ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ 1 ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΑΚΟΛΟΥΘΙΕΣ ΑΡΙΘΜΩΝ EΞΙΣΩΣΕΙΣ...47 ΠΡΟΛΟΓΟΣ... 9

Transcript

1

2

3 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΠΡΟΛΟΓΟΣ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Βασικές θεωρητικές γνώσεις Λυμένα προβλήματα Προβλήματα προς λύση Απαντήσεις προβλημάτων Πραγματικοί αριθμοί... 0 ΑΚΟΛΟΥΘΙΕΣ ΑΡΙΘΜΩΝ Βασικές θεωρητικές γνώσεις Λυμένα προβλήματα Προβλήματα προς λύση Απαντήσεις προβλημάτων Ακoλουθίες αριθμών EΞΙΣΩΣΕΙΣ Βασικές θεωρητικές γνώσεις Λυμένα προβλήματα Προβλήματα προς λύση Απαντήσεις προβλημάτων Εξισώσεις

4 6 Μαθηματικές γνώσεις και δεξιότητες ΑΣΕΠ 4 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ Βασικές θεωρητικές γνώσεις Λυμένα προβλήματα Προβλήματα προς λύση Απαντήσεις προβλημάτων Συστήματα εξισώσεων ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Βασικές θεωρητικές γνώσεις Λυμένα προβλήματα Προβλήματα προς λύση Απαντήσεις προβλημάτων Συναρτήσεις ΜΕΡΙΣΜΟΣ Βασικές θεωρητικές γνώσεις Λυμένα προβλήματα Προβλήματα προς λύση Απαντήσεις προβλημάτων Μερισμός σε μέρη ανάλογα ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΚΑΙ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ Βασικές θεωρητικές γνώσεις Λυμένα προβλήματα Προβλήματα προς λύση Απαντήσεις προβλημάτων Στατιστική και Πιθανότητες ΠΡΟΒΛHΜΑΤΑ ΤΕΣΣAΡΩΝ ΠΡAΞΕΩΝ Βασικές θεωρητικές γνώσεις Λυμένα προβλήματα Προβλήματα προς λύση Απαντήσεις προβλημάτων Προβλήματα 4 πράξεων ΠΟΣΟΣΤΑ Βασικές γνώσεις Λυμένα προβλήματα Προβλήματα προς λύση Απαντήσεις Προβλημάτων Ποσοστά... 11

5 Περιεχόμενα 7 10 ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Βασικές θεωρητικές γνώσεις Λυμένα προβλήματα Προβλήματα προς λύση Απαντήσεις προβλημάτων Γεωμετρία... 7

6

7 1 ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ 1.1 Βασικές θεωρητικές γνώσεις 1. Φυσικοί και ακέραιοι αριθμοί Φυσικοί αριθμοί είναι οι 0, 1,,, 4, 5, και συμβολίζονται με το γράμμα N, ενώ ακέραιοι αριθμοί είναι οι και συμβολίζονται με το γράμμα Z., -, -, -1, 0, 1,,, Οι ακέραιοι αριθμοί χωρίζονται σε άρτιους (ζυγοί) και περιττούς (μονοί). Άρτιοι είναι οι αριθμοί που διαιρούνται ακριβώς με το, δηλαδή οι αριθμοί, -4, -, 0,, 4, 6, 8, και περιττοί είναι οι αριθμοί που δεν διαιρούνται ακριβώς με το, δηλαδή οι αριθμοί, -5, -, -1, 1,, 5, 7, 9,. Δεκαδικοί αριθμοί Αριθμοί όπως οι,14 και 1,5 λέγονται δεκαδικοί αριθμοί. Οι δεκαδικοί αριθμοί αποτελούνται από το ακέραιο και το δεκαδικό μέρος που χωρίζονται από την υποδιαστολή. Για παράδειγμα ο δεκαδικός αριθμός 4,578 έχει α- κέραιο μέρος το 4 και δεκαδικό μέρος το

