στοχεύει στην κατάκτηση αυτών των εννοιών. Με βάση τις αρχές της ρεαλιστικής προσέγγισης των μαθηματικών, μπορεί η άτυπη γνώση να μετατραπεί σε τυπική και οργανωμένη γνώση. Οι αρχές της ρεαλιστικής προσέγγισης των μαθηματικών του Leen Streefland (1991) είναι οι εξής: Η καθημερινή ζωή είναι η πηγή της κατασκευής των μαθηματικών. Αποτελεί μια πλούσια πηγή τυποποίησης των αντιλήψεων των παιδιών, αφού αναγκάζονται να ξεπεράσουν ταυτόχρονα πολλά όρια. Τα μαθηματικά μπορούν να προκαλέσουν σε κάποιον έμπνευση όταν οι ρίζες τους προέρχονται από πραγματικές προβληματικές καταστάσεις. Η πραγματικότητα είναι το πεδίο εφαρμογής των μαθηματικών. Στα ρεαλιστικά μαθηματικά δίνεται η ευκαιρία στους μαθητές να συμμετέχουν ενεργά στη διαδικασία μάθησης. Κατασκευάζουν οι ίδιοι τη γνώση. Την ίδια στιγμή ή αργότερα, η ικανότητά τους στον χειρισμό του μαθηματικού υλικού γίνεται πιο επιστημονική. Οι μαθητές ξεκινώντας από την καθημερινή ζωή ξεπερνούν τα όρια των μαθηματικών μαθαίνοντας να δομούν, να διευθετούν, να συμβολίζουν, να φτιάχνουν σχήματα, να κάνουν γενικεύσεις. Έτσι αρχίζουν να χρησιμοποιούν σύμβολα, διαγράμματα και μοντέλα. Σταδιακά γίνονται λιγότερο «κολλημένοι» με την πραγματικότητα. Προκειμένου η άτυπη γνώση των παιδιών να συμπληρωθεί, να διορθωθεί, να ολοκληρωθεί και να μετατραπεί σε τυπική, είναι απαραίτητο να γίνονται Σελίδα 9

10 συζητήσεις και να υπάρχει συνεργασία μεταξύ δασκάλου και μαθητών. Στα ρεαλιστικά μαθηματικά, λοιπόν, η διαδικασία μάθησης είναι αλληλεπιδραστική. Τα παιδιά στην καθημερινή τους ζωή χρησιμοποιούν τα κλάσματα μέσα από μια άτυπη γνώση. Μοιράζουν μεταξύ τους τις σοκολάτες τους, το κέικ, τις πίτες της μαμάς ή την πίτσα και την τούρτα των γενεθλίων. Οι συνταγές των γλυκών έχουν πάντα μέσα ποσότητες κλασμάτων (π.χ. 1/2 του κιλού αλεύρι ή 1/2 του κιλού ζάχαρη κλπ). Τέλος, η ζωή είναι γεμάτη από εκφράσεις σχετικές με τα κλάσματα όσον αφορά την ώρα π.χ. θα έρθω σε τρία τέταρτα, θα χτυπήσει κουδούνι σε ένα τέταρτο. Το σχολικό βιβλίο των μαθηματικών της Γ δημοτικού (Λεμονίδης, Θεοδώρου, Νικολαντωνάκης, Παναγάκος, Σπανακά, 2010) είναι γραμμένο με βάση το πλαίσιο των ρεαλιστικών μαθηματικών, αφού εμπλέκει τους μαθητές σε δραστηριότητες κλασμάτων που σχετίζονται με την καθημερινή ζωή και τα βιώματα τους. Αυτό γίνεται εύκολα αντιληπτό και από τον τίτλο του βιβλίου που είναι «Μαθηματικά της φύσης και της ζωής». 1.5 Η έννοια της ισοδιαμέρισης Στη θεωρία των Μαθηματικών η «ισοδιαμέριση (partitioning) ορίζεται ως ο χωρισμός μιας ποσότητας σε έναν αριθμό ίσων μερών ενώ, συγχρόνως η ποσότητα παραμένει σαν ένα όλο» (Olive & Lobato, 2008). Η ισοδιαμέριση είναι μια πολύ σημαντική μέθοδος για την κατανόηση των ρητών αριθμών και αποτελεί μέρος της γνώσης των μαθητών στην καθημερινή τους ζωή πριν ενταχθούν στο σχολείο. Επίσης, η ισοδιαμέριση είναι μια διαδικασία που παίζει σημαντικό ρόλο στην παραγωγή των υποκατασκευών (subconstructs) των ρητών αριθμών (μέρους-όλου, μέτρου, πηλίκου, τελεστή και αναλογίας) και συνδέεται άμεσα με την έννοια της ισοδυναμίας των κλασμάτων (Lamon, 2007). Ευρήματα από διάφορες έρευνες πάνω στην κατανόηση των κλασμάτων, δείχνουν ότι οι μαθητές που αποτυγχάνουν να επεκτείνουν τις γνώσεις τους σε έννοιες σχετικές με τα κλάσματα, συνήθως έχουν έλλειψη στην κατανόηση της ισοδιαμέρισης (Behr et al., 1983). H ισοδιαμέριση θέτει τα θεμέλια για οποιαδήποτε σύλληψη των κλασμάτων (Kieren, 1980, Lamon, 2007, Pitkethly & Hunting, 1996), αλλά η ίδια μέθοδος μπορεί να υποστηρίζεται από τα διαφορετικά είδη των ψυχικών δράσεων των μαθητών. Ωστόσο, η μονάδα που χωρίζεται σε ισόποσα μέρη περιλαμβάνει τη χρήση επανάληψης για να ελεγχθεί αν τα μέρη είναι πράγματι ίσα. «Ο σκοπός του σχήματος της ισοδιαμέρισης είναι να υπολογίσει ένα από τα πολλά ίσα μέρη κάποιας ποσότητας και να επαναλάβει τη διαδικασία για να ελεχθεί εάν ένας επαρκής αριθμός επαναλήψεων παράγει ποσότητα ίση με την αρχική» (Steffe, 2003). Επί τη βάσει της ισοδιαμέρισης, οι μαθητές κατασκευάζουν το πρώτο γνήσιο σύστημα κλάσματος. Η κατανόηση της σχέσης μεταξύ των κλασμάτων και της ισοδιαμέρισης είναι απαραίτητη για τα ισοδύναμα κλάσματα. Ειδικότερα, οι μαθητές πρέπει να αναγνωρίσουν πώς σχετίζεται η μέθοδος του πολλαπλασιασμού με τα κλάσματα, για παράδειγμα, τρίτα μέρη με τέταρτα παράγουν δωδέκατα, και πώς η αύξηση / μείωση του αριθμού των τμημάτων μπορεί να γίνει κατανοητή από τη μελέτη των Σελίδα 10

11 μερών, για παράδειγμα, αναγνωρίζοντας ότι 3 μέρη (τρίτα) αυξανόμενα κατά έναν συντελεστή 4 (τέταρτα) παράγουν 12 μέρη (δωδέκατα): τρίτα δωδέκατα τέταρτα Βασικοί δείκτες του βαθμού στον οποίο οι μαθητές έχουν αναπτύξει μια κατανόηση στα κλάσματα και στους δεκαδικούς, είναι ο βαθμός στον οποίο μπορούν να κατασκευάσουν τα δικά τους μοντέλα κλασμάτων και διαγράμματα, καθώς και να συγκρίνουν κοινά και δεκαδικά κλάσματα. (Andrews, 1971). 1.6 Έρευνες για τα κλάσματα Η έννοια των ρητών αριθμών είναι μια από τις πιο σύνθετες και σημαντικότερες μαθηματικές έννοιες που συναντούν οι μαθητές της πρωτοβάθμιας αλλά και της δευτεροβάθμιας εκπαίδευσης (Behr et al., 1983), και καθώς η χρήση των κλασμάτων είναι ευρεία στην καθημερινή ζωή, καθιστά απαραίτητη τη χρήση τους από τα πρώτα κιόλας χρόνια της πρωτοβάθμιας εκπαίδευσης. Τα τελευταία χρόνια έχουν γίνει πολυάριθμες έρευνες και έχουν εντοπιστεί οι δυσκολίες που συναντούν οι μαθητές στην περιοχή των ρητών, ενώ έχουν προταθεί αρκετές προσεγγίσεις επί του θέματος. Μεταξύ των παραγόντων που κάνουν τους ρητούς, και ειδικότερα τα κλάσματα, δύσκολα στην κατανόηση είναι οι πολλές αναπαραστάσεις και ερμηνείες τους (Kilpatrick, Swafford, & Findell, 2001). Πιο συγκεκριμένα, στην προσπάθεια τους να αφομοιώσουν την έννοια του ρητού αριθμού, οι μαθητές, δημιουργούν διαισθητικά και συνθετικά μοντέλα, καθώς αντιλαμβάνονται το κλάσμα σαν δύο ανεξάρτητους φυσικούς αριθμούς. Ο Smith (2002) υπογράμμισε ότι οι μαθητές χρησιμοποιούν τα κλάσματα ακόμα και πριν την είσοδό τους στην πρωτοβάθμια εκπαίδευση. Παρόλα αυτά, και παρότι οι έννοιες των ρητών αριθμών διδάσκονται από τις πρώτες τάξεις του δημοτικού, οι μαθητές συνεχίζουν να συναντούν δυσκολίες για την αντιμετώπιση σχετικών θεμάτων ακόμα και στις μεγαλύτερες τάξεις, δημιουργώντας έτσι ένα από τα περισσότερο κρίσιμα εμπόδια για την μαθηματική ωριμότητα των μαθητών (Bezuk & Cramer, 1989 Behr, Harel, Post & Lesh, 1992 Aksu, 1997). Έρευνες έχουν δείξει ότι οι μικροί μαθητές αντιμετωπίζουν δυσκολία και στη μάθηση και στη χρήση των ρητών. Μόνο το ένα τρίτο των 13χρονων και τα δύο τρίτα των 17χρονων μαθητών μπορούν να εκτελέσουν σωστά την πρόσθεση 1/2 + 1/3. Οι έρευνες δείχνουν, γενικά, χαμηλή επίδοση των μαθητών στις πράξεις μεταξύ ρητών αριθμών και στη λύση προβλημάτων με ρητούς αριθμούς. Σελίδα 11