8 1 Μαθηματικές γνώσεις και δεξιότητες ΑΣΕΠ Η τάξη κάθε ψηφίου στον δεκαδικό αριθμό 18.0,1584 φαίνεται στον παρακάτω πίνακα: 1 8 0, Δεκάδες Χιλιάδες Χιλιάδες Εκατοντάδες Δεκάδες Μονάδες Δέκατα Εκατοστά Χιλιοστά Δεκάκις Χιλιοστά Εκατοντάκις Χιλιοστά Στον αριθμό 1 = 0,... το ψηφίο στο δεκαδικό μέρος επαναλαμβάνεται άπειρες φορές. Τέτοιοι αριθμοί ονομάζονται περιοδικοί δεκαδικοί αριθμοί και συμβολικά. Κλάσματα μπορούμε να γράψουμε 1 0,... 0,. = = Πρόσθεση και αφαίρεση κλασμάτων Για να προσθέσουμε ή να αφαιρέσουμε δυο ή περισσότερα ομώνυμα κλάσματα (δηλαδή κλάσματα με κοινό παρονομαστή) τότε προσθέτουμε ή αφαιρούμε τους αριθμητές χωρίς να αλλάξουμε τον παρονομαστή = = και = = Για να προσθέσουμε ή να αφαιρέσουμε δυο ή περισσότερα ετερώνυμα κλάσματα (δηλαδή κλάσματα με διαφορετικό παρονομαστή) τότε τα μετατρέπουμε σε ομώνυμα (βρίσκοντας το Ε.Κ.Π. των παρονομαστών) και κατόπιν εκτελούμε την πράξη = + = + = και 4 = = = = Πολλαπλασιασμός κλασμάτων Το γινόμενο δυο ή περισσότερων κλασμάτων (ετερώνυμων ή ομώνυμων) είναι ένα κλάσμα με αριθμητή το γινόμενο των αριθμητών και παρονομαστή το γινόμενο των παρονομαστών.

9 1 Πραγματικοί αριθμοί = = = και 5 = = = Διαίρεση απλών κλασμάτων Για να διαιρέσουμε δυο κλάσματα πολλαπλασιάζουμε το πρώτο κλάσμα με το α- ντίστροφο του δεύτερου κλάσματος : = = = και : = : = = Η διαίρεση δυο κλασμάτων συχνά εμφανίζεται με τη μορφή σύνθετου κλάσματος. Ένα τέτοιο κλάσμα μπορεί να γραφτεί ως απλό με αριθμητή το γινόμενο των ά- κρων όρων και παρονομαστή το γινόμενο των μέσων όρων : = = = Μικτοί αριθμοί Το άθροισμα ενός ακεραίου με ένα κλάσμα μπορεί να γραφτεί με τη μορφή μικτού αριθμού = 7 Για να μετατρέψουμε έναν μικτό αριθμό σε κλάσμα πολλαπλασιάζουμε τον ακέραιο αριθμό με τον παρονομαστή του κλάσματος και στο γινόμενο προσθέτουμε τον αριθμητή του κλάσματος. Το άθροισμα αυτό είναι ο αριθμητής του κλάσματος και ο παρονομαστής παραμένει ίδιος. Για παράδειγμα έχουμε: = 7 = = Μετατροπή κλάσματος σε δεκαδικό αριθμό Η μετατροπή ενός κλάσματος σε δεκαδικό αριθμό πραγματοποιείται με τη διαίρεση του αριθμητή δια τον παρονομαστή του.

10 14 Μαθηματικές γνώσεις και δεξιότητες ΑΣΕΠ :4 0,75 4 = = και 15 15:1 1,5 1 = = Κλάσματα με παρονομαστές 10, 100, 1000 κ.λ.π. (δεκαδικά κλάσματα) μπορούν να μετατραπούν σε δεκαδικούς αριθμούς γράφοντας τον αριθμητή με τόσα δεκαδικά ψηφία όσα είναι τα μηδενικά του παρονομαστή. 1 1, 10 = και 5 0, = Ένας δεκαδικός αριθμός μετατρέπεται σε δεκαδικό κλάσμα όπως παρακάτω: 5,5 = και ,04 = Ρητοί και άρρητοι αριθμοί Ρητοί αριθμοί είναι αυτοί που μπορούν να γραφούν σαν πηλίκο δυο ακεραίων α- ριθμών όπως οι αριθμοί 1, 5 6, κ.λ.π. και συμβολίζονται με το γράμμα Q. Επομένως όλοι οι ακέραιοι είναι ρητοί (διότι μπορούν να γραφούν σαν κλάσματα με παρονομαστή τη μονάδα αφού α = α 1 ) όπως και οι δεκαδικοί αριθμοί που δεν έχουν άπειρα δεκαδικά ψηφία, μαζί με τους περιοδικούς δεκαδικούς είναι επίσης ρητοί. Άρρητοι αριθμοί είναι οι δεκαδικοί με άπειρα δεκαδικά ψηφία (εκτός από τους περιοδικούς). Γενικά, οι ρίζες των αριθμών που δεν είναι τετράγωνα ακέραιων, όπως οι, κ.λ.π. είναι άρρητοι αριθμοί, ενώ ο 4 είναι ρητός διότι 4 =. Το σύνολο των ρητών και των άρρητων αριθμών ονομάζονται πραγματικοί αριθμοί και συμβολίζονται με το γράμμα R. Αντίθετοι αριθμοί ονομάζονται δυο αριθμοί που έχουν άθροισμα μηδέν. Για παράδειγμα, ο αντίθετος του είναι ο και του 1 8 είναι ο 1. Ο μοναδικός αριθμός 8 που έχει αντίθετο τον εαυτό του είναι το 0. Αντίστροφοι αριθμοί ονομάζονται οι αριθμοί που έχουν γινόμενο ίσο με τη μονάδα. Για παράδειγμα ο αντίστροφος του είναι ο και του 5 είναι ο 1. Ο μοναδικός αριθμός που δεν έχει αντίστροφο είναι το 0, ενώ οι αριθμοί 1 και -1 έχουν 5 αντίστροφο τον εαυτό τους.

11 1 Πραγματικοί αριθμοί Στρογγυλοποίηση αριθμών Για να στρογγυλοποιήσουμε έναν αριθμό σε μια τάξη του, ακολουθούμε τους παρακάτω κανόνες: α) Αν το ψηφίο της επόμενης προς τα δεξιά τάξης είναι 0, 1,, ή 4, αφήνουμε τα ψηφία του αριθμού όπως είναι μέχρι και την τάξη που γίνεται η στρογγυλοποίηση και αντικαθιστούμε όλα τα επόμενα ψηφία με μηδενικά. Έστω ότι θέλουμε να στρογγυλοποιήσουμε τον αριθμό.541 στην πλησιέστερη εκατοντάδα. Το ψηφίο των εκατοντάδων είναι το 5 και το επόμενο ψηφίο είναι το 4. Επομένως, η στρογγυλοποίηση γίνεται ως εξής: β) Αν το ψηφίο της επόμενης προς τα δεξιά τάξης είναι 5, 6, 7, 8 ή 9, αυξάνουμε κατά μία μονάδα το ψηφίο της τάξης που γίνεται η στρογγυλοποίηση και αντικαθιστούμε όλα τα επόμενα ψηφία με μηδενικά. Έστω ότι θέλουμε να στρογγυλοποιήσουμε τον αριθμό 9,76 στο πλησιέστερο δέκατο. Το ψηφίο των δέκατων είναι το και το επόμενο ψηφίο είναι το 7. Επομένως, η στρογγυλοποίηση γίνεται ως εξής: 9,76 9,400 ή 9,4 6. Δυνάμεις αριθμών ν ν Δύναμη α ενός αριθμού α ονομάζουμε το γινόμενο α =α α α... α όπου ο α- ριθμός α ονομάζεται βάση της δύναμης και ο ν εκθέτης. ν φορές 1 Επομένως, α =α, α =α α, α =α α α κ.λ.π. = = 9 = = = =

12 16 Μαθηματικές γνώσεις και δεξιότητες ΑΣΕΠ ( ) = ( ) ( ) ( ) = 4 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ),5,5,5,5 15, 65 1,1 = 1,1 1,1 1,1 1,1 = 1, Επίσης ορίζουμε α = 1 και ( 006) 0 = = = ( 4) = = 4 64 ( ) = = = = 5 15 ν 1 α = α ν Οι δυνάμεις που έχουν βάση το 10 ονομάζονται δεκαδικές δυνάμεις οι οποίες υ- πολογίζονται ως εξής: α) Αν ο εκθέτης είναι θετικός αριθμός, τότε τοποθετούμε μετά τη μονάδα τόσα μηδενικά όσα υποδεικνύει ο εκθέτης. 10 = = = β) Αν ο εκθέτης είναι αρνητικός, τότε το αποτέλεσμα είναι ένας δεκαδικός αριθμός που το ακέραιο μέρος είναι μηδέν και το πλήθος των δεκαδικών ψηφίων είναι ίσο με τον εκθέτη της δύναμης. 10 = 0, = 0, = 0,000001

13 1 Πραγματικοί αριθμοί 17 Τέλος, για τον υπολογισμό των δυνάμεων, ισχύουν οι παρακάτω ιδιότητες: iii) iii) x y x+ y α α =α iv) x α x y y =α α iii) x x α β = ( α β ) x α β x x α = β x iv) ( α ) y =α x x y 7. Ρίζες αριθμών Τετραγωνική ρίζα ενός μη αρνητικού αριθμού α ονομάζουμε έναν μη αρνητικό αριθμό που όταν υψωθεί στο τετράγωνο μας δίνει τον αριθμό α. Δηλαδή: 0 = 0 διότι 1= 1 διότι 5 = 5 διότι 0 = 0 1 = 1 5 = 5 ( α ) =α όπου α 0 = 1, Επίσης ορίζονται και ρίζες οποιασδήποτε τάξης (νιοστές ρίζες), όπως οι κυβικές ρίζες. 8 = διότι 4 81 = διότι = 8 4 = 81 Τέλος, για τον υπολογισμό των τετραγωνικών ριζών, ισχύουν οι παρακάτω ιδιότητες: ii) α β = α β ii) α β = α β