12 Πολλές από τις δυσκολίες των μαθητών του δημοτικού στα μαθηματικά σχετίζονται με τους ρητούς αριθμούς. Εξάλλου, η ανάπτυξη των ιδεών που αφορούν τους ρητούς αριθμούς αντιμετωπίζεται στο πλαίσιο μελέτης γενικότερων μαθηματικών διαδικασιών κατανόησης, αφού αφενός η ανάπτυξη της έννοιας των ρητών αριθμών λαμβάνει χώρα σε μια ηλικιακή περίοδο όπου η σκέψη του παιδιού περνά από το συγκεκριμένο στο αφηρημένο και, αφετέρου οι ποιοτικές αλλαγές συμβαίνουν όχι μόνο ως προς τη δομή των εννοιών, αλλά και ως προς το σύστημα και τα μοντέλα αναπαράστασης των δομών αυτών. Τέλος, η έννοια των ρητών αριθμών εμπλέκει ένα σύνολο από υποδομές και διαδικασίες που σχετίζονται με ένα ευρύ φάσμα εννοιών που χρησιμοποιούνται στο Δημοτικό σχολείο, όπως η μέτρηση, οι πιθανότητες και τα γραφήματα. Κατά τους Stafylidοu & Vοsniadοu (2004), οι μαθητές στην προσπάθεια τους να προσεγγίσουν την έννοια του κλάσματος, συναντούν δυσκολίες οι οποίες σε μεγάλο βαθμό οφείλονται στην προυπάρχουσα γνώση που έχουν ήδη για τους αριθμούς και δεν είναι άλλη από τη θεωρία των φυσικών αριθμών. Στην ίδια κατεύθυνση, οι Vamvakoussi & Vosniadou (2007) θα αναφέρουν πως η συνειδητοποίηση από τους μαθητές ότι οι ρητοί αριθμοί παραμένουν αμετάβλητοι όταν αλλάζουν οι συμβολικές τους αναπαραστάσεις, αποτελεί ένα αρκετά δύσκολο έργο. Σε έρευνες που έχουν πραγματοποιηθεί, φαίνεται ότι τα παιδιά εκλαμβάνουν τον αριθμητή και τον παρονομαστή του κλάσματος, σαν δύο ανεξάρτητες οντότητες και δεν εκλαμβάνουν το κλάσμα σαν ένα αριθμό με τη μία δική του αξία (Behr & Post, 1992). Συχνά δεν κατανοούν την έννοια του παρονομαστή. Άλλες φορές είναι συγκεχυμένο στο μυαλό τους ότι όταν το κλάσμα σημαίνει μοιρασιά, η μοιρασιά αυτή γίνεται σε ίσια κομμάτια. Πιθανή αιτία όλων αυτών των δυσκολιών των παιδιών σχετικά με τους ρητούς αριθμούς είναι ότι «οι ρητοί αριθμοί, σε αντίθεση με τους φυσικούς, δεν προκύπτουν μέσα από μια διαδικασία σκέψης αλλά είναι ένα σύστημα κοινωνικά κατασκευασμένο και επικυρωμένο που εξυπηρετεί συγκεκριμένες ανάγκες» (Κολέζα, 2000 : 185). Έτσι, οι μαθητές εφαρμόζουν στα κλάσματα τη γνώση που διαθέτουν για τους ακεραίους. Τα παιδιά μπορούν άνετα να τοποθετήσουν ένα κλάσμα στην αριθμογραμμή, όταν η αριθμογραμμή έχει χωριστεί σε τόσα κομμάτια όσα ορίζει ο παρονομαστής του κλάσματος. Αντίθετα, οι μαθητές συναντούν πολύ μεγάλη δυσκολία στην τοποθέτηση του κλάσματος στην αριθμογραμμή, όταν αυτή είναι χωρισμένη σε διαφορετικό αριθμό μερών από τον παρονομαστή του κλάσματος. Δυσκολεύονται, για παράδειγμα, να τοποθετήσουν το κλάσμα 7/8 σε μια αριθμογραμμή που είναι χωρισμένη σε τέταρτα, δεύτερα ή δέκατα έκτα (Behr & Post, 1992). Οι Φιλίππου & Χρίστου, (1995) επισημαίνουν την έλλειψη συνδέσεων ανάμεσα στην εννοιολογική 2 και διαδικαστική 3 γνώση των κλασματικών αριθμών γεγονός που αποτελεί ένδειξη της αποσπασματικότητας των γνώσεων των μαθητών 2 Εννοιολογική γνώση θεωρείται η ρητή ή άρρητη κατανόηση των αρχών που διέπουν ένα χώρο και των σχέσεων µεταξύ των µονάδων γνώσης του χώρου αυτού. 3 ιαδικαστική γνώση θεωρείται η ικανότητα να εκτελεί κανείς µια ακολουθία βηµάτων προκειµένου να επιλύει προβλήµατα. Σελίδα 12

13 και της έμφασης που δίνεται στην παραδοσιακή διδασκαλία. Επίσης, υποστηρίζουν ότι μεγάλο ποσοστό παιδιών δεν συνδέει τη δημιουργία κλασμάτων με την πράξη της διαίρεσης παρόλο που λεκτικά τουλάχιστον, αναφέρονται συχνά στην πράξη αυτή στην προσπάθεια τους να εξηγήσουν την έννοια των κλασμάτων. Επιπρόσθετα, άλλες έρευνες έχουν δείξει ότι μαθητές που αποτυγχάνουν να επεκτείνουν τις γνώσεις τους, έχουν συνήθως αδυναμία κατανόησης του χωρισμού σε ίσα μέρη (Behr, Lesh, Post & Silver, 1983). Δυσκολία, ακόμη, παρουσιάζουν οι μαθητές όταν σε ένα μαθηματικό πρόβλημα εμπλέκονται, περισσότεροι από έναν, τρόποι αναπαράστασης. Για παράδειγμα, σε πραγματικές καταστάσεις πρόσθεσης που εμπλέκουν κλάσματα, τα δύο στοιχεία που προστίθενται μπορεί να μην είναι πάντα της ίδιας μορφής, για παράδειγμα δύο γραπτά σύμβολα, δύο προφορικά σύμβολα, δύο πίτσες. Μπορεί να είναι μία πίτσα και ένα γραπτό σύμβολο ή μία πίτσα και μία προφορική λέξη. Σε τέτοιου είδους προβλήματα, που συμβαίνουν συχνά σε πραγματικές συνθήκες, μέρος της δυσκολίας για το μαθητή είναι να αναπαραστήσει τις δύο μορφές προσθετέων χρησιμοποιώντας ένα και μοναδικό σύστημα αναπαράστασης. Οι αναπαραστάσεις που χρησιμοποιούνται στη μαθησιακή διαδικασία καθορίζουν σε σημαντικό βαθμό τα όσα μαθαίνει ο μαθητής και το πόσο εύκολα επιτυγχάνεται η κατανόηση των εννοιών στα μαθηματικά (Cheng, 2000). Λειτουργούν, δηλαδή, ως χρήσιμα εργαλεία για την οικοδόμηση της μαθηματικής γνώσης, την εννοιολογική κατανόηση και την επικοινωνία μαθηματικών εννοιών (Greenο & Hall, 1997). Οι Norton και Wilkins εξέτασαν με ποια ιεραρχική σειρά αναπτύσσονται τα σχήματα συστήματα των κλασμάτων (fraction schemes) στους μαθητές της πέμπτης και της έκτης τάξης καθώς και αν οι ίδιοι μαθητές είχαν αναπτύξει τη λειτουργία της «ισοδιαμέρισης και της επανάληψης» (splitting operation). Ένα σχήμα (scheme) είναι ένα πακέτο ή σύνολο νοητικών διεργασιών που οργανώνονται για να εκπληρώσουν κάποιο στόχο (Hackenberg & Tillema, 2009). Τα κλασματικά σχήματα είναι τα εξής: 1. Το κλάσμα ως μέρος όλου (part whole fraction scheme), σύμφωνα με το οποίο οι μαθητές αναγνωρίζουν το όλο ως μονάδα, το χωρίζουν σε ίσα μέρη και μπορούν να διαλέξουν κάποια από αυτά τα μέρη. 2. Σχήμα διαμερισμού κλασματικής μονάδας (partitive unit fraction scheme), σύμφωνα με το οποίο οι μαθητές μπορούν να προσθέσουν όσες φορές χρειάζεται την κλασματική μονάδα ώστε να σχηματίσουν τη μονάδα (π.χ. 1/4 + 1/4 + 1/4 + 1/4 = 4/4 ) 3. Σχήμα διαμερισμού κλάσματος (partitive fraction scheme), το οποίο αποτελεί τη γενίκευση του προηγούμενου σχήματος. Σύμφωνα με αυτό το σχήμα, οι μαθητές μπορούν να αντιληφθούν, για παράδειγμα, ότι τα 3/4 είναι τρεις φορές το 1/4 του όλου της μονάδας. Έτσι, μπορούν να παράγουν σύνθετα κλάσματα προσθέτοντας κλασματικές μονάδες, διατηρώντας της σχέση κλασματικής μονάδας όλου. Σελίδα 13

14 4. Σχήμα αντίστροφου διαμερισμού κλάσματος (reversible partitive fraction scheme), σύμφωνα με το οποίο οι μαθητές μπορούν να παράγουν το όλο όταν τους δίνεται ένα κλασματικό μέρος από αυτό (π.χ. Ποιο είναι το όλο, αν το σχήμα που σου δίνεται αποτελεί τα 3/4 του;) 5. Σχήμα επανάληψης κλάσματος (iterative fraction scheme), σύμφωνα με το οποίο οι μαθητές είναι ικανοί να παράγουν το όλο όταν τους δίνεται με καταχρηστικό κλάσμα ένα μεγαλύτερο μέρος του (π.χ. Ποιο είναι το όλο, αν το σχήμα που σου δίνεται αποτελεί τα 4/3 του;) Τα αποτελέσματα έδειξαν ότι το σχήμα που αναπτύσσεται πρώτο είναι αυτό του κλάσματος ως μέρος όλου, ανεξάρτητα αν αφορά σε κλάσμα ή κλασματική μονάδα. Ακολουθούν τα σχήματα διαμερισμού της κλασματικής μονάδας και του κλάσματος, με το πρώτο να προηγείται του δεύτερου και τέλος αναπτύσσονται τα σχήματα αντίστροφου διαμερισμού και επανάληψης κλάσματος. Επίσης, φαίνεται να υπάρχει σύνδεση ανάμεσα στην ανάπτυξη του σχήματος αντίστροφου διαμερισμού κλάσματος και την ικανότητα ισοδιαμέρισης και επανάληψης κλάσματος (splitting operation) καθώς και ανάμεσα στην παραπάνω ικανότητα και στην ανάπτυξη του σχήματος επανάληψης κλάσματος. Τέλος, οι Norton και Wilikins συμπέραναν πως το σχήμα διαμερισμού κλάσματος εμφανίζεται πριν αναπτυχθεί η λειτουργία ισοδιαμέρισης και επανάληψης του κλάσματος (splitting operation). 1.7 Τα κλάσματα στο δημοτικό Η διδασκαλία των κλασμάτων, η οποία πραγματοποιείται στο σχολείο, βασίζεται όπως γνωρίζουμε, στο μεγαλύτερο βαθμό της, στο εκάστοτε αναλυτικό πρόγραμμα σπουδών ενώ πραγματοποιείται με τη βοήθεια των σχολικών εγχειριδίων τα οποία ουσιαστικά κατευθύνουν τη διδασκαλία. Από τη μελέτη του αναλυτικού προγράμματος προκύπτει ότι οι μαθητές έρχονται σε επαφή με το κλάσμα στη Γ δημοτικού στην ενότητα «Εισαγωγή στα απλά κλάσματα», η οποία διδάσκεται σε πέντε κεφάλαια: 1. Εισαγωγή στα κλάσματα 2. Οι κλασματικές μονάδες 3. Οι κλασματικές μονάδες και οι απλοί κλασματικοί αριθμοί 4. Ισοδύναμα κλάσματα 5. Επαναληπτικό μάθημα Επίσης, οι μαθητές ξανασυναντούν κλάσματα στην ενότητα «Εισαγωγή στους δεκαδικούς αριθμούς» στα κεφάλαια: 1. Πολλαπλασιασμός και διαίρεση με το 10, 100 και Δεκαδικά κλάσματα Σελίδα 14

15 3. Δεκαδικά κλάσματα και δεκαδικοί αριθμοί 4. Δεκαδικοί αριθμοί 5. Πρόσθεση και αφαίρεση με δεκαδικούς αριθμούς 6. Επαναληπτικό μάθημα Στην Τρίτη τάξη Δημοτικού, όπου οι μαθητές έρχονται σε επαφή με την έννοια του κλάσματος για πρώτη φορά, το κλάσμα αντιμετωπίζεται ως μέρος όλου, ως μέτρηση και ως πηλίκο. Προκειμένου, λοιπόν, να βρουν το μέρος ενός όλου ή το πηλίκο μιας διαίρεσης μοιρασιάς, οι μαθητές καλούνται να χωρίσουν σε ίσα μέρη α) συνεχείς και β) διακριτές ποσότητες. Σε έρευνες όπου έγινε σύγκριση του βαθμού ανταπόκρισης των μαθητών στο χωρισμό σε ίσα μέρη συνεχών ποσοτήτων από τη μια και διακριτών από την άλλη, βρέθηκε ότι τα παιδιά απέδωσαν καλύτερα στο χωρισμό διακριτών ποσοτήτων (Behr & Post, 1992). Το νοητικό σχήμα της σχέσης μέρος όλου φαίνεται να διαφέρει στην περίπτωση διακριτών και στην περίπτωση συνεχών ποσοτήτων. Όταν πραγματευόμαστε συνεχείς ποσότητες, το «μέρος» είναι ένα από τα ίσα τμήματα στα οποία χωρίζεται το όλο. Όταν, όμως, πρόκειται για διακριτές ποσότητες, το «μέρος» μπορεί να συντίθεται από περισσότερες από μία δομικές μονάδες. «Το πλεονέκτημα του διακριτού υλικού είναι ο αριθμητικά ακριβής αριθμός της κλασματικής μονάδας, ενώ το πλεονέκτημα του συνεχούς υλικού είναι ότι επιτρέπει στο παιδί να αναπτύξει δυναμικά νοητικά εργαλεία με σαφώς ευρύτερο φάσμα εφαρμογών» (Κολέζα, 2000). Συνεπώς, το είδος του μοντέλου ποσοτήτων που θα χρησιμοποιηθεί στη διδασκαλία των κλασμάτων παίζει καθοριστικό ρόλο στις νοητικές αναπαραστάσεις που θα δημιουργήσουν οι μαθητές για τα κλάσματα. Κατ επέκταση, από το σχήμα του ρητού αριθμού που θέλουμε να προωθήσουμε, εξαρτάται το είδος του μοντέλου που θα χρησιμοποιήσουμε στη διδασκαλία. Γεωμετρικές περιοχές, σύνολα διακριτών αντικειμένων, καθώς και η αριθμογραμμή είναι τα μοντέλα που χρησιμοποιούνται πιο συχνά για να αντιπροσωπεύσουν κλάσμα στο σχολικό βιβλίο της Τρίτης τάξης Δημοτικού (Λεμονίδης κ.ά., 2010). Στις γεωμετρικές περιοχές, ως συνεχείς ποσότητες, περιλαμβάνονται κύκλοι και ορθογώνια και στις διακριτές ποσότητες, καραμέλες και νομίσματα. Η διδασκαλία του κλάσματος συνεχίζεται στην Τετάρτη, την Πέμπτη και την Έκτη Δημοτικού, όπου οι μαθητές επεκτείνουν τις αντιλήψεις τους για το κλάσμα. Συγκεκριμένα, τα σχετικά με τα κλάσματα κεφάλαια έχουν ως εξής: Δ Τάξη 1. Θυμάμαι τους δεκαδικούς αριθμούς 2. Νομίσματα και δεκαδικοί αριθμοί 3. Μετρώ και εκφράζω το μήκος Σελίδα 15