14 18 Μαθηματικές γνώσεις και δεξιότητες ΑΣΕΠ 8. Τυποποιημένη μορφή αριθμών Πολύ μεγάλοι αριθμοί μπορούν να γραφούν συντομότερα στη μορφή α 10 ν όπου ν θετικός ακέραιος αριθμός και α πραγματικός αριθμός μεγαλύτερος ή ίσος του 1 και μικρότερος του = 1, = 5,4 10 Αντίστοιχα, πολύ μικροί αριθμοί μπορούν να γραφούν συντομότερα στη μορφή α 10 ν όπου ν θετικός ακέραιος αριθμός και α πραγματικός αριθμός μεγαλύτερος ή ίσος του 1 και μικρότερος του 10. 0, =, , = 1, Ο παραπάνω τρόπος γραφής ονομάζεται τυποποιημένη ή εκθετική μορφή αριθμού και είναι πολύ χρήσιμη για τη σύγκριση δυο ή περισσότερων τέτοιων αριθμών. 9. Διαιρετότητα Διαιρέτες ενός φυσικού αριθμού είναι οι αριθμοί που διαιρούν ακριβώς τον αριθμό αυτόν. Για παράδειγμα οι διαιρέτες του 1 είναι: 1,,, 4, 6, 1. Οι φυσικοί αριθμοί που διαιρούνται μόνο από τον εαυτό τους και τη μονάδα λέγονται πρώτοι, διαφορετικά ονομάζονται σύνθετοι. Για παράδειγμα, οι αριθμοί,, 5, 7, 11, 1 είναι πρώτοι, ενώ οι αριθμοί 4, 6, 8, 9, 10 είναι σύνθετοι. Γενικά ισχύουν οι παρακάτω κανόνες διαιρετότητας: α) Κάθε φυσικός αριθμός διαιρεί τα πολλαπλάσιά του. Για παράδειγμα, ο αριθμός διαιρεί τον 1. β) Κάθε φυσικός αριθμός που διαιρείται από έναν άλλο, είναι πολλαπλάσιός του. Για παράδειγμα, ο αριθμός 48 που είναι πολλαπλάσιος του 6, διαιρείται από αυτόν. γ) Αν ένας αριθμός διαιρεί έναν άλλο, τότε διαιρεί και τα πολλαπλάσιά του. Για παράδειγμα, ο αριθμός 4 διαιρεί τον 1, επομένως θα διαιρεί και το 6 που είναι πολλαπλάσιο του 1.

15 1 Πραγματικοί αριθμοί 19 δ) Αν ένας αριθμός διαιρεί δυο άλλους αριθμούς, τότε διαιρεί και το άθροισμα και τη διαφορά τους. Για παράδειγμα, ο αριθμός 5 διαιρεί το 45 και το 0, επομένως θα διαιρεί και το 45+0=65 και το 45-0=5. Τέλος, μπορούμε να διακρίνουμε αν ένας φυσικός αριθμός διαιρείται με το, το, το 5 ή το 9 σύμφωνα με τα εξής κριτήρια διαιρετότητας: α) Ένας φυσικός αριθμός διαιρείται με το, όταν το τελευταίο του ψηφίο είναι 0,, 4, 6 ή 8. Για παράδειγμα, ο αριθμός 1.65 διαιρείται με το, ενώ ο 1955 δεν διαιρείται. β) Ένας φυσικός αριθμός διαιρείται με το 5, όταν το τελευταίο του ψηφίο είναι 0 ή 5. Για παράδειγμα, ο αριθμός.005 διαιρείται με το 5, ενώ ο.006 δεν διαιρείται. γ) Ένας φυσικός αριθμός διαιρείται με το, όταν το άθροισμα των ψηφίων του διαιρείται με το. Για παράδειγμα, ο αριθμός διαιρείται με το διότι το άθροισμα =4 διαιρείται με το. δ) Ένας φυσικός αριθμός διαιρείται με το 9, όταν το άθροισμα των ψηφίων του διαιρείται με το 9. Για παράδειγμα, ο αριθμός.501 διαιρείται με το 9 διότι το άθροισμα =9 διαιρείται με το Λυμένα προβλήματα 1. Σ ένα ημερολόγιο διαγράφουμε τις ημερομηνίες του μηνός Ιουλίου 004 οι οποίες περιέχουν ένα τουλάχιστον περιττό ψηφίο. Ο αριθμός των ημερών που μένουν είναι: α) 9 β) 10 γ) 1 δ) 15 (Θέμα Εξετάσεων 004) ΛΥΣΗ Η σωστή απάντηση είναι η α, διότι: Ο Ιούλιος έχει 1 ημέρες. Διαγράφοντας τις ημέρες που περιέχουν ένα τουλάχιστον περιττό ψηφίο στον παρακάτω πίνακα, έχουμε:

16 0 Μαθηματικές γνώσεις και δεξιότητες ΑΣΕΠ Επομένως, οι ημερομηνίες που μένουν είναι:, 4, 6, 8, 0,, 4, 6 και 8 που είναι 9 στο πλήθος.. Σε μια λαχειοφόρο αγορά, οι λαχνοί αριθμήθηκαν από το 1 έως το 50. Αν κάποιος αποφασίσει να αγοράσει όλους τους λαχνούς που λήγουν στο ψηφίο και κάθε λαχνός κοστίζει, τότε το συνολικό ποσό των χρημάτων που θα δαπανήσει είναι: α) 46 β) 5 γ) 50 δ) 48 ΛΥΣΗ Η σωστή απάντηση είναι η γ, διότι: Οι λαχνοί που θα αγοράσει είναι οι εξής:, 1,,, 9, 10, 11, 1,, 19, 0, 1,, λαχνοί 10 λαχνοί 5 λαχνοί Επομένως, θα αγοράσει συνολικά 5 λαχνούς και θα πληρώσει 5 =50.. Σ ένα παλιό βιβλίο που οι σελίδες του με άρτια αρίθμηση βρίσκονται στο αριστερό μέρος και οι σελίδες με περιττή αρίθμηση στο δεξιό μέρος, λείπουν ορισμένες συνεχόμενες σελίδες. Η τελευταία σελίδα πριν από το κενό των σελίδων που λείπουν έχει τον αριθμό 6. Η αμέσως επόμενη δεξιά σελίδα έχει τον αριθμό 59. Ο α- ριθμός των φύλλων που λείπουν, σε αυτό το κενό, είναι: α) 10 β) 11 γ) 1 δ) (Θέμα Εξετάσεων 004)

17 1 Πραγματικοί αριθμοί 1 ΛΥΣΗ Η σωστή απάντηση είναι η β, διότι: Κάθε φύλλο έχει σελίδες, οπότε κατά σειρά λείπουν τα φύλλα που αντιστοιχούν στις σελίδες: 7-8, 9-40, 41-4, 4-44, 45-46, 47-48, 49-50, 51-5, 5-54, 55-56, που είναι 11 στο πλήθος. 4. Το άθροισμα των ηλικιών μιας τετραμελούς οικογένειας είναι ίσο με 10 έτη. Αν η ηλικία της μητέρας είναι διπλάσια από την ηλικία της κόρης, η ηλικία του πατέρα είναι κατά 1 έτος μεγαλύτερη από την ηλικία της μητέρας και η ηλικία του γιου είναι άρτιος αριθμός, τότε η ηλικία της κόρης είναι ίση με: α) 18 β) 0 γ) 1 δ) ΛΥΣΗ Η σωστή απάντηση είναι η γ, διότι: Η ηλικία της μητέρας είναι άρτιος αριθμός διότι είναι διπλάσια από την ηλικία της κόρης (το διπλάσιο κάθε αριθμού είναι άρτιος αριθμός). Επομένως, η ηλικία του πατέρα είναι περιττός αριθμός. Το άθροισμα των ηλικιών της μητέρας, του πατέρα και του γιου διαμορφώνεται ως εξής: Μητέρα Πατέρας Γιος Άθροισμα (άρτιος) + (περιττός) + (άρτιος) = (περιττός) Αν υποθέσουμε ότι η ηλικία της κόρης είναι άρτιος αριθμός τότε το συνολικό άθροισμα θα ήταν περιττός αριθμός διότι (άρτιος) + (περιττός) = (περιττός). Αυτό όμως είναι αδύνατο επειδή το άθροισμα όλων των ηλικιών είναι 10 που είναι άρτιος αριθμός. Επομένως, η ηλικία της κόρης πρέπει να είναι περιττός αριθμός, δηλαδή 1 ετών Η μάζα της Γης είναι περίπου ίση με 610 κιλά και η μάζα του Δία είναι περίπου 7 ίση με 1,9 10 κιλά. Με στρογγυλοποίηση στη μονάδα, η μάζα του Δία σε σχέση με τη μάζα της Γης είναι: α) 15 φορές μεγαλύτερη β) 00 φορές μεγαλύτερη

18 Μαθηματικές γνώσεις και δεξιότητες ΑΣΕΠ γ) 16 φορές μεγαλύτερη δ) 17 φορές μεγαλύτερη ΛΥΣΗ Η σωστή απάντηση είναι η δ, διότι: Σχηματίζοντας το λόγο των δύο μαζών έχουμε: ΜΑΖΑ ΔΙΑ ΜΑΖΑ ΓΗΣ 1,9 10 1, = = = 0, = 16, μονάδες και με στρογγυλοποίηση στη μονάδα προκύπτει ότι η μάζα του Δία είναι 17 φορές μεγαλύτερη από τη μάζα της Γης. 6. Αν για τον θετικό αριθμό x ισχύει ότι x =69 +9, τότε ο αριθμός x είναι ίσος με: α) 98 β) 110 γ) 115 δ) 165 (Θέμα Εξετάσεων 004) ΛΥΣΗ Η σωστή απάντηση είναι η γ, διότι: Εκτελώντας τις πράξεις έχουμε = = 1.5. Επειδή ο αριθμός λήγει σε 5, θα πρέπει ο x να λήγει σε 5. Με δοκιμές υπολογίζουμε ότι 115 = 15. (Παρατήρηση: Λύση του προβλήματος είναι η x = 1.5, που είναι όμως δύσκολος ο υπολογισμός της χωρίς χρήση υπολογιστή τσέπης) α 1 7. Αν =, τότε ισχύει ότι: 5 β 10 α) β) γ) δ) β =10 α 5 β =10 α 7 β =10 α 10 α =10 β 10

19 1 Πραγματικοί αριθμοί ΛΥΣΗ Η σωστή απάντηση είναι η γ, διότι: 5 Πολλαπλασιάζοντας τους όρους των δυο κλασμάτων χιαστί έχουμε β=10 α και υ- ψώνοντας στο τετράγωνο και τα δύο μέλη προκύπτει ότι: ( ) ( ) β = 10 α = 10 α = 10 α = 10 α. 8. Το άθροισμα του (δεκαδικού) αριθμού με: α) 4 β) 6 γ) 7 δ) 10 (Θέμα Εξετάσεων 004) ΛΥΣΗ Η σωστή απάντηση είναι η β, διότι: Ο δοσμένος αριθμός υπολογίζεται ως εξής: = , , , = 11100, είναι ίσο Επομένως το άθροισμα των ψηφίων του είναι Ένας άνδρας μέσου ύψους και βάρους, καταναλώνει ενέργεια περίπου 100 θερμίδων ανά ώρα. Η ενέργεια που κατανάλωσε σε ολόκληρη τη ζωή του ένας άνδρας 85 ετών είναι: 8 α) 7, θερμίδες β) γ) 5 7, θερμίδες 6 7, θερμίδες 7 δ) 7, θερμίδες ΛΥΣΗ Η σωστή απάντηση είναι η δ, διότι: Εφ όσον καταναλώνει 100 θερμίδες ανά ώρα, τότε θα κατανάλωνε 4 100=.400 θερμίδες ημερησίως και = θερμίδες το έτος. 7 Επομένως, σε 85 έτη κατανάλωσε = θερμίδες ή 7, θερμίδες.

20 4 Μαθηματικές γνώσεις και δεξιότητες ΑΣΕΠ 10. Ο μεγαλύτερος τετραψήφιος αριθμός που μπορεί να γραφτεί με χρήση μόνο ψηφίων και διαιρείται ταυτόχρονα με το, το, το 5 και το 9, είναι ο: α) 9900 β) 9090 γ) 8989 δ) 9898 ΛΥΣΗ Η σωστή απάντηση είναι η α, διότι: Ένας αριθμός διαιρείται με το όταν το τελευταίο του ψηφίο είναι 0,, 4, 6 ή 8, ενώ ένας αριθμός διαιρείται με το 5 όταν το τελευταίο του ψηφίο είναι 0 ή 5. Επομένως, για να διαιρείται ένας αριθμός με το και το 5 ταυτόχρονα, πρέπει το τελευταίο του ψηφίο να είναι 0. Έτσι αρκεί να βρούμε ένα ψηφίο, το διπλάσιο του οποίου, να διαιρείται με το 9 (οπότε θα διαιρείται και με το ). Το ζητούμενο ψηφίο είναι το 9 διότι 9+9=18 που διαιρείται με το 9 (και με το ). Από αυτά τα δύο ψηφία προκύπτουν οι τετραψήφιοι αριθμοί 9900 και 9090 και ο μεγαλύτερος από αυτούς είναι ο Προβλήματα προς λύση 1. Το πλήθος των φυσικών αριθμών από το 15 έως το 11 είναι: α) 76 β) 77 γ) 75 δ) 78 [Υπόδειξη: Το πλήθος των αριθμών είναι (11-15)+1=77 ]. Μία πόλη της Νορβηγίας έχει θερμοκρασία -9 C και την ίδια στιγμή στην Αθήνα η θερμοκρασία είναι 6 C. Η διαφορά θερμοκρασίας των δύο πόλεων είναι: α) 4 C β) 5 C γ) 17 C δ) 18 C [Υπόδειξη: Η διαφορά θερμοκρασίας είναι o = 5 C]