16 4. Μετρώ το βάρος 5. Προσθέτω και αφαιρώ δεκαδικούς αριθμούς (1) και (2) 6. Επανάληψη 7. Γνωρίζω καλύτερα τους δεκαδικούς 8. Διαχειρίζομαι δεκαδικούς αριθμούς 9. Υπολογίζω με συμμιγείς και δεκαδικούς 10. Διαιρώ με 10, 100, Επιλύω προβλήματα 12. Διαχειρίζομαι δεκαδικούς αριθμούς 13. Επανάληψη Ε Τάξη 1. Δεκαδικοί αριθμοί Δεκαδικά κλάσματα 2. Δεκαδικά κλάσματα Δεκαδικοί αριθμοί 3. Αξία θέσης ψηφίων στους δεκαδικούς αριθμούς 4. Πολλαπλασιασμός δεκαδικών αριθμών 5. Διαίρεση ακεραίου με ακέραιο με πηλίκο δεκαδικό αριθμό 6. Επαναληπτικό 7. Γρήγοροι πολλαπλασιασμοί και διαιρέσεις με 10, 100, Αναγωγή στη δεκαδική κλασματική μονάδα 9. Κλασματικές μονάδες 10. Ισοδύναμα κλάσματα 11. Μετατροπή κλάσματος σε δεκαδικό 12. Στρατηγικέ διαχείρισης αριθμών 13. Διαχείριση αριθμών 14. Επαναληπτικό 15. Έννοια του ποσοστού 16. Προβλήματα με ποσοστά 17. Πολλαπλασιασμός κλασμάτων Αντίστροφοι αριθμοί Σελίδα 16

17 18. Διαίρεση μέτρησης σε ομώνυμα κλάσματα 19. Σύνθετα προβλήματα Επαλήθευση 20. Επαναληπτικό 21. Μονάδες μέτρησης μήκους: μετατροπές (α) και (β) 22. Μονάδες μέτρησης επιφάνειας: μετατροπές 23. Διαίρεση ακέραιου και κλάσματος με κλάσμα 24. Στρατηγικές επίλυσης προβλημάτων 25. Επαναληπτικό 26. Πρόσθεση και αφαίρεση ετερώνυμων κλασμάτων 27. Διαχείριση πληροφορίας Σύνθετα προβλήματα 28. Επαναληπτικό Από τα παραπάνω διαπιστώνουμε ότι η διδασκαλία των κλασμάτων έχει κυρίαρχη θέση στα μαθηματικά της Ε δημοτικού, καθώς η έννοια και οι ιδιότητες των κλασμάτων υπάρχουν, διδάσκονται και χρησιμοποιούνται στα περισσότερα κεφάλαια. Το γεγονός αυτό ενισχύει θετικά την επιλογή μας για διερεύνηση κατανόησης των κλασμάτων από μαθητές της Στ, αφού έχει προηγηθεί στην Ε τάξη μια ευρεία διδασκαλία τους. Στ Τάξη 1. Δεκαδικοί αριθμοί 2. Μετατροπή δεκαδικών σε κλάσματα και αντίστροφα 3. Σύγκριση φυσικών ή δεκαδικών αριθμών 4. Πρόσθεση και αφαίρεση φυσικών και δεκαδικών αριθμών 5. Πολλαπλασιασμός φυσικών και δεκαδικών αριθμών 6. Διαίρεση φυσικών και δεκαδικών αριθμών 7. Πράξεις με μεικτές αριθμητικές παραστάσεις 8. Κλάσματα ομώνυμα και ετερώνυμα 9. Το κλάσμα ως ακριβές πηλίκο διαίρεσης 10. Ισοδύναμα κλάσματα 11. Σύγκριση και διάταξη κλασμάτων 12. Προβλήματα με πρόσθεση και αφαίρεση κλασμάτων Σελίδα 17

18 13. Προβλήματα με πολλαπλασιασμό και διαίρεση κλασμάτων 14. Λόγος δύο μεγεθών 15. Από τους λόγους στις αναλογίες 16. Αναλογίες 17. Ανάλογα ποσά 18. Λύνω προβλήματα με ανάλογα ποσά 19. Αντιστρόφως ανάλογα ή αντίστροφα ποσά 20. Λύνω προβλήματα με αντιστρόφως ανάλογα ποσά 21. Η απλή μέθοδος των τριών στα ανάλογα ποσά 22. Η απλή μέθοδος των τριών στα αντίστροφα ποσά 23. Εκτιμώ το ποσοστό 24. Βρίσκω το ποσοστό 25. Λύνω προβλήματα με ποσοστά Τα κλάσματα αποτελούν σημαντικό αντικείμενο διδασκαλίας και στην έκτη δημοτικού. Εδώ το κλάσμα αντιμετωπίζεται όπως και στη Γ τάξη ως μέρος - όλο, ως μέτρηση, ως πηλίκο, με τη προσθήκη και των υποκατασκευών λόγος και τελεστής. Μερικοί ερευνητές υποστηρίζουν ότι η λειτουργία της διαμέρισης οδηγεί τους μαθητές σε κατανόηση του σχήματος των κλασμάτων ως τελεστής (Kieren,1988). Επίσης, το σχήμα του τελεστή οδηγεί σε κατανόηση του πολλαπλασιασμού των κλασμάτων, ιδιαίτερα όταν οι μαθητές ερωτήθηκαν να βρουν το ¼ του ½ (Behr et al.,1993), ο οποίος διδάσκεται και στην Ε και στη Στ δημοτικού. Από τη επισκόπηση του αναλυτικού προγράμματος συμπεραίνουμε ότι τα ισοδύναμα κλάσματα διδάσκονται στην Γ δημοτικού καθώς και στην Ε και Στ τάξη, γεγονός που καθιστά εφικτή τη διερεύνηση της αντίληψης των μαθητών αυτής της ηλικίας σχετικά με αυτά. Στην παρούσα εργασία θα ασχοληθούμε με τις αντιλήψεις για τα ισοδύναμα κλάσματα, την ισοδιαμέριση και την κλασματική μονάδα των μαθητών της Γ και Στ τάξης. Σε επόμενες σχολικές τάξεις της δευτεροβάθμιας εκπαίδευσης κατά τη διδασκαλία της άλγεβρας χρησιμοποιούνται νοητικά σχήματα κλασμάτων. Πολλές από τις δυσκολίες των μαθητών στην Άλγεβρα αναζητούνται πίσω στην ελλιπή κατανόηση των ιδεών για το κλάσμα. Σελίδα 18

19 Δεύτερο κεφάλαιο Η μέθοδος έρευνας 2.1 Στόχος και ερευνητικά ερωτήματα Στόχος της έρευνας είναι να διερευνηθεί αν και κατά πόσο οι μαθητές κατανοούν την έννοια των ισοδύναμων κλασμάτων. Τα ερευνητικά ερωτήματα που προκύπτουν είναι τα εξής: Οι μαθητές των Γ και Στ τάξεων: Μπορούν να συνδέσουν τις κλασματικές μονάδες με τις ποσότητες που εκφράζουν / ή μπορούν να ονοματίσουν την κλασματική μονάδα σε σχήματα χωρισμένα σε ίσα μέρη; (Δραστηριότητα 1) Είναι ικανοί να χωρίζουν κυκλικά σχήματα (πρώτο σκέλος Δραστηριότητας 2) και τετράγωνα σχήματα (δεύτερο σκέλος δραστηριότητας 2) σε ίσα μέρη; Είναι ικανοί να αποδώσουν την ίδια ποσότητα σε σχήματα χωρισμένα σε διαφορετικά μέρη κάθε φορά (Πρώτο σκέλος δραστηριότητας 3); Αναγνωρίζουν τα ισοδύναμα κλάσματα; (δεύτερο σκέλος δραστηριότητας 3) Μπορούν να αποδίδουν την ίδια ποσότητα με δύο διαφορετικά αλλά ισοδύναμα κλάσματα; (Δραστηριότητα 4) Μπορούν τα ονοματίσουν το κλάσμα που παριστάνει ένα σχήμα; Κατανοούν ότι διαφορετικά κλάσματα μπορεί να παριστάνουν την ίδια ποσότητα; (Δραστηριότητα 5) Μπορούν να δημιουργήσουν με σχήματα και αριθμούς ισοδύναμα κλάσματα; (Δραστηριότητα 6) Μπορούν οι μαθητές να λύνουν προβλήματα με βάση την ισοδυναμία κλασμάτων; (Όλες οι δραστηριότητες) Διαφέρει ο βαθμός κατανόησης των ισοδύναμων κλασμάτων στους μαθητές της Γ τάξης και στους μαθητές της Στ τάξης; (Όλες οι δραστηριότητες) Υποκείμενα Το δείγμα της έρευνας αποτέλεσαν 19 μαθητές της Γ τάξης και 21 μαθητές της ΣΤ τάξης ενός δημόσιου δημοτικού σχολείου σε ημιαστική περιοχή της Πάτρας. Τα υποκείμενα έχουν γονείς μέσου κοινωνικοοικονομικού επιπέδου, μονόγλωσσα, με μητρική γλώσσα την ελληνική. Κανένα από τα υποκείμενα δεν είχε διαγνωσμένη μαθησιακή δυσκολία. Η εκπαιδευτική βαθμίδα επιλέγηκε με βάση την ένταξη των κεφαλαίων που αναφέρονται στα κλάσματα και τα ισοδύναμα κλάσματα στο αναλυτικό πρόγραμμα του Δημοτικού Σχολείου. Τον πληθυσμό του δείγματος αποτέλεσαν όλοι οι μαθητές Σελίδα 19

20 των τμημάτων ανεξάρτητα της σχολικής επίδοσης, του μορφωτικού επιπέδου των γονέων, της κοινωνικής προέλευσης και του φύλου. Εργαλείο Για την συλλογή δεδομένων χρησιμοποιήθηκαν δραστηριότητες σχετικές με τα ισοδύναμα κλάσματα οι οποίες εκτελούνται στο πλαίσιο ημιδομημένων συνεντεύξεων. Η ερευνητική συνέντευξη έχει οριστεί ως «συζήτηση δύο ατόμων, που αρχίζει από την ερευνήτρια, με ειδικό σκοπό την απόκτηση σχετικών με την έρευνα πληροφοριών, και επικεντρώνεται από αυτόν σε περιεχόμενο καθορισμένο από τους στόχους της έρευνας με συστηματική περιγραφή, πρόβλεψη ή ερμηνεία» (Bell, 1997). Σύμφωνα με τους Cohen & Manion (1994), η συνέντευξη ως ερευνητική τεχνική μπορεί να χρησιμοποιηθεί στο χώρο των κοινωνικών επιστημών σαν μέσο συγκέντρωσης στοιχείων αφού με αυτή επιτυγχάνεται αναζήτηση πληροφοριών από την πλευρά του ενός και παροχή πληροφοριών από την πλευρά του άλλου. Η συνέντευξη διερεύνησης μπορεί να είναι ημικατευθυνόμενη όταν ο ερευνητής προσδιορίζει εξαρχής το αντικείμενο της μελέτης του καθώς και τις κυριότερες παραμέτρους του. Διατυπώνονται συγκεκριμένες ερωτήσεις, αλλά οι ερωτώμενοι είναι ελεύθεροι να μιλήσουν σχετικά με το θέμα και να δώσουν τις δικές τους απόψεις όταν αυτοί θέλουν. (Bell, 1997). Στην παρούσα έρευνα σχεδιάστηκε μια διαδικασία συνέντευξης που διαρκούσε περίπου δεκαπέντε (15) με είκοσι (20) λεπτά. Οι συνεντεύξεις μαγνητοφωνήθηκαν και απομαγνητοφωνήθηκαν ώστε να διευκολυνθεί η επεξεργασία των δεδομένων και η παρουσίαση των αποτελεσμάτων. Μέσω των συνεντεύξεων, ανιχνεύεται ο βαθμός κατανόησης της έννοιας των ισοδύναμων κλασμάτων μετά τη διδασκαλία των σχετικών κεφαλαίων στα μαθηματικά της τάξης τους και η σύγκριση επιδόσεων των μαθητών των Γ και ΣΤ τάξεων. Τέλος, πραγματοποιήθηκε ποιοτική και ποσοτική ανάλυση των δεδομένων. Σελίδα 20

21 Τρίτο κεφάλαιο Εκπόνηση έρευνας κι αποδελτίωση ερωτηματολογίου Η ερευνητική διαδικασία και η συλλογή των δεδομένων πραγματοποιήθηκε το χρονικό διάστημα Ιανουαρίου Απριλίου Βασικό κριτήριο ήταν να έχει προηγηθεί η διδασκαλία της 4 ης ενότητας «Εισαγωγή στα απλά κλάσματα» στους μαθητές της Γ τάξης και το κεφάλαιο 21 «Ισοδύναμα κλάσματα» στους μαθητές της ΣΤ που πήραν μέρος σ αυτήν αφού κύριος στόχος της έρευνας είναι η διερεύνηση του βαθμού κατανόησης των ισοδύναμων κλασμάτων μετά τη διδασκαλία των αντίστοιχων κεφαλαίων στο σχολείο. Στο πρώτο μέρος του κεφαλαίου θα αναλυθούν τα δεδομένα και οι απαντήσεις των μαθητών της Γ τάξης και στο μέρος της ΣΤ. Τέλος, θα επιχειρηθεί μια συγκριτική ανάλυση των δεδομένων των δύο τάξεων και θα εξαχθούν συμπεράσματα Αποδελτίωση του ερωτηματολογίου που δόθηκε στην Γ τάξη Όπως ήδη έχει αναφερθεί, το ερωτηματολόγιο αποτελείται από 6 δραστηριότητες με υπο-ερωτήματα. Στόχος είναι να διαπιστωθεί ο βαθμός κατά τον οποίο οι μαθητές κατανοούν τις έννοιες «κλασματική μονάδα», «ισοδιαμέριση» και «ισοδυναμία» καθώς και η ικανότητά τους να δίνουν σωστές απαντήσεις στις δραστηριότητες. Για την ομαδοποίηση των αποτελεσμάτων χρησιμοποιήθηκε μια κλίματα τεσσάρων σημείων, από 0 έως και 3, όπου 0= «Δεν απάντησε», 1= «Απάντησε λάθος», 2= «Απάντησε εν μέρει σωστά» και 3= «Απάντησε σωστά». Παρακάτω μελετώνται ξεχωριστά τα δεδομένα και οι απαντήσεις για κάθε δραστηριότητα. Σελίδα 21

22 Δραστηριότητα 1: Η πρώτη δραστηριότητα είχε την εξής μορφή: Σελίδα 22

23 Ο στόχος της πρώτης δραστηριότητας είναι να διαπιστωθεί αν οι μαθητές μπορούν να συνδέσουν τις κλασματικές μονάδες με τις ποσότητες που εκφράζουν / ή αν μπορούν να ονοματίσουν λεκτικά αλλά και με συμβολική γραφή την κλασματική μονάδα σε σχήματα χωρισμένα σε ίσα μέρη. Ύστερα από την αποδελτίωση των ερωτηματολογίων και όπως φαίνεται στον πίνακα 1, διαπιστώθηκε πως το 57,9% των μαθητών της Γ τάξης (11 στους 19 μαθητές) βρήκε και ονομάτισε την κλασματική μονάδα (εικόνα3.1.1), ενώ το 42,1% (8 μαθητές) δεν έδωσε καμία απάντηση (πίνακας 1). Πίνακας 1 Score_1 Frequency Percent Valid Percent Cumulative Percent Valid ,1 42,1 42, ,9 57,9 100,0 Total ,0 100,0 Εικόνα 3.1.1: Δείγμα απαντήσεων της δραστηριότητας 1. Σελίδα 23

24 Δραστηριότητα 2: Η δεύτερη δραστηριότητα ήταν η εξής: Σελίδα 24

25 Σελίδα 25

26 Στη δεύτερη δραστηριότητα της αξιολόγησης οι μαθητές κλήθηκαν να απαντήσουν σε δύο υπο-ερωτήματα. Στόχος της δραστηριότητας ήταν να διαπιστώσει η ερευνήτρια αν οι μαθητές είναι ικανοί να χωρίζουν κυκλικά σχήματα σε ίσα μέρη (Πρώτο σκέλος Δραστηριότητας 2) και αν μπορούν να χωρίζουν τετράγωνα σχήματα σε ίσα μέρη (Δεύτερο σκέλος Δραστηριότητας 2). Έτσι, σύμφωνα με τον πίνακα 1.1 το 36,8% των μαθητών (7 στους 19 μαθητές) απάντησε σωστά (εικόνα 3.1.2) και το 63,2% απάντησε εν μέρει σωστά. Αυτό σημαίνει ότι οι μαθητές χώρισαν σωστά σε ίσα μέρη μερικά από τα σχήματα της δραστηριότητας, ενώ τα υπόλοιπα είτε τα χώρισαν στο ζητούμενο πλήθος μερών αλλά δεν ακολούθησαν τη μέθοδο της ισοδιαμέρισης (εικόνα 3.1.2) είτε δεν κατόρθωσαν να χωρίσουν καθόλου κάποια από τα σχήματα (εικόνα 3.1.4) είτε χώρισαν σε λανθασμένο πλήθος μερών. Πίνακας 1.1 Score_2_1 Frequency Percent Valid Percent Cumulative Percent Valid ,2 63,2 63, ,8 36,8 100,0 Total ,0 100,0 Εικόνα 3.1.2: Σωστός χωρισμός σε 2, 4, 8, 12 και 16 μέρη. Σελίδα 26

27 Εικόνα 3.1.3: Ο μαθητής χώρισε τα σχήματα στα μέρη που ζητώνται, αλλά δεν ακολούθησε την ισοδιαμέριση. Εικόνα 3.1.4: Περίπτωση μαθητή που δεν κατόρθωσε να χωρίσει όλα τα σχήματα. Πιο συγκεκριμένα, όλοι οι μαθητές (100%) χώρισαν σωστά και με βάση τη λογικής της ισοδιαμέρισης σε 2 ίσα μέρη, το 84,2% (16 μαθητές) χώρισε σωστά σε 4 και σε 8 ίσα μέρη, το 42,1% (8 μαθητές) χώρισε σωστά σε 12 ίσα μέρη και ακριβώς το ίδιο ποσοστό χώρισε σε 12, αλλά άνισα μέρη και το 57,9%(11 μαθητές) χώρισε σωστά σε 16 ίσα μέρη. Παρατηρούμε ότι οι μαθητές αντιμετωπίζουν τη μεγαλύτερη δυσκολία στο χωρισμό του κύκλου σε 12 ίσα μέρη. Σελίδα 27

28 Στο β σκέλος της δραστηριότητας, από τους μαθητές ζητήθηκε να χωρίσουν σε ίσα μέρη ένα τετράγωνο σχήμα. Και σε αυτήν την ερώτηση διαπιστώθηκε σύγχυση, καθώς όπως φαίνεται στον πίνακα 1.2, το 36,8% (7 μαθητές) απάντησε σωστά (εικόνα 3.1.5) και το 63,2% (12 μαθητές) απάντησε εν μέρει σωστά, δηλαδή είτε έκανε λάθος χωρισμό, διότι ακολούθησε τη μέθοδο χωρισμού του κύκλου (εικόνα 3.1.6) είτε χώρισε σε διαφορετικό από το ζητούμενο πλήθος κομματιών είτε δεν επίλυσε καθόλου κάποια σχήματα (εικόνα ). Εδώ, πρέπει να σημειωθεί ότι και οι 19 μαθητές (100%) χώρισαν σωστά το σχήμα σε 2 και 4 ίσα μέρη, το 89,5% (17 μαθητές) χώρισε σωστά το σχήμα σε 8 ίσα μέρη, το 36,8% (7μαθητές) χώρισαν σωστά σε 12 ίσα μέρη και το 47,4% (9 μαθητές) χώρισαν σωστά σε 16 ίσα μέρη. Παρατηρούμε ότι μεγαλύτερα ποσοστά επιτυχίας σημειώνονται σε χωρισμό του τετράγωνου σχήματος σε μικρό πλήθος μερών (2, 4, 8), κάτι που δε συνέβη με το χωρισμό του κύκλου. Επίσης, όπως και στην περίπτωση των κυκλικών σχημάτων οι μαθητές φαίνεται να έχουν μεγαλύτερη δυσκολία στο χωρισμό 12 ίσων μερών. Πίνακας 1.2 Score_2_2 Frequency Percent Valid Percent Cumulative Percent Valid ,2 63,2 63, ,8 36,8 100,0 Total ,0 100,0 Εικόνα 3.1.5: Σωστός χωρισμός σε ίσα μέρη. Σελίδα 28

29 Εικόνα 3.1.6: Χωρισμός με την μέθοδο του κύκλου. Εικόνα 3.1.7: Ο μαθητής δήλωσε ότι αδυνατεί να χωρίσει το σχήμα σε 16 μέρη. Χαρακτηριστική είναι η περίπτωση τριών μαθητών, οι οποίοι έχουν κατανοήσει πλήρως την έννοια της ισοδιαμέρισης και απάντησαν σωστά και στα δύο υπο-ερωτήματα της δεύτερης δραστηριότητας. Σελίδα 29

30 Δραστηριότητα 3: Ακολουθεί η τρίτη δραστηριότητα που δόθηκε στους μαθητές, η οποία χωρίζεται σε δύο μέρη: Σελίδα 30

31 Οι στόχοι της δραστηριότητας ήταν να διαπιστωθεί αν οι μαθητές είναι ικανοί να αποδώσουν την ίδια ποσότητα σε σχήματα χωρισμένα σε διαφορετικά μέρη κάθε φορά (Πρώτο σκέλος δραστηριότητας 3) και αν αναγνωρίζουν τα ισοδύναμα κλάσματα (δεύτερο σκέλος δραστηριότητας 3). Στα δύο σκέλη της δραστηριότητας οι μαθητές είχαν ακριβώς τις ίδιες επιδόσεις. Δηλαδή, όσοι μαθητές κατάφεραν να φτιάξουν σωστά την τούρτα και να Σελίδα 31

32 αποδώσουν την ίδια ποσότητα σε διαφορετικά χωρισμένα σχήματα, κατάφεραν και να αναγνωρίσουν τα ισοδύναμα κλάσματα που προέκυπταν. Πίνακας 1.3 Score_3_1 Frequency Percent Valid Percent Cumulative Percent Valid ,4 47,4 47, ,6 52,6 100,0 Total ,0 100,0 Έτσι, για τα κυκλικά σχήματα τα αποτελέσματα (πίνακας 1.3) έδειξαν ότι το 52,6% (10 μαθητές) απάντησε σωστά και 47,4% (9μαθητές) απάντησε λανθασμένα (εικόνα 3.1.8). Εικόνα 3.1.8: Σωστή και λανθασμένη απάντηση. Σελίδα 32