21 1 Πραγματικοί αριθμοί 5. Το πλήθος των άρτιων που βρίσκονται μεταξύ των αριθμών 41 και 66 είναι: α) 5 β) 11 γ) 1 δ) 1 [Υπόδειξη: Οι άρτιοι από το 4 έως και το 64 είναι 1 στο πλήθος] 4. Στην αριστερή πλευρά μιας οδού, τα σπίτια αριθμούνται με περιττούς (μονούς) α- ριθμούς. Αν το τελευταίο σπίτι έχει αριθμό 15, τότε το πλήθος των σπιτιών που βρίσκονται στην αριστερή πλευρά είναι: α) 76 β) 15 γ) 77 δ) 15 [Υπόδειξη: Το πλήθος είναι = 77 σπίτια] 5. Αν οι αριθμοί α, β, γ δεν είναι όλοι περιττοί και ισχύει ότι α+β+γ=005, τότε το πλήθος των άρτιων (από τους α, β, γ) είναι: α) 0 β) 1 γ) δ) [Υπόδειξη:Γνωρίζουμε ότι (άρτιος)+(άρτιος)+(άρτιος)=(άρτιος), (άρτιος)+(άρτιος)+(περιττός)=(περιττός) και (άρτιος)+(περιττός)+(περιττός)=(άρτιος). Επομένως οι περιπτώσεις οι άρτιοι να είναι ένας ή τρεις στο πλήθος αποκλείονται] Αν α =, β = 1,41, γ = και δ =, τότε με στρογγυλοποίηση στο πλησιέστερο εκατοστό, ο μεγαλύτερος από αυτούς τους αριθμούς είναι: α) Ο αριθμός α β) Ο αριθμός β γ) Ο αριθμός γ δ) Ο αριθμός δ [Υπόδειξη: Οι αριθμοί σε δεκαδική και στρογγυλοποιημένη στο εκατοστό μορφή γίνονται αντίστοιχα 4 α = = 1,... 1,, β = 1,41 1,4, 7 γ = = 1,4 1,4 και 5 18 δ = = 1,8 1, ] 1000

22 6 Μαθηματικές γνώσεις και δεξιότητες ΑΣΕΠ 7. Με στρογγυλοποίηση στο πλησιέστερο δέκατο ο αριθμός ισούται με: 4 α) 4, β) 4, γ) 4,5 δ) 4,4 1-0 [Υπόδειξη: Ο αριθμός είναι = 0,5 + 0, = 4,5 ο οποίος με 4 στρογγυλοποίηση δεκάτου γίνεται 4,5] 1 8. Αν διατάξουμε τα κλάσματα α =, β =, γ =, από το μεγαλύτερο στο μικρότερο, τότε η σειρά με την οποία γράφονται είναι: α) β, γ, α β) γ, α, β γ) α, β, γ δ) β, α, γ [Υπόδειξη: Μετατρέπουμε τα κλάσματα σε ομώνυμα με κοινό παρονομαστή το 56 και προκύπτει ότι α=1/56, β=4/56 και γ=14/56] 9. Ένα κλάσμα μεγαλύτερο του /5 και μικρότερο του 4/5 είναι το: α) 7/10 β) 5/5 γ) 6/10 δ) 8/10 [Υπόδειξη: Πολλαπλασιάζοντας τους όρους των δυο κλασμάτων με το προκύπτουν τα ισοδύναμα κλάσματα 6/10 και 8/10. Επομένως, το ζητούμενο κλάσμα είναι το 7/10] 10. Το 1/ του κλάσματος 1/ είναι το: α) 1/15 β) 1/9 γ) 1/6 δ) 1 [Υπόδειξη: Πολλαπλασιάζουμε τα δυο κλάσματα και προκύπτει το κλάσμα 1/9]

23 1 Πραγματικοί αριθμοί Αν x =10 +5, τότε ο αριθμός x είναι ίσος με: α) β) 4 γ) 5 δ) 6 [Υπόδειξη: Επειδή = 15, προκύπτει ότι x=5 διότι 5 = 15 ] 1. Αν κ = 11 λ 1, τότε ο αριθμός λ κ α) 4 β) 4 γ) δ) λ [Υπόδειξη: Έχουμε ότι = = ] κ ( ) 1. Η τιμή της παράστασης ( ) α) 1 β) γ) 9 δ) [Υπόδειξη: Γνωρίζουμε ότι 0 α = 1] ισούται με: 0 9 είναι ίση με: 14. Το πλήθος των αριθμών μεταξύ 1 και 0, που υψωμένοι στο τετράγωνο, έχουν τελευταίο ψηφίο το 4, είναι: α) 8 β) 5 γ) 4 δ)