33 Χαρακτηριστικός είναι ο διάλογος με δύο από τους μαθητές που δυσκολεύτηκαν να απαντήσουν: Στιχομυθία 1. Απόδοση ίδιας ποσότητας σε χωρισμένα σχήματα Ε : Είναι ίδια ποσότητα το 1/2, 1/4, 1/8, 1/12 και το 1/16; Υ1: Όχι. Ε: Γιατί τότε αφού σου είπα να βάψεις το ½ σε κάθε τούρτα έβαψες άλλα μέρη; Υ1: Γιατί δεν ξέρω πώς να βάψω το ½. Στιχομυθία 2. Απόδοση ίδιας ποσότητας σε χωρισμένα σχήματα Ε: Τα κλάσματα ½, ¼, 1/8 και 1/16 εκφράζουν την ίδια ποσότητα; Υ2: Ναι, είναι ισοδύναμα. Ε: Και τα υπόλοιπα κομμάτια που περισσεύουν τι γεύση θα έχουν; Υ2: Δεν ξέρω, μπισκότο; Ε: Μα η τούρτα θέλουμε να έχει μόνο τρεις γεύσεις, σοκολάτα, φράουλα και βανίλια. Υ2: Δεν ξέρω, μπερδεύτηκα. Για τα τετράγωνα σχήματα (εικόνα 3.1.9) οι απαντήσεις των μαθητών είναι λιγάκι διαφορετικές, αφού λιγότεροι μαθητές κατόρθωσαν να επιλύσουν σωστά τη δραστηριότητα (πίνακας 1.4). Πιο συγκεκριμένα το 31,6% απάντησε σωστά (6 μαθητές), το 47,4% απάντησε λάθος (9 μαθητές), το 15,8% (3 μαθητές) κατάφερε να «φτιάξει» μόνο μερικές από τις τούρτες και το 5,3% (1 μαθητής) δεν έδωσε κάποια απάντηση (Υ: Αυτό είναι δύσκολο, δεν ξέρω πώς γίνεται). Πίνακας 1.4 Score 3_2 Frequency Percent Valid Percent Cumulative Percent Valid 0 1 5,3 5,3 5, ,4 47,4 52, ,8 15,8 68, ,6 31,6 100,0 Total ,0 100,0 Αν θέλουμε να ομαδοποιήσουμε τα λάθη παρατηρούμε πως από τους 12 μαθητές οι 5 έκαναν λάθος μόνο στα τετράγωνα που ήταν χωρισμένα σε 12 και 20 κομμάτια, οι 5 έβαφαν κάθε φορά 1 κομμάτι με κάθε γεύση (1/2, 1,/4, 1/8, 1/12, 1/16, 1/20) και οι άλλοι 2 προσπάθησαν να χωρίσουν την τούρτα σε δύο γεύσεις (σοκολάτα, φράουλα), αδιαφορώντας για την τρίτη γεύση (βανίλια). Σελίδα 33

34 Εικόνα 3.1.9: Σωστή και λάθος απάντηση. Σελίδα 34

35 Αξιοσημείωτη είναι η διαφορά επιδόσεων των μαθητών στα δύο είδη τούρτας, αφού στις κυκλικές τούρτες είχαν αρκετά καλύτερες επιδόσεις (52,6%) σε σχέση με αυτές για τις τετράγωνες τούρτες (31,6%). Το παραπάνω μας οδηγεί στο συμπέρασμα ότι οι μαθητές είναι περισσότερο εξοικειωμένοι στο χωρισμό κυκλικών παρά τετράγωνων σχημάτων, παρόλο που τα βιβλία μαθηματικών επεξεργάζονται στην ίδια συχνότητα κυκλικά και τετράγωνα σχήματα. Δραστηριότητα 4: Παρακάτω παρουσιάζεται η τέταρτη δραστηριότητα του εργαλείου της έρευνάς μας: Σελίδα 35

36 Τα δύο ερωτήματα της δραστηριότητας 4 έχουν στόχο να διαπιστωθεί αν οι μαθητές μπορούν να αποδίδουν την ίδια ποσότητα με δύο διαφορετικά αλλά ισοδύναμα κλάσματα. Οι μαθητές πρέπει να ζωγραφίσουν και να δώσουν το αριθμητικό κλάσμα της κάθε ποσότητας. Στο πρώτο ερώτημα το 63,2% (12 μαθητές) απάντησε σωστά, το 26,3% (5 μαθητές) λανθασμένα και το 10.5% (2 μαθητές) έβαψε σωστά το μέρος της πίτσας, ονομάτισε όμως λανθασμένα το ισοδύναμο κλάσμα που σχηματίστηκε (πίνακας 1.5). Πίνακας 1.5 Score_4_1 Frequency Percent Valid Percent Cumulative Percent Valid ,3 26,3 26, ,5 10,5 36, ,2 63,2 100,0 Total ,0 100,0 Στο δεύτερο ερώτημα (πίνακας 1.6) το 68,4% (13 μαθητές) απάντησε σωστά, το 21,1% (4μαθητές) λανθασμένα και το 10.5% (2 μαθητές) έβαψε σωστά το μέρος της πίτσας, ονομάτισε όμως λανθασμένα το ισοδύναμο κλάσμα που σχηματίστηκε. Πίνακας 1.6 Score_4_2 Frequency Percent Valid Percent Cumulative Percent Valid ,5 10,5 10, ,1 21,1 31, ,4 68,4 100,0 Total ,0 100,0 Στις παρακάτω εικόνες ( και ) φαίνεται δείγμα των απαντήσεων των μαθητών στη δραστηριότητα. Σελίδα 36

37 Εικόνα : Ο μαθητής απάντησε σωστά και στα δύο μέρη. Εικόνα : Η περίπτωση του μαθητή που αδυνατεί να ονοματίσει το ισοδύναμο κλάσμα που σχηματίστηκε. Σελίδα 37

38 Δραστηριότητα 5: Η πέμπτη δραστηριότητα είχε την εξής μορφή: Η 5 η δραστηριότητα διερευνά αν οι μαθητές μπορούν να ονοματίσουν το κλάσμα που παριστάνει ένα σχήμα και αν κατανοούν ότι διαφορετικά κλάσματα παριστάνουν την ίδια ποσότητα. Στο α μέρος της (πίνακας 1.7), το 84,2% (16 Σελίδα 38

39 μαθητές) απαντά σωστά (εικόνα ) και το 15,8% (3 μαθητές) απαντά περίπου σωστά, αφού καταφέρνει να ονοματίσει σωστά μόνο μερικά από τα κλάσματα που παριστάνουν τα σχήματα. Πίνακας 1.7 Score_5_1 Frequency Percent Valid Percent Cumulative Percent Valid ,8 15,8 15, ,2 84,2 100,0 Total ,0 100,0 Εικόνα : Σωστή δραστηριότητα. Σελίδα 39

40 Στο β μέρος της (πίνακας 1.8) το 36,8% (7 μαθητές) αναγνωρίζει όλα τα ισοδύναμα κλάσματα που προκύπτουν, το 31,6% (6 μαθητές) δεν αναγνωρίζει όλα τα ισοδύναμα και απαντά μόνο εν μέρει σωστά (3.1.13), το 15,8% (3 μαθητές) δε δίνει κάποια απάντηση (Υ: Δεν ξέρω πώς να το κάνω) και το 15,8% (3 μαθητές) απαντά λανθασμένα, αφού δεν αναγνωρίζει κανένα από τα ισοδύναμα κλάσματα που προκύπτουν (Υ: Κανένα παιδί δεν έφαγε την ίδια ποσότητα με κάποια άλλο παιδί). Πίνακας 1.8 Score_5_2 Frequency Percent Valid Percent Cumulative Percent Valid ,8 15,8 15, ,8 15,8 31, ,6 31,6 63, ,8 36,8 100,0 Total ,0 100,0 Εικόνα : Περίπτωση μαθητή που απαντά εν μέρει σωστά. Σελίδα 40

41 Δραστηριότητα 6: Τέλος, η έκτη δραστηριότητα ήταν η παρακάτω: Η 6 η δραστηριότητα αποτελείται από 4 υπο-ερωτήματα. Στόχος είναι να διαπιστωθεί αν μπορούν οι μαθητές να δημιουργήσουν ισοδύναμα κλάσματα. Οι μαθητές καλούνται να απαντήσουν σε ερωτήσεις για ισοδύναμα κλάσματα. Στην εικόνα παρατίθενται ενδεικτικές απαντήσεις μαθητών. Σελίδα 41

42 Στο υποερώτημα Α1 (πίνακας 1.9) απαντά σωστά το 36,8% (7 μαθητές), λανθασμένα το 36,8% (7 μαθητές), ενώ το 26,3% (5 μαθητές) δε δίνει κάποια απάντηση. Στο Α2 έχουμε ακριβώς το ίδια ποσοστό επιτυχίας με το Α1 (πίνακας 1.10), που σημαίνει ότι οι μαθητές που δημιούργησαν σωστά το ισοδύναμο του κλάσματος 3/5 ήξεραν τον τρόπο να το κάνουν και δεν ήταν κάτι που απάντησαν στην τύχη. Επιπλέον, ένας από τους μαθητές που απάντησαν λάθος στο Α1 δε δίνει κάποια εξήγηση στο Α2 για την απάντησή του. Πίνακας 1.9 Score_6_1 Frequency Percent Valid Percent Cumulative Percent Valid ,3 26,3 26, ,8 36,8 63, ,8 36,8 100,0 Total ,0 100,0 Πίνακας 1.10 Score_6_2 Frequency Percent Valid Percent Cumulative Percent Valid ,6 31,6 31, ,6 31,6 63, ,8 36,8 100,0 Total ,0 100,0 Στο υποερώτημα Β1(πίνακας 1.11) το 84,2% (16 μαθητές) απάντησε ορθά, το 10,5% (2 μαθητές) λανθασμένα και 1 μαθητής δεν έδωσε απάντηση (Υ: Αυτό δεν το θυμάμαι, δεν ξέρω πώς γίνεται). Πίνακας 1.11 Score_6_3 Frequency Percent Valid Percent Cumulative Percent Valid 0 1 5,3 5,3 5, ,5 10,5 15, ,2 84,2 100,0 Total ,0 100,0 Σελίδα 42

43 Τέλος, στο υποερώτημα Β2 (πίνακας 1.12) μόλις ένας μαθητής (5,3%) απάντησε σωστά, το 68,4% (13 μαθητές) δεν έδωσαν κάποια απάντηση (Υ1: Δε νομίζω ότι γίνεται, Υ2: Δεν μπορώ να το κάνω αυτό) και το 26,3% (5 μαθητές) απάντησαν λανθασμένα. Πίνακας 1.12 Score_6_4 Frequency Percent Valid Percent Cumulative Percent Valid ,4 68,4 68, ,3 26,3 94, ,3 5,3 100,0 Total ,0 100,0 Από τους τελευταίους 1 μαθητής έδωσε σωστό ισοδύναμο, αλλά με λάθος στρατηγική, οπότε πιθανώς έδωσε στην τύχη τη σωστή απάντηση. Χαρακτηριστικός ήταν ο διάλογος με αυτόν το μαθητή: Στιχομυθία 3: Δημιουργία ισοδύναμου κλάσματος. Υ3: Το κλάσμα 3/9 είναι ίσο με το κλάσμα 1/3 Ε: Πώς το βρήκες; Υ3: Αν αφαιρέσω 2 (-2) από τον αριθμητή και 6 (-6) από τον παρονομαστή, προκύπτει το κλάσμα 1/3. Ε: Υπάρχει κάποιος κανόνας που ξέρεις για αυτό; Υ3: Όχι, δε θυμάμαι κάτι. Ε: Τότε γιατί το έκανες; Πώς ξέρεις ότι είναι ο σωστός τρόπος; Υ3: Έτσι το σκέφτηκα. Ο τρόπος που απάντησαν οι μαθητές συνολικά στην τελευταία δραστηριότητα, αποτυπώνεται στις ακόλουθες εικόνες: Σελίδα 43

44 Σελίδα 44

45 Εικόνα : Ενδεικτικές απαντήσεις στην 6 η δραστηριότητα. Κάνοντας μια συνολική αποτίμηση των απαντήσεων των μαθητών της Γ δημοτικού, διαπιστώνουμε ότι κανείς από τους 19 μαθητές δεν κατόρθωσε να απαντήσει σωστά σε όλες τις δραστηριότητες που διανεμήθηκαν, αλλά παράλληλα δεν υπήρξε και κάποιος μαθητής που να απάντησε λανθασμένα σε όλες τις δραστηριότητες. Επιπρόσθετα, οι μαθητές πέτυχαν καλύτερες επιδόσεις στο πρώτο μέρος της δραστηριότητας 5 και στο υποερώτημα Β1 της δραστηριότητας 6, με ποσοστό επιτυχίας 84,2%, όπου κλήθηκαν να ονοματίσουν το κλάσμα που παρίστανε κάθε σχήμα και διάγραμμα. Ακολουθούν η δραστηριότητα 4, όπου αντίστοιχα για τα δύο ερωτήματά της, το 63,2% και το 68,4% των μαθητών μπορεί να αποδώσει την ίδια ποσότητα σε δύο διαφορετικά αλλά ισοδύναμα κλάσματα. Αμέσως μετά, καλές επιδόσεις πέτυχαν στην πρώτη δραστηριότητα, με ποσοστό επιτυχίας 57,9%, όπου οι μαθητές βρήκαν και ονομάτισαν την κλασματική μονάδα. Στα υποερωτήματα Α1 και Α2 της δραστηριότητας 6, το 36,8% των μαθητών μπορεί να δημιουργήσει ισοδύναμο κλάσμα με μεγαλύτερους όρους από το αρχικό. Αντιθέτως, στη δημιουργία ισοδύναμου κλάσματος με όρους μικρότερους του αρχικού, το ποσοστό επιτυχίας ήταν το μικρότερο σε όλο το διαγώνισμα, μόλις 5,3% (1 μαθητής). Μέτριες οι επιδόσεις των μαθητών στο χωρισμό σχημάτων σε ίσα μέρη. Διαπιστώθηκε ίδιο ποσοστό επιτυχίας (36,8%) στην ισοδιαμέριση κυκλικού και τετράγωνου σχήματος. Το ίδιο ποσοστό επιτυχίας σημείωσαν οι μαθητές στη δραστηριότητα 5β που αφορούσε στην αναγνώριση ισοδύναμων κλασμάτων. Τέλος, οι μαθητές τα κατάφεραν καλύτερα στη σύσταση κυκλικής τούρτας με τρεις γεύσεις Σελίδα 45

46 σε σχέση με την τετράγωνη. Τα ποσοστά επιτυχίας ήταν 52,6% και 31,6% αντίστοιχα. Στην συνέχεια, ακολουθεί η αποδελτίωση των απαντήσεων των ίδιων δραστηριοτήτων που διανεμήθηκαν στην Στ τάξη του δημοτικού σχολείου. 3.2 Αποδελτίωση του ερωτηματολογίου που δόθηκε στην ΣΤ τάξη Τις ίδιες ακριβώς δραστηριότητες κλήθηκαν να επιλύσουν και οι μαθητές της ΣΤ Δημοτικού. Τα αποτελέσματα αναλύονται στη συνέχεια. Δραστηριότητα 1: Στην πρώτη δραστηριότητα το 76,2% των μαθητών (16 στους 21 μαθητές) απάντησε σωστά (εικόνα ), το 14,3% (3 μαθητές) έδωσαν λάθος απάντηση (εικόνα ) και 2 μαθητές (9,5%) δεν έδωσαν κάποια απάντηση. Πίνακας 2 Score_1 Frequency Percent Valid Percent Cumulative Percent Valid 0 2 9,5 9,5 9, ,3 14,3 23, ,2 76,2 100,0 Total ,0 100,0 Σελίδα 46

47 Εικόνα 3.2.1: Περίπτωση μαθητή που απάντησε κατευθείαν σωστά Εικόνα 3.2.2: Περίπτωση μαθητή που δεν κατόρθωσε να απαντήσει σωστά. Σελίδα 47

48 Δραστηριότητα 2: Στο α σκέλος της 2 ης δραστηριότητας (πίνακας 2.1), που αφορούσε στα κυκλικά σχήματα, το 47,6% (10 μαθητές) απάντησε σωστά (εικόνα ) και το 52,4% (11 μαθητές) απάντησε εν μέρει σωστά, γιατί είτε χώρισε τα σχήματα στα μέρη που ζητούνται, αλλά δεν ακολούθησε την μέθοδο της ισοδιαμέρισης (εικόνα 3.2.5) είτε δεν χώρισε το σχήμα στο ζητούμενο πλήθος κομματιών ή χώρισε μερικά σχήματα (εικόνα ). Πίνακας 2.1 Score_2_1 Frequency Percent Valid Percent Cumulative Percent Valid ,4 52,4 52, ,6 47,6 100,0 Total ,0 100,0 Συγκεκριμένα, όλοι οι μαθητές (100%) χώρισαν σωστά τους κύκλους σε 2, 4, 8 ίσα μέρη, σε 12 ίσα μέρη το 47,6% (10 μαθητές) χώρισε σωστά, το 42,9% χώρισε περίπου σωστά, αφού δεν ακολούθησε λογική ισοδιαμέρισης και το 9,5% (2 μαθητές χώρισε λάθος, αφού χώρισε σε διαφορετικό πλήθος μερών από το ζητούμενο. Στα 16 μέρη το 76,2% (16 μαθητές) χώρισε σωστά, το 9,5% εμ μέρει σωστά και το 14,3% λανθασμένα. Παρατηρούμε ότι τη μεγαλύτερη δυσκολία την αντιμετώπισαν οι μαθητές στο χωρισμό των 12 ίσων μερών. Εικόνα 3.2.4: Επιτυχημένος χωρισμός σε 2, 4, 8, 12 και 16 ίσα μέρη. Σελίδα 48

49 Εικόνα 3.2.5: Αποτυχία χωρισμού του κύκλου σε 12 ίσα κομμάτια. Εικόνα 3.2.6: Αποτυχία χωρισμού του κύκλου σε 12 και 16 κομμάτια. Στο β μέρος της δραστηριότητας (πίνακας 2.2) τα αποτελέσματα ομαδοποιούνται ως εξής: Α) Το 47,6% απάντησε σωστά (10 μαθητές, εικόνα ), Πίνακας 2.2 Score_2_2 Frequency Percent Valid Percent Cumulative Percent Valid ,4 52,4 52, ,6 47,6 100,0 Total ,0 100,0 Σελίδα 49

50 Εικόνα 3.2.7: Σωστός χωρισμός σε ίσα μέρη. Β) Το 52,4% απάντησε εν μέρει σωστά, διότι είτε ακολούθησε τη μέθοδο χωρισμού του κύκλου (εικόνα 3.2.8) είτε χώρισε σε διαφορετικό από το ζητούμενο πλήθος κομματιών (εικόνα 3.2.9)είτε δεν ολοκλήρωσε τη δραστηριότητα. Εικόνα 3.2.8: Χωρισμός με την μέθοδο του κύκλου. Σελίδα 50

51 Εικόνα 3.2.9: Εν μέρει σωστή απάντηση χωρισμός μερικών σχημάτων σε διαφορετικό πλήθος μερών από το ζητούμενο. Εδώ αξίζει να σημειωθεί ότι όλοι οι μαθητές (100%) χώρισαν σωστά τα τετράγωνα σε 2 και 4, 8 ίσα μέρη. Σε 12 και 16 ίσα μέρη το 47,6% (10 μαθητές) χώρισε σωστά, το 28,6% και το 33,3% αντίστοιχα χώρισε εν μέρει σωστά, χωρίς τη λογική ισοδιαμέρισης, το 23,8% και το 14,3% αντίστοιχα χώρισε σε διαφορετικό από το ζητούμενο πλήθος μερών, άρα απάντησε λάθος και 1 μαθητής δε χώρισε καθόλου τον κύκλο σε 16 μέρη.. Παρατηρούμε ότι οι μαθητές δυσκολεύτηκαν μόνο στο χωρισμό 12 και 16 ίσων μερών. Σελίδα 51

52 Δραστηριότητα 3: Σε αυτήν τη δραστηριότητα όσοι μαθητές κατάφεραν να φτιάξουν σωστά την τούρτα και να αποδώσουν την ίδια ποσότητα σε διαφορετικά χωρισμένα σχήματα, κατάφεραν και να αναγνωρίσουν τα ισοδύναμα κλάσματα που προέκυπταν. Στο α μέρος, στις κυκλικές τούρτες (πίνακας 2.3) το 76,2% (16 μαθητές) απάντησε σωστά (εικόνα )και το 23,8% (6 μαθητές) λανθασμένα εικόνα (3.2.11). Πίνακας 2.3 Score_3_1 Frequency Percent Valid Percent Cumulative Percent Valid ,8 23,8 23, ,2 76,2 100,0 Total ,0 100,0 Εικόνα : Σωστή απάντηση. Σελίδα 52

53 Εικόνα : Λανθασμένη απαντήση. Χαρακτηριστικός είναι ο διάλογος που ακολουθεί με έναν από τους μαθητές που δυσκολεύτηκε να απαντήσει (εικόνα ): Στιχομυθία 4. Απόδοση ίδιας ποσότητας σε χωρισμένα σχήματα Ε4 : Είπαμε να βάψεις ½ σε κάθε τούρτα σοκολάτα και ¼ σε κάθε τούρτα φράουλα και ¼ βανίλια. Έβαψες μίση τούρτα σοκολάτα και μισή φράουλα. Είναι τα κλάσματα ½ και ¼ ισοδύναμα; Υ4: Ναι. Ε: Και ποιο μέρος της τούρτας θα είναι βανίλια; Υ4: Δεν ξέρω. Σελίδα 53

54 Για τα τετράγωνα σχήματα το σκηνικό είναι λιγάκι διαφορετικό, αφού λιγότεροι μαθητές κατόρθωσαν να επιλύσουν σωστά τη δραστηριότητα (πίνακας 2.4). Πίνακας 2.4 Score 3_2 Frequency Percent Valid Percent Cumulative Percent Valid ,8 23,8 23, ,8 23,8 47, ,4 52,4 100,0 Total ,0 100,0 Πιο συγκεκριμένα το 52,4% (11 μαθητές) απάντησε σωστά (εικόνα ), το 23,8% (5 μαθητές) απάντησε εν μέρει σωστά, αφού έκανε λάθος μόνο στα τετράγωνα που ήταν χωρισμένα σε 12 και 20 κομμάτια (εικόνα ) και το υπόλοιπο 23,8% (5 μαθητές) απάντησε λάθος, αφού οι 3 έβαψαν κάθε φορά 1 κομμάτι με κάθε γεύση (1/2, 1,/4, 1/8, 1/12, 1/16, 1/20) (εικόνα ) και οι άλλοι 2 χώρισαν την τούρτα σε τρεις γεύσεις, τυχαία και χωρίς κάποια λογική εξήγηση (εικόνα ). Εικόνα : Σωστή απάντηση. Σελίδα 54

55 Εικόνα : Λάθος στα 12 και 20 κομμάτια Ακολουθεί ο διάλογος με το μαθητή που έδωσε τις απαντήσεις της εικόνας Στιχομυθία 5: Ε: Ονομάτισε τα ισοδύναμα κλάσματα που προκύπτουν για τη φράουλα. Υ5: 1/4=2/8=2/12=4/16=2/20 Ε: Και για τη βανίλια; Υ5: 1/4=2/8=4/12=4/16=8/20 Ε: Είπαμε πριν ότι η βανίλια και η φράουλα θα πρέπει να πιάνουν το ¼ της κάθε τούρτας. Οπότε θα πρέπει σε κάθε τούρτα η βανίλια με τη φράουλα να είναι σε ίδια ποσότητα, έτσι; Υ5:Ναι. Ε: Στις τούρτες με τα 12 και 20 κομμάτια έχουμε ίδια κομμάτια βανίλιας και φράουλας; Υ5: Όχι, μάλλον έχω κάνει λάθος. Όμως δεν ξέρω πώς αλλιώς να το κάνω. Σελίδα 55

56 Εικόνα : Λάθος έβαφαν 1 κομμάτι κάθε φορά Χαρακτηριστικός ο διάλογος που ακολουθεί με τον μαθητή του οποίου οι απαντήσεις φαίνονται στη εικόνα : Στιχομυθία 6: Ε: Έβαψες ένα κομμάτι κάθε φορά για το ½ και το ¼ της κάθε τούρτας. Υ6: Ναι. Ε: Δηλαδή τα κλάσματα ½ και ¼ είναι ισοδύναμα; Υ6: Εεεε Μάλλον. Ε: Και η υπόλοιπη τούρτα τι γεύση θα έχει; Υ6: Μμμμ Δεν ξέρω. Σελίδα 56