24 8 Μαθηματικές γνώσεις και δεξιότητες ΑΣΕΠ [Υπόδειξη: Το τετράγωνο κάθε αριθμού που λήγει σε ή σε 8, έχει τελευταίο ψηφίο το 4. Επομένως, οι ζητούμενοι αριθμοί είναι το, το 8, το 1 και το 18 ] Ο αριθμός ισούται με: α) ,400 β) ,04 γ) 8.567,4 δ) , [Υπόδειξη: Έχουμε ότι 8 10 = , 5 10 = 5.000,6 10 = 600,7 10 = 7 και 4 10 = 0,04. Αθροίζοντας προκύπτει ο αριθμός ,04] Το τελευταίο ψηφίο του αριθμού είναι το: α) 5 β) 6 γ) 0 δ) 1 [Υπόδειξη: Κάθε δύναμη του 11 λήγει σε 1, κάθε δύναμη του 0 λήγει σε 0 και κάθε δύναμη του 5 λήγει σε 5. Επομένως, το τελευταίο ψηφίο του δοθέντος αριθμού είναι 1+0+5=6 ] Το άθροισμα των ψηφίων του αριθμού ισούται με: α) 9 β) 8 γ) 7 δ) 6 [Υπόδειξη: Ο αριθμός ισούται με 00,01, οπότε το άθροισμα των ψηφίων του είναι +++1=9] 18. Το πλήθος των ψηφίων που χρειάζονται για να αριθμηθεί ένα βιβλίο 10 σελίδων είναι ίσο με: α) 90 ψηφία β) 10 ψηφία γ) 18 ψηφία δ) 8 ψηφία [Υπόδειξη: Για τις σελίδες 1-9 χρειάζονται 9 ψηφία, για τις σελίδες χρειάζονται 90=180 ψηφία και για τις σελίδες χρειάζονται 1=9 ψηφία. Επομένως συνολικά χρειάζονται =8 ψηφία ] 19. Για να διαιρείται ο αριθμός 8x1 με το 9, τότε το ψηφίο x ισούται με: α) 5 β) 6

25 1 Πραγματικοί αριθμοί 9 γ) 7 δ) 1 [Υπόδειξη: Ένας αριθμός διαιρείται με το 9, αν το άθροισμα των ψηφίων του διαιρείται με το 9. Το άθροισμα των γνωστών ψηφίων του δοθέντος αριθμού είναι 8++1=11. Επομένως, το ψηφίο x πρέπει να ισούται με 7 ώστε το συνολικό άθροισμα να είναι 18, που διαιρείται με το 9] 0. Το πλήθος των πρώτων διαιρετών του αριθμού 0 ισούται με: α) 4 β) γ) 5 δ) [Υπόδειξη: Οι διαιρέτες του 0 είναι οι 1,,, 5, 6, 10, 15 και 0. Από αυτούς πρώτοι είναι οι, και 5] 1. Αν σήμερα είναι Πέμπτη, τότε μετά από 81 ημέρες θα είναι: α) Δευτέρα β) Τρίτη γ) Τετάρτη δ) Κυριακή [Υπόδειξη: Διαιρώντας το 81 με το 7 βρίσκουμε πηλίκο 11 και υπόλοιπο 4. Επομένως, μετά από 81 ημέρες θα έχουν περάσει 11 εβδομάδες και 4 ημέρες]. Ο αριθμός των χρηστών του διαδικτύου που έχουν επισκεφθεί την ιστοσελίδα των εκδόσεων «Κλειδάριθμος» είναι.9. Αυτός ο αριθμός έχει την ιδιότητα ότι μπορεί να διαβαστεί και αντίστροφα. Ο αριθμός των επιπλέον επισκέψεων που απαιτούνται, ώστε να σχηματιστεί ο αμέσως επόμενος αριθμός με την ίδια ιδιότητα, είναι: α) 101 β) 100 γ) 111 δ) 110 [Υπόδειξη: Ο αμέσως επόμενος αριθμός με αυτή την ιδιότητα είναι ο 404. Επομένως, απαιτούνται επιπλέον 404-9=110 επισκέψεις]. Το πλήθος όλων των τετραψήφιων θετικών ακέραιων αριθμών είναι: α) β) γ) δ) [Υπόδειξη: Το πλήθος των θετικών ακέραιων αριθμών από το έως και το είναι 9.000]

26