57 Εικόνα : Λάθος απάντηση Σε αυτό το σημείο αξίζει να σημειώσουμε ότι οι μαθητές, όπως και στη Γ τάξη, τα κατάφεραν αρκετά καλύτερα στην κατανομή γεύσεων στις κυκλικές τούρτες (76,2%) παρά σε αυτή στις τετράγωνες τούρτες (52,4%), γεγονός που ενισχύει την πεποίθησή μας ότι οι μαθητές είναι περισσότερο εξοικειωμένοι στο χωρισμό κυκλικών παρά τετράγωνων σχήματων. Δραστηριότητα 4: Στο Α ερώτημα της δραστηριότητας (πίνακας 2.5) το 90,5% (19 μαθητές) απάντησε σωστά, το 4,8% (1 μαθητής) χρωμάτισε σωστά το μέρος της πίτσας που πρέπει να φάει η Δανάη, όμως ονομάτισε λάθος το κλάσμα που προέκυψε και το 4,7% (1 μαθητής) απάντησε λάθος (εικόνα ). Σελίδα 57

58 Πίνακας 2.5 Score_4_1 Frequency Percent Valid Percent Cumulative Percent Valid 1 1 4,8 4,8 4, ,8 4,8 9, ,5 90,5 100,0 Total ,0 100,0. Σελίδα 58

59 Εικόνα : Απαντήσεις στο Α ερώτημα της 4 ης δραστηριότητας Στο Β ερώτημα (πίνακας 2.6) το 95,2% (20 μαθητές) απάντησε σωστά και το 4,8% (1 μαθητής) λάθος (εικόνα ). Πίνακας 2.6 Score_4_2 Frequency Percent Valid Percent Cumulative Percent Valid 1 1 4,8 4,8 4, ,2 95,2 100,0 Total ,0 100,0 Σελίδα 59

60 Εικόνα : Απαντήσεις στο Β ερώτημα της 4 ης δραστηριότητας Δραστηριότητα 5: Στο α μέρος, το 100% των μαθητών απάντησε σωστά, ενώ στο β (πίνακας 2.7), το 66,7% (14 μαθητές) απάντησε σωστά (εικόνα ), το 19% (4 μαθητές), παρόλο που φαινόταν από τις ισότητες της δραστηριότητας ότι τα ισοδύναμα κλάσματα για κάθε περίπτωση ήταν 3, δεν τα αναγνώρισε όλα και απάντησε εν μέρει σωστά (εικόνα ) και το 14,3% (3 μαθητές) λανθασμένα (εικόνα ). Πίνακας 2.7 Score_5_2 Frequency Percent Valid Percent Cumulative Percent Valid ,3 14,3 14, ,0 19,0 33, ,7 66,7 100,0 Total ,0 100,0 Σελίδα 60

61 Εικόνα : Σωστή απάντηση Εικόνα : Εν μέρει σωστή απάντηση Σελίδα 61

62 Εικόνα : Λανθασμένη απάντηση Σελίδα 62

63 Δραστηριότητα 6: Στα υποερώτηματα Α1 και Α2 (πίνακες 2.8 και 2.9), που αφορούν στο σχηματισμό ισοδύναμου κλάσματος με μεγαλύτερους όρους από το αρχικό, απαντά σωστά το 57,1% (12 μαθητές) που σημαίνει ότι οι μαθητές που δημιούργησαν σωστά το ισοδύναμο του κλάσματος 3/5 ήξεραν τον τρόπο να το κάνουν και δεν ήταν κάτι που απάντησαν στην τύχη. Επίσης, από τους 8 μαθητές (38,1%) που απάντησαν λάθος στο υποερώτημα Α1 οι 7 έδωσαν λανθασμένη απάντηση και στο υποερώτημα Α2. Τέλος, ένας μαθητής δε δίνει κάποια απάντηση στα Α1 και Α2. Πίνακας 2.8 Score_6_1 Frequency Percent Valid Percent Cumulative Percent Valid 0 1 4,8 4,8 4, ,1 38,1 42, ,1 57,1 100,0 Total ,0 100,0 Πίνακας 2.9 Score_6_2 Frequency Percent Valid Percent Cumulative Percent Valid 0 2 9,5 9,5 9, ,3 33,3 42, ,1 57,1 100,0 Total ,0 100,0 Οι παρακάτω διάλογοι δείχνουν τον λάθος τρόπο σκέψης διάφορων υποκειμένων στη δημιουργία ισοδύναμου κλάσματος με μικρότερους του αρχικού όρους. Στιχομυθία 7: Δημιουργία ισοδύναμου κλάσματος (εικόνα ). Υ7: Το κλάσμα 3/5 είναι ίσο με το κλάσμα 9/10 Ε: Πώς το βρήκες; Υ7: Χωρίς το κουτάκι που προεξέχει τα κουτάκια είναι 9και όλα μαζί είναι 10. Σελίδα 63

64 Εικόνα Στιχομυθία 8: Δημιουργία ισοδύναμου κλάσματος (εικόνα ). Υ8: Το κλάσμα 3/5 είναι ίσο με το κλάσμα 5/10 Ε: Πώς το βρήκες; Υ8: Έβαλα 10 στον παρονομαστή επειδή όλα τα κουτάκια είναι 10. Ε: Και το 5 στον αριθμητή πώς σκέφτηκες για να το βάλεις; Υ8: Επειδή είναι παρονομαστής στο πρώτο κλάσμα. Εικόνα Στιχομυθία 9: Δημιουργία ισοδύναμου κλάσματος (εικόνα ). Υ9: Το κλάσμα 3/5 είναι ίσο με το κλάσμα 5/10 Ε: Πώς το βρήκες; Υ9: Έβαλα 10 στον παρονομαστή επειδή όλα τα κουτάκια είναι 10 και 5 στον αριθμητή επειδή το 5 είναι το μισό του10. Σελίδα 64

65 Εικόνα Στιχομυθία 10: Δημιουργία ισοδύναμου κλάσματος (εικόνα ). Υ10: Το κλάσμα 3/5 είναι ίσο με το κλάσμα 4/6 Ε: Πώς το βρήκες; Υ10: Πρόσθεσα μία μονάδα στον αριθμητή και μία στον παρονομαστή. Εικόνα Παρακάτω ακολουθεί διάλογος με υποκείμενο που απάντησε σωστά στα ερωτήματα Α1 και Α2 της δραστηριότητας. Στιχομυθία 11: Δημιουργία ισοδύναμου κλάσματος (εικόνα ). Υ11: Το κλάσμα 3/5 είναι ίσο με το κλάσμα 6/10. Ε: Πώς το βρήκες; Υ11: Σκέφτηκα ότι επειδή όλα τα κουτάκια είναι 10 θέλω ένα ισοδύναμο με παρονομαστή τον αριθμό 10, που είναι το διπλάσιο του 5. Έτσι, αφού διπλασίασα τον παρονομαστή του πρώτου κλάσματος πρέπει να διπλασιάσω και τον αριθμητή του. Το διπλάσιο του 3 είναι το 6. Σελίδα 65

66 Εικόνα Στο υποερώτημα Β1 το 100% (21 μαθητές) απάντησε ορθά. Τέλος, στο υποερώτημα Β2, που αφορά στη δημιουργία ισοδύναμου κλάσματος με μικρότερους όρους από το αρχικό, έχουμε ακριβώς ίδιο ποσοστό επιτυχίας από τους ίδιους μαθητές με τα ερωτήματα Α1 και Α2 που αφορούν σε παρόμοιο ζήτημα. Έτσι, το 57,1% (12 μαθητές) απάντησε σωστά, το 23,8% (5μαθητές) λανθασμένα, 1 μαθητής έδωσε τυχαία σωστό ισοδύναμο, αλλά με λάθος στρατηγική και το 14,3% (3 μαθητές) δεν έδωσαν κάποια απάντηση (Υ1: Δεν μπορώ να το κάνω, Υ2: Δεν ξέρω πώς να το βρω, Υ3: Όχι, δεν μπορώ να βρω). Όλοι οι μαθητές που σχημάτισαν ισοδύναμα εφάρμοσαν σωστή στρατηγική που έχουν διδαχθεί στο μάθημα των μαθηματικών τους στο σχολείο. Πίνακας 2.10 Score_6_4 Frequency Percent Valid Percent Cumulative Percent Valid ,3 14,3 14, ,8 23,8 38, ,8 4,8 42, ,1 57,1 100,0 Total ,0 100,0 Ο τρόπος που απάντησαν οι μαθητές στα ερωτήματα Β1 και Β2 της 6 ης δραστηριότητας αποτυπώνεται στους ακόλουθους διαλόγους και εικόνες. Εδώ αξίζει να σημειωθεί ότι οι λάθος εξηγήσεις που δίνουν οι μαθητές για τις απαντήσεις τους στα ερωτήματα Α2 και Β2 της δραστηριότητας 6 δεν μπορούν να ομαδοποιηθούν. Σελίδα 66

67 Στιχομυθία 12: Δημιουργία ισοδύναμου κλάσματος (εικόνα ). Υ12: Το κλάσμα 3/9 είναι ίσο με το κλάσμα 2/8 Ε: Πώς το βρήκες; Υ12: Σκέφτηκα ότι αφού η διαφορά αριθμητή και παρονομαστή είναι 6 (9-3=6), πρέπει να βρω ένα κλάσμα με μικρότερους αριθμούς που να έχουν διαφορά 6 (8-2=6). Εικόνα Στιχομυθία 13: Δημιουργία ισοδύναμου κλάσματος (εικόνα ). Υ13: Το κλάσμα 3/9 είναι ίσο με το κλάσμα 2/7. Ε: Πώς το βρήκες; Υ13: Στον αριθμητή έβαλα 2, αφού προεξέχουν 2 κουτάκια στο διάγραμμα και στον παρονομαστή έβαλα 7, που είναι τα υπόλοιπα κουτάκια. Εικόνα Στιχομυθία 14: Δημιουργία ισοδύναμου κλάσματος (εικόνα ). Υ14: Το κλάσμα 3/9 είναι ίσο με το κλάσμα 1/1. Ε: Πώς το βρήκες; Υ14: Διαίρεσα τον αριθμητή με το 3 και τον παρονομαστή με το 9. Σελίδα 67

68 Εικόνα Παρακάτω ακολουθεί διάλογος με υποκείμενο που απάντησε σωστά στα ερωτήματα Β1 και Β2 της δραστηριότητας. Στιχομυθία 15: Δημιουργία ισοδύναμου κλάσματος (εικόνα ). Υ15: Το κλάσμα 3/9 είναι ίσο με το κλάσμα 1/3. Ε: Πώς το βρήκες; Υ15: Διαίρεσα τον αριθμητή και παρονομαστή με τον αριθμό 3. Εικόνα Κάνοντας μια συνολική αποτίμηση των απαντήσεων των μαθητών της ΣΤ δημοτικού, διαπιστώνουμε ότι 7 μαθητές (33,3%) απάντησαν σωστά σε ολόκληρο το διαγώνισμα, ενώ δεν υπήρξε κάποιος μαθητής που να απαντήσει λάθος σε όλες τις δραστηριότητες. Επιπρόσθετα, οι μαθητές πέτυχαν καλύτερες επιδόσεις στο πρώτο μέρος της δραστηριότητας 5 και στο υποερώτημα Β1 της δραστηριότητας 6, με ποσοστό επιτυχίας 100%, όπου και στις δύο περιπτώσεις κλήθηκαν να ονοματίσουν το κλάσμα που παρίστανε κάθε σχήμα και διάγραμμα. Αμέσως μετά, πολύ καλές επιδόσεις πέτυχαν στη δραστηριότητα 4, με ποσοστά επιτυχίας 95,2% στο Β ερώτημα και 90,5% στο Α, όπου οι μαθητές κλήθηκαν να αποδώσουν την ίδια ποσότητα πίτσας με δύο διαφορετικά αλλά ισοδύναμα κλάσματα. Ακολουθεί η επίδοση των μαθητών στη δραστηριότητα 3 με ποσοστό επιτυχίας 76,2% για τη σύσταση κυκλικής τούρτας με τρεις γεύσεις. Ωστόσο, στη σύσταση τετράγωνης τούρτας τα υποκείμενα δεν είχαν την ίδια επιτυχία, αφού το 52,4% απάντησε σωστά. Τα υποκείμενα είχαν το ίδιο ποσοστό επιτυχίας (76,2%) στη δραστηριότητα Σελίδα 68

69 1 ονομάτιση κλασματικής μονάδας. Στη συνέχεια, στο β μέρος της δραστηριότητας 5 αναγνώριση ισοδύναμων κλασμάτων, το ποσοστό επιτυχίας ήταν 66,7%. Έπειτα, στα ερωτήματα Α1, Α2 και Β2 της 6 ης δραστηριότητας, το 57,2% των μαθητών κατάφερε να δημιουργήσει ισοδύναμα κλάσματα με μικρότερους και μεγαλύτερους όρους από το αρχικό κλάσμα. Μέτριες ήταν οι επιδόσεις των μαθητών στο χωρισμό σχημάτων σε ίσα μέρη (ισοδιαμέριση), αφού το 47,6% μπόρεσε να χωρίσει σωστά τα κυκλικά και τα τετράγωνα σχήματα. Τέταρτο κεφάλαιο Σύγκριση αποτελεσμάτων Γ και ΣΤ τάξεων Στο κεφάλαιο αυτό θα επιχειρήσουμε να συγκρίνουμε τις επιδόσεις των υποκειμένων της Γ και της ΣΤ τάξης σε κάθε μια από τις δραστηριότητες που τους δόθηκαν για επίλυση και θα προσπαθήσουμε να ερμηνεύσουμε τις ομοιότητες ή τις διαφορές που θα προκύψουν από τη σύγκριση αυτή. Στα γραφήματα που ακολουθούν οι ενδείξεις 1 και 2 στον οριζόντιο άξονα αντιστοιχούν στις τάξεις Γ και Στ αντίστοιχα. Στην 1 η δραστηριότητα που αφορούσε στην εύρεση της κλασματικής μονάδας οι επιδόσεις των μαθητών των δύο τάξεων διαφοροποιούνται στατιστικά (x 2 = 0,024). Έτσι, σύμφωνα με το Γράφημα 1, το 57,9% των μαθητών της Γ δημοτικού και το 76,2% των μαθητών της ΣΤ δημοτικού απάντησαν σωστά, ενώ δεν έδωσε κάποια απάντηση το 42,1% των υποκειμένων της Γ τάξης σε σχέση με το 9,5% αυτών της ΣΤ τάξης. Σύμφωνα με το Αναλυτικό πρόγραμμα, η έννοια της κλασματικής μονάδας μελετάται σε ξεχωριστό κεφάλαιο στην Γ τάξη του δημοτικού, αλλά όχι και στην ΣΤ τάξη, αφού θεωρείται δεδομένη γνώση. Παρόλα, αυτά οι επιδόσεις των μαθητών της ΣΤ είναι καλύτερες, κάτι που μάλλον οφείλεται στο ηλικιακό επίπεδο των μαθητών, αλλά και σε αυτά που διδάσκονται οι μαθητές με βάση το αναλυτικό πρόγραμμα. Γράφημα 1 Σελίδα 69

70 Η 2 η δραστηριότητα αφορούσε στο χωρισμό σχημάτων σε διαφορετικό πλήθος μερών. Για τα κυκλικά σχήματα έχουμε ένα μικρό προβάδισμα, μη στατιστικά σημαντικό (x 2 = 0,491), των μαθητών της ΣΤ τάξης με ποσοστό επιτυχίας 47,6% έναντι των μαθητών της Γ τάξης με ποσοστό επιτυχίας 36,8%. Και στις δύο τάξεις υπήρχαν μαθητές που χώρισαν τα σχήματα στο ζητούμενο κάθε φορά πλήθος μερών, χωρίς όμως να ακολουθούν τη λογική της ισοδιαμέρισης, με ποσοστά 63,2% και 52,4% για τη Γ και τη ΣΤ τάξη αντίστοιχα (Γράφημα 2). Γράφημα 2 Αξίζει να σημειωθεί ότι το 100% των μαθητών και των δύο τάξεων χώρισαν σωστά σε 2 ίσα μέρη τους κύκλους. Οι μαθητές της ΣΤ τα κατάφεραν καλύτερα στο χωρισμό 4,8,12 και 16 μερών (πίνακας 3). Βέβαια, καμία από τις παραπάνω διαφορές δεν είναι στατιστικά σημαντική (x 2 = 0,167, x 2 = 0,167, x 2 = 0,826, x 2 = 0,138, για τα 4, 8, 12 και16 ίσα μέρη αντίστοιχα). Χωρισμός 2 ίσα μέρη 4 ίσα μέρη 8 ίσα μέρη 12 ίσα μέρη 16 ίσα μέρη κυκλικού σχήματος σε: Μαθητές Γ 100% 84,2% 84,2% 42,1%% 57,9% Μαθητές ΣΤ 100% 100% 100% 47,6% 76,2% Πίνακας 3: Ποσοστά σωστών απαντήσεων Για τα τετράγωνα σχήματα, μη στατιστικά σημαντική διαφορά (x 2 = 0,491), με καλύτερη επίδοση για τους μαθητές της ΣΤ τάξης με το 47,6% να χωρίζει σωστά όλα τα σχήματα σε σχέση με το 36,8% της Γ τάξης. Περίπου το ίδιο ποσοστό μαθητών και από τις δύο τάξεις 63,2% των μαθητών της Γ τάξης και 52,4% των μαθητών της ΣΤ τάξης έδωσε περίπου σωστές απαντήσεις, αφού κατάφερε να χωρίσει σωστά μόνο κάποια από τα τετράγωνα σχήματα γιατί εφάρμοσε τη μέθοδο χωρισμού του κύκλου και έπεσε σε σφάλματα (Γράφημα 3). Σελίδα 70

71 Γράφημα 3 Συγκρίνοντας χωριστά τις επιδόσεις τους στο χωρισμό διαφορετικών μερών (πίνακας 4), διαπιστώνουμε ότι οι μαθητές της ΣΤ τάξης δυσκολεύτηκαν μόνο στον χωρισμό σε 12 και 16 ίσα μέρη, ενώ οι μαθητές της Γ τάξης στο χωρισμό 8, 12 και 16 μερών. Στο χωρισμό σε ίσα μέρη υπερτερούν οι μαθητές της ΣΤ τάξης, με όχι στατιστικά σημαντικές διαφορές (x 2 = 0,312, x 2 = 0,164, x 2 = 0,685, για τα 8, 12 και16 ίσα μέρη αντίστοιχα). Χωρισμός 2 ίσα μέρη 4 ίσα μέρη 8 ίσα μέρη 12 ίσα μέρη 16 ίσα μέρη τετράγωνου σχήματος σε: Μαθητές Γ 100% 100% 89,5% 36,8% 47,4% Μαθητές ΣΤ 100% 100% 100% 47,6% 47,6% Πίνακας 4: Ποσοστά σωστών απαντήσεων Στην 3 η δραστηριότητα ζητήθηκε από τους μαθητές να χρωματίσουν κυκλικά και τετράγωνα σχήματα τούρτες, τα οποία ήταν χωρισμένα σε διαφορετικό πλήθος μερών, ώστε το ½ της κάθε τούρτας να είναι σοκολάτα, το ¼ φράουλα και το υπόλοιπο ¼ βανίλια και να αναγνωρίσουν τα ισοδύναμα κλάσματα που προέκυπταν. Και στις δύο τάξεις οι μαθητές που χρωμάτισαν σωστά τις τούρτες αναγνώρισαν τα ισοδύναμα κλάσματα που προέκυψαν. Έτσι, στις κυκλικές τούρτες, περισσότεροι μαθητές της ΣΤ τάξης απάντησαν σωστά σε σχέση με τους μαθητές της Γ τάξης (Γράφημα 4) με ποσοστά σωστών απαντήσεων 76,2% και 52,6% αντίστοιχα, διαφορά μη στατιστικά σημαντική (x 2 = 0,119). Σελίδα 71

72 Γράφημα 4 Για τις τετράγωνες τούρτες, οι απαντήσεις των υποκειμένων πάλι δε διαφοροποιούνται (x 2 = 0,259), με τους μαθητές της ΣΤ τάξης να έχουν καλύτερη επίδοση με ποσοστό σωστών απαντήσεων 52,4% σε σχέση με το 31,6% των μαθητών της Γ τάξης (Γράφημα 5). Γράφημα 5 Και στις δύο τάξεις τα λάθη ομαδοποιούνται με παρόμοιο τρόπο, αφού αφορούσαν στις τούρτες με τα 12 και 20 κομμάτια. Αυτό, πιθανώς, οφείλεται στο γεγονός ότι οι περισσότεροι μαθητές χώριζαν εγκάρσια ώστε να «κόψουν» τις τούρτες στη μέση, τακτική βολική για τις τούρτες με τα 2, 4, 8 και 16 κομμάτια, όχι όμως και για τις τούρτες με τα 12 και 20 κομμάτια (εικόνα 3.3.1). Σελίδα 72

73 Εικόνα Τέλος, και στις δύο τάξεις οι μαθητές κατάφεραν καλύτερα αποτελέσματα στις κυκλικές παρά στις τετράγωνες τούρτες. Στην 4 η δραστηριότητα οι μαθητές έπρεπε να χρωματίσουν σε μια δεύτερη πίτσα το ίδιο μέρος που ήταν χρωματισμένο σε μια πρώτη ίδια πίτσα, να αποδώσουν δηλαδή την ίδια ποσότητα σε δύο διαφορετικά χωρισμένα σχήματα πίτσες. Οι μαθητές της ΣΤ σημείωσαν αρκετά καλύτερες επιδόσεις, οι οποίες όμως δε διαφοροποιούνται στατιστικώς (x 2 = 0,057 και x 2 = 0,058), αφού στο Α ερώτημα (Γράφημα 6) το 90,5% και στο Β ερώτημα (Γράφημα 7) το 95,2% απάντησε σωστά σε σχέση με τους μαθητές της Γ τάξης, που στα δύο ερωτήματα το 63,2% και το 68,4% αντίστοιχα, απάντησε σωστά. Γράφημα 6 Γράφημα 7 Σελίδα 73

74 Η 5 η δραστηριότητα ζητούσε από τους μαθητές να ονοματίσουν με κλάσμα τι μέρος σοκολάτας έφαγε καθένα από τα 6 παιδιά στο πάρτι και να εντοπίσουν ποια παιδιά έφαγαν την ίδια ποσότητα. Καλύτερες επιδόσεις, μη στατιστικά σημαντικές (x 2 = 0,130 και x 2 = 0,138), έχουν οι μαθητές της ΣΤ τάξης και στα δύο μέρη της δραστηριότητας. Στο πρώτο, απάντησε σωστά το 100% των μαθητών της ΣΤ και το 84,2% των μαθητών της Γ (Γράφημα 8). Στο δεύτερο μέρος, το 66,7% της ΣΤ και 36,8% της Γ απάντησε σωστά (Γράφημα 9). Γράφημα 8 Γράφημα 9 Η 6 η και τελευταία δραστηριότητα, στα ερωτήματα Α1 και Α2 ζητούσε από τους μαθητές να σχηματίσουν ισοδύναμο κλάσμα με μεγαλύτερους από το αρχικό κλάσμα όρους και στα Β1 και Β2 ερωτήματα να ονοματίσουν το κλάσμα που δείχνει ένα διάγραμμα και να σχηματίσουν ένα ισοδύναμο με μικρότερους όρους αντίστοιχα. Έτσι, στα Α1 και Α2 ερωτήματα (Γραφήματα 10 και 11), οι απαντήσεις των μαθητών των δύο τάξεων δε διαφοροποιούνται (x 2 = 0,138 και x 2 = 0,192 αντίστοιχα), αφού και στα δύο ερωτήματα το ποσοστό σωστών απαντήσεων είναι 36,8% και 57,1% για τη Γ και τη ΣΤ τάξη αντίστοιχα. Γράφημα 10 Γράφημα 11 Σελίδα 74

75 Στο Β1 ερώτημα (Γράφημα 12) το 100% των μαθητών της ΣΤ και το 84,2% της Γ απαντά σωστά, διαφορά μη στατιστικά σημαντική (x 2 = 0,167). Γράφημα 12 Οι απαντήσεις των μαθητών των δύο τάξεων διαφοροποιούνται στο Β2 ερώτημα (x 2 = 0,001), με τους μαθητές της ΣΤ να τα καταφέρνουν πολύ καλύτερα (Γράφημα 13). Πιο συγκεκριμένα, το 57,1% των μαθητών της ΣΤ τάξης απάντησε σωστά, ενώ μόνο το 5,3% των μαθητών της Γ τάξης έδωσε σωστή απάντηση. Αυτό οφείλεται, πιθανώς, στο γεγονός ότι οι μαθητές της ΣΤ τάξης έχουν κατακτήσει τ0ν μηχανισμό εύρεσης ισοδύναμων κλασμάτων, αφού, σύμφωνα με το Αναλυτικό Πρόγραμμα, τον διδάσκονται στην τάξη τους, αλλά και στην Ε δημοτικού. Γράφημα 13 Σελίδα 